corrigé-td11

Master 1 IF, ENS de Lyon valuation de performance 14 dcembre 2011

TD 11 : Rseaux de Ptri

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Dfinition (Rseau de Ptri)Un rseau de Ptri est la donne dun graphe orient biparti (P,T , E) et dune fonction : P N.

Les lments de P sont appels les places et ceux de T les transitions. On note t et t respectivement les voisinages ngatifs etpositifs dune transition. On dfinit de manire analogue p et p. Lorsque chaque place a au plus une transition antcdent et unetransition successeur, le rseau est un graphe dvnements et on peut noter p et p les uniques transitions prcdant et suivant laplace p si elles existent. La quantit (p) est appel marquage (initial) de p. Elle dnote le nombre de jetons prsents dans la place p.On reprsente graphiquement les places par des cercles contenant des jetons et les transitions par des rectangles.

Dfinition (volution dun rseau de Ptri)Un rseau de Ptri volue par dplacement des jetons entre les places selon les transitions. Plus prcisment, une transition t estfranchissable si p t, (p) > 1 et on effectue une telle transition (on dit quon tire la transition) en retirant un jeton de toutes lesplaces de t et ajoutant un jeton dans toutes les places de t.

Exercice 1Donner lvolution des rseaux de Ptri suivants. Quelles proprits les distinguent ?

Exercice 2Construire des rseaux de Ptri qui effectuent les oprations suivantes. Dans la mesure du possible, essayer de se restreindre auxgraphes dvnements.

1. choix non dterministe

2. addition du nombre de jetons situs dans deux places

3. soustraction dune constante

4. multiplication par une constante

5. division par une constante

6. un compteur binaire

7. le schma dattente dune file G/D/1 et dune file G/D/C

8. un rseau de Jackson ferm cyclique (lorsquon quitte on file, on entre dans la suivante)

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Exercice 3 (Rseaux de Ptri borns)Un marquage est dit accessible sil existe une volution du rseau de Ptri vers ce marquage. Un rseau de Ptri est dit M-born si lenombre de jetons dans chaque place ne peut dpasser M.

1. Comment caractriser les rseaux M-borns en terme de marquages accessibles ?

2. En dduire un algorithme pour dterminer si un rseau de Ptri est M-born. Quel est sa complexit ?

3. Dterminer une transformation entre rseaux de Ptri qui force une place dun rseau gnral tre M-borne. Justifier lacorrection de la transformation.

Exercice 4 (Rcurrence (max,plus)-linaire et graphe dvnements temporis)On considre une rcurrence (max,plus)-linaire matricielle dont la forme gnrale est :

Xn = A0 Xn A1 Xn1 AK XnKo les Xi sont des vecteurs et les A j sont des matrices sur le semi-anneau (max,plus).

1. Par analogie avec le cas des rcurrences n-linaires usuelles, exprimer cette rcurrence sous forme dune chane de Bellman,i.e. dune rcurrence un pas. On peut voir les chanes de Bellman comme lanalogue des chanes de Markov pour les semi-anneaux. Quelle hypothse faut-il faire sur A0 ?

2. Rappeler lquation (max,plus) qui permet de calculer le dateur d(n) qui donne la date du ne tirage de la transition . Demme, donner lquation (min, plus) qui exprime le compteur n(t) donnant le nombre de tirages de la transition danslintervalle [0, t].

3. Rciproquement, comment associer un graphe dvnements temporis une rcurrence (max,plus)-linaire ? On rappellequun graphe dvnements temporis est un graphe dvnements muni dune fonction de retard : P R+. Lapparitiondun jeton dans la place p lorsquon tire la transition p est alors retarde de (p).

4. Les quations prcdentes dfinissent une rcurrence (max,plus) linaire matricielle pour le dateur et (min, plus) pour lecompteur. Le comportement asymptotique dune chane de Bellman est donn par le rsultat suivant :

Il existe R+, d N et N N tels que pour tout n > N, A(n+d) = d An.Comment ce rsultat se traduit-il concrtement pour le graphe dvnements temporis dont le dateur est dcrit par la ma-trice A ?

5. En examinant les transitions limitantes du graphe dvnements, donner la signification des paramtres , d et N dans lersultat de la question prcdente.

Exercice 5 (Accessibilit)1. Dans le cas gnral, le problme de laccessibilit est EXPSPACE-difficile. Donner un semi-algorithme pour le rsoudre.

2. Montrer que si lon retire la contrainte de positivit du marquage, alors on peut rsoudre le problme de laccessibilit en tempspolynomial avec des outils dalgbre linaire. En dduire une mthode de preuve dinaccessibilit.

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SolutionsI Exercice 1

Leurs diffrences sont : la prsence ou labsence dinterbloquages (lexistence dune excution infinie) lexistence ou non de concurrence (plusieurs transitions qui sexcluent mutuellement) lexplosion du nombre de jetons

I Exercice 2

1.

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2.

n

m

3.

n

n-1Il suffit de savoir faire la dcrmentation (ci-dessus) puisditrer.

4.

n K n.... ....K fois

5.

n

K fois

....

....

....

Si on renverse simplement les arcs de la multiplication, on ob-tient un rseau qui peut effectuer la division mais pas sur toutesses excutions. On utilise donc un jeton circulant pour nau-toriser quune unique transition chaque tape.

6. ....

n

n/2

On utilise une succession de division par deux. Le jeton circu-lant devient alors un cas particulier de la mthode de lexercice3 pour borner une place.

7.On ne reprsente ici que deux contraintes : une unique personne par serveur les arrives sont exognes do lutilisation dune transition

sans prdcesseur (transition de contrle) qui peut donc tretire tout instant

8. La sortie dune file est lentre de la suivante donc il ny a pasbesoin de transition de contrle.

I Exercice 31. Les rseaux de Ptri borns nont quun nombre fini de marquages accessibles, born par (M + 1)|P|.2. Il suffit de calculer lensemble des configurations accessibles. Si cet ensemble est de cardinal trop grand ou quune coordonne

dun marquage accessible dpasse la borne, alors il nest pas M-born. En fait, la seconde condition se produira toujours avantla premire (ou au pire au mme moment), de sorte quelle est suffisante pour dfinir lalgorithme.

3. Pour chaque place p, on ajoute une contre-place p telle que t p t p et t p t p, i.e. on inversele sens dinteraction des transitions voisines de p. Le marquage initial de p vaut 0(p) = M 0(p). On a alors linvariant(p) + (p) = M et la condition de positivit dun marquage assure la M-bornitude.

I Exercice 41. La mthode usuelle de rsolution des systmes n-linaires consiste isoler x :

(1 a0)xn = a1xn1 + aK xnK xn = a1xn1 + aK xnK

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avec ai = (1 a0)1ai. Dans ce cas, on reprsente les xi par un vecteur X = (xn, . . . , xnK+1). Lquation se reprsente ma-triciellement par Xn+1 = AXn avec A la matrice compagnon des ai :

a1 . . . . . . aK1 0

. . .. . .

1 0

videmment, cela stend sans difficult au cas o les ai sont des matrices et les xi des vecteurs.Dans le cas des semi-anneaux, il faut veiller ne pas faire de soustraction. Ainsi, (I A0)1 scrit plutt A0 =

k>0 Ak0, sous

rserve que cela aie un sens. Il faut par exemple que A0 soit triangulaire stricte, donc nilpotente, ce qui assure la convergencede la srie. Au final, on obtient une matrice compagnon (pour la multiplication gauche) dont les coefficients intressants sontles Ai = AiA0 :

A1 0 ...

. . .... 0AK

2. Dans les deux cas, cest la recherche du jeton limitant qui permet de trouver les quations.

dp() = maxp p{dp (n (p)) + (p)} n(t) = (p) + minp p{np (t (p))}

3. Loriginalit de cette traduction rside dans le fait que les tats de la rcurrence sont reprsents par les transitions du graphedvnements et les transitions de la rcurrence (i.e. les coefficients diffrents de ) par les places. coordonne k { transitions tk coefficient (Am)i j , { place pmi j un arc ti pmi j et un arc pmi j t j le marquage initial (pmi j) = m le retard (pmi j) = (Am)i j (sil est positif ou nul)

4. Ce rsultat signifie que les tirages dune mme transition suivent un motif qui se rpte selon une progression arithmtique.5. On suppose que le graphe dvnements est fortement connexe, sinon de la mme manire que pour les chanes de Markov,

on peut le dcomposer en composante asymptotiquement indpendantes. Le rgime permanent fait transiter des jetons defaon priodique car le graphe est fortement connexe et car les transitions sont tires ds quelles sont disponibles. Le rsultatindique que hors dun rgime transitoire (do le N), laugmentation du temps sur une priode d vaut d avec laugmentationmoyenne maximale.On veut donc dterminer la priode d du graphe et laugmentation moyenne du temps pendant cette priode. Les cycles quiralentissent lvolution du systme sont ceux de poids moyen maximum car cest ceux qui retardent le tirage dune transition(cf question 2). On note ce poids moyen maximum.Pour calculer la priode, on considre le graphe critique (i.e. le graphe induit par les cycle de poids moyen maximum), car cesont les cycles limitants. Pour chaque composante connexe dans ce graphe critique, la priode est le pgcd des longueurs de sescycles. En effet, les temps de retour sont de la forme l1N + + lkN o les li sont les longueurs des cycles. Si lon avait Z laplace de N, ce serait directement pgcd(l1, . . . , lk)Z. Le fait davoir N, impose un rgime transitoire : A + N + pgcd(l1, . . . , lk)No les valeurs avant N forment un ensemble fini A, mais le comportement asymptotique reste nanmoins le mme. Pour avoirla priode sur tout le graphe critique, il suffit de prendre le ppcm des priodes de chaque composante.Le paramtre N est le max des N de chaque composante critique et permet dignorer le rgime transitoire.

I Exercice 51. On calcule le graphe des marquages accessibles (en largeur, pas en profondeur) et on y recherche le marquage considr.2. Soit M la matrice de taille |P| |T | dont le terme mi, j est +1 si t j pi et 1 si t j pi (et 0 sinon ou si t j pi pi ). Dans ce

cadre, tirer la transition t j correspond ajouter Me j au vecteur = ((p1), . . . , (p|P|)). Dterminer si lon peut passer de 1 2 revient rsoudre le systme linaire MX = 2 1, ce qui peut se faire en temps cubique.On peut remarquer que la matrice M ne caractrise pas le rseau de Ptri, au contraire des matrices binaires de pr- et post-incidence M et M+, de taille |P| |T | et qui contiennent un 1 lorsque t j pi (resp. t j pi ). On a par ailleurs, M = M+ M.

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