automatique, robotique et traitement de l’information cours de robotique...

2011 / 2012

Cours de Robotique Avancée

Cours 2

Génération de trajectoires

Ahmed CHEMORI

Laboratoire d’Informatique, de Robotique et de Microélectronique de Montpellier

LIRMM - UMR 5506

161, Rue Ada 34095, Montpellier Cedex 05, France

[email protected]

Université de CARTHAGE – Tunis

Ecole Supérieur de Technologie et d’Informatique de Tunis

Master 2 : Automatique, Robotique et Traitement de l’Information

Université de Carthage – ESTI – 2011/2012 2

Plan du cours

1. Introduction

2. Notions générales

3. Génération de trajectoires et boucles de commande

4. Génération de mouvements point à point

• Méthode de base

• Méthode à profil d’accélération bang-bang

• Méthode à profil de vitesse trapézoïdal

• Application à l’espace articulaire

• Application à l’espace cartésien

5. Génération de mouvement par interpolation

• Introduction

• Trajectoires interpolées par loi bang-bang

a) Principe de base

b) Trajectoires à temps minimal

c) Exemple

• Application à l’espace articulaire

• Application à l’espace cartésien

A. Chemori (Cours de Robotique avancée)

A. Chemori (Cours de Robotique avancée) Université de Carthage – ESTI – 2011/2012 3

Génération de trajectoires Introduction

Exemples d’application robotique

Découpe Laser Robot mobile

Montrent l’intérêt de génération de trajectoires


Notions générales

Définition : La génération de mouvement désigne la fonction de calcul des

consignes articulaires du robot destinées à réaliser une tâche interprétée sous

forme de positions successives de l’outil du robot

Trajectoire de référence

Cette fonction est primordiale au sein du contrôleur du robot, dans le sens où

elle fait la transition entre le niveau informatique d’interprétation/exécution de

la tâche et le niveau de commande proprement dit

Interprétation/exécution de la tâche

Génération de mouvement

Commande des actionneurs

Programme

de la tâche

Consignes aux

actionneurs



La fonction de génération de trajectoires peut s’exécuter dans l’espace

articulaire où elle consiste à déterminer une loi horaire pour chaque

articulation, ou bien dans l’espace cartésien (ou opérationnel) où elle vise à

déterminer directement une trajectoire de l’outil

Le fondement mathématique de la génération de trajectoires est le calcul

polynomial qui construit l’équation du mouvement à partir des contraintes

spatiales et temporelles

La génération de mouvement dans l’espace articulaire applique à chaque

articulation du robot une loi de mouvement dont les contraintes sont définies

dans l’espace articulaire

Dans le cas le plus fréquent où la durée du mouvement n’est pas imposée,

chaque articulation a une durée propre de mouvement déduite de la satisfaction

des contraintes cinématiques ou dynamiques

Il sera donc nécessaire dans une seconde étape de synchroniser l’ensemble des

articulations sur la plus lente (appelée articulation maître)

Notions générales Génération de trajectoires


Notions générales

Une autre approche consiste à générer les trajectoires dans l’espace

opérationnel, dans lequel on défini la position et l’orientation de l’outil du

robot

Cette génération de trajectoire se fait à partir de données cinématiques ou

dynamiques

Dans le cas le plus fréquent du choix des données purement cinématiques, les

données de cinématique de vitesse et d’accélérations linéaires sont

naturellement définies dans l’espace opérationnel

La synchronisation s’effectuera entre mouvements d’orientation et de position

cartésienne

Les deux approches sont complémentaires. En effet, la génération de

mouvement dans l’espace articulaire profite du faite que les contraintes

cinématiques (de vitesse et d’accélération) ou dynamique (de couple moteur) sont

définies au niveau des actionneurs (espace articulaire), mais la trajectoire de

l’outil est difficilement prévisible (transformation non linéaire entre les 2 espaces)



Notions générales

Les deux approches sont complémentaires :

En effet, la génération de mouvement dans l’espace articulaire profite du faite

que les contraintes cinématiques (de vitesse et d’accélération) ou dynamique

(de couple moteur) sont définies au niveau des actionneurs (espace articulaire)

mais la trajectoire de l’outil qui en résulte est difficilement prévisible

La génération de mouvement dans l’espace opérationnel permet de réaliser des

trajectoires données dans l’espace cartésien mais les limites des contraintes

cinématiques de vitesse et d’accélération qui lui sont associées sont plus

difficiles à estimer

Deux types de trajectoires peuvent être générées :

- Mouvement point à point

- Mouvement à trajectoire continue



Génération de trajectoires et boucle de commande Génération de trajectoires

+

-

En espace articulaire

Robot Contrôleur Générateur de

trajectoires

+

-

Robot Contrôleur Générateur de

trajectoires

En espace Cartésien

MGD

MGI

qf

qi

q(t)

Xf

Xi

qi

q(t) X(t)


Génération de mouvements point à point


Génération de mouvement point à point

De façon générale, la génération de mouvement construit la trajectoire de

l’outil du robot à partir de la donnée de contraintes spatiales sous forme de

points intermédiaires qui sont soit de véritables point de passage, soit des

points précisant les directions successives du mouvement grâce à la notion du

polygone directeur

La génération de mouvement peut être envisagée selon deux modes :

- Un mode point à point : qui impose l’arrêt du robot à chaque point intermédiaire

- Un mode à trajectoire continue : qui impose une continuité de la vitesse de

mouvement à chaque point intermédiaire

Le mode point à point est souvent associé à une génération de mouvement

dans l’espace articulaire (tâches en environnement libre telles que les tâches de

manipulation, de soudage point à point, etc)

Le mode à trajectoire continue est souvent associé à une génération de

mouvement dans l’espace opérationnel (tâches en environnement encombré

telle que les tâches de soudage à l’arc, de découpe, etc)


Méthode de base



Méthode de base

Ces méthodes définissent le mouvement d’un point de départ à un point

d’arrivée à l’aide d’une spline unique ou d’une composition de splines

élémentaires qui définit soit un profil de vitesse spécifique, soit un profil

d’accélération spécifique

La vitesse est nulle aux points de départ et d’arrivée

La spline de plus faible degré assurant la continuité de la vitesse est la spline

cubique d’équation :

Où T désigne la durée du mouvement

Les 4 coefficients a,b,c,d sont déterminés à partir des contraintes de définition de

mouvement




Méthode de base

Il résulte de ce calcul que la spline cubique à un maximum de vitesse et un

maximum d’accélération, en valeurs absolues, données par :

Par conséquent pour une même distance à parcourir, plus la durée T

est courte, plus sont élevées, au risque de ne plus être

réalisable

D’un point de vue pratique, il apparaît donc nécessaire de définir la durée du

mouvement à partir des contraintes de vitesse et d’accélération (en valeur

absolue) qu’on notera

Les contraintes de vitesses et d’accélération conduisent aux expressions

suivantes des durées minimales (notées respectivement )

Durée optimale du mouvement




Méthode de base

Exemple : Position & vitesse initiales

Position & vitesse finales

Avec la durée du mouvement

Trajectoires obtenues

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-5

0

5

Temps [s]

Posit

ion

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

20

40

Temps [s]

Vite

sse

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-200

0

200

Temps [s]

Acc

ele

rati

on




Méthode de base

Le mouvement point à point obtenu par spline cubique n’assure pas la

continuité de l’accélération, ceci peut être préjudiciable aux actionneurs pour

des tâches où ils sont fortement dynamiquement sollicités

Ce problème peut être résolu en imposant, en plus des 4 contraintes

précédentes, deux contraintes supplémentaires d’accélérations nulles aux

points limites (départ et arrivée)

Avec 6 contraintes la fonction spline devrait être de l’ordre 5 (spline quintique)

Exercice : Proposer une méthode permettant l’identification des six

coefficients de cette trajectoire qui satisfait les contraintes

de position, de vitesse et d’accélération.



* Génération de mouvement point à point

Méthode de base

Exemple :

Position, vitesse et accélérations initiales


Position, vitesse et accélérations finales


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-5

0

5

Temps [s]

Posit

ion

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

20

40

Temps [s]

Vite

sse

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-200

0

200

Temps [s]

Acc

ele

rati

on




Méthode de base

La génération de mouvement par spline (d’ordre 3 ou 5) fait intervenir une

seule spline

Il existe d’autres méthodes de génération de mouvement à l’aide d’une

composition de splines élémentaires définissant un profil de vitesse et

d’accélération, dont les avantages sont :

Permettent une génération de mouvements à l’aide d’une séquence de

splines de très faible degré (généralement au plus 4), ce qui simplifie les

calcules et facilite la maîtrise du mouvement lorsque la méthode est

élargie au cas du mouvement avec points intermédiaires

Offrent la possibilité, dans le cas de mouvement point à point, de faire

apparaître des phases à vitesses constantes (dites phases de vitesse de

croisière) très utiles dans la pratique, alors que dans la pratique les splines

uniques génèrent des extrema de vitesse




Méthode à profil d’accélération bang-bang

La composition de splines la plus simple est le profil d’accélération bang-bang

Cette méthode réalise le mouvement point à point selon une phase

d’accélération constante suivie d’une phase symétrique de freinage

La loi de mouvement est composée de 2 splines du second degré

Les coefficients sont déterminés à partir des contraintes

initiales, finales et de continuité en



0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.81

2

3

Temps [s]

Posit

ion

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80

5

Temps [s]

Vite

sse

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8-20

0

20

Temps [s]

Acc

ele

rati

on

Position et vitesse initiales


Position et vitesse finales



Exemple :






Si l’on souhaite avoir une phase de vitesse constante, on peut considérer le

profil trapézoïdal de vitesse qui modifie le profil d’accélération bang-bang en

lui intégrant une phase d’accélération nulle

La loi de mouvement sera donc composée de trois splines successivement

d’ordre 2, 1 et 2, dont on détermine les 8 coefficients à partir des 8 contraintes:

- de position et de vitesse, initiales et finales (4 contraintes),

- de continuité en position et vitesse entre les phases d’accélération initiale

et de vitesse de croisière (2 contraintes),

- de continuité en position et vitesse entre les phases de vitesse de croisière

et de freinage (2 contraintes).

Méthode à profil de vitesse trapézoïdal





Le générateur à profil trapézoïdal de vitesse est donné par le système

d’équations suivant :

Où désigne la durée totale du mouvement, et celle des phases d’accélération initiale et de freinage final

Lors du mouvement, la vitesse de croisière est la vitesse maximale

L’accélération maximale est donnée par



0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40

5

Temps [s]

Posit

ion

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40

5

10

Temps [s]

Vite

sse

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-20

0

20

Temps [s]

Acc

ele

rati

on




Avec la durée du mouvement, et

Exemple :



La position et la vitesse sont continues mais l’accélération est discontinue





Il est possible de construire un profil trapézoïdal de vitesse à accélération

continue en remplaçant les splines quadratique d’accélération initiale et de

freinage par des splines quadriques (de degré 4)

Aux 8 contraintes considérées pour la détermination du profil de vitesse

trapézoïdal, il faut rajouter les contraintes d’accélérations initiale et finale

nulles, ainsi que les contraintes de continuité d’accélération aux instants :

et , on aboutit au système suivant :

Avec les expressions suivantes de vitesse et d’accélération maximales :

Accélération max augmentée de 50%








Avec la durée du mouvement, et

Exemple :

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40

5

Temps [s]

Posit

ion

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40

5

10

Temps [s]

Vite

sse

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-50

0

50

Temps [s]

Acc

ele

rati

on

On souhaite avoir une accélération continue cette fois-ci




Application à l’espace articulaire

Dans l’espace articulaire, on considère un robot à n degré de liberté pour

lequel on désire générer un mouvement du point de départ au point

d’arrivée

Chaque axe j du robot étant contraint en vitesse par et en accélération

par

Pour cela on applique la méthode choisie à chaque axe du robot, puis on

recalcule l’ensemble des mouvement articulaires afin de les synchroniser

On distingue deux cas de figure :

Si la méthode est à spline unique, ou à composition de splines caractérisée par

un seul paramètre temporel, qui est la durée du mouvement (cas de la loi bang-

bang), et si l’on désigne par Tj la durée de chaque mouvement articulaire, on

recalcule tout les mouvement articulaires en leur imposant la durée commune





Si la méthode est à composition de splines et fait appel à plusieurs paramètres

temporels indépendants, la synchronisation doit être adaptée à chaque méthode

Dans le cas, par exemple, de la méthode à profil trapézoïdal de vitesse à

accélération discontinue, on peux choisir de garder, lors de la phase de

synchronisation, la même durée

Les nouvelles valeurs de vitesses et d’accélération maximales seront :





Exemple : cas d’un robot à 2 degrés de liberté

Articulation maître

Articulation non maître

0 0.5 1 1.5 20

2

4

6

0 0.5 1 1.5 20

2

4

6

0 0.5 1 1.5 20

2

4

6

Synchronisation




Application à l’espace Cartésien

Dans l’espace cartésien, on considère la position de l’effecteur du robot.

Les points de départ et d’arrivée seront notés et

Le mouvement correspondant est alors représenté par un polynôme vectoriel à

trois dimensions, dont on détermine les coefficients par les contraintes

vectorielles initiales, finales et de continuité

Par exemple la spline cubique de base s’applique sous la forme d’un polynôme

vectoriel définie à partir des contraintes suivantes :

On aboutit à l’expression suivante du mouvement cartésien :




Application à l’espace Cartésien

Les contraintes de vitesse et d’accélération dans l’espace cartésien s’expriment

sous forme du respect d’une norme de maximum de vitesse et d’une

norme de maximum d’accélération

Par conséquent, la recherche des valeurs optimales du mouvement satisfaisant

ces contraintes est plus difficile à mener que dans l’espace articulaire, car elle

porte sur les normes du vecteur de vitesse et du vecteur

accélération



Génération de mouvements par

interpolation


Génération de trajectoires Introduction

On considère un mouvement qui consiste à passer par points :

: désigne le point de départ à vitesse nulle,

: celui d’arrivée à vitesse nulle,

: sont les points intermédiaires (points de passage),

à chaque point on associe une vitesse et l’instant de passage en

l’interpolation entre deux points successifs et assurant la continuité

de vitesse doit vérifier les contraintes suivantes :

Ces contraintes peuvent être satisfaites par une spline cubique ou par une lois

bang-bang


Dans le cas d’une lois bang-bang, l’équation obtenue est la suivante :

avec

Il faut noter (contrairement au cas de point à point) que les mêmes données de

position et de vitesse et peuvent conduire, pour des

choix différents de la durée de mouvement , à des évolutions

d’accélérations différentes.

Ceci est illustré au travers l’exemple ci-dessous.

Introduction Génération de trajectoires


Exemple : Interpolation par une lois bang-bang (le deuxième cas à une durée

double de celle du premier)


La durée du mouvement en b) est double de celle en a)


Le mouvement complet d’interpolation du point de départ au point d’arrivée et

alors simplement construit par les m splines interpolant les couples de points

et partageant les mêmes contraintes de vitesses

et éventuellement d’accélération.

Il est nécessaire, en pratique, de déterminer les durées de mouvements en

fonctions des contraintes cinématiques de vitesses et d’accélérations

maximales

Dans le cas de mouvements interpolés, cela revient à déterminer la durée entre

chaque couple de points successifs :

satisfaisant les contraintes cinématiques

Ensuite les instants de passage sont calculé par :

La détermination des durées optimales deviendra beaucoup plus difficile à

cause de la liberté de choix des vitesses de passage qui ne sont plus imposées

nulles.



Trajectoires interpolées par loi bang-bang Génération de trajectoires

Cette méthode est applicable en ligne sur un robot industriel

Elle consiste à calculer la spline pendant que la spline est réalisée

Le caractère en-ligne de la méthode est fondé sur la détermination analytique

de la durée optimisant le mouvement de à sous les

contraintes et .

Le mouvement est considéré soit positif, c.à.d :

Ou bien négatif, c.à.d :

Tout changement de direction du mouvement se fait en imposant un point

de passage à vitesse nulle

Trajectoires interpolés par loi bang-bang : Principe de base



Dans le cas de la loi bang-bang on peut distinguer deux profils correspondant à

: Valeur du premier palier d’accélération correspondant à l’intervalle

: Valeur du deuxième palier d’accélération correspondant à l’intervalle

L’évolution de vitesse est illustrée dans le cas d’un mouvement positif



Profil 1 Profil 2

Contraintes de vitesse Contraintes de vitesse

Mo

uve

men

t à

tem

ps

min

imal

Contraintes d’accélération Contraintes d’accélération

Mouvement positif : doit privilégier le profil 1 Le profil 2 conduira à un allongement de la durée du mouvement (voir précédemment)

Mouvement négatif : doit privilégier le profil 2 car il est le plus rapide

Q: A-t on toujours une solution optimale ? Qui satisfait les contraintes

Trajectoires à temps minimal



R: Le profil favorable n’est pas toujours réalisable (démonstration avec un exemple)

On considère le cas du passage du profil 1 au profil 2 (ou inversement)

correspond à une durée limite (déduite de l’équation )

Or, si la durée du mouvement d’interpolation, imposée par l’utilisateur ou par

la satisfaction des contraintes (de vitesse et d’accélération) est supérieure à

cette limite

Le profil favorable n’est pas réalisable le profil le moins favorable (profil lent) s’impose



Exemple On considère une variable rotoïde qui doit interpoler les 10 points suivants :

Positions (en Deg) :

Vitesses associées (en Deg/s) :

On impose les contraintes suivantes sur les vitesses et accélérations :

Trajectoires obtenues :

Remarque :

Le mouvement entre les point 3 et 4 se

fait à vitesse constante grâce au choix

de vitesse de passage égale à la vitesse

maximale


Application à l’espace articulaire Génération de trajectoires

Application à l’ espace articulaire

L’application à l’espace articulaire se fait de façon similaire au cas du

mouvement point à point

Cela revient à :

o calculer les trajectoires entre chaque deux points successifs

o Synchroniser chaque mouvement interpolé entre deux points successif


Application à l’ espace cartésien

Application à l’espace cartésien Génération de trajectoires

On considère la génération d’un mouvement cartésien joignant :

Un point de départ Un point d’arrivée

Position

Vitesse

Contraintes d’accélération

Contraintes de vitesse

Seront imposées en norme

Les notions de mouvements positif et négatif n’ont pas de sens dans l’espace

cartésien.

La détermination du mouvement optimal interpolant les couples et

va directement se faire avec les contraintes en norme :



Dans l’espace cartésien, la loi d’interpolation bang-bang s’écrit :

Dans ce cas on va considérer l’analyse des extrema des normes de vitesse

et d’accélération en fonction de la durée du

mouvement

Evolution des normes de vitesse a) et d’accélération b) pour une loi bang-bang en espace cartésien



Si la vitesse en norme n’est pas maximale en ou

La contrainte de vitesse est vérifiée car on suppose que :

La norme de la vitesse est maximale en (voir figure précédente)

Par ailleurs le profil de la norme d’accélération possède deux paliers

d’accélération constantes et qui prennent les valeurs suivantes :



Afin de trouver les durées optimales il faut satisfaire les contraintes de

vitesses et d’accélération

La contrainte de vitesse conduit à l’équation

suivante de 2nd degré en :

Qui possède une solution réelle positive (comme l’illustre la figure suivante)

Evolution type de la norme de vitesse en fonction de



Evolution type des normes

d’accélérations A1 et A2 en

fonction de

La satisfaction optimale des contraintes d’accélération et

conduit aux équations suivantes (du 4ème degré) :

La présence des équations du 4ème degré (à cause du traitement du problème

par la norme) fait perdre le caractère analytique de la résolution du problème

Solution : résoudre numériquement ces équations

La solution finale est obtenue en comparant la solution satisfaisant

la contrainte de vitesse avec les racines réelles positives des deux équations du

4ème degré précédentes :

automatique, robotique et traitement de l’information cours de robotique...

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