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8/7/2019 cours-exo-corr

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Mcanique des fluides

Promotion IGE

Philippe Fichou2001-2002


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CHAPITRE 1. GNRALITS - QUATIONS GNRALES 2

Chapitre 1

Gnralits - quations gnrales

Ce chapitre est consacr des rappels et des complments de mcanique des milieux continus (MMC)applicables la mcanique des fluides, ainsi quaux quations et thormes qui en rsultent.

Lhypothse fondamentale de la MMC est la continuit du milieu caractrise par lemploi de fonctionsreprsentant le modle, supposes continues dans les domaines auxquelles elles sappliquent.

1.1 Gnralits

1.1.1 Thormes gnraux

Le modle de la mcanique des fluides utilise frquemment les oprateurs vectoriels et tensoriels. Rappe-lons ici leurs dfinitions et les thormes les plus employs sans dmonstration.

1.1.1.1 Dfinitions des oprateurs vectoriels et tensoriels

Les diffrentes dfinitions seront donnes dans les bases cartsiennes (e1,e2,e3), cylindrique (er,e,ez) etsphrique (er,e,e).

Remarques : Nous utiliserons la convention dEinstein pour lindice muet, cest--dire que les indicesrpts dans un mme monme signifient une sommation de 1 3.

La drive par rapport un axe du repre est note indiffremment i ou ,i.

Le vecteur gradient dune fonction scalaire

gradf = f,iei (1.1)

= f,rer +f,

r

e + f,zez (1.2)

= f,rer +f,r

e +f,

r sin e (1.3)

Le scalaire laplacien dune fonction scalaire

f = f,ii (1.4)

=1

r(rf,r),r +

1

r2f, + f,zz (1.5)

= f,rr +1

r2f, +

1

r2 sin2 f, +

2

rf,r +

cos

r2 sin f, (1.6)

Le scalaire divergence dune fonction vectorielle

divF = Fi,i (1.7)

= Frr

+ Fr,r + F,r

+ Fz,z (1.8)

= Fr,r +1

rF, +

1

r sin F, +

2

rFr +

cot

rF (1.9)


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1.1. GNRALITS 3

Le vecteur rotationnel dune fonction vectorielle

rotF = ijkFk,jei (1.10)

= (

1

r Fz , F,z)er + (Fr ,z Fz ,r)e +1

r [(rF),r Fr,]ez (1.11)= (

1

rF, 1

r sin F, +

cot

rF)er + (

1

r sin Fr, F,r 1

rF)e

+(F,r 1r

Fr, +1

rF)e (1.12)

Le vecteur divergence dun tenseur du second ordre symtrique

div(F) = Fij ,jei (1.13)

= [Frr ,r +Fr ,

r+ Frz ,z +

Frr Fr

]er + [Fr ,r +F

r+ Fz ,z + 2

Frr

]e

+[Fzr ,r +Fz

r

+ Fzz ,z +Fzr

r

]ez (1.14)

= [Frr

r+

Frr

+1

r sin

Fr

+ (2

rFrr F F) + cot

rFr ]er

+[Fr

r+

Fr

+1

r sin

F

+3

rFr +

cot

r(F F)]e

+[Fr

r+

Fr

+1

r sin

F

+3

rFr + 2

cot

tF]e (1.15)

Le tenseur gradient dune fonction vectorielle

gradF = Fi,jei ej (1.16)

= Fr,r(Fr ,F)

r Fr,z

F,r (F,+Fr)r F,zFz,r

Fz,r Fz ,z

(1.17)

=

Fr ,r

Fr ,Fr

Fr ,r sin

+Fr

F,r(F,+Fr)

rF,r sin

F cot r

F,rF,r

F,r sin

+ Frr

+ F cotr

(1.18)

1.1.1.2 Proprits des oprateurs

div(rotF) = 0 (1.19)

rot(gradf) = 0 (1.20)

rot(fF) = frotF + gradf F (1.21)

div(fF) = fdivF + gradf F (1.22)

div(gradf) = f (1.23)

rot(rotF) = grad(divf) F (1.24)


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1.1. GNRALITS 4

1.1.1.3 Thormes gnraux

On note D un domaine fluide de frontire D . Soit dV un lment de volume entourant un point M dudomaine, et dA un lment de surface de D entourant un point P o la normale la frontire est n

voir figure ci-dessous .

Le thorme de la divergence et ses applications

Si Fijk(M,t) est une fonction continue sur le domaine D, alors:D

Fijk ,k dV =

D

Fijknk dA (1.25)

Le thorme dOstrogradsky : D

divF dV =

D

F n dA (1.26)

Le thorme de Green:

Dgradf dV =

Dfn dA (1.27)

D

rotF dV =

D

n F dA (1.28)

D

divF dV =

D

Fn dA (1.29)

Le thorme de Stokes : C

F(M,t) dM =

S

rotF n dA (1.30)

Le thorme de lintgrale nulle :d

f(M,t) dV = 0 d D f(M,t) = 0 M (1.31)

1.1.2 Grandeurs caractristiques des milieux continus

Une particule matrielle dun milieu continu est dfinie par :

des variables cinmatiques: les composantes (U1,U2,U3) du vecteur U,

des variables thermodynamiques: la pression p, la temprature T et la masse volumique .

Le domaine D est caractris par :

sa masse m(D,t) :

m(D,t) =

D

(M,t) dV (1.32)


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1.1. GNRALITS 5

son torseur cintique : C(D,t) :

C(D,t) =

R(D,t) =

D

(M,t)U(M,t) dVMO(D,t) = D (M,t)OM U(M,t) dV

(1.33)

son nergie cintique T(D,t) :

T(D,t) =1

2

D

(M,t)U2(M,t) dV (1.34)

son nergie interne E(D,t) :On notera e(D,t) lnergie interne par unit de masse :

E(D,t) = D (M,t)e(M,t) dV (1.35) son entropie S(D,t)On notera s(D,t) lntropie par unit de masse :

S(D,t) =

D

(M,t)s(M,t) dV (1.36)

remarque : on peut dfinir lenthalpie massique par la relation : h = e + p .

1.1.3 Actions extrieures et intrieures

1.1.3.1 Les actions extrieuresLes actions extrieures au domaine D sont de deux types :

distance,

de contact.

Elles peuvent tre dorigine mcanique, thermique, lectrique, chimique . . . Nous ne prendrons en compteque les deux premires.

Les actions mcaniques : actions distance: Elles sont caractrises par une densit massique de force f(M,t). En gnral, cettedensit drive dun potentiel et on peut crire :

f =

grad(U(M)) (1.37)

Dans le cas des forces de pesanteur, on peut crire :

U(M) = gh (1.38)

dans laquelle g est lacclration de la pesanteur et h la hauteur du point M par rapport une rfrence.

actions de contact: Elles sont reprsents par une densit surfacique deffort T(P,t) sur la frontire Ddu domaine ;

puissance mcanique des efforts extrieurs: Elle scrit :

Pm =

D

f U dV +D

T U dA (1.39)

Les actions thermiques : actions distance: Le rayonnement r(M,t) densit massique est de ce type. Dans tous les castudis dans ce cours, il sera suppos nul.


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1.2. CINMATIQUE DES MILIEUX CONTINUS 6

actions de contact : La conduction thermique est une action de contact. On dfinie la densit surfaciquede taux de chaleur traversant une frontire D en un point P : (P,n,t).

Avec lhypothse que dpend de P, t et de la normale n, on peut dmontrer lexistence dun vecteurflux thermique ou courant de chaleur q(P,n,t) tel que :

(P,n,t) = q(P,n,t) n (1.40) puissance thermique (taux de chaleur) recue de lextrieur par le domaine D :

Pt =

D

rdV D

q n dA =D

[r div(q)] dV (1.41)

1.1.3.2 Actions intrieures

Les actions intrieures sont reprsentes par le tenseur des contraintes (M,t), qui permet de dterminer,pour tout point M et la normale n, le vecteur contrainte T(M,n,t) :

T(M,n,t) =

n ou Ti = ijnj (1.42)

En mcanique des fluides, on distingue les contraintes de pression des contraintes visqueuses et on crit :

= pI + (1.43)I: tenseur unit (composantes : ij , symbole de Kronecker),

: tenseur des contraintes visqueuses,

p : pression

puissance des efforts intrieurs: elle scrit :

Pi = D

kjUk,j dV = D

grad(U) dV (1.44)

1.2 Cinmatique des milieux continus

1.2.1 Variables de Lagrange et variables dEuler

1.2.1.1 Variables de Lagrange (a1,a2,a3,t)

Les variables de Lagrange (a1,a2,a3,t) dfinissent le point matriel dans un tat de rfrence. La variable treprsente le temps. Dans la majorit des cas, les ai sont les coordonnes de la position du point matrieldans sa configuration initiale (t = 0).

Avec cette description, toutes les inconnues du problme (coordonnes (x1,x2,x3) de la position du pointmatriel un instant t, vitesse, pression,. . . ) scrivent en fonction de (a1,a2,a3,t). En particulier, lescomposantes de la vitesse Ui dun point matriel un instant t donn scrivent en supposant que les xi

sont exprims en fonction de (a1,a2,a3,t) :

xi = xi(a1,a2,a3,t) x = x(a,t) (1.45)

Ui =xi(a1,a2,a3,t)

tU =

x(a,t)

t(1.46)

1.2.1.2 Variables dEuler (x1,x2,x3,t)

Les variables xi sont les coordonnes dun point reprsentant la position du point matriel linstant t.Avec cette description, on peut tudier ltat actuel du milieu sans sintresser une particule matrielledtermine.

La diffrence entre les deux descriptions est donc, que du point de vue de Lagrange, on dcrit les variationsde la vitesse, de lacclration, de la temprature,. . . dun point matriel particulier, alors que selon lepoint de vue dEuler, on dcrit ces mmes quantits dans une rgion spatiale donne sans individualiserles particules matrielles. Cest cette dernire description qui est la plus utilise en mcanique des fluides.


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1.2.2 Gradient de la transformation

Considrons un point matriel P qui, linstant, se trouvait au point M0 de coordonnes ai, et qui setrouve linstant t au point M de coordonnes xi. Considrons un point matriel P infiniment voisin de

P (dP = PP). Soit M0, infiniment voisin de M0 la position initiale de P ; et soit M infiniment voisinde M (continuit de la transformation) la position de P linstant t. On a :

dx = MM = F da da = M0M0 (1.47)

avec Fij =xiaj

. Le tenseur ((gradient F)) (ou application linaire tangente) permet de dcrire la transfor-mation gomtrique au voisinage du point matriel P. Les lois de transformation de llment de volumeet de llment de surface sont :

dV = JdV0 J = det(F) (1.48)

dSn = JdS0Ft

n0 (1.49)

Le scalaire J est le jacobien de la transformation 1.45. La continuit de la transformation implique que

J est strictement positif et fini. Le tenseur Ft est linverse du transpos de F.

1.2.3 Drives particulaires

Lutilisation des variables dEuler pose un problme de drivation. En effet, considrons une grandeurh que lon suppose attache un point matriel M et dont on veut tudier la variation par rapportau temps. Si on dcrit h(a1,a2,a3,t) en variables de Lagrange, la drive par rapport au temps est ladrive partielle classique par rapport t. Si on crit h(x1,x2,x3,t) en variables dEuler, il ne suffit plusde faire une drive partielle par rapport t puisque les xi dpendent de t (on sintresse un pointmatriel particulier), on introduit alors la drive particulaire (ou totale) qui tient compte de la variationtemporelle des xi :

h = dhdt

= ht

+ hxi

xit

=h

t+ gradh U (1.50)

dans laquelle U est la vitesse de M. On dmontre en particulier que :

J = JdivU (1.51)

Il est souvent ncessaire de connatre la drive particulaire dune fonction vectorielle et dune intgralede volume. Nous vous donnons ci-aprs les formules correspondantes :

dF

dt=

F

t+ gradF U dFi

dt=

Fit

+ gradFi U (1.52)d

dt

D

f(xi,t) dV =D

f

t(xi,t) dV +

D

fU n dA (1.53)

=

D

f

t(xi,t) + div(fU) dV (1.54)

1.2.4 Trajectoires, lignes de courant, lignes dmission, dbits

1.2.4.1 Trajectoires

Un point matriel dont on suit le mouvement au cours du temps, dcrit une trajectoire (lieu des positionsdune particule). En coordonnes de Lagrange, la trajectoire dune particule est donne par les relations1.45. En coordonnes dEuler, les trajectoires sobtiennent en intgrant le systme diffrentiel suivant au

cours du temps:

dx1U1(xi,t)

=dx2

U2(xi,t)=

dx3U3(xi,t)

= dt (1.55)


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Pour matrialiser une trajectoire, il suffirait, par exemple, de considrer une particule solide en suspension,de mme masse volumique que le fluide et de photographier lcoulement avec un temps dexpositionsuffisamment long.

1.2.4.2 Lignes de courant

un instant t fix, les lignes de courant sont les lignes tangentes au vecteur vitesse U. Ils sobtiennenten intgrant le systme suivant, o t est considr comme un paramtre.

dx1U1(xi,t)

=dx2

U2(xi,t)=

dx3U3(xi,t)

(1.56)

Pour dcrire une trajectoire, il faut suivre une particule matrielle au cours du temps, alors quune lignede courant est dfinie un instant donn; sur une ligne de courant il y a une infinit de particulesmatrielles.

Une surface de courant est lensemble des lignes de courant qui sappuient sur une courbe C. Lorsque

cette courbe est ferme, la surface de courant sappelle un tube de courant. Si laire dune section droitedun tube de courant est lmentaire, le tube de courant est un filet de courant.

1.2.4.3 Lignes dmission

Une ligne dmission relative un point M, est lensemble des positions linstant t des particules quisont passes ou qui passeront par le point M.

1.2.4.4 Dbits la traverse dun tube de courant

Considrons une section S dun tube de courant, on a :

dbit massique

qm(S) =S

(M,t)v(M,t) n dS

dbit volumiqueqv(S) =

S

v(M,t) n dS

1.2.4.5 coulement stationnaire

On dit que le mouvement du fluide est permanent ou stationnaire si la vitesse U et toutes les caractris-tiques du milieu en un point ne dpendent que de xi (pas du temps t). Dans ce cas, lignes de courant,lignes dmission et trajectoires sont confondues.

1.2.5 Mouvement du fluide

Le mouvement du fluide autour dun point M est caractris par le tenseur gradient des vitesses :

L = gradU = F F1 = D + W Lij = Ui,j (1.57)

D partie symtrique de L est le tenseur taux de dformation; il caractrise la vitesse de dformation dufluide:

Dij =1

2(Ui,j + Uj,i) (1.58)

W partie antisymtrique de L est le tenseur taux de rotation; il caractrise la vitesse de rotation dufluide:

Wij =1

2(Ui,j Uj ,i) (1.59)


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1.3. PRINCIPES DE LA MCANIQUE DES MILIEUX CONTINUS 9

W tant antisymtrique, on dfinit le vecteur correspondant que lon appelle vecteur tourbillon :

W dM = dM = 12

rotU (1.60)

Si on considre un point M infiniment voisin de M, la vitesse de M scrit:

U(M,t) = U(M,t) translation

+ MM rotation

+ D MM deformation

(1.61)

Lacclration a dun point M tant la drive totale de la vitesse U, on a :

ai(M,t) =dUidt

=Uit

+ gradUi U (1.62)

a(M,t) =dU

dt=

U

t+ gradUi U (1.63)

a(M,t) =dU

dt=

U

t+ grad(

U2

2) + rotU

U (1.64)

1.3 Principes de la mcanique des milieux continus

1.3.1 Principe de la conservation de la masse (PCM)

La masse m dun domaine fluide quelconque D, que lon suit au cours du temps reste constante :

dm

dt= 0 (1.65)

En explicitant la drive particulaire de m, on obtient lquation globale de conservation de la masse :

ddt

D

dV =D

( t

+ divU) dV = 0 (1.66)

Cette quation devant tre vrifie pour tout domaine D, le thorme de lintgrale nulle permet dobtenirlquation locale de conservation de la masse dite quation de continuit :

t+ divU =

d

dt+ divU = 0 (1.67)

Si le fluide est incompressible: = 0, et

divU = Ui,i = 0 (1.68)

Si lcoulement est stationnaire :

t

= 0, et

divU = divU + grad U = 0 (1.69)

Remarque : Compte tenu de la relation 1.67, la drive particulaire dune intgrale de volume o est enfacteur scrit :

d

dt

D

f dV =

D

df

dtdV (1.70)

1.3.2 Principe fondamental de la dynamique (PFD)

Ce principe exprime la conservation de la quantit de mouvement : la drive particulaire du torseurcintique est gale au torseur des efforts extrieurs.

dCdt

= Fext (1.71)


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1.3. PRINCIPES DE LA MCANIQUE DES MILIEUX CONTINUS 10

Sachant que :

dCdt

=

dRdt =

D

dUdt dVdMOdt = D d(OMU)dt dV

(1.72)

et

Fext =

Rext =D

fdV +D

n dA =D

f + div dVMext =

D

OM fdV + D OM (n) dA (1.73)Lquation de la rsultante scrit, dune manire globale :

D

(f + div dUdt

) dV = 0 (1.74)

Le domaine D pouvant tre quelconque, on aboutit lquation locale dite quation de la quantit demouvement :

f + div = dUdt

= a (1.75)

ou, en notation indicielle

ij ,j + fi = dUidt

= ai (1.76)

Lquation des moments aboutit la symtrie du tenseur des contraintes.

Thorme de lnergie cintique : La drive totale de lnergie cintique dun domaine D est gale la somme des puissances des efforts extrieurs (mcaniques) et intrieurs.

Ce thorme sobtient en multipliant scalairement lquation 1.75 des deux cots par U et en intgrantsur un domaine D :

d

dt

D

U2

2dV

dTdt

=D

f U dV +D

U (n) dA Pm

+D

trace(D) dV Pi

(1.77)

1.3.3 Premier principe de la thermodynamique (PPT)

Ce principe conduit la dfinition de lnergie interne dun systme et traduit la conservation de lnergietotale. Il snonce : La drive totale de lnergie interne et de lnergie cintique, dun milieu contenu dansun domaine D, est gale la somme des puissances des actions extrieures (mcaniques et thermiques):

d(E+ T)

dt

= Pm + Pt (1.78)

avec la relation 1.77, on a :

dE

dt= Pt Pi (1.79)

La forme globale de ce principe est automatique partir de 1.78 et 1.79 et des relations 1.34, 1.35, 1.39,1.41 et 1.44. Sa forme locale (quation de lnergie) est :

de

dt= r divq pdivU + D (1.80)

1.3.4 Second principe de la thermodynamique (SPT)

Ce principe conduit la dfinition de la temprature absolue T(M,t) et de lentropie S (relation 1.36) dusystme (domaine D). Lentropie caractrise une variation dnergie due une variation de temprature.


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1.4. LOIS DE COMPORTEMENT 11

Le principe snonce : le taux de production dentropie est suprieur ou gal au taux de chaleur reuedivise par la temprature.

dS

dt D r

TdV

Dq n

TdA (1.81)

Lcriture locale de 1.81 est obtenue en utilisant 1.36, 1.29 et 1.70 :

ds

dt r divq + q gradT

T(1.82)

1.3.5 Conclusions

Pour dterminer compltement ltat dun milieu fluide, il faut connatre, en chaque point du domaine :

la masse volumique , la vitesse U,

la pression p, les contraintes visqueuses , la temprature T, le flux thermique q, lnergie interne e, lentropie s.

soit au total 17 inconnues scalaires caractrisant le milieu. Les quations dont on dispose pour dterminerces fonctions sont au nombre de 5, et sont indpendantes de la nature du milieu:

PCM (1.67) : 1 quation, PFD (1.75) : 3 quations, PPT (1.80): 1 quations.

Il nous faut encore 12 relations pour rsoudre le problme compltement : ce sont les lois de comportementet les quations dtat. Ces relations caractrisent les proprits physiques intrinsques du fluide. Ellesne doivent pas contredire le SPT (1.82).

1.4 Lois de comportement

1.4.1 Comportement mcanique

La loi de comportement exprime la relation entre le tenseur des contraintes visqueuses et le tenseur desdformations D ; on supposera toujours que le fluide est homogne et isotrope. On tudiera essentiellementles deux comportements suivants :

fluide homogne :

grad = 0 (1.83)

fluide parfait:

= 0 = pI (1.84)

fluide visqueux newtonien (comportement linaire)

= divUI + 2D (1.85)

avec la viscosit dynamique du fluide.


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1.4. LOIS DE COMPORTEMENT 12

1.4.2 Comportement thermique

La loi de comportement exprime la relation entre q et grad T. On tudiera essentiellement les deuxcomportements suivants :

Fluide non conducteur :

q = 0 (1.86)

Fluide conducteur linaire (loi de Fourier)

q = k grad T (1.87)

avec k la conductivit thermique du fluide.

1.4.3 quations dtat

Elles prcisent les relations entre les variables dtat (cest--dire donnant une information sur ltat dunsystme) caractrisant le fluide.

= (p,T) d

= dp dT (1.88)

avec = 1V (Vp )T : compressibilit isotherme et = 1V (VT )p fluide incompressible: = 0 gaz parfait : p

= rT, avec r, constante des gaz parfaits.

s = s(p,T) T ds = hTdp + CpdT (1.89)

avec Cp, la capacit thermique (massique pression constante).

e = e(p,T) de = T ds pdV (1.90)

On dmontre que

hT = T

(1.91)

Avec les quations tires des diffrents principes, les lois de comportement et les quations dtat, leprocessus thermodynamique est compltement dfini. Malheureusement dans la majorit des cas, le r-solution des quations est trs difficile voire impossible; on est souvent amen faire des hypothsessimplificatrices.


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CHAPITRE 2. STATIQUE DES FLUIDES 13

Chapitre 2

Statique des fluides

Ce chapitre traite de lquilibre des fluides par rapport un rfrentiel donn. La vitesse de tous les pointsmatriels tant nulle par rapport ce rfrentiel, les tenseurs taux de dformations D et des contraintesvisqueuses sont nuls. Le tenseur des contraintes scrit alors :

= pI ij = pij (2.1)On dit que lquilibre du fluide est absolu, si le rfrentiel galilen ; sinon, lquilibre est dit relatif. Dansce dernier cas, la seule quation qui change est lquation de la quantit de mouvement (PFD). Pour seramener aux quations de lquilibre absolu, il suffit de tenir compte, dans les forces massiques distance,des forces dinertie dentranement (les forces dinertie complmentaire tant videmment nulles puisqueles vitesses relatives sont nulles).

2.1 quations gnrales

2.1.1 quations locales

2.1.1.1 quation de continuit

La vitesse U tant nulle, lquation 1.67 devient :

d

dt=

t= 0 = (xi) (2.2)

Cette quation indique que ne peut dpendre que des coordonnes spatiales xi.

2.1.1.2 quation dynamique (quantit de mouvement)

Lquation 1.75 devient, en utilisant 2.1 :

gradp = f (2.3)

Lquation ci-dessus reliant un inconnue scalaire p un vecteur donn f, ne peut pas tre satisfaite pourf quelconque. Si on calcule rot f en utilisant lquation 2.3 et compte tenu des proprits du rotationnel,on a :

rot f = grad1

f (2.4)

et donc :

f

rot f = 0 (2.5)

La relation 2.5 est une condition ncessaire pour quil puisse y avoir quilibre. On montre qu un champ deforce f donn satisfaisant lquation 2.5, on peut associer deux champs scalaires (x1,x2,x3) et p(x1,x2,x3)vrifiant lquation dquilibre 2.3.


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2.1. QUATIONS GNRALES 14

La fonction scalaire p, appele pression, nest fonction que de la position du point et du temps ; elle estdonc indpendante de lorientation de la facette ; ceci constitue la loi de comportement statique du fluide.La pression ne peut tre quune fonction strictement positive p > 0.

2.1.1.3 quation de lnergie

Si on nglige le rayonnement, et si le milieu est en quilibre (lnergie interne ne dpend pas du temps),lquation 1.80 se rduit :

div q = 0 (2.6)

Si le comportement thermique du fluide est linaire (1.86) avec un cfficient de conductivit thermiqueconstant, 2.6 devient :

T = 0 (2.7)

2.1.1.4 quation dtat

f(,p,T) = 0 (2.8)

Si le fluide est incompressible : = constante ;

Si le fluide est un gaz parfait : p

= RT R = constante.

La rsolution de ces quations ncessite la dfinition des conditions aux limites (pression, temprature,masse volumique) qui ne sont pas compltement arbitraires, sinon lquilibre ne pourrait pas avoir lieu.

2.1.2 Surfaces de niveau

Les surfaces de niveau sont, par dfinition, les surfaces pression constante. Lquation 2.3 est quivalente lquation diffrentielle suivante :

dp

= f1dx1 + f2dx2 + f3dx3 (2.9)

f1, f2 et f3 sont les composantes de f. Les surfaces de niveau (dp = 0) sont donc dtermines parlquation diffrentielle :

f1dx1 + f2dx2 + f3dx3 = 0 (2.10)

Les surfaces de niveau dpendent uniquement des forces massiques distance. On peut noncer les

remarques suivantes :

la surface libre dun fluide est une surface de niveau ; la surface de sparation de deux fluides de masses volumiques diffrentes et soumis aux mmes forces

massiques est une surface de niveau. En effet, au niveau de cette surface, on doit avoir continuitde la pression en tout point :

p1 = p2 dp1 = dp2soit

(1 2)(f1dx1 + f2dx2 + f3dx3) = 0(1 2) tant non nul, cette surface vrifie lquation 2.10.

Si les forces massiques drivent dun potentiel :

f = grad U (2.11)


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2.2. QUILIBRE DUN FLUIDE INCOMPRESSIBLE HOMOGNE : HYDROSTATIQUE 15

La relation 2.9 scrit :

dp = dU (2.12)

La relation prcdente implique que (en remarquant que si U est une constante alors p lest aussi, et vuelquation dtat 2.8) :

p = p(U), = (U), T = T(U) (2.13)

Le relations 2.13 indiquent que les surfaces quipotentielles (U = constante) sont les surfaces pression,masse volumique et temprature constantes. Un tel quilibre ne peut avoir lieu que pour des conditionsaux limites adquates.

2.1.3 quilibre isotherme

Si on considre un quilibre isotherme (T = constante), lquation de lnergie 2.7 tant satisfaite, seulelquation dynamique 2.3 doit tre satisfaite. Lquation dtat 2.8 indique que, dans ce cas, la massevolumique est fonction uniquement de la pression ( = (p)), on peut donc poser :

P =

dp

(p)(2.14)

La relation 2.3 devient:

f = grad P (2.15)

Pour que cette quation puisse tre satisfaite, il faut que f drive dun potentiel 2.11. Lintgration de

2.15 donnerait alors :

P + U = constante (2.16)

2.2 quilibre dun fluide incompressible homogne : hydrostatique

Dans ce paragraphe, nous tudions lquilibre dun fluide homogne incompressible : = constante. Lesquations satisfaire sont lquation dynamique et lquation de lnergie. Lquation dynamique 2.3 nepeut tre satisfaite que si f drive dun potentiel (2.11), dans ce cas 2.3 sintgre directement et donne :

p + U = constante (2.17)

Le thorme de Pascal: si, pour un point particulier du fluide, on connat la pression et le potentiel(p0,U0), 2.17 scrit :

p = p0 + (U0 U) (2.18)

La quantit (U0 U) rsulte uniquement des forces massiques, et ne dpend donc pas de p0. Si, auxpoints situs la frontire du fluide, on augmente ou on diminue la pression p0, dune certaine valeur(sans perturber lquilibre du fluide), la relation 2.18 indique quen tous les points du domaine occup parle fluide, la pression augmentera ou diminuera de la mme valeur. Ceci constitue le principe de Pascal :

La pression extrieure applique la surface dun fluide au repos est transmise par le fluide intgralementdans toutes les directions.

Cette proprit des fluides incompressibles est souvent utilise en mcanique (freins hydrauliques dauto-

mobiles, vrins,. . . ).


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2.2. QUILIBRE DUN FLUIDE INCOMPRESSIBLE HOMOGNE : HYDROSTATIQUE 16

2.2.1 quilibre dans le champ de pesanteur

Dans ce cas, si x3 est laxe vertical ascendant, U scrit :

U = g(x3 x30) (2.19)La relation 2.18 devient alors :

p = p0 g(x3 x30) (2.20)

les surfaces de niveau p = constante sont des plans horizontaux ; la surface libre est un plan horizontal ; la surface de contact entre deux fluides pesants de masses volumiques diffrentes est dans un plan

horizontal ; la pression diminue avec laltitude ; la diffrence de pression entre deux points situs des altitudes diffrentes x3 et x30 est gale au

poids dune colonne de fluide de base unit et de hauteur x x30. Ce rsultat est dailleurs valablemme pour les fluides compressibles en quilibre dans la pesanteur.Application : la pompe pression

Le principe dune pompe piston vertical (figure ci-aprs) est le suivant : le dplacement vertical ascendantdun piston dans un tube cre une dpression. Le piston qui, au dpart, tait en contact avec la surface deleau va donc laspirer. Il est bien vident qu partir dune hauteur hmax la pression au-dessus de leausannule ou devient gale la pression de vapeur saturante, et que lon ne puisse plus faire monter leau.En posant p0 = patm et p = 0 dans 2.20, on obtient hmax =

patmg . Soit, si patm = 1 bar et = 1000kg.m

3,alors hmax = 10 m.

2.2.2 quilibre par rapport un rfrentiel en mouvementConsidrons lquilibre dun fluide incompressible pesant par rapport un rfrentiel anim dun mouve-ment de rotation uniforme de vitesse angulaire , autour dun axe x3 vertical ascendant (figure ci-aprs).Dans ce cas, le potentiel des forces massiques (y compris les forces dinertie) scrit :

U = gx3 2r2

2(2.21)

La surface libre tant une surface quipotentielle, elle est dfinie par :

x3 = x30 +2r2

2g(2.22)


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2.3. QUILIBRE DUN FLUIDE COMPRESSIBLE 17

Cest donc un parabolode de rvolution concave vers le haut. La pression est :

p = p0 g(x3 x30) + 2r2

2(2.23)

Dans une citerne anime dun mouvement de translation uniformment vari (acclration a), la surfacelibre dun fluide pesant en quilibre fera avec lhorizontale un angle constant.

Les directions des rsultantes des forces massiques (pesanteur + inertie) font, avec la verticale, un angle

constant (voir figure) avec :

tan =a

g(2.24)

2.3 quilibre dun fluide compressible

Dans ce paragraphe, on traite de lquilibre des fluides compressibles. En dehors du cas o les forcesmassiques sont nulles (p = constante), on ne pourra, en gnral, intgrer lquation 2.3 que si lon connatlquation dtat du fluide. Nous supposons dans toute la suite que les forces massiques sont les forcesde la pesanteur (axe z vertical ascendant). Nous avons dj montr (2.13) que dans ce cas, les surfacesquipotentielles (x3 = constante) sont les surfaces pression, masse volumique et temprature constantes :

p = p(x3), = (x3), T = T(x3) (2.25)

p p0 =

(x3)g dx3 (2.26)

La relation 2.26 montre, dune part, que p est dcroissante en x3, dautre part, que la diffrence de pressionentre deux points situs deux altitudes diffrentes x3 et x30 est gale au poids dune colonne de fluidede section unit et de hauteur x3 x30.Considrons lquilibre dun gaz parfait, la loi dtat scrit donc :

p = RT (R = constante) (2.27)

et donc :

dp

p= gdx3

RT(2.28)


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2.4. ACTIONS EXERCES PAR UN FLUIDE AU REPOS SUR DES CORPS IMMERGS 18

soit

p

p0= exp( g

R

x3x30

dx3T

) (2.29)

Lquation 2.29 est appele quation baromtrique. Elle est la base du nivellement baromtrique. Connais-sant la temprature en fonction de laltitude, on peut laide de 2.29 dterminer la variation de la pressionavec laltitude.

si = constante (atmosphre homogne), alors p et T sont des fonctions linaires en x3. Il existedonc une altitude h telle que p(h) = 0. La hauteur de latmosphre dair se trouve tre finie si lonassimile lair un fluide incompressible.

h =patm

g= 8000 metres (2.30)

si lon suppose que latmosphre est en quilibre isotherme (T = constante), selon 2.29, la pressiondiminue avec laltitude suivant une loi exponentielle (hauteur de latmosphre infinie) :

p

p0= exp[ g(x3 x30)

RT] (2.31)

si T est linaire en x3 :

T = T0 ax3 (2.32)2.29 donne :

p

p0= (1 ax3

T0)gaR (2.33)

Latmosphre est donc finie : h = T0a

Cette formule baromtrique 2.29 est trs employe en aronautique (comparaisons des performances desavions) pour calculer la densit de lair partir des mesures exprimentales de pression et de temprature.On utilise souvent dans ces calculs la notion datmosphre standard dfini comme suit :

troposphre: jusqu 11 km daltitude, T est suppose linaire en x3 suivant la relation 2.31, avecT0 = 288K et a = 0,0065 K/m,

stratosphre: au-dessus de 11 km, latmosphre est suppos isotherme (T =-56 oC).

2.4 Actions exerces par un fluide au repos sur des corps immer-gs

Il sagit ici des quations globales de lquilibre. Considrons un solide de volume V dlimit par la surfaceV entirement plong dans un fluide au repos. La rsultante et le moment de tous les efforts exercs parle fluide sur ce solide sont :

R = V

pn dA (2.34)

M(O) = V

pOP n dA (2.35)

Les composantes du torseur des actions exerces par le fluide sur le solide, R et M(O), dtermines parles conditions dquilibre du fluide, sont indpendantes de la nature du corps (solide). Lquilibre du fluideentourant le solide (ainsi donc que R et M) ne sera pas modifi si lon remplace le solide par le volume dufluide au repos avec des distributions des pressions et des masses volumiques satisfaisant aux quations

de lquilibre. Dans ce cas, en utilisant le thorme de Green (1.27), 2.34 devient:

R = V

gradpdV = V

pfdV (2.36)


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2.4. ACTIONS EXERCES PAR UN FLUIDE AU REPOS SUR DES CORPS IMMERGS 19

La rsultante R est donc gale au poids du fluide contenu dans le volume V ; cest le principe dArchimde :

Tout corps compltement immerg dans un fluide au repos subit de la part de ce fluide une pousse galeau poids du fluide dplac par ce corps.

La force R sappelle force sustentatrice ou pousse dArchimde. Il est clair que la ligne daction de Rpasse par le centre de gravit de la masse du fluide virtuel remplaant le solide.


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CHAPITRE 3. FLUIDES PARFAITS INCOMPRESSIBLES 20

Chapitre 3

Fluides parfaits incompressibles

Ce chapitre traite de la dynamique des fluides parfaits (non visqueux) et incompressibles. Nous prsentonssuccintement les quations et les thormes rgissants ces coulements ainsi que quelques applicationstypes. Lincompressibilit de lcoulement est assur localement par la condition :

traceD = Dii = divU = 0 (3.1)

dans laquelle D dsigne le tenseur vitesse de dformation et U la vitesse de la particule. Lquation decontinuit (1.67) implique donc que pour un fluide homogne, sa masse volumique est constante. Lefluide est dit parfait sil nengendre aucune contrainte visqueuse. Le tenseur des contraintes se rduitalors une pression hydrostatique :

= pI (3.2)

3.1 quations du mouvement

3.1.1 quations gnrales

lquation de continuit (PCM) :

d

dt= 0 divU = 0 (3.3)

lquation de la quantit de mouvement (PFD): forme globale

D

dUdt

dV + D

pn dA = D

fdV (3.4)les parenthses indiquent quil sagit de torseurs (rsultante et moment). forme locale

gradp + a = f (3.5)

lquation de lnergie (PPT) :

de

dt= r div q (3.6)

si lvolution est adiabatique, alors r et q sont nuls et on a :

de

dt= 0 (3.7)


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3.1. QUATIONS DU MOUVEMENT 21

le second principe de la thermodynamique (SPT)

rds

dt r divq + q grad T

T(3.8)

si lvolution du fluide est adiabatique, alors on a :

ds

dt 0 (3.9)

3.1.2 Problme mcanique

Le problme mcanique, dans ce cas, peut tre trait indpendamment du problme thermique. En effet,la rsolution de celui-ci ncessite la dtermination de quatre inconnues scalaires : la pression et les troiscomposantes de la vitesse. Or, on dispose de quatre quations scalaires : lquation 3.1 et les trois quationsscalaires 3.4. Pour pouvoir rsoudre le problme mcanique, il faut en plus prciser les conditions auxlimites sur la frontire du domaine tudi. Ces conditions concernent dune part les forces de contact, qui,

selon la nature du champ de contraintes 3.2, sont obligatoirement normales la surface frontire ; dautrepart la composante normale de la vitesse du fluide par rapport la paroi doit tre nulle. Rcapitulonsalors les diffrentes quations rgissant le comportement mcanique des fluides parfaits incompressibles :

les quations du mouvement (quations dEuler)

div U = 0 (3.10)

et

gradp + a = f (3.11)

En utilisant la relation 1.62 exprimant lacclration a, et en introduisant le vecteur tourbillon = 12 rotU, la relation 3.9 peut scrire sous la forme suivante:

U

t+

1

2gradU2 + 2 U + gradp

= f (3.12)

les conditions aux limites

T = p n (3.13)

V n = 0 (3.14)

o T dsigne le champ de forces surfaciques reprsentant laction du milieu extrieur en contact avec ledomaine fluide tudi sur celui-ci, n la normale extrieure la frontire du domaine fluide tudi, et V

la vitesse relative du fluide par rapport au milieu extrieur au point considr.

3.1.3 Thormes gnraux

3.1.3.1 Thorme dEuler (ou de la quantit de mouvement)

Le premier terme du premier membre de la relation 3.4 reprsente la drive particulaire du torseurcintique. Ce terme peut tre crit autrement. En effet, en utilisant 1.53, on a :

D

dU

dtdV

=

D

U

tdV

+

D

U(U n) dA

(3.15)

Lquation de la rsultante est automatique, celle du moment lest aussi en remarquant que Mt

= 0. La

relation 3.4 devient alors :D

U

tdV

+

D

[U(U n) +pn] dA

=

D

fdV

(3.16)


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qui est la forme gnrale du thorme dEuler ou de la quantit de mouvement. Si lcoulement eststationnaire, le premier terme du premier membre de 3.16 sannule. Si, en plus, les forces de volume sontngligeables, le second membre sannule galement et lon obtient une forme simplifie du thorme :

D

[U(U n) +pn] dA = 0 (3.17)Dans ce cas, si une partie de la frontire est une paroi, U n = 0 est nul sur cette paroi, et {pn dA},sur la paroi, reprsente le torseur des efforts du fluide sur cette paroi. La relation 3.17 permet donc dedterminer facilement les efforts exercs par un fluide parfait incompressible en coulement stationnaire(forces de volume ngliges) sur une paroi.

3.1.3.2 Conservation de lnergie Thormes de Bernoulli

hypothse H1 : les forces de volume drivent dun potentiel :

f = grad U (3.18)La relation 3.11 implique alors que g drive aussi dun potentiel :

a = grad(U + p

) (3.19)

Si on dsigne par H la quantit :

H =p

+ U +

U2

2(3.20)

la relation 3.12 donne alors :

U

t+ 2 U + grad H = 0 (3.21)

hypothse H2 : Lcoulement est stationnaire :Dans ce cas, en multipliant scalairement 3.21 par U, on a :

U grad H = dHdt

= 0 (3.22)

Cette relation constitue le premier thorme de Bernoulli:Pour un fluide parfait incompressible en coulement stationnaire, si les forces de volume driventdun potentiel, la quantit H garde une valeur constante le long de chaque trajectoire ou ligne decourant.

hypothse H3 : Lcoulement est irrotationnel : = 0Dans ce cas, il existe obligatoirement un potentiel des vitesses (xi,t) :

U = grad (3.23)

La relation 3.12 implique alors que grad ( t + H) = 0, soit:

t+ H = C(t) (3.24)

Si, en plus, lhypothse H2 est ralise, alors 3.24 indique que H garde une valeur constante. Ceciconstitue le deuxime thorme de Bernoulli :Pour un fluide parfait incompressible en coulement stationnaire et irrotationnel, si les forces devolume drivent dun potentiel, la quantit H garde une valeur constante dans toute partie connexedu domaine fluide.Si lhypothse H3 est vrifie, les relations 3.10 et 3.23 donnent lquation de Laplace qui constituele troisime thorme de Bernoulli :

Pour un fluide parfait incompressible en coulement irrotationnel, est alors une fonction harmo-nique des xi quel que soit t :

= 0 (3.25)


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3.1.3.3 Deuxime thorme de Bernoulli et circuits hydrauliques

Il est intressant de ((visualiser)) lapplication du thorme de Bernoulli sur lexemple simple des circuitshydrauliques, traduisant, ici, lcoulement de leau dans une conduite partir dun rservoir ((en charge)).

Si la conduite est cylindrique, la vitesse v(M) est constante sur laxe de la conduite. partir de laligne gomtrique correspondant laxe de la conduite, il est possible de dfinir la ligne pizomtriquecorrespondant la rpartition de lnergie potentielle du fluide p(M)g + x3(M) ainsi que la ligne de charge

H(M) = p(M)g + x3(M) +v2(M)

2g.

si le fluide nest pas visqueux, la charge reste constante le long de lcoulement. Les lignes de chargeet pizomtrique sont donc deux droites horizontales. Le plan de charge reste au niveau de leaudans le rservoir ;

si le fluide est visqueux (ou rel), les lignes de charge et pizomtrique, bien que toujours parallles,

ne sont plus horizontales. Leur pente dfinit la ((perte de charge)) (linaire ou rgulire dans uneconduite cylindrique). Cette dissipation de lnergie se fait au dtriment de lnergie cintique dufluide, cest--dire quelle conduit une diminution du dbit. On retrouvera ce cas dans le paragrapheconsacr aux fluides visqueux incompressibles

3.1.3.4 Premier thorme de Bernoulli en mouvement relatif

Dans de nombreux cas, et notamment dans ltude des machines tournantes, il est utile de relier lesvitesses lentre 1 et la sortie 2 de la roue de la machine aux pressions correspondantes.

On utilise le premier thorme de Bernoulli le long dune ligne de courant relative: on tudie ainsilcoulement par rapport un repre li la roue. On note u = rer la vitesse dentranement du repre


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li la roue et w la vitesse relative dun point de lcoulement. Lquation dynamique locale 3.12 scritainsi:

gradw2

2+ 2 w + grad p

= gx3 + 2rer 2 w

Si lon multiplie scalairement cette quation dfinie le long dune ligne de courant par dM, et commedM w = 0, il vient:

d

w2

2+

p

+ gx3 u

2

2

= 0

Comme les dimensions de la roue permettent de ngliger le travail des actions mcaniques de la pesanteur la traverse de la roue, il vient finalement le long dune ligne de courant relative :

w2

2+

p

u

2

2= cte (3.26)

3.1.3.5 Thormes sur la rotation et la circulation

On suppose que lhypothse H1 est vrifie. En prenant le rotationnel de lquation 3.21, on obtientlquation de la rotation pour les fluides parfaits :

t+ rot( U) = 0 (3.27)

intgrale de surface (flux), intgrale de ligne (circulation)Par dfinition, le flux dun champ de vecteurs V travers une surface fluide S est lintgrale:

(V,n) =

S

V n dA (3.28)

o n dsigne le vecteur normal sortant de la surface. S nest pas une surface fixe, mais une surface

fluide constitue toujours par les mmes lments du fluide qui se dplacent.Par dfinition, la circulation dun vecteur V le long dune ligne C est lintgrale:

(V,C) =

C

V t ds (3.29)

o t dsigne le vecteur unitaire tangent la ligne, et s labscisse curviligne le long de C. La ligneC nest pas une courbe fixe, mais une courbe fluide constitue toujours par les mmes l:ments dufluide qui se dplacent. Si C est la ligne ferme frontire de S, le thorme de Stokes montre que :

(V,S) = (rot V,S) (3.30)

On montre que :

ddt

=S

[ Vt

+ rot(V U) + UdivV] n dA (3.31)

d

dt=

C

[V

t+ rot(V) U] n ds + [|V U|] (3.32)

dans laquelle [|f|] dsigne la diffrence entre les valeurs de f du dernier et du premier point de C. thorme de Kelvin

Lutilisation de 3.27 et de 3.31 pour V = , 3.32 pour V = U et C ferme, de la proprit 1.19 etdu thorme de Stokes (1.30), on dmontre le thorme de Kelvin:

Dans tout coulement de fluide parfait incompressible, si les forces massiques drivent dun potentiel,

alors:

le flux du vecteur tourbillon travers une surface que lon suit dans son mouvement resteconstant ;


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3.2. COULEMENTS PLANS IRROTATIONNELS 25

la circulation du vecteur vitesse le long dune ligne ferme que lon suit dans son mouvementreste constante.

thorme de Lagrange :

Si, un instant donn, = 0 dans un domaine fluide, 3.29 applique U implique que (U,C) = 0le long de toute ligne ferme C du domaine. Daprs le thorme de Kelvin (U,C) reste nul toutle temps, reste nul aussi ; cest le thorme de Lagrange:

Dans tout coulement de fluide parfait incompressible, si les forces massiques drivent dun potentielet si, un instant donn, dans un domaine que lon suit dans son mouvement, lcoulement y estirrotationnel, lcoulement y est irrotationnel tout instant t. En particulier, si le fluide part durepos, le mouvement ultrieur est ncessairement irrotationnel.

3.2 coulements plans irrotationnels

3.2.1 Gnralits

On considre dans ce paragraphe les coulements des fluides parfaits incompressibles qui se font dans unplan. La vitesse est donc, en tout point, parallle ce plan et invariante par toute translation perpendi-culaire ce plan :

Ux1 = u1(x1,x2,t) Ux2 = u2(x1,x2,t) (3.33)

les scalaires u1 et u2 sont les composantes du vecteur vitesse selon respectivement x1 et x2 dans le plandcoulement.

3.2.1.1 Fonction de courant

Lcoulement tant incompressible, la condition div U = 0 implique que la quantit u1 dx2

u2 dx1 = d

est une diffrentielle totale. Il existe donc une fonction (x1,x2,t) appele fonction de courant telle que:

u1 =

x2u2 =

x1(3.34)

On montre aisment que les lignes de courant sont alors dfinies par lquation :

= constante (3.35)

3.2.1.2 Potentiel des vitesses

Lcoulement tant irrotationnel, il existe donc une fonction (x1,x2,t) appele potentiel des vitesses telleque U = grad , soit:

u1 =

x1u2 =

x2(3.36)

Les quations 3.34 et 3.36 impliquent que les fonctions et sont harmoniques :

= = 0 (3.37)

3.2.1.3 Potentiel complexe

Un point M(x1,x2) dans le plan dcoulement, peut tre dfini par la variable complexe z :

z = x1 + ix2 = r exp i = r(cos + i sin ) (3.38)

dans laquelle r est le module de z et son argument. Les fonctions et tant harmoniques, on peutassocier lcoulement un potentiel complexe f(z,t) dfini par:

f(z,t) = + i (3.39)


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La drive de f par rapport z est appele vitesse complexe de lcoulement:

df

dz= u1 iu2 = U exp(i) (3.40)

langle est celui que fait le vecteur vitesse avec laxe des x1. La donne du potentiel complexe permetde dfinir compltement lcoulement.

3.2.2 Calcul des efforts globaux sexerant sur un obstacle formule de Bla-sius

Soit un obstacle limit dans le plan (O,x1,x2) par une courbe C (en ralit, il sagit de la section droitedun cylindre) telle quon puisse dfinir une normale n et une tangente t partout sauf peut-tre en certainspoints isols. On se fixe un sens de parcours sur C, voir figure.

Soit O1 un point quelconque de coordonnes (x10,x20). Le torseur des efforts exercs par le fluide surlobstacle est dfini par sa rsultante R et son moment M :

R = C

pn ds M(O1) = C

pO1P n ds (3.41)

Supposons connu le potentiel complexe f(z) de lcoulement extrieur et posons :

R = Rx1 iRx2 M(O1) = Me3 n = nx1 inx2 z0 = x10 + ix20 (3.42)on a, par consquent:

n = tx2 + itx1 =dx2 + idx1

ds= i

dx1ds

dx2ds

= i

dz

ds(3.43)

Dans tout ce paragraphe, on suppose que les forces de volume sont ngliges, le thorme de Bernoullidonne:

p = p1 12

(u21 + u22) p1 = constante (3.44)

les scalaires u1 et u2 tant les composantes du vecteur vitesse. Il est ais de voir que :

u

2

1 + u

2

2 =

df

dz

df

dz avec dfdz = dfdz (3.45)Sachant que C est une ligne de courant ( = constante, donc df = df sur C) et que C est un contourferm, on montre que :

R =1

2i

C

df

dz

2dz (3.46)

M =1

2Re

C

(z z0)

df

dz

2dz

(3.47)

Les relations 3.45 et 3.46 dites formules de Blasius permettent de dterminer le torseur des efforts globauxsexerant sur lobstacle C par unit de longueur de gnratrice.

Remarques:

f(z) peut avoir des singularits mais lintrieur de C. f(z) doit tre rgulire lextrieur de C,sauf en un certain nombre de points isols (prsence de tourbillons) ;


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on peut remplacer C par toute courbe entourant une fois C et oriente dans le mme sens lorsquef(z) na pas de singularits lextrieur de C.

3.2.3 Exemples dcoulements3.2.3.1 coulement uniforme

f(z) = U0 exp(i)z (3.48)

coulement uniforme de vitesse U0 faisant un angle avec laxe des x.

3.2.3.2 Source ponctuelle

f(z) =Q

2log z (3.49)

Cette premire singularit logarithmique correspond une source ponctuelle de dbit Q situe lorigine(si Q < 0, alors il sagit dun puits). La vitesse est radiale et vaut Q

2R. Les lignes = constante sont les

droites issues de O et les lignes = constante sont les cercles centrs en O. Si la source (le puits) est un point daffixe z0, on a :

f(z) =Q

2log(z z0) (3.50)

1

0.5

0

0.5

1

y

1 0.5 0.5 1x

La figure prsente le champ des vitesses du mouvement du fluide.

3.2.3.3 Tourbillon ponctuel

f(z) = i2

log z (3.51)

Cette singularit correspond un tourbillon lorigine et dont la circulation vaut (rel). Si > 0, letourbillon tourne dans le sens trigonomtrique direct. Les lignes = constante sont les cercles centrs enO. Les lignes = constante sont les droites issues de O. La vitesse est tangentielle et vaut 2R .


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1

0.5

0.5

1

y

1 0.5 0.5 1x

La figure prsente le champ des vitesses du mouvement du fluide.

3.2.3.4 Doublet

f(z) = kexp(i)

z z0 (3.52)

Cette fonction analytique singulire en A daffixe z0 est un doublet dintensit k de direction par rapport laxe des x. Le doublet est obtenu partir dune source S et dun puits P sur laxe At en faisant tendreleur distance vers zro, la source et le puits ayant mme dbit.

Les lignes de courant sont les cercles tangents en A At.

3.2.3.5 coulement dans langle de deux parois

f(z) = Azndf

dz= nAzn1 = Arn sin n (3.53)

Les variables r et sont les coordonnes polaires. On voit que les lignes = 0 et = n sont des lignesde courant.


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Cet coulement peut donc sinterprter comme lcoulement dans un angle douverture n si n > 1 oucomme lcoulement lextrieur dun angle (2 1n ) si 12 < n < 1. Si n > 1, la vitesse sannule en O.Si n < 1, la vitesse devient infinie en O ce qui est physiquement inacceptable ; on observe en ce cas unezone tourbillonnaire au voisinage de O.

3.2.3.6 coulement autour dun cylindre uniforme linfini

f(z) = U0

z +

a2

z

(3.54)

Cet coulement est la superposition dun courant uniforme de vitesse U0 un doublet lorigine. Lepotentiel des vitesses et la fonction de courant sont alors tels que :

= U0r

1 +

a2

r2cos = U0r

1 a

2

r2sin (3.55)

La dernire expression montre que le cercle de centre O et et de rayon a est une ligne de courant. Lepotentiel ci-dessus est celui dun coulement de vitesse U0 linfini autour du cercle de centre O et derayon a sans circulation autour de celui-ci. On remarque que Ox est axe de symtrie.

Le mouvement irrotationnel de vitesse U0 parallle Ox linfini, circulation autour du cercle decentre O et de rayon a est la superposition de lcoulement prcdent et de celui dun tourbillon de centreO et de circulation .

f(z) = U0

1 +

a2

z

i

2log z (3.56)

La forme des lignes de courant dpend essentiellement de la position des points darrt. La vitesse complexeest:

dfdz

= U0

1 a2z2

i

2z(3.57)

Elle sannule aux points daffixe z racines de lquation :

z2 iz2U0

a2 = 0 (3.58)

4

3

2

1

0

1

2

3

4

3 2 1 0 1 2 3 4

La figure ci-dessus prsente lcoulement dun fluide autour dun disque avec une vitesse faisant un anglede 30 avec lhorizontale et possdant une circulation.

Il y a trois ventualits :

< 4aU0, les deux points de vitesse nulle ont une ordonne commune 4U0 ; = 4aU

0, les deux points darrt sont sur Ox

2;

> 4aU0, les racines sont imaginaires pures, mais une seulement est extrieure au cercle. Laligne de courant dont il est le point double dlimite une rgion o les lignes de courant entourentlobstacle.


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3.3. COULEMENT POTENTIEL AVEC SURFACE LIBRE 30

En appliquant les formules de Blasius pour dterminer le torseur des efforts du fluide sur lobstacle, ontrouve :

Rx1 = 0 Rx2 = U0 M(O) = 0 (3.59)

Remarques :

laction du courant dans le cas dun coulement avec circulation se rduit une force unique passantpar O, normale la vitesse linfini (thorme de Joukowski) ;

lcoulement est symtrique par rapport Oy et il ny a pas de trane, ce qui est physiquementsurprenant (paradoxe de dAlembert) ;

lintroduction dune circulation amne lexistence dune portance.

3.2.4 Utilisation des transformations conformes

Lutilisation des transformations conformes est un moyen puissant permettant ltude des coulementsautour de profils quelconques. En effet, considrons un coulement dans un plan et dfini par le potentielcomplexe f(z) et de vitesse complexe u = df

dz. Effectuons sur le plan des z une transformation biunivoque

z = h(Z) faisant correspondre aux points m daffixe z des points M daffixe Z et au domaine d, le domaineD du plan des Z. La vitesse complexe U de lcoulement dans D est alors donne par U = uh(Z). Onmontre que les transformations conformes conservent les dbits et les circulations ; elles transforment lessources et les tourbillons en sources et tourbillons de mme intensit.

La dtermination du mouvement autour dun profil quelconque revient trouver la transformationconforme permettant de transformer lextrieur du profil en un cercle puisque lcoulement autour decelui-ci est parfaitement connu. Cette technique est trs prcieuse pour la dtermination des meilleursprofils dailes davions.

3.3 coulement potentiel avec surface libre

On sintresse ici linterface entre un fluide liquide incompressible et un fluide gazeux, dans lhypothsede fluides parfaits et irrotationnels. Il existe un couplage entre les dformations de linterface et lescoulements en volume qui sont induits par celles-l. Cest la gravit qui engendre le retour lquilibrede linterface aprs le passage dune onde on ngligera ici le phnomne de tension superficielle .


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3.3.1 Mise en quation

Lcoulement tant irrotationnel, il existe un potentiel . On peut alors crire les quations et les condi-tions aux limites pour le liquide :

quation de Bernoulli dans le fluide :

p + gx3 +1

2grad2 +

t= constante (3.60)

conservation de la masse :

= 0 (3.61)

conditions aux limites :

linterface: p = p0, au fond:

profondeur infinie : 0 quand R , profondeur finie : n = 0.

Le problme ainsi pos est complexe et non linaire. On peut toutefois le linariser lorsque lamplitudedes vagues est faible devant la longueur de londe .

3.3.2 Problme plan linaris

On se place dans le plan (O,x1,x3). On pose x3 = h(x1,t) que lon crit : F(x1,x3,t) = x3 h(x1,t). la surface libre, on a :

dF

dt= 0 =

F

t+ (v grad)F (3.62)

ce qui scrit encore :

ht

x1

h

x1+

x3= 0 (3.63)

Lhypothse a implique grad2 t et hx1 1. On en dduit les quations du problme linaris :

t + gh = 0 Bernoulli = 0 continuite

ht +

x3

= 0 surface libre(3.64)

En combinant la premire et la troisime quation 3.63, on peut crire la condition de Poisson :g

x3+

2

t2

z=h

= 0 (3.65)

3.3.3 Vagues sur un ocan de profondeur infinie

On cherche une solution (x1,x3,t)du problme prcdent sous la forme :

(x1,x3,t) = f(x3)sin[2

(x ct)] (3.66)


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pour lquation de Laplace = 0. On obtient alors lquation :

f(x3)

2

2

f(x3) = 0 (3.67)

qui admet pour solution gnrale :

f(x3) = A exp

2x3

+ B exp

2x3

(3.68)

Or, en profondeur infinie x3 , et f 0, on en tire alors :

(x1,x3,t) = A exp

2x3

sin[

2

(x ct)] x3 < 0 (3.69)

La condition de surface libre entrane :

2g

=

2c

2 c =

g

2(3.70)

Le profil des vagues a donc pour quation :

h(x1,t)|x3=0 = 1

g

t=

2

g

2

A

gcos[

2

(x ct)] (3.71)

avec A = ag2

, 2a tant lamplitude de londe.

Remarque : Dans le cas dun profil de vagues en profondeur finie telle que x3 = H, lquation donnantle potentiel serait :

(x1,x3,t) =ag

2c cosh 2H

cosh[2

(x3 + H)] sin[

2

(x ct)] (3.72)

partir des rsultats prcdents, on peut obtenir les composantes des vitesses et des trajectoires des

particules fluides. Il est facile de montrer que les trajectoires en profondeur infinie sont des cercles derayon: a exp 2x3

.

Remarques concernant lhypothse dincompressibilit des fluides

Dans le cas dun gaz, la vitesse de celui-ci peut influencer de faon notable sa compressibilit. La thorie de lasimilitude voir plus loin , introduit la compressibilit dun fluide sous la forme dun paramtre adimensionnel,le nombre de Mach, dfini partir de la vitesse du fluide en un point M, note v, et de la clrit du son en cepoint note c

M =v

c(3.73)

On dfinit alors trois cas dcoulement du gaz en fonction de la valeur de M

coulement subsonique : M < 1 ;

coulement sonique : M = 1 ; coulement supersonique : M > 1.

Plaons-nous dans le cas dune volution isentropique du gaz parfait suppos non visqueux. Dterminons le nombrede Mach partir duquel il est ncessaire de prendre en compte la compressibilit du gaz.

dans le cas dun gaz parfait compressible en volution isentropique, on montre que lquation dynamiqueconduit au rsulat dit de Barr de Saint-Venant:

pi

p=

Ti

T

1

=

1 +

1

2M

2

1

(3.74)

Lorsque lcoulement du gaz a une vitesse faible, le nombre de Mach est petit et lon peut faire le dvelop-pement limit:

pip

= 1 + 2

M2 + 8

M4 + (2)48

M6 + . . .

pi p =

2 M2

1 +M2

4 +224 M

4

+ . . .

pip

v2

2

= 1 + M2

4 +224 M

4 + . . .

(pi reprsente la pression au point darrt)


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dans le cas dun gaz parfait incompressible en volution isentropique, le premier thorme de Bernoulli nouspermet dcrire :

pi p

v2

2

= 1 (3.75)

Dans le cas du gaz compressible, on constate quune valeur de M = 0,2, donne pipv

2

2

= 1,01. On commet donc une

erreur relative de 1% en ngligeant dans cette condition la compressibilit du gaz, ce qui est plus que largementadmissible. On peut donc poser en toute srnit:

P, M(P) 0,2, (P) = 0 (3.76)

Par exemple, dans lair 20 C, la clrit du son est c = 340m.s1 et la vitesse correspondant M = 0,2 donne

v = 248 km.h1. Dans de trs nombreuses applications courantes, il est cohrent de ngliger la compressibilit du

gaz ; attention, ce nest plus vrai pour un avion ou un engin spatial entrant dans latmosphre !


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CHAPITRE 4. FLUIDES VISQUEUX INCOMPRESSIBLES 34

Chapitre 4

Fluides visqueux incompressibles

Le fluide parfait tudi au chapitre prcdent ne reflte pas toujours suffisamment bien la ralit. Lesfluides ont tous une viscosit plus ou moins leve quil est ncessaire de prendre en compte notammentprs des parois de solides ou dans les sillages laisss par ceux-ci.

Lexprience montre quil est possible de reprsenter les phnomnes de viscosit dun fluide incompres-sible par une relation de comportement du type :

= pI+ 2D (4.1)

dans laquelle p est la pression, D le tenseur des taux de dformations et le coefficient de viscositdynamique du fluide tudi son unit SI est le Pa.s . Pour les fluides newtonniens que nous envisageonsdans ce cours, est une constante.

4.1 quations du mouvement4.1.1 quations de Navier-Stokes

Comme dans le cas du fluide parfait incompressible, lcriture de la conservation de la masse et de laquantit de mouvement ne fait intervenir comme inconnues que les champs de vitesses et de pression ausein du fluide.

Lcriture de lquation de continuit est inchange et lon a encore:

div U = 0 (4.2)

Lcriture de lquation de la quantit de mouvement sous forme locale devient quant--elle :

a = gradp = f + U (4.3)

ou encore, en dveloppant le terme ((acclration)) :

U

t+ grad

U2

2+ rotU U

+ gradp = f + U

ou bien

U

t+ (U grad)U

+ gradp = f + U

Ces deux quations constituent les quations de Navier-Stokes du fluide incompressible visqueux.

On remarquera que ces quations sidentifient aux quations dEuler des fluides parfaits en faisant = 0.


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4.1.2 Conditions aux limites

Au contact dune paroi solide, on a la condition dadhrence suivante :

U = Uparoi (4.4)cette condition est compatible avec lexprience qui montre quune paroi impermable ((freine)) ou ((acclre))le fluide visqueux jusqu ce que celui-ci ait la mme vitesse que la paroi.

4.1.3 Fluides visqueux newtoniens le coefficient de viscosit dynamique

Lexprience montre que le modle linaire du fluide newtonien appliqu des fluides tels que leau, lairet les huiles minrales conduit des rsultats thoriques bien vrifis.

La variation du coefficient de viscosit dynamique (p,T) peut tre interprte partir de la thoriemolculaire.

pour les liquides, le coefficient de viscosit diminue avec la temprature en restant pratique-

ment indpendant de la pression. Ceci sexplique par le fait que le((

frottement))

des couches defluides les unes sur les autres, est d aux forces dattraction molculaire qui diminuent quand latemprature augmente la temprature slevant entranant une dilatation du liquide, cest--direune augmentation de la distance entre les molcules . Lorsque la pression augmente, la distanceintermolculaire diminue, et entrane une lvation de la viscosit, mais cause de la trs faiblecompressibilit des liquides, cette variation est ngligeable ;

pour les gaz, le coefficient de viscosit dynamique augmente avec la temprature en restant pra-tiquement indpendant de la pression. Cest le mouvement brownien cest--dire le mouvementdsordonn des molcules, qui montre le lien entre viscosit et temprature. Les chocs entre lesmolcules de gaz engendre lchelle macroscopique des contraintes tangentielles de frottement quiaugmente ainsi avec la temprature.

On peut donc pratiquement crire, quelque soit la phase du fluide :

= (T)

Dans le cas particulier o le fluide incompressible subit une volution adiabatique, elle est quasi-isotherme,et lon a: = 0.

Dans le cas particulier dun coulement unidirectionnel permanent, o le champ des vitesses scrit :v = u1(x2)x1, la loi de comportement du fluide ij = 2Dij , peut se mettre sous la forme de la loi ditede Newton:

= du1dx2

Cette loi nous permet notamment de donner la dimension du coefficient de viscosit dynamique dunfluide:

[] =[]

[du1dx2

]= ML1T1

Dans le systme internationnal dunits, est exprim en pascal seconde (Pa.s).

On dfinit galement le coefficient de viscosit cinmatique comme le rapport entre le coefficient deviscosit dynamique et la masse volumique du fluide considr. Il reprsente ainsi le rapport entre les((forces)) de viscosit et les ((forces)) dinertie :

=

Sa dnomination est lie sa dimension, en effet, on a :

[] =ML1T1

M L3= L2T1

longueur et temps tant les grandeurs fondamentales de la cinmatique. Dans le systme dunits inter-

national, elle sexprime en m2.s1.Il est intressant de connatre les coefficients de viscosit de leau et de lair :

eau: = 103Pa.s et = 106m2.s1 ;


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4.2. COULEMENTS VISCOMTRIQUES STATIONNAIRES 36

air: = 1,8 105Pa.s et = 15 106m2.s1.Linertie trs importante de leau par rapport celle de lair entrane que lair est cinmatiquement 15fois plus visqueux que leau.

4.2 coulements viscomtriques stationnaires

Nous allons appliquer les rsultats du paragraphe prcdent ltude de trois coulements particuliers.Les problmes poss auront des solutions analytiques ; elles ne sont pas uniques et lexprience le prouve !Dans ces exemples, nous chercherons des solutions dites ((laminaires)), cest--dire en imposant a prioriles lignes de courant parallles aux parois.

4.2.1 coulement entre deux plans parallles

Lcoulement est plan, parallle (O,x1,x2). Nous supposons que le vecteur vitesse est de la forme :

U = U1(x1,x2)e1 + U2(x1,x2)e2 (4.5)

Cet coulement est limit par les deux plans dquations respectives : x2 = 0 et x2 = h (h > 0).

Nous supposons que le plan (x2 = 0) est immobile et le plan (x2 = h) est anim dune vitesse V = Ve1.

La recherche des solutions laminaires impose : U2 = 0.

Lquation de continuit impose :

U1x1

= 0 dou U1 = U1(x2) (4.6)

Lquation de quantit de mouvement donne alors :

p

x1=

2U1x22

,p

x2= 0,

p

x3= 0 (4.7)

Avec la condition dadhrence :

U1(0) = 0 et U1(h) = V (4.8)

La rsolution du systme conduit :

U1 =A

2x2(h x2) + V

hx2 p = Ax1 +p0 (4.9)

la constante A est la chute linique de pression ; elle peut tre positive, ngative ou nulle. Elle est un des((moteurs)) du mouvement du fluide, lautre tant la vitesse du plan suprieur.

4.2.2 coulement de Poiseuille

On tudie ici lcoulement au sein dun tube cylindrique de rayon R et de longueur L dans le repreprcis sur la figure ci-aprs. On cherche encore des solutions ((laminaires)) :

U = U3(x1,x2,x3) (4.10)


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4.2. COULEMENTS VISCOMTRIQUES STATIONNAIRES 37

Lquation de continuit impose :

U3x3

= 0 dou U3 = U3(x1,x2) (4.11)

Lquation de quantit de mouvement donne alors :

p

x1= 0,

p

x2= 0,

p

x3= U3 (4.12)

Avec la condition dadhrence :

U3(0) = 0 sur la paroi (4.13)

La rsolution du systme conduit :

U3 =A

4(R2 x21 x22) p = Ax3 +p0 (4.14)

la chute linique de pression est donne par :

A =p0 pL

L(4.15)

entre les plans x3 = 0 et x3 = L.

Remarque : le dbit volumique est donn par : qv = A8 R4. Ce rsultat traduit les lois exprimentales

trouves par Poiseuille (1844).

4.2.3 coulement de Couette

Lcoulement envisag a lieu entre deux cylindres coaxiaux dans le repre de la figure ci-dessous.

Le cylindre extrieur est fixe et le cylindre intrieur est anim dun mouvement de rotation uniforme devitesse angulaire . La longueur des cylindres L est suppose grande par rapport aux rayons a et b deceux-ci.


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4.3. COULEMENTS STATIONNAIRES ET NOMBRE DE REYNOLDS 38

On propose le champ des vitesses suivant :

U = U1(x1,x2)e1 + U2(x1,x2)e2 (4.16)

Les quations de Navier-Stokes du problme scrivent :

U1x1

+ U2x2

= 0

U1U1x1

+ U2U1x2

+ px1 = U1

U1U2x1

+ U2U2x2

+ px2 = U2

(4.17)

avec les conditions aux limites, aprs avoir pos r =

x21 + x22 :

U1 = U2 = 0 sur r = bU1 = x2,U2 = x1 sur r = a (4.18)

Puisque lon cherche une solution ((laminaire)), les lignes de courant sont parallles aux sections descylindres, posons :

U1 = x2r

U(r,), U2 =x1r

U(r,) (4.19)

(r,) tant le couple de coordonnes polaires dun point du fluide.

La rsolution de ce problme amne la solution suivante :

U = a2

b2 a2

b2 r2r

et p =

r0

[U(s)]2

sds + constante (4.20)

On peut galement calculer les efforts pour maintenir le cylindre intrieur en rotation ; le couple par unitde longueur C ncessaire doit vaincre les efforts de viscosit la paroi. Le calcul donne :

C = 4a2b2

a2 b2(4.21)

Lappareil ainsi constitu (viscosimtre de Couette) peut servir dterminer la viscosit dun fluide ; eneffet, le mesure de C et permet le calcul de .

4.3 coulements stationnaires et nombre de Reynolds

4.3.1 Notion de similitude Nombre de Reynolds

Dans ce paragraphe, lcoulement est stationnaire et lon nglige les forces de volume.

Nous allons introduire et montrer lintrt des formes adimensionnelles des quations dans ltude desfluides visqueux.

Dans ce but, notons L, Uc et pc respectivement une longueur, une vitesse et une pression caractristiquesqui soient significatives du problme tudi. Toutes les grandeurs physiques intervenant dans le problmepeuvent tre exprimes avec 5 grandeurs fondamentales : , , L, Uc et pc.

Introduisons alors les grandeurs sans dimension suivantes (notes en surlign) :

xi = Lxi, Ui = UcUi, p = pcp (4.22)

crivons ds lors les quations de Navier-Stokes :iUi = 0UjjUi +

pcU2c

ip =

UcLjjUi

(4.23)

les grandeurs surlignes sont appeles grandeurs rduites. Le systme obtenu fait apparatre deux cffi-cients adimensionnels :

pcU2c

et Re =UcL

=

UcL

(4.24)


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Le premier de ces nombres ne conduit pas des proprits intressantes. Afin de le faire disparaitre, nousconvenons que pc = U2c , ce nest pas gnant pour un fluide incompressible, ce qui rduit quatre lenombre de grandeurs caractristiques.

Le second, par contre, est essentiel ; cest le nombre de Reynolds de lcoulement. Celui-ci est caract-ristique de lcoulement et permet de dterminer les coulements des fluides visqueux incompressiblessemblables, cest--dire nombre de Reynolds identique.

Les quations adimensionnelles 4.23 ne dpendent pas des dimensions physiques des problmes ayant lemme nombre de Reynolds.

Le nombre de Reynolds caractrise limportance des forces de viscosit par rapport aux forces dinertie :plus Re est faible, plus les forces de viscosit sont prpondrantes par rapport aux forces dinertie.

Pour les coulements internes, la valeur de Re 2000 dnote la transition entre les dominations de chaquepartie.

Pour Re < 2000, les effets de viscosit sont dominants, lcoulement est laminaire et les lignes de courantsont parallles pour un coulement dans un cylindre.

Pour Re > 2000, les effets dinertie deviennent de plus en plus importants et lcoulemnt passe progres-sivement dans les domaines turbulent ((lisse)), puis turbulent ((rugueux)). Les lignes de courant dans uncylindre passe de londulation une phase plus chaotique.

4.3.2 Analyse dimensionnelle et similitude quelques bases

4.3.2.1 Similitude

Lexpression mathmatique dune loi doit tre indpendante du systme dunits choisi pour mesurer lesgrandeurs auxquelles se rapporte la loi : les lois de la physique sont homognes.

Cette remarque tant faite, le but de lanalyse dimensionnelle et de la similitude mcanique est dtablirdes lois obtenues sur des modles pour les transposer des systmes rels. Lutilisation de maquettes estncessaire si une solution mathmatique exacte ne peut pas tre donne ou quand il est utile de vrifierdes principes thoriques ou des hypothses de calculs. Elle est particulirement utile en mcanique desfluides.

On dit que deux systmes sont en simititude complte quand toutes les grandeurs introduites dans leprocessus qui concerne ces systmes, comme la longueur, le temps, la force, la vitesse, la contrainte, . . . ,sont dans le mme facteur dchelle entre les deux systmes. Mais il est en gnral impossible de respecterle mme facteur dchelle pour lensemble des grandeurs ; on impose alors simplement le mme facteur desimilitude pour certaines grandeurs juges importantes. On parle alors de similitude restreinte.

Pour les grandeurs fondamentales que sont la longueur L, le temps t, la force F et la temprature T, onappelle facteur dchelle pour chaque grandeur, entre un modle et un systme rel, les quantits :

LmLr

= Lf,tmtr

= tf,FmFr

= Ff,TmTr

= Tf

Soit une grandeur physique A qui sexprime sous la forme : A = LwtxFyTz et qui a donc pour unit dansle systme international [A] = mwsxNyKz. Le facteur dchelle vaut donc : Af = Lwft

xfF

yfT

zf.

Les quantits qui sont dterminantes pour un procd physique peuvent tre crites laide de produitssans dimension. Cela a pour effet de rduire le nombre de variables, et les quations algbriques oudiffrentielles qui dterminent le processus peuvent tre transformes en fonctions contenant des produitssans dimension.

Prenons par exemple les forces de gravitation : pour le systme rel, le poids est donn par : Fr = rVrgr,et pour la maquette, Fm = mVmgm. Sur Terre, gr = gm, le facteur dchelle pour le poids vaut:

Ff =mVmgm

rVrgr=

mr

L3f

Si les facteurs dchelle sur la longueur et les masses volumiques sont donns, alors le facteur dchellesur le poids est dtermin par lquation prcdente.


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4.3.2.2 Analyse dimensionnelle et thorme de Vashy-Buckingham

Si lon connat les quantits qui interviennent dans un processus, alors il est possible dexprimer desrelations entre produits sans dimension de ces quantits. Toute quation physique peut tre reprsentes

comme une fonction des paramtres de similitude. Par exemple, le thorme de Bernoulli p+gz + 12 v2 =cte peut tre crit sous forme adimensionnelle Eu + 1Fr2 +

12 = cte, dans laquelle Eu reprsente le nombre

sans dimension dEuler dfini par : Eu = pv2 et F r le nombre sans dimension de Froude tel que F r =vgL

qui traduit le rapport entre les actions dinertie et celles dues la pesanteur. Les cinq quantits (p, v, ,g, et x3) qui apparaissent dans lexpression du thorme de Bernoulli peuvent tre remplaces par unerelation entre deux nombres sans dimension (Eu, F r), ce qui est suffisant pour dcrire ce processus.

La technique pour dterminer le nombre de produits sans dimension ncessaires pour un processus utilisele thorme de Vashy-Buckingham qui affirme :

Sil existe une relation du type f(x1,x2, . . . , xn) = 0 entre n quantits dimensionnelles, alors elle peut trecrite sous la forme f(1,2, . . . ,m) = 0 entre m produits sans dimension avec n = m + q o q est lenombre dunits fondamentales induites.

En mcanique, par exemple, q = 3 (longueur, masse, et temps) ; en thermique, il faut ajouter la temp-rature T, et q = 4.

Appliquons le thorme de Vashy-Buckingham lquation de Bernoulli, pour faire apparatre les deuxnombres sans dimension. On a une relation de la forme :

f(p,v,,g,z) = 0

qui scrit aussi =

M

LT2

xL

T

y M

L3

z L

T2

v(L)w

Puisque est sans dimension, on doit donc avoir :

x + z = 0

x + y 3z + v + w = 02x y 2v = 0

Parmi les cinq grandeurs dimensionnelles, il est possible den choisir deux que lon considre importantespour le processus ; prenons p et g caractrisant les actions de pression statique et de pesanteur. Lesexposants des trois autres grandeurs se calculent en fonction de ceux de p et g, si bien que lon a :

y = 2x 2v, z = x, w = v

et donc

= pxvyzgvxw3 = p

xv2x2vxgvxv3 =

p

v2

x

gx3v2

v

si lon prend x = v = 1, alors = Eu

1

F r

Le processus mettant en uvre un fluide parfait incompressible en coulement isotherme peut tre dcrit laide des deux nombres sans dimension Eu et F r. Remarquons que lon ne peut pas dduire lquationde Bernoulli de la mthode dcrite.

itons quelques nombres sans dimension courants en mcanique des fluides.

Produits sans dimension Valeur InterventionReynolds Re = Lv fluide visqueuxFroude F r = v

gLfluide pesant

Euler Eu = pv2 pression

Weber W e = v2L pression superficielleNusselt N u = hl change de chaleurMach M a = vc compressibilit


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4.3.3 Rgimes des coulements dans des tubes

Lcoulement de Poiseuille tudi au paragraphe prcdent a conduit dterminer une solution laminaireau problme. Nous avons donc suppos a priori que le nombre de Reynolds du fluide en coulement tait

faible.La relation d = A8 R

4 donne le dbit en fonction de la chute linique de pression A. Cette relation permetdvaluer la vitesse moyenne en fonction de A. En effet,

U =1

S

S

U dA =1

R2

R0

A

4(R2 r2)(2r) dr = A

8R2 (4.25)

puisque :

Re =U D

et A =

U2

2D(4.26)

tant la perte de charge rgulire unitaire ; on en tire :

= 64Re1 (4.27)

Ainsi, pour les rgimes laminaires, lexprience permet dobtenir une valeur de remarquablementvrifie.

Pour les rgimes turbulents lisses = (Re) (Re < 105), on vrifie approximativement :

= 0,316Re0,25 (4.28)

Cest la loi de Blasius. Des expriences rcentes confirment la validit de cette loi jusqu Re = 3.107.

Pour les rgimes turbulents mixtes = (Re,k/D), k reprsentant la hauteur moyenne des aspritset D le diamtre de la conduite, le nombre de Reynolds est tel que 23k/D < Re > u3 (ce qui entrane

u1x3

= 0), u1(x1,x3,t) = u1(x1,t).Montrer que :

u1t

+ u1u1x1

+ gh

x1

5.3.19 Circuit hydraulique

Un rservoir dont la surface libre est la cote zA est reli une pompe BC situe la cote zB, cettepompe monte lhuile dans un rservoir D dont la surface libre est la cote zD. Le dbit volumique de lapompe est qv et les pertes de charges sont HAB et HCD .

1. Quel est la hauteur de charge de la pompe?2. Quelle puissance doit-elle fournir?3. Application numrique: zA = 15 m, zB = 12,5 m, zD = 60 m, HAB = 2,5 m, HCD = 6,5 m,

qv = 160 l.s1, dhuile = 0,762, g = 9,81 m.s2, donner la puissance en watts et en chevaux. Tracer

la ligne de charge.


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5.3. FLUIDES PARFAITS INCOMPRESSIBLES 58

5.3.20 Circuit hydraulique

Grce une surpression p0, de leau circule du rservoir A vers le rservoir B. Nous ngligeons les pertesde charges liniques, nous ne considrons que les pertes de charges singulires. Le cfficient de perte de

charges est de 0,5 en sortie de rservoir A et de 0,2 pour chacun des coudes. Donner les coefficients depertes de charges pour llargissement brusque et pour lentre dans le rservoir B.

La dnivellation H est de 1 mtre. Calculer la pression p0 correspondant une vitesse de 1 m.s1 dansle tube de diamtre D.

Tracer la ligne de charge et la ligne pizomtrique.

5.3.21 Transformation de Joukowski

Soit la transformation de Joukowski :

z = J(Z) =1

2(Z+

a2

Z)

1. Dans quel domaine la transformation J est-elle conforme? Avec quels choix J est-elle une reprsen-tation conforme (bijectivit)?

2. Comment construire gomtriquement le point m daffixe z partir du point M daffixe Z?3. Que peut-on dire de limage en A(0,a) des tangentes deux courbes du plan des (z) en fonction

des tangentes ces courbes?4. Donner les images des circonfrences centres lorigine et dfinir compltement deux reprsenta-

tions conformes.5. tudier la transforme du cercle C = (J,R) passant par le point A(a,0) et tel que A(a,0) soit

lintrieur deC

avec J sur laxe Ox.

5.3.22 coulements autour dun disque et dun profil Portance dun profil

Le potentiel complexe de lcoulement dun fluide autour dun disque centr en C(c,0) et passant parle point A(a,0) est donn par la relation :

F(Z) = U0

Z+ c +

R2

Z+ c

+

2iln(Z+ c)

dans laquelle, U0 est la vitesse linfini, R le rayon du disque et la circulation autour du disque.

1 Dterminer le torseur des actions mcaniques sexerant sur le disque. Que se passerait-il si lon avait = 0?

2 On considre maintenant le profil obtenu partir du cercle ci-dessus par la transformation de Jou-kowski :

z = J(Z) =1

2

Z+

a2

Z


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Calculer la rsultante des actions mcaniques sexerant sur le profil.

3 Dterminer la circulation pour que la vitesse du fluide au point A soit nulle. Que vaut alors larsultante des actions mcaniques sexerant sur le profil? Lquation donnant sappelle condition deJoukowski.

5.3.23 Potentiel complexe

Soit le potentiel complexe f(z) = k cotaz

o k est une constante relle et a une constante relle positive.

1. Si on note:X1 =

ax1x21 + x

22

X2 = ax2x21 + x

22

avec z = x1 + ix2, calculer la fonction courant (X,Y) et le potentiel des vitesses (X1,X2).2. Dfinir la ligne de courant (X1,X2) = 0.3. Montrer que ce potentiel complexe correspond si les forces de masse sont ngliges, celui dun

coulement irrotationnel plan, dun fluide parfait incompressible en prsence dun obstacle circulaire

de rayon a, tangent en O laxe rel et sans singularit distance finie.4. Montrer que la vitesse du fluide linfini est uniforme et dterminer k de faon avoir cette vitessegale U.

5.3.24 coulement uniforme

Soit lcoulement uniforme f(Z) = U0Z

1. Donner les lignes de courant et les quipotentielles. Montrer que lon peut ainsi tudier lcoulementautour dune plaque plane de longueur 4a.

2. Soit la transformation Z = z + a2

z. tudier cette transformation; est-elle conforme ? Trouver les

homologues des lignes de courant et des quipotentielles de 1. Comment est transforme la plaque?3. Donner la vitesse complexe en un point, les composantes de la vitesse partir de la transformation.

5.3.25 Potentiel complexe

Soit lcoulement dfini par le potentiel complexe :

f(z) = U0(z k

z) k Cpour le nombre complexe z de module r et dargument .

1. Dterminer k pour que le point A daffixe z = a, a R soit un point de vitesse nulle.2. Calculer les fonctions potentiel et courant, les composantes de la vitesse u et v (en coordonnes

polaires).3. Dterminer la ligne de courant non rectiligne, passant par A, note P (en coordonnes polaires et

cartsiennes).4. Donner la distribution des vitesses (composantes et norme) selon P et le long de la demi-droite

x1A,5. Interprter cet coulement.6. Soit p0 la pression linfini, dterminer en fonction de la rpartition de la pression p() le long

de P.7. Vrifier que lquation de P scrit X22 = 4aX1, aprs translation du repre en A. Dterminer la

pression le long de P, en fonction de X1, et calculer la rsultante des efforts sur P jusquau pointdaffixe z = X10.

5.3.26 coulement dfini par sa vitesse complexe

On tudie lcoulement plan dun fluide parfait incompressible dans le repre orthonorm galilen (O,x,y).Le vecteur vitesse dune particule fluide est dcrit par la fonction complexe :

w(z) = V + 2y a2V

z2 ia

4

z3


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dans laquelle z = x + iy, V et sont des constantes relles donnes, et a une longueur donne.

1. Montrer que le fluide est incompressible. Que peut-on dire du vecteur tourbillon?2. Montrer que le cercle C de centre O et de rayon a est une ligne de courant de lcoulement. Calculer

la circulation le long de C.3. Les forces de volume sont ngliges par rapport aux autres efforts extrieurs. Calculer la pressiondu fluide en un point quelconque de C. On suppose que lcoulement seffectue autour du cercle|z| a matrialis. Calculer la rsultante des efforts exercs par le fluide sur le cercle.

5.3.27 coulement extrieur autour dun ovale

On considre lcoulement permanent plan (O,x1,x2) rsultant de la superposition:

dun coulement uniforme de vitesse V0 parallle Ox1, dune source ponctuelle A de flux F et dabscisse a, dun puits ponctuel B de flux

F dabscisse +a, tous deux situs sur Ox1.

Le fluide est parfait, incompressible, sans force de volume ; la pression linfini amont est p0.

1. Dterminer le potentiel complexe f, la fonction courant , le potentiel des vitesses et la vitessecomplexe w en un point quelconque M du plan z. On prendra = 0 sur laxe x1 linfini amont.

2. 2.1 Montrer que la ligne dcoulement = 0 se compose de deux portions de laxe des x1 et dunecourbe. Celle-ci a la forme dun ovale sparant lcoulement source-puits dun coulementextrieur (on ne demande pas ltude de cette courbe.

2.2 Montrer quaux points P et Q o lovale coupe Ox1, la vitesse sannule et dterminer lesabscisses b de ces points.

2.3 Donner lquation qui permet de dterminer les ordonnes h des points dintersection R etS de lovale et de Ox2.

3. On matrialise la surface de lovale et lon considre lcoulement extrieur. Vrifier au moyen de laformule de Blasius que la rsultante des efforts hydrodynamiques qui sexercent sur lovale est nulle(paradoxe de dAlembert).

5.3.28 houle sinusodale

Soit la houle sinusodale en profondeur infinie de potentiel :

(x1,x2,t) =hg

2exp kx2 sin(kx1 t)

1. Calculer lnergie cintique sur une longueur donde ,2. Calculer lnergie potentielle sur une longueur donde et en dduire lnergie totale de la houle,

3. Calculer lnergie dune houle damplitude 1 mtre , de priode 6,7 s, sachant que g = 9,81 m.s2

,et que la masse volumique de leau vaut = 1000 kg.m3

5.3.29 Interface mer-atmosphre

On sintresse ici linterface entre la mer et latmosphre. Les deux fluides sont supposs parfaits,incompressibles et les mouvements sont irrotationnels. La profondeur est suppose infinie.

On notera p1, V1, 1 et 1 respectivement, la pression, la vitesse, la masse volumique et le potentiel danslair, et p2, V2, 2 et 2 les mmes grandeurs dans leau.

Le repre galilen orthonorm direct est (O,x1,x2,x3) o x2 est vertical ascendant.

On tudie les petits mouvements de linterface autour de sa position dquilibre x2 = 0 en notant (x1,t) lacoordonne verticale linstant t du point de cette surface de coordonnes x1. On envisage les mouvementssous forme dondes planes progressives sinusodales dfinies par :

(x1,t) = a cos(kx1 t) a = h2


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5.4. FLUIDES VISQUEUX INCOMPRESSIBLES 61

Les oscillations tant de faible amplitude devant leur priode, on aura ka


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5.4. FLUIDES VISQUEUX INCOMPRESSIBLES 62

Le fluide est incompressible, lcoulemen

cours-exo-corr

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