1

0. Introduction

- aspect "calculs"

(l’aspect technologie sera développé au cours d'exécution - sols)

- 3 parties :

• action des terres sur un ouvrage de soutènement : poussée - butée

• massifs "soutenus" : ouvrages de soutènement et de blindage

• massifs "non soutenus" : stabilité des talus, plus économique

(figure p.1)

2

Classification des ouvrages de soutènement selon le mode de reprise de la poussée :

- forces mises en jeu et effet des ancrages : (figure p.2 a)

Ea, la poussée (pression active), càd la force agissante qu'il va falloir contrer. Elle

tente de faire pivoter le mur, de le pousser vers la gauche. Ep, la butée (pression passive) des terres dont on ne tient généralement pas compte G, le poids propre du mur qui va permettre d'assurer la stabilité du mur

• éviter que le mur ne glisse effort résistant de glissement H = G . µ

• éviter que le mur ne tourne, ne pivote le couple résistant, G * le bras de levier, doit être supérieur au couple sollicitant.

• s'assurer que le sol ne se dérobe pas sous l'action du poids du mur effort normal

mur massif en maçonnerie ou béton

mur en terre armée

ouvrage cellulaire

ouvrages de soutènement

mode de reprise de la poussée

poids de l'ouvrage

encastrement mur en équerre en béton

paroi moulée mur emboué

rideau de palplanches (métal)

ancrage + - mur en béton ancré

paroi moulée ancrée

3

Si on utilise des ancrages, il faut tenir compte de leur action.

- modes de rupture :

rotation (figure p.2 b ) - translation (figure p.2 c) Suite à la poussée des terres,

- le sol pivote et est ainsi amené à rupture. rupture par rotation

- le sol peut subir une translation et être ainsi amené à la rupture. rupture par translation

mécanique des sols stabilité

- étapes de calcul :

1° pressions forces : sol, eau, surcharges, - 2° équilibres "externes" : équilibre de rotation et de translation (vertical et horizontal) 3° équilibres "internes" : calcul organique, dimensionnement propre de l'élément,

enfoncement nécessaire dans le sol ELU : moments et efforts ELS : fissuration du béton

déformation du sol

- exemple :

pas d'eau et sol homogène

avec pp, la pression passive (butée des terres)

pa, la pression active (poussée des terres)

Fa = Ι pa

Fp = Ι pp

Fa

pa

Fp

pp

mouvement de la palplanche

Mmax

4

Il faut s'assurer que la longueur de fiche est suffisante. équilibre externe Il faudra aussi choisir le bon profil de palplanches. déterminer le diagramme des moments (équilibre interne). A partir du moment

maximum, on peut déduire le profil minimum :

Mmax σ≥ maxM

v

I

déterminer l'effort tranchant Vmax déterminer la flèche : (surtout pour les palplanches qui sont très déformables)

........E

flècheI

ac

max≥

5

1. Poussée - butée

1.1. Pression des terres sur un écran

1.1.1. Paramètres du sol : c, ϕ, a, ψ

• par rapport au sol :

c, la cohésion

ϕ, l'angle de frottement droites intrinsèques

Dès que le cercle de Mohr devient tangent à la droite intrinsèque, on est à la limite de rupture du matériau.

τult = ± (c + σ . tg ϕ)

s’il y a présence d’eau, σ = σ’

• par rapport à l'écran : sol soutenu

a, l'adhérence entre le sol et l’écran

ψ, l'angle de frottement entre le sol et l’écran

τult = ± (a + σ . tg ψ)

Si la paroi est particulièrement lisse, c = 0 et ψ = 0

σ

τ ϕ

c

ρ

σ

τ

σ

τ ρult

6

a ≤ c

ψ ≤ ϕ sinon la rupture n'a pas lieu à l'interface écran - sol, mais juste à côté dans le sol, càd

que τult,sol < τult,écran-sol.

a et ψ peuvent être déterminés au moyen de la boîte de Casagrande. La demi boîte est remplacée par une plaque en un même matériau que l'écran.

1.1.2. Cercle de Mohr :

- convention :

β, l'angle que fait l'interface écran - sol par rapport à la verticale, càd l'inclinaison de l'écran

i, l'angle que fait le sol par rapport à l'horizontal, càd l’inclinaison du terrain

δ, l'angle que fait la contrainte ρ par rapport à la normale à la facette positif si l'angle tourne dans le sens antihorlogique (figure p.3 a)

Si δ est positif, alors τ est négatif

σ + si compression

τ + si antihorlogique (figure p.3 b)

! Dans le cercle de Mohr, δ est positif dans le sens horlogique :

Pour ne pas se tromper, on se base sur le sens de σ et de τ.

Si de l'eau est présente, il ne faut prendre en compte que la contrainte effective σ'.

σ

τ

τ - ρ

δ +

τ− ρ

σ+

τ

σ

τ + ρ

δ −

τ+ ρ

σ+

7

- contraintes conjuguées et facettes conjuguées :

en un point A :

Le problème est tjs considéré comme plan. En un point A, il existe plusieurs facettes.

2 facettes sont conjuguées lorsque la 1ère facette est parallèle à la contrainte ρ agissant sur la 2e facette. 2 contraintes sont conjuguées lorsque la 1ère contrainte est parallèle à la facette sur laquelle agit la 2e contrainte.

Les 2 angles δ sont identiques, mais de signe opposé. avec P, le pôle

ε, l’angle que fait la droite intrinsèque avec l’horizontale

construction du cercle de Mohr :

- supposons les contraintes principales σI et σII connues on peut tracer le

cercle de Mohr correspondant de rayon = (σI + σII) / 2. - on trace σ1, τ1 et σ2, τ2 ce qui permet de dessiner ρ1 et ρ2, dont les

extrémités touchent le cercle puisqu’un point du cercle de Mohr correspond

à un couple (σ,τ).

- pour trouver le pôle, on trace une parallèle à la facette passant par le point

d’application de la contrainte ρ correspondant à cette facette. L’intersection de cette parallèle avec le cercle de Mohr représente le pôle. On peut faire de même pour la 2e facette.

- pour trouver l’orientation des facettes de rupture, on joint le pôle à l’intersection entre le cercle de Mohr et la droite intrinsèque.

A

ρ2 δ+

A ρ1

δ-

1 2

σ

τ

P

ρ1

ρ2

δ- δ+

δ

γ

γ ε ε

donne l'orientation de la 2

e facette c'est

l'orientation de ρ2

σI σII

R

C

O

T

Q

8

En un point, chaque facette possède sa conjuguée. De même, chaque contrainte en un point possède sa conjuguée.

relation entre ρ1 et ρ2 :

( )( )δ−γ

δ+γ=

ρ

ρ

sin

sin

2

1 ≥ 1 expression dans laquelle tous les angles sont pris en

valeur absolue

en effet, ( )( )δ−γ⋅

δ+γ⋅=ττ

=ρρ

sinrayon

sinrayon

2

1

2

1

εδ

=γsin

sinsin

en effet, CQ = CT = rayon du cercle

CR = OC . sin δ = CQ . sin γ = CT . sin γ

or CT = OC . sin ε

OC . sin δ = OC . sin ε . sin γ

sin δ = sin ε . sin γ 2 contraintes principales sont conjuguées. De même, 2 facettes principales sont conjuguées.

- contraintes normales :

par le principe de réciprocité des cisaillements (PRC), |τ1| = |τ2|

σ1

ρ1

τ1

1

σ2

ρ2

τ2

2

σ

τ

ρ1

ρ2

τ1

τ2 σ1 σ2

δ1

δ2

C

R

O

γ+δ

9

Les angles δ1 et δ2 sont différents. relation entre les contraintes normales :

( )( )δ+γ⋅ε−

δ+γ⋅ε+=

σ

σ

cossin1

cossin1

2

1 avec σ1 > σ2

- contraintes principales :

Les contraintes principales sont à la fois conjuguées et normales. Il existe une relation entre les contraintes principales à la rupture :

ϕ+

π⋅⋅+

ϕ+

π⋅σ=σ

24tgc2

24tg 231

avec σ1 > σ3

ϕ−

π⋅⋅−

ϕ−

π⋅σ=σ

24tgc2

24tg 213

Si c = 0

ϕ+

π⋅σ=σ

24tg 231

ϕ−

π⋅σ=σ

24tg 213

De plus, si ϕ = 30° (sable en Belgique) σ1 = σ3 . 3

3

113 ⋅σ=σ

3

1correspond à la poussée active.

3 correspond à la butée, ce qui est avantageux puisqu'il s'agit d'un élément résistant.

σ

τ

σ1 σ3

c

ϕ

10

Si ϕ = 0 σ1 =σ3 + 2 c

σ3 = σ1 - 2 c

rmq. :

ϕ+π

=

ϕ−π

24

124 tg

tg

1.1.3. Pressions neutre - active - passive : (figure p.4)

- pression neutre :

Soit un cube dans un terrain plat horizontal, l'écran ne bouge pas sol au repos

Sur la facette horizontale, on retrouve uniquement une contrainte verticale σv. Le coefficient de pression neutre K0 est fonction :

- de la mise en place du sol, naturel ou artificiel (si le compactage augmente, K0 augmente).

- du champ de contraintes ("histoire"). - de la variation de la teneur en eau w sols gonflants : si w augmente,

K0 augmente.

σv = γ . z en l'absence d'eau

v

,hKσ

σ= 0

0

Il est difficile de chiffrer la contrainte horizontale σh car la prise de mesure entraîne

elle-même une modification de σh.

ϕ−= sinK 10 ≤ 1 formule empirique de Jacky (valable surtout pour les

sables)

> 1 sols gonflants (argiles)

SI ϕ = 0 K0 = 1 càd que la contrainte est la même quelle que soit l'orientation de la facette, ce qui correspond à une pression hydrostatique.

σ

τ

σ1 σ3

c

2 c

11

Ka < K0 < Kp avec Ka, le coefficient de poussée active

Kp, le coefficient de poussée passive

Lorsque l'écran s'écarte poussée active : σh diminue Ka < 1

se rapproche poussée passive : σh augmente Kp > 1

(figure p.5) : diagramme des pressions des terres sur un écran solide

Au plus ϕ est élevé, au plus la pression neutre diminue. Au plus un sol sera compacté, au plus K0 sera petit

quelques exemples de valeurs de K0 en fonction de ϕ :

d'après Bishop :

K0 ϕ sable peu compact saturé 0,46 32°

sable compact saturé 0,36 40°

argile compactée 0,42-0,66 35°-20°

argile remaniée 0,64-0,70 21°-17°

d'après Bernatzik :

n (porosité) K0 ϕ sable compact 37,5% 0,49 30°

sable moyennement compact 41,2% 0,52 28°

sable peu compact 47% 0,64 21°

- poussée / butée : ( figures p.6 et 7)

v

ah,

σ

σ=aK

v

ph,

σ

σ=pK

• Si ϕ = 30° et c = 0 Kp = 3

3

1Ka =

actif σh diminue jusqu'à ce que le cercle de Mohr atteigne l'état limite.

passif σh augmente jusqu'à ce que le cercle de Mohr atteigne l'état limite.

12

• Si c = 0

ϕ−

π=

σ

σ=

σ

σ=

24tgK 2

a1

3

v

ah, pour la poussée active

ϕ+

π=

σ

σ=

σ

σ=

24tgK 2

p3

1

v

ph,

pour la butée passive

• Si c ≠ 0 actif :

ϕ−

π⋅⋅−

ϕ−

π⋅σ=σ

24tgc2

24tg2vah,

vv

ah,

σ

ϕ−

π⋅⋅

−

ϕ−

π=

σ

σ=

24tgc2

24tgK 2

a or σv = γ . z

↔ z

24tgc2

24tgK2

a ⋅γ

ϕ−

π⋅⋅

−

ϕ−

π=

Ka varie avec la profondeur.

butée : z

24tgc2

24tgK2

p ⋅γ

ϕ+

π⋅⋅

+

ϕ+

π=

• Si ϕ = 0 z

c21Ka ⋅γ

⋅−=

z

c21Kp ⋅γ

⋅+=

• Pour atteindre l'état limite en poussée active, un faible déplacement (quelques mm) suffit, alors que pour atteindre l'état limite en butée, un plus grand déplacement (quelques cm 9 fois plus grand) est nécessaire.

σh,a < σh,0 < σh,p L' orientation des facettes de rupture peut être déterminées par la construction du pôle du cercle de Mohr. (figures p.8)

passif

actif Ka = 1 / 3

K0

Kp = 3

déplacement

13

1.1.4. Pressions sur un ouvrage de soutènement :

• Quelle est la répartition des pressions ?

stabilité - équilibre mur de soutènement, palplanches, murs emboués

• ! géométrie : AB, β1, β2, - "mur"

AC, i1, i2, - sol

• sol : c1, ϕ1, γ1

c2, ϕ2, γ2

• eau

• charges : q, Q

• différentes théories :

- élastique (! solution numérique)

- plastique (rupture Coulomb) Rankine Caquot

- recherche d'un extremum Coulomb

β1

β2

β3

A

B

C

i1

i2 Q

q

c1, ϕ1,

γ

c2, ϕ2,

γ

14

1.2. Théorie de Rankine

1.2.1. Hypothèses de rupture :

zonale linéaire

• Rankine rupture zonale : (figures p.9)

Une rupture zonale signifie que tout le volume délimité par la paroi et la ligne limite de rupture est en rupture. si rotation de l'écran :

Dans toute la zone concernée, le sol atteint la rupture :

τ = τl = ± (c + σ . tg ϕ)

• Coulomb rupture linéaire :

Une rupture linéaire signifie que la rupture est concentrée à proximité de la limite de rupture. si translation de l'écran :

θ Emax : poussée

θ Emin : butée

• Caquot présentera une théorie plus proche du comportement réel du sol.

lignes de glissement

lignes de pseudo-glissement

rupture du sol soit par poussée (ici) soit par butée

τ < τl

θ

Ea

surface de glissement

15

1.2.2. Théorie de Rankine :

On considère un massif semi-infini, de pente (i ≠ 0) constante, de sol homogène et isotrope. Un morceau de sol est isolé afin d'y déterminer les efforts en présence.

Par symétrie, E1 = E2 ces 2 efforts s'équilibrent puisqu'ils sont de sens opposé. Pour avoir l'équilibre, il faut donc que G = R, càd que le poids du massif soit intégralement repris par la facette du fond. avec G, le poids du volume des terres

R, la contrainte résultante des ρi

G = γ . z . BC . cos i

BCR

C

B

ii ⋅ρ=ρ= ∫

ρi n'ayant pas de raison de varier puisque la profondeur z est constante.

avec ρi, la contrainte exercée par le sol en [kN / m²]

i, l'inclinaison du terrain qui représente aussi l'angle que fait ρi avec la normale à la surface. Si le terrain est plat, i = 0.

ρi . BC = γ . z. BC . cos i

↔

ρi = γ . z . cos i

i

i ρi

σi

τi B

i D

A

B

C

R ρi

E1

E2

G

z

∞

γ

16

σi = ρi . cos i = γ . z . cos² i

τi = ρi . sin i = γ . z . cos i . sin i

rmq. : si τ > 0 i < 0

si i = 0 τi = 0

σi = ρi

avec ρv, la contrainte agissant sur la facette verticale. On se retrouve avec 2 facettes conjuguées puisqu'une des facettes est parallèle à la contrainte s'exerçant sur l'autre facette.

Les contraintes ρi et ρv sont conjuguées. Les 2 angles i sont identiques en valeur absolue.

1.2.3. Sol pulvérulent : (figures p.10 et 11)

c = 0

β = 0 écran vertical

i ≠ 0 terre-plein incliné

i

i ρi

B

i ρv

σ

τ

P

ϕ

i - i + σi

ρi

τi +

(ρv)0

(ρv)p

(ρv)a

ε

rupture passive compression

facettes de rupture passive

sol au repos

point commun aux cercles

rupture active détente

facettes de rupture active

// à la facette verticale

17

Pour trouver un état d'équilibre, il faut que i < ϕ. En effet, pour un sol pulvérulent, on

ne peut pas donner, physiquement, au talus une pente i > ϕ (cercle de Mohr dépassant les droites intrinsèques). Les différents cercles se coupent tjs en un même point. En effet, que le sol soit soumis à une détente (actif) ou à une compression (passif), la hauteur de sol au-dessus reste la même. En traçant les parallèles aux facettes passant par le point A, on peut déterminer la position du pôle P sur le cercle de Mohr. Connaissant le pôle sur le cercle de rupture active, on peut trouver l'orientation des facettes de rupture active en joignant le pôle aux 2 points de tangence. On peut faire de même pour le cercle de rupture passive. En situation active, le cercle de Mohr s'agrandit vers la gauche, ce qui nous donne un nouveau pôle et donc des nouvelles facettes correspondant aux facettes de rupture active. De même, en situation passive, le cercle de Mohr s'agrandit vers la droite.

• Pour la poussée active :

( )( )( )δ−γ

δ+γ=

ρ

ρ

sin

sin

av

i propriété des contraintes conjuguées

avec δ, l'inclinaison de ρ par rapport à la normale à la facette

ϕ=

ε

δ=γ

sin

isin

sin

sinsin

puisque δ = i

ε = ϕ car c = 0

( ) ( )( )

isin

sinisincosicos

isin

sinisincosicos

sin

isincosicos

sin

isincosicos

isincosicossin

isincosicossin

isin

isin

ii

iiav

ϕ⋅⋅γ+

ϕ⋅⋅γ−

⋅ρ=

γ

⋅γ+

γ

⋅γ−

⋅ρ=

⋅γ+⋅γ

⋅γ−⋅γ⋅ρ=

+γ

−γ⋅ρ=ρ

or isinsinsin

1

sin

isin1sin1cos 22

2

22 −ϕ⋅

ϕ=

ϕ−=γ−=γ

18

( )

ϕ−+

ϕ−−⋅⋅⋅γ=

+ϕ−+

+ϕ−−⋅ρ=

+−ϕ−+

+−ϕ−−⋅ρ=

−ϕ+

−ϕ−⋅ρ=ρ

22

22

22

22

i

22

22

i22

22

iav

cosicosicos

cosicosicosicosz

icoscosicos

icoscosicos

icos1cos1icos

icos1cos1icos

isinsinicos

isinsinicos

↔ ( ) aav Kz⋅⋅γ=ρ

avec ϕ−+

ϕ−−⋅=

22

22

a

cosicosicos

cosicosicosicosK

le coefficient de poussée active Ka est fonction :

- de l'angle de frottement ϕ (caractéristique mécanique du sol) - de la pente du terrain i (caractéristique géométrique du sol)

rmq. : - Ka n'a plus tout à fait la même signification puisqu'on a englobé le cos i.

ce n'est plus le rapport des contraintes.

-si i = 0 ( )

ϕ−

π⋅⋅γ=

ϕ+

ϕ−⋅⋅⋅γ=ρ

24tgz

sin1

sin11z 2

av

en effet, aKtg

cos

sin

cos

cos

sin

sin =

ϕ−π=

ϕ−π

ϕ−π

=

ϕ−π+

ϕ−π−

=ϕ+ϕ−

24

24

24

21

21

1

1 2

2

2

∠ car 1 – cos a = sin²(a / 2) 1 + cos a = cos²(a / 2)

• Pour la butée passive :

( ) ppv Kz ⋅⋅γ=ρ

avec ϕ−−

ϕ−+⋅=

22

22

p

cosicosicos

cosicosicosicosK

si i = 0,

ϕ+π=

24

2tgKp

rmq. : les facettes de rupture sont plus verticales en poussée qu’en butée.

19

• Si l'écran bouge : (figures p.12)

Considérons que maintenant c'est l'écran qui fait bouger le sol. poussée :

ρv,a = γ . z . Ka

2

2HKdzKzE a

B

A

a

B

A

a,va ⋅⋅γ=⋅⋅⋅γ=ρ= ∫∫

avec Ea, la résultante des contraintes ρv,a. La zone de rupture est très localisée et les facettes de rupture se rapprochent de la verticale.

! i > ψ incompatibilité physique de la théorie de Rankine(prise en défaut) par rapport à la réalité.

cas d'une palplanche lisse

ϕ > i tjs, sinon indépendance de l'écran et cela ne fonctionnerait pas. butée :

2

2HKE pp ⋅⋅γ=

ρv,p = γ . z . Kp La zone de rupture est plus étendue.

i

2 H / 3

H / 3

Ea

ρv,a A

B

i

2 H / 3

H / 3

Ep

ρv,p A

B

20

• surcharge en surface : (figures p.12)

réaction : R = γ . z + q

ρv,a = Ka . (γ . z + q) = Ka . γ .(z + q / γ) la surcharge revient au même que d'appliquer une certaine hauteur de terre fictive

supplémentaire (h' = q / γ) au-dessus du niveau du sol.

⋅

γ+⋅γ⋅=⋅

γ

+⋅γ⋅= ∫ HqHKdz

qzKE a

H

aa2

2

0

Si i ≠ 0 l'angle i est intégré dans le Ka

R = γ . z . cos i + q

ρv,a = Ka . (γ . z + q / cos i)

recherche de la position de Ea : on réalise un équilibre de rotation autour du point A

322

2HHKHHqKxE aaa ⋅⋅γ⋅+⋅⋅⋅=⋅

HqKHK

HKHqK

x

aa

aa

⋅⋅+⋅γ⋅

⋅γ⋅+⋅⋅=

2

622

32

• couches de nature différente : (figures p.12 et 13)

Dans le diagramme des contraintes agissant sur la facette horizontale, la différence

de pente s’explique par la différence entre les 2 poids volumiques γ1 et γ2.

ρ1 = γ1 . z ρ2 = γ2 . z' + γ1 . H1 où (γ1 . H1) représente le poids de la couche 1

z’ = (z – H1)

z

z'

H1

H2

c1 = 0

ϕ1, γ1

c2 = 0

ϕ2, γ2

γ2 > γ1

ϕ2 > ϕ1

H

21

Dans le diagramme des contraintes agissant sur la facette verticale, le décalage

s’explique par la différence entre les angles de frottement des 2 couches ϕ1 et ϕ2, ce qui entraîne une différence de Ka.

ρv,a,1 = ρ1 . Ka,1 = γ1 . z . Ka,1

ρv,a,2 = ρ2 . Ka,2 = (γ2 . z' + γ1 . H1) . Ka,2

∫∫ ⋅⋅γ⋅=⋅ρ=11

0

11

0

11

H

,a

H

,a,v,a dzzKdzE

( )( )∫∫ ⋅−⋅γ+⋅γ⋅=⋅ρ=H

H

,a

H

H

,a,v,a dzHzHKdzE

11

1211221

Lorsque ϕ augmente, Ka diminue et Kp augmente, ce qui est très avantageux puisque la sollicitation diminue alors que la résistance augmente. on a intérêt à utiliser

comme remblais un sol avec un grand ϕ ( Ka petit poussée faible).

• présence d'eau :

γd sol grossier

γsat sol fin Quelle que soit l'orientation de la facette, la pression de l'eau u reste la même.

H1

H2

ρ = γ.z

ρ = γsat.(z-H1)+γ.H1

u = γw.(z-H1) ρ' = γ.H1+γ'.(z-H1)

γ1.z.Ka,1

(γ2.z'+γ1.H1).Ka,2

résultante globale

Εa,1

Εa,2

22

poussée : En trouvant les surfaces des diagrammes des contraintes, cela nous donne les efforts internes.

1.2.4. Sol pulvérulent - paroi oblique :

c = 0

β ≠ 0

i ≠ 0 On a tjs un massif semi infini de sol homogène.

• poussée :

i D

A

B C

R = W ρi = γ.z.cos i

W

z

∞

γ

H1

H2

ρv,a = γ.z.Ka

Ka.γ'.(z-H1)+ γw.(z-H1)+Ka.γ.H1

σ

τ P

ϕ

i -

δ +

ρi

(ρβ)a

A

B

δ

β

z h

H

ds

Ea

23

construction du schéma : - on trace une parallèle à une facette quelconque. L’intersection avec le cercle de Mohr nous donne le pôle P

- la contrainte ρi sur cette facette est représentée peut alors être déterminée

- on trace une parallèle à l’écran passant par le pôle. So intersection avec le cercle de Mohr permet de

déterminer ρβ,a Les facettes ne sont plus conjuguées, mais quelconques.

! h ≠ z h, la distance verticale entre le sommet de la paroi et un point quelconque z, la distance verticale entre le niveau des terres et un point quelconque

( )i2cossin2sin1cosisinicos

tgitg1h 2

a, −γ+β⋅⋅ϕ⋅−ϕ+⋅γ⋅+

β⋅+⋅⋅γ=ρβ

∠ T

ϕ=γsin

isinsin avec i < ϕ

∫∫∫∫ ⋅⋅β

⋅γ=⋅β

⋅⋅γ=⋅⋅⋅γ=⋅ρ= β

B

A

a

B

A

B

A

B

A

a,a dhh

K

cos

Tdh

cos

ThdsThdsE

321

∠ car ds = dh / cos β

2

HKE

2

aa ⋅⋅γ=

Nous ne sommes pas maître de δ, mais celui-ci est imposé par la méthode de Rankine.

! problème lorsque l'angle est incompatible avec la réalité physique β < ψ sinon incompatibilité

( )( )i2cossin1

i2sinsintg

a,

a,

−γ+β⋅⋅ϕ−

−γ+β⋅⋅ϕ=

σ

τ−=δ

β

β

24

• butée :

L'angle δ change et devient négatif.

( )i2cossin2sin1cossinicos

tgitg1h 2

p, −γ−β⋅⋅ϕ⋅+ϕ+⋅γ⋅ϕ−

β⋅+⋅⋅γ=ρβ

( )( )i2cossin1

i2sinsintg

−γ−β⋅⋅ϕ+

−γ−β⋅⋅ϕ−=δ

Ep est beaucoup plus grand que Ea.

1.2.5. Sols cohérents : (figures p.14, 15 et 16)

• c ≠ 0, β ≠ 0 et i≠ 0

ρ représente la contrainte pour un point plus bas dans le massif.

Suite à la cohésion, les droites intrinsèques et la droite d’inclinaison i ne sont plus concourantes à l’origine. On obtient des courbes de rupture et non plus des droites vu qu'il n'y a plus homothétie entre les 2. Les différentes facettes de rupture pour les 2 cercles ne sont pas parallèles.

σ

τ

P

ϕ

i -

δ -

ρi

(ρβ)p

// à la facette de la paroi

i

i

ρ

σ

τ P

ϕ

i -

ρi

(ρβ)a

c

facettes de rupture

25

L’angle δ entre l’horizontale et ρβ varie avec la profondeur. il est difficile de trouver Ea. Ce cas est complexe et très rarement rencontré puisque, pour des murs de soutènement, on utilise des remblais drainant (c = 0), ce qui permet de diminuer les pressions d’eau. Pour ces raisons, nous nous limiterons au cas d’un sol cohérent dans lequel on enfonce une palplanche.

rmq. :

Pour le remblais, il est préférable d'utiliser des sols pulvérulents :

un angle de frottement ϕ élevé est plus intéressant qu'une cohésion élevée afin d'obtenir un coefficient Ka faible et un Kp élevé.

sols plus perméables, ce qui permet de diminuer la pression d'eau en évitant une accumulation d'eau occasionnée par la remontée de la nappe phréatique emprisonnée par une couche imperméable.

• c ≠ 0, β = 0 et i = 0

Avec un sol cohérent, on utilise presque tjs des palplanches. β = 0 presque tjs La facette horizontale est une facette principale et les contraintes sont des contraintes principales.

i

terres à excaver puis à remblayer

ρ = γ.z

σ

τ

P

ϕ

(ρv)a

c

(ρv)p

P

sol en poussée

sol au repos sol en butée

26

ϕ−

π⋅⋅−

ϕ−

π⋅ρ=ρ

24tgc2

24tg2a,v

Le signe – implique que la cohésion contribue à diminuer la contrainte de poussée

ρv,a et donc Ea, ce qui est favorable.

ϕ+

π⋅⋅+

ϕ+

π⋅ρ=ρ

24tgc2

24tg2p,v

ϕ−

π⋅

⋅γ⋅

−

ϕ−

π=

ρ

ρ=

24tg

z

c2

24tgK 2a,v

a

ϕ+

π⋅

⋅γ

⋅+

ϕ+

π=

ρ

ρ=

24tg

z

c2

24tgK 2p,v

p

rmq. : - Ka et Kp sont fonction de la profondeur

- pour la situation de poussée, La cohésion provoque une chute de Ea. une partie des terres peut se retrouver en traction.

Il est possible d'annuler ρv,a :

si

ϕ+π⋅

γ⋅=

ϕ−π⋅γ

ϕ−π⋅⋅

=24

2

24

242

20 tgc

tg

tgc

z

sur une profondeur égale à z0, le sol n'exerce plus de pression contre

l'écran.

ex. : si ϕ = 20°, c = 10 kN / m², γ = 16 kN / m³ z0 = 1,78 m

! z0 varie avec la variation de la teneur en eau : ∆eau ∆c ∆z0

Cette propriété n'est donc à utiliser que lorsqu'on est certain de la cohésion.

z0

Ea

27

- en butée :

La pente des contraintes est beaucoup plus importante à cause du signe +

dans

ϕ+

π

24.

Il y a un décalage à cause du terme + 2.c.tg(-).

A nouveau, il est préférable de favoriser un ϕ élevé plutôt qu'un c élevé

puisque dans la formule, il y a

ϕ+

π24

tg2 ce qui fait augmenter plus

rapidement.

- si le cercle de Mohr est situé à gauche, il y a traction pure :

1.2.6. Critiques :

- la théorie de Rankine a été développée pour un massif semi-infini (massif soutenu) l' introduction de l'écran perturbe cela.

- la rupture du sol nécessite un déplacement important du sol.

En réalité, les déplacements sont plus petits. Kp est sans doute plus petit et le calcul est un peu trop favorable. C'est le même problème pour toutes les méthodes se basant sur la rupture.

Rankine impose l’angle δ. Il faut que la paroi pivote et subisse un déplacement tel

que l’on retrouve l’angle δ. Or ces conditions ne sont remplies que dans des cas très particuliers.

- frottement (ψ ou ϕ) et adhérence (a) sol - paroi : dans le cas où l'angle δ imposé

est supérieur à l'angle possible, la théorie ne correspond pas à la réalité. On ne

maîtrise pas δ. Si δ > ψ, la rupture aurait lieu à la limite sol – paroi et non dans le massif, ce qui est impossible. Rankine risque de donner des valeurs erronées.

Lorsque la palplanche est verticale, il n'y a pas trop de problèmes puisque δ = 0.

Kp

K0

Ka

déplacement da dp

28

1.2.7. Remarques :

- sol sec ou inondé :

soit un sol pulvérulent : c = 0, i = 0 et β = 0

ϕ = 30°, γd = 16 kN / m³ 3

1

24tgK 2

a =

ϕ−

π=

σh = Ka . σv = Ka . γd . H = (1/3) . 16 . 4 =21,3 kN / m² Ea = 21,3 . 4 / 2 = 42,6 kN / m Ea représente la résultante des forces exercées par le sol

s'il y a présence d'eau, il faut en tenir compte :

ϕ = 30°, γsat = 20 kN / m³ Ka = 1 / 3

σh' = Ka . σv' = (1 / 3) . 4 .(20 - 10) = 13,33 kN / m²

σh' représente la contrainte effective du sol

u = 10 . 4 = 40 kN / m² avec γw = 10 kN / m³

E = (40 + 13,33) . 4 / 2 = 106,6 kN / m

Le résultat a plus que doublé, ce qui montre qu'il faut tenir compte de la présence d'eau (surpression interstitielle) dans le sol. Pour éviter cette surpression due à l'eau, on pourrait utiliser un remblais suffisamment perméable (sol grossier) et prévoir une évacuation de l'eau (drains), ce qui permet le dimensionnement d'un mur de soutènement plus petit.

H = 4m Ea

σh

H = 4m E

σh' u

29

Si de l'autre côté du mur,i y a une piscine ou cuve, la pression d'eau va s'équilibrer, ce qui correspond à une situation plus favorable.

Il faudra tout de même prendre en compte le risque que la cuve soit vide, mais le coefficient de sécurité est plus faible que si la cuve était vide en permanence.

- comparaison palplanche - mur de soutènement :

Ea = 13,33 . 4 / 2 = 26,6 kN / m

β = 0

c ≠ 0 car on garde le sol en place la butée et la poussée sont prises en compte

u ≠ 0

δ = 0 car une palplanche est relativement lisse

palplanche

β ≠ 0 c = 0 pulvérulent puisqu'on remblaie

avec un matériau que l'on souhaite

la butée est négligée, mais la poussée est prise en compte u = 0 puisqu'on élimine la pression

interstitielle due à l'eau

δ ≠ 0

mur de soutènement

poussée

butée remblais

30

1.3. Théorie de Coulomb

1.3.1. Généralité :

- Coulomb considère une rupture linéaire et locale la rupture s'effectue selon une droite surface de rupture = plan

- i = 0 terrain horizontal

β = 0 paroi verticale c = 0 il n'y a pas de cohésion le long de la ligne de rupture

- charge répartie et charge ponctuelle

1.3.2. Méthode analytique : (figures p.17, 18 et 19)

On suppose un sol homogène et isotrope, de poids propre G.

figure p.17 a : On se fixe β, i, δ, γ, H

L’orientation de Rϕ (résultante des forces de frottement sur la surface

de glissement) est connue puisqu’on sait que Ea est incliné d’un angle ϕ par rapport à la normale à la facette de rupture.

On sait que Eθ est incliné d’un angle δ par rapport à la normale à l’interface paroi - sol.

On va faire varier l'angle θ afin de trouver Eθ,max qui correspondra alors à Ea.

L’angle θ est compris dans un intervalle de valeurs : ϕ ≤ θ ≤ (π /2)+β

cas extrême lorsque θ = ϕ Eθ=ϕ = 0 R = G puisque R est verticale

θ = (π /2)+β Eθ=ϕ = 0

Rϕ =0, G étant nul puisque la

surface de rupture est parallèle au mur

figure p.17 b : on réalise l’équilibre des forces

plan de rupture

31

rmq. : en butée, l'écran a tendance à se rapprocher du sol Rϕ se rapproche de l'horizontal.

1.3.3. Méthode graphique (courbe de Culmann) : (figures p.20, 21 et 22)

Cette méthode consiste à construire, à l'échelle, une série de triangles de force afin d'aboutir aux valeurs extremum.

- définir une échelle de longueur et une échelle de forces

- choisir une 1ère surface de glissement G = γ . SABC

- tracer la droite d’orientation

- reporter G1 sur la surface de rupture

- reporter Eθ parallèlement à la droite d’orientation jusqu’à l’extrémité de G

- on trouve alors Rϕ on a un triangle semblable au triangle des forces

- recommencer pour une 2e surface de glissement en faisant varier l’angle θ

- tracer la courbe de Culmann en joignant les différents points définis par les

intersection entre les Eθ et les surfaces de glissement.

- en déduire l’extremum en traçant la parallèle à la surface de rupture. Cette droite

vient tangenter la courbe de Culmann en un point qui correspond au Eθ,max qui est le Ea recherché. L’orientation de Ea,max nous donne aussi l’orientation de la facette de rupture.

Par facilité, il est intéressant de travailler avec des segments identiques.

H

ϕ+δ

ϕ θ1

i

C1

C2

G1

G1

G2 Eθ,1

Eθ,2

Eθ,max

Rϕ

courbe de Culmann

droite d’orientation

Eθ

Rϕ G

θ−ϕ

32

hACG ⋅⋅γ⋅= 11 21

43421

1

2112 21

AC

hCCGG ⋅⋅γ⋅+=

car on a choisi des tronçons identiques G2 = 2.G1

G3 = 3.G1 Cette méthode n’est pas utilisée en butée car elle donne alors des valeurs trop favorables.

1.3.4. Divers :

- charge répartie : (figures p.23)

la charge q est répartie dans 2 directions en [kN / m²]

h

A

B

C1 C2

C5 C4 C3

C7 C6

G1

G1

G5

G4

G3

G2

G7

G6

θ1

ϕ

ϕ+δ Eθ,1

Eθ,3

Eθ,2

β

Eθ,max

C

A

B

h

i-β

q

q.BC

33

G G + q.BC

43421

*

h

qBCh

BCqBChBCqG

γ

⋅+γ⋅⋅⋅=

⋅+⋅⋅γ⋅=⋅+

221

21

avec γ*, le poids volumique fictif du sol qui inclut la charge répartie La formule est valable pour autant que la charge répartie s’applique sur une longueur au moins égale à la longueur de la zone de rupture.

h = BA . cos (i-β)

BA = H / cos β

h = H . cos (i-β) / cos β

( )β−

β⋅⋅⋅+⋅⋅γ⋅=⋅⋅⋅⋅+⋅⋅γ⋅=⋅⋅γ⋅= ∗

icos

cosHKqHKHK

h

qHKHKE a

aaaaa2222

212

21

21

21

- charge ponctuelle : (figures p.24)

La charge Q est exprimée en mètre courant puisqu’elle peut être répartie dans le sens perpendiculaire. en [kN / m] Avant le point d’application de la charge ponctuelle, les point restent les mêmes sur la courbe de Culmann. La charge ponctuelle Q n’est prise en compte que lorsque le point C est à droite de la charge. Il faut alors prendre en plus de G la charge Q. la courbe de Culmann se retrouve décalée, la charge Q ayant provoquée une discontinuité suivant la surface de glissement passant par son point d’application. La charge ponctuelle peut ou non avoir une influence sur l’extremum selon que la tangente coupe ou non la nouvelle courbe de Culmann.

Q

C1

C2

C3

G1

G2

G3 Q

a

Qlim

34

Si la distance a est imposée, à partir de quelle valeur de la charge Q, la poussée va-t-elle être augmentée ? Par l’intersection entre la tangente à la courbe initiale et la courbe décalée, on trace la parallèle à la droite d’orientation, ce qui nous donne la valeur limite de la charge ponctuelle Qlim au-delà de laquelle la poussée Ea des terres sur l’écran augmentera. Si la charge Q est imposée, à partir de quelle valeur de la distance a, la poussée Ea sera-t-elle augmentée ? Après avoir tracé la courbe de Culman, on connaît Ea. En aplliquant la charge Q, on peut tracer la courba décalée, ce qui nous permet de trouver la nouvelle surface de glissement dont l’intersection avec Ea reporté nous donne amax. rmq. : La charge n’est pas réellement ponctuelle. Il faudrait définir sa largeur

d’influence.

- paroi et/ou terre-plein non rectiligne : (figures p.25)

figure a : terre-plein non rectiligne

on détermine le point B’ par l’intersection entre la droite B1B2 prolongée et la parallèle à la droite AB1 passant par B. on ne considère non plus la paroi AB, mais la paroi fictive AB’.

figure b : paroi non rectiligne

on détermine le point B’ par l’intersection entre la droite BB1 et la parallèle à la droite AB passant par A1. on ne considère non plus la paroi AB, mais la paroi fictive AB’.

figure c : paroi et terre-plein non rectiligne

combinaison des 2 cas AB AB ‘

Q

amax

Ea

Ea

35

- couches de nature différente :

Le problème est décomposé en 2. On s’intéresse d’abord à la 1ère couche Ea,1. Ensuite, à la 2e couche Ea,2. Pour le calcul de Ea,2, on prendra en compte le poids de la 1ère couche.

12

11

12

,a,a KHE ⋅⋅γ

=

( )β−

⋅⋅β⋅⋅γ+⋅⋅

γ=

icos

KHcos

q

HKHE

,a,a,a

22112

22

22

2

876

Si i = 0, β = 0, c = 0

Afin de vérifier l’application aux couches hétérogènes, le sol homogène est divisé en 2 couches.

1

2

122

,a,a KHE ⋅

⋅γ=

22

2

22222

,a,a,a KH

q

HKHE ⋅⋅⋅γ+⋅

⋅γ=

or Ka,1 = Ka,2 (1) + (2) :

2

22

2

42

21

4

HK

KHKHE

a

aatot,a

⋅γ⋅=

⋅⋅γ+⋅⋅⋅⋅γ=

c1, ϕ1, γ1, δ1

γ.D1

c2, ϕ2, γ2, δ2

D1

θ1

θ2

Ea,2

Ea,1

H/2

H/2

H

γ.H/2

36

- distribution des contraintes :

non chargé :

BA = H / cos β

aa KH

E ⋅⋅γ=2

2

charge répartie : charge ponctuelle :

H/2

H/2

β

δ+β

δ β

Ea,q

Ea,q / (H / cos β)

Ea,Q

Q

x x/3

θ ϕ

2 . Ea,Q / (x / cos β) limite inférieure de la zone d’influence

limite supérieure de la zone d’influence

surface de glissement la plus défavorable, càd correspondante au Ea,max

2.H/3

H/3

β

δ+β

δ β

Ea

A

B

37

On a émis des hypothèses simplificatrices puisqu’on a tracé les parallèles à la

surface de glissement correspondant à θ et à ϕ.

L’angle θ est calculé sans prendre en compte la charge ponctuelle Q. cas particulier : si on traçait la parallèle à la surface de glissement la plus défavorable, on serait la zone d’influence s’étendrait en dehors du mur. on s’arrête au coin inférieur du mur.

- sol cohérent (poussée) :

c ≠ 0 Il apparaît toute une zone dans laquelle le sol est en traction. dans cette zone, i n’y a pas de poussée des terres sur l’écran.

D’après Rankine, l’épaisseur de cette couche de traction est de 2 . c / (γ . Ka).

Comme il y a cohérence du sol (c ≠ 0), il y a aussi adhérence (a ≠ 0) entre le sol et l’écran. La cohésion s’oppose au déplacement de la paroi. W, le poids des terres, est connu en orientation et en intensité.

W = f(θ) A, la résultante des contraintes d’adhérence, est connu en orientation et en intensité.

Ea,Q

Q

x

x/3

θ ϕ

2 . Ea,Q / (x / cos β)

sol en traction

A = a . B’A

2 . c / (γ . Ka)

C = c . AC

Rϕ ϕ

δ

β

θ

W

Pa

A

B

C

C’

B’

38

Pa, la poussée, est connu en orientation. C, la résultante des contraintes de cohésion, est connu en orientation et en intensité.

Rϕ, la résultante des contraintes de frottement, est connu en orientation. via le polygone des forces, les intensités inconnues peuvent être déterminées :

A partir de W qui est totalement connu, on trace A qui est invariable et totalement

connu. On trace C qui est totalement connu. On connaît la direction de Pa et de Rϕ . L’intersection des 2 directions dans le polygone des forces permet de déterminer leur intensité respective. On construit plusieurs polygones de forces pour différentes surfaces de glissements

en faisant varier l’angle θ. En joignant les points définis par les différents Pa, on peut tracer la courbe de Culmann. En traçant une parallèle à W et tangente à la courbe , on peut déterminer Pa,max (= Ea). Seule l’adhérence A reste inchangée pour les différents polygones.

- butée – méthode analytique :

butée changement de signe

La méthode de Coulomb a tendance à surestimer la butée, d’autant plus que ϕ augmente. Or, la butée a un effet résistant. on fait un calcul trop sécurisant. ! dangereux poussée : l’écran tend à s’écarter du sol les forces ont tendance à se verticaliser.

Ea

δ

δ

ϕ Rϕ

A

C

Rϕ

Pa W

Pa,max = Ea

39

butée : en butée, on détermine non pas un Ea,max, mais un Ep,min, puisque Ep a un rôle résistant, au contraire de Ea.

- remarques :

• Coulomb a tendance à surestimer l’effort résistant de butée Ep.

anti-sécuritaire ! On n’utilisera pas Coulomb en butée.

• L’avantage de Coulomb par rapport à Rankine, c’est qu’il n’impose pas un

coefficient δ.

On prend ϕ⋅=δ32

Ep

δ δ

ϕ

Rϕ

Ep

40

1.4. Autres méthodes

1.4.1. Coulomb ↔↔↔↔ Rankine :

Le plan de rupture ne correspond pas à la réalité. poussée : La surface de rupture proposée par Caquot – Kerisel correspond plus à la réalité. butée :

1.4.2. Théorie de Caquot – Kerisel : (figures p.26, 27, 28, 29, 30 et 31)

Cette méthode donne des résultats plus proches de la réalité, mais n’est valable uniquement pour des cas simples (sol homogène, c = 0).

Elle n’est pas valable si c ≠ 0, s’il y a surcharge, s’il y a plusieurs couches, si le sol est hétérogène. Elle se base sur une ligne de rupture plus réelle.

β⋅⋅⋅γ

=cos

KHE aa 2

2

2

avec Ka = f (i/ϕ, δ/ϕ, β, ϕ) qui est donné dans des tableaux

Ea

δ

(π/4)+(ϕ/2)

Caquot - Kerisel

Rankine

Ep

δ

(π/4)-(ϕ/2)

Caquot - Kerisel

Rankine

41

1.4.3. Théorie de Brinch – Hansen : (figures p.32)

Cette théorie est dans l’esprit de l’état limite ultime. Des coefficients de sécurité sont appliqués sur les actions (poids propre, charges, -)

sur la géométrie sur les méthodes de calcul sur les caractéristiques des matériaux

condition de compatibilité :

soit N, un point quelconque

C2, le centre de courbure de la surface de glissement

Après une rotation angulaire dα de C2M, on arrive au point M’

MM’ = r . dα puisque r = ∆s / dα

∆h’’ = ∆s . sin α = r . dα . sin α = (h / sin α) . dα . sin α = h . dα

∆h’ = h . dβ

M

M’

N

h

α

dα

C2

r

dβ

∆h’

∆h’’

42

2. Ouvrages de soutènement et de blindage

2.1. Murs de soutènement

2.1.1. Généralités : (figures p.33, 34 et 35)

• 1° enlèvement des terres

2° construction du mur 3° on utilise un remblais choisi constitué par des granulats drainant, ce qui permet d’obtenir un coefficient de perméabilité k élevé.

• la théorie de Coulomb peut être utilisée puisque :

- le sol est uniquement en poussée

- c =0

- β ≠ 0

- i ≠ 0

- δ ≠ 0

• la butée des terres a un effet favorable puisqu’elle s’oppose au basculement et au déplacement de l’écran, en offrant un certain effet résistant.

Cependant, on négligera l’effet de la butée puisque :

- sa hauteur est faible

- c’est un effort résistant. en le supprimant, on se met du côté de la sécurité.

- les terres présentes devant le mur pourraient être enlevées occasionnellement pendant la réalisation de travaux par exemple, ce qui supprimerait l’effet de la butée.

- la butée nécessite des déplacements importants. Or, le mur est rigide. Il risque alors de ne pas être suffisant pour ne pas exploiter la butée.

k élevé c = 0 u = 0

poussée

butée

43

• types de murs :

- massif : en maçonnerie pleine puisqu’il ne peut pas y avoir de la traction dans la maçonnerie.

- évidé : utilisation de contreforts soumis à compression solution plus économique puisqu’il y a moins de matériau

- en équerre :

Les éventuels contreforts permettent de soulager les efforts dans la semelle.

- à caissons évidés : remplis avec de la terre par après solution économique puisqu’on utilise moins de matériau

- cribwall

- en terre armée : on exploite le frottement entre le sol et les armatures

• applications :

- substitution de talus : permet l’exploitation de la surface des terres retenues

- culée de pont :

+ -

avant-bec

44

• vérifications : il y a 2 conditions à satisfaire

- stabilité externe :

• non décollement : Fd ≥ 1-1,5

• non basculement : Fb ≥ -1,5- si Ea est trop grand, il y a un risque de renversement du mur.

• non glissement local : Fg ≥ -1,5- il y a un risque de glissement local lorsque Ea est trop important. si le poids propre du mur est suffisant, il n’y aura pas de glissement.

• non glissement d’ensemble : Fg,e ≥ -1,5- la charge complémentaire imposée par le mur risque d’entraîner un glissement.

• pouvoir portant : Fp ≥ -2-3-

avec F, un coefficient de sécurité

- stabilité interne : il y a lieu de faire une distinction entre les murs massifs (brique, pierre, béton), qui ne résiste pas en traction, et les murs en équerre (béton armé).

• si le sol est fort compressible : il n’y a pas de pression à l’arrière du mur, mais une forte pression à l’avant du mur. tassement

distribution des pressions pour un sol normal :

On travaillera alors avec une pression uniforme. les tassements sont partout identiques sous la fondation. Le mur ne bascule plus, mais se tasse verticalement.

0

45

2.1.2. Murs de soutènements massifs :

a) stabilité externe :

- critère de non décollement : (figures p.36)

maçonnerie, béton matériau fragile bonne résistance à la compression

! traction

• mur rectangulaire :

Ea est connu par Rankine, Coulomb et se décompose suivant une composante verticale (Ea)v et une composante horizontale (Ea)h. On réalise l'équilibre autour du point A, qui correspond à la limite du noyau central.

W = γ . B . H R, la résultante des différentes forces Souvent, (Ea)v est négligée, ce qui permet de se mettre du côté de la sécurité puisque (Ea)v a un effet stabilisant, même s'il diminue légèrement le pouvoir portant. Généralement la butée Ep est aussi négligée. Le critère de non décollement revient à chercher une largeur minimum Bmin de telle sorte qu'il n'y ait pas de traction dans le bas du massif. Pour qu'il y ait compression dans toute la section, il faut se trouver dans le tiers central. Le cas limite avant décollement sera l'obtention d'un diagramme triangulaire des contraintes sous le mur. Dans ce cas, il y aura équilibre des moments autour du point A situé à la limite du tiers central.

e*

1 m

B

B

B/6

B/3 2B/3

H

eh

(Ea)h

(Ea)v W

A

R

46

0*

=⋅

+Ω

=+Ω

=σ

vI

eNN

vI

MN

avec Ω = B . 1m

m2

3m

16

B

2B

12B1

vI

⋅=

⋅=

6

6*

2

B

B

Bv

Ie ==

Ω= il faut que l'excentricité e de la résultante R par

rapport à l'axe soit ≤ B/6

On obtient un diagramme triangulaire dans le bas du mur il n'y a pas de traction.

( )

( ) tsollicitan

résistant=

⋅

⋅⋅+

⋅⋅γ

=hha

va

2

deE

3

B2E

6

HB

F

La force R n'intervient pas puisque l'équilibre est tjs réalisé autour du point d'application de R.

B/6

B/3

B

1m

B

47

• distribution rectangulaire des contraintes sous le mur rectangulaire :

C'est une condition très sévère.

( )

( )3

HE

2

BE0HB

F

ha

va

d

⋅

⋅+⋅⋅⋅γ=

si Fd = 1 ( ) ( )3

HE

2

BE

hava ⋅=⋅

si δ = 30° 3

H30cosE

2

B30sinE aa ⋅°⋅=⋅°⋅

H154,130gcotH3

2B ⋅=°⋅⋅=

• mur triangulaire :

2

HBW

γ⋅⋅=

B

H

H/3

(Ea)h

(Ea)v W

A'

Ea

δ

B/6

W

48

( )

( ) hha

va

2

deE

3

B2E

12

HB

F⋅

⋅⋅+

⋅⋅γ

=

Le profil triangulaire est plus intéressant puisqu'on a utilisé 2 fois moins de matériau. économie de matériau

facilité de mise en oeuvre

• Peut-on accepter la traction ?

e > B / 6

e2

BB −=°

B° représente la largeur fictive sur laquelle les pressions ont une répartition triangulaire. vérification : si e = B / 6

6

B3

2

B3e3

2

B3B ⋅−

⋅=⋅−

⋅=°

B° = B

- critère de non renversement : (figures p.36)

condition plus sévère que la condition de non décollement

B

B°

B°/3 e

R = W + Ea

49

- critère de non glissement local : (figures p.37)

La présence de la butée est négligée. W, (Ea)v forces résistantes (Ea)h force sollicitante Généralement, l'adhérence est négligée, càd le terme a . B intervenant dans la formule de la force résistante Hr. S'il y a risque de glissement local, il existe différentes solutions : bêche : excroissance au bas du mur

pour des murs massifs, la bêche est non exploitée puisqu'elle doit être réalisée en béton armé.

base inclinée : de telle sorte que la résultante soit perpendiculaire à la base de la

fondation pas de problème de glissement de la fondation, mais il

faut s'assurer que le sol ne glisse pas (remplacer ψ par ϕ).

ancrage vertical : s'oppose par cisaillement au glissement.

lestage : augmente le numérateur peut devenir défavorable pour le pouvoir portant.

- critère de non glissement d'ensemble : (figures p.37)

On envisage différentes surfaces de glissement et on retient la plus défavorable, càd celle qui conduit au coefficient de sécurité le plus faible. Cette condition est souvent moins défavorable que le glissement local.

- pouvoir portant du sol : (figures p.38)

Si la charge verticale est trop importante, il y a un risque qu'une surface de rupture se développe. la charge verticale devient défavorable. C'est le seul critère pour lequel la charge verticale est défavorable. L'augmentation de B ne change rien au niveau du critère de non glissement local. En cas d'excentricité de la charge, on utilise pour les calculs une largeur fictive : B' = B – 2.e On utilise les formules du cours de fondation. qult = B' . qu avec qu, le pouvoir portant du sol

50

b) stabilité interne : (figures p.38)

c) divers : (figures p.39)

2.1.3. Murs de soutènement en équerre :

Ce sont des murs en béton armé. La flexion est privilégiée par rapport à l'effort normal. Le principale avantage des murs en équerre est qu'une quantité moindre de matériau est nécessaire, mais cela nécessite plus de déblais et de remblais.

a) estimation des efforts : (figures p.40)

Wsol, le poids du sol contenu dans la zone fictive Wbét, le poids du béton armé La butée est négligée. avant-bec : partie saillante de la semelle du côté de la butée Pour la détermination de Ea, la méthode utilisée est celle de Rankine.

b) stabilité externe :

- critère de non décollement : (figures p.41)

• sans avant-bec :

a

2

a Kh2

1E ⋅⋅γ⋅=

(Ea)v = Ea . sin i (Ea)h = Ea . cos i On réalise l'équilibre autour du point X, ce qui permet de déterminer l' équation qu'on égale au coefficient de sécurité Fd.

• avec avant-bec :

Il ne sert à rien d'augmenter de trop la largeur A d'avant-bec, car cela provoquerait un risque de basculement dans l'autre sens. Si on souhaite un diagramme des contraintes rectangulaire, on s'arrange pour placer le point X au milieu de la largeur de semelle B.

51

- critère de non renversement : (figures p.42)

- critère de non glissement d'ensemble : (cfr murs massifs)

- critère de non glissement local : (figures p.43)

Si cette condition n'est pas respectée, on peut :

• augmenter la largeur W augmente Fg augmente • ancre le massif • incliner la base du massif • placer une bêche : hb, la hauteur de la bêche

- pouvoir portant du sol : (figures p.43)

C'est le seul critère pour lequel (Ea)v est défavorable. excentricité sans avant-bec : B' = B – 2 . e

avec e = B / 6

excentricité avec avant-bec : B' =(4/3) . B°

c) stabilité interne : (figures p.44)

Toujours dessiner le diagramme des moments du côté des fibres tendues, ce qui permet de savoir où placer les armatures.

d) divers : (figures p.45)

2.1.4. Murs de soutènement – variantes :

a) murs à caisson évidés : (figures p.46 et 47)

b) murs "cribwall" : (figures p.46 et 48)

c) murs à barrettes : (figures p.49 et 50)

d) procédé "ter-voile" : (figures p.49 et 51)

e) procédé "terre armée" :

52

2.1.5. Murs de soutènement – terre armée :

a) principes et applications : (figures p.52, 53, 54, 55 et 56)

association d'un matériau naturel pulvérulent, la terre, avec des éléments

linéaires résistant à la traction, les armatures. une liaison permanente entre les 2 constituants est créée grâce aux efforts de

frottement sol – armatures. Les armatures se mettent en traction cohésion proportionnelle à la densité.

à la résistance des armatures.

frottement : contrainte de cisaillement à la surface des armatures invention du parement en écailles de béton

mise au point d'armatures à haute adhérence grande déformabilité du parement pour pouvoir supporter sans dommage des

tassements différentiels. Les écailles en béton (cruciforme) sont :

• reliées et imbriquées les unes dans les autres par un système de goujons destinés à assurer la continuité de la peau.

• séparées par des joints de grandes dimensions assurant une souplesse.

b) dimensionnement : (figures p.57 et 58)

La ligne des tractions maximales Tm sépare 2 zones dans le massif de terre armée :

• zone active : la terre a tendance à entraîner les armatures

• zone résistante : le sol a tendance à retenir les armatures stabilité interne : 2 critères de rupture par cassure

par défaut d'adhérence

c) choix des matériaux : (figures p.59)

d) mise en œuvre : (figures p.60)

e) avantages – inconvénients – classification : (figures p.61)

53

2.2. Rideaux et parois

Palplanches

2.2.1. Généralités :

• rideaux continus pièces jointives – battage !

∠ vibrations • possibilité d'étanchéité pour travaux dans les rivières • travaux provisoires (+récupération) :

enceintes travaux de fondation (en rivière, en mer, sous N.P., -)

travaux définitifs (durabilité !) murs de quai, piles et culées de pont, pieds de berges, soutènement, écluses, enceintes de protection contre affouillements (maintien de talus, empêche la corrosion des fondations).

• avantages : pas d'étançons, pas d'étrésillons, pas de terrassement (% murs classiques)

• inconvénients :battage vibrations (! site urbain) • types de palplanches :

en bois : pieux jointifs et rainurés renforcement en tête (battage) métallique avantages : bonne résistance sous eau – légèreté inconvénients : longueur limitée – gauchissement

peu de réemploi – faible durabilité hors eau

utilisation : décoratif – faibles ∆H !

en béton armé : ouvrages définitifs – bon comportement sous eau

préfabriqués : avec emboîtements – armatures doubles (moments + et -) tête protégée (coussin élastique – battage) – lançage d'eau sous pression mise en place – pas de réemploi (jonction Nord-Midi sous le jardin botanique – longueur 13 m)

moulés en place : (Franki panneaux de 1m * 0,2m) fonçage d'un caisson métallique obturé (tôle inférieure perdue) mise en place de l'armature – bétonnage – enlèvement du caisson (limitation de la hauteur : 8m sinon voilement du caisson)

54

en acier :

profils laminés – pièces jointives battues

forte inertie : en Z : en S : en U : Les profils en S et en U ne reprennent pas l'effort tranchant au niveau de l'axe neutre puisqu' à cet endroit se situent les attaches. glissement des palplanches les unes par rapport aux autres. Par contre, les profils en Z s'assemblent sur les semelles. ils peuvent reprendre l'effort tranchant du à la flexion. faible inertie : palplanches plates (gabions)

utilisation : batardeaux provisoires ou soutènements définitifs (! protection rouille)

avantages : - I/v élevé bonne résistance en flexion et au flambement

possibilité de longueur de battage jusqu'à 35m

- guidage effectif par agrafe + étanchéité (asphalte)

- arrachage "facile" réemplois nombreux - battage possible même en terrain compact

(battage par percussion – fonçage part vibration)

- battage rapide – vibrations assez faibles

types : en U

en S en Z (I/v)x'x' < (I/v)xx

U : I/V = -0,75-(I/v)xx S : I/V = -0,85-(I/v)xx Z : I/V = -1,00-(I/v)xx

x x x' x'

axe neutre

55

dispositions : - gabions : palplanches plates mises en traction enceintes fermées : batardeaux (constructions fluviales et maritimes) remplissage de terre

traction des palplanches (pas de flambement, ni de flexion : OK)

! battage délicat ! (en escalier)

- rideaux : dénivellation hors de l'eau (a) – dans l'eau (b)

provisoire ⇔ définitif point d'appui (! élastique !) étançon

ancrage (passif ou actif)

avec T, la longueur de fiche

H

T

libre en tête T élevé encastrée

ancrée en tête T faible

étançonnée en tête T faible encastrée + appuyée

ancrée à plusieurs niveaux T très faible

56

2.2.2. Calculs à effectuer :

• stabilité externe : longueur de fiche T dans le but d'éviter le phénomène de

Renard

• stabilité interne : σ≤=σ

vI

M I/v ≥ - ELU

fadm I ≥ - ELS

2.2.3. Détermination des pressions des terres sur le rideau :

σh = f(σv, γ, ϕ, c, i, β, δ) = Kp . σv si butée

Ka . σv si poussée La poussée représente un effort sollicitant, alors que la butée représente un effort résistant. Or, Kp (= 3) > Ka (=1/3), ce qui est avantageux.

souvent : β = 0 et i = 0 palplanche déformable poussée et butée !!

• Coulomb : (figures p.62 et 63) • Rankine : souvent utilisé i = 0 , δ = 0, β = 0

si c = 0 Ka = tg²(π/4 - ϕ/2) et σah = Ka . σv

Kp = tg²(π/4 + ϕ/2) et σph = Kp . σv

(pour i = 0,δ = 0, β = 0 Coulomb = Rankine)

57

si c ≠ 0 avaah Kc2K ⋅⋅−σ⋅=σ

pvpph Kc2K ⋅⋅+σ⋅=σ

la cohésion est favorable (prudence ! moins sûre que ϕ)

• remarques : - palplanches en béton rugueuses δ = ϕ . 2/3 Coulomb : OK % poussée

exagérée % butée si ϕ > ..35°..

Caquot-Kérisel pour i = 0 et β = 0 : Kph Kah

- exemple : pour ϕ = 30°, δ = 20°, i = β = 0

Kah Kph

Coulomb 0,28 5,80

Caquot-Kérisel 0,29 5,05

Rankine 0,33 3,00

Rankine est le plus sécuritaire puisqu'il sous-estime la butée et surestime la poussée. Caquot-Kérisel est le plus proche de la réalité. Coulomb surestime la butée.

- influence de δ sur la butée

- influence de la pression d'eau : (figures p.64 et 65) - influence favorable de la cohésion : (figures p.65)

• EC.7 - coefficients :

actions sol

permanentes variables

cas défavorables favorables défavorables tg ϕ' c' cu qu

A 1,00 0,95 1,50 1,1 1,3 1,2 1,3

B 1,35 1,00 1,50 1,0 1,0 1,0 1,0

C 1,00 1,00 1,30 1,25 1,6 1,4 1,4

cas A : poussée d'Archimède cas B : résistance des éléments de structure (vérification interne) cas C : talus, dimensionnement des éléments de structure (vérification externe)

58

2.2.4. Rideau non ancré en tête :

Une palplanche ne peut pas être ancrée si sa hauteur H ne dépasse pas 5m. Le problème est simplifié en ramenant de manière ponctuelle l'effort dû à la contre butée au point D. Le diagramme en noir représente les contraintes résultantes (butée – poussée).

Au point D "encastrement" : γD = 0

αD = 0 MD = 0

T représente la longueur de fiche nécessaire pour assurer la stabilité externe (d'ensemble) de la palplanche.

∆T représente la surlongueur de fiche nécessaire pour que la contre butée puisse se développer.

longueur totale de la palplanche : Ltot = H + T* + ∆T = H + T

L'objectif est de déterminer T* et ∆T.

A

B

D

E

z

z*

poussée

σh = Ka . γ .z

σh = Ka . γ .z*

σh = Kp . γ .z*

butée

contre butée

σh = Kp . γ . z allure réelle des contraintes

zC zC*

poussée

butée contre butée

RCB

C

P1

P2

P3

A

B

D ∆T

z3

T0 T* z2

z1

59

Il existe 2 approches : graphique analytique

a) méthode analytique :

Il existe un point C pour lequel la poussée et la butée s'équilibrent.

• BC ?

σh,a = σh,p ⇔ γ . zC . Ka = γ . (zC – H) . Kp

Or (zC – H) = BC

BC . Ka + H . Ka = BC . Kp

ap

a

KK

KHBC

−

⋅=

• T0 ? équilibre horizontal : P1 + P2 + RCB = P3 (2) équilibre de rotation autour du point D : P1 . z1 + P2 . z2 = P3 . z3 (1)

2

2

a1

HKP

⋅⋅γ=

2

BCHKP a

2

⋅⋅⋅γ=

( )2

2

0ap

3

TK-KP

⋅⋅γ=

(Kp – Ka) représente la pente du diagramme. P1 et P2 sont connus. P3 est inconnu puisque T0 intervient dans sa détermination.

(1) ( )

3

TTKKTBC

3

2PTBC

3

HP 0

2

0ap

0201 ⋅⋅−⋅γ

=

+⋅⋅+

++⋅2

expression dont on peut déduire T0. (2) RCB = P1 – P2 + P3

ce qui représente la réaction de contre butée dont on aura besoin pour calculer ∆T.

60

• ∆T ?

méthode empirique : ∆T = 0,1-0,2 . (BC + T0)

formule de Descan : p,hσ

⋅=∆ CBR0,45

T

par calcul : ∆T . [(H + BC + T0) . γ . Kp] = RCB

p0

CB

KTBCH

RT

⋅γ⋅++=∆

)(

longeur totale : Ltot = H + BC + T0 + ∆T

longueur de fiche : Lfiche = BC + T0 +∆T ce qui clôture le dimensionnement externe de la palplanche.

• choix du profil ? vérification interne : ELU (I/v)min

ELS Imin C'est dans la zone comprise entre les points C et D que se situera le moment maximum. On réalise une coupure en x.

RCB

C

A

B

D

x

x

RCB

I

II

γ . (Kp – Ka) . T0

γ . (Kp – Ka) . (T0 – x)

61

( ) ( ) ( )6

xxTKK

3

xTKKxRM

2

0ap

2

0apCBxx ⋅−⋅−⋅γ−⋅⋅−⋅γ−⋅=

0=dx

dMxx xmax (Mxx)max

(I/v)max = σmaxM

∫=IE

dxmMfmax

max

minfE

dxmMI

∫=

Une fois (I/v)min et Imin calculés, on regarde dans les catalogues pour choisir le bon profilé de palplanches.

A

B

D

fmax 1

actions M m

courbe du 3e degré

62

b) méthode graphique : graphostatique

Cette méthode permet de traiter des cas complexes (avec discontinuité due à la présence d'eau, sol hétérogène).

- détermination du diagramme de moments :

On se définit une échelle des longueurs ul = m / cm

une échelle des forces uF = kN / cm • tracer la force P à l'échelle sur le dessin (2) • relier les 2 extrémités de la force P au pôle O (pris au hasard) par leur rayon

réciproque • tracer sur le dessin (1) la parallèle à | à partir du point A • tracer à partir de l'intersection entre | et la ligne d'action de P une parallèle à || • tracer une verticale en B • tracer la droite V reliant A à l'intersection entre la verticale et la droite || • tracer sur le dessin (2) la parallèle à V, qui coupera P en 2 parties représentant

RA et RB • ? réactions RA et RB

∆oαβ S ∆Aab AB

abRA =∆

avec ∆, la distance polaire

∆oαγ S ∆cab MB

abP=

∆

AB

MBPRA

⋅=

x

xP P

RA

RB

A B

M

a

b

c y1

y2

y3

∆

P RA

RB

O

α

β

γ

ul

uF

(1) (2)

63

• ? moments

∆oαβ S ∆Ay3y1 x

yyR 1A 3=∆

∆oαγ S ∆cy2y1 )

2

p

1A

x-(x

yyR=

∆

RA . x – P . (x – xp) = ∆ . 32yy = Mx

Mx est proportionnel à 32yy

le triangle tracé sur le dessin (1) correspond au diagramme des moments à une

certaine échelle.

échelle des moments : uM = ul . uF . ∆ ↔ kNm/cm = m/cm . kN/cm . cm On peut éventuellement redresser le diagramme des moments pour qu'il soit parallèle à la poutre.

- méthode de Mohr – détermination de la déformée :

Cette méthode permet de déterminer la flèche. Mohr : "La flèche due à une charge ponctuelle sur une poutre bi-appuyée est égale

au moment fictif M de cette poutre si elle est chargée fictivement par IE

M

⋅− ."

La théorie de Mohr n'est valable que pour une poutre sur 2 appuis. Il faudra donc l'adapter pour les palplanches puisque celles-ci sont encastrées à leur base.

o

1

2

3

4

5

∆'

1 2 3

4 5

f

x

- M / EI

64

échelle de moments : uM = ul . uF . ∆

↔ kNm / cm = m / cm . kN / cm . cm

échelle des moments fictifs : uM = usurface . uM . ul . EI

↔ (kNm² / cm) / EI = (cm² / cm . kNm / cm . m / cm) / EI

échelle des flèches : uflèche = uM . ul . ∆'

↔ (kNm³ / cm) / EI = (kNm² / cm . m / cm . cm) / EI

Le diagramme des moments obtenus précédemment est discrétisé, ce qui permet de déduire, par surfaçage, les moments fictifs (1, 2, -) en kNm² (verticalement : m ; horizontalement : kNm). Ensuite, les forces fictives sont dessinées à l'échelle, ce qui permet de tracer le rayon reliant celles-ci au pôle choisi arbitrairement. Pour chaque section, on fait la somme de moments statiques dus aux efforts fictifs ce qui permet de déterminer un point de la déformée (tracer la parallèle au 1er rayon jusqu'à la ligne d'action du 1er effort fictif et ainsi de suite).

- application aux palplanches : (figures p.66, 67 et 68)

• construction du diagramme des pressions des terres; • discrétisation du diagramme et surfaçage. obtention d'une force sur un axe

horizontal appliquée au centre de gravité de chaque surface. • détermination de la direction des rayons polaires au moyen du polygone

funiculaire des forces tracées à l'échelle. ! le rayon polaire initial doit être vertical !

• tracer les parallèles aux différents rayons polaires en commençant par le sommet. • changer de rayon chaque fois que l'on rencontre la ligne d'action d'une force.

• on peut ainsi trouver : ∑∑ −= gauche à droite dedroite à gauche deCB FFR

c,hσ

⋅=∆ CBR0,45

T avec σh,c = γ' . (Kp – Ka) . T0

• la longueur de la palplanche est obtenue en s'arrêtant lorsque le moment s'annule sur le diagramme.

• la déformée est déterminée à partir du diagramme des moments pour lequel on recherche le moment statique. Le procédé est le même que pour la détermination du diagramme des moments.

rmq. : pour tracer le polygone funiculaire des forces négatives, on inverse le pôle et

les forces, ce qui permet de continuer à tracer les forces de droites à gauches sans devoir revenir sur le dessin déjà tracé.

65

2.2.5. Rideau ancré en tête :

L'utilisation d'un ancrage permet de soulager la palplanche en lui donnant un appui dans sa partie supérieure lorsque la hauteur devient trop grande. Cette technique permet d'éviter d'avoir un profil de palplanche trop important ou une longueur de fiche trop grande.

Si la longueur de fiche est insuffisante, la palplanche pivote autour du point d'appui. La rupture ne se produit plus en tête, mais dans le bas de la palplanche, la butée étant trop faible.

Si la longueur de fiche est prolongée et devient tout juste suffisante, les flèches auront diminuées, mais il restera tjs un faible déplacement en pied de palplanche. appui libre en pied de palplanche

Si la longueur de fiche est encore augmentée, il commence à apparaître de la contre-butée. encastrement partiel en pied de palplanche

H

T

RF

déformée

RF

RF

66

Si la longueur de fiche est encore plus augmentée, la contre-butée prend de l'importance. encastrement en pied de palplanche

En Europe, nous prendrons cette hypothèse, ce qui permet de diminuer les coefficients de sécurité puisque les flèches sont plus petites. La situation devient donc hyperstatique puisque la palplanche possède un appui et un encastrement. Le point D correspond au point pour lequel le les pressions et le moment s'annulent. Le problème comporte donc 3 inconnues : RF, T et RCB hypothèse de Blum : pD = 0 MD = 0 Blum a mis en évidence le fait que le diagramme des moments s'annulait pratiquement là où les pressions s'annulent (poussée équilibrée par la butée). Cette hypothèse permet de passer d'un problème hyperstatique à un problème isostatique en coupant la palplanche en 2 parties de part et d'autre du point D. En D, on peut introduire un appui auquel correspond une réaction RD puisque, au point d, le moment est nul et que cela ne change donc rien. Rd = VD l'effort tranchant au point D

RF

H

D

D T0

∆T

A

F

B

E

G

RF

H

D

A

F

B

D

T0

∆T E G

S

RCB

D

T0/3

P1

P2

"RD"

"RD"

F x

γ . Ka . H

γ . (Kp –Ka)

67

Le 1er tronçon s'apparente donc à une poutre sur 2 appuis. Pour le 2e tronçon, on connaît la réaction RD puisqu'il s'agit qe la même réaction que celle calculée dans le 1er tronçon. On ne connaît pas T0 et RCB que l'on cherchera

donc à déterminer afin d'en déduire ∆T.

a) méthode analytique :

pas d'eau – sol homogène

− stabilité externe : • on travaille sur le 1er tronçon

2

HKP

2

a1

⋅⋅γ=

2

DHKP a

2

⋅⋅⋅γ=

( )ap

a3

K-K

HKP

⋅γ

⋅⋅γ=

équilibre autour du point F : ( )FDHRF3

DHPFH

3

2P D21 −+⋅=

−+⋅+

−⋅⋅

( )FDH

F3

DHPFH

3

2P

R21

D −+

−+⋅+

−⋅⋅=⇒

équilibre horizontal : RF = P1 + P2 – RD=

La réaction RF sera nécessaire pour dimensionner l'ancrage. • on travaille sur le 2e tronçon

équilibre autour du point E : ( )3

T

2

TTKKTR 00

0ap0D ⋅⋅⋅−⋅γ=⋅

( )ap

D0

KK

6RT

−⋅γ

⋅=⇒

formule de Descan : ( ) 0ap

CB

TKK

R0,45T

⋅−⋅γ

⋅=∆

68

équilibre autour du point S situé à T0/3 : 0D0

CB T3

2R

3

TR ⋅⋅=⋅

⇒ RCB = 2 . RD

on peut trouver ∆T et finalement la longueur totale de la palplanche :

T = D + T0 + ∆T Ltotal = H + T

− stabilité interne : choix du profil de la palplanche : ELU Mmax

ELS fmax (fort complexe on utilisera la graphostatique)

? Mmax Le moment maximum se situe entre les points F et B. On réalise une coupure en x entre ces 2 points :

( )6

xKFxRM

3

aFx ⋅⋅γ−−⋅=

a

Fmax

2

aFx

K

R2x

2

xKR

dx

dM

⋅γ

⋅=⇒=⋅⋅γ−= 0

σ≥⇒ maxM

vI

x

RF

γ . Ka . x

( )

−⋅⋅=

⋅γ

⋅⋅

⋅γ−⋅+⋅−=

⋅⋅γ−−⋅=⇒

FxR

x

K

RKRxRF

6

xKFxRM

maxF

2

max

a

FaFmaxF

maxamaxFmax

3

2

2

6

3

321

69

b) méthode graphostatique : (figures p.69, 70, 71, 72, 73, 74 et 75)

Cette méthode permet d'obtenir la déformée, alors que par voie analytique c'est fort compliqué.

2.2.6. Réalisation des ancrages :

Il existe plusieurs techniques d'ancrage :

RA

sol en butée

rideau secondaire d'ancrage devant reprendre l'effort RA

tirant barre mise en traction

ancrages

en compression ! flambement

70

a) dimensionnement du rideau d'ancrage secondaire : (figures p.76, 77 et 78)

Le dimensionnement s'effectue par voie graphostatique. La palplanche est placée sur l'axe vertical du graphique. La surcharge q est placée du côté de la poussée ce qui correspond au côté le plus défavorable. il existe 2 principes de dimensionnement : • chercher Lmin, càd la distance minimale entre les 2 rideaux pour éviter que le

rideau d'ancrage n'augmente la poussée des terres sur le rideau principal. • dimensionner la hauteur h à partir de l'effort connu : RA . s avec s, un coefficient

de sécurité.

− détermination de la hauteur h : On fixe la profondeur de tête de la palplanche (ici : 2m). La méthode graphostatique permet de choisir la situation la plus idéale possible. Il y a plusieurs solutions : 1° l'ancrage est placé là où l'équilibre est assuré :

l'ancrage est placé au centre de gravité du diagramme des pressions des terres

le polygone des forces permet de trouver la distance minimale Lmin pour la

palplanche secondaire. On place l'ancrage à l'intersection des 2 droites dans le poligone funiculaire.

avantage : longueur d'ancrage optimum choix économique puisque I/v est

faible inconvénient : plus difficile à mettre en œuvre

pas de ∆T nécessaire 2° l'ancrage est placé en tête de palplanche :

La réaction RA reste la même, mais la longueur de la palplanche est plus importante. On recherche un autre appui C :

RA = 300

pression des terres

RA

pression des terres

RC

71

Le polygone est le même sauf qu'il est prolongé. On s'arrête en C' grâce à la ligne de fermeture qui, ici, est imposée par RA.

On calcule ∆T par la formule de Descan. avantage : plus facile à mettre en œuvre puisque l'accrochage se fait en tête de

palplanche inconvénient : la longueur a doublé et le profil change puisque Mmax a augmenté.

3° solution optimale : On déplace l'appui A de manière à minimiser les moments. On translate la ligne de rupture.

I/v diminue économie

− détermination de la longueur du tirant D : Il faut éviter que la poussée et la butée se croisent.

ϕ+

π⋅+

ϕ−

π⋅=

2424tgLtgzD 2min

Le Ea,max dû à la palplanche doit rester identique.

L2

L1

z

D

(π/4 + ϕ/2)

(π/4 - ϕ/2)

butée

poussée

72

méthode : • tracer la courbe de Culmann dû à la palplanche principale, ce qui permet de

trouver Ea,max • tracer la composante horizontale de Ea,max Ea,h,max perpendiculaire à la surface

limite de glissement. • retrancher à Ea,h,max la valeur de RA connue • translater cette droite jusqu'à l'intersection avec la courbe de Culmann point X • tracer OX qui correspond à la ligne de rupture passant par le pied de la

palplanche secondaire

b) mise en œuvre : (figures p.79)

Le raccordement se fait via des poutres de chaînage. Ces poutres peuvent être modélisées par des poutres continues.

O

X Ea,max

Ea,h,max

RA

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2.2.7. Phénomène de Renard : (figures p.80 et 81)

soit une différence de niveau de la nappe phréatique de part et d'autre de la palplanche. la vitesse de l'eau est très importante sous la palplanche puisque le gradient

hydraulique est au plus haut. l'eau entraîne le sol et provoque un décompactage du sol à gauche de la

palplanche où le sol est justement en butée. la butée diminue déplacement de la palplanche vers la gauche Comment éviter ce phénomène ? • descendre le niveau amont de la nappe phréatique par pompage

! coûteux ! risque de tassement différentiel sous les constructions voisines

• remonter le niveau de la nappe phréatique à gauche de la palplanche ! on ne sait plus travailler

• placer une surcharge au pied aval de la palplanche pour empêcher les remontées du sol.

• enfoncer la palplanche plus profondément (T augmente) puisqu'on diminue alors le gradient hydraulique sous la palplanche.

lignes de courant

couche imperméable

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Table des matières 0. Introduction.......................................................................................................... 1 1. Poussée - butée................................................................................................... 5 1.1. Pression des terres sur un écran ..................................................................... 5

1.1.1. Paramètres du sol : c, ϕ, a, ψ.................................................................... 5 1.1.2. Cercle de Mohr : ....................................................................................... 6 1.1.3. Pressions neutre - active - passive : (figure p.4) ...................................... 10 1.1.4. Pressions sur un ouvrage de soutènement :........................................... 13

1.2. Théorie de Rankine........................................................................................ 14 1.2.1. Hypothèses de rupture :.......................................................................... 14 1.2.2. Théorie de Rankine :............................................................................... 15 1.2.3. Sol pulvérulent : (figures p.10 et 11) .......................................................... 16 1.2.4. Sol pulvérulent - paroi oblique :............................................................... 22 1.2.5. Sols cohérents : (figures p.14, 15 et 16)..................................................... 24 1.2.6. Critiques :................................................................................................ 27 1.2.7. Remarques : ........................................................................................... 28

1.3. Théorie de Coulomb....................................................................................... 30 1.3.1. Généralité : ............................................................................................. 30 1.3.2. Méthode analytique : (figures p.17, 18 et 19) ............................................. 30 1.3.3. Méthode graphique (courbe de Culmann) : (figures p.20, 21 et 22)........... 31 1.3.4. Divers :.................................................................................................... 32

1.4. Autres méthodes ............................................................................................ 40

1.4.1. Coulomb ↔ Rankine :............................................................................. 40 1.4.2. Théorie de Caquot – Kerisel : (figures p.26, 27, 28, 29, 30 et 31)................ 40 1.4.3. Théorie de Brinch – Hansen : (figures p.32) ............................................. 41

2. Ouvrages de soutènement et de blindage ......................................................... 42 2.1. Murs de soutènement .................................................................................... 42

2.1.1. Généralités : (figures p.33, 34 et 35) .......................................................... 42 2.1.2. Murs de soutènements massifs : ............................................................ 45 2.1.3. Murs de soutènement en équerre : ......................................................... 50 2.1.4. Murs de soutènement – variantes : ......................................................... 51 2.1.5. Murs de soutènement – terre armée : ..................................................... 52

2.2. Rideaux et parois ........................................................................................... 53 2.2.1. Généralités :............................................................................................ 53 2.2.2. Calculs à effectuer : ................................................................................ 56 2.2.3. Détermination des pressions des terres sur le rideau : ........................... 56 2.2.4. Rideau non ancré en tête :...................................................................... 58 2.2.5. Rideau ancré en tête :............................................................................. 65 2.2.6. Réalisation des ancrages :...................................................................... 69 2.2.7. Phénomène de Renard : (figures p.80 et 81)............................................. 73