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MP CPGE Lissane Eddine -Layoune

Corrig du devoir surveill n : 01Rdig par :Mr Abderrazak Chakor DS du 16/10/2014

1 Partie I

1. Soientu, v c(E, F)et K||

u||

= 0 =

x

E\{

0}

, u(x)||x|| = 0 = xE\{0}, u(x) = 0 =u = 0 ||.u||=|| ||u|| clairPour xE\{0} tel que||x|| 1 on a||(u + v)(x)|| ||u(x)|| + ||v(x)|| ||u|| + ||v||donc sup

||x||1

(||(u + v)(x)||=||u + v|| ||u|| + ||v||dou ||u|| dfinie une norme sur c(E, F)

2. Par croissance deAR sup(A)on a sup

x=0( ||u(x)||||x|| ) sup

||x||=1

(||u(x)|| sup0

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(b) La suite(un)n est valeurs dans c(E, F)en effetnN, xE , ||un(x)|| ||||||yn|| k

||x||

etn, mN, xE, ||un(x) um(x)|| |(x)| ||yn ym|| ||||||yn ym||||x||doncn, m N, ||un um|| ||||||yn ym||Comme(yn)une suite de Caucy de F donc(un)une suite de Caucy de c(E, F)qui est un Banach donc converge

versu c(E, F)(c) Pourx = a on a un(a) =(a)yn= yn donc (yn)n converge vers u(a)

On conclut queFest un Banach .La rciproque est alors tablie

2 Normes subordonnes de quelques applications linaires continues

1. Pouru c(E, F)lapplication : Bf(0, 1) Rx ||u(x)||

est continue etBf(0, 1)est un compact deEcar ferme

borne et dim(E)< +donc est borne et atteind ses bornes en particulierx0Bf(0, 1)Etel que (x0) = sup()cest direx0Etel que||u(x0)||=||u||

2. Soit n N.lapplication tr: Mn(K) KA tr(A)

est linaire donc continue car dim(Mn(K))< +

PourA = (ai,j)

Mn(K) et N(A) = max

1i,jn|ai,j

|, soit

||tr

|| la norme subordonne de tr

|tr(A)| ni=1

|ai,j| nN(A)donc||tr||n et |tr(In)|N(In)

=n

1 =n donc||tr||n do||tr|| = n

PourA = (ai,j)Mn(K) et N1(A) = 1i,jn

|ai,j|, soit||tr||1 la norme subordonne de tr

|tr(A)| ni=1

|ai,j| N1(A) donc||tr||11 et|tr(In)|

N1(In) =

n

n= 1 donc||tr||11 do||tr||1= 1

PourA = (ai,j)Mn(K) et N2(A) =

1i,jn|ai,j|2, soit||tr||2 la norme subordonne de tr

|tr(A)|=|tr(tInA| P S=| < In, A >|Cauchy

N2(In)N2(A) =

nN2(A)donc||tr||2

n

et|tr(In)|

N2(In) =

n

n=

ndonc

||tr

||2

n .do||

tr||2

=

n

3. Soient C tel que 0

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(a) w est une forme linaire de C([0, 2],R)

PourfC([0, 2],R)|w(f)|

10

| f(t)|dt + 21

| f(t)|dt 20

| f(t)|dt2 ||f||doncw est continue et||w|| 2 (1)

Soit la suite (fn)n1 deC([0, 2],R) dfinie par x

1 si x[0, 1 1n

]

n(x 1) si x[1 1n

, 1 + 1n

]

1 si x[1 + 1n

, 2]

On a

n

1,||

fn||

= 1 et|

w(fn)|= 2.1

2.(1

1

n) + 1 = 2

1

n n+2 (2)

(1) et (2) donnent||w||= 2 par caraterisation de la borne suprieure(b) Supposons que||w|| est atteinte en un fC([0, 2],R) tel que||f|| = 1

|w(f)|=| 10

f(t)dt 21

f(t)dt| 20

| f(t)|dt= 2

donc| 10

f(t)dt 21

f(t)dt|= 2

donc

10

( 1 f(t))dt + 21

( 1 + f(t))dt= 0 ou

10

( 1 + f(t))dt +

21

( 1 f(t))dt= 0comme les integrales engages sont pour des fonctions continues positives alors les fonctions engages sont identi-

quement nulles

doncf :t

1 si t[0, 1]

1si t[1, 2]ou f :t

1 si t[0, 1]

1 si t[1, 2]donc1 =f(1) = 1 absurdeon conclut que||w|| nest pas atteinte

(c) SiBf(0, 1)de C([0, 2],R)est compacte alors||w|| est atteintedoncBf(0, 1)deC([0, 2],R) nest pas compacte

3 Normes matricielles

Soient n N

, AMn(K)et||.|| une norme sur Mn,1(K)On appelle la norme subordonne de A celle de lendomorphisme f de Mn,1(K) qui lui est canoniquement associ savoir

f : Mn,1(K) Mn,1(K)X AX

et on la note||A||

1. ||A||= supX=0

||f(X)||||X|| = supX=0

||AX||||X||

2. Si Mn,1(K) est muni de norme||.|| ;A= (ai,j)et Xtel que tX=

x1, x2, . . . , xn

||AX|| = max1in

|(AX)i| = max1in

|nj=1

ai,jxj|

max1in

nj=1

|ai,j|

||X||

donc||A|| max1in nj=1|ai,j| ;

i0[[1, n]] tel que max1in

nj=1

|ai,j|=nj=1

|ai0,j|

Sinj=1

|ai0,j |= 0 alors A = 0et||A||= 0

Sinon ,pour Xtel que tX0=

x1, x2, . . . , xn

tel que xj =

0si ai0,j = 0

ai0,j|ai0,j |

si ai0,j= 0on a||X0|| = 1

|(AX0)i0 |=|n

j=1|ai0,j ||

|(AX0)i|=| nj=1

ai0,jxj | nj=1

|ai0,j ||xj | nj=1

|ai0,j|=|(AX0)i0 |

donc||AX0|| = max1in

|(AX0)i|=|(AX0)i0 |=nj=1

|ai0,j |=

max1in

nj=1

|ai,j|

||X0||

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donc||A|| max1in

nj=1

|ai,j|

;

dou||A|| = max1in

nj=1

|ai,j|

;

3. Si Mn,1(K) est muni de norme||.||1;A= (ai,j)et Xtel que tX=

x1, x2, . . . , xn

||AX||1=ni=1

|(AX)i|=ni=1

|nj=1

ai,jxj | ni=1

nj=1

|ai,j||xj | nj=1

|xj | ni=1

|ai,j|

max1jn

ni=1

|ai,j|

||X||1

donc

||A

|| max

1jn n

i=1|ai,j| ;j0[[1, n]] tel que max

1jn

ni=1

|ai,j|=ni=1

|ai,j0 |PourX0 tel que

tX0=

x1, x2, . . . , xn

etj, xj =j,j0||AX0||1=

ni=1

|(AX0)i|=ni=1

|nj=1

ai,jxj |=ni=1

|ai,j0 |= max1jn

ni=1

|ai,j|= max1jn

ni=1

|ai,j| ||X||1

donc||A|| max1jn

ni=1

|ai,j|

;

do||A||= max1jn

ni=1

|ai,j|

4. Si Mn,1(K) est muni de norme||.||2;A= (ai,j)et Xtel que tX= x1, x2, . . . , xn ||AX||22= n

i=1|(AX)i|2 = n

i=1| nj=1

ai,jxj |2 ni=1

nj=1

|ai,j|2 nj=1

|xj |2

donc||AX||2 n

i=1

nj=1

|ai,j|2

||X||2 donc||A|| n

i=1

nj=1

|ai,j|2

;

Mais||A|| = n

i=1

nj=1

|ai,j|2

; en effet pour A = In et n2 on trouve et||A||= 1et n

i=1

nj=1

|ai,j|2

=

n >1 ;

5.XMn,1(K), ||ABX|| ||A||||BX|| ||A||||B||||X|| donc||AB|| ||A||||B||Si n2 en choisissant A, BMn(K)\{0} tel que I m(B)K er(A)ce qui est possible ;on a AB = 0 donc

||AB

||= 0 et

||A

||||B

||> 0

Donc on ne pas trouver de norme sur Mn(K) tel queA, BMn(K), ||AB||=||A||||B||Si n = 1 ,||.||=|.| rpond la question

4 Formes linaire continues

Soit u une forme linaire non nulle de E

On veut montrer que : u est continueker(u) est ferm dans E1. Si u est continue alors u1({0}) =ker(u) est ferm dans E car{0} est un ferm de K2. Reciproquement on suppose que ker(u)est ferm dans E.

(a) u

= 0 donc

e

Etel que u(e)

= 0 .On posant a =

e

u(e)

on a u(a) = 1

PourxE; u(x) =u(x)u(a) = u(u(x).a)doncu(x u(x).a) = 0 doncx u(x).aker(u)donc xK.a + ker(u)doncE K.a + ker(u)Edo K.a + ker(u) = E= K.a ker(u)

(b) xE, xu1({1})u(x) = 1 =u(a)u(x a) = 0xa + u1({0})doncu1({1}) =a + u1({0})u1({0}) est ferm dans Edonc ,par caracterisation squentielle des ferms ,u1({1}) est ferm dans Edonc soncomplmentaire dansE\u1({1})est un ouvert non vide et contient0donc contient une boule ouverteB(0, r), r >0doncr >0, B(0, r) u1({1}) =

(c) SoitxEtel que|u(x)| 1u

x

u(x)= 1donc

x

u(x)

r donc||x|| ||x||

|u(x)

|

r donc x /B(0, r)

doxB(0, r); |u(x)|< 1On axE\{0}

rx2 ||x||

= r2 < r donc|u(

rx

2 ||x||

)|< 1

doncxE , ||u(x)|| 2r||x|| donc u est continue et||u|| 2

r

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3. On suppose queK = R

Soit Hun hyperplan ferm de E .Montrons queE\Hnest pas connexe par arcs.On a H=ker(u) o u est une forme linaire non nulle et continue de E

Soientx, yE\Htel que u(x)< 0 etu(y)> 0(existent bien) .Sil existe une application continuesur [0, 1] valeurs dans E\Htel que (0) =x et (1) =yalors l application continue u sur [0, 1] valeurs dans R est tel que u (0)< 0 et u (1)> 0Donc daprs le TVIt[0, 1]tel que u (t) = 0 donc (t)Hce qui contredit le fait que sur [0, 1] valeurs dansE\HdoE

\Hnest pas connexe par arcs.

4. Soie v est une forme linaire non nulle et continue de E; H=ker(u)etaE\H

(a)hH, ||v(a h)|| ||f||||a h|| donchH,||v(a)||||f|| ||a h|| par suite||v(a)||

||f|| d(a, H)(b) Soit 0 <

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8. Soit Hun sev de E ;montrons queHest un sev de E

H=Si x, yH et K alors(xn), (yn)HN qui convergent repectivemnet vers x et ycomme(xn) + (yn)HN et converge vers .x + y alors .x + yH cqfd

9. SiHest le noyau dune forme linaire non continue donc celle-ci nest pas nulle donc Hest un hyperplan de Enon ferm

doncH H

Si aH\H on a E= K.a + HH do H=E

5 Deux caracterisations des applications linaire continues

1. Soit f (E, F) tel que limage de tout compacte de Eest un compacte de F

(a) Soit(xn)EN telle que(xn)0 ;on dfinie lasuite (yn)par yn=

0 si xn = 0

xn||xn||

si xn= 0

OnnN; ||yn|| ||xn|| 0 donc(yn) converge vers 0

A={yn/nN} {0}est un compacte de Ealorsf(A)est un compacte de Fdonc borne do (yn)est bornee(b)M >0/nN; ||f(yn)|| M doncM >0/nN; ||f(xn)|| M

||xn|| 0

doncfest ,par caracterisation squentielle ,continue en 0 donc continue sur Ecar linaire2. Soit g (E, F)tel que ={xE/ ||g(x)||= 1} soit ferm.On suppose que g nest pas continue

(a) g nest pas continue donc nest pas borne sur la sphre unit de E

doncn N; xnEtel que||xn||= 1 et ||g(xn)|| n(xn)EN/nN; xnEtel que||xn||= 1 et ||g(xn)|| n

(b) PournN , yn= xn||g(xn)|| dfinie une suite du et||yn||= 1

||g(xn)|| 1

n0

donc(yn)0 = ce qui donne 0 =||g(0)||= 1 absurdeDoncg est continue.

(c) Soit v

(E, F)

Si ={xE/ ||g(x)||= 1} est ferm alors v est continueSi v est continue w: E R

x ||g(x)||est continue et =w1({1}) qui est ferm de Ecar{1} est un ferm

deR

do ={xE/ ||g(x)||= 1} est fermv est continue3. Montrons que les deux caratirisations prcdentes ne sont pas valables pour les applications non linaires

(a) PourE=F =R et x[x] transforme tout compacte de R en un ensemble finie dentiers donc compacte de Ret pourtant elle nest pas continue

(b) PourE=F = R et v : x

1 si x10 si

1< x