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Université Montpellier 2
Faculté des sciences
Département EEA
Master 2 : Robotique
2014 / 2015
Cours de Robotique 2 (GMEE 322)
Cours 3
Commande robuste par mode glissant
A. Chemori
LIRMM - UMR 5506
161, Rue Ada 34095, Montpellier Cedex 05, France
FdS, Dpt EEA – Master 2 Robotique – 2014/2015 2
Plan du cours
1. Introduction
2. Exemple introductif
3. Idée de base
4. Dynamique du système à commander
5. Dynamique de glissement
6. Dynamique de convergence vers la surface de glissement
7. La loi de commande
o La commande équivalente
o La commande discontinue
o Loi de commande globale
8. Retour à l’exemple (application de la commande discontinue)
9. Phénomène de réticence (chattering)
10. Retour à l’exemple (application de la commande globale)
11. Quelle solution pour le problème de réticence ?
A. Chemori (Cours de Robotique 2 : GMEE 322)
A. Chemori (Cours de Robotique 2 : GMEE 322) FdS, Dpt EEA – Master 2 Robotique – 2014/2015 3
Commande par mode glissant Introduction
La commande par mode glissant est relativement simple à implémenter
(par rapport à d’autres approches de commande)
Elle fait partie des commandes dites à structure variable
Elle s’applique à la fois aux systèmes linéaires et aux systèmes non linéaires
Robuste par rapport aux perturbations externes
Robuste aussi par rapport aux incertitudes/variations des paramètres, etc
Différentes applications : Régulation, poursuite de trajectoires, poursuite de
modèle, observateurs, etc
La commande par mode glissant est une suite logique de la commande discontinue
(dans sa forme la plus facile : commande bang-bang)
Introduction
Début des années 60 besoin de robustesse en aéronautique
Découverte même avant l’utilisation du terme robustesse : Les
ingénieurs automaticiens cherchaient des lois de commande
insensibles aux variations dans la système à commander
A. Chemori (Cours de Robotique 2 : GMEE 322) FdS, Dpt EEA – Master 2 Robotique – 2014/2015 4
Commande par mode glissant Exemple introductif
Exemple Introductif
On considère le système mécanique suivant (masse-ressort-amortisseur) :
La dynamique de ce système s’écrit :
: La masse
: la position de la masse
: Coefficient de raideur du ressort
: Coefficient d’amortissement
: Force appliquée sur la masse
On souhaite faire converger vers avec la commande
Pour cela on considère la loi de commande suivante :
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Commande par mode glissant Exemple introductif
On remplace cette loi de commande dans la dynamique système, on obtient :
Si l’on considère :
La dynamique en boucle-fermée ci-dessus peut s’écrire :
Si on considère les états (position) et (vitesse)
Cette dynamique peut être mis sous forme d’équation d’état suivante :
C’est un système autonome dont le comportement dépend de la condition
initiale sur les états et des paramètres .
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Commande par mode glissant Exemple introductif
Simulation du comportement en boucle-fermée du système résultant pour :
0 10 20 30 40 50 60-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
temps (sec)
Po
siti
on
et vite
sse
Position
Vitesse
Pour ce choix de paramètres
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Commande par mode glissant Exemple introductif
Si on trace le plan de phase du système en boucle-fermée on obtient :
La commande proposée amène le système au point souhaité MAIS la
convergence est très lente !
-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
x1
x2
Condition initiale
Point d’équilibre
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Commande par mode glissant Idée de base
Idée de base
L’idée de base de la commande consiste en deux étapes :
o Amener le système sur un hyperplan de commutation stable (surface de
glissement)
o Converger sur la surface de glissement vers le point d’équilibre désiré
1
2
1
2
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Commande par mode glissant Système à commander
On considère le cas générale d’un système non linéaire dont la dynamique
s’écrit :
Avec deux fonctions non linéaires, avec
Dynamique du système à commander
L’objectif de la commande est la stabilisation du système autour du point
d’équilibre :
Dans la suite l’approche de commande sera détaillée en se basant sur ce
modèle non linéaire
Néanmoins, elle reste valide pour les systèmes linéaires dont la dynamique
s’écrit :
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Commande par mode glissant Dynamique de glissement
La dynamique de est stable pour :
Soit la variété :
La dynamique de est stable si
La variété est une surface appelée ’surface de commutation’ ou ’surface de
glissement’
Donc :
Dynamique de glissement
Sur la surface de glissement définie par est stable, donc
converge vers 0, le déplacement est gouverné par
La vitesse de convergence dépend de la valeur de
Mais sur cette surface donc converge aussi vers 0
L’évolution sur la surface de glissement est indépendante de et
Si au départ, le point initial n’est pas sur la surface de glissement, il faudra
amener le système sur cette surface
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Commande par mode glissant Dynamique de convergence
Dynamique de convergence vers la surface de glissement
Pour évaluer la stabilité, on considère la fonction de Lyapunov suivante :
Stabilité asymptotique si : est définie positive
est définie négative
On a :
Étant donné que :
donc est définie positive
Calculons maintenant sa première dérivée :
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Commande par mode glissant Loi de commande
La lois de commande
est définie négative si :
est :
La commande équivalente :
Soit :
La commande équivalente est définie par :
est définie négative si :
Pour quel choix de ceci est vérifié ?
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Commande par mode glissant Loi de commande
Cela est vérifié pour le choix suivant de :
La commande globale :
La commande proposée comporte deux termes : le premier correspond à une
commande continue et le deuxième correspond à une commande discontinue.
Commande équivalente (continue)
Commande discontinue
La commande discontinue :
La commande discontinue et le 2ème terme de l’expression de u, c.à.d :
Pour ce choix on a :
est définie négative car :
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Commande par mode glissant Retour à l’exemple
Retour à l’exemple
On souhaite faire converger vers avec la commande
On rappelle la dynamique du système :
La loi de commande par mode glissant s’écrira donc :
Avec :
et
Si on considère le choix suivant des paramètres de la commande :
donc :
Qui peut s’écrire sous la forme :
avec :
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Commande par mode glissant
Si on considère, dans un premier lieu, la commande discontinue uniquement :
Évolution dans le plan de phase du système en B.F
-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
x1
x 2
Condition initiale
Point d’équilibre
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1.4
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
x1
x2
Condition initiale
Point d’équilibre
Commande par mode glissant (discontinue) Commande anticipative précédente (‘Feedforward’)
Retour à l’exemple
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Commande par mode glissant
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
temps (sec)
Po
sitio
n e
t vite
sse
Position
Vitesse
Évolution des états du système en B.F
Commande par mode glissant (discontinue)
0 10 20 30 40 50 60-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
temps (sec)
Po
siti
on
et vite
sse
Position
Vitesse
Retour à l’exemple
Commande anticipative précédente (‘Feedforward’)
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Commande par mode glissant
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
temps (sec)
Co
mm
an
de
2 2.0005 2.001 2.0015 2.002 2.0025 2.003 2.0035 2.004 2.0045 2.005
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
temps (sec)
Co
mm
an
de
Évolution de l’entrée de commande
Autour de 2 sec
Retour à l’exemple
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Commande par mode glissant Phénomène de réticence
2 2.0005 2.001 2.0015 2.002 2.0025 2.003 2.0035 2.004 2.0045 2.005
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
temps (sec)
Co
mm
an
de
Phénomène de réticence (‘Chattering’ en anglais)
Si on fait un zoom sur la commande autour de on obtient :
Un mode glissant idéal n’existe pas étant donné qu’il nécessite une commande qui
commute avec une fréquence infinie
Dans un cas réel la commutation se fait pendant un temps de commutation + la
constante de temps des actionneurs La discontinuité dans le commande produit un
comportement dynamique particulier (cf. figure ci-dessus) autours de la surface de
glissement, appelé phénomène de réticence (‘Chattering’ en anglais)
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Commande par mode glissant
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
x1
x2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-5
0
5
10
temps (sec)
Co
mm
an
de
Même avec la commande globale il y a toujours le
phénomène de réticence
C’est un des problèmes de la commande par mode
glissant
Peut endommager les actionneurs !
Quelle solution peut on envisager ?
Retour à l’exemple
Application de la commande globale
Retour à l’exemple
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Commande par mode glissant Solution du problème de réticence
Quelle solution pour le problème de réticence ?
Afin d’éviter le problème de réticence différentes solutions peuvent être envisagées :
-1
+1
-1
+1
-1
+1
Sigmoïde
Solution 3 : Envisager la commande par mode glissant d’ordre supérieur
Solution 2 : remplacer la fonction Sign
-1
+1
Solution 1 : remplacer la fonction Sign
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Commande par mode glissant Solution du problème de réticence
Exemple précédent : Application de la solution utilisation de la fonction de saturation
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
x1
x2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
temps (sec)
Po
sitio
n e
t vite
sse
Position
Vitesse
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-4
-3
-2
-1
0
1
2
temps (sec)C
om
ma
nd
e
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
x1
x2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-5
0
5
10
temps (sec)
Co
mm
an
de
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
temps (sec)
Po
sitio
n e
t vite
sse
Position
Vitesse
Avec
fonc
tion
satu
ratio
n Av
ec fo
nctio
n si
gne
Pas de réticence !
Quelle solution pour le problème de réticence ?