CNAM - B2Syst�emes et asservissements non lin�eairesNotes de coursVersion 4D. Arzelier - D. PeaucelleAvertissement:Ce document est constitu�e de notes de cours et ne pr�etend donc ni�a l'exhaustivit�e ni �a l'originalit�e. Ces notes doivent en e�et beaucoup aux empruntsfaits aux ouvrages r�ef�erenc�es en bibliographie.1

2

Notations- R: corps des nombres r�eels.- A0: matrice transpos�ee de la matrice A.- A > 0: A matrice d�e�nie positive.- k � k: norme Euclidienne pour un vecteur et induite par la norme Euclidiennepour une matrice.- L(�) transform�ee de Laplace.- @X@v : d�eriv�ee partielle de la fonction X par rapport �a la variable v.- ln: logarithme n�ep�erien.- In: matrice identit�e de dimension n.- N (C): noyau de la matrice C.- R(C): espace engendr�e par les colonnes de la matrice C.- V : fonction de Lyapunov.- 9: il existe.- 8: pour tout.- rV : vecteur gradient de la fonction V .3

4

Table des Mati�eresI Introduction �a l'�etude des syst�emes non lin�eaires 9I.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9I.2 Quelques comportements non lin�eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 11I.2.1 Points d'�equilibre multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11I.2.2 Cycles limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12I.2.3 Oscillations presque p�eriodiques - sous-harmoniques . . . . . . 13I.2.4 Bifurcations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13I.2.5 Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14I.3 Deux exemples de mod�elisations non lin�eaires . . . . . . . . . . . . . 14I.3.1 Equation du pendule simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14I.3.2 Oscillateur �a r�esistance n�egative . . . . . . . . . . . . . . . . . 16I.4 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17II La notion de stabilit�e 19II.1 Introduction et d�e�nitions fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . 19II.1.1 Quelques rappels sur les mod�eles d'�etat . . . . . . . . . . . . . 19II.1.2 Quelques notions math�ematiques . . . . . . . . . . . . . . . . 21II.2 Notions de stabilit�e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24II.2.1 Stabilit�e du point d'�equilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24II.3 Stabilit�e d'une trajectoire : : : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26II.4 M�ethode directe de Lyapunov ou seconde m�ethode . . . . . . . . . . . 27II.4.1 Introduction par l'aspect �energ�etique . . . . . . . . . . . . . . 27II.4.2 Th�eor�emes sur la stabilit�e et la stabilit�e asymptotique . . . . . 29II.4.3 Application aux syst�emes lin�eaires invariants . . . . . . . . . . 31II.4.4 D�emarche �a suivre pour �etudier la stabilit�e . . . . . . . . . . . 31II.5 Construction de fonctions de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . 32II.5.1 Quelques exemples de fonctions de Lyapunov . . . . . . . . . . 325

6 Table des Mati�eresII.5.2 M�ethode de Krasovskii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33II.5.3 M�ethode du gradient variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34II.6 Stabilit�e absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36II.6.1 Probl�eme de Lur'e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36II.6.2 Deux conjectures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37II.6.3 Crit�ere de Popov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38II.6.4 Crit�ere du cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39IIIAnalyse des S.N.L. du second ordre - m�ethode du plan de phase 43III.1 Introduction et d�e�nitions g�en�erales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43III.2 Construction pratique des trajectoires de phase . . . . . . . . . . . . 45III.2.1 La m�ethode analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45III.2.2 La m�ethode des isoclines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46III.3 Comportement qualitatif: �etude des points singuliers . . . . . . . . . 47III.3.1 D�e�nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47III.3.2 Cas des syst�emes lin�eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47III.3.3 Cas non lin�eaire - Comportement local . . . . . . . . . . . . . 49III.3.4 Les cycles limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51III.4 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52III.4.1 Asservissement �a relais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52III.4.2 Asservissement �a relais avec contre-r�eaction tachym�etrique . . 54III.4.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57III.4.4 Asservissement avec relais et hyst�er�esis . . . . . . . . . . . . . 57III.4.5 Asservissement avec relais et zone morte . . . . . . . . . . . . 60IV Introduction �a la commande �a structure variable 65IV.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65IV.2 Principes de la commande �a structure variable en mode glissant . . . 67IV.3 Le r�egime glissant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69IV.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69IV.3.2 La commande �equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70IV.3.3 Synth�ese de l'hypersurface de glissement . . . . . . . . . . . . 72IV.3.4 Principe d'invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74IV.4 Le mode non glissant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75IV.4.1 Conditions d'acc�es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Table des Mati�eres 7IV.4.2 Synth�ese de la loi de commande . . . . . . . . . . . . . . . . . 76IV.5 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77V Approximation de l'�equivalent harmonique 79V.1 La m�ethode de lin�earisation harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . 79V.1.1 Hypoth�eses d'application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79V.1.2 Equivalent harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80V.1.3 Fonction de transfert g�en�eralis�ee . . . . . . . . . . . . . . . . . 82V.1.4 Calcul de la fonction de transfert g�en�eralis�ee . . . . . . . . . . 85V.2 Cycles limites et m�ethodes du premier harmonique . . . . . . . . . . 92V.2.1 Rappels sur le crit�ere du revers . . . . . . . . . . . . . . . . . 92V.2.2 Extension au cas des asservissements non lin�eaires . . . . . . . 93V.2.3 Etude des auto-oscillations et de leur stabilit�e . . . . . . . . . 95V.2.4 Exemples d'application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96Annexes 99A Recueil d'exercices 99

8 Table des Mati�eres

Chapitre IIntroduction �a l'�etude des syst�emes nonlin�eairesI.1 IntroductionLa premi�ere �etape lorsque l'on veut analyser puis commander un syst�eme, con-siste �a se donner un "bon" mod�ele math�ematique de celui-ci. Cela signi�e que l'ondoit disposer d'un mod�ele math�ematique r�ealisant un compromis entre sa �d�elit�e decomportement qualitatif et quantitatif et sa simplicit�e de mise en oeuvre �a des �nsd'analyse et de synth�ese. Le deuxi�eme terme de ce compromis implique que l'�etapede mod�elisation entraine obligatoirement des approximations et des simpli�cationsa�n de permettre une analyse des propri�et�es du mod�ele qui ne soit pas trop complexeet une proc�edure de synth�ese de commande e�cace.Sous certaines hypoth�eses, (approximation des faibles d�eviations autour d'un"mouvement" nominal), certains syst�emes peuvent etre d�ecrits par un mod�ele math-�ematique lin�eaire, par exemple, une �equation di��erentielle �a coe�cients constants:amy(m)(t) + � � �+ a1 _y(t) + a0y(t) = bne(n)(t) + � � �+ b1 _e(t) + b0e(t) (1.1)dont on peut calculer une solution analytique explicite par utilisation du principede superposition. Dans ce cadre d'hypoth�eses, les m�ethodes classiques ainsi quede puissants outils d'analyse et de synth�ese des asservissements lin�eaires peuventetre appliqu�ees et d�evelopp�es.M�ethodes fr�equentielles:(Utilisation de la transform�ee de Laplace, not�ee L(�))8><>: L(1:1)Y (p) = L(y(t))E(p) = L(e(t)) �! Y (p)E(p) = bnpn + � � �+ b0ampm + � � �+ a0Fonction de transfert � Mod�ele entr�ee - sortie9

10 Introduction �a l'�etude des syst�emes non lin�eairesOutils d'analyse Outils de synth�eseLieu de Nyquist Correcteur �a avance de phaseLieu de Black-Nichols Correcteur �a retard de phaseDiagramme de Bode Commande PID ...Lieu des racinesM�ethodes temporelles:Mod�ele interne - vecteur des variables d'�etat x 2 Rn.( _x(t) = Ax(t) +Bu(t) �eq: dynamiquey(t) = Cx(t) �eq: de sortieOutils d'analyse Outils de synth�eseCrit�eres de Kalman Retour d'�etatTh�eor�eme de Lyapunov (stabilit�e) Placement de polesAlg�ebre lin�eaire Commande L.Q. ...Toutefois, a�n de prendre en compte une r�ealit�e plus complexe, aussi bien dupoint de vue qualitatif que quantitatif, il est n�ecessaire de retenir dans la mod�elisa-tion du syst�eme physique des �el�ements non lin�eaires di�cilement mod�elisables parailleurs et que l'on ne peut approximer. Di��erents cas g�en�eriques se pr�esentent pourlesquels les mod�elisations lin�eaires ne peuvent su�re.- Dans le positionnement d'un bras de robot, la g�eom�etrie li�ee aux transforma-tions de coordonn�ees fait intervenir des fonctions non lin�eaires de leur argu-ment telles que sinus et cosinus.- Un moteur a des limitations intrins�eques en courant et donc en couple. Lessaturations sur les signaux de commande sont des non lin�earit�es courantes.De mani�ere plus g�en�erale, les ph�enom�enes tels que saturation, zone morte,seuils dus �a des frottements, hyst�er�esis sont des non lin�earit�es fr�equemmentrencontr�ees dans ce type d'applications.- Les asservissements faisant intervenir dans le bloc de commande des �el�ementsnon lin�eaires tels que relais, syst�emes �a commutations, hyst�er�esis, ... . Ce sontdes �el�ements qui ne sont pas lin�earisables par l'approximation des signaux defaible amplitude.- D'importants processus physiques sont d�ecrits par des mod�eles non lin�eaires.Les caract�eristiques courant-tension de nombreux syst�emes �electroniques sontnon lin�eaires. Les attractions gravitationnelles et �electrostatiques sont inverse-ment proportionnelles au carr�e de la distance.- A ces non lin�earit�es, plus ou moins classiques, s'ajoutent d'autres types de nonlin�earit�es qui sont a prendre en compte dans les nouveaux champs d'applicationde l'automatique. Par exemple, en m�ecanique, la d�eformation des mat�eriaux

Quelques comportements non lin�eaires 11fait appara�tre des d�eriv�ees non enti�eres dans les mod�eles. En biologie et enchimie interviennent des �equations polynomiales �a plusieurs variables et auxd�eriv�ees partielles. Dans la �nance - domaine �eloign�e de l'automatique o�ules memes m�ethodes pourraient s'av�erer utiles - les fonctions d�ecrivant les�evolutions des param�etres sont discontinues en tout point.Pour de tels mod�eles, le principe de superposition ne peut plus etre appliqu�e etles outils n�ecessitent le d�eveloppement de math�ematiques plus �elabor�ees.Du fait de la diversit�e et de la puissance des outils d�evelopp�es dans le domainelin�eaire, il est usuel dans un premier temps de lin�eariser le mod�ele non lin�eaire au-tour d'un point de fonctionnement et d'utiliser le mod�ele lin�eaire ainsi obtenu a�nd'en extraire le maximum de renseignements. Toutefois, la m�ethode de lin�earisationn'est pas su�sante et il est donc n�ecessaire de forger des outils propres �a l'�etudedes mod�eles non lin�eaires. Principalement, deux faits limitent la port�ee des r�esul-tats obtenus par la m�ethode de lin�earisation. Tout d'abord, du fait que la m�ethodede lin�earisation est une m�ethode par approximation, elle n'est donc valide que lo-calement autour du point de fonctionnement concern�e et ne peut certainement pasetre utilis�ee pour en d�eduire un comportement global. Le deuxi�eme point est queles dynamiques d'un syst�eme non lin�eaire sont beaucoup plus riches que celles d'unsyst�eme lin�eaire dans le sens qu'elles re �etent des comportements et des ph�enom�enespurement non lin�eaires. Ce cours constitue donc une introduction succinte �a l'analysedes syst�emes non lin�eaires ainsi qu'�a l'utilisation de certains outils sp�eci�quementd�evelopp�es dans ce cadre.I.2 Quelques comportements non lin�eairesI.2.1 Points d'�equilibre multiplesA la di��erence des syt�emes lin�eaires qui poss�edent un point d'�equilibre unique,les syst�emes non lin�eaires peuvent poss�eder plusieurs points d'�equilibre.Exemple:Soit le syst�eme physique r�egi par l'�equation di��erentielle suivante:_x(t) = �x(t) + x2(t) ; x0 = x(0)Le syst�eme lin�earis�e autour du point x = 0 est donn�e par:_x(t) = �x(t) ! 8><>: point d0�equilibre x = 0solution x = x0e�tLe syst�eme non lin�eaire, quant �a lui a les caract�eristiques suivantes:8><>: 2 points d0�equilibre (0; 1)solution x(t) = x0e�t1�x0+x0e�t

12 Introduction �a l'�etude des syst�emes non lin�eaires0 1 2 3 4 5 6 7 8

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

t

x(t)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

t

x(t)Figure 1.1 : Syst�eme lin�earis�e et Syst�eme non lin�eaireLes simulations, �gure 1.1, montrent clairement les di��erences de comportemententre le mod�ele lin�eaire et non lin�eaire. Dans le cas lin�eaire, le point d'�equilibre eststable et les trajectoires d'�etat pour di��erentes conditions initiales, d�ecroissent versl'�etat d'�equilibre. Dans le cas non lin�eaire, les deux points d'�equilibre sont de naturedi��erente. Le point d'�equilibre 0 est stable localement puisque toute trajectoire issued'une condition initiale su�samment proche converge vers cet �etat d'�equilibre. Lepoint 1 quant �a lui, est instable constitue en quelque sorte une fronti�ere de stabilit�e.L'axe est en e�et divis�e en deux r�egions de conditions initiales pour lesquelles lestrajectoires sont convergentes vers l'�etat d'�equilibre 0 ou sont divergentes.I.2.2 Cycles limitesUn syst�eme lin�eaire invariant dans le temps, pour osciller, doit avoir une pairede poles sur l'axe imaginaire. Cette condition est �evidemment tr�es fragile vis �a visde perturbations et/ou erreurs de mod�elisation pouvant a�ecter la valeur de cespoles. De plus, l'amplitude de l'oscillation obtenue en th�eorie d�epend uniquementde la condition initiale. Au contraire, les syst�emes non lin�eaires peuvent etre le si�eged'oscillations, (cycles limites), caract�eris�ees par leur amplitude et leur fr�equence,ind�ependantes de la condition initiale, x0, et sans excitation ext�erieure. Il est doncindispensable d'utiliser un syst�eme non lin�eaire si l'on souhaite r�ealiser en pratiqueune oscillation stable.Exemple: �equation de Van der PolL'�equation de Van der Pol est une �equation d'ordre 2 non lin�eaire donn�ee par:m�x(t) + 2c(x2 � 1) _x(t) + kx(t) = 0 c > 0est simul�ee pour di��erentes conditions initiales x(0).La �gure 1.2 fait clairement apparaitre une courbe ferm�ee vers laquelle conver-gent toutes les trajectoires quelque soit le point initial choisi. Cela traduit la natureoscillatoire et approximativement sinusoidale du comportement du syst�eme. Cettecourbe ferm�ee est un cycle limite. Ces cycles limites peuvent etre souhait�es, (oscil-lateurs �electriques) ou non d�esir�es dans le cas de certains syst�emes m�ecaniques.

Quelques comportements non lin�eaires 13−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

x

dx/d

t

Plan de phase

Figure 1.2 : Equation de Van der PolI.2.3 Oscillations presque p�eriodiques - sous-harmoniquesIl est bien connu qu'un syst�eme lin�eaire, en r�eponse �a une entr�ee p�eriodique,produit une sortie p�eriodique de meme p�eriode que l'entr�ee appliqu�ee. Un syst�emenon lin�eaire soumis �a une entr�ee p�eriodique du typee(t) = Esin(!t)produit une sortie p�eriodique compos�ee d'un signal p�eriodique appel�e fondamental defr�equence !=2� et de signaux additionnels de fr�equences multiples n!=2� qui sontappel�es les harmoniques. Dans certains cas, la sortie peut �egalement comprendredes signaux dont la fr�equence est sous-multiple de la fr�equence d'entr�ee. Il peutmeme, dans certains cas, produire une oscillation \presque" p�eriodique. C'est le casquand la sortie est la somme d'oscillations p�eriodiques de fr�equence di��erentes etnon multiples les unes des autres.I.2.4 BifurcationsDes changements quantitatifs des param�etres peuvent entrainer des changementsqualitatifs des propri�et�es du syst�eme, (nombre de points d'�equilibre, stabilit�e despoints d'�equilibre).Exemple: �equation non amortie de Du�ng�x(t) + �x(t) + x3(t) = 0 � � 0L'�equation donnant le point d'�equilibre est:xe(x2e + �) = 0Suivant que � sera n�egatif ou positif, le nombre de points d'�equilibre sera di��erent.Quand � varie, le nombre de points d'�equilibre varie de 1 �a 3,(xe; _xe) = (0; 0); (p�; 0) (�p�; 0)Ainsi � = 0 est une valeur de bifurcation critique.

14 Introduction �a l'�etude des syst�emes non lin�eairesI.2.5 ChaosUn syst�eme non lin�eaire peut avoir un comportement en r�egime permanent pluscomplexe que ceux habituellement r�epertori�es tels que l'�equilibre, les oscillationsp�eriodiques... . Dans ce cas, la sortie du syst�eme est extr�emement sensible auxconditions initiales, d'o�u la non pr�evisibilit�e de la sortie. Certains comportementschaotiques font ainsi apparaitre un aspect al�eatoire malgr�e leur nature d�eterministeintrins�eque.Exemple: �x(t) + 0:1 _x(t) + x5(t) = 6sin(t)Pour les deux conditions initiales di��erentes suivantes, nous obtenons les deuxcourbes pr�esent�ees sur la �gure 1.3.0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

t

x(t)Trait - : (x(0) = 2 ; _x(0) = 3) et Trait -.- : (x(0) = 2:01 ; _x(0) = 3:01)Figure 1.3 : Comportement chaotiqueCertains de ces ph�enom�enes manifestent des comportements de type al�eatoire end�epit de la nature d�eterministe du syst�eme. Ce comportement est pr�esent dans lesph�enom�enes de turbulences en m�ecanique des uides ou dans les ph�enom�enes issusdes dynamiques atmosph�eriques.I.3 Deux exemples de mod�elisations non lin�eairesI.3.1 Equation du pendule simpleSoit le pendule simple repr�esent�e en �gure 1.4, o�u l est la longueur de la cordeconsid�er�ee comme rigide et sans masse et m la masse en mouvement. On note �l'angle que la corde fait avec la verticale. A�n d'ecrire les �equations du mouvement,il est n�ecessaire d'identi�er les forces agissant sur la masse. Tout d'abord, il y ala force gravitationnelle donn�ee par Fg = mg o�u g est l'acc�el�eration de la gravit�e.On suppose de plus que la masse est soumise �a une force de r�esistance de frictionproportionnelle �a la vitesse de la masse et de coe�cient de friction k. En appliquant

Deux exemples de mod�elisations non lin�eaires 15.

.θ

l

mFigure 1.4 : Pendule simplele premier principe de la dynamique par projection sur l'axe tangentiel, on obtientl'�equation di��erentielle du mouvement.ml�� = �mgsin(�)� kl _�A partir de ce mod�ele math�ematique, il est possible de d�eriver un mod�ele dansl'espace d'�etat non lin�eaire en choisissant les variables d'�etat x1 = � et x2 = _�.( _x1 = x2_x2 = �gl sin(x1)� kmx2Si l'on souhaite connaitre les points d'�equilibre de ce syst�eme, il su�t de r�esoudrele syst�eme alg�ebrique suivant.( 0 = x20 = �gl sin(x1) � kmx2Les points d'�equilibre sont donc donn�es par (n�; 0) pour n = 0; � 1; � 2; � � �.Physiquement, cela correspond �a l'existence de deux points d'�equilibre (0; 0) et (�; 0),les autres n'�etant qu'une duplication math�ematique de ces deux points due �a lapossibilit�e, pour le pendule, de faire une certain nombre de tours autour de son pointde rotation. Il est clair que du point de vue physique, ces deux points d'�equilibre sontdistincts. En e�et, alors que le pendule peut rester en �equilibre en (0; 0), il ne peutmaintenir sa position d'�equilibre en (�; 0) puisque une perturbation in�nit�esimaleproduit un d�es�equilibre du pendule. On parlera, comme il sera vu par la suite,d'�equilibre stable et instable.L'�equation du pendule est int�eressante du fait que de nombreux syst�emes physiquespeuvent etre mod�elis�es par des �equations semblables �a celle du pendule. C'est le caspar exemple de circuits �electriques comportant une induction non lin�eaire de typejonction de Josephson ou encore de g�en�erateur synchrone connect�e �a un bus in�ni,[4].Un autre exemple construit sur l'exemple du pendule simple, montre que les nonlin�earit�es conduisent rapidement �a des syst�emes tr�es complexes voire chaotiques.Soit le syst�eme con�cu �a partir de trois pendules simples mis bout �a bout, repr�esent�edans l'espace sur la �gure 1.5.

16 Introduction �a l'�etude des syst�emes non lin�eaires������

������Figure 1.5 : Syst�eme �a trois pendules (projections suivant les trois axes du plan)On n�eglige les frottements. Les �equations d�ecrivant le comportement dynamiquedu syst�eme sont fastidieuses �a �etablir mais le mod�ele est parfaitement d�eterministe.Ceci est un exemple de mod�ele chaotique. Pour une position initiale des trois poids, lecomportement ne sera ni convergeant (frottements consid�er�es nuls) ni oscillatoire. Deplus, pour deux positions initiales in�niment proches, le comportement du syst�emedi��ere fortement.I.3.2 Oscillateur �a r�esistance n�egativeLa �gure 1.6(a) d�ecrit la structure fondamentale d'un type d'oscillateur �electron-ique tr�es r�ependu. L'inductance et la capacit�e sont suppos�ees lin�eaires, invariantedans le temps et passive, L > 0; C > 0. L'�el�ement r�esistif est un circuit actif dont lacaract�eristique tension-courant est non lin�eaire, i = h(v) et est pr�esent�ee en �gure1.6(b). On suppose de plus que la fonction h satisfait les conditions:h(0) = 0 h0(0) < 0limv!1 h(v)!1 limv!�1 h(v)! �1

+

-iiC L

vLelement

resistif

(a)

i

v

(b)

CFigure 1.6 : Oscilateur �a r�esistance n�egativeEn �ecrivant la loi des noeuds, on a:iC + iL + i = 0

Conclusions 17ce qui se r�e�ecrit: Cdvdt + 1L Z t�1 v(s)ds+ h(v) = 0ou encore, apr�es di��erentiation,CLd2vdt2 + v + Lh0(v)dvdt = 0Par un changement d'echelle de temps, cette �equation peut etre r�eduite �a une �equa-tion bien connue en th�eorie des syst�emes non lin�eaires. On pose ainsi � = t=pLC,ce qui permet d'ecrire: dvd� = pLC dvdtd2vd�2 = LC d2vdt2L'�equation di��erentielle du circuit est alors donn�ee par:�v + �h0(v) _v + v = 0o�u � = qL=C. C'est un cas particulier de l'�equation de Li�enard qui a la formeg�en�erale: �v + �f(v) _v + g(v) = 0Dans le cas o�u h(v) = �v + 13v3, on retrouve l'�equation de Van der Pol, qui a �et�eutilis�ee a�n d'�etudier les oscillations dans les circuits �a base de tubes �a vide. Enposant x1 = v; x2 = _v, les �equations d'�etat associ�ees �a l'�equation de Van der Polsont alors: ( _x1 = x2_x2 = �x1 � �h0(x1)x2I.4 ConclusionsIl est bien �evident que la liste pr�ec�edente n'�epuise pas l'ensemble des ph�enom�enesqui peuvent se rencontrer dans l'�etude des syst�emes non lin�eaires et des mod�eles quel'on peut d�eduire.Les syst�emes non lin�eaires �etudi�es dans ce cours seront d�ecrits par des �equationsdi��erentielles ordinaires non lin�eaires du type suivant:_xi(t) = fi(x1(t); � � � ; xm(t); t) i=1;���;mou encore: x(m)(t) + g(x(m�1)(t); � � � ; _x(t); t) = 0Les solutions analytiques de ces �equations ne sont en g�en�eral pas accessibles di-rectement.Elles s'expriment en g�en�eral �a partir de fonctions transcendantes obtenuessous forme de d�eveloppement en s�eries, ou par des m�ethodes num�eriques et it�era-tives. Ce cours exposera un certain nombre de techniques permettant de contournercette di�cult�e.Dans la majorit�e des techniques, les non lin�earit�es sont analys�ees en r�ef�erence auxcomportement des syst�emes lin�eaires. En particulier, il est courant de mod�eliser un

18 Introduction �a l'�etude des syst�emes non lin�eairessyst�eme non lin�eaire comme form�e d'une partie lin�eaire et d'une partie non lin�eaire.L'�etude peut alors etre une �evaluation de l'in uence de la partie non lin�eaire sur lecomportement lin�earis�e du syst�eme. Dans cette optique les syst�emes sont repr�esent�escomme form�es de deux syst�emes interconnect�e (�gure 1.7). e et f sont les entr�eespossibles du syst�eme et s et t sont les sorties possibles.Systeme Lineaire

Systeme Non Lineaire

+

+

s

t f

e Figure 1.7 : Syst�emes interconnect�esDeux exemples courants de syst�emes mod�elisables de la sorte sont les syst�emescommand�es par une r�etroaction non lin�eaire (f = 0) et les syst�emes dont l'entr�ee fsubit une transformation non lin�eaire (e = 0). Les syst�emes non lin�eaires en questionpeuvent alors etre respectivement, une porte tout ou rien et une saturation. Lesm�ethodes pr�esent�ees dans ce cours abordent de mani�ere di��erentes certains cas desyst�emes mis sous cette forme.

Chapitre IILa notion de stabilit�eII.1 Introduction et d�e�nitions fondamentalesLa th�eorie de la stabilit�e joue un role central en th�eorie des syst�emes. Dif-f�erents types de probl�emes de stabilit�e peuvent etre rencontr�es dans l'�etude dessyst�emes dynamiques. Dans ce cours, nous entendons par stabilit�e, stabilit�e despoints d'�equilibre. Nous �evoquerons sans les �etudier la stabilit�e des cycles limite etla stabilit�e entr�ee/sortie. La stabilit�e d'un point d'�equilibre est g�en�eralement �etudi�ee�a l'aide du concept de stabilit�e au sens de Lyapunov.Par d�e�nition, si un syst�eme est dans un �etat d'�equilibre, il restera dans cet�etat pour t variant dans le temps. L'�etude de la stabilit�e au sens de Lyapunovconsiste en l'�etude des trajectoires du syst�eme quand l'�etat initial est "pr�es" d'un�etat d'�equilibre. Cela re �ete la possibilit�e de perturbations a�ectant le syst�eme, sousforme de conditions initiales non nulles.L'objet de la th�eorie de la stabilit�e est de tirer des conclusions quant au com-portement du syst�eme sans calculer explicitement ses trajectoires. La contributionmajeure fut apport�ee par A.M. Lyapunov, en 1892, dont les travaux n'ont �et�e connusqu'�a partir des ann�ees 60. Il a introduit la majorit�e des concepts et d�e�nitions debase concernant la stabilit�e des syst�emes repr�esent�es par des syst�emes di��erentielsarbitraires mais a aussi fourni les principaux r�esultats th�eoriques. Nous ne pr�esentonsdans cette partie qu'une version simpli��ee et abr�eg�ee de ses travaux.II.1.1 Quelques rappels sur les mod�eles d'�etatL'�evolution d'un syst�eme peut-etre d�e�nie par une �equation di��erentielle qui lie lad�eriv�ee du vecteur d'�etat �a l'ensemble des valeurs pr�ec�edentes de l'�etat, �a l'ensembledes valeurs pr�ec�edentes de l'entr�ee et au temps:_x(t) = f(x�; u�; t)o�u x� et u� sont les fonctionnelles repr�esentant l'�evolution de l'�etat de de l'entr�eedu syst�eme pour les instants pr�ec�edents (t� < t).La th�eorie de Lyapunov pour l'analyse de la stabilit�e des syst�emes s'inscrit dansce cadre tr�es g�en�eral. Dans ce cours nous nous limiterons �a consid�erer des syst�emes19

20 La notion de stabilit�enon command�es (entr�ee nulle) et non causaux (l'�evolution du syst�eme ne d�ependque de la valeur de l'�etat �a l'instant t):_x(t) = f(x(t); t)D�e�nition 1 Syst�eme AutonomeUn syst�eme est dit autonome si f ne d�epend pas du temps:_x = f(x)sinon le syst�eme est dit non autonome.Remarques:1- Les mod�eles ainsi d�e�nis g�en�eralisent la notion de syst�emes invariants et vari-ants dans le temps pour les syst�emes lin�eaires.2- Un syst�eme autonome est ind�ependant du temps initial alors qu'un syst�emenon autonome ne l'est pas. Tout instant peut etre consid�er�e comme instantinitial. Tout �etat x(t) du syst�eme peut etre consid�er�e comme un �etat initial.Dans la suite nous ne consid�ererons que des syst�emes autonomes. De plus nousconsid�ererons uniquement des syst�emes dont le vecteur d'�etat est r�eel de dimension�nie: x 2 Rn.Hypoth�ese classique:La solution de l'�equation _x = f(x) est unique �a la donn�ee d'une condition initialexo = x(0). (Solution unique au probl�eme de Cauchy).La solution xxo de l'�equation di��erentielle pour une condition initiale xo donn�eeest une trajectoire �a valeurs dans l'espace d'�etat (espace vectoriel Rn):xxo : ( R+ �! Rnt 7�! xxo(t)Cette fonction est appel�ee trajectoire d'�etat du syst�eme dans l'espace d'�etat pourune condition initiale donn�ee. Quand cela est possible (�etat de dimension deux,voire trois) nous tracerons la trajectoire du syst�eme pour repr�esenter son �evolutiondynamique �a partir d'une condition initiale donn�ee.Exemple: Soit le syst�eme �a deux �etat suivant:( _x1 = x2 sin(2x1)_x2 = �sat(�0:5;0:5)(2x1 + x2)o�u la fonction d�esign�ee par sat(�0:5;0:5)(x) est une saturation qui renvoie x si x 2[�0:5; 0:5], 0:5 si x � 0:5 et �0:5 si x � �0:5. Pour quelques conditions initialeschoisies al�eatoirement on peut simuler le syst�eme et tracer les trajectoires d'�etat dusyst�eme (�gure 2.1). Les trajectoires repr�esent�ees �evoluent toutes vers des pointsparticuliers (�). On dira qu'elles convergent vers des points d'�equilibre. Pour deux�etat initiaux tr�es proches on voit que le comportement du syst�eme peut etre tr�esdi��erent.

Introduction et d�e�nitions fondamentales 21−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

Figure 2.1 : trajectoires d'�etatD�e�nition 2 : points d'�equilibrex� est un �etat d'�equilibre pour le syst�eme autonome six(t1) = x� ) x(t � t1) = x�ou de fa�con �equivalente si: f(x�) = 0II.1.2 Quelques notions math�ematiquesNous introduisons ou rappelons quelques d�e�nitions et notions math�ematiquesqui nous seront n�ecessaires par la suite.D�e�nition 3 : Voisinage de l'origineUn voisinage de l'origine, est tout domaine ferm�e borme incluant l'origine.Un exemple de voisinage est la boule:D�e�nition 4 : Boule dans RnOn d�e�nit une boule ferm�ee dans Rn comme l'ensemble:Br = fx 2 Rn = jjxjj � rgo�u la norme jj � jj est une norme sur RnUn exemple de norme est la norme euclidienne habituelle:jjxjj = qx21 + � � �x2n pour x 2 RnComme toutes les normes sont �equivalentes sur Rn, le choix de la norme n'est pasd�eterminant pour les r�esultats qui suivent. La forme des boules, par contre, seramodi��e quand on change de norme.

22 La notion de stabilit�eD�e�nition 5 : fonctions d�e�nies positives1- Une fonction scalaire V : Rn �! R est localement d�e�nie positive dans, o�u est un voisinage de l'origine, si:1� V (0) = 02� 8 x 6= 0 2 V (x) > 02- Une fonction scalaire V : Rn �! R est d�e�nie positive si elle v�eri�e:1� V (0) = 02� 8 x 6= 0 2 Rn V (x) > 0Exemples:Soit x = [x1; x2]0 2 R2- V (x) = x21 + sin2(x2) est d�e�nie positive localement.- V (x) = x21 + x22 est une fonction d�e�nie positive.D�e�nition 6 : fonctions semi-d�e�nies positives1- Une fonction scalaire V : Rn �! R est localement semi-d�e�nie positivedans , o�u est un voisinage de l'origine, si:1� V (0) = 02� 8 x 6= 0 2 V (x) � 02- Une fonction scalaire V : Rn �! R est semi-d�e�nie positive si elle v�eri�e:1� V (0) = 02� 8 x 6= 0 2 Rn V (x) � 0Exemples:Soit x = [x1; x2]0 2 R2- V (x) = x1 sin(x1) est une fonction localement semi-d�e�nie positive.- V (x) = x21 est une fonction semi-d�e�nie positive.Remarques:1- Si une fonction V est (localement), (semi-)d�e�nie n�egative alors �V est (lo-calement), (semi-)d�e�nie positive.

Introduction et d�e�nitions fondamentales 232- Cas particulier important: la forme quadratique V (x) = x0Px; x 2 Rnavec P = P 0. V est (semi-)d�e�nie positive,(n�egative), si P est une matrice(semi-)d�e�nie positive, (n�egative).3- Une condition n�ecessaire et su�sante pour que la matrice sym�etrique P soitd�e�nie positive est que ses valeurs propres soient toutes positives.D�e�nition 7 Fonction candidate de LyapunovSoit V : Rn �! R+ une fonction telle que:i) V est continument di��erentiable en tous ces arguments.ii) V est d�e�nie positive.iii) Il existe a et b deux fonctions scalaires de R+ dans R+, continues, monotones,non d�ecroissantes, telles quea(0) = b(0) = 08x 2 Rn a(kxk) � V (x) � b(kxk)alors V est une fonction candidate de Lyapunov.RemarqueLa d�e�nition implique que la fonction V d�e�nit des �equipotentielles imbriqu�ees. C'est�a dire que les courbes V (x) = Cste, appel�ees �equipotentielles de Lyapunov,d�e�nissent des domaines connexes autour de l'origine. De plus en d�e�nissant lesdomaines: D1 = fxjV (x) � c1g ; D2 = fxjV (x) � c2galors c1 < c2 =)D1 � D2exempleSoit x = [x1; x2]0 2 R2, et V (x) = x21 + x22 alors les �equipotentielles sont des cerclesde rayon le carr�e de la norme euclidienne du vecteur x. Ce sont aussi les boules deR2 d�e�nies pour la norme euclidienne.D�e�nition 8 : d�eriv�ee de LyapunovSoit V : Rn �! R une fonction continument di��erentiable en tous ses argumentset soit l'�equation non lin�eaire di��erentielle _x = f(x); x 2 Rn. On d�e�nit alors_V : Rn �! R par: _V (x) = "@V@x (x)#0 � f(x)o�u: "@V@x (x)# gradient de V (x) � 0BB@ @V@x1 (x)...@V@xn (x) 1CCA_V (x) est appel�ee la d�eriv�ee de V (x) le long des trajectoires de _x = f(x).

24 La notion de stabilit�eRemarque:La d�eriv�ee correspond �a une d�eriv�ee temporelle de la fonction t 7�! V (x(t)) enconsid�erant que x est une trajectoire d'�etat, c'est �a dire qu'elle satisfait l'�equationdi��erentielle: dVdt x(t) = "@V@x (x)#0 � _x(t) = "@V@x (x)#0 � f(x(t))Exemple:Soit V (x) = x21 + x22. Alors la d�eriv�ee le long des trajectoires de _x = f(x), o�uf(x) = [f1(x); f2(x)]0, s'�ecrit:_V (x) = [2x1 ; 2x2] � " f1(x)f2(x) #II.2 Notions de stabilit�eII.2.1 Stabilit�e du point d'�equilibreD�e�nition 9 : stabilit�e-instabilit�e au sens de LyapunovL'�etat d'�equilibre xe est dit stable si 8� > 0 ; 9 � > 0 tel que si jjx(0) � xejj < �alors jjx(t)� xejj < � 8 t � 0. Dans le cas contraire, xe est dit instable.Nota: (8� > 0)(9� > 0)(jjx(0)� xejj < �) jjx(t)� xejj < � ; 8t � 0)Interpr�etation:La stabilit�e au sens de Lyapunov signi�e que la trajectoire d'�etat peut etre gard�eearbitrairement pr�es de xe, si l'on prend une condition initiale su�samment prochede xe, (voir �gure 5.1).x

x

t

x(t,x )

1

2

x0

xe

ε+α

− α

− ε

0

Figure 2.2 : stabilit�e de LyapunovD�e�nition 10 Attractivit�eL'�etat d'�equilibre xe est attractif si il existe � > 0 tel que si kx(0)� xek < � alorspour tout � > 0 il existe T > 0 qui satisfait kx(t)� xek < �, pour tout t � T .

Notions de stabilit�e 25Remarque:L'attractivit�e n'implique pas la stabilit�e ni l'inverse. La condition d'attractivit�e ex-prime que si l'�etat initial est dans un certain voisinage de l'�etat d'�equilibre, alorsl'�etat du syst�eme reviendra n�ecessairement �a l'origine au bout d'un temps su�sant.Sur la �gure 2.3 le syst�eme d�ecrit des ellipses dans l'espace d'�etat. Toutes les trajec-toires convergent vers l'origine. 0 est attractif sans etre stable car toutes les trajec-toires du demi-plan gauche contournent le points (0; 1) ou (0;�1) avant de converger.1

-1Figure 2.3 : Syst�eme attractif mais instablePar contre le syst�eme _x = 0 est stable (tout point au voisinage de 0 reste dansle voisinage de 0) mais 0 n'est pas attractif (l'�etat ne converge pas vers 0, il resteimmobile).D�e�nition 11 : stabilit�e asymptotiqueUn point d'�equilibre xe est asymptotiquement stable s'il est stable et s'il existe� > 0 tel que jjx(0)� xejj < �) limt!+1 x(t) = xe.Interpr�etation:Un point d'�equilibre est stable asymptotiquement s'il est stable et attractif. Lastabilit�e asymptotique signi�e que non seulement l'�equilibre est stable mais que deplus on est capable de d�eterminer un voisinage du point d'�equilibre tel que n'importequelle trajectoire, issue d'un x0 appartenant �a un voisinage de xe, tend vers xe quandt! +1.D�e�nition 12 : stabilit�e exponentielleUn point d'�equilibre xe est exponentiellement stable s'il existe � > 0 et � > 0 telsque: 8t > 0 ; 9 Br(xe; r) ; 8 x0 2 Br ; jjx(t)� xejj � �jjx(0)� xejje��t

26 La notion de stabilit�eInterpr�etation:Cela signi�e que le vecteur d'�etat, pour une condition initiale x0 2 Br converge versxe plus rapidement qu'une fonction exponentielle. � est appel�e le taux de conver-gence. D'autre part, la stabilit�e exponentielle implique la stabilit�e asymptotique quiimplique la stabilit�e.D�e�nition 13 : stabilit�e globaleSi la propri�et�e de stabilit�e asymptotique, (exponentielle) est v�eri��ee quelque soit x(0),le point d'�equilibre est globalement asymptotiquement, (exponentiellement)stable.A d�efaut de pouvoir d�eterminer la stabilit�e asymptotique voire exponentielle globaleon se contentera de d�eterminer des voisinages du point d'�equilibre, les plus \grands"possibles, o�u ces propri�et�es sont garanties.II.3 Stabilit�e d'une trajectoire : : :Dans certains cas les syst�emes n'admettent pas de points d'�equilibre, ou alorsle point d'�equilibre n'est pas stable. Pour autant les trajectoires ne divergent pasforc�ement. Divers cas peuvent alors ce produire:- Le syst�eme admet un domaine stable: Il existe un domaine de conditions ini-tiales tel que toutes les trajectoires restent comprises �a l'int�erieur du domainestable.- Le syst�eme admet un domaine attractif: Il existe un domaine de conditionsinitiales tel que toutes les trajectoires sont comprises dans le domaine attractifau bout d'un certain temps.- Le syst�eme admet une trajectoire stable fe: Quelque soit � > 0 il existe � > 0tels que si kf(0)� fe(0)k < � alors pour tout t > 0, kf(t)� fe(t)k < �.- De la meme mani�ere on peut d�e�nir une trajectoire attractive.- La stabilit�e asymptotique et exponentielle (globale ou non) peuvent etre d�e�nies�egalement pour les domaines et les trajectoires.Jusqu'�a pr�esent on a d�e�nit la stabilit�e des syst�emes �a partir de la stabilit�e del'�etat d'�equilibre autour d'un point, dans un domaine, autour d'une trajectoire. Ilest �egalement possible de consid�erer la stabilit�e entr�ee/sortie.Soit le syst�eme: _x(t) = f(x(t); u(t))y(t) = g(x(t); u(t))o�u u est l'entr�ee du syst�eme et y la sortie. La stabilit�e entr�ee/sortie d'un pointd'�equilibre (ue; ye) se d�e�nit par:Quelque soit � > 0 il existe � > 0 et il existe un domaine de conditions initiales de

M�ethode directe de Lyapunov ou seconde m�ethode 27l'�etat du syst�eme tels que si ku(t) � uek < � pour tout t et que x(0) appartient audomaine de conditions initiales alors ky(t)� yek < � pour tout t.Il est a noter que la stabilit�e entr�ee/sortie est tr�es rarement utilis�ee. Il est ene�et primordial de conna�tre l'�evolution de tout l'�etat du syst�eme. Il n'est pas rareen e�et, pour des syst�emes non observable, que la sortie ait un comportement stableet que pour autant l'�etat du syst�eme diverge.Exemple:Soit le syst�eme: _x1 = �x1_x2 = x2y = x1Ce syst�eme �a une sortie qui converge vers 0 exponentiellement et l'�etat x2 qui divergeexponentiellement.II.4 M�ethode directe de Lyapunov ou seconde m�eth-odeII.4.1 Introduction par l'aspect �energ�etiqueLa philosophie de la m�ethode r�eside dans l'extension math�ematique d'une obser-vation fondamentale de la physique:"Si l'�energie totale d'un syst�eme est dissip�ee de mani�ere continue alors le syst�eme,(qu'il soit lin�eaire ou non lin�eaire), devra rejoindre �nalement un point d'�equilibre".On pourra donc conclure �a la stabilit�e d'un syst�eme par l'examen d'une seulefonction scalaire, ici l'�energie totale.MFigure 2.4 : Syst�eme masse-ressortExemple: le syst�eme masse-ressort-amortisseurEn appliquant le principe fondamental de la dynamique au centre de gravit�e de lamasse, on obtient:1- Equation du mouvement:m�x+ b _xj _xj+ k0x+ k1x3 = 0

28 La notion de stabilit�e2- Repr�esentation d'�etat:Posant ( x1 = xx2 = _x on obtient 8><>: _x1 = x2_x2 = � bmx2jx2j � k0mx1 � k1mx313- Point d'�equilibre: (0; 0).La question est de savoir si ce point d'�equilibre est stable. La masse est tir�ee loinde sa position d'�equilibre, (longueur naturelle du ressort), puis lach�ee. Reprendra-t-elle sa position d'�equilibre ?Etude de l'�energie m�ecanique totale:- Energie cin�etique: Ec = 12m _x2 = 12m _x22- Energie potentielle:Epot: = Z x0 (k0� + k1�3)d� = 12k0x21 + 14k1x41- Energie totale: Em = V (x) = 12k0x2 + 14k1x4 + 12m _x2Remarques:- Le point d'�energie m�ecanique nulle est le point d'�equilibre.- La stabilit�e asymptotique implique la convergence de l'�energie vers 0.- L'instabilit�e est li�ee �a la croissance de l'�energie m�ecanique.On peut donc supposer que:- L'�energie m�ecanique re �ete indirectement l'amplitude du vecteur d'�etat.- Les propri�et�es de stabilit�e peuvent etre caract�eris�ees par la variation de l'�energiem�ecanique au cours du temps.Etude de la variation:ddt [V (x(t))] = (m�x(t) + k0x(t) + k1x3(t)) _x(t) = �bj _x(t)j3 < 0L'�energie du syst�eme, �a partir d'une valeur initiale, est continument dissip�ee parl'amortisseur jusqu'au point d'�equilibre.La m�ethode directe de Lyapunov est fond�ee sur l'extension de ces concepts. Laproc�edure de base est de g�en�erer une fonction scalaire \de type �energie" pour lesyst�eme dynamique et d'en examiner la d�eriv�ee temporelle. On peut ainsi conclurequant �a la stabilit�e sans avoir recours �a la solution explicite des �equations di��eren-tielles non lin�eaires.

M�ethode directe de Lyapunov ou seconde m�ethode 29II.4.2 Th�eor�emes sur la stabilit�e et la stabilit�e asymptotiqueOn consid�ere la stabilit�e du point d'�equilibre 0 pour les syst�emes �etudi�es. Pourtout point d'�equilibre xe 6= 0, on pose le changement de variable x = x�xe et l'�etudede la stabilit�e est identique �a celle pour xe = 0.Th�eor�eme 1 : stabilit�e (asymptotique) localeSi il existe une fonction scalaire de l'�etat V (x) dont les d�eriv�ees partielles premi�eressont continues et telle que:1- V est une fonction candidate de Lyapunov.2- _V est localement semi-d�e�nie n�egative dans un voisinage de l'origine, .alors le point d'�equilibre 0 est stable et un domaine de conditions initiales stablesest d�elimit�e par n'importe quelle �equipotentielle de Lyapunov contenue dans .Si _V est localement d�e�nie n�egative dans , alors la stabilit�e est dite localementasymptotique dans la partie de l'espace d�elimit�e par n'importe quelle �equipoten-tielle de Lyapunov contenue dans .Remarque:Ce th�eor�eme permet �egalement de d�eterminer des domaines pour lesquels l'origineest un point d'�equilibre instable par rapport aux conditions initiales:L'ext�erieur de n'importe quel domaine d�elimit�e par une �equipotentielle de Lyapunovqui englobe le domaine o�u _V est semi-d�e�nie n�egative, est un domaine de conditionsinitiales pour lesquelles l'origine n'est pas (asymptotiquement) stable.Il est important de noter que entre les domaines de conditions initiales stables etinstables demeure une r�egion o�u la stabilit�e ne peut-etre d�etermin�ee. (voire �gure2.5).x1

x2

domaine de stabilite

domaine d’instabilite

V=Cste

V=Cste

dV/dt = 0

D: domaine ou (dV/dt < 0)Figure 2.5 : Seconde m�ethode de Lyapunov

30 La notion de stabilit�eExemple:Soit le syst�eme non lin�eaire autonome donn�e par ses �equations d'�etat:8><>: _x1 = x1(x21 + x22 � 2) � 4x1x22_x2 = x2(x21 + x22 � 2) + 4x2x21(0; 0) est un point d'�equilibre pour ce syst�eme. On choisit une fonction candidate deLyapunov V (x) = 1=2(x21 + x22), ce qui conduit �a calculer_V (x) = x1 _x1 + x2 _x2 = (x21 + x22)(x21 + x22 � 2)_V (x) est donc localement asymptotiquement stable dans la boule:Bp2 = n(x1; x2) j x21 + x22 < 2oC'est l'int�erieur de l'�equipotentielle V (x) = 4. De plus, le syst�eme est instable parrapport �a l'origine pour tout condition initiale �a l'ext�erieur du domaine d�elimit�e parV (x) = 4.Remarques:1- V est une fonction de Lyapunov pour le syst�eme.2- La condition pr�ec�edente est une condition su�sante; il faut donc choisir apriori une fonction candidate de Lyapunov, V (x). Si la condition 2 estv�eri��ee, la fonction V (x) est une fonction de Lyapunov et l'on peut conclure�a la stabilit�e sinon aucune conclusion ne peut etre donn�ee et il faut alorsrecommencer le processus avec une autre fonction candidate de Lyapunov.Th�eor�eme 2 : stabilit�e globale asymptotiqueS'il existe une fonction V telle que1- V est une fonction candidate de Lyapunov.2- _V est d�e�nie n�egative.3- La condition kxk �! +1 implique V (x) �! +1.alors 0 est un point d'�equilibre globalement asymptotiquement stable.Le probl�eme majeur de cette m�ethode est de trouver une fonction de Lyapunovpour le syst�eme en l'absence de guide clair. Dans le cas non lin�eaire, il n'existepas de m�ethode syst�ematique pour choisir une fonction de Lyapunov convenable,d'o�u l'utilisation de l'exp�erience, de l'intuition et de consid�erations physiques et dequelques m�ethodes partielles, (su�santes), dont nous pr�esenterons deux exemplesplus loin.

M�ethode directe de Lyapunov ou seconde m�ethode 31II.4.3 Application aux syst�emes lin�eaires invariantsEtant donn�e le syst�eme lin�eaire _x = Axon consid�ere une fonction candidate de Lyapunov quadratique, V (x) = x0Px, alors_V (x) = _x0Px+ x0P _x = �x0(A0P + PA)x = �x0QxTh�eor�eme 3 :Une condition n�ecessaire et su�sante pour qu'un syst�eme _x = Ax soit asympto-tiquement stable est que 8 Q = Q0 > 0, la matrice P , unique solution de l'�equationde Lyapunov qui suit, soit d�e�nie positive.A0P + PA+Q = 0Exemple:Soit le syst�eme lin�eaire autonome donn�e par sa matrice dynamique:A = " 0 4�8 �12 #En choisissant Q = 1, on trouveP = " 0:3125 0:06250:0625 0:0625 #II.4.4 D�emarche �a suivre pour �etudier la stabilit�ePour r�esumer cette section de chapitre voici la d�emarche �a suivre quand on �etudiela stabilit�e d'un syst�eme:1- Trouver les points d'�equilibre du syst�eme en r�esolvant f(x) = 0.2- Lin�eariser le syst�eme autour des points d'�equilibre pour �evaluer la stabil-it�e/instabilit�e des points d'�equilibre. (cette �etape est souvent appel�ee premi�erem�ethode de Lyapunov). Au voisinage d'un point d'�equilibre xe:_x = f(x) = A(x� xe) + o(x� xe)Si la matrice A est d�e�nie n�egative le syst�eme est localement asymptotique-ment stable autour de xe, mais aucun domaine de conditions initiales stablesne peut-etre d�etermin�e �a ce stade. Si A est semi-d�e�nie n�egative, on ne peutrien dire. Sinon le point d'�equilibre est instable.3- Choisir une fonction candidate de Lyapunov V et en posant le changement devariable x = x� xe �etudier les domaines de stabilit�e/instabilit�e, �a l'aide de laseconde m�ethode de Lyapunov.

32 La notion de stabilit�e4- Si les r�esultats ne sont pas concluants, choisir une autre fonction candidate deLyapunov et recommencer.Remarque:A est la matrice calcul�ee par approximation au premier ordre de la fonction f . C'estaussi la Jacobienne de f au point d'�equilibre xe:A = "@f@x# (xe)Le choix de la fonction de Lyapunov est explicit�e par la suite.II.5 Construction de fonctions de LyapunovDans le cas g�en�eral non lin�eaire, le principal inconv�enient de la m�ethode directede Lyapunov est de ne pas disposer de guide pour le choix de la fonction candidate.Nous proposons quelques fonctions de Lyapunov classiques et nous pr�esentons deuxm�ethodes qui permettent de r�epondre en partie �a ce probl�eme.II.5.1 Quelques exemples de fonctions de LyapunovFonction de Lyapunov quadratiqueSoit n'importe quelle matrice sym�etrique d�e�nie positive P , alors V (x) = x0Px estune fonction candidate de Lyapunov.Les �equipotentielles de Lyapunov sont des ellipso��des de demis axes d�e�nis par lesvaleurs propres et vecteurs propres de P .La d�eriv�ee le long des trajectoires de V s'�ecrit:_V (x) = x0Pf(x) + f 0(x)PxNorme du maxSoit la fonction V (x) = maxjxij. C'est �a dire que l'on prend la valeur absoluemaximale des coe�cients du vecteur x.Les �equipotentielles de Lyapunov sont des hypercubes de cot�es parall�eles aux axesde l'espace vectoriel.La d�eriv�ee le long des trajectoire s'�ecrit:V (x) = maxjxij = xim � signe(xim)_V (x) = fim(x) � signe(xim)Norme duale du maxSoit la fonction V (x) = P jxij. C'est �a dire que l'on prend la somme des valeursabsolues des coe�cients du vecteur x.Les �equipotentielles de Lyapunov sont des hypercubes de sommets plac�es sur les

Construction de fonctions de Lyapunov 33axes de l'espace vectoriel.La d�eriv�ee le long des trajectoires s'�ecrit:_V (x) =X fi(x) � signe(xi)Les �equipotentielles sont repr�esent�ees en dimension deux sur la �gure 2.6P=

0 11 0

5 -3-3 5P = 1/2

Norme du max

Norme dual du max

x1

x2

Figure 2.6 : �equipotentielles V (x) = 1II.5.2 M�ethode de KrasovskiiEtant donn�e un syst�eme non lin�eaire autonome _x = f(x) dont le point d'�equilibre�etudi�e est l'origine, la m�ethode de Krasovskii consiste �a proposer une fonction can-didate de Lyapunov de la forme V (x) = f 0(x)f(x) et de tester si cette fonction estune fonction de Lyapunov.Th�eor�eme 4 :Soit le syst�eme autonome _x = f(x) dont le point d'�equilibre �etudi�e est l'origine etsoit la matrice jacobienne du syst�eme:A(x) = "@f@x#Si la matrice F (x) d�e�nie par: F (x) = A(x) +A0(x)est d�e�nie n�egative dans un voisinage de l'origine alors l'origine est un pointd'�equilibre localement asymptotiquement stable. Une fonction de Lyapunov pour cesyst�eme est donn�ee par: V (x) = f 0(x)f(x)Si de plus, � Rn et limjjxjj!+1V (x) = +1 alors le point d'�equilibre est globalementasymptotiquement stable.

34 La notion de stabilit�eExemple: Soit le syst�eme: 8><>: _x1 = �6x1 + 2x2_x2 = 2x1 � 6x2 � 2x32(0; 0) est un point d'�equilibre pour ce syst�eme. On calcule la jacobienne.A(x) = " �6 22 �6� 6x22 #alors: F (x) = A(x) +A0(x) = " �12 44 �12� 12x22 # D1 = �12D2 = �128 � 12x22d'o�u F (x) est d�e�nie n�egative 8(x1; x2) 6= 0 et l'origine est localement asympto-tiquement stable. De plusV (x) = f 0(x)f(x) = (�6x1 + 2x2)2 + (2x1 � 6x2 � 2x32)2Visiblement, limjjxjj!+1 V (x) = +1 ce qui implique que l'origine est un point d'�equilibreglobalement asymptotiquement stable.Ce r�esultat de Krasovskii, tr�es simple �a utiliser, est toutefois rarement applicabledu fait de probl�emes tels que:- jacobienne non d�e�nie n�egative.- di�cult�e pour tester la d�e�nie n�egativit�e de F .Th�eor�eme 5 :Soit _x = f(x) dont le point d'�equilibre �etudi�e est l'origine et A(x) sa jacobienne. S'ilexiste deux matrices P = P 0 > 0; Q = Q0 > 0 telles que:F (x) = A0(x)P + PA(x) +Q < 0 x 2 alors l'origine est localement asymptotiquement stable. La fonction V (x) = f 0(x)Pf(x)est une fonction de Lyapunov pour le syst�eme. Si de plus � Rn et limjjxjj!+1 V (x) =+1 alors le syst�eme est globalement asymptotiquement stable.II.5.3 M�ethode du gradient variableCette m�ethode constitue une approche formelle permettant de construire desfonctions de Lyapunov.Une fonction scalaire est reli�ee �a son gradient par la relation int�egrale:V (x) = Z x0 rV d� o�u rV = 2664 @V@x1...@V@xn 3775

Construction de fonctions de Lyapunov 35A�n que la relation entre gradient et fonction scalaire soit biunivoque, la fonctiongradient doit satisfaire les r�egles crois�ees:@rVi@xj = @rVj@xi (i; j = 1; 2; � � � ; n)Principe de la m�ethode:On suppose donn�ee une forme sp�eci�que pour le gradient rV en lieu et place d'uneforme sp�eci�que pour la fonction candidate. G�en�eralement, on suppose:rVi = nXj=1 aijxjo�u les aij sont les coe�cients �a d�eterminer.Proc�edure:- rV est donn�ee par la forme pr�ec�edente.- R�esoudre les relations crois�ees pour aij.- Choisir les aij pour que _V soit d�e�nie n�egative.- Calculer V par int�egration �a partir de rV .- Tester si V > 0.Nota:Pour obtenir V , on int�egre:V (x) = Z x10 rV1(x1; 0 � � � 0)d�1 + � � � + Z xn0 rVn(x1; x2; � � �xn)d�nExemple:Soit: 8><>: _x1 = �2x1_x2 = �2x2 + 2x1x22On suppose que l'on a un gradient donn�e par:8><>: rV1 = a11x1 + a12x2rV2 = a21x1 + a22x2Les r�egles crois�ees sont;@V1@x2 = @V2@x1 = a12 + x2@a12@x2 = a21 + x1@a21@x1On peut choisir par exemple:8><>: a11 = a22 = 1 rV1 = x1a12 = a21 = 0 rV2 = x2

36 La notion de stabilit�ealors: _V (x1; x2) = �2x21 � 2x22 + 2x1x32 = �2x21 � 2x22(1� 2x1x2)soit: _V (x1; x2) � 0 pour 1 � 2x1x2 � 0d'o�u on calcule:V (x1; x2) = Z x10 x1dx1 + Z x20 x2dx2 = x21=2 + x22=2 > 0II.6 Stabilit�e absolueLes syst�emes que l'on �etudie ont la structure donn�ee part la �gure 2.7.G(p)

Φ(y)

-e

yFigure 2.7 : sch�ema-bloc associ�e �a la stabilit�e absolue- G(p) � [A;B;C; 0] est la fonction de transfert d'un syst�eme lin�eaire invariantstrictement propre.- �(y) est une non lin�earit�e statique.II.6.1 Probl�eme de Lur'eOn impose �a la non lin�earit�e de v�eri�er une condition de secteur.D�e�nition 14 :Une fonction continue � appartient au secteur [k1 k2] s'il existe deux r�eels nonn�egatifs k1 et k2 tels que: y 6= 0) k1 � �(y)y � k2Interpr�etation graphique:�(y) doit etre contenue dans le secteur k1y; k2y. (cf. �gure 2.8)Nota: La condition de secteur implique �(0) = 0 et y�(y) � 0.Hypoth�eses 1 :H1- A est une matrice stable.

Stabilit�e absolue 37yΦ( )

k1 y

k2 y

yFigure 2.8 : Secteur coniqueH2- La paire (A;B) est une paire commandable.H3- La paire (C;A) est une paire observable.H4- La non lin�earit�e �(y) v�eri�e la condition de secteur.D�e�nition 15 : probl�eme de Lur'eSous les hypoth�eses H1 - H4, le probl�eme de Lur'e consiste �a d�eterminer des condi-tions sur (A;B;C) assurant que le point d'�equilibre 0 est un point d'�equilibre asymp-totiquement stable pour ce syst�eme.Remarque:On ne se pr�eoccupe pas seulement de la propri�et�e de stabilit�e d'un syst�eme uniquemais de la stabilit�e d'un ensemble de syst�emes pour toutes les non lin�earit�es, d'o�ule terme de stabilit�e absolue.II.6.2 Deux conjecturesM. A. Aizermann, en 1949, �t la conjecture suivante pour r�esoudre le probl�emede Lur'e.Conjecture 1 : AizermannSi pour tout k 2 [k1 k2], la matrice A�BCk est stable alors le point d'�equilibre 0est globalement asymptotiquement stable pour le syst�eme non lin�eaire d�e�ni.De nombreux contre-exemples ont, par la suite, montr�e que cette conjecture estfausse. En 1957, Kalman a propos�e la conjecture suivante.Conjecture 2 : KalmanSi la fonction non lin�eaire v�eri�ek3 � @�(y)@y � k4et que la matrice A� BCk est stable 8 k 2 [k3 k4], alors le syst�eme non lin�eaireest globalement asymptotiquement stable.Conjecture plus forte que celle d'Aizermann, la conjecture de Kalman n'en restepas moins fausse.

38 La notion de stabilit�eII.6.3 Crit�ere de PopovA�n de r�esoudre le probl�eme de Lur'e, le crit�ere de Popov renforce les conditionset hypoth�eses sur le syst�eme lin�eaire, conduisant �a une condition su�sante qui estd�eduite de celle, n�ecessaire et su�sante, du crit�ere de Nyquist.Hypoth�eses 2 :- � 2 [0 k].- A est une matrice asymptotiquement stable.Th�eor�eme 6 :S'il existe � > 0 tel que: (in�egalit�e de Popov)8 ! � 0 Re[(1 + j�!)G(j!)] + 1=k > 0alors 0 est globalement asymptotiquement stable.Interpr�etation g�eom�etrique:R�e�ecrivons l'in�egalit�e de Popov avec G(j!) = G1(j!) + jG2(j!)8 ! � 0 Re[1 + j�!)G(j!)] + 1=k > 0est �equivalent �a: 8 ! � 0 G1(j!)� �!G2(j!) + 1=k > 0Si l'on d�e�nit le point M d'a�xe (G1(j!); !G2(j!)) alors on appelle le trac�ede Popov de G le trac�e dans le plan complexe des points M pour ! � 0.Graphiquement, le crit�ere de Popov signi�e que le trac�e de Popov de la fonction detransfert G(p) doit etre �a droite de la droite d�e�nie par l'�equation:x� �y + 1=k = 0Voir �gure 2.9.1/α k

pente1/α

Im(G(jω))ω

Re(G(j

-1/k

ω))

Lieu de PopovFigure 2.9 : Trac�e de Popov

Stabilit�e absolue 39Exemple num�erique: G(p) = p + 3p2 + 7p + 10 0 � �(y) � kyLe syst�eme lin�eaire est strictement stable, commandable et observable, (pas de sim-pli�cation poles - z�eros).G(j!) = 3 + j!10 � !2 + 7j! = 30 + 4!2 � j!(11 + !2)(10� !2)2 + 49!2d'o�u G1(j!) = 30+4!2(10�!2)2+49!2!G2(j!) = �!2(11+!2)(10�!2)2+49!2Im(G(jω))ω

1/αpente

Re(G(jω))

3/10-1/kFigure 2.10 : Trac�e de PopovDans le cas pr�esent, on peut prendre n'importe quel r�eel � > 0 tel que la droitex� �y + 1=k = 0 soit en dessus du trac�e de Popov de G(j!) Voir �gure 2.10.II.6.4 Crit�ere du cercleLe crit�ere du cercle est une g�en�eralisation directe du crit�ere de Nyquist en vuede la r�esolution du probl�eme de Lur'e.Hypoth�eses 3 :H1- La matrice A n'a pas de valeur propre sur l'axe imaginaire et a � valeurspropres instables.H2- �(y) v�eri�e la condition de secteur dans [k1 k2].Th�eor�eme 7 :Si le syst�eme non lin�eaire v�eri�e l'une des conditions suivantes:- 0 < k1 � k2Le trac�e du lieu de Nyquist de G(j!) n'entre pas dans le disque D(k1; k2) etl'encercle � fois dans le sens trigonom�etrique.

40 La notion de stabilit�e- 0 = k1 < k2Le trac�e du lieu de Nyquist de G(j!) reste dans le demi-plan d�e�ni par Re(p) >�1=k2.- k1 < 0 < k2Le trac�e du lieu de Nyquist de G(j!) reste �a l'int�erieur du disque D(k1; k2).- k1 < k2 < 0Le trac�e du lieu de Nyquist de �G(j!) n'entre pas dans le disque D(�k1;�k2)et l'entoure � fois dans le sens trigonom�etrique.alors 0 est un point d'�equilibre asymptotiquement stable pour le syst�eme.D(k , k )1 2

-1/k 1 2-1/k

Im(G(jω))

Re(G(jω))Figure 2.11 : crit�ere du cercleExemple num�erique:Soit l'�equation amortie de Mathieu:�y + 2� _y + (�2 + a2 � qcos(!0t))y = 0En posant x1 = y; x2 = _y, on obtient:8><>: _x1 = x2_x2 = �(�2 + a2)x1 � 2�x2 + qcos(!0t)ysoit A = " 0 1�(�2 + a2) �2� # B = " 01 # C = [1 0]�(y) = qcos(!0t)y � q � �(y)y � qG(p) = 1p2 + 2�p + �2 + a2d'o�u l'on obtient le trac�e de la �gure 2.12Dans cet exemple, nous sommes dans le cas 3 et le cercle est centr�e en 0 et apour rayon 1=q. De plus,G(�!) = 1�2 + a2 � !2 + 2j�! = �2 + a2 � !2 � 2j�!(�2 + a2 � !2)2 + 4�2!2

Stabilit�e absolue 41−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Real Axis

Imag

Axi

s

q=5 − mu=1 − a=1

Figure 2.12 : Lieu de Nyquistsoit Re[G(j!)] = �2+a2�!2(�2+a2�!2)2+4�2!2Im[G(j!)] = �2�!(�2+a2�!2)2+4�2!2Le module atteint son maximum pour ! = �pa2 � �2; jGjmax = 12�a . Pour quele point d'�equilibre soit stable, il su�t donc que 12�a < 1q , d'o�u la condition su�santede stabilit�e asymptotique globale. q < 2�a

42 La notion de stabilit�e

Chapitre IIIAnalyse des S.N.L. du second ordre -m�ethode du plan de phaseIII.1 Introduction et d�e�nitions g�en�eralesLa m�ethode du plan de phase a �et�e une des premi�eres techniques utilis�ee pourl'�etude des solutions des �equations di��erentielles non lin�eaires. Son principal incon-v�enient est qu'elle ne peut etre appliqu�ee qu'�a des �equations du second ordre. Deplus, �etant une m�ethode graphique, elle peut etre parfois fastidieuse, particuli�ere-ment pour les �equations comportant des non lin�earit�es polynomiales. Toutefois, uneinterpr�etation graphique est toujours souhaitable a�n de mieux comprendre le com-portement d'un syst�eme.Cette m�ethode graphique pour l'�etude des syst�emes du second ordre fut intro-duite par H. Poincarr�e. L'id�ee de base est de g�en�erer dans l'espace d'�etat d'un sys-t�eme dynamique du second ordre, (plan de phase), les trajectoires du mouvement,(solutions des �equations non lin�eaires), correspondant �a des conditions initiales var-i�ees, et d'en examiner alors les caract�eristiques qualitatives.On consid�ere des syst�emes du second ordre, c'est �a dire r�egis par une �equationdi��erentielle du second ordre. f(�x; _x; x; t) = 0On peut associer �a cette �equation di��erentielle une repr�esentation d'�etat d'ordre 2.( _x1 = f1(x1; x2)_x2 = f2(x1; x2) x0 = " x1(0)x2(0) #L'espace d'�etat ainsi d�e�ni est un plan puisque de dimension 2. L'id�ee de baseest alors de choisir une repr�esentation d'�etat particuli�ere, (x1; x2) = (x; _x), d'enrepr�esenter la solution dans le plan (x; _x) appel�e plan de phase et d'en �etudier lespropri�et�es qualitativement.Int�erets:- Il est inutile de r�esoudre analytiquement les �equations di��erentielles non lin�eairespuisque l'on dispose de m�ethodes de construction pratique.43

44 Analyse des S.N.L. du second ordre - m�ethode du plan de phase- Il n'y a pas de restriction sur la "nature" de la non lin�earit�e.- On dispose d'interpr�etations g�eom�etriques simples de concepts tels que : cycleslimites, stabilit�e...Inconv�enient:On doit se restreindre �a la classe des syst�emes non lin�eaires du deuxi�eme ordre.Vocabulaire:Un syst�eme du second ordre autonome peut etre repr�esent�e par le syst�eme de deux�equations di��erentielles scalaires:8><>: _x1 = f1(x1; x2)_x2 = f2(x1; x2)o�u (x1; x2) sont les variables de phase ou d'�etat. f1; f2 sont des fonctions nonlin�eaires quelconques. Le plan de coordonn�ees (x1; x2) est appel�e le plan de phase.Pour x(0) = x0 = (x1(0) x2(0)), une condition initiale donn�ee, cette �equation dif-f�erentielle d�e�nit une solution x(t). Quand t varie de 0 �a l'in�ni, la solution x(t) peutetre repr�esent�ee par une courbe param�etr�ee par t dans le plan de phase. L'ensembledes trajectoires de phase pour di��erentes conditions initiales est le portrait dephase.Exemple:Soit l'�equation di��erentielle mod�elisant le mouvement d'un ressort de raideur 1 etde masse 1: �x(t) + x(t) = 0A partir d'une position initiale x0, l'�evolution de la position et de la vitesse estdonn�ee par les �equations param�etriques:8><>: x(t) = x0cos(t)_x(t) = �x0sin(t)ce qui conduit �a une �equation de la trajectoire dans le plan (x; _x),dx/dt

xFigure 3.1 : Trajectoires dans le plan de phasex2 + _x2 = x20qui est l'�equation d'un cercle d�ependant de la condition initiale x0, voir �gure 3.1.

Construction pratique des trajectoires de phase 45III.2 Construction pratique des trajectoires de phaseUne �gure approximative du portrait de phase peut etre donn�ee en tra�cant destrajectoires �a partir d'un grand nombre de conditions initiales di��erentes.Il existe de nombreuses m�ethodes de construction des trajectoires de phase pour lessyst�emes lin�eaires ou non lin�eaires.- M�ethode analytique.- M�ethode des isoclines.- M�ethode delta.- M�ethode de Li�enard.- M�ethode de Pell.Disposant d�esormais de moyens de calculs informatiques performants et e�caces,les m�ethodes graphiques permettent d'obtenir de tr�es bons r�esultats. Du fait de leursimplicit�e, nous n'�etudierons que les deux premi�eres:- La m�ethode analytique utilise la solution analytique des �equations di��eren-tielles d�ecrivant le syst�eme. C'est donc une m�ethode d'utilisation limit�ee.- La m�ethode des isoclines est une m�ethode purement graphique qui est un boncompl�ement de la pr�ec�edente pour les syst�emes pour lesquels on ne disposepas d'une solution analytique.III.2.1 La m�ethode analytiqueIl existe deux techniques pour g�en�erer analytiquement les trajectoires de phase.Toutes deux conduisent �a une relation fonctionnelle entre les variables de phase(x1; x2) du type: g(x1; x2; c) = 0Premi�ere technique: A partir des �equations d'�etat:8><>: _x1 = f1(x1; x2)_x2 = f2(x1; x2)on obtient les solutions pour les variables de phase sous forme de courbes param�etr�ees:8><>: x1 = g1(t)x2 = g2(t)desquelles on �elimine la variable temps pour obtenir l'�equation de la trajectoire dansle plan de phase g(x1; x2; c) = 0.

46 Analyse des S.N.L. du second ordre - m�ethode du plan de phaseDeuxi�eme technique: On �elimine directement le temps en posant:dx2dx1 = f2(x1; x2)f1(x1; x2)puis l'on r�esoud cette �equation di��erentielle, quand elle est �a variables s�eparables,pour obtenir la relation fonctionnelle g(x1; x2; c) = 0.Nota:Cette technique est �evidemment limit�ee par le type de non lin�earit�e rencontr�ee.Toutefois, elle est particuli�erement utilis�ee pour les syst�emes lin�eaires par morceaux.Exemple: syst�eme masse-ressort pr�ec�edent.III.2.2 La m�ethode des isoclinesL'id�ee principale r�eside dans le mot isocline.D�e�nition 16 :Une isocline est une courbe dans le plan de phase d�e�nie comme le lieu des pointsdes trajectoires de phase de pente � donn�ee.s(x1; x2) = s(x) = � = dx2dx1 = f2(x1; x2)f1(x1; x2)On remarque en e�et que la tangente �a la trajectoire passant par le point (x1; x2)a pour pente: dx2dx1 = f2(x1; x2)f1(x1; x2)L'�equation s(x) = � d�e�nit la courbe isocline dans le plan (x1; x2), le long delaquelle les tangentes �a la trajectoire de phase ont une pente �. La proc�edure consiste�a tracer la courbe isocline dans le plan de phase et �a tracer le long de cette courbe, decourts segments de droite de pente �. Ces segments sont parall�eles et leur directionest d�etermin�ee par le signe de f1(x); f2(x) au point x. On r�ep�ete ensuite la proc�edurepour di��erentes valeurs de la constante �.Une fois le plan de phase rempli d'isoclines, �a partir d'un point initial donn�e x0,on construit la trajectoire partant de x0 et reliant les segments entre eux.Exemple:Soit le syst�eme non lin�eaire donn�e par:8><>: _x1 = x2_x2 = �sin(x1) alors s(x) = �sin(x1)x2 = �d'o�u l'on peut d�eduire que les isoclines sont d�e�nies par les sinusoides param�etr�ees:x2 = � 1�sin(x1)Nota:Pour utiliser la m�ethode des isoclines, il est n�ecessaire que l'�echelle en x1 et en x2soit la meme.

Comportement qualitatif: �etude des points singuliers 47III.3 Comportement qualitatif: �etude des pointssinguliersIII.3.1 D�e�nitionUn point singulier est un point d'�equilibre dans le plan de phase encore appel�epoint stationnaire. Un point d'�equilibre est d�e�ni par _x1 = _x2 = 0. On obtient doncles points d'�equilibre en r�esolvant les �equations non lin�eaires alg�ebriques:8><>: f1(x1; x2) = 0f2(x1; x2) = 0Les points d'�equilibre d'un syst�eme du second ordre sont appel�es points sin-guliers, du fait que si l'on d�esire calculer la pente en tout point de la trajectoire dephase, celle-ci est donn�ee par: dx2dx1 = f2(x1; x2)f1(x1; x2)En un point d'�equilibre, cette pente n'est donc pas d�e�nie et plusieurs trajectoirespeuvent se croiser en un meme point.Exemple:Soit le syst�eme gouvern�e par l'�equation di��erentielle:�x+ 0:6 _x+ 3x+ x2 = 0que l'on peut r�e�ecrire sous forme d'�equations d'�etat:8><>: _x1 = x2_x2 = �0:6x2 � x1(x1 + 3)Les points singuliers sont obtenus par la r�esolution des �equations:8><>: x2 = 0�0:6x2 � x1(x1 + 3) = 0soit les deux points (0; 0) et (�3; 0).III.3.2 Cas des syst�emes lin�eairesUn syst�eme lin�eaire autonome s'�ecrit8><>: _x1(t) = ax1(t) + bx2(t)_x2(t) = cx1(t) + dx2(t) soit _x = Ax avec A = a bc d !

48 Analyse des S.N.L. du second ordre - m�ethode du plan de phaseet poss�ede un point d'�equilibre unique, x = 0, l'origine du plan de phase. La solutionde l'�equation _x = Ax pour une condition initiale donn�ee par x0 s'�ecrit:x(t) =MeJr tM�1x0o�u Jr est la forme de Jordan r�eelle de A etM est la matrice non singuli�ere de passagev�eri�ant:M�1AM = Jr. Suivant la nature des valeurs propres de A, Jr peut prendredi��erentes formes.Premier cas: Forme diagonaleJr =M�1AM = �1 00 �2 !Pour z =Mx alors: 8><>: z1(t) = e�1tz10z2(t) = e�2tz20Eliminant le temps entre les deux �equations, on obtient l'�equation de la courbe dansle plan de phase: z2(t) = z20z�2=�110 z�2=�11 (t)La forme des courbes de phases obtenues va ainsi d�ependre du signe respectif desvaleurs propres �1 et �2.1- �1; �2 de meme signe, (> 0 ou < 0).Le point d'�equilibre est un noeud stable ou instable.2- �1; �2 de signe oppos�e.Le point d'�equilibre est un point selle.Deuxi�eme cas: Forme de JordanJr =M�1AM = � 10 � !8><>: z1(t) = z10e�t + z20te�tz2(t) = z20e�tL'�equation de la trajectoire est alors:z1(t) = z2(t) "z10z20 + 1�ln z2(t)z20 !#Le point d'�equilibre est un noeud stable ou instable.

Comportement qualitatif: �etude des points singuliers 49Troisi�eme cas: Forme complexe conjugu�eeJr =M�1AM = � ��� � !En coordonn�ees polaires, r(t) = qz21(t) + z22(t); �(t) = arctg h z2(t)z1(t)i, l'�equation de latrajectoire est donn�ee par: 8><>: r(t) = r0e�t�(t) = �0 + �tce qui d�e�nit une spirale logarithmique.Le point d'�equilibre est un foyer stable ou instable.Cas particulier: � = 0La matrice A a des valeurs propres sur l'axe imaginaire. Dans ce cas, (0; 0) n'estpas un point d'�equilibre hyperbolique. Cela signi�e que la nature du point d'�equilibreest tr�es sensible �a des perturbations dans les �el�ements de la matrice A.Le point d'�equilibre est un centre.Nota:Les caract�eristiques en stabilit�e des syst�emes lin�eaires sont d�etermin�ees uniquementpar la nature des points singuliers, ce qui est di��erent du cas non lin�eaire.III.3.3 Cas non lin�eaire - Comportement localEn examinant le portrait de phase du syst�eme non lin�eaire donn�e comme ex-emple �a la section III.3.1, on peut constater que dans le voisinage des deux pointsd'�equilibre, le comportement du syst�eme s'identi�e �a celui d'un syst�eme lin�eaire,foyer stable pour (0; 0) et point selle pour (�3; 0). Ces observations faites dans uncas particulier peuvent etre g�en�eralis�ees et le comportement qualitatif d'un syst�emenon lin�eaire au voisinage d'un point d'�equilibre peut etre d�etermin�e par lin�earisationautour de ce point. Ces r�esultats sont donc valides localement.Principe de la m�ethode :Soit Xe � (�; �) point d'�equilibre d'un syst�eme non lin�eaire donn�e par:8><>: _x1 = f1(x1; x2)_x2 = f2(x1; x2)La proc�edure se d�ecompose en trois �etapes:- Changement de coordonn�ees:8><>: X1 = x1 � �X2 = x2 � � ) 8><>: _X1 = F1(X1;X2)_X2 = F2(X1;X2)

50 Analyse des S.N.L. du second ordre - m�ethode du plan de phase- Lin�earisation: _X = AXo�u A = 0BBB@ @F1(X1;X2)@X1 j0 @F1(X1;X2)@X2 j0@F2(X1;X2)@X1 j0 @F2(X1;X2)@X2 j0 1CCCAest la matrice Jacobienne de f(x) = f1(x)f2(x) ! �evalu�ee au point �� !.- Etude des propri�et�es du point singulier 0 pour le syst�eme lin�earis�e.Conclusions:Si le point (0; 0) est un noeud stable, (resp. instable), un foyer stable, (resp.instable), ou un point selle pour le syst�eme lin�earis�e, alors dans un voisinage dupoint d'�equilibre (�; �), les trajectoires de phase du syst�eme non lin�eaire se com-porteront comme celles associ�ees �a un noeud stable, (resp. instable), un foyer stable,(resp. instable), ou un point selle. Nous quali�erons de mani�ere identique les pointsd'�equilibre pour le syst�eme lin�earis�e et pour le syst�eme non lin�eaire.Exemple: Equation d'un pendule avec friction8><>: _x1 = x2_x2 = �gl sin(x1) � kmx2 k=m = 1=2 g=l = 1qui poss�ede deux points d'�equilibre (0; 0); (�; 0). La matrice Jacobienne associ�ee estdonn�ee par: A = 0 1�cos(x1) �0:5 !Evalu�ee aux deux points d'�equilibre, on obtient les deux matrices Jacobiennes:A1 = 0 1�1 �0:5 !avec les valeurs propres �0:25 � j0:97 etA2 = 0 11 �0:5 !avec les valeurs propres �1:28; 0:78. Ainsi, le point d'�equilibre (0; 0) est un foyerstable et (�; 0) un point selle.Cas critique de Lyapunov:Dans ce qui pr�ec�ede, nous n'avons pas envisag�e le cas o�u le syst�eme lin�earis�e pos-s�ede au moins une valeur propre sur l'axe imaginaire. Dans ce cas, le comportementdu syst�eme lin�earis�e et le comportement local du syst�eme non lin�eaire peuvent etretr�es di��erents. C'est un cas critique de Lyapunov.

Comportement qualitatif: �etude des points singuliers 51Exemple: Soit le syst�eme donn�e par:8><>: _x1 = �x2 � �x1(x21 + x22)_x2 = x1 � �x2(x21 + x22)qui a un point d'�equilibre en 0. Le syst�eme lin�earis�e �a l'origine a les valeurs propres�j. C'est donc un centre. Si l'on repr�esente le syst�eme en coordonn�ees polaires:8><>: x1 = rcos(�)x2 = rsin(�)on peut r�e�ecrire les �equations pr�ec�edentes sous la forme:8><>: _r = ��r3_� = 1donc pour � > 0, le point d'�equilibre sera un foyer stable et instable pour � < 0.III.3.4 Les cycles limitesNous avons vu �a travers l'exemple lin�eaire de la section III.1, un exemple demouvement oscillatoire: 8><>: x1(t) = x0cos(t)x2(t) = �x0sin(t)L'origine du plan de phase est donc un centre. Le syst�eme est oscillant d'amplitudex0. C'est un oscillateur harmonique. Les trajectoires de phase sont des courbesferm�ees. Toutefois, des changements in�nit�esimaux dans les param�etres du syst�emeannuleraient ces oscillations. L'oscillateur n'est pas structurellement stable. Enfait, il est impossible de construire un oscillateur harmonique du fait de l'in�evitabledissipation d'�energie. Meme dans le cas o�u ce probl�eme serait �evit�e, on constateque l'amplitude des oscillations, dans le cas de l'oscillateur harmonique, d�epend dela condition initiale. Ceci n'est pas le cas en ce qui concerne les oscillateurs nonlin�eaires. Il est en e�et possible de construire physiquement des oscillateurs nonlin�eaires tels que:- l'oscillateur non lin�eaire soit structurellement stable,- l'amplitude de l'oscillation est ind�ependante de la condition initiale.On dit alors que le syst�eme non lin�eaire poss�ede un cycle limite.D�e�nition 17 :Un cycle limite est d�e�ni comme une courbe ferm�ee unique dans le plan de phase.Elle re �ete la p�eriodicit�e du mouvement et son caract�ere oscillatoire.

52 Analyse des S.N.L. du second ordre - m�ethode du plan de phaseExemple: Oscillateur de Van der PolLes �equations d'�etat de l'oscillateur de Van der Pol sont:8><>: _x1(t) = �x2(t)_x2(t) = �x1(t) + �(1� x21(t))x2(t)dont le portrait de phase est donn�e �gure 1.2 pour � = 1. Le comportement estdi��erent de celui de l'oscillateur harmonique pour lequel il y avait un ensemblecontinu de courbes ferm�ees variant pour x0.Il existe trois types de cycles limites: stable, instable, et semi-stable.III.4 ApplicationIII.4.1 Asservissement �a relaisSoit l'asservissement non lin�eaire de la �gure 3.2.+ s

-N.L. L(p)

e ε wFigure 3.2 : Asservissement de positionLes caract�eristiques de cet asservissement non lin�eaire sont donn�ees par:L(p) = kp(1 + Tp) w =MF (�)o�u F (�) est une fonction non lin�eaire de l'�ecart.On peut associer �a la partie lin�eaire L(p), l'�equation di��erentielle suivante:T d2s(t)dt2 + ds(t)dt = kMF (�)o�u l'on consid�ere F (�) = Sign(�) = �1 = �. On peut donc �ecrire:d2s(t)dt2 + 1T ds(t)dt = kMT F (�)Recherche d'une repr�esentation d'�etat:On pose t = t=T et l'on choisit comme variables d'�etat:8><>: x1 = skMTx2 = _x1 = dx1dt

Application 53ce qui permet d'�ecrire:dx1dt = 1kMT dsdt = 1kMT dsdt dtdt = 1kM dsdtdsdt = kM dx1dtD'autre part: d2sdt2 = kM ddt dx1dt ! = kMT d2x1dt2donc d2x1dt2 + dx1dt = F (�kMTx1)soit la repr�esentation d'�etat:8>><>>: _x1 = x2 x1(0) = s(0)kMT_x2 = �x2 + F (�kMTx1)| {z }�=�1 x2(0) = 1kMT ds(0)dtEquations de la trajectoire:La deuxi�eme �equation d'�etat est une �equation di��erentielle du premier ordre quel'on peut int�egrer par la m�ethode de la variation de la constante.x2(t) = x20e�t + �(1� e�t)D'autre part _x1 = x2 etx1 � x10 = Z t0 x2(� )d� = Z t0 [x20e�� + �(1 � e��)]d�d'o�u: x1(t) = x10 + �t+ (x20 � �)(1 � e�t)Equations param�etriques de la trajectoire:8><>: x1 = x10 + �t+ (x20 � �)(1 � e�t)x2 = x20e�t + �(1 � e�t)A�n de d�eterminer l'�equation de la trajectoire, on �elimine le temps entre les deux�equations: x1(t) + x2(t) = x10 + x20 + �tet t = ln " x20 � �x2(t)� �#

54 Analyse des S.N.L. du second ordre - m�ethode du plan de phaseEquation de la trajectoire:x1(t) + x2(t) = x10 + x20 + �ln h x20��x2(t)��iNota: L'�equation de la tangente est donn�ee par:dx2(t)dx1(t) = �x2(t) + �x2(t) �! +1 quand x2(t)! 0On aura toujours une tangente verticale �a l'intersection de l'axe ox.Suivant la valeur de �; (�1; 0; 1), l'�equation de la trajectoire sera di��erente; �a chaquechangement de �, on aura une commutation de trajectoire.III.4.2 Asservissement �a relais avec contre-r�eaction tachym�etriqueLe syst�eme asservi est d�ecrit par le sch�ema fe la �gure 3.3.βTp

NL kp(1+Tp)

- -

++ εe sw

Figure 3.3 : Asservissement �a contre r�eaction tachym�etriqueDans cet asservissement, on suppose que la partie non lin�eaire comporte un�el�ement hyst�er�esis, (h) ou une zone morte, (h).Les �equations li�ees au sch�ema sont donn�ees par:8>>>>>><>>>>>>: T d2sd�t2 + dsd�t = kw = kMF (�)w =MF (�)� = �(T� dsd�t + s)En posant des variables d'�etat r�eduites: t = �tT8><>: x1 = skMTx2 = _x1 = dx1dton obtient le mod�ele d'�etat:( _x1 = x2_x2 = �x2 + � � = �1

Application 55Equation de la trajectoire:x1(t) + x2(t) = x10 + x20 + �ln " x20 � �x2(t)� �#Commutation:Il y a deux droites de commutation d�e�nies par:8><>: �h=2 = �kMT (�x2+ x1)h=2 = �kMT (�x2 + x1 , 8><>: x2 = �1=�x1 + h2�kMTx2 = �1=�x1 � h2�kMTE�et qualitatif:L'introduction d'une contre-r�eaction tachym�etrique entraine l'inclinaison des droitesde commutation, donc une avance de la commutation. Cela implique donc la diminu-tion de l'amplitude des auto-oscillations quand elles existent.III.4.2.1 R�egime glissantDans cette section, nous aborderons de mani�ere extr�emement simpli��ee le prob-l�eme du r�egime glissant. Ce paragraphe a pour principal but d'etre une introductionsimpli��ee �a la commande �a structure variable pr�esent�ee dans un prochain chapitre.On consid�ere toujours le meme asservissement, ce qui implique la pr�esence dedeux droites de commutation espac�ees de h. On diminue la pente des droites decommutation, donc on augmente le coe�cient de la contre-r�eaction tachym�etrique,�, jusqu'�a ce que la pente de la tangente �a la trajectoire apr�es commutation soitsup�erieure �a la pente de la droite de commutation.1=� < jPcjo�u Pc est la pente de la tangente �a la trajectoire de phase apr�es commutation, aupoint de commutation, Mc. Dans ce cas, la trajectoire ne traverse pas la droite decommutation mais se r�e �echit dessus. Il y a r�e exion de la trajectoire de phase surla droite de commutation (c.f. �gure 3.4).Cela conduit �a une suite de r�e exions (�gure 3.5) entre les droites de commuta-tion, (r�efraction). Le syst�eme est alors en r�egime glissant.Condition de r�egime glissant:Dans notre cas, Pc est la pente de la tangente �a la trajectoire au point de com-mutation Mc, apr�es commutation. jPcj = 1�R�egime glissant limite:Si l'on fait tendre la distance entre les deux droites de commutation vers 0,h ! 0, ce qui correspond �a faire tendre le relais vers un relais ideal, sans seuil ni

56 Analyse des S.N.L. du second ordre - m�ethode du plan de phasex

x.

h

Mc

Figure 3.4 : Condition de r�egime glissantTrajectoire

Droites de commutation

Figure 3.5 : Suite de r�e exionshyst�er�esis, la fr�equence des commutations tend vers l'in�ni et le point glisse sur ladroite de commutation x1 + �x2 = 0. Nous sommes en r�egime glissant limite.Pendant ce r�egime, l'�equation du mouvement est:� _x1 + x1 = 0 soit x1(t) = x10e�t=�Cela implique donc que le syst�eme a une dynamique �x�ee par les caract�eristiquesdu r�egime glissant.III.4.2.2 R�egime optimalLe syst�eme doit mettre le temps minimum pour aller de la condition initiale aupoint d'�equilibre, l'origine, soit apr�es seulement une commutation, (cf. �gure 3.6).Il faut donc d�eterminer le coe�cient de la contre-r�eaction tachym�etrique � et lescoordonn�ees du point de commutation (x1c; x2c) a�n de r�ealiser cet objectif.

Application 57cM

x.

xFigure 3.6 : Commande optimaleLa trajectoire avant commutation est donn�ee par:x1c(t) + x2c(t) = x10 + x20 + �ln " x20 � �x2c(t)� �#et apr�es commutation:0 + 0 = x1c(t) + x2c(t) + �ln "x2c(t)� �� #De plus l'�equation de la droite de commutation est:x2c(t) = �1=�x1c(t)� h2kMT�On dispose de trois �equations pour trois inconnues.III.4.3 ExemplesDans cette section, deux exemples sont trait�es a�n d'illustrer les notions pr�ec�e-dentes.III.4.4 Asservissement avec relais et hyst�er�esisNous consid�erons, dans un premier temps, l'asservissement de la �gure 3.2 Lesparam�etres d�e�nissant le syst�eme sont donn�es par:8><>: k = 1 M = 1T = 1 h = 0:2x10 = �1 x20 = 0

58 Analyse des S.N.L. du second ordre - m�ethode du plan de phaseε

w

h/2

-M

-h/2

+M

Figure 3.7 : Hyst�er�esisL'�el�ement non lin�eaire est un cycle d'hyst�er�esis repr�esent�e en �gure 3.7 dontles param�etres sont donn�es ci-dessus. La mod�elisation usuelle conduit �a d�e�nir lemod�ele d'�etat suivant ainsi que l'�equation de la trajectoire.Equations d'�etat: ( _x1(t) = x2(t)_x2(t) = �x2(t) + �Equation de la trajectoire:x1(t) + x2(t) = x10 + x20 + �ln " x20 � �x2(t)� �#Les droites de commutation sont d�etermin�ees �a partir du cycle d'hyst�er�esis et dansce cas particulier sont verticales et d�e�nis comme suit.Equations des droites de commutation:( x1(t) = h=2 = 0:1x1(t) = �h=2 = �0:1Avec les conditions initiales donn�ees plus haut, une simulation des trajectoires dansle plan de phase conduit �a la �gure 3.8.L'analyse des di��erentes portions de trajectoires de la �gure 3.8 peut etre men�eesimplement �a partir des �equations et des donn�ees pr�ec�edentes.Premi�ere trajectoire:Partant de la condition initiale x10 = �1, soit �0 = �x10 = 1, la premi�ereportion de trajectoire est d�e�nie par � = 1 sur le cycle d'hyst�er�esis. L'�equation de latrajectoire jusqu'�a la premi�ere commutation pour x1c = 0:1; (� = �0:1), est donn�eepar: x1(t) + x2(t) = �1 + ln " �1x2(t)� 1#

Application 59−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x1

x2

Plan de phase

hFigure 3.8 : Plan de phase sans contre r�eaction tachym�etriqueDeuxi�eme trajectoire:Les conditions initiales de cette deuxi�eme trajectoire sont calcul�ees �a partir dela premi�ere et correspondent �a son point terminal. Cela donne donc x1c = 0:1 etx2c = 0:85 o�u x2c est calcul�e �a partir dex2c + x1c = �1 + ln � �1x2c � 1�Du fait de la commutation de la commande � = �1, l'�equation de cette deuxi�emeportion s'�ecrit alors:x1(t) + x2(t) = x1c + x2c � ln " x2c + 1x2(t) + 1# = 0:95� ln " 1:85x2(t) + 1#Cette analyse peut etre ainsi poursuivie et conduit �a montrer que le syst�emeadmet un cycle limite repr�esent�e en �gure 3.8 par l'unique courbe ferm�ee dans leplan de phase. Cette analyse est con�rm�ee par celle que l'on pourrait faire par lam�ethode du premier harmonique (voir chapitre 5 et la �gure 3.9).−1.4 −1.2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0

−1.6

−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

Partie reelle

Par

tie im

agin

aire

Plan de Nyquist

G(jω)

−1/N(x1)

Figure 3.9 : Plan de Nyquist: crit�ere de Loeb

60 Analyse des S.N.L. du second ordre - m�ethode du plan de phaseDans cette deuxi�eme partie, nous reprenons l'asservissement de la �gure 3.3 avecune contre-r�eaction tachym�etique de gain �. Les �equations des droites de commuta-tion deviennent alors: 8>><>>: x2(t) = �x1(t)� � h2�x2(t) = �x1(t)� + h2�−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

x1

x2

Plan de phase: beta=0.4

Figure 3.10 : Plan de phase pour � = 0:4−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

x1

x2

Plan de phase: beta=1.2

Figure 3.11 : Plan de phase pour � = 0:8Pour � = 0:4 (�gure 3.10), on voit clairement que l'amplitude du cycle limiteest plus faible que pr�ec�edemment. Si l'on augmente �, on v�eri�e la condition deglissement, ce qui est illustr�e par la �gure 3.11.III.4.5 Asservissement avec relais et zone morteNous conservons les caract�eristiques pr�ec�edentes mis �a part la non lin�earit�e quiest cette fois une zone morte avec saturation, (cf �gure 3.12). Les param�etres d�e�nis-sant le syst�eme sont donn�es par:8><>: k = 1 M = 1T = 1 h = 0:2x10 = �1 x20 = 0Les �equations d'�etat sont les memes que pr�ec�edemment ainsi que l'�equation dela trajectoire.

Application 61x=x1

w

sin(ω t)

ω

Π

2 Π−α

+α

Π −α

α

-h/2 h/2

t

-M

+M

-M

+Mw

α −αΠ

Π+α Π−α2

ω tx

Figure 3.12 : Non lin�earit�e avec zone morteEquations d'�etat: ( _x1(t) = x2(t)_x2(t) = �x2(t) + �Equation de la trajectoire:x1(t) + x2(t) = x10 + x20 + �ln " x20 � �x2(t)� �#avec � = 1; 0; � 1. Les droites de commutation sont d�etermin�ees �a l'aide de lacaract�eristique de la non lin�earit�e, ici la zone morte.Equations des droites de commutation:( x1(t) = h=2 = 0:1x1(t) = �h=2 = �0:1Avec les conditions initiales donn�ees plus haut, une simulation des trajectoires dansle plan de phase conduit �a la �gure 3.13.L'analyse des di��erentes portions de trajectoires de la �gure 3.13 peut etre men�eede mani�ere identique �a ce qui a �et�e fait dans le cas du cycle d'hyst�er�esis �a partir des�equations et des donn�ees du probl�eme.Premi�ere trajectoire:Partant de la condition initiale x10 = �1, soit �0 = �x10 = 1, la premi�ere portionde trajectoire est d�e�nie par � = 1. L'�equation de la trajectoire jusqu'�a la premi�erecommutation pour x1c = �0:1; (� = 0:1), est donn�ee par:x1(t) + x2(t) = �1 + ln " �1x2(t)� 1#

62 Analyse des S.N.L. du second ordre - m�ethode du plan de phase−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4

−0.5

0

0.5

1

x1

x2Figure 3.13 : Plan de phase sans contre-r�eaction tachym�etriqueDeuxi�eme trajectoire:Les conditions initiales de cette deuxi�eme trajectoire sont calcul�ees �a partir dela premi�ere et correspondent �a son point terminal. Cela donne donc x1c = �0:1 etx2c = 0:85 o�u x2c est calcul�e �a partir dex2c � 0:1 = �1 + ln � �1x2c � 1�Du fait de la commutation de la commande (� = 0), l'�equation de cette deuxi�emeportion s'�ecrit alors: x1(t) + x2(t) = x1c + x2c = 0:75qui correspond �a une portion de droite traduisant le fait que l'on se trouve dans lazone morte et ceci jusqu'�a la deuxi�eme commutation pour x01c = 0:1 et x02c = 0:65.Troisi�eme trajectoire:Les conditions initiales de cette troisi�eme portion de trajectoire sont (x01c; x02c)ce qui conduit apr�es la commutation � = �1 �a l'�equation:x1(t) + x2(t) = x01c + x02c � ln " x02c + 1x2(t) + 1# = 0:75 � ln " 1:75x2(t) + 1#Cette analyse peut etre ainsi poursuivie pour la suite des portions de trajectoiremontrant en �nal que la trajectoire dans le plan de phase se bloque dans la zonemorte pour (x1f ; x2f) = (0:1; 0). Pour �eviter ce ph�enom�ene ou du moins en limiterl'importance, il est possible d'introduire une contre-r�eaction tachym�etrique de gain�. Les �equations des droites de commutation deviennent alors:8>><>>: x2(t) = �x1(t)� � 0:1�x2(t) = �x1(t)� + 0:1�Les �gures 3.14 et 3.15 repr�esentent les trajectoires dans le plan de phase pourdi��erentes valeurs du gain de contre-r�eaction tachym�etrique.

Application 63−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

x1

x2Figure 3.14 : Plan de phase pour � = 0:2La condition d'existence du r�egime glissant est ici donn�ee par:1� < 1puisque apr�es la premi�ere commutation, l'�equation de la trajectoire est une �equationde droite de pente 1. Une fois la commutation e�ectu�ee, la trajectoire de phase estbloqu�ee dans la zone morte comme le montre la �gure 3.15.−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x1

x2Figure 3.15 : Plan de phase pour � = 1

64 Analyse des S.N.L. du second ordre - m�ethode du plan de phase

Chapitre IVIntroduction �a la commande �a structurevariableNous avons vu dans la section pr�ec�edente la notion de r�egime glissant dans un cas tr�esparticulier. De fait, le r�egime glissant intervient de mani�ere pr�epond�erante dans lad�e�nition et les propri�et�es d'une classe de syst�emes de commandes tr�es importante:les syst�emes de commande �a structure variable. Cette partie a donc pour objetd'introduire les principes et les propri�et�es de tels syst�emes de commande.IV.1 IntroductionLe but de cette partie est d'introduire �a l'aide d'un exemple historique, les notionsde base sur les syst�emes de commande �a structure variable n�ecessaires �a la bonnecompr�ehension de la suite de ce cours. Les premiers travaux concernant les syst�emesde commande �a structure variable en mode de glissement ont �et�e propos�es et �elabor�esau d�ebut des ann�ees 1950 en Union Sovi�etique par Emelyanov. L'id�ee fondamentalefut illustr�ee �a l'origine par un syst�eme du second ordre. Les termes et notions quisont d�e�nis sur cet exemple seront g�en�eralis�es et explicit�es par la suite.Le mod�ele du second ordre est d�e�ni par les �equations d'�etat:( _x1(t) = x2(t)_x2(t) = �x1(t) + 2x2(t) + u(t)o�u : u(t) = �kx1 et ( k = 4 pour s(x1; x2) > 0k = �4 pour s(x1; x2) < 0s(x1; x2) est d�e�nie par la forme quadratique:s(x1; x2) = x1(0:5x1 + x2)Dans le plan de phase, la fonction s(x1; x2) correspond �a deux droites divisant leplan en des r�egions o�u le signe de cette fonction change et donc la commande induite.La fonction s(x1; x2) est appel�ee fonction de commutation alors que l'ensemble despoints dans le plan de phase tels que s(x1; x2) = 0 est appel�e la surface de commuta-tion. La loi de commande, (ici un gain de retour d'�etat), commute donc pour chaque65

66 Introduction �a la commande �a structure variable\travers�ee" de la surface de commutation et le syst�eme command�e est ainsi d�e�nianalytiquement par deux mod�eles di��erents dans deux r�egions du plan de phase.Le premier mod�ele est donn�ee par les �equations d'�etat lin�eaires suivantes:r�egion I ( _x1(t) = x2(t)_x2(t) = �5x1(t) + 2x2(t)Si l'on �etudie la nature du point d'�equilibre de ce syst�eme avec les techniques d�evelop-p�ees dans le chapitre pr�ec�edent, alors le point d'�equilibre (0; 0) apparait etre un foyerinstable. Le deuxi�eme mod�ele ci-dessous a pour point d'�equilibre l'origine qui est,dans ce cas, un point selle.r�egion II ( _x1(t) = x2(t)_x2(t) = 3x1(t) + 2x2(t)−15 −10 −5 0 5 10 15

−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

x1

x2 Figure 4.1 : Plan de phaseLa r�egion I est d�e�nie par s(x1; x2) > 0 alors que la r�egion II est d�e�nie pars(x1; x2) < 0. Les allures des trajectoires de phase dans la r�egion I et II sont donctr�es di��erentes. Si l'on d�esire �etudier maintenant les trajectoires de phase du syst�emeglobal, il est n�ecessaire d'adjoindre �a l'�etude dans chacune des r�egions I et II, l'�etudede la trajectoire du syst�eme sur la surface de glissement. La droite x1 = 0 correspond�a une fronti�ere o�u les trajectoires d'allure di��erentes se joignent alors que la droite0:5x1+x2 = 0:5x1+ _x1 = 0 d�ecrit une trajectoire de phase particuli�ere, repr�esentantla dynamique d'ordre inf�erieur donn�ee par 0:5x1 + _x1 = 0. Quand la dynamique dusyst�eme est d�ecrite de cette mani�ere, on dit qu'il est en mode glissant.Cet exemple de syst�eme de commande �a structure variable montre que ce typede syst�emes a en g�en�eral deux modes de fonctionnement :- Le mode non glissant, (reaching mode) ou encore mode d'acc�es.- Le mode glissant, (sliding mode).Ainsi, la trajectoire de phase, partant d'une condition initiale quelconque, at-teint la surface de commutation en un temps �ni, (mode non glissant), puis tend

Principes de la commande �a structure variable en mode glissant 67asymptotiquement vers le point d'�equilibre avec une dynamique d�e�nie par le modeglissant. Quatre caract�eristiques principales de ce fonctionnement sont illustr�ees parcet exemple:- Puisque l'�etat d'�equilibre du syst�eme est l'origine du plan de phase, le com-portement du syst�eme en mode glissant est le comportement du syst�eme enmode transitoire.- Pendant le mode glissant, les dynamiques du syst�eme sont d'ordre inf�erieuraux dynamiques du syst�eme original.- Pendant le mode glissant, les dynamiques du syst�eme sont uniquement d�eter-min�ees par les param�etres d�ecrivant la droite x1 = 0.- Le mode glissant n'est intrins�eque �a aucune des structures I ou II.Il est �a noter que tous les syst�emes de commande �a structure variable ne pos-s�edent pas un r�egime glissant mais que les propri�et�es de celui-ci constituent unegrande partie des m�erites de ce type de syst�emes de commande.IV.2 Principes de la commande �a structure vari-able en mode glissantApr�es la pr�esentation de cet exemple simple, nous allons d�e�nir plus formellementet plus rigoureusement toutes les notions introduites. Les mod�eles consid�er�es dansce m�emoire sont d�e�nis par: _x(t) = A(x; t) +B(x; t)u(t)o�u x 2 Rn est le vecteur d'�etat, u 2 Rm le vecteur de commande avec n > m. Lastructure d'un syst�eme de commande �a structure variable est d�e�nie pour chacunedes composantes du vecteur de commande, ui (i = 1; : : : ;m), par:- m fonctions de commutations repr�esent�ees sous forme vectorielle par la fonc-tion s(x).- Une commande �a structure variable,8><>: ui(x) = +i (x) pour si(x) > 0ui(x) = �i (x) pour si(x) < 0 i = 1; 2; � � � ;mtelle que la condition d'acc�es soit v�eri��ee, c'est �a dire telle que la trajectoired'�etat atteigne la surface de commutation s(x) = 0 en un temps �ni.

68 Introduction �a la commande �a structure variableD�e�nition 18 : fonction de commutationLa structure de commande est caract�eris�ee par le signe d'une fonction vectorielle s(x)appel�ee fonction de commutation. Dans le cas de mod�eles lin�eaires, la fonctionde commutation est choisie comme une fonction lin�eaire de l'�etat:s(x) = [s1(x) s2(x) � � � sm(x)]0 = Cxo�u C = [c1 c2 � � � cm]0 2 Rm�n et c0i est un vecteur ligne.Chaque fonction scalaire de commutation sj(x) d�ecrit une surface lin�eairesj(x) = 0.D�e�nition 19 : hyperplan de commutationLa surface de commutation associ�ee au syst�eme de commande �a structure variabled�e�ni pr�ec�edemment:Sj = fx 2 Rn : sj(x) = 0g; j = 1; : : : ;mest appel�ee hypersurface de glissement.Dans le cas de surfaces de commutation lin�eaires, des d�e�nitions pr�ec�edentes, ilest facile d'induire les conclusions suivantes:- Un syst�eme d'ordre n avec m commandes poss�edera 2m � 1 surfaces de com-mutation.- Il existe m hypersurfaces de commutation Sj de dimension n� 1.- L'intersection de deux surfaces de commutation Si et Sj est une hypersurfacede commutation de dimension n� 2, Sij = SiTSj.- Il existe une hypersurface de commutation unique, intersection de toutes lesm hypersurfaces de commutation, qui est de dimension n�m.S = m\j=1Sj = fx 2 Rn : Cx = 0g (4.2)En termes g�eom�etriques, le sous-espace S est le noyau de C, not�e N (C).D�e�nition 20 : r�egime glissantSi, pour tout vecteur d'�etat initial x(t0) 2 S, la trajectoire d'�etat reste dans l'hypersurfaceS, x(t) 2 S; 8t > t0 alors x(t) est un mode glissant pour le syst�eme.D�e�nition 21 : surface de glissementSi tout point de S est tel qu'il existe des trajectoires d'�etat hors de S le contenantalors la surface de commutation S est appel�ee surface de glissement.

Le r�egime glissant 69Le but d'un syst�eme de commande �a structure variable est d'amener asympto-tiquement l'�etat du syst�eme �a partir d'une condition initiale quelconque x(0) = x0vers l'origine de l'espace d'�etat quand t ! 1. Pour cela, deux modes distincts, lereaching mode et le mode de glissement, sont consid�er�es. Dans la premi�ere phase,l'�etat du syst�eme, partant d'une condition initiale tend vers une surface de commuta-tion sur laquelle il va glisser pour atteindre l'hypersurface de glissement S. Certainsauteurs par abus de langage consid�erent le mouvement sur une surface de com-mutation comme un mouvement glissant. Nous consid�erons le mode de glissementcomme exclusivement d�e�nissant le mouvement dans l'hypersurface S, intersectionde toutes les surfaces de commutation.Ce mode de glissement est souvent quali��e d'id�eal du fait qu'il requiert pourexister, une fr�equence de commutation in�niment grande. De fait, tout syst�eme decommande comprend des imperfections telles que retards, hyst�er�esis, qui imposentune fr�equence de commutation �nie. La trajectoire d'�etat oscille alors dans un voisi-nage de la surface de glissement, ph�enom�ene appel�e chattering ou broutement.x

x

x(t)

1

2

Phase d’acces(tps fini)

Chattering

x

x

x(t)

1

2

Phase d’accesMode glissant(tps fini) Figure 4.2 : Ph�enom�ene de chatteringDe ce qui pr�ec�ede, on peut d�eduire que la synth�ese d'un syst�eme de commande �astructure variable se d�ecompose en deux phases. La phase 1 consiste en la synth�esede l'hypersurface de glissement a�n d'obtenir un comportement dynamique d�esir�een mode de glissement. La phase 2 se r�esume en la construction de lois de commande�a commutation conduisant la trajectoire d'�etat sur l'hypersurface de glissement enun temps �ni.IV.3 Le r�egime glissantIV.3.1 IntroductionL'�etude du r�egime glissant d'un syst�eme de commande �a structure variable sous-entend la d�e�nition et l'�etude de probl�emes particuliers tels que :- D�e�nition de conditions d'existence du r�egime glissant.- Existence et unicit�e des solutions en r�egime glissant.- Choix de la surface de glissement.

70 Introduction �a la commande �a structure variable- Invariance du r�egime glissant vis �a vis d'incertitudes param�etriques et/ou per-turbations.Dans cette section, nous d�evelopperons uniquement les trois derniers points r�eservantles conditions d'existence du mode de glissement �a la section concernant le moded'acc�es.IV.3.2 La commande �equivalenteLes syst�emes de commande �a structure variable sont mod�elis�es par des �equationsdi��erentielles pr�esentant des discontinuit�es, (dans le second membre), du fait de lacommutation de la commande. Ils ne satisfont donc pas les r�esultats convention-nels d'existence et d'unicit�e de la th�eorie des �equations di��erentielles ordinaires. Laquestion est de savoir si le syst�eme a un comportement dynamique unique quands(x) = 0. Di��erentes m�ethodes de prolongement par continuit�e ont �et�e propos�ees.Toutefois, une des approches les plus anciennes et les plus formalis�ees math�ema-tiquement est la m�ethode d�evelopp�ee par Filippov. Elle constitue une th�eorie math-�ematique syst�ematique pour les �equations di��erentielles avec discontinuit�es. Elleposs�ede n�eanmoins l'inconv�enient de s'appliquer au cas mono-entr�ee. Dans le casmulti-entr�ees, la m�ethode de la commande �equivalente peut etre consid�er�ee commeune extension formelle de cette derni�ere.IV.3.2.1 Cas g�en�eralPour d�evelopper cette technique, on consid�ere le mod�ele d'�etat pr�ec�edent,_x(t) = A(x; t) +B(x; t)u(t)On suppose que la trajectoire d'�etat atteint l'hypersurface de glissement �a l'instantt0 et qu'un mode glissant existe pour t � t0. Cela impliques(x) = 0 et _s(x) = 0ce qui conduit apr�es substitution de _x �a �ecrire@s@x _x = @s@x[A(x; t) +B(x; t)ueq:(t)] = 0o�u ueq:(t) est la commande �equivalente qui r�esoud l'�equation. Cette commande�etant suppos�ee connue et introduite dans l'�equation du mod�ele, on obtient alors lemod�ele du comportement du syst�eme sur la surface de glissement en supposant quela condition initiale x(t0) v�eri�e s(x(t0)) = 0.Le calcul de la commande �equivalente est possible si [@s=@x]B(x; t) est inversiblepour tout t et x. Alors,ueq:(t) = � ""@s@x#B(x; t)#�1 @s@xA(x; t)

Le r�egime glissant 71Ainsi, pour s(x(t0)) = 0 donn�e, le mod�ele du syst�eme sur la surface de glissementest: 8>><>>: _x(t) = �I �B(x; t) hh @s@xiB(x; t)i�1 @s@x�A(x; t)s(x) = 0Il est remarquable de constater que les dynamiques du syst�eme en mode glissant sontd'ordre inf�erieur au syst�eme original. Cette r�eduction d'ordre est ais�ement explicablepar le nombre de variables d'�etat contraintes par la relation s(x) = 0.IV.3.2.2 Cas lin�eaireUn cas particuli�erement important du fait de sa simplicit�e est celui o�u les dynamiquesdu syst�eme ainsi que la surface de glissement sont suppos�ees ou choisies lin�eaires.Le mod�ele du syst�eme est alors:_x(t) = Ax(t) +Bu(t) A 2 Rn�n; B 2 Rn�met la surface de glissement est:s(x) = Cx C 2 Rm�nSi le syst�eme est en r�egime glissant alors:s(x) = Cx(t) = 0 8 t � t0o�u t0 est le temps pour lequel le mode de glissement est atteint. En di��erentiant parrapport au temps et en utilisant la meme d�emarche que pr�ec�edemment, on obtient:_s = @s@xAx(t) + @s@xBu(t) = 0_s = CAx(t) + CBu(t) = 0; 8 t � t0Si jCBj 6= 0, ce qui est assur�e par les hypoth�eses que l'on pose en pr�eambule, lacommande �equivalente ueq: peut etre d�etermin�ee par :ueq(t) = � � @s@x��1 @s@xAueq(t) = Kx(t)o�u la matrice de retour d'�etat K 2 Rm�n est donn�ee par:K = � (CB)�1 CAAinsi le mouvement de glissement est d�ecrit par l'�equation du syst�eme en boucleferm�ee: _x(t) = Aeqx(t) = hIn �B (CB)�1 CiAx(t); 8 t > t0

72 Introduction �a la commande �a structure variableL'�equation en mode glissant est ainsi le r�esultat de la projection du membre dedroite de l'�equation initiale sur la vari�et�e s(x) = 0 avec l'op�erateur de projectiond�e�ni par: In �B(CB)�1CCette m�ethode de la commande �equivalente peut etre illustr�ee g�eom�etriquementde mani�ere simple. La commande �equivalente, �etant d�eduite de _s = 0, est la com-mande continue rempla�cant la commande discontinue telle que le vecteur d'�etatd�eriv�e appartienne �a la vari�et�e tangente de s(x) = 0.Cette m�ethode formelle peut etre pleinement justi��ee par l'utilisation du conceptde couche limite. La couche limite jjs(x)jj < � est d�e�nie comme un voisinage de lavari�et�e s(x) = 0 dans lequel la commande discontinue id�eale est remplac�ee par unecommande r�eelle telle que les trajectoires d'�etat du syst�eme restent dans la couchelimite. Quand la couche limite tend vers 0, la limite de la solution de l'�equationdi��erentielle ainsi d�e�nie existe et est choisie comme la solution du syst�eme enmode glissant id�eal.IV.3.3 Synth�ese de l'hypersurface de glissementDans cette partie, nous ne pr�esenterons que le cas enti�erement lin�eaire pour desraisons de simpli�cation. Toutefois, les d�eveloppements pr�esent�es ici peuvent etre�etendus au mod�ele g�en�eral non lin�eaire de d�epart.Le dernier point �a aborder a�n de d�e�nir parfaitement le r�egime de glissementconcerne la synth�ese de l'hypersurface de glissement. Les dynamiques pendant ler�egime glissant sont ind�ependantes de la loi de commande non lin�eaire r�eellementimplant�ee et d�ependent uniquement du choix de la matriceC, ce qui en retour d�eter-mine la matrice de \retour d'�etat" K de la commande �equivalente. Le probl�eme peutdonc etre r�eduit au choix de la matrice K qui peut etre r�ealis�e sans connaissancea priori du vecteur de commande r�eel u(t). A�n de simpli�er la pr�esentation desprincipes d'une telle synth�ese, il est souhaitable d'utiliser une forme canonique par-ticuli�ere.On suppose que la matrice B est de rang pleinm, si bien qu'il existe une matricede transformation T orthogonale n� n telle que:TB = 0B2 !o�u B2 2 Rm�m est non singuli�ere. La contrainte d'orthogonalit�e est impos�ee sur Tpour des raisons de stabilit�e num�erique. Une m�ethode qui permet de d�eterminer Test la factorisation QU , par laquelle B est d�ecompos�ee sous la forme:B = Q U0 !avecQ 2 Rn�n orthogonale et U 2 Rm�m, non singuli�ere et triangulaire sup�erieure. Test ainsi d�etermin�ee par permutation des lignes deQT . La variable d'�etat transform�ee

Le r�egime glissant 73est d�e�nie par y = Tx et l'�equation d'�etat se r�e�ecrit:8><>: _y1(t) = A11y1(t) +A12y2(t)_y2(t) = A21y1(t) +A22y2(t) +B2u(t)En partitionnant l'�etat y comme:yT = � yT1 yT2 � ; y1 2 Rn�m; y2 2 RmLa condition de glissement devient alors:C1y1(t) + C2y2(t) = 0o�u: TAT T = A11 A12A21 A22 ! ; CT T = � C1 C2 �et C2 est non singuli�ere, (donc CB non singuli�ere).La condition qui d�e�nit le mode de glissement est �equivalente �a:y2(t) = Fy1(t)o�u la matrice F de dimension m� (n�m) est d�e�nie par:F = �C�12 C1Cette �equation indique que l'�evolution de y2 dans le mode de glissement est lin�eairepar rapport �a y1. Le mode de glissement id�eal est donc gouvern�e par les �equations:8><>: _y1(t) = A11y1(t) +A12y2(t)y2(t) = Fy1(t)L'ordre du syst�eme est r�eduit �a (n �m) et y2 joue alors le role de commande. Lacommande �equivalente d�e�nie comme solution du probl�eme _s(x) = 0, a la forme:ueq(t) = � (C2B2)�1 [(C1A11 + C2A21)x1(t) + (C1A12 + C2A22)x2(t)]Ce mod�ele d�etermine de mani�ere unique les dynamiques dans le mode de glissement.Le syst�eme en boucle ferm�ee est donn�e par l'�equation:_y1(t) = (A11 +A12F )y1(t)La synth�ese d'un mode de glissement stable entraine donc la d�etermination d'unematrice de retour d'�etat stabilisante F sur le syst�eme r�eduit, pour laquelle di��erentesm�ethodes sont possibles:

74 Introduction �a la commande �a structure variable- Minimisation d'un crit�ere quadratique, (commande optimale lin�eaire quadra-tique).- Placement de poles par retour d'�etat.Une fois d�etermin�ee la matrice F , nous pouvons calculer la matrice C. Il est �anoter que l'on dispose alors d'un certain nombre de degr�es de libert�e du fait de lalibert�e de choix sur la matrice inversible C2. En supposant C2 = Im,C = h F Im iTo�u T est la matrice de transformation pr�ed�e�nie.IV.3.4 Principe d'invarianceDans cette section, une propri�et�e essentielle du fonctionnement en mode glis-sant est pr�esent�ee: l'insensibilit�e ou la robustesse vis �a vis d'une certaine classed'erreurs de mod�elisation ou de perturbations. Le mod�ele di��erentiel du syst�emeen mode glissant peut ainsi etre compl�etement ind�ependant d'�eventuelles erreursde mod�elisations ou d'�eventuels perturbations. On dit alors que le syst�eme v�eri�e lapropri�et�e d'invariance. Cette propri�et�e n�ecessite toutefois que certaines hypoth�esesappel�ees matching conditions soient v�eri��ees par les perturbations.On consid�ere un mod�ele lin�eaire donn�e par:_x(t) = (A+�A)x(t) +Bu(t) + f(t)o�u �A et f(t) sont respectivement le terme d'erreurs de mod�elisation et une per-turbation externe.D�e�nition 22 : matching conditions�A et f(t) v�eri�ent l'hypoth�ese des matching conditions s'il existe � ~A 2 Rn�n et� ~f 2 Rn�m telles que: �A = B� ~A f(t) = B� ~fLa signi�cation physique de cette hypoth�ese est que l'on consid�ere des incer-titudes de mod�elisation ou une perturbation attaquant le syst�eme par la matriced'entr�ee. L'int�eret de consid�erer un tel type d'incertitudes appara�t clairement sil'on suppose v�eri��ee l'hypoth�ese suivante.Hypoth�eses 4 :On suppose pour la suite que R(B)\N (C) = ;o�u R d�enote l'espace engendr�e par les colonnes de B et C est la matrice d�e�nissantl'hypersurface de glissement.

Le mode non glissant 75Du fait que la trajectoire du syst�eme en mode glissant id�eal est con�n�ee dansN (C), le comportement dynamique du syst�eme n'est alors pas a�ect�e par toutvecteur appartenant �a R(B). Cela implique donc une invariance totale du modeglissant vis �a vis d'incertitudes v�eri�ant les matching conditions sous r�eserve d'unchoix ad�equat des valeurs limites de la commande.Exemple: Soit le mod�ele suivant:" _x1_x2 # = " 0 11 + p p # " x1x2 #+ " 01 #u(t)o�u p 2 [�10 ; 1] est le terme incertain. L'�equation pr�ecedente peut etre r�e�ecrite sousla forme: " _x1_x2 # = " 0 11 0 # " x1x2 # + " 01 #u(t) + " 01 # [p p] " x1x2 #montrant clairement que les matching conditions sont v�eri��ees.IV.4 Le mode non glissantLe mode pr�eliminaire au mode glissant, partant d'une condition initiale quel-conque pour atteindre la surface de glissement est appel�e mode d'acc�es ou modenon glissant, (reaching mode en anglais). La d�e�nition compl�ete de ce mode n�e-cessite la d�e�nition d'une condition d'acc�es ainsi que la d�e�nition de la loi decommande non lin�eaire et de sa structure.IV.4.1 Conditions d'acc�esCette condition est en fait la condition sous laquelle le mode de glissement existeet sous laquelle la trajectoire d'�etat va e�ectivement atteindre la surface de glisse-ment en un temps �ni. Deux types de conditions d'acc�es �a la surface de glissementsont pr�esent�es.IV.4.1.1 Approche directeCette approche est la plus ancienne. Elle est globale mais ne garantit pas enrevanche un temps d'acc�es �ni._si(x; t)si(x; t) < 0 i = 1; � � � ;mCette condition est toutefois di�cile �a utiliser pour faire la synth�ese de la loi decommande, particuli�erement dans le cas d'un syst�eme multi-entr�ees.

76 Introduction �a la commande �a structure variableIV.4.1.2 Approche de LyapunovUne condition globale d'acc�es est donn�ee par:V (x; t) = _s(x; t)0s(x; t) < 0 pour s(x; t) 6= 0Si l'on souhaite garantir un temps d'acc�es �ni, la condition devientV (x; t) = _s(x; t)0s(x; t) < �� pour s(x; t) 6= 0; � > 0Il est �a noter que V (x; t) est une fonction candidate de Lyapunov pour le syst�eme,(cf chapitre V). D'autres conditions d'acc�es que nous ne pr�esenteront pas pour desraisons de concision existent dans la litt�erature sp�ecialis�ee.IV.4.2 Synth�ese de la loi de commandeLors de la synth�ese de la loi de commande non lin�eaire, l'objectif est de satisfaireune condition d'acc�es. Si l'on ne souhaite pas donner une structure particuli�ere �ala loi de commande, celle-ci peut etre simplement d�etermin�ee en la contraignant �asatisfaire une des deux conditions pr�ec�edentes. Dans certains cas, il est toutefoisint�eressant d'assigner une structure de commande et d'en d�eterminer les param�etrestout en respectant une condition d'acc�es. Les structures les plus utilis�ees sont lestrois suivantes.IV.4.2.1 La commande �a relaisLa forme de la commande est donn�ee par:ui(x) = +i (x) pour si(x) > 0= �i (x) pour si(x) < 0 i = 1; � � � ;mLes valeurs exactes de +i (x); �i (x) sont choisies a�n qu'une condition d'acc�es soitv�eri��ee.IV.4.2.2 Le retour lin�eaire �a gains commut�esLa forme de la commande est donn�ee par:u(x) = (x)x = [ ij] 2 Rm� n ij = �ij pour si(x)xj > 0�ij pour si(x)xj < 0Une fois de plus, les param�etres �ij ; �ij sont choisis a�n qu'une condition d'acc�essoit v�eri��ee.

Conclusions 77IV.4.2.3 La commande unitaireLa forme de la commande est donn�ee par:u(x) = ueq: + �jjCxjjCx � > 0o�u ueq: est la commande �equivalente issue du calcul de la surface de glissement C et� est une constante �a d�eterminer a�n de v�eri�er une condition d'acc�es.IV.5 ConclusionsBien entendu, nous n'avons pas trait�e dans ce chapitre tous les probl�emes ren-contr�es dans le calcul et la mise en oeuvre d'une commande �a structure variable,(�elimination du broutement), ni toutes les m�ethodes reli�ees. Il faut voir ce chapitrecomme une introduction sommaire �a l'�etude de ce type de syst�emes de commande.Les syst�emes de commande �a structure variable sont apparus dans les ann�ees 60et ont longtemps sou�ert de la di�cult�e de leur mise en oeuvre pratique due prin-cipalement au ph�enom�ene de broutement et �a la discontinuit�e de la commande. Cesprobl�emes �etaient principalement dus �a l'inad�equation des mat�eriels �electroniquesou m�ecaniques d�edi�es �a la fonction de commutation. Ces syst�emes comportant desd�elais, des retards ou encore pr�esentant des ph�enom�enes d'hyst�er�esis non n�eglige-ables, ne permettaient pas d'atteindre une fr�equence de commutation su�samment�elev�ee.Cet �etat de fait est largement d�epass�e du fait des avanc�ees technologiques dans ledomaine de l'�electronique de puissance et particuli�erement dans celui des convertis-seurs de puissance. Ces technologies trouvent ainsi de nombreuses applications dansle domaine des syst�emes de commande rapides.Les applications de la commande �a structure variable en mode glissant vont ainside la commande de robot manipulateur �a dynamiques fortement coupl�ees �a la com-mande de moteurs �electriques pour lesquels cette technique semble naturelle et par-ticuli�erement bien adapt�ee.

78 Introduction �a la commande �a structure variable

Chapitre VApproximation de l'�equivalentharmoniqueDans la litt�erature, on trouve �egalement les d�enominations �equivalentes suivantes:m�ethode de lin�earisation harmonique, m�ethode de l'�equivalent harmonique,m�ethodedu premier harmonique, describing function method. Les m�ethodes harmoniquesou m�ethodes fond�ees sur l'utilisation de la r�eponse fr�equentielle ont montr�e leure�cacit�e en vue de l'analyse et de la synth�ese des syst�emes de commande lin�eaires.On substitue �a la repr�esentation temporelle par �equations di��erentielles lin�eaires�a coe�cients constants, une repr�esentation dans le domaine des fr�equences. Lesavantages en sont principalement les outils graphiques disponibles, (cf. introduction),facilitant l'analyse et la synth�ese ainsi que les interpr�etations physiques que cesm�ethodes permettent de d�egager.La m�ethode de lin�earisation harmonique est une tentative de g�en�eralisation desm�ethodes harmoniques classiques. Elle consiste �a remplacer un �el�ement non lin�eairepar un "�equivalent" lin�eaire invariant qui constitue en quelque sorte une approxi-mation de l'�el�ement non lin�eaire donn�e.Cette m�ethode est utilis�ee a�n d'analyser et pr�evoir approximativement certainscomportements non lin�eaires. Elle permet principalement de pr�evoir les cycles lim-ites, mais �egalement les ph�enom�enes de saut, les sous-harmoniques ainsi que lesr�eponses des syst�emes non lin�eaires �a des entr�ees sinusoidales. Dans le cadre de cecours, nous appliquerons cette m�ethode pour la pr�evision des cycles limites ainsiqu'a�n de d�eterminer approximativement leur amplitude et fr�equence.V.1 La m�ethode de lin�earisation harmoniqueV.1.1 Hypoth�eses d'applicationH1- On consid�ere uniquement les syt�emes asservis poss�edant un �el�ement non lin�eairedans la chaine d'asservissement (�gure 5.1).H2- L'�el�ement non lin�eaire sera invariant dans le temps.H3- Les parties lin�eaires dans la chaine d'asservissement sont stables et se compor-tent comme des �ltres pass-bas, (hypoth�ese de �ltrage).79

80 Approximation de l'�equivalent harmonique+ s

-N.L. L(p)

e ε wFigure 5.1 : Sch�ema-bloc standardV.1.2 Equivalent harmoniqueV.1.2.1 Rappel sur les syst�emes lin�eaires(e; s) sont respectivement les signaux d'entr�ees et de sortie.F(p)

seSi e(t) = e0sin(!t) alors s(t) = s0sin(!t+ �)L0hypoth�ese de lin�earit�e ) 8><>: A = A(!) = s0e0 ! gain du syst�eme� = �(!) ! phase du syst�emeDans le cas des syst�emes lin�eaires, l'�equivalent harmonique est d�e�ni exactement.V.1.2.2 Cas des syst�emes non lin�eaires(x;w) sont respectivement les signaux d'entr�ee et de sortie.N.L.

x wPour un signal d'entr�ee sinusoidal, la r�eponse, dans la majorit�e des cas, est unsignal p�eriodique bien que non sinusoidal et peut donc etre d�ecompos�e en s�eries deFourier. w(t) est une somme in�nie de signaux sinusoidaux, les harmoniques.Si x(t) = x1sin(!t) alors w(t) = +1Xn=1wnsin(n!t+ �n) + w0On ne retient que le premier harmonique, w(t) ' w1sin(!t+ �1).V.1.2.3 Justi�cation de l'approximation �a travers un exempleCette justi�cation repose essentiellement sur le �ltrage des hautes fr�equences parl'�etage lin�eaire en cascade, (�ltrage des harmoniques sup�erieures). Ici, L(p) = KG(p)et la non lin�earit�e est du type tout ou rien avec saturation repr�esent�ee �a la �gure5.2.

La m�ethode de lin�earisation harmonique 81x=x1

ω

T

T/2

-M

w

+M

w

T/2 T

t

-M

ω t)

+M

sin(

x

Figure 5.2 : Non lin�earit�e tout ou rien avec saturationEtude de l'organe non lin�eaire:La r�eponse harmonique est donn�ee par le d�eveloppement en s�eries de Fourier:w(t) = +1Xn=1wnsin(n!t+ �n) + w0Dans ce cas, du fait de la sym�etrie du signal w(t), w0 = 0.L'amplitude des di��erents harmoniques est alors don�ee par:- Harmonique 1 : w1 = 4M�x1- Harmonique 2 : w2 = 0- Harmonique 3 : w3 = 4M3�x1Etude de l'�el�ement lin�eaire:On a choisi un �el�ement lin�eaire compos�e d'un int�egrateur et d'un premier ordredonn�e par sa constante de temps � .KG(p) = Kp(1 + �p) jKG(j!)j = K!p1 + � 2!2D'apr�es le principe de superposition, on peut ecrire s(t) = +1Xn=1 sn(t).js1jjw1j = k!p1 + � 2!2 et js3jjw3j = k3!p1 + 9� 2!2d'o�u

82 Approximation de l'�equivalent harmonique1/ τ

|KG(j ω )|

ω-40 dB/decade

-20dB/decadeFigure 5.3 : Diagramme de Bode de l'�el�ement lin�eaires3s1 ' 1=27 ' 3%La contribution de l'harmonique imm�ediatement sup�erieur au fondamental peutdonc etre n�eglig�ee.V.1.3 Fonction de transfert g�en�eralis�eeOn consid�ere un organe non lin�eaire quelconque �a l'entr�ee duquel on applique unsignal sinusoidal d'amplitude x1 et de fr�equence !2� = f , x(t) = x1sin(!t). Commenous l'avons vu pr�ec�edemment, une fois le r�egime transitoire achev�e, le signal desortie de l'�el�ement non lin�eaire est en g�en�eral une fonction p�eriodique sym�etriquepouvant etre d�ecompos�ee en s�erie de Fourier:w(t) = w0 + +1Xn=1 ansin(n!t) + bncos(n!t) = w0 + +1Xn=1wnsin(n!t+ �n)o�u les coe�cients de Fourier sont donn�es par:w0 = !� Z T0 w(t)dtan = !� Z T0 w(t)sin(n!t)dtbn = !� Z T0 w(t)cos(n!t)dtRemarques:1- Pour n = 1, le signal sinusoidal est appel�e signal fondamental, alors quepour n > 1, on parlera des harmoniques sup�erieures.2- En g�en�eral, le signal de sortie est p�eriodique de meme p�eriode que le signald'entr�ee sauf dans certains cas, (r�esonance sous-harmonique, oscillations pro-pres, non p�eriodicit�e).3- Pour les non lin�earit�es impaires, (w(t) = �w(�t) 8t), bn = 0 alors que pourles non lin�earit�es paires, (w(t) = w(�t) 8t), an = 0.

La m�ethode de lin�earisation harmonique 83V.1.3.1 Approximation du premier harmoniqueL'hypoth�ese de l'�equivalent harmonique permet de substituer au signal globalw(t), un signal �equivalent compos�e uniquement du signal fondamental ou premierharmonique. Cette approximation de l'�equivalent harmonique est appel�ee �egalementapproximation de Dutilh. w(t) ' a1sin(!t) + b1cos(!t)a1 = !� Z T0 w(t)sin(!t)dtb1 = !� Z T0 w(t)cos(!t)dtCe qui permet d'�ecrire:w(t) = a1sin(!t) + b1cos(!t) = q(x1;!)z}|{a1x1 x1sin(!t) + q0(x1;!)z}|{b1x1 x1cos(!t)w(t) = q(x1; !)x(t) + q0(x1; !) 1! dx(t)dtque l'on peut r�e�ecrire sous la forme:w(t) = x1B(x1; !)sin(!t+ �)Modulez }| {B(x1; !) = pq2 + q02 Phasez}|{� = Arctg[ q0q ]q(x1; !) = !x1� Z T0 w(t)sin(!t)dt q0(x1; !) = !x1� Z T0 w(t)cos(!t)dtLa composante fondamentale du signal w(t) correspondant �a une entr�ee sinu-soidale est une sinusoide de meme fr�equence. En repr�esentation complexe, cettesinusoide peut etre repr�esent�ee par:W = B(x1; !)x1ej(!t+�)Ainsi, de mani�ere �equivalente au concept de r�eponse fr�equentielle dans le caslin�eaire, qui n'est rien d'autre que le rapport fr�equentiel entre l'entr�ee sinusoidaleet la sortie sinusoidale du syst�eme, il est possible de d�e�nir la fonction de trans-fert g�en�eralis�ee de l'�el�ement non lin�eaire comme �etant le rapport complexe de lacomposante fondamentale sur l'entr�ee sinusoidale:N(x1; !) = B(x1; !)ej�(x1;!) = x1B(x1; !)ej(!t+�)x1ej!t

84 Approximation de l'�equivalent harmonique1, ω)

1, ω)B(x Sin(ω tSin(ω t1x + Φ)

N(x)La fonction de transfert g�en�eralis�ee repr�esente la r�eponse fr�equentielle de l'�el�ementnon lin�eaire.A l'inverse du cas lin�eaire, la fonction de transfert g�en�eralis�ee d�epend conjointe-ment de l'amplitude et de la fr�equence du signal sinusoidal d'entr�ee. Le fait de passer�a une telle repr�esentation est �egalement appel�e quasi-lin�earisation de l'�el�ementnon lin�eaire.Cas particulier important:Dans le cas d'une non lin�earit�e statique, la fonction de transfert g�en�eralis�ee N(x1; !)est ind�ependante de la fr�equence :N(x1) = B(x1)ej�(x1)Exemples:Seuils, saturations, hyst�er�esis, tout ou rien et combinaisons des pr�ec�edentes.Dans la suite de ce cours, nous ne consid�ererons que les non lin�earit�es v�eri�ant cettehypoth�ese.V.1.3.2 Repr�esentation graphique: lieu critiquePlutot que de tracer directement dans le plan de Nyquist ou Black, le lieu despoints N(x1) , on trace le lieu critique qui est le lieu des points complexes donn�espar: C(x1) = �1N(x1) 8><>: module 1=B(x1)argument � ��(x1)Remarque:- En lin�eaire, il est n�ecessaire de connaitre (A(!); �(!)), c'est �a dire la r�eponsefr�equentielle du syst�eme que l'on peut tracer dans Bode, Black, Nyquist, pourcaract�eriser completement le syst�eme asservi.- En non lin�eaire, dans le cadre de l'approximation du premier harmonique, lesyst�eme asservi est compl�etement caract�eris�e par :- le lieu de r�eponse en fr�equence de l'�el�ement lin�eaire,- le lieu critique de l'organe non lin�eaire.

La m�ethode de lin�earisation harmonique 85V.1.4 Calcul de la fonction de transfert g�en�eralis�eeDi��erentes m�ethodes peuvent etre utilis�ees a�n de d�eterminer la fonction detransfert g�en�eralis�ee d'un �el�ement non lin�eaire. Quand la caract�eristique de la nonlin�earit�ew = f(x) est connue analytiquement et si l'int�egration entrant dans le calculdes coe�cients de Fourier peut etre men�ee facilement, une �evaluation analytique dela fonction de transfert g�en�eralis�ee peut etre calcul�ee. C'est le cas notamment des nonlin�earit�es que nous examinerons par la suite. Dans d'autre cas, la caract�eristique dela non lin�earit�e peut etre donn�ee par un graphe ou une table. La fonction de transfertg�en�eralis�ee peut alors etre �evalu�ee par int�egration num�erique. On obtient dansce cas directement un graphique repr�esentant la fonction de transfert g�en�eralis�ee.Finalement, dans le cas de non lin�earit�es complexes, il peut etre n�ecessaired'utiliser une �evaluation exp�erimentale en excitant la non lin�earit�e par une entr�eesinusoidale d'amplitude et de fr�equence donn�ee. La fonction de transfert g�en�eralis�eeest alors obtenue en utilisant un analyseur harmonique. Dans le cas non lin�eaire, ilest n�ecessaire de faire varier non seulement la fr�equence du signal d'entr�ee commeen lin�eaire mais �egalement l'amplitude, conduisant �a un ensemble de courbes dansle plan complexe, d�ecrivant N(x1; !).Nous pr�esentons maintenant quelques calculs de fonction de transfert g�en�eralis�eesassoci�ees �a des non lin�earit�es usuelles.V.1.4.1 Tout ou rien avec saturationx=x1

ω

T

T/2

-M

w

+M

w

T/2 T

t

-M

ω t)

+M

sin(

x

Figure 5.4 : Non lin�earit�e tout ou rien- non lin�earit�e sym�etrique/axe des abscisses et impaire:w0 = 0 q0(x1; !) = 0

86 Approximation de l'�equivalent harmonique- non lin�earit�e statique: N(x1; !) = N(x1)d'o�u l'on e�ectue les calculs suivants:N(x1) = B(x1)ej�(x1) 8><>: B(x1) = pq2 + q02 = q(x1)�(x1) = arctg[ q0q ] = 0Calcul de q(x1) :q(x1) = !�x1 Z T0 w(t)sin(!t)dt = !M�x1 "Z T=20 sin(!t)dt� Z TT=2 sin(!t)dt#q(x1) = M�x1 n[�cos(!t)]T=20 + [cos(!t)]TT=2o T = 2�!N(x1) = 4M�x1Nyquist Black-Nichols

Re[.]

Module

Phase

Im[.]

Figure 5.5 : Non lin�earit�e tout ou rienLieu critique : C(x1) = �1N(x1) = ��x14MV.1.4.2 Tout ou rien avec zone morte et saturation- non lin�earit�e sym�etrique/axe des abscisses et impaire:w0 = 0 q0(x1; !) = 0- non lin�earit�e statique: N(x1; !) = N(x1)Remarque:- q(x1) = !�x1 Z T0 w(t)sin(!t)dt = 1�x1 Z 2�0 w(!t)sin(!t)d(!t)

La m�ethode de lin�earisation harmonique 87x=x1

w

sin(ω t)

ω

Π

2 Π−α

+α

Π −α

α

-h/2 h/2

t

-M

+M

-M

+Mw

α −αΠ

Π+α Π−α2

ω tx

Figure 5.6 : Non lin�earit�e avec zone morte- q(x1)0 = !�x1 Z T0 w(t)cos(!t)dt = 1�x1 Z 2�0 w(!t)cos(!t)d(!t)d'o�u l'on e�ectue les calculs suivants:N(x1) = B(x1)ej�(x1) avec 8>><>>: B(x1) = pq2 + q02 = q(x1)�(x1) = Arctg hq0q i = 0Calcul de q(x1):q(x1) = 1�x1 Z 2�0 w(!t)sin(!t)d(!t) = M�x1 �Z ���� sin(!t)d(!t)� Z 2����+� sin(!t)d(!t)�q(x1) = M�x1 n[�cos(!t)]���� + [cos(!t)]2����+� oq(x1) = 4M�x1 cos(�)Calcul de cos(�):x1sin(�) = h2 sin(�) = h2x1 cos(�) = s1 � h24x21Soit N(x1) = 4M�x1s1� h24x21Nota: cette formule est vraie pour x1 > h2 .

88 Approximation de l'�equivalent harmoniqueNyquist Black-Nichols

Re[.]

Module

Phase

Im[.]

h/4M−πFigure 5.7 : Non lin�earit�e avec zone morteLieu critique : �gure 5.7C(x1) = �1N(x1) = ��x212Mq4x21 � h2qui est une fonction r�eelle toujours n�egative.2666666664 C(x1) �! �1x1!0C(x1) �! �1x1!+1 dC(x1)dx1 = ��x1[2x21 � h2]M(4x21 � h2)q4x21 � h2Le point annulant cette d�eriv�ee est donn�ee par x�1 = hp2, ce qui donne C(x�1) = ��h4M .V.1.4.3 El�ement avec hyst�er�esis- non lin�earit�e ni paire ni impaire mais sym�etrique / axe des abscisses.w0 = 0- non lin�earit�e statique : N(x1; !) = N(x1)B(x1) = pq2 + q02�(x1) = arctg[ q0q ]

La m�ethode de lin�earisation harmonique 89ε

w

ε = ε0 sin(ω t)

ω

Π +α

α

h/2

t

-M

+Mw

Π+α

ω t

-M

-h/2

+M

α

Figure 5.8 : Non lin�earit�e avec hyst�er�esisCalcul de q(x1) et de q0(x1) :� q(x1) = 1�x1 Z 2�0 w(!t)sin(!t)d(!t)= M�x1 �� Z �0 sin(!t)d(!t) + Z �+�� sin(!t)d(!t)� Z 2��+� sin(!t)d(!t)�= M�x1 h[cos(!t)]�0 � [cos(!t)]�+�� + [cos(!t)]2��+�i= 4Mcos(�)�x1� q0(x1) = 1�x1 Z 2�0 w(!t)cos(!t)d(!t)= M�x1 �� Z �0 cos(!t)d(!t) + Z �+�� cos(!t)d(!t)� Z 2��+� cos(!t)d(!t)�= M�x1 h[�sin(!t)]�0 + [sin(!t)]���� + [sin(!t)]2��+�i= �4Msin(�)�x1Calcul de cos(�) et de sin(�):x1sin(�) = h2 sin(�) = h2x1 cos(�) = s1 � h24x21On obtient donc: B(x1) = 4M�x1�(x1) = �arcsin( h2x1 )

90 Approximation de l'�equivalent harmoniqueSoit N(x1) = 4M�x1 [cos(�) � jsin(�)]Nota: cette formule est vraie pour x1 > h2 .Lieu critique : �gure 5.9C(x1) = �1N(x1) = ��x14M r1 � h24x21 � j �h8MC(x1) = ��x14M ej� � = arcsin[ h2x1 ]−π/8Μ

Re[.]Nyquist

Im[.]Figure 5.9 : Hyst�er�esisLe lieu critique C(x1) est d�e�ni par:8><>: Module = �x14MArgument = arcsin[ h2x1 ] + �V.1.4.4 El�ement lin�eaire satur�e- non lin�earit�e impaire et sym�etrie / axe des abscisses.w0 = 0 q0(x1) = 0- non lin�earit�e statique : N(x1; !) = N(x1) = B(x1)Calcul de q(x1):pour x1 > xMq(x1) = 4�x1 Z �=20 w(!t)sin(!t)d(!t) = 4k�x1 "Z �0 kx1sin2(!t)d(!t) + Z �=2� kxMsin(!t)d(!t)#q(x1) = 4k�x1 "�xM [cos(!t)]�=2� + x1 Z �0 [1� cos(2!t)]2 d(!t)#q(x1) = 4k�x1 hxM cos(�)2 + x1�2 i

La m�ethode de lin�earisation harmonique 91ε

w

ε = ε0 sin(ω t)

ω

Π

2 Π−α

+α

Π −α

α

t

w

ω tα Π−α

+αΠ Π−α2

kx

x

kx

kx

-kx

M

M

MM

M

Figure 5.10 : El�ement lin�eaire satur�eCalcul de cos(�) et de sin(�):x1sin(�) = xM sin(�) = xMx1 cos(�) =vuut1 � x2Mx21On obtient donc: N(x1) = 2k�x1 24x1Arcsin[xMx1 ] + xMvuut1� x2Mx21 35Nota: pour x1 < xM , on a N(x1) = k.Lieu critique : �gure 5.11C(x1) = �1N(x1) = ��x12k 24x1arcsin[xMx1 ] + xMvuut1 � x2Mx21 35Nota : C(x1) est r�eel et toujours n�egatif.Re[.]-1/k

Nyquist

Im[.]Figure 5.11 : Lin�earit�e satur�ee

92 Approximation de l'�equivalent harmoniquelimites: 2666666664 C(x1) �! �1=kx1!xMC(x1) �! �1x1!+1V.2 Cycles limites et m�ethodes du premier har-moniqueComme il est mentionn�e en introduction de ce chapitre, la m�ethode du premierharmonique peut etre utilis�ee a�n de pr�evoir l'existence de cycles limites dans lesasservissements comportant un �el�ement non lin�eaire et d'en d�eterminer approxi-mativement l'amplitude et la fr�equence. Le principe est fond�e sur une utilisationg�en�eralis�ee du crit�ere du revers, lui meme version simpli��ee du crit�ere de nyquist,d�evelopp�e dans le cadre des asservissements lin�eaires.V.2.1 Rappels sur le crit�ere du reversSoit l'asservissement lin�eaire de la �gure 5.12, o�u G(p), la fonction de transferten boucle ouverte, (B.O.), est donn�ee par G(p) = N(p)D(p).G(p)K

+ s

-

e εFigure 5.12 : Asservissement lin�eaireLa fonction de transfert en boucle ferm�ee , (B.F.), s'�ecrit HB:F:(p) = KG(p)1+KG(p) =KN(p)D(p)+KN(p).D�e�nition 23 : Stabilit�eL'asservissement ci-dessus est stable si le polynome caract�eristique du syst�eme as-servi, (d�enominateur de la fonction de transfert en boucle ferm�ee), a des racines,(poles de la fonction de transfert), �a partie r�eelle n�egative.Th�eor�eme 8 : Crit�ere du reversLe syst�eme est stable si le lieu de Nyquist, (resp. Black), de G(j!), (fonction detransfert en boucle ouverte), parcouru dans le sens des ! croissants, laisse �a gauche,(resp. �a droite), le point critique -1/K.

Cycles limites et m�ethodes du premier harmonique 93Instable

Oscillant Stable

-1/K

Im[.]

Re[.]Figure 5.13 : Crit�ere du revers dans le plan de NyquistNota :- Ce crit�ere ne s'applique qu'aux syst�emes stables et �a minimum de phaseen boucle ouverte.- Le polynome caract�eristique s'�ecrit 1 +KG(p) = 0.V.2.2 Extension au cas des asservissements non lin�eairesNous donnons tout d'abord la d�e�nition d'un cycle limite.D�e�nition 24 : Cycle limiteLes syst�emes non lin�eaires peuvent etre le si�ege d'oscillations d'amplitude et defr�equence �x�ees, ind�ependantes des conditions initiales et sans excitation ext�erieure,(auto-oscillations) d�enomm�ees cycles limites.+ s

-N.L. L(p)

e ε wFigure 5.14 : Sch�ema-bloc standardConditions d'existence:Supposons que le syst�eme non lin�eaire asservi pr�ec�edent soit le si�ege d'une oscillationd'amplitude �1 et de pulsation !0, avec e � 0; et � = �1sin(!0t), alors8>>>>>><>>>>>>: �(t) = �s(t)W = N(�1)�S = L(j!0)W �! S[1 + L(j!0)N(�1)] = 0Comme S 6� 0 alors 1 + L(j!0)N(�1) = 0. Le cycle limite est alors caract�eris�epar son amplitude �1 et sa pulsation !0 qui doivent v�eri�er la condition d'existence:

94 Approximation de l'�equivalent harmoniqueL(j!0) = �1N(�1)La relation pr�ec�edente est �equivalente �a deux �equations non lin�eaires, (une pourla partie r�eelle et une pour la partie imaginaire), alg�ebriques en les deux variables(�1; !). Ces deux �equations sont g�en�eralement di�ciles �a r�esoudre analytiquement,ce qui a entrain�e la recherche de m�ethodes graphiques.L'asservissement consid�er�e a une fonction de transfert g�en�eralis�ee en boucle ouverte.S� = N(�1)L(j!)Pour �1 �x�e, N(�1) est un nombre �x�e, (qui peut etre complexe dans le cas d'uncycle d'hyst�er�esis). L'asservissement peut donc etre consid�er�e comme lin�eaire defonction de transfert en boucle ouverte N(�1)L(p), (N(�1) �etant consid�er�e commeun gain �xe), auquel on peut appliquer le crit�ere du revers par rapport au pointcritique �1N(�1) .Quand �1 varie, �1N(�1) parcourt le lieu critique, donc �a l'amplitude �1, la stabilit�edu syst�eme va d�ependre de la position de ce point par rapport au lieu L(j!). Lelieu critique se trouve ainsi partag�e en r�egions d'amplitude de stabilit�e et en r�egionsd'amplitude d'instabilit�e, (importance des points d'intersection entre le lieu critiqueet le lieu de transfert).Nota:la di��erence avec les syst�emes lin�eaires est qu'un asservissement non lin�eaire eststable ou instable �a l'amplitude �1.Auto-oscillations

ε εc c

,, ,Stabilite

Stabilite

c’’

c’

-1/N( ε)

Im[.]

Re[.]

Instabilite

L(jw)

Figure 5.15 : Lieu de NyquistPour �1 < �0c, stabilit�e, les auto-oscillations vont d�ecroitre.Pour �0c < �1 < �00c , instabilit�e, les auto-oscillations vont croitre, �1 % �00c .Pour �00c < �1, stabilit�e, les auto-oscillations vont d�ecroitre, �1 & �00c .d'o�u l'on peut d�eduire

Cycles limites et m�ethodes du premier harmonique 95- la notion d'auto-oscillations stables et instables.- la notion d'oscillations limites de stabilit�e.Conclusions :1- Une oscillation limite instable n'apparait pas physiquement en tant qu'oscillationdu syst�eme mais constitue une fronti�ere de stabilit�e.- Pour des amplitudes sup�erieures, le syst�eme diverge et tend vers uneoscillation limite stable de plus grande amplitude.- Pour des amplitudes inf�erieures, il revient �a l'�etat d'�equilibre ou vers uneoscillation limite stable de plus faible amplitude.2- Une oscillation limite stable apparait physiquement.Il est important, a�n de comprendre le fonctionnement du syst�eme de trouverses solutions p�eriodiques et d'�etudier leur stabilit�e. La m�ethode est donc la suivante:1- Pour trouver les oscillations limitesLieu critique T Lieu de transfert2- Pour d�eterminer leur stabilit�eCrit�ere de LoebV.2.3 Etude des auto-oscillations et de leur stabilit�eCette �etude se fait de mani�ere syst�ematique �a l'aide d'un crit�ere g�eom�etriqueayant sa contre-partie alg�ebrique.Th�eor�eme 9 : Crit�ere de Loeb - g�eom�etriqueSoit une oscillation limite obtenue comme intersection du lieu de transfert L(j!)et du lieu critique �1N(�1) , poss�edant une pulsation ! = !0 rd=s et une amplitude�1 = �0. Cette oscillation est stable si l'intersection est telle que, en parcourant lelieu de Nyquist L(j!) dans le sens des fr�equences croissantes, on laisse �a sa gauchela direction des �1 croissants sur le lieu critique.Th�eor�eme 10 : Crit�ere de Loeb - alg�ebriqueSoit une oscillation limite obtenue comme intersection du lieu de transfert L(j!) etdu lieu critique �1N(�1), poss�edant une pulsation ! = !0 rd=s et une amplitude �1 = �0,racines de l'�equation complexe: L(j!)N(�1) + 1 = 0

96 Approximation de l'�equivalent harmoniqueS�eparant les parties r�eelles et imaginaires dans cette �equationX(!; �1) + jY (!; �1) = 0L'oscillation sera stable si la condition suivante est v�eri��ee :"@X@�1 @Y@! � @Y@�1 @X@! #(�0;!0) > 0ε1-1/N( )

ε0 ω0C( ),

ε1-1/N( )

L(j ω)

ε0 ω0C( ),

L(j ω)

Oscillations stables Oscillations instablesFigure 5.16 : Crit�ere de LoebV.2.4 Exemples d'applicationAuto-oscillation stable d'un syst�eme par plus ou moinsSoit l'asservissement non lin�eaire donn�e �a la �gure 5.17 dont l'�el�ement non lin�eaireest constitu�e d'un tout ou rien avec seuil plus hyst�er�esis.w

εFigure 5.17 : Non lin�earit�e avec hyst�er�esisCet asservissement est caract�eris�e dans le plan de Nyquist par son lieu critiqueet par son lieu de transfert repr�esent�e �a la �gure 5.18, d'o�u l'on peut d�eduire parapplication du crit�ere de Loeb que l'on a une oscillation limite stable.Remarques:- L'augmentation de la zone morte du relais d�eplace le lieu critique vers lagauche, d'o�u la disparition de l'oscillation libre stable.

Cycles limites et m�ethodes du premier harmonique 97)ε-1/N(

)ε-1/N(

L(jw)

∆

C

Im[.]

Re[.]Figure 5.18 : Lieu de Nyquist- La pr�esence d'hyst�er�esis diminue la fr�equence et augmente l'amplitude del'oscillation libre.Conclusions:Cette oscillation libre d'un syst�eme �a relais se produit ordinairement �a hautesfr�equences et poss�ede une petite amplitude. Cela entraine une vibration du sys-t�eme autour de sa position d'�equilibre qui peut etre g�enante. Il est possible de lafaire disparaitre en agissant sur l'organe non lin�eaire, (augmentation du seuil), ousur l'organe lin�eaire par l'utilisation d'un r�eseau correcteur.Auto-oscillations stables d'un syst�eme lin�eaire satur�e : pompageConsid�erons le syst�eme asservi lin�eaire donn�e �a la �gure ci-dessous. Lorsque l'onaugmente le gain statique, g�en�eralement, le syst�eme se d�estabilise et devient le si�eged'une oscillation de grande amplitude �xe �a la fr�equence telle que Arg[KG(j!)] = �,c'est le ph�enom�ene de pompage, que la th�eorie lin�eaire ne peut expliquer.G(p)K

+ s

-

e εCeci peut etre expliqu�e en introduisant dans le mod�ele lin�eaire un organe nonlin�eaire de type saturation, conduisant �a tracer un lieu critique �equivalent �a celui dela �gure 5.11. En tra�cant le lieu de transfert de l'�el�ement lin�eaire, il y aura inter-section entre les deux courbes pour une valeur de K = Klim, soit en appliquant lecrit�ere de Loeb, une auto-oscillation stable. Le syst�eme tend, en toutes circonstancesvers une auto-oscillation stable. L'amplitude de cette auto-oscillation est �xe, totale-ment d�etermin�ee par l'intersection entre le lieu de transfert et le lieu critique (�gure5.19). Elle di��ere ainsi d'une oscillation libre d'un syst�eme lin�eaire juste oscillant,extremement sensible aux variations de param�etres.

98 Approximation de l'�equivalent harmonique

-1/K

-1/K lim

L(jw)

Im[.]

Re[.]Figure 5.19 : Ph�enom�ene de pompage

Annexe ARecueil d'exercicesExercice 1Soit le syst�eme asservi non lin�eaire donn�e par la �gure 1.1 avec L(p) = 1p(p+1)(p+2)et w = �3.+ s

-N.L. L(p)

e ε wFigure 1.1 :1- Calculer la fonction de transfert g�en�eralis�ee associ�ee �a l'�el�ement non lin�eaire.2- D�eterminer l'existence d'un ou plusieurs cycles limites pour ce syst�eme asservi.Dans l'a�rmative, d�eterminer la stabilit�e, la fr�equence et l'amplitude des cycleslimites. On utilisera la m�ethode alg�ebrique et la m�ethode graphique.Nota : sin4(!t) = 38 � 12cos(!t) + 18cos(4!t).Exercice 2Soit l'�el�ement lin�eaire par morceaux dont la caract�eristique est donn�ee par la �gure1.2.xd

-d

f(x)

Figure 1.2 :99

100 Recueil d'exercices1- Calculer la fonction de transfert g�en�eralis�ee associ�ee �a cet �el�ement non lin�eaire.2- On associe cet �el�ement non lin�eaire �a un �el�ement lin�eaire du premier ordrede constante de temps T avec une int�egration. Etudier l'existence et la stabil-it�e des auto-oscillations, (cycles limites), du syst�eme asservi �a retour unitairer�esultant, (m�ethode analytique ou graphique).Nota : sin2(a) = 1�cos(2a)2 .Exercice 3On consid�ere un �el�ement non lin�eaire dont la caract�eristique entr�ee-sortie est d�e�niepar: y = b1x+ b3x3 + b5x5 + b7x7 + � � �o�u x est l'entr�ee de type sinusoidale de l'�el�ement non lin�eaire et y sa sortie. Montrerque la fonction de transfert g�en�eralis�ee de cette non lin�earit�e peut etre donn�ee par:N = b1 + 34b3X2 + 58X4 + 3564b7X6 + � � �o�u X est l'amplitude de l'entr�ee sinusoidale x = Xsin(!t).Exercice 4Soit un asservissement identique �a celui de l'exercice 1 o�u la fonction de transfert:L(p) = Kp(1 + 0:1p)(1 + 0:002p)et la non lin�earit�e est une saturation intervenant en �20. D�eterminer le plus grandK = Kmax pr�eservant la stabilit�e du syst�eme. Si K = 2Kmax, trouver l'amplitude etla fr�equence des auto-oscillations.Exercice 5On consid�ere toujours le meme type d'asservissement, (exercice 1), avec cette fois:L(p) = (p+ 20)2p(1 + p)(2 + p)(p + 3)et l'�el�ement non lin�eaire est donn�e par le sch�ema 1.3:xd

-d

Pente m1

f(x)Figure 1.3 :Etudier l'existence de cycles limites pour un tel asservissement. S'il en existe, ondonnera leurs caract�eristiques respectives.

101Exercice 6On consid�ere les syst�emes non lin�eaires d�ecrits par les �equations d'�etat suivantes:a� _x1 = x2 � x1(x21 + x22 � 1) _x2 = �x1 � x2(x21 + x22 � 1)b� _x1 = x2 + x1(x21 + x22 � 1) _x2 = �x1 + x2(x21 + x22 � 1)c� _x1 = x2 � x1(x21 + x22 � 1)2 _x2 = �x1 � x2(x21 + x22 � 1)2En utilisant les coordonn�ees polaires, d�eterminer l'existence de cycles limites pources trois syst�emes ainsi que leur nature dans l'a�rmative.Exercice 7Tracer le portrait de phase des syst�emes suivants en utilisant la m�ethode des iso-clines: a� �� + _� + 0:5� = 0b� �� + _� + 0:5� = 1c� �� + _�2 + 0:5� = 0Exercice 8Consid�erer le syst�eme non lin�eaire donn�e par:8>><>>: _x = y + x(x2 + y2 � 1)sin � 1x2+y2�1�_y = �x+ y(x2 + y2 � 1)sin � 1x2+y2�1�Sans r�esoudre les �equations explicitement, montrer que le syst�eme a un nombrein�ni de cycles limites. D�eterminer la stabilit�e de ces cycles limites. On utilisera lescoordonn�ees polaires.Exercice 9Soit le syst�eme pr�esent�e �a la �gure 1.4. Tracer le portrait de phase de ce syst�eme etd�eterminer la stabilit�e du syst�eme.p 2

-

0 1p+a+M

-MFigure 1.4 :Exercice 10On consid�ere l'asservissement et la fonction non lin�eaire repr�esent�es �a la �gure 1.5.

102 Recueil d'exercices+M

-Mp 2

-

0

+1kx sFigure 1.5 :1- Donner les �equations de la trajectoire.2- Tracer les trajectoires dans le plan de phase pour les conditions initialesx1(0) = 1; x2(0) = 0 et kM = 1.3- Donner l'amplitude et la p�eriode des oscillations.4- Etude du r�egime glissant et optimal. On rajoute une contre-r�eaction tachym�etriquede gain T .41- Donner l'�equation des droites de commutation.42- Quelle est la valeur de T pour etre en r�egime glissant ?43- Quelle est la valeur de T pour etre en r�egime optimal ?Exercice 11Les �equations dynamiques non lin�eaires d'un manipulateur �a joints exibles sansamortissement sont donn�ees par:8><>: I�q1 +MgLsin(q1) + k(q1 � q2) = 0J �q2 � k(q1 � q2) = uo�u q1; q2 sont des positions angulaires, I; J sont des moments d'inertie, k est uneconstante d'�elasticit�e,M est la masse totale, L est une distance, et u est un coupled'entr�ee. Choisir les variables d'�etat pour ce syst�eme et �ecrire les �equations d'�etat.Exercice 12Un g�en�erateur synchrone connect�e �a un bus in�ni peut etre repr�esent�e par:8><>: M�� = P �D _� � �1Eqsin(�)� _Eq = ��2Eq + �3cos(�) + EFDo�u � est un angle en radians, Eq est une tension, P est une puissance m�ecaniqued'entr�ee,EFD est un champ�electrique d'entr�ee,D est un coe�cient d'amortissement,M est un coe�cient d'inertie, � une constante de temps et �1; �2; �3 sont desparam�etres constants.1- En utilisant �; _� et Eq comme variables d'�etat, donner les �equations d'�etat dusyst�eme.

1032- Soit P = 0:815; EFD = 1:22; �1 = 2; �2 = 2:7 et �3 = 1:7. Donner les pointsd'�equilibre.3- En supposant que � est relativement grand tel que _Eq � 0. Donner le mod�eler�eduit associ�e. Conclusions.Exercice 13Pour tous les syst�emes suivants, trouver les points d'�equilibre et d�eterminer le typede chaque point d'�equilibre.1- 8><>: _x1 = x2_x2 = �x1 + x316 � x22- 8><>: _x1 = �x1 + x2_x2 = 0:1x1 � 2x2 � x21 � 0:1x313- 8>><>>: _x1 = (1� x1)x1 � 2x1x21+x1_x2 = �1 � x21+x1�x24- 8><>: _x1 = x2_x2 = �x1 + (1 � 2x22 � 3x21)x2Exercice 14Trouver tous les points d'�equilibre du syst�eme:8><>: _x1 = ax1 � x1x2_x2 = bx21 � cx2pour toutes les valeurs r�eelles positives de a; b; c et d�eterminer le type de chaquepoint d'�equilibre.Exercice 15On consid�ere l'asservissement de la �gure 1.6.1- On suppose que y = x:

104 Recueil d'exercices+5

+5-10

-10p 2

1

-

0 x s

F(x)Figure 1.6 :11- Donner la nature et la position des points singuliers.12- Tracer les trajectoires dans le plan de phase pour x1 = �20; x2 = 0.13- En d�eduire l'amplitude et la p�eriode des oscillations.2- On consid�ere maintenant que F (x) est la fonction non lin�eaire repr�esent�eeci-dessus.21- Donner la nature et la position des points singuliers.22- Tracer les trajectoires dans le plan de phase pour x1 = �20; x2 = 0.23- En d�eduire l'amplitude et la p�eriode des oscillations.3- On conserve la fonction non lin�eaire et on rajoute une contre-r�eaction tachym�etriquede gain T = 0:33.31- Quelle est le role de la contre-r�eaction tachym�etrique.32- Donner la nature et la position des points singuliers.33- Tracer les trajectoires dans le plan de phase.Exercice 16Consid�erer le syst�eme: 8><>: _x1 = �x1 + x22_x2 = �x2L'origine est-elle asymptotiquement stable ? Est-elle globalement asymptotiquementstable?Exercice 17Etudier la stabilit�e de l'origine du syst�eme:8><>: _x1 = (x1 � x2)(x21 + x22 � 1)_x2 = (x1 + x2)(x21 + x22 � 1)en utilisant la fonction candidate de Lyapunov:V (x) = ax21 + bx22

105Exercice 18Etudier la stabilit�e de l'origine du syst�eme:8><>: _x1 = �x1 � x2_x2 = x1 � x32Exercice 19Etudier la stabilit�e de l'origine du syst�eme:8><>: _x1 = x1(k2 � x21 � x22) + x2(x21 + x22 + k2)_x2 = �x1(x21 + x22 + k2)� x2(x21 + x22 � k2)en utilisant la fonction candidate de Lyapunov:V (x) = x21 + x22quand (a) k = 0 et (b) k 6= 0.Exercice 20Consid�erer le syst�eme du second ordre:8><>: _x1 = �6x1u2 + 2x2_x2 = �2(x1+x2)u2o�u u = 1 + x21. En utilisant la fonction candidate de Lyapunov:V (x) = x211 + x21 + x22montrer que V (x) > 0 et _V (x) < 0 pour tout x 2 R2.Exercice 21Consid�erer le syst�eme: 8>>>>>><>>>>>>: _x1 = �x1 + g(x3)_x2 = �g(x3)_x3 = �ax1 + bx2 � cg(x3)o�u a; b et c sont des constantes positives et g(:) satisfait:g(0) = 0 et yg(y) > 0; 8 0 < jyj < kpour tout k > 0.1- Montrer que l'origine est un point d'�equilibre unique.

106 Recueil d'exercices2- Avec V (x) = a=2x21 + b=2x22 + Z 30 g(y)dycomme fonction candidate de Lyapunov, montrer que l'origine est asympto-tiquement stable.Exercice 22Consid�erer le syst�eme: 8>>>>>><>>>>>>: _x1 = �x1 + 11+x3_x2 = x1 � 2x2_x3 = �3x3 + x2et montrer qu'il poss�ede un point d'�equilibre unique dans la r�egion xi � 0; i = 1; 2; 3;et �etudier la stabilit�e de ce point d'�equilibre en utilisant la m�ethode de lin�earisation.Exercice 23Consid�erer le syst�eme:8><>: _x1 = (x1x2 � 1)x31 + (x1x2 � 1 + x22)x1_x2 = �x21- Montrer que l'origine est un point d'�equilibre unique.2- Montrer par la m�ethode de lin�earisation que l'origine est asymptotiquementstable.3- Est-ce un point d'�equilibre globalement asymptotiquement stable ?Exercice 24Consid�erer le syst�eme: 8><>: _x1 = �x1 + x2_x2 = (x1 + x2)sin(x1)� 3x21- Montrer que l'origine est un point d'�equilibre unique.2- Montrer par la m�ethode de lin�earisation que l'origine est asymptotiquementstable.3- Est-ce un point d'�equilibre globalement asymptotiquement stable ?Exercice 25Consid�erer le syst�eme:8><>: _x1 = x2_x2 = �x1 � x2 � (x1 + 2x2)(1� x22)

107En utilisant la fonction candidate de Lyapunov V (x) = 5x21 + 2x1x2 + 2x22, montrerque l'origine est asymptotiquement stable.Exercice 26Pour les syst�emes de fonction de transfert donn�ees ci-dessous, �etudier le probl�emede stabilit�e absolue pour �(y) 2 [0 k], en utilisant dans chaque cas le crit�ere dePopov et le crit�ere du cercle.1- G(p) = 1�p(1+p)22- G(p) = 1(1+p)(p+2)3- G(p) = pp2�p+1

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