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Cours de Finance (M1)

Compléments (espérance de rentabilité, stationnarité et

cycle de vie des entreprises, corrélation parfaite)

1Chartered Financial Analyst (CFA) Institute

https://www.cfainstitute.org/pages/index.aspx

Plan

◼ Rentabilité◼ Définition du taux de rentabilité

◼ Rentabilité historique et espérée

◼ Rentabilité d’un portefeuille

◼ Risque◼ écart-type (volatilité) du taux de rentabilité

◼ Diversification des risques◼ Coefficient de corrélation linéaire

◼ Diversification du risque

◼ Compléments :

◼ Espérance de rentabilité

◼ Caractéristiques des sociétés et rentabilités boursières

◼ Exercice : actifs risqués parfaitement corrélés

2

Dossier complémentaire : probabilités et

finance

◼ Rappels l’espérance mathématique

◼ Jeu de dés :connaissance a priori des probabilités

◼ Rentabilité attendue

◼ Montrer par l’exemple que les rentabilités boursières

changent de nature en fonction du cycle de vie de

l’entreprise.

◼ Changement de nature de l’entreprise

◼ Non stationnarité des rentabilités boursières

◼ Exercice : corrélations parfaites

3

Finance et probabilités

Variable aléatoire

◼ Exemple du jeu de dés◼ 𝑋 : valeur qui apparaît après le lancer

◼ Il y a une valeur prise pour chaque « état de la nature »

◼ « état de la nature » : comment retombe le dé

◼ 𝑋 peut prendre 6 valeurs, 1,2,… , 6 correspondant à six

états possibles que l’on numérotera également de 1 à 6◼ 𝑋 𝑘 = 𝑘, 𝑘 = 1,… , 6

◼ Ici, identité entre la numérotation des états de la nature et les

valeurs prises par 𝑋

◼ 𝑋 : variable aléatoire

◼ 𝑋 est une fonction dont on ne connait pas les valeurs à

l’avance◼ Remarquons que la notion de variable aléatoire ne fait pas

apparaître de probabilité

4

Finance et lois probabilités

◼ Cas d’un dé non pipé

◼ Il y a six faces et les probabilités de tomber sur l’une

autre des faces sont égales

◼ Équiprobabilités

◼ Au bac, cette année on s’est amusé avec des tétraèdres

◼ On tombe toujours sur une face !

◼ La probabilité de tirer une valeur donnée est donc Τ1 6

◼ On notera 𝑝(1) = Τ1 6 , 𝑝(2) = Τ1 6 ,… , 𝑝(6) = Τ1 6 où

𝑝(1) est la probabilité de tirer 1

◼ Loi de probabilité : ensemble des valeurs que l’on peut

tirer 1,2,3,4,5,6 associé au probabilités d’obtenir ces

valeurs 𝑝(1) = Τ1 6 , 𝑝(2) = Τ1 6 ,… , 𝑝(6) = Τ1 6

5


Espérance mathématique

◼ On rappelle que l’on a noté 𝑋 la variable aléatoire

représentant la valeur prise par le dé

◼ 𝑝(1) = Τ1 6 , 𝑝(2) = Τ1 6 ,… , 𝑝(6) = Τ1 6 sont les

probabilités associées aux différentes valeurs 1,2,… , 6

◼ On appelle espérance mathématique de la variable

aléatoire 𝑋

◼ La quantité Τ1 6 × 1 + Τ1 6 × 2 + Τ1 6 × 3 + Τ1 6 × 4 +Τ1 6 × 5 + Τ1 6 × 6

◼ Soit la moyenne des valeurs prises par 𝑋 pondérée par les

probabilités des valeurs prises par les probabilités des

valeurs prises par 𝑋

6


Espérance mathématique (suite)

◼ De manière plus générale, on considère un ensemble d’« états de

la nature » numérotés 𝟏, 𝟐, … ,𝑲

◼ Ces états peuvent par exemple correspondre aux différents prix

d’actions ou aux différentes valeurs des rentabilités

◼ La valeur précise de 𝑲 n’a pas d’importance

◼ Soit une variable aléatoire 𝑿

◼ prend les valeurs )𝑿(𝟏), 𝑿(𝟐), … , 𝑿(𝑲 dans les états 𝟏, 𝟐, … ,𝑲

◼ On note )𝒑(𝟏), 𝒑(𝟐), … , 𝒑(𝑲 les probabilités des différents états

◼ 𝒑(𝟏) + 𝒑(𝟐) +⋯+ 𝒑(𝑲) = 𝟏

◼ 𝒑(𝟏) ≥ 𝟎, 𝒑(𝟐) ≥ 𝟎,… , 𝒑(𝑲) ≥ 𝟎

◼ On appelle espérance mathématique de la variable aléatoire 𝑋 et

on note 𝑬 𝑿 la quantité )𝒑(𝟏) × 𝑿(𝟏) +⋯+ 𝒑(𝑲) × 𝑿(𝑲

◼ Il s’agit de la moyenne des valeurs prises par 𝑋 pondérée par

les probabilités 𝑝7


Espérance mathématique (suite)

◼ Linéarité de l’espérance mathématique

◼ Deux variables aléatoires X et Y et deux réels α et β

◼ On a alors : 𝑬 𝜶𝑿 + 𝜷𝒀 = 𝜶𝑬 𝑿 + 𝜷𝑬 𝒀

◼ Démonstration :

◼ Par définition

◼ 𝑬 𝜶𝑿 + 𝜷𝒀 = 𝒌=𝟏

𝑲𝒑(𝒌) × )𝜶𝑿(𝒌) + 𝜷𝒀(𝒌

◼ En développant le terme de droite, on obtient

◼ 𝒌=𝟏

𝑲)𝜶𝒑(𝒌)𝑿(𝒌) + 𝜷𝒑(𝒌)𝒀(𝒌

◼ En réarrangeant les termes, la somme précédente peut s’écrire

◼ 𝜶 𝒌=𝟏

𝑲)𝒑(𝒌)𝑿(𝒌 + 𝜷

𝒌=𝟏

𝑲)𝒑(𝒌)𝒀(𝒌

◼ Le terme de droite est égal à 𝜶𝑬 𝑿 + 𝜷𝑬 𝒀◼ Ce que l’on voulait démontrer

8

Espérance du taux de rentabilité

◼ On parle souvent de « rentabilité espérée »

◼ On rappelle que l’on a défini le taux de rentabilité d’une

action entre les dates 𝒕𝟎 et 𝒕𝟏 comme

◼ 𝑹 =𝑷𝟏+𝑫𝟏−𝑷𝟎

𝑷𝟎, 𝑷𝟎, 𝑷𝟏 prix en 𝒕𝟎 et 𝒕𝟏

◼ Ce taux de rentabilité est connu à la date 𝒕𝟏◼ Au moment de la revente

◼ Mais pas au moment de la date d’achat 𝒕𝟎◼ Car les cours boursiers futurs ne sont pas prévisibles

◼ Sauf pour l’investisseur omniscient (vous saurez vous reconnaître)

◼ On va donc considérer que (vu de la date 𝑡0), le taux de

rentabilité est une variable aléatoire et on va s’intéresser

au calcul de son espérance 𝑬 𝑹9

La théorie du portefeuille : compléments

mathématiques

◼ Il peut à nouveau être utile de faire quelques rappels de

probabilités

◼ Définition de la covariance entre 𝑅1 et 𝑅2◼ Cov 𝑹𝟏, 𝑹𝟐 = 𝑬 𝑹𝟏 − 𝑬 𝑹𝟏 × 𝑹𝟐 − 𝑬 𝑹𝟐◼ Dans le livre, Cov 𝑹𝟏, 𝑹𝟐 est notée 𝑪𝟏,𝟐

◼ Définition équivalente :

◼ Cov 𝑹𝟏, 𝑹𝟐 = 𝑬 𝑹𝟏 × 𝑹𝟐 − 𝑬 𝑹𝟏 × 𝑬 𝑹𝟐◼ Cette équivalence peut être démontrée à titre d’exercice et

résulte de la linéarité de l’espérance

◼ Remarques :

◼ Cov 𝑹𝟏, 𝑹𝟏 = 𝐸 𝑅1 − 𝐸 𝑅12 = 𝐕𝐚𝐫 𝑹𝟏

◼ Cov 𝑹𝟏, 𝑹𝟐 = Cov 𝑹𝟐, 𝑹𝟏 (symétrie)10


mathématiques

◼ Vérifiez à titre d’exercice que :

◼ Var 𝑹𝟏 + 𝑹𝟐 = Var 𝑹𝟏 + 𝟐Cov 𝑹𝟏, 𝑹𝟐 + Var 𝑹𝟐

◼ En utilisant la définition de la covariance et la linéarité de

l’espérance

◼ Var 𝑅1 + 𝑅2 = 𝐸 𝑅1 + 𝑅22 − 𝐸 𝑅1 + 𝑅2

2

◼ 𝑅1 + 𝑅22 = 𝑅1

2 + 2𝑅1𝑅2 + 𝑅22

◼ 𝐸 𝑅1 + 𝑅22 = 𝐸 𝑅1

2 + 2𝐸 𝑅1𝑅2 + 𝐸 𝑅22

◼ 𝐸 𝑅1 + 𝑅2 = 𝐸 𝑅1 + 𝐸 𝑅2

◼ 𝐸 𝑅1 + 𝐸 𝑅22 = 𝐸 𝑅1

2 + 2𝐸 𝑅1 × 𝐸 𝑅2 + 𝐸 𝑅22

◼ En soustrayant les termes en vert à ceux en bleu

◼ 𝐸 𝑅12 − 𝐸 𝑅1

2 + 2 𝐸 𝑅1𝑅2 − 𝐸 𝑅1 𝐸 𝑅2 + 𝐸 𝑅22 −

𝐸 𝑅22

◼ =Var 𝑅 + 2Cov 𝑅 𝑅 + Var 𝑅11


mathématiques

◼ Covariance entre une variable aléatoire 𝑋 et une (variable

aléatoire) constante 𝑎

◼ Cov 𝑿, 𝒂 = 𝑬 𝑿𝒂 − 𝑬 𝑿 𝑬 𝒂

◼ En utilisant la linéarité de la variance 𝑬 𝑿𝒂 = 𝒂𝑬 𝑿

◼ Nous avons déjà vu que si 𝑎 est une constante 𝐄 𝐚 = 𝐚

◼ On obtient donc : Cov 𝑿, 𝒂 = 𝟎

◼ Nous avons vu que, par définition, la rentabilité d’un

placement sans risque 𝑹𝑭 est constante

◼ Pour toute rentabilité (aléatoire) 𝑹 d’une action ou d’un

portefeuille, on a donc Cov 𝑹,𝑹𝑭 = 𝟎

12


mathématiques

◼ (Bi)linéarité de la covariance

◼ Si 𝜶,𝜷 sont deux scalaires, 𝑹𝟑 une rentabilité aléatoire :

◼ Cov 𝑹𝟏, 𝜶𝑹𝟐 + 𝜷𝑹𝟑 = 𝜶 × Cov 𝑹𝟏, 𝑹𝟐 + 𝜷 × Cov 𝑹𝟏, 𝑹𝟑◼ Démonstration pénible à écrire, sans difficulté, à lire tranquillement

◼ D’après la définition de la covariance :

◼ Cov 𝑅1, 𝛼𝑅2 + 𝛽𝑅3 = 𝐸 𝑅1 𝛼𝑅2 + 𝛽𝑅3 − 𝐸 𝑅1 × 𝐸 𝛼𝑅2 + 𝛽𝑅3◼ En utilisant la linéarité de l’espérance :

◼ 𝐸 𝑅1 𝛼𝑅2 + 𝛽𝑅3 = 𝛼𝐸 𝑅1𝑅2 + 𝛽𝐸 𝑅1𝑅3◼ 𝐸 𝑅1 𝐸 𝛼𝑅2 + 𝛽𝑅3 = 𝐸 𝑅1 𝛼𝐸 𝑅2 + 𝛽𝐸 𝑅3 = 𝛼𝐸 𝑅1 𝐸 𝑅2 +𝛽𝐸 𝑅1 𝐸 𝑅3

◼ En reportant les expressions en couleur et en factorisant par 𝛼 et 𝛽

◼ Cov 𝑅1, 𝛼𝑅2 + 𝛽𝑅3 = 𝛼 𝐸 𝑅1𝑅2 − 𝐸 𝑅1 𝐸 𝑅2 + 𝛽()

𝐸 𝑅1𝑅3 −𝐸 𝑅1 𝐸 𝑅3

◼ Cov 𝑅1, 𝛼𝑅2 + 𝛽𝑅3 = 𝛼Cov 𝑅1, 𝑅2 + 𝛽Cov 𝑅1, 𝑅313


mathématiques◼ Application à la gestion de portefeuille (suite)

◼ 𝑿𝟏, 𝑿𝟐 fractions de la richesse investie dans les titres 1 et 2

◼ D’après les propriétés de la variance :

◼ D’où le résultat en utilisant : 𝑿𝟐 = 𝟏 − 𝑿𝟏, 𝝆𝟏𝟐 =𝐂𝐨𝐯 𝑹𝟏,𝑹𝟐

𝝈𝟏×𝝈𝟐

◼ On peut calculer la variance de la rentabilité des portefeuilles

constitués du titre 1 et du titre 2 en fonction de 𝑿𝟏14

1 1 2 2PR X R X R= +

1 2 2 11 1 XX XX+ = = −

( ) ( )22 2 2

1 1 12 1 1 1 2 1 2Var 2 1 1

PR X X X X = + − + −

( )

( )

1 1 2 2

1 1 1 1 2 2 2 2

2 2

1 1 1 2 1 2 2 2

Var Var

Var 2Cov , Var

Var 2 Cov , Var

PR X R X R

X R X R X R X R

X R X X R R X R

= +

= + +

= + +


finance






l’entreprise.




15

16

Une approche financière de la

non stationnarité

◼ Vie et mort d’une action…◼ Naissance : petite entreprise deviendra

grande◼ Apport personnel du créateur

◼ Emprunts bancaires

◼ “Business angels”, capital-développement,

fonds d’amorçage, de capital risque,

pépinières d’entreprises

◼ Les apporteurs de capitaux externes apportent

également une aide en matière de gestion

financière

◼ L’entreprise n’est pas en général pas cotée en

Bourse

◼ Puis introduction en Bourse◼ Vente d’actions à des actionnaires extérieurs

◼ Marché primaire : « marché du neuf »◼ De nouvelles actions sont créées et vendues

aux investisseurs

◼ IPO : « Initial Public Offering »

17

Une approche financière de

la non stationnarité

◼ Vie et mort d’une action…

◼ Augmentation de capital

◼ Une entreprise peut vendre de nouvelles actions…

◼ L’argent récupéré lors de la mise en vente des actions est utilisé pour financer des investissements

◼ Mécanisme le plus courant

◼ prix de vente fixé

◼ pendant une certaine période

◼ De l’ordre d’un mois

◼ Les acheteurs potentiels déposent des offres de souscription

Michelin

18

Une approche financière

de la non stationnarité

◼ Introduction en Bourse,

augmentation de capital◼ Risques pour l’entreprise

◼ Ne pas vendre suffisamment

d’actions

◼ Vendre des actions à un prix trop

bas

◼ Placement garanti◼ Un « syndicat de banques » achète

les actions à un cours garanti

◼ Il revend les actions au « marché »◼ Investisseurs institutionnels,

particuliers

◼ Le risque de baisse des cours ou de

« colle » est supporté par les

intermédiaires financiers.

19



◼ Les actions d’une entreprise peuvent ne plus être cotées en Bourse◼ Ne peuvent plus être achetées ou

vendues sur un marché organisé

◼ « private equity »◼ L’entreprise peut être rachetée par un

groupe d’investisseurs intervenant de manière active dans la gestion

◼ Moins d’obligations de communication financière

◼ Plus de facilité pour que les propriétaires puissent réorganiser l’entreprise

◼ L’entreprise peut ultérieurement être réintroduite en Bourse

◼ Pendant la période intermédiaire, on ne dispose pas de cours boursiers et donc de rentabilités boursières Les fonds spécialisés dans cette activité n’ont

pas toujours bonne presse

20



◼ Au cours de sa vie, les actifs de l’entreprise peuvent changer de nature◼ Cessions ou rachat d’actifs

◼ IBM a successivement fabriqué des imprimantes, des grands ordinateurs, des PC

◼ Aujourd’hui fait du conseil dans le domaine des services informatiques

◼ Les caractéristiques des rentabilités peuvent changer

La variabilité des rentabilités de l’action IBM fluctue au cours du temps Bulle internet



◼ La durée de vie est indéterminée

◼ Mais l’entreprise est mortelle◼ Faillite et liquidation des

actifs◼ L’action de la banque

Washington Mutual avait des niveaux de cours boursiers très stables de 2004 à mi 2007

◼ Avant de s’effondrer au moment de la crise financière

◼ Rachat par une autre entreprise

◼ Suite à une “offre publique d’achat” en Bourse (OPA, OPE)

◼ Ou Spin-off◼ Vivendi

21

Effondrement du cours de l’action Washington Mutual

Crise financière aux États-Unis

22



◼ On dispose pour les actifs cotés en Bourse

d’historiques de cours boursiers

◼ Ces cours boursiers ont souvent un

caractère « aléatoire »

◼ D’où l’utilisation d’indicateurs

statistiques et de modèles probabilistes

pour mieux appréhender les données

passées et futures◼ Espérance du taux de rentabilité

◼ Écart-type du taux de rentabilité

◼ On vient de voir que l’analyse financière

montre que les caractéristiques des

sociétés changent au cours du temps◼ Non stationnarité des taux de rentabilité

◼ Peut-on utiliser des données historiques à

des fins prospectives ?◼ Quand on investit, on s’intéresse à sa

richesse future

Cours action NYSE EuronextGraphique chandeliers


finance






l’entreprise.




23

Exercice 𝝆𝟏𝟐 = 𝟏

24

◼ Cas où 𝝆𝟏𝟐 = 𝟏

◼ Cas particulier où le coefficient de corrélation

linéaire entre les deux rentabilités 𝑅1, 𝑅2 est égal à 1

◼ On rappelle que : 𝝆𝟏𝟐=𝐂𝐨𝐯 𝑹𝟏,𝑹𝟐

𝝈𝟏×𝝈𝟐, −𝟏 ≤ 𝝆𝟏𝟐 ≤ 𝟏

◼ 𝝆𝟏𝟐 = 𝟏 correspond à la situation où la liaison

statistique entre les deux rentabilités est la plus forte

◼ Si 𝑹𝟐 = 𝑹𝟏, alors 𝝆𝟏𝟐 =𝐂𝐨𝐯 𝑹𝟏,𝑹𝟐

𝝈𝟏×𝝈𝟐= 𝟏

◼ En effet, le numérateur est 𝐂𝐨𝐯 𝑹𝟏, 𝑹𝟐 = 𝐕𝐚𝐫 𝑹𝟏◼ Le dénominateur est 𝝈𝟏 × 𝝈𝟏 = 𝐕𝐚𝐫 𝑹𝟏

◼ 𝝆𝟏𝟐 = 𝟏 Pourquoi s’intéresser à ce cas particulier ?

◼ On considèrera en outre que 𝟎 ≤ 𝑿𝟏 ≤ 𝟏, 𝟎 ≤ 𝑿𝟐 ≤ 𝟏◼ 𝑿𝟏, 𝑿𝟐 Quantités investies dans les deux titres positives

◼ Les calculs d’écart-type des portefeuilles sont plus simples

que dans le cas général

◼ Écart-type fonction affine de la composition du portefeuille

◼ Représentation simple des portefeuilles dans le plan écart-type –

espérance des rentabilités

◼ Il s’agit d’un segment de droite

◼ Comparaisons utiles avec le cas général 𝝆𝟏𝟐 ≤ 𝟏◼ Concavité de la frontière efficiente

◼ Facilite l’analyse de la Capital Market Line (CML)

◼ Les portefeuilles sur la CML sont parfaitement corrélés

◼ Permet une introduction à la notion d’arbitrage25

Exercice 𝝆𝟏𝟐 = 𝟏,

𝟎 ≤ 𝑿𝟐 ≤ 𝟏, 𝟎 ≤ 𝑿𝟐 ≤ 𝟏

Exercice

𝝆𝟏𝟐 = 𝟏

◼ Le cas 𝝆𝟏𝟐 = 𝟏 correspond à une situation extrême de liaison

parfaite entre les rentabilités 𝑹𝟏 et 𝑹𝟐◼ On peut démontrer que 𝝆𝟏𝟐 = 𝟏

◼ Si et seulement si 𝑹𝟐 = 𝜶 × 𝑹𝟏 + 𝜷 avec 𝜶,𝜷 ∈ ℝ,𝜶 > 𝟎Relation affine entre les deux rentabilités

◼ Pas de terme de bruit comme dans une régression linéaire

◼ Pas de « diversification du risque »

◼ Représentation simple des portefeuilles dans le plan écart-type –

espérance des rentabilités

◼ S’il existe un actif sans risque, on peut en outre montrer que le

titre 2 est un portefeuille composé du titre 1 et de l’actif sans

risque (et vice versa)

◼ En l’absence d’« opportunité d’arbitrage » (voir la suite des transparents)

26

Exercice

𝝆𝟏𝟐 = 𝟏

◼ Évaluation de l ’écart-type du portefeuille quand 𝝆𝟏𝟐 = 𝟏

◼ On part de la formule générale

◼ 𝜎𝑃2 𝑋1 = 𝑋1

2𝜎12 + 2𝜌12𝑋1 1 − 𝑋1 𝜎1𝜎2 + 1 − 𝑋1

2𝜎22

◼ Qui devient

◼ 𝜎𝑃2 𝑋1 = 𝑋1

2𝜎12 + 2𝑋1𝜎1 1 − 𝑋1 𝜎2 + 1 − 𝑋1

2𝜎22

◼ = 𝑋1𝜎1 + 1 − 𝑋1 𝜎22 (« carré parfait »)

◼ 𝝈𝑷 𝑿𝟏 = 𝑿𝟏𝝈𝟏 + 𝟏 − 𝑿𝟏 𝝈𝟐◼ |𝑎|: valeur absolue de 𝑎 ∈ ℝ

◼ |𝑎| = 𝑎, si 𝑎 ≥ 0, 𝑎 = −𝑎 si 𝑎 < 0

◼ 𝝆𝟏𝟐 = 𝟏, 𝟎 ≤ 𝑿𝟏 ≤ 𝟏 ⇒ 𝑋1𝜎1 + 1 − 𝑋1 𝜎2 ≥ 0

◼ ⇒ 𝝈𝑷 = 𝑿𝟏𝝈𝟏 + 𝟏 − 𝑿𝟏 𝝈𝟐27

Exercice

𝝆𝟏𝟐 = 𝟏

28

( )1 1 1 21

pE X E R X E R= + −

( )1 1 1 21

PX X = + −

10 1X

Le segment de droite reliant les points A et B représente l’ensemble des

portefeuilles combinant les titres 1 et 2 pour un niveau de corrélation égal à 1

Espérance de rentabilité

Écart-type de la rentabilité

proportion de la richesse investie dans

le titre 1

2 2E E R

1 1E E R

1et 0 1X

Segment de droite

Exercice

𝝆𝟏𝟐 = 𝟏

◼ Corrélation 𝝆𝟏𝟐 = 𝟏

◼ Segment de droite ?

29

( )1 1 1 21

pE X E R X E R= + −

( )1 1 1 21

PX X = + −

Le segment de droite reliant les points A et B représente l’ensemble des

portefeuilles combinant les titres 1 et 2, en quantités positives, pour un niveau de

corrélation égal à 1

Espérance de rentabilité

Écart-type de la rentabilité

11X =

10X =

( )2 1 1 2pE E X E E− = −

2 2E E R

( )2 1 1 2P X − = −

( ) 1 2

2 2

1 2

p P

E EEE

−− = −

−

Relation affine entre espérance de rentabilité et écart-type des rentabilités

10 1X

1 1E E R

Exercice

◼ Le cas 𝝆𝟏𝟐 = 𝟏 correspond à une situation extrême de liaison

parfaite entre les rentabilités 𝑹𝟏 et 𝑹𝟐◼ Cas général −𝟏 ≤ 𝝆𝟏𝟐≤ 𝟏

◼ Variance et espérance de rentabilité pour 𝑿𝟏 donné

◼ 𝝈𝑷𝟐 𝑿𝟏 variance de la rentabilité du portefeuille

◼ 𝝈𝑷𝟐 𝑿𝟏 = 𝑿𝟏

𝟐𝝈𝟏𝟐 + 𝟐𝝆𝟏𝟐𝑿𝟏 𝟏 − 𝑿𝟏 𝝈𝟏𝝈𝟐 + 𝟏 − 𝑿𝟏

𝟐𝝈𝟐𝟐

◼ Fonction affine du coefficient de corrélation 𝝆𝟏𝟐◼ la variance de taux de rentabilité du portefeuille est d’autant plus

faible que le coefficient de corrélation est faible

◼ 𝑬𝑷 𝑿𝟏 = 𝑿𝟏𝑬𝟏 + 𝟏 − 𝑿𝟏 𝑬𝟐◼ 𝑬𝑷 𝑿𝟏 espérance de rentabilité du portefeuille

◼ L’espérance de rentabilité ne dépend pas du coefficient de

corrélation 𝝆𝟏𝟐30

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