cours 3 commande robuste par mode...

Université Montpellier 2

Faculté des sciences

Département EEA

Master 2 : Robotique

2013 / 2014

Cours de Robotique 2 (UE 322)

Cours 3

Commande robuste par mode glissant

A. Chemori

LIRMM - UMR 5506

161, Rue Ada 34095, Montpellier Cedex 05, France

[email protected]

FdS, Dpt EEA – Master 2 Robotique – 2013/2014 2

Plan du cours

1. Introduction

2. Exemple introductif

3. Idée de base

4. Dynamique du système à commander

5. Dynamique de glissement

6. Dynamique de convergence vers la surface de glissement

7. La loi de commande

o La commande équivalente

o La commande discontinue

o Loi de commande globale

8. Retour à l’exemple (application de la commande discontinue)

9. Phénomène de réticence (chattering)

10. Retour à l’exemple (application de la commande globale)

11. Quelle solution pour le problème de réticence ?

A. Chemori (Cours de Robotique 2 : UE 322)

A. Chemori (Cours de Robotique 2 : UE 322) FdS, Dpt EEA – Master 2 Robotique – 2013/2014 3

Commande par mode glissant Introduction

La commande par mode glissant est relativement simple à implémenter

(par rapport à d’autres approches de commande)

Elle fait partie des commandes dites à structure variable

Elle s’applique à la fois aux systèmes linéaires et aux systèmes non linéaires

Robuste par rapport aux perturbations externes

Robuste aussi par rapport aux incertitudes/variations des paramètres, etc

Différentes applications : Régulation, poursuite de trajectoires, poursuite de

modèle, observateurs, etc

La commande par mode glissant est une suite logique de la commande discontinue

(dans sa forme la plus facile : commande bang-bang)

Introduction

Début des années 60 besoin de robustesse en aéronautique

Découverte même avant l’utilisation du terme robustesse : Les

ingénieurs automaticiens cherchaient des lois de commande

insensibles aux variations dans la système à commander


Commande par mode glissant Exemple introductif

Exemple Introductif

On considère le système mécanique suivant (masse-ressort-amortisseur) :

La dynamique de ce système s’écrit :

: La masse

: la position de la masse

: Coefficient de raideur du ressort

: Coefficient d’amortissement

: Force appliquée sur la masse

On souhaite faire converger vers avec la commande

Pour cela on considère la loi de commande suivante :



On remplace cette loi de commande dans la dynamique système, on obtient :

Si l’on considère :

La dynamique en boucle-fermée ci-dessus peut s’écrire :

Si on considère les états (position) et (vitesse)

Cette dynamique peut être mis sous forme d’équation d’état suivante :

C’est un système autonome dont le comportement dépend de la condition

initiale sur les états et des paramètres .



Simulation du comportement en boucle-fermée du système résultant pour :

0 10 20 30 40 50 60-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

temps (sec)

Po

siti

on

et vite

sse

Position

Vitesse

Pour ce choix de paramètres



Si on trace le plan de phase du système en boucle-fermée on obtient :

La commande proposée amène le système au point souhaité MAIS la

convergence est lente !

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

x1

x2

Condition initiale

Point d’équilibre


Commande par mode glissant Idée de base

Idée de base

L’idée de base de la commande consiste en deux étapes :

o Amener le système sur un hyperplan de commutation stable (surface de

glissement)

o Converger sur la surface de glissement vers le point d’équilibre désiré

1

2

1

2


Commande par mode glissant Système à commander

On considère le cas générale d’un système non linéaire dont la dynamique

s’écrit :

Avec deux fonctions non linéaires, avec

L’objectif de la commande est la stabilisation du système autour du point

d’équilibre :

Dans la suite l’approche de commande sera détaillée en se basant sur ce

modèle non linéaire

Néanmoins, elle reste valide pour les systèmes linéaires dont la dynamique

s’écrit :

Dynamique du système à commander


Commande par mode glissant Dynamique de glissement

La dynamique de est stable pour

Soit la variété :

La dynamique de est stable si

La variété est une surface appelée ’surface de commutation’ ou ’surface de

glissement’

Sur la surface de glissement définie par est stable, donc

converge vers 0, le déplacement est gouverné par

La vitesse de convergence dépend de la valeur de

Mais sur cette surface donc converge aussi vers 0

L’évolution sur la surface de glissement est indépendante de et

Si au départ, le point initial n’est pas sur la surface de glissement, il faudra

amener le système sur cette surface

Donc :

Dynamique de glissement


Commande par mode glissant Dynamique de convergence

Dynamique de convergence vers la surface de glissement

Pour évaluer la stabilité, on considère la fonction de Lyapunov suivante :

Stabilité asymptotique si : est définie positive

est définie négative

On a :

Étant donné que :

donc est définie positive

Calculons maintenant sa première dérivée :


Commande par mode glissant Loi de commande

La lois de commande

est définie négative si :

est :

La commande équivalente :

Soit :

La commande équivalente est définie par :

est définie négative si :

Pour quel choix de ceci est vérifié ?


Commande par mode glissant Loi de commande

Cela est vérifié pour le choix suivant de :

La commande globale :

La commande proposée comporte deux termes : le premier correspond à une

commande continue et le deuxième correspond à une commande discontinue.

Commande équivalente (continue)

Commande discontinue

La commande discontinue :

La commande discontinue et le deuxième terme de l’expression ci-dessus:

Pour ce choix on a :

est définie négative car :


Commande par mode glissant Retour à l’exemple

Retour à l’exemple

On souhaite faire converger vers avec la commande

On rappelle la dynamique du système :

Qui peut s’écrire sous la forme :

avec :

La loi de commande par mode glissant s’écrira :

Avec :

et

Si on considère le choix suivant des paramètres de la commande :

donc :


Commande par mode glissant

Si on considère, dans un premier lieu, la commande discontinue uniquement :

Évolution dans le plan de phase du système en B.F

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

x1

x 2

Condition initiale


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1.4

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

x1

x2

Condition initiale


Commande par mode glissant (discontinue) Commande précédente (feedforward)




0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

temps (sec)

Po

sitio

n e

t vite

sse

Position

Vitesse

Évolution des états du système en B.F

Commande par mode glissant (discontinue)

0 10 20 30 40 50 60-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

temps (sec)

Po

siti

on

et vite

sse

Position

Vitesse

Commande précédente (feedforward)




0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

temps (sec)

Co

mm

an

de

2 2.0005 2.001 2.0015 2.002 2.0025 2.003 2.0035 2.004 2.0045 2.005

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

temps (sec)

Co

mm

an

de

Évolution de l’entrée de commande

Autour de 2 sec



Commande par mode glissant Phénomène de réticence

2 2.0005 2.001 2.0015 2.002 2.0025 2.003 2.0035 2.004 2.0045 2.005

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

temps (sec)

Co

mm

an

de

Phénomène de réticence (‘Chattering’ en anglais)

Si on fait un zoom sur la commande autour de on obtient :

Un mode glissant idéal n’existe pas étant donné qu’il nécessite une commande qui

commute avec une fréquence infinie

Dans un cas réel la commutation se fait pendant un temps de commutation + la

constante de temps des actionneurs La discontinuité dans le commande produit un

comportement dynamique particulier (cf. figure ci-dessus) autours de la surface de

glissement, appelé phénomène de réticence (Chattering en anglais)



0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

x1

x2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-5

0

5

10

temps (sec)

Co

mm

an

de

Même avec la commande globale il y a toujours le

phénomène de réticence

C’est un des problèmes de la commande par mode

glissant

Peut endommager les actionneurs !

Quelle solution peut on envisager ?


Application de toute la commande



Commande par mode glissant Solution du problème de réticence

Quelle solution pour le problème de réticence ?

Afin d’éviter le problème de réticence différentes solutions peuvent être envisagées :

-1

+1

-1

+1

-1

+1

Sigmoïde

Solution 3 : Envisager la commande par mode glissant d’ordre supérieur

Solution 2 : remplacer la fonction Sign

-1

+1

Solution 1 : remplacer la fonction Sign


Commande par mode glissant Solution du problème de réticence

Exemple précédent : Application de la solution utilisation de la fonction de saturation

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

x1

x2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

temps (sec)

Po

sitio

n e

t vite

sse

Position

Vitesse

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-4

-3

-2

-1

0

1

2

temps (sec)C

om

ma

nd

e

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

x1

x2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-5

0

5

10

temps (sec)

Co

mm

an

de

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

temps (sec)

Po

sitio

n e

t vite

sse

Position

Vitesse

Avec

fonc

tion

satu

ratio

n Av

ec fo

nctio

n si

gne

Pas de réticence !

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