cours - de méc du solide.pdf
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Archive : R. Hicham
Dpartement de Physique. Facult des Sciences Ben M Sik. Universit Hassan-II
Mohammdia.
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Chapitre I: Complments mathmatiques
Chapitre II: Centre de masse et
matrice d inertie
Chapitre III: Torseur cinmatique
Chapitre IV: Mouvement avec liaison
Chapitre V: Thormes gnraux
Plan gnral du cours
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I-1: Division vectorielle
Il sagit de trouver toutes les solutions de lquation
vectorielle suivante:
BXA
et sont arbitraires.
A
B
0BA
Chapitre I: Complments mathmatiques1
IR ; BAAAX
2
-
I-2: Champ antisymtrique ou champ de moments
QPR)Q(m)P(m
a- Proprit dquiprojectivit )()(
QPQmQPPm
2
Un champ de vecteurs est dit antisymtrique, sil existe
un vecteur tel que pour tout couple de point
de lespace euclidien, on a la relation suivante:
m
R )P,Q(
-
b- Invariant scalaire
P) , (Q ; R)Q(mR)P(m I
I-3: Application antisymtrique
A tout champ de moments on associe une
application antisymtrique dfinie par:
QPR(Q)m(P)m)QP L(
Qui vrifie bien la relation:
. considr espacel' dans choisi )b,a( 0)aL(b)bL(a
3
R.Hicham
-
Le vecteur est appel le vecteur adjoint de
lapplication antisymtrique L.
R
Soit une base orthonorme de
lespace considr, il vient:
321 e,e,e
3 ou 2 ,1 ; i eR)e L( ii
ou encore:
3 ou 2 ,1 ; i )eL( Re ii
La solution de cette quation vectorielle est:
4
-
IR ; 3 ou 2, 1; i )eL( ee
)eL( eee R
iii
ii
2
ii
Remarque: 3 ou 2, 1; i ReR ii
Lexpression de la rsultante est donc:
muet indice un est i o ; )eL( e2
1 R ii
5
-
I-4: Torseur associ un champ antisymtrique
(ou champ de moments )
Les vecteurs et sont appels lments de
rduction du torseur au point Q.
R )(Qm
6
A tout champ antisymtrique , on associe
lensemble de vecteurs:
quon appelle torseur et que lon note par :
Tout torseur est dfini en un point arbitraire Q,et on crit alors:
m
m,R
)Q(m,R)Q(
-
Torseur nul
I-4-1: Quelques types de torseurs7
Il est dfini par :
et s il existe un point Q de lespace considr tel que :
Consquence
Daprs la relation du champ antisymtrique on dduit
que le moment est nul partout dans lespace considr.
OR
O)Q(m
-
Torseur couple
8
Il est dfini par :
et s il existe un point Q de lespace considr tel que :
Consquence
Daprs la relation du champ antisymtrique, on dduit
que le moment est uniforme dans lespace considr.
OR
O)Q(m
-
9Torseur glisseur
Il est dfini par :
et s il existe un point Q de lespace considr tel que :
Consquence
linvariant scalaire est nul partout dans lespace considr.
OR
0R)Q(m
I-4-2: Comoment de deux torseurs
mR mR ), ( 122121
-
I-5: Axe central dun torseur 10
On se propose de chercher tous les points P dont les
moments sont colinaires la rsultante.
R(P) m
Soit rsoudre:
connu.est (Q)m o ; RQPR(Q) m
(Q) m-RQPR
-
0 (Q) m-RR
11La condition dexistence de la solution est:
scalaire.invariant l'est I ;
R
I
2
Les vecteurs solutions sont, sous cette condition:
IR; (Q) mRRRQP
IR ; (Q)m-RR
R
1RQP
2
2
-
IR; (Q)mRR QPo QPRQP
2
00
R QP 0
Interprtation gomtrique
12
Posons:
P()
Q
(D)
P( )
-
Le lieu gomtrique des points P pour lesquels le
moment est colinaire la rsultante est la droite
(D) passant par lextrmit du vecteur
et parallle la rsultante .
0QP
R
Remarque: Laxe central est le lieu gomtrique des
points P tel que le module du moment est minimal.
La droite ( D ) est par dfinition laxe central du
torseur associ au champ de moments
m
13
-
Considrons deux points P et H tels que H est la
projection orthogonale de P sur laxe (D).
HPRR
HPR)) ( (Hm) ) ( (Pm
. HPd o ; Rd(P) m
2
2
2
Dmonstration:14
-
II-1: Notion de barycentre
Soit dans lespace euclidien une distribution de
points gomtriques affects chacun dun
coefficient .
iP
i
Il existe dans cet espace un et un seul point not G,
appel barycentre de cette distribution, tel que:
OGP N
1i
ii
N
1i
iiN
1i
i
AP1
AG
15
Chapitre II: Centre de masse et matrice d inertie
-
II-2 Centre de masse
Dans le cas particulier o les points sont
matriels, le barycentre est appel centre de
masse.
iP
mm
N
1i
i
Masse totale
du systme discret.
16
OGPm N
1i
ii
N
1i
iiN
1i
i
APm
m
1 AG
-
II-2 Centre de masse d un systme continu
OdmGP
D
dmAPdm
1 AG
D
D
D est le domaine gomtrique occup par le systme.
mdm
D
17
Masse totale
du systme continu.
Dans le cas d un solide homogne on a:
-
L
m
dL
dm Distribution linique
, et sont respectivement les masses linique,
surfacique et volumique.
18
S
m
dS
dm
Distribution volumique
Distribution surfacique
V
m
dV
dm
-
19Application
Dterminons les coordonnes cartsiennes du
centre de masse du huitime dune calotte sphrique
homogne de rayon R et de masse surfacique .
R
R
RO
x
z
y
-
20
Le centre de masse est donn par la relation:
dSOPS
1 OG
D
zdSS
1 z
ydSS
1 y
xdSS
1 x
D
G
D
G
D
G
Il est commode dutiliser ici les coordonnes
sphriques pour le calcul de ces intgrales.
-
21
d.dcosS
R z
d.sin.dsinS
R y
d.cos.dsinS
R x
2/
0
2/
0
3
G
2/
0
2/
0
3
G
2/
0
2/
0
3
G
avec:
2
R.d.dsinRdS S
2/
0
22/
0
2
D
2
Rxy x GGG
-
22II-3 Matrice d inertie
II-3-1 Matrice dinertie dun systme discret
Considrons dans lespace euclidien un systme
mcanique constitu de N points matriels
P(m).Cet espace est muni d un repre cartsien
R0(Ox,Oy,Oz) de base orthonorme directe
.
321 e,e,e
La matrice dinertie lmentaire dun point matriel P
est dfinie, dans ce repre, par :
-
23
)P(I )er)(er(rm)P(I jijiij
2
ij
)x ,x ,x(r 321
Rayon-vecteur du point
matriel P(m).
La matrice dinertie du systme ,dans le repre R0, est:
)er)(er(rm)(I
N
1
jiij
2
ij
ji si 1
ji si 0
ij Symbole de Kronecker
-
24
Les termes non diagonaux de cette matrice, I12 , I23
et I13 sont appels produits dinertie respectivement
dans les plans (Ox,Oy), (Oy,Oz) et (Ox,Oz).
II-3-2 Matrice dinertie dun systme continu
(solide indformable).
La matrice dinertie lmentaire dun point matriel P(dm)
appartenant ce solide, est dfinie, dans le repre R0, par :
Les termes diagonaux de cette matrice, I11 , I22 et
I33 sont appels moments dinertie par rapport aux
axes respectivement Ox, Oy et Oz.
-
25
dm)er)(er(r(S)I
D
jiij
2
ij
La matrice dinertie du solide S ,dans ce repre R0,
est:
D est le domaine gomtrique occup par le
solide (S).
(P)dI)er)(er(rdm(P)dI jijiij
2
ij
-
26II-3-3 Repre principal d inertie.
Il existe au moins un repre tri-orthogonal dans le
quel la matrice dinertie est diagonale. Un tel repre
est appel repre principal dinertie. On note ce repre
par:
)u,u,u,A(R 321p
sont les vecteurs propres, les composantes
diagonales de la matrice dinertie dans le repre Rp sont
appels moments principaux dinertie.
u,u,u 321
-
27
Application
Trouvons le repre principal dinertie du huitime de
la calotte sphrique.
Sa matrice dinertie dans le repre R0 est de la forme:
AB B
B AB
B B A
)R/S(I 0
dm)zy()R/(SI
D
220xx
-
28
8
R3m
dd )(cos)sin.(sinR)R/(SI
2
D
2240xx
4
mR
dd cos.sin.sin R)R/(SI
2
D
240xy
-
Cherchons maintenant les valeurs propres i de cette
matrice.
Lquation aux valeurs propres est donne par:
0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
AB B
B AB
B B A
0]1)R/S(Idet[
0
29
-
0B2)BA(A)BA()BA(
22
3B ; 0B2)BA(A)BA2(
BA
22
1
D
BA ; B2A ; BA
221
30
-
Lquation aux vecteurs propres est donne par:
0V
1 0 0
0 1 0
0 0 1
AB B
B AB
B B A
ii
0
0
0
X
X
X
)A( B B
B )A( B
B B )A(
3i
2i
1i
i
i
i
31
-
0
0
0
X
X
X
2 1 1
1 2- 1
1 1 2
23
22
21
Pour la valeur propre 2 on a:
XXX 232221
Le vecteur propre unitaire associ cette valeur
propre est:
)1 , 1 , 1(3
1u 2
32