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izbicki

UNIVERSITÉ FRANÇOIS – RABELAIS DE TOURS

ÉCOLE DOCTORALE EMSTU

GREMAN

THÈSE présentée par :

Oumar DIALLO

soutenue le : 28 juin 2013

pour obtenir le grade de : Docteur de l’université François – Rabelais de TOUR S

Discipline/ Spécialité : Sciences Pour l’Ingénieur / Génie Electrique

Modélisation de l’admittance électrique de cubes piézoélectriques :

application à la caractérisation fonctionnelle de céramiques

THÈSE dirigée par :

M. FEUILLARD Guy Professeur, ENI Val de Loire M. LE CLEZIO Emmanuel Professeur, IES Université Montpellier 2

RAPPORTEURS : M. DELEBARRE Christophe Professeur, Université de Valenciennes M. LASAYGUES Philippe Ingénieur de Recherche (HDR), CNRS-LMA Marseille

JURY : M. DELEBARRE Christophe Professeur, Université de Valenciennes M. FEUILLARD Guy Professeur, ENI Val de Loire M. IZBICKI Jean Louis Professeur, Université du Havre M. LASAYGUES Philippe Ingénieur de Recherche (HDR), CNRS-LMA Marseille M. LE CLEZIO Emmanuel Professeur, IES Université Montpellier 2

MEMBRE INVITE : M. ADJ Mamadou Professeur, ESP Université C.A.D de Dakar

A mon frère, SOULEYMANE (29/09/1975-15/12/2012),

Je sais que de la haut tu continues

à me guider vers le droit chemin.

Tu seras à jamais dans mon cœur.

Repose en Paix mon frère.

A ma femme, Raby, pour son soutien, sa patience

et l’aide précieuse qu’elle m’a apporté.

A ma fille, princesse Aissata Oumar, pour

avoir illuminé ma vie.

A mes parents, à ma famille, une profonde marque de reconnaissance,

votre appui, vos conseils ont contribué à l’aboutissement

de ce travail.

Sois le meilleur, quoi que tu sois.

El Hadji Oumar TALL (1797-1864)

Remerciements

Ce travail de thèse s’est déroulé au sein du pôle Acoustique et Piézoélectricité

du Groupe de Recherche en Matériaux, Microélectronique, Acoustique et Nanotechnologies

(GREMAN) dans les locaux de l’École Nationale d’Ingénieurs du Val de Loire (ENIVL). Je

remercie monsieur Marc Lethiecq pour m’avoir accueilli au sein de ce laboratoire, ainsi que

monsieur Romuald Boné pour m’avoir permis d’effectuer mes travaux au sein de son école.

Je tiens à exprimer mes sincères remerciements à messieurs Guy Feuillard et

Emmanuel Le Clezio pour avoir dirigé conjointement ce travail.

Je remercie vivement monsieur Jean-Louis Izbicki pour m’avoir fait l’honneur

de présider mon jury ainsi que monsieur Christophe Delebarre et monsieur Philippe

Lasaygues de l’attention qu’ils auront porté à mes travaux et leurs remarques pertinentes.

Je remercie monsieur Mamadou Adj pour avoir accepté mon invitation de

participer au jury dans une pérode très chargée pour un directeur d’école d’ingénieur.

Je remercie chaleureusement l’ensemble des collègues du laboratoire, et plus

particulièrement monsieur Pascal Tran, pour leur soutien quotidien.

Je remercie monsieur Dimitri E. Manga pour sa disponibilité, sa sollicitude et

ses conseils. Je remercie tous les doctorants et post-doctorants que j’ai eu à croiser pendant

mes années de thèse.

Je finirai en remerciant le Président de la République du sénégal et tous les

membres de l’APR/France pour leur soutien moral et affectif.

i

Table des matières

Table des matières ........................................................................................................... i

Liste des tableaux ........................................................................................................... v

Liste des figures ............................................................................................................ vii

Liste des annexes ........................................................................................................... ix

Introduction .................................................................................................................... 1

Chapitre I : Généralités sur les matériaux piézoélectriques et les systèmes

ultrasonores 5

I.1 La piézoélectricité et les matériaux piézoélectriques ......................................... 5

I.1.1 Définition ................................................................................................... 5

I.1.2 Principe de la piézoélectricité .................................................................... 5

I.1.3 Différents matériaux piézoélectriques ........................................................ 7

I.2 Equations de base de la piézoélectricité ........................................................... 11

I.2.1 Introduction .............................................................................................. 11

I.2.2 Formalisme général des coefficients piézoélectriques ............................. 11

I.2.3 Rappel des équations de la piézoélectricité linéaire ................................. 12

I.3 Intérêt de la caractérisation des matériaux ....................................................... 15

I.4 Conclusion ........................................................................................................ 16

Première partie Théorie sur la Spectroscopie de Résonance Ultrasonore .................... 17

Chapitre II : Mode de vibration d’un cube piézoélectrique : approche variationnelle

19

II.1 Introduction .................................................................................................. 19

II.2 Mise en équation .......................................................................................... 19

II.3 Vibrations libres : parallélépipède sans électrode ........................................ 21

II.3.1 La Méthode de Rayleigh-Ritz .................................................................. 21

II.3.2 Choix des fonctions de base ..................................................................... 23

II.3.3 Résultats des simulations ......................................................................... 25

II.4 Vibrations semi-libres : cube avec une électrode sur la surface x3=-L3 ....... 30

II.4.1 Calcul de l’équation aux valeurs propres ................................................. 30

II.4.2 Choix des fonctions de bases ................................................................... 31

II.4.3 Résultats de la simulation......................................................................... 33

II.5 Conclusion .................................................................................................... 36

ii

Chapitre III : Modélisation de l’admittance électrique, extension de la méthode

variationnelle 37

III.1 Introduction .................................................................................................. 37

III.2 Vibrations forcées : cube avec deux électrodes sur la surface x3=-L3 et sur

x3=L3 38

III.2.1 Calcul de la nouvelle équation aux valeurs propres ............................... 38

III.2.2 Résultats de la simulation ....................................................................... 40

III.3 Calcul de la matrice d’admittance : cube avec électrodes sur les faces –L3 et

L3 42

III.3.1 Résultats de simulation : Validation du modèle d’admittance ............... 43

III.3.2 Résultats de simulation : Modélisation du spectre d’admittance d’un cube

48

III.4 Conclusion .................................................................................................... 50

Deuxième partie Etude Expérimentale ................................................................... 51

Chapitre IV : Spectre de vibration d’un cube piézoélectrique ................................... 53

IV.1 Introduction .................................................................................................. 53

IV.2 Dispositifs expérimentaux ............................................................................ 53

IV.2.1 Excitation électrique et détection optique du spectre de vibration d’un

cube piézoélectrique ......................................................................................................... 53

IV.2.2 Dispositif de mesure d’admittance électrique ........................................ 55

IV.3 Mesures des vibrations sur un cube de propriétés connues .......................... 55

IV.3.1 Mise en place de l’excitation .................................................................. 55

IV.3.2 Résultats expérimentaux ......................................................................... 56

IV.3.3 Comparaison théorie-expérience : .......................................................... 60

IV.4 Mesures électriques sur un cube de propriétés connues ............................... 65

IV.4.1 Comparaison entre mesure électrique et mesure de vibration : .............. 66

IV.4.2 Comparaison théorie expérience : .......................................................... 67

IV.4.3 Discussion ............................................................................................... 68

IV.5 Conclusion .................................................................................................... 69

Chapitre V : Evaluation des pertes globales ramenées d’un cube piézoélectrique .... 71

V.1 Introduction des pertes dans les modèles de vibration d’un cube ................ 71

V.1.1 Prise en compte des pertes mécaniques et diélectriques .......................... 71

V.1.2 Impact sur le déplacement mécanique ..................................................... 72

iii

V.1.3 Impact sur l’admittance électrique ........................................................... 72

V.2 Evaluation des pertes sur un cube de propriétés connues ............................ 72

V.2.1 Mesure des pertes mécaniques ................................................................. 72

V.2.2 Mesure des pertes électriques .................................................................. 74

V.3 Conclusion .................................................................................................... 76

Troisième partie Caractérisations tensorielles des céramiques .................................... 77

Chapitre VI : Stratégie d’inversion et caractérisations tensorielles de céramiques ... 79

VI.1 Méthodes de traitement inverses : stratégie d’inversion .............................. 79

VI.1.1 Introduction ............................................................................................ 79

VI.1.2 Sensibilité des fréquences de résonance aux paramètres d’entrée ......... 79

VI.1.3 Sensibilité des amplitudes des résonances aux paramètres d’entrée ...... 80

VI.1.4 Ajustement global du spectre d’admittance............................................ 81

VI.2 Caractérisations tensorielles à partir des mesures électriques ...................... 82

VI.2.1 Introduction ............................................................................................ 82

VI.2.2 Résultats pour la céramique PMN-34,5PT ............................................. 83

VI.2.3 Optimisation des pertes électriques et mécaniques ................................ 84

VI.2.4 Fiabilité des résultats obtenus ................................................................. 84

VI.2.5 Résultats pour la céramique PZ-21:........................................................ 92

VI.2.6 Détermination des propriétés d’autres matériaux ................................... 95

VI.3 Conclusion .................................................................................................... 96

Chapitre VII : Effet de la taille de l’électrode sur le spectre d’admittance électrique

99

VII.1 Introduction .............................................................................................. 99

VII.2 Calcul de l’admittance électrique d’un cube avec une électrode partielle 99

VII.2.1 Choix des fonctions de base .................................................................. 99

VII.2.2 Calcul des nouvelles matrices d’interaction piézoélectrique et

diélectriques 100

VII.3 Validation sur un cube de PMN 34,5PT ................................................ 104

VII.4 Application à des cubes de Pz27 ............................................................ 105

VII.4.1 Présentation des échantillons .............................................................. 105

VII.4.2 Comparaison des différents spectres d’admittance ............................. 105

VII.5 Conclusion .............................................................................................. 107

Conclusion et Perspectives ......................................................................................... 109

iv

Annexes ......................................................................................................................... A

Bibliographie ............................................................................................................... CC

Résumé .......................................................................................................................... C

Abstract.......................................................................................................................... D

v

Liste des tableaux

Tableau I-1 : Les 14 Réseaux de Bravais ................................................................................... 9

Tableau I-2 : Glossaire des abréviations de la piézoélectricité (M Brissaud, 1991) ................ 12

Tableau I-3 : Constante physique des matériaux piézoélectriques .......................................... 16

Tableau II-1 : Définition de la matrice d’interaction élastique ................................................ 23

Tableau II-2 : Définition de la matrice d’interaction piézoélectrique ...................................... 23

Tableau II-3 : Définition de la matrice d’interaction diélectrique ........................................... 23

Tableau II-4 : Propriétés d’une céramique de PMN-34,5PT (Delaunay et al., 2008). ............. 26

Tableau II-5 : Fréquences propres (en Hz) d’un cube de PMN-34,5PT .................................. 28

Tableau II-6 : Calcul de l’écart fréquentiel d’un cube de PMN-34,5PT de dimension

10x10x10 dû à la métallisation sur la face x3=-L3 ........................................................... 33

Tableau II-7 : Comparaison des déformées modales sur la face L3 dans les cas cube sans

électrode et cube avec une électrode ................................................................................ 34

Tableau II-8 : Comparaison des fréquences des modes retrouvés ........................................... 35

Tableau III-1 : Déformation de la face L3 dans le cas d’un cube avec deux électrodes........... 40

Tableau III-2 : Comparaison des fréquences de même mode. ................................................. 41

Tableau III-3 : Fréquences de résonance et d’antirésonance (modèle de Mason) ................... 44

Tableau III-4 : Fréquences de résonance et d’antirésonance (modèle variationnelle) ............. 45

Tableau III-5 : Comparaison des fréquences obtenues des deux modèles ............................... 46

Tableau III-6 : Fréquences piézoélectriquement couplées et numéros associés. ..................... 49

Tableau IV-1 : Fréquence des résonances sensibles au centre de la face ................................ 58



Tableau IV-4 : Comparaison entre modes et fréquences théoriques et expérimentaux ........... 61



Tableau IV-7 : Fréquences couplées piézoélectriquement ....................................................... 66

Tableau IV-8 : Comparaison entre modes théoriques et expérimentales. ................................ 68

Tableau V-1 : Facteur de qualité et pertes mécaniques sur les différentes résonances. ........... 73

Tableau VI-1 : Sensibilité des fréquences de résonance aux propriétés du matériau .............. 80

Tableau VI-2 : Sensibilité de l’amplitude des résonances aux propriétés du matériau ............ 81

Tableau VI-3 : Propriétés d’une céramique PMN-34,5PT extraites grâce au modèle au modèle

d’admittance. .................................................................................................................... 83

vi

Tableau VI-4 : Comparaison entre modes et fréquences théoriques et expérimentaux ........... 86

Tableau VI-5 : Comparaison des fréquences expérimentales et théoriques ............................. 87





Tableau VI-10 : Propriétés d’une céramique de PZ-21PT ....................................................... 93

Tableau VI-11 : Comparaison des fréquences théoriques et expérimentales des groupes

identifiés ........................................................................................................................... 95

Tableau VI-12 : Tableau récapitulatif des propriétés de matériaux caractérisés avec

l’admittance électrique ..................................................................................................... 96

Tableau VII-1 : Nouvelles définitions des Gk de la matrice interaction piézoélectrique ....... 102

Tableau VII-2 : Nouvelles définitions des Gk de la matrice interaction diélectrique ............. 103

vii

Liste des figures

Figure I-1 : Illustration des effets piézoélectriques .................................................................... 6

Figure I-2 : Orientation idéale des dipôles (Le Dren, 2000) ..................................................... 6

Figure I-3 : Classification des différents matériaux ................................................................... 7

Figure I-4 : Composantes des tenseurs élastiques, piézoélectriques et diélectriques suivant les

classes de symétrie ........................................................................................................... 14

Figure II-1 : Parallélépipède rectangle de dimensions 2L1,2L2,2L3: utilisé pour la

spectroscopie. ................................................................................................................... 20

Figure II-2 : Evolution des fréquences normalisées en fonction du degré ............................... 27

Figure II-3 : Déformée modale d’un cube de PMN-34,5PT ..................................................... 28

Figure II-4 : Potentiel électrique d’un cube de PMN-34,5PT .................................................. 29

Figure II-5 : Parallélépipède Rectangle avec électrode sur la face x3=-L3. ............................ 30

Figure III-1 : Parallélépipède Rectangle de dimensions 2L1, 2L2, 2L3 avec deux électrodes. . 38

Figure III-2 : Représentation graphique du polynôme de Legendre fn(x) pour les six premiers

ordres. .............................................................................................................................. 39

Figure III-3 : Plaque de matériau piézoélectrique avec deux faces métallisées. ..................... 43

Figure III-4 : Impédance et admittance d’une plaque PMN-34,5PT(modèle de Mason) ........ 44

Figure III-5 : Module de l’impédance et de l’admittance d’une plaque PMN-34,5PT. ........... 45

Figure III-6 : Champs de déplacement obtenu à la fréquence de résonance et ses

harmoniques. .................................................................................................................... 46

Figure III-7 : Déplacement particulaire selon x3 (x1=x2=0) pour les quatre fréquences de

résonances. ....................................................................................................................... 47

Figure III-8 : Impédance et admittance d’une plaque PMN-34,5PT calculée avec N=14. ..... 47

Figure III-9 : Module de l’admittance d’un Cube piézoélectrique PMN-34,5PT de dimension

10X10X10 mm 3. ............................................................................................................... 48

Figure IV-1 : Schéma de principe d’une mesure de vibration surfacique. .............................. 53

Figure IV-2 : Dispositif expérimental : Banc de mesure optique. ........................................... 54

Figure IV-3 : Schéma de principe d’une mesure d’admittance électrique. ............................. 55

Figure IV-4 : Schéma d’excitation électrique pour un cube sans électrode (métal en gris). ... 56

Figure IV-5 : Schéma d’excitation électrique pour un cube avec une électrode (métal en gris).

.......................................................................................................................................... 56

Figure IV-6 : Réponse temporelle du cube dépourvu d’électrode (mesure de vitesse au centre

de la face). ........................................................................................................................ 57

viii

Figure IV-7 : Vitesse de vibration en fonction de la fréquence (milieu et coin de la face) ..... 57

Figure IV-8 : Vitesse de vibration en fonction de la fréquence. .............................................. 58

Figure IV-9 : Vitesse de vibration surfacique en fonction de la fréquence. ............................. 59

Figure IV-10 : Comparaison des trois spectres expérimentaux (bleu : sans électrode ; noir :

avec une électrode et rouge : avec deux électrodes). ....................................................... 65

Figure IV-11 : Mesures électriques : partie réelle et imaginaire de l’impédance et

l’admittance électrique d’un cube de PMN-34,5PT ......................................................... 66

Figure IV-12 : Comparaison des fréquences de résonnances électriques et mécaniques

expérimentales .................................................................................................................. 67

Figure IV-13 : Comparaison des spectres d’admittance théorique (noir) et expérimental

(rouge). ............................................................................................................................. 67

Figure V-1 : Admittance électrique après l’introduction des pertes mécanique. .................... 74

Figure V-2 : Tangente des admittances électriques expérimentale (noir) et théorique (bleu). 75

Figure V-3 : Admittances électriques (en bleu pertes mécaniques seules et en noir après

introduction des pertes électriques). ................................................................................ 75

Figure VI-1 : Schéma du principe de minimisation ................................................................. 79

Figure VI-2 : Schéma du principe de l’algorithme du simplexe .............................................. 82

Figure VI-3 : Partie réelle de l’admittance électrique : théorie (rouge) et expérience (noir) 85

Figure VI-4 : Partie imaginaire de l’admittance électrique : théorie (rouge) et expérience

(noir) ................................................................................................................................. 85

Figure VI-5 : Admittance électrique du cube de PZ-21PT : expérimentale (noir) et théorie

(bleu) après ajustement .................................................................................................... 94

Figure VII-1 : Cube piézoélectrique avec une électrode entière et une électrode partielle .... 99

Figure VII-2 : Schéma de principe du calcul des matrices d’interactions ............................. 101

Figure VII-3 : Module de l’admittance électrique d’un cube de PMN34,5PT avec une

électrode partielle .......................................................................................................... 104

Figure VII-4 : Configuration de l’électrode supérieure des échantillons .............................. 105

Figure VII-5 : Comparaison des cinq spectres théoriques de l’admittance électrique ......... 106

Figure VII-6 : Evolution de la résonance principale en fonction de la surface de l’électrode

(rouge : théorie et bleu : expérience) ............................................................................. 107

ix

Liste des annexes

Annexe 1 : Description des Dij, Eij et Fij dans le cas du cube sans électrode .......................... B

Annexe 2 : Description des coefficients des matrices d’interaction piézoélectrique et

diélectrique dans le cas du cube avec une électrode .......................................................... E

Annexe 3 : Calcul d’intégral ..................................................................................................... H

Annexe 4 : Calculs des coefficients des matrices d’interaction piézoélectrique et diélectriques I

Annexe 5 : Comparaison des champs de déplacement dans les trois cas (sans électrode, avec

une électrode et avec deux électrodes) ............................................................................... P

Annexe 6 : Le simplexe ............................................................................................................. U

Annexe 7 : Comparaison des champs vitesse théoriques et expérimentaux .............................. Z

1

Introduction

2

Elément fondamental du système ultrasonore, le transducteur (élément émetteur-

récepteur d’ultrasons) assure la conversion de l’énergie électrique en énergie mécanique, et

vice et versa.

Les progrès techniques réalisés dans le domaine des transducteurs et dans celui du

traitement des données ont permis d’étendre l’utilisation des ultrasons à de nouveaux champs

d’applications en thérapie. Citons notamment : l’ablation de tissus, la cautérisation, le

traitement des varices, la lipoplastie (en chirurgie esthétique), la lithotritie (destruction de

calculs rénaux) ou encore la régénération de tissus (principalement utilisée en kinésithérapie)

(Chapelon et al., 2000; Souchon et al., 2003).

L’optimisation des transducteurs ultrasonores s’est essentiellement portée sur deux

points. Premièrement, l’élément actif piézoélectrique, qui constitue le cœur du transducteur, a

vu ses performances s’améliorer constamment et se diversifier pour répondre aux besoins

spécifiques de chaque application. Deuxièmement, le développement de modèles équivalents

pour le résonateur piézoélectrique a permis de mettre au point des méthodes d’optimisation de

transducteurs. Ces méthodes visent essentiellement à caractériser les matériaux afin d’obtenir

un compromis sensibilité/bande passante adapté à l’application souhaitée. Les méthodes de

caractérisation les plus utilisées sont :

• la méthode IRE : elle est la méthode de base de la caractérisation des céramiques. Elle

est décrite dans le standard IEEE (IEEE, 2002). Elle consiste à mesurer l'impédance

électrique (partie réelle et partie imaginaire) de plusieurs échantillons de formes et de

dimensions différentes en fonction de la fréquence. Les propriétés du matériau

(propriétés électromécaniques, coefficients de couplage, facteurs de qualités

mécanique) sont extraites à partir de ces mesures.

• la méthode de Berlincourt : elle permet de mesurer le coefficient piézoélectrique d33

(Barzegar, Damjanovic, & Setter, 2004; Berlincourt, Curran, & Jaffe, 1964).

L'échantillon est placé entre deux pièces métalliques et soumis à une contrainte

d’amplitude connue. Les deux pièces métalliques sont connectées à un condensateur.

Ce dernier est chargé par le courant produit par l'effet piézoélectrique. Le coefficient

piézoélectrique d33 est déterminé grâce à la mesure de la charge totale du

condensateur.

• les méthodes électriques basées sur l’ajustement d’un modèle unidimensionnel qui

permet non seulement la modélisation de transducteur mais aussi la caractérisation

3

fonctionnelle d’hétéro-structures à partir de mesures électriques (Maréchal, Levassort,

Tran-Huu-Hue, & Lethiecq, 2007).

• la spectroscopie de résonance acoustique : elle permet de déduire les propriétés

électromécaniques des céramiques à partir des mesures de fréquences propres d’un

échantillon (Delaunay et al., 2008; Demarest, 1971; Ohno, 1976)

Les trois premières sont les plus utilisées mais aussi les plus anciennes. Elles

nécessitent le plus souvent l’utilisation de plusieurs échantillons. Au contraire la

spectroscopie acoustique, plus récente, utilise un seul échantillon (Delaunay et al., 2008).

Cependant, le dispositif expérimental n’est pas facile à réaliser et le matériel nécessaire est

très souvent coûteux. C’est dans ce contexte que Delaunay et al. ont intégré une excitation

électrique au dispositif expérimental à la place des transducteurs. D’autre part, les mesures

des vibrations surfaciques sont parfois très difficiles à faire (problème de focalisation du

laser….) et très longues (plusieurs heures pour cartographier une surface). Les modèles

théoriques associés donnent plusieurs fréquences propres en fonction du degré choisi

(Delaunay et al., 2008; Brian Zadler, Scales, Le Rousseau, & Smith, 2002). Il faudra donc

mettre en place un processus d’identification des modes propres excités (et des fréquences

associées) en comparant les champs de déplacement théoriques et expérimentaux.

Ce travail a pour objectif de mettre en place des outils théoriques et expérimentaux

permettant de caractériser les matériaux à partir d’un seul échantillon et dans des délais

raisonnables (un jour au maximum). La méthode doit être accessible, le banc d’essai se doit

donc d’être simple et moins onéreux que celui des mesures Laser. Dans ce travail, les

méthodes expérimentales IRE et théoriques de spectroscopie de résonance sont utilisées pour

calculer l’admittance électrique de matériaux parallélépipédiques par une méthode

variationnelle. Ce modèle a été comparé à des mesures d’admittance obtenues via un

analyseur d’impédance.

Le manuscrit est composé d’un chapitre introductif et de trois parties. Le premier

chapitre, essentiellement basé sur la littérature (Auld, 1990; Berlincourt et al., 1964; Michel

Brissaud, 2007; Royer & Dieulesaint, 1996, 1999), présente les matériaux piézoélectriques et

les équations classiques de la piézoélectricité.

La première partie est composée de deux chapitres. Le premier chapitre repose sur les

travaux d’Ohno (Ohno, 1976) et de Delaunay (Delaunay et al., 2008) sur la modélisation des

modes propres de vibration d’un cube piézoélectrique. Ces modes propres sont calculés par

une méthode variationnelle qui consiste à minimiser l’énergie du système. Les fréquences

4

propres et les modes prédits seront comparés pour quantifier l’influence de l’électrode. Le

second chapitre étend cette approche à un cube métallisé sur deux faces. Les fréquences

propres du nouveau système sont comparées à celles obtenues précédemment. Ceci permet

d’exprimer l’admittance électrique de matériaux de géométries parallélépipédiques. Ce

modèle d’admittance est d’abord appliqué à une plaque piézoélectrique. Les résultats obtenus

sont comparés aux résultats de modèles unidimensionnels. Ce modèle est ensuite appliqué à

des matériaux de forme cubique.

La seconde partie, également composée de deux chapitres, présente d’abord les

dispositifs expérimentaux, puis les résultats expérimentaux et finalement l’impact des pertes

électriques et mécaniques sur le modèle d’admittance. Le dispositif autour du Laser permet de

mesurer les fréquences de vibration du matériau et les modes correspondants. Ces fréquences

sont comparées aux fréquences propres de vibration du cube. L’admittance électrique,

mesurée par un dispositif d’impédancemetrie, est comparée à celle théorique.

La troisième et dernière partie de ce travail présente les stratégies d’inversion

permettant de résoudre le problème inverse et les résultats de la caractérisation de cubes de

PMN-34,5PT et de PZ-21, PZ-27, PZ52 et PZ54 mais aussi l’influence de la métallisation sur

le spectre d’admittance électrique.

Généralités sur les matériaux piézoélectriques et les systèmes ultrasonores

5

Chapitre I : Généralités sur les matériaux

piézoélectriques et les systèmes ultrasonores

I.1 La piézoélectricité et les matériaux piézoélectriques

I.1.1 Définition

Jacques et Pierre Curie ont découvert en 1880 l'effet piézoélectrique. Cet effet est

présent dans des matériaux cristallins ne possédant pas de centre de symétrie. Il se traduit par

la capacité de certains matériaux à produire une charge électrique proportionnelle à la

contrainte mécanique qui les déforme (effet direct). La déformation résultante de l'application

d'un potentiel électrique est appelée l'effet inverse.

Ces deux effets permettent donc l'utilisation d'un cristal piézoélectrique à la fois

comme capteur et actionneur. L’effet piézoélectrique inverse permet de contrôler le

déplacement d'une structure en contrôlant la tension aux bornes de l'élément piézoélectrique.

De la même façon, l'effet piézoélectrique direct produira un potentiel électrique si le matériau

est déformé.

I.1.2 Principe de la piézoélectricité

Piézoélectricité naturelle

Certains cristaux, tel que le quartz, sont naturellement piézoélectriques. Une maille de

cristal de quartz est composée d’ions de silicium portant une charge électrique positive et

d’ions d’oxygène portant une charge électrique négative. En absence de déformation, le

barycentre des charges positives est confondu avec celui des charges négatives (Figure I-1) le

champ électrique résultant est donc nul. Si maintenant, une force de compression est

appliquée, la maille cristalline va se déformer, de sorte que le barycentre des charges positives

et celui des charges négatives s’écartent. Un dipôle électrique qui, par réaction, va faire

apparaître des charges de signes opposés sur les deux électrodes est ainsi créé : c’est l’effet

direct. Si au contraire un champ électrique est appliqué, sous l’effet de forces électrostatiques,

la maille va se déformer : c’est l’effet inverse. La Figure I-1 illustre ces deux effets.


6

Figure I-1 : Illustration des effets piézoélectriques

Dans l’hypothèse de petites sollicitations, l’effet piézoélectrique est linéaire : champ

électrique et déformation sont proportionnels.

Piézoélectricité artificielle

Les céramiques ferroélectriques sont des matériaux polycristallins organisés en

domaines. Chaque domaine possède un axe privilégié qui caractérise un moment dipolaire

permanent en son sein (Figure I-2), mais ces axes sont orientés de façon aléatoire, de sorte

que le champ électrique résultant est nul.

Cependant il est possible de réorienter dans le même sens ces moments dipolaires en

polarisant le matériau par l’application d’un champ électrique externe (Figure I-2). Le

matériau ferroélectrique polarisé devient piézoélectrique. Il garde en quelque sorte la mémoire

du champ électrique qui lui a été appliqué sous forme d’un moment dipolaire rémanent et

permanent (Lynch, 1994; Million, 2003).

Figure I-2 : Orientation idéale des dipôles (Le Dren, 2000)

Si le matériau est chauffé au-delà d’une valeur appelée température de Curie Tc, il perd

sa piézoélectricité. Tc est typiquement comprise entre 80 °C et 400 °C. Ce phénomène est très

pressionElectrodes

+

Electrodes

Si

OSi

O

-


7

rare car l’échauffement des céramiques en utilisation normale ne permet pas d’atteindre cette

température.

I.1.3 Différents matériaux piézoélectriques

Figure I-3 : Classification des différents matériaux

Les matériaux piézoélectriques sont répartis dans deux grandes classes : les matériaux

pyroélectriques et ferroélectriques. La pyroélectricité, du grec pyro qui signifie feu, est le

phénomène de polarisation dû à l'absorption de l'énergie thermique dans certains cristaux. La

polarisation est proportionnelle à la variation de température et son signe dépend du sens de

cet échange (échauffement ou refroidissement). Ainsi, les matériaux pour lesquels la

polarisation est spontanée sont appelés pyroélectriques (voir paragraphe I.1.2). La direction de

polarisation privilégiée est celle de l'axe polaire du cristal. La ferroélectricité s’observe dans

le cas de certains diélectriques (isolants électriques) non centrosymétriques qui ont la

propriété de se polariser sous l'influence d'un champ électrique. Dans ces diélectriques, il

existe un fort champ électrique local. Lorsque l'axe polaire (support d'un moment permanent)


8

est mobile dans le réseau cristallin sous l'influence d'agents extérieurs (autres que la

température), comme un champ électrique ou l'application d'une contrainte mécanique, les

matériaux sont appelés ferroélectriques (voir paragraphe I.1.2). La Figure I-3 présente la

classification de ces différents matériaux.

Cristaux

La structure cristalline présente l'arrangement des atomes dans un cristal. Ces atomes,

qui se répètent périodiquement dans l'espace grâce aux opérations de symétrie, forment la

structure cristalline. Un solide cristallin est constitué par la répétition périodique dans les trois

dimensions de l'espace d'un motif atomique. La périodicité de la structure d'un cristal est

représentée par un ensemble de points régulièrement disposés. Cet ensemble est appelé réseau

cristallin et les points le constituant sont appelés nœuds du réseau.

En cristallographie, un réseau de Bravais est une distribution régulière de points dans

l’espace qui représente la périodicité de la distribution atomique d’un cristal. La structure est

alors reconstruite par simple translation de la maille. Le Tableau I-1 représente les sept

réseaux primitifs ayant pour maille l’un des sept parallélépipèdes (Royer & Dieulesaint,

1996).

Dans chacun de ces systèmes, la possibilité d’ajouter des nœuds dans la maille permet

de générer des réseaux différents. L’environnement de chaque nœud devant être le même, les

seuls emplacements possibles sont le centre de la maille (réseau centré) ou des faces (réseaux

avec un nœud sur deux faces opposées ou réseau avec un nœud sur chaque face). Un réseau

de Bravais est un réseau de nœuds obtenu à partir d’un nœud unique translaté suivant des

vecteurs de base en imposant certaines symétries. Il existe 14 réseaux de Bravais différents en

trois dimensions (Tableau I-1), possédant des groupes d’espaces et des groupes ponctuels de

symétrie différents (Royer & Dieulesaint, 1996). Tous les matériaux de type monocristaux ont

une symétrie correspondant à l’un de ces réseaux.

Le cristal piézoélectrique le plus connu est le quartz (utilisé dans les oscillateurs) mais

ses propriétés ne sont pas adéquates pour les applications de transducteurs ultrasonores : son

impédance acoustique est relativement élevée et son coefficient de couplage très faible (10%).

D’autres cristaux, tel que le niobate de lithium (LiNbO3) ou le tantalate de lithium

(LiTaO3), ont des coefficients de couplage plus élevées. Le coût élevé et la fragilité de ces

cristaux expliquent leur quasi-absence dans les produits actuels. Ils sont cependant utilisés en

laboratoire dans des dispositifs à très haute résolution pour des raisons essentiellement

technologiques (Million, 2003 ; Gonzalez, De Frutos, & Duro, 1999).


9

Tableau I-1 : Les 14 Réseaux de Bravais

Réseaux Paramètres Angles Représentation

Cubique

Primitif

Centré

Faces Centrées

cba == 2πγβα ===

Tétragonal

(Quadratique)

Primitif

Centré cba ≠= 2πγβα ===

Hexagonal Primitif cba ≠=

2πβα ==

32πγ =

Rhombohédrique

(Trigonal) Primitif cba ==

2πγβα ≠==

32π<

Orthorhombique

Primitif

Centré

Faces Centrées

Bases Centrées

cba ≠≠ 2πγβα ===

Monoclinique Primitif

Bases Centrées cba ≠≠

2πβα ==

2πγ ≠

Triclinique

Primitif

cba ≠≠ 2πγβα ≠≠≠


10

Céramiques

Les céramiques piézoélectriques sont les matériaux les plus utilisés à l’heure actuelle

pour la transduction ultrasonore. Elles sont souvent utilisées seules mais elles entrent aussi

dans la fabrication des composites. Le succès de ces matériaux est dû au fait qu’ils sont d’un

coût relativement faible, qu’ils sont usinables et faciles à transformer et surtout qu’ils sont très

performants. Les céramiques les plus utilisées sont :

• les titanates de baryum,

• les PZT (plomb, zirconate, titanate), qui comptent cinq à six compositions différentes.

Elles sont les plus utilisées,

• les titanates de plomb,

• les métaniobates de plomb utilisés pour l’imagerie haute résolution.

Notons que les céramiques sont des polycristaux qui sont fabriqués par frittage d’un

mélange d’oxydes et que leur procédé de fabrication peut être modulé comme leur

composition afin d’ajuster leurs performances diélectriques, mécaniques et piézoélectriques

(Million, 2003).

Polymères

Certains polymères tel que le PVDF (PolyVynilDiFluorure) et des copolymères tel que

le P(VDF-TrFE) peuvent acquérir des propriétés piézoélectriques. Ils ont une faible

impédance acoustique. Cependant ils ont des coefficients de couplage bien plus faibles que

ceux des céramiques. L’amélioration des procédés de fabrication a permis d’obtenir des

coefficients de couplage de l’ordre de la moitié de ceux obtenus avec des céramiques. Les

transducteurs à base de copolymères ont aujourd’hui des performances qui s’approchent de

celles des capteurs à céramiques. Ils sont essentiellement utilisés dans les dispositifs hautes

fréquences à cause d’avantages technologiques (Million, 2003).

Composites

Ces matériaux ont fait leur apparition dans les sondes d’échographie médicale au

début des années 80 et représentent l’avancée majeure dans le domaine des matériaux

piézoélectriques, depuis l’apparition des PZT dans les années 60 (Million, 2003).

Leur origine provient du constat selon lequel aucun matériau existant n’avait à la fois

une impédance acoustique assez faible pour bien transmettre son énergie aux tissus

biologiques et une valeur de coefficient de couplage élevée (Chapelon et al., 2000). En effet,

les céramiques ont une impédance acoustique trop élevée et les polymères ont une valeur de


11

coefficient de couplage trop faible. Il fallait donc coupler ces deux matériaux afin de tirer les

avantage de l’un et l’autre. L’idée est donc d’utiliser à la fois une céramique à coefficient de

couplage élevé, associée à un matériau passif de faible impédance acoustique pour obtenir un

matériau qui a une impédance acoustique plus faible et un coefficient de couplage comparable

à celui d’une céramique (Fleury, 2003).

I.2 Equations de base de la piézoélectricité

I.2.1 Introduction

La piézoélectricité est un couplage entre les phénomènes électriques, mécaniques et

thermiques (Guiffard, 1999; Royer & Dieulesaint, 1996). Dans les lois de comportement, des

variables piézoélectriques et pyroélectriques relient les grandeurs mécaniques (déformations,

contraintes) et thermiques aux grandeurs électriques. Les équations gouvernant le

comportement thermo-piézo-élastique linéaire ont été introduites par Mindlin en 1961. En

1971, Tiersten (Tiersten, 1971) développe la théorie générale non-linéaire de la piézo-thermo-

élasticité (Agrawal & Treanor, 1999).

Désignons par S et T respectivement le tenseur des déformations et des contraintes et

D et E respectivement les vecteurs de l’induction électrique et du champ électrique. Pour un

matériau piézoélectrique, S, T, D et E sont des variables d’état. Chaque gradeur peut

s’exprimer en fonction des deux autres indépendantes. Les coefficients qui les relient sont le

tenseur d’élasticité, le tenseur piézoélectrique et le tenseur diélectrique. Selon le choix des

variables d’état, quatre couples d’équation de la piézoélectricité peuvent être écrits.

I.2.2 Formalisme général des coefficients piézoélectriques

Le Tableau I-2 présente un glossaire des symboles des tenseurs utilisés dans les

différentes équations et matrices.


12

Tableau I-2 : Glossaire des abréviations de la piézoélectricité (M Brissaud, 1991)

Abréviations Définitions Type d’énergie

D (C.m2) Induction Electrique

ELECTRIQUE

E (V.m-1) Champ Electrique

ε (F.m-1) Permittivité Electrique

β (m.F-1) Constante d’imperméabilité

diélectrique

S Déformation Relative

MECANIQUE T (N.m-2) Contrainte

s (m2.N-1) Compliance

C (N.m-2) Raideur Elastique

d (C.N-1)

Constante piézoélectrique :

proportionnalité entre la charge et la

contrainte à champ nul ou constant

PIEZOELECTRIQUE

e (C.m-2)


proportionnalité entre la charge et la

déformation à champ nul ou constant

g (m2.C-1)


proportionnalité entre la contrainte et

le champ à induction nulle ou

constante

h (N.C-1)


proportionnalité entre la déformation

et le champ à induction nulle ou

constante

Dans la suite de ce travail, les matrices transposées sont repérées par un suffixe t en

exposant. Les autres grandeurs en exposant signifient que la grandeur est constante ou nulle.

I.2.3 Rappel des équations de la piézoélectricité linéaire

Si les effets de couplage thermoélectrique sont considérés nuls, les différentes

variables utilisées pour le développement de la loi de comportement piézoélectrique sont


13

celles présentées au Tableau I-2. Selon le standard IEEE 176-1987 (IEEE, 2002), la loi de

comportement de la piézoélectricité linéaire comprend les équations suivantes :

, (I-1)

. (I-2)

, (I-3)

. (I-4)

, (I-5)

. (I-6)

, (I-7)

. (I-8)

Les grandeurs étant tensorielles, d’ordre 1 pour le champ et l’induction électrique ou

d’ordre 2 (contrainte et déformation), les facteurs les reliant sont donc aussi tensoriels, d’ordre

4 pour la compliance ou la raideur, d’ordre 3 pour les constantes piézoélectriques ou d’ordre 2

pour la permittivité électrique (Royer & Dieulesaint, 1996, 1999).

Le tenseur d’élasticité a 81 composantes, néanmoins, pour un matériau dans son état

naturel le nombre de constantes indépendantes se réduit à 36. Les tenseurs peuvent donc être

écrits sous forme matricielle en utilisant la notation contractée d’Einstein.

ij ou kl α ou β

11 1

22 2

33 3

32 ou 23 4

31 ou 13 5

21 ou 12 6

,

!"#$ % & ' ( ),2 !"#$ % + & ' ( ),2 !"#$ % & ' ( + ),4 !"#$ % + & ' ( + ),

- ,

. !"#$ & (,2 !"#$ & + (,- %, &, (, ) 1,2,3 ' 1, 1,2, … ,6.

(I-9)

La figure I-4 présente les résultats de la réduction du nombre de composantes des

tenseurs élastiques, diélectriques et piézoélectriques des cristaux appartenant aux différentes

classes de symétrie ponctuelle (Royer & Dieulesaint, 1996) :


14

Figure I-4 : Composantes des tenseurs élastiques, piézoélectriques et diélectriques suivant les

classes de symétrie


15

Afin de passer facilement d’un système à l’autre, il est intéressant d’exprimer les

relations liant les constantes élastiques, piézoélectriques et diélectriques. La notation de Voigt

permet de passer en notation matricielle :

4 54,

% %11 ,

%& %& %1&1,

1 1 %1%,

% %11 ,

%1 %& &1.

(I-10)

Dans la suite de ce travail seul les expressions (I-3) et (I-4) seront utilisés. Tous les

calculs futurs seront faits pour des matériaux de classe Hexagonale.

I.3 Intérêt de la caractérisation des matériaux

Les performances d’un système ultrasonore dépendent directement des propriétés

fonctionnelles des matériaux utilisés dans le dispositif. Afin d’utiliser les matériaux de

manière optimale il est indispensable de connaître leur comportement dans la gamme de

fréquence d’utilisation de ces dernières. Il est donc nécessaire de connaitre les propriétés

fonctionnelles des matériaux pour prédire leur fonctionnement dans les dispositifs réalisés.

Ainsi il est nécessaire de caractériser les matériaux avant toutes utilisations. Les pertes

(électriques et mécaniques) dans les matériaux sont très souvent négligées en basse fréquence.

Cependant à partir de certaines fréquences d’utilisation ces pertes ne peuvent plus être

négligées. Les différentes pertes doivent donc être identifiées et évaluées car elles jouent un

rôle important sur les performances (rendement) des systèmes réalisés. Parmi ces propriétés

on distingue :

La densité : elle est le rapport entre la masse d'un matériau et la masse du même

volume d'eau pure de température 4 degrés.

La vitesse des ondes acoustiques dans le matériau.

kt, le coefficient de couplage électro-acoustique. Ce coefficient, compris entre 0 et 1,

caractérise l’aptitude du matériau à convertir une énergie électrique en énergie


16

mécanique ou inversement. Pour une grande transformation électromécanique il doit

être le plus élevé possible.

ZA, l’impédance acoustique : elle est donnée par le produit masse volumique par la

vitesse. Pour les transducteurs à usage thérapeutique elle doit être proche de celle de

l’eau.

La constante diélectrique est le rapport entre la permittivité ε du matériau et la

permittivité du vide. Elle relie le champ électrique à l’induction.

Le Tableau I-3 présente les constantes physiques de quelques matériaux

piézoélectriques.

Tableau I-3 : Constante physique des matériaux piézoélectriques

Propriétés

Quartz SiO2

(Morgan

Electro

Ceramics, n.d.)

BaTiO3

(Morgan

Electro

Ceramics, n.d.)

PVDF

(Measurement

Specialties

Inc., n.d.)

PZT

(Levassort et

al., 2006)

Densité 2,65 5,7 1,78 7,75

Vitesse (m/s) 5400 4300 2200 4480

kt (%) 10 52 14 47

ZA (MRay) 14,31 24,51 3,92 34,72

Constante

diélectrique 4,5 1700 12-13 915

I.4 Conclusion

Ce premier chapitre présente une synthèse bibliographique sur les matériaux

piézoélectriques. Il présente le mécanisme de la piézoélectricité dans les céramiques

ferroélectriques. Les équations de base de la piézoélectricité et la présentation des matrices

des coefficients élastiques, piézoélectriques et diélectriques dans le cas d’une structure

hexagonale permettront de définir les équations d’état du système.

17

Première partie

Théorie sur la Spectroscopie de Résonance

Ultrasonore

18

Dans le cas de plaques piézoélectriques, il existe dans la littérature des modèles

permettant de calculer facilement leur réponse fréquentielle (Auld, 1990; Berlincourt et al.,

1964; Royer & Dieulesaint, 1996, 1999). Cependant, ces méthodes sont le plus souvent

unidimensionnelles. De ce fait, elles utilisent plusieurs échantillons pour caractériser

complètement un matériau piézoélectrique. Cependant, la synthèse des matériaux

piézoélectriques n’est pas toujours reproductible et peut conduire à des écarts importants entre

les propriétés d’une même série d’échantillons. D’où la nécessité de déterminer toutes les

propriétés fonctionnelles à partir d’un seul échantillon.

C’est ainsi que la spectroscopie acoustique, qui est une méthodologie de détermination

des propriétés (élastiques, piézoélectriques et diélectriques) des matériaux, a été utilisée. Cette

méthode permet alors à partir d’un seul échantillon de petite taille, d’identifier l’intégralité du

tenseur piézoélectrique (Delaunay, 2006). Cette méthode a connu un essor dans les années

1960 avec les travaux de R. Holland (R. Holland & EerNisse, 1968) et H. Demarest

(Demarest, 1971) qui ont eu à résoudre le problème par des méthodes numériques basées sur

une approche variationnelle. Aujourd’hui les applications de cette méthode sont multiples

(Adachi, Kondo, Yamaji, Yang, & Yang, 2005; Heyliger & Ledbetter, 1998; Heyliger, 2000;

Migliori et al., 1993; Visscher, Migliori, Bell, & Reinert, 1991).

Les méthodes expérimentales utilisées jusqu’à présent sont basées sur des mesures de

vibration. Ces mesures sont souvent très difficiles à mettre en œuvre (problème de précision

des mesures et durée de l’expérience très longue), requiert un matériel très souvent coûteux et

ne prennent pas en compte les pertes dans les matériaux. La mesure de l’impédance électrique

d’un échantillon est plus facile à réaliser et plus rapide. Ce travail permettra donc de trouver

une méthode permettant de caractériser et de déterminer les pertes mécaniques et électriques

des matériaux (parallélépipédiques) à partir de la mesure d’impédance électrique.

L’objectif de cette partie est de mettre en place les éléments théoriques permettant le

calcul des modes propres de vibration d’un cube piézoélectrique en régime libre et semi-libre.

Ce modèle sera utilisé pour calculer les vibrations forcées d’un matériau (parallélépipède avec

2 électrodes) et pour la modélisation de l’admittance électrique d’un cube piézoélectrique.

Mode de vibration d’un cube piézoélectrique : approche variationnelle

19

Chapitre II : Mode de vibration d’un cube

piézoélectrique : approche variationnelle

II.1 Introduction

Le but de ce travail est de calculer l’admittance électrique dans le cas de matériaux

avec deux faces métallisées en utilisant la méthode variationnelle. Il est donc nécessaire

d’étudier les fréquences propres du matériau et les modes propres de vibrations associées à

ces fréquences. Pour ce faire les vibrations libres d’un matériau parallélépipédique seront

étudiées dans un premier temps. Dans un second temps une électrode sera introduite et le

comportement d’ensemble sera étudié et comparé au premier cas. Ces deux premiers cas ont

été précédemment étudiés dans les travaux d’Ohno (Ohno, 1976, 1990)et de Delaunay et

al.(Delaunay, 2006). Troisièmement une seconde électrode sera introduite et les nouvelles

fréquences propres et modes associés seront comparées aux deux premiers cas. Enfin ce cas

sera extrapolé pour déterminer l’admittance électrique du matériau dans cette configuration.

Cette étude permettra aussi de valider les résultats de la caractérisation par admittance.

II.2 Mise en équation

Il n’existe pas de solution analytique exacte pour calculer les vibrations 3D d’un

matériau. Un calcul approché sera donc utilisé. Il est basé sur la minimisation de l’énergie du

système d’où l’utilisation d’une formulation Lagrangienne. Le Lagrangien d'un système

physique est une fonction des variables dynamiques qui décrit de manière concise les

équations du mouvement de ce système. Cette fonction est définie comme étant la différence

entre la densité d’énergie cinétique Ec, d’énergie de déformation Edef et d’énergie potentielle

Ep. Elle a pour expression :

6 7 89 :;< =>? @. (II-1)

Cette équation fait intervenir non seulement la géométrie de l’objet mais aussi les

propriétés élastiques, piézoélectriques et diélectriques du matériau. La détermination des

points stationnaires de ce système donne les fréquences propres de l’échantillon.


20

Figure II-1 : Parallélépipède rectangle de dimensions 2L1,2L2,2L3: utilisé pour la

spectroscopie.

Considérons un parallélépipède rectangle de dimension 2L1, 2L2, 2L3 tel que décrit

sur la Figure II-1. Les expressions de l’énergie cinétique et de déformation associées à une

résonance permettent de définir l’équation du Lagrangien. Les densités d’énergie de

déformation et d’énergie cinétique associées à un champ de déplacement particulaire et à un

champ électrique sont données par les relations suivantes (R. Holland & EerNisse, 1968) :

A 12 #%,&%&() #(,) 12 B,CCD B,D, (II-2)

E 12 FG2#%#%, (II-3)

où ui, i=1,2,3 sont les composantes cartésiennes du vecteur de déplacement. En utilisant la

notation d’Einstein, le tenseur de déformation au premier ordre est défini par :

#%,& 12 HI#%IJ& I#&IJ%K. (II-4)

Il n’y a aucune charge libre à l’intérieur du solide piézoélectrique. Il n’y a donc pas de

divergence du potentiel électrique. Cette condition s’exprime par (R. Holland & EerNisse,

1968) :

L MCN BCN 0 P 7 B,CC@ @ 0. (II-5)

Si Dm est remplacée par son expression (eq.(I-3)), l’équation (II-5) devient :

7 QB,CC()#(,) B,CCD B,DR@ @. (II-6)

En remplaçant Edef et Ec du Lagrangien par leurs expressions respectives (eq. (II-2) et

(II-3)) et en y intégrant l’équation (II-6), le Lagrangien devient alors :

6 7 STU 8#, #, FGT## 2B,VV#, B,VVW B,W>@. (II-7)

2L1

2L3

2L2

x1

x3

x2


21

L’équation (II-7) n’est valable que s’il n’y a pas d’électrodes sur le solide

piézoélectrique. Dans le cas contraire il faudra prendre en compte en toute rigueur le travail

des forces électrostatiques, la taille, le volume et la matière des électrodes (or, alu…).

Cependant l’épaisseur des électrodes peut être négligée dans le calcul car étant très petite par

rapport à celle du solide. Par conséquent, seul le travail des forces électrostatiques est

considéré. Dans ces conditions le Lagrangien s’écrit comme suit (R. Holland & EerNisse,

1968) :

6 X 12U 8#, #, FGT## 2B,VV#, B,VVW B,W>@ Y Z MVB8V#, VW B,W>N[

\]S ,

(II-8)

où P est le nombre total d’électrodes sur le solide et A la surface de l’électrode en question.

Considérons une variation infinitésimale du champ de déplacement et du champ électrique et

évaluons le changement du Lagrangien correspondant. Les fréquences propres de vibration du

solide piézoélectrique sont alors déterminées grâce aux points stationnaires du Lagrangien.

D’où la résolution de l’équation suivante :

I6 0. (II-9)

II.3 Vibrations libres : parallélépipède sans électrode

II.3.1 La Méthode de Rayleigh-Ritz

La méthode de Rayleigh-Ritz (R. Holland & EerNisse, 1968; Maynard, 1996) consiste

à chercher une approximation des modes de vibration dans un espace de dimension N

engendré par N fonctions choisies. Les solutions sont de la forme :

#_% ∑ a!b_!M!1 . (II-10)

Les 8b_=>=]S,T,…,c sont les fonctions de bases et seront choisies orthogonales pour respecter la

condition de normalité des vibrations mécaniques :

7 b!%b!d%@ @ 5!!d, (II-11)

où i=1,2,3 représente les trois directions de l’espace et δpp’ est le symbole de Kronecker et est

défini comme suit :


22

5!!d .1 % ! !d0 %D"D -. (II-12)

Le potentiel électrique est défini comme suit :

B ∑ efgfhf]S . (II-13)

En remplaçant les expressions du déplacement (Eq.(II-10)) et du potentiel (Eq.(II-13))

dans celle du Lagrangien (Eq. (II-7)), cette dernière devient après développement :

6 ST i∑ ∑ a=a=j8Γ==j FGT5==j>=j 2 ∑ ∑ a=afΩ=ff ∑ ∑ afafjΛffjfjf== n, (II-14)

où

Γ!!d 7 b!%,&%&() b!d(,)@, (II-15)

Ω!$ 7 g$,CC()b!(,)@, (II-16)

Λ$$d 7 g$,CCD g$d,D@, (II-17)

avec :

b!%,& 12 HIb!%IJ& Ib!&IJ% K, (II-18)

g$,C Ig$IJC. (II-19)

Г, Ω et Λ sont respectivement les matrices d’interaction élastique, piézoélectrique et

diélectrique, (Richard Holland, 1968). La résolution de l’équation (II-9) nous conduit au

système aux valeurs propres suivant (Richard Holland, 1968) :

oΓ ΩΛpSΩqr FGTa, (II-20)

e ΛpSΩqa. (II-21)

La résolution de cette équation aux valeurs propres nous donne les valeurs des

pulsations propres ω et donc des fréquences propres mais aussi les vecteurs propres associés à

ces valeurs propres. Ces vecteurs propres correspondent aux coefficients de la décomposition

de Rayleigh-Ritz (ap de l’eq.(II-10) et br de l’eq.(II-13)). Ces vecteurs propres permettent de

calculer la déformation du matériau pour toutes les fréquences propres.

Les tableaux (Tableau II-1 : Définition de la matrice d’interaction élastiqueTableau

II-1), (Tableau II-2) et (Tableau II-3) décrivent respectivement les matrices d’interactions Г,

Ω et Λ (Ohno, 1976).


23

Tableau II-1 : Définition de la matrice d’interaction élastique

i,j s==j 1,1 SS tS uu tT vv tw vu tx vu tv Sv tu Sv ty Su tz Su t

2,2 uu tS TT tT xx tw Tx tx Tx tv xu tu xu ty Tu tz Tu t

3,3 vv tS xx tT ww tw Sx tx Sx tv wv tu wv ty wu tz wu t

2,3 vu tS Tx tT wx tw xx tx Tw tv wu tu xv ty Tv tz xu t

3,1 Sv tS xu tT wv tw wu tx xv tv vv tu Sw ty Sx tz vu t

1,2 Su tS Tu tT xv tw Tv tx xu tv Sx tu vu ty uu tz ST t

Tableau II-2 : Définition de la matrice d’interaction piézoélectrique

i Ω=f

1 SStS TutT wvtw Tvtx wutv wStu Svty Sutz TSt

2 SutS TTtT wxtw Txtx wTtv wutu Sxty STtz Tut

3 SvtS TxtT wwtw Twtx wxtv wvtu Swty Sxtz Tvt

Tableau II-3 : Définition de la matrice d’interaction diélectrique

ffj SS tS TT tT ww tw Tw tx wT tv Sw tu wS ty ST tz TS t

Les coefficients Gk résultent des interactions élastiques, piézoélectriques et

diélectriques.

II.3.2 Choix des fonctions de base

La difficulté de la méthode de Rayleigh-Ritz se trouve très souvent dans le choix des

fonctions de bases. Les premières études ont consisté à choisir des fonctions trigonométriques

[Holland 68] et des polynômes de Legendre (Demarest, 1971) particulièrement adaptés à des

formes parallélépipédiques. Les polynômes de Legendre ont une bonne stabilité numérique.


24

Dans ce travail ils seront utilisés pour les fonctions de base du système. Les fonctions de base

sont (Ohno, 1976) :

b_= 1~6S6T6w HJS6SK HJT6TK HJw6wK _, (II-22)

gf 1~6S6T6w HJS6SK HJT6TK HJw6wK (II-23)

où la pième et la rième fonctions de b_= et gf sont respectivement définies par les triplets (λ, µ, ν)

et (ξ, ζ, η). Pα(x) est un polynôme de Legendre normalisé de degré α, les grandeurs Li sont

les demi-longueurs de chaque coté etie est le vecteur unitaire du champs de déplacement

suivant la direction ix . (L1L2L3)-1/2 est le facteur de normalisation du champ de déplacement

des particules (Ohno, 1990).

Ce choix des fonctions de base permet de calculer les matrices d’interactions élastique,

piézoélectrique et diélectrique précédemment définies. Les triplets, (λ,µ,ν) et (ξ,ζ,η), sont

choisis le plus souvent sur la base d’un entier N et M tel que (Bryan Zadler, 2005) :

. , M. -. (II-24)

Par conséquent plus N est grand, plus le résultat est précis. Mais le choix de N doit

obéir à un compromis entre convergence, temps de calcul et la précision du résultat.

Pour une valeur de N donnée nous aurons :

3 QM 33 R oM 1roM 2roM 3r 2⁄ , (II-25)

combinaisons pour le vecteur de déplacement.

Pour une valeur de M donnée nous aurons :

Q 33 R o 1ro 2ro 3r 6⁄ , (II-26)

combinaisons pour le potentiel électrique.

Le choix de N et M conditionne la dimension des matrices d’interaction et par conséquent le

nombre de fréquences propres pouvant être identifiés.

Les coefficients Gk, utilisés dans la définition des matrices d’interactions (Tableau

II-1, Tableau II-2 et Tableau II-3), sont donnés dans les travaux d’Ohno et de Delaunay. Ils

sont définis comme suit (Delaunay et al., 2008; Ohno, 1976) :


25

tS j5VVj5WWj 6ST⁄ , tT 5VV5WW 6TT⁄ , tw 55VVWW 6wT⁄ , tx 5VVWW 6w6T⁄ , tv 5VVWW 6w6T⁄ , tu 5VVWW 6w6S⁄ , ty 5VVWW 6w6S⁄ , tz VV5WW 6S6T⁄ , t jVVj5WWj 6S6T⁄ ,

(II-27)

avec : o), C, Dr o, , r ' o)d, Cd, Ddr od, d, dr !"#$ ) 'ae)a# 1 , o), C, Dr o, , r ' o)j, Cj, Djr o, , r !"#$ ) 'ae)a# 2, o), C, Dr o, , r ' o)d, Cd, Ddr od, d, dr !"#$ ) 'ae)a# 3.

(II-28)

Les expressions des coefficients Dij, Eij, Fij et δij sont calculées, pour les fonctions de base

choisies, en Annexe 1.

Dans le paragraphe suivant, ce modèle sera appliqué à un cube de PMN-34,5PT pour

calculer ses fréquences propres et les champs de déplacement correspondant.

II.3.3 Résultats des simulations

Ce modèle est appliqué à un matériau PMN-34,5PT de dimensions 10x10x10 mm3.

Les propriétés, utilisées dans cette simulation, ont été extraites par Delaunay et al (Delaunay

et al., 2008). Le Tableau suivant montre les caractéristiques du matériau utilisé dans la

simulation.


26

Tableau II-4 : Propriétés d’une céramique de PMN-34,5PT (Delaunay et al., 2008).

Propriétés Unités Valeurs

Masse Volumique ρ

Kg/m3 8060

Rigidité Elastique

EC11 GPa 174,7

EC12 GPa 116,61

EC13 GPa 119,3

EC33 GPa 154,8

EC44 GPa 26,7

EC66 GPa 29,0

Permittivité Diélectrique

S11ε 0ε 2373

S33ε 0ε 2825

Constante Piézoélectrique

15e C/m2 17,1

31e C/m2 -6,4

33e C/m2 27,3

Résolution de l’équation aux valeurs propres

Pour résoudre l’équation aux valeurs propres (eq.(II-20) et eq.(II-21)), il faudra choisir

le degré N du polynôme d’approximation. Il doit être choisi de manière à obtenir un

compromis entre convergence, temps de calcul et précision. Les critères de convergence du

système sont étudiés pour différentes valeurs de N. La résolution de l’équation aux valeurs

propres du système (Eq.(II-20)) donne les fréquences propres de vibration du matériau. La

Figure II-2 présente l’évolution des fréquences en fonction du degré maximal choisi.

La Figure II-2 montre que la convergence pour les degrés 5 et 6 n’est pas bonne.

L’écart maximal sur les fréquences entre ces deux degrés est de 5.55%. Le degré 5 ne peut

donc pas être utilisé dans la suite des travaux. De même le degré 6 aussi ne peut pas être

utilisé car l’écart maximal sur les fréquences est de 5.09%. Cependant les degrés 7, 8 et 9

convergent bien car l’écart maximal sur les fréquences est de 0.54% pour N=7 et N=8 et de

0.17% pour N=8 et N=9. De plus, toutes les fréquences dégénérées se trouvent à la même


27

position à partir du degré 7. Pour un degré 7 la taille maximale des matrices est de 360 tandis

qu’elle est de 495 pour le degré 8. Les calculs sont donc plus rapides avec le degré 7 et le

traitement inverse dans la perspective d’une caractérisation du matériau prendra moins de

temps(Diallo, Clezio, Lethiecq, & Feuillard, 2012).

Figure II-2 : Evolution des fréquences normalisées en fonction du degré

Cette étude montre que degré 7 est suffisant pour la résolution de l’équation aux

valeurs propres (compromis entre convergence et précision de 2% sur les fréquences de

résonance), ce qui conduit à une matrice Г de 360x360, une matrice Ω de 360x120 et une

matrice Λ de 120x120 et donne 360 fréquences propres. Cependant ce degré peut ne plus

1

1,05

1,1

1,15

1,2

1,25

4 5 6 7 8 9

Fré

qu

en

ce N

orm

ali

sée

Degré du polynôme d'approximation

fréquence n°7

fréquence n°8

fréquence n°9

fréquence n°10

fréquence n°11

fréquence n°12

fréquence n°13

fréquence n°14

fréquence n°15

fréquence n°16

fréquence n°17

fréquence n°18

fréquence n°19

fréquence n°20

fréquence n°21

fréquence n°22

fréquence n°23

fréquence n°24

fréquence n°25

fréquence n°26

fréquence n°27

fréquence n°28

fréquence n°29

fréquence n°30


28

convenir pour les hautes fréquences. Il faudra donc revoir le critère de convergence dans ce

cas. Les trente premières fréquences propres sont présentées Figure II-2.

Tableau II-5 : Fréquences propres (en Hz) d’un cube de PMN-34,5PT

0 0 0 0 0 0 82965 89242 109157 109157 118058 119402

126955 129801 129801 134127 139264 142253

142253 145260 153082 153082 160015 161715

169496 170279 170279 170701 170701 172933

Les six premières fréquences de résonance correspondent aux modes statiques : trois

rotations et trois translations. Il existe aussi une dégénérescence de certains modes

(redondance de certaines fréquences) correspondant à des rotations suivant les trois directions

du cube (voir annexe 5). Cette dégénérescence est due à la symétrie du matériau et à la

géométrie choisie.

Déformées modales du cube de céramique piézoélectrique

a-) 89242 Hz b-) 119402 Hz

c-) 145260 Hz d-) 170279 Hz

Figure II-3 : Déformée modale d’un cube de PMN-34,5PT


29

La résolution de l’équation aux valeurs propres (Eq.(II-20) donne non seulement les

pulsations naturelles du système mais aussi les vecteurs propres associés ap. La connaissance

du vecteur propre pour un mode donné permet de calculer les déplacements ui à partir des

équations (II-10) et (II-22). Ces déplacements permettent de représenter la déformation du

cube pour toutes les fréquences propres. La Figure II-3 présente la déformation modale du

cube pour quelques fréquences propres. La Figure II-3.a correspond à un mode de torsion, la

Figure II-3.b et la Figure II-3.d correspondent à des modes de flexion et la Figure II-3.c

correspond à un mode de dilatation.

Potentiel électrique sur les faces perpendiculaires à la polarisation

Fréquences x3=-L3 x3=L3

89242 Hz

119402 Hz

145260 Hz

170279 Hz

Figure II-4 : Potentiel électrique d’un cube de PMN-34,5PT


30

La connaissance des vecteurs propres associés aux déplacements mécaniques permet

de déduire les vecteurs propres associés au champ électrique br à partir de l’équation (II-22).

Les équations (II-13) et (II-24) permettent ainsi de calculer le potentiel électrique en tout

point du cube. Les figures suivantes représentent le potentiel électrique sur les faces x3=-L3 et

x3=L3 pour les fréquences précédemment choisies.

La Figure II-4 montre que le potentiel suit les mêmes variations que le déplacement

mécanique. Ceci s’explique par le fait que le potentiel et le déplacement suivent les mêmes

lois de comportement. Les potentiels sur les deux faces en parallèles sont les mêmes dans

certains cas et opposés dans d’autres. C’est la conséquence de l’utilisation des polynômes de

Legendre car Pα(1) = 1 et Pα(-1) = (-1)α (avec α un entier naturel). Ces deux potentiels sont

déphasés de απ.

Le potentiel électrique n’est pas constant sur la face car l’échantillon est dépourvu

d’électrode. Le potentiel est donc libre sur la surface.

II.4 Vibrations semi-libres : cube avec une électrode sur la surface

x3=-L3

Dans cette partie, une électrode est introduite sur une des faces perpendiculaires à la

polarisation.

II.4.1 Calcul de l’équation aux valeurs propres

La mise en place d’une électrode (Figure II-5) sur la surface x3=-L3 change

l’expression du Lagrangien. Cependant il faut noter que l’épaisseur et le poids de l’électrode

sont négligés dans le calcul du Lagrangien. De ce fait, l’équation (II-8) sera utilisée dans cette

partie à la place de l’équation (II-7) utilisée dans la précédente partie.

Figure II-5 : Parallélépipède Rectangle avec électrode sur la face x3=-L3.


31

En appliquant la méthode de Rayleigh Ritz à l’équation (II-8) le Lagrangien devient :

6 12 Y Y a=a=j8s==j FGT5==j>=j= Y Y a=ef8Ω=f N=f>f= 12 Y Y efefjoffj 2ffjrfjf (II-29)

où N=f L gfMVVb=,N, (II-30)

ffj L gfMVVW gfj,N. (II-31)

Гpp’, Ωpr et Λrr’ sont respectivement définis par les équations (II-14), (II-15) et (II-16). Les

matrices A et B représentent le travail des forces électrostatiques.

La différentiation du Lagrangien par rapport aux coefficients ap et br donne le système

d’équations aux valeurs propres suivant (Richard Holland, 1968) : os oΩ Nro 2rpSoΩ Nrqra FGTa, (II-32)

e o 2rpSoΩ Nrqa. (II-33)

II.4.2 Choix des fonctions de bases

La présence de l’électrode impose le même potentiel électrique à tous les points de la

face x3=-L3 :

BoJS, JT, 6wr E'. (II-34)

Cette condition physique nous conduit à changer de fonction de base du potentiel

électrique car la précédente permettait d’avoir un potentiel libre sur toutes les faces alors

qu’ici le potentiel doit être constant sur la face x3=-L3. Pour simplifier les calculs, l’électrode

sera mise à la masse, c’est à dire : BoJS, JT, _6wr 0. Pour une meilleure convergence du

calcul les polynômes de Legendre sont conservés mais la partie sur x3 est pondérée d’un

polynôme qui l’annule en –L3. Cette fonction annule en même temps les matrices A et B et

réduit donc le temps de calcul (Diallo et al., 2012). Les fonctions de base du déplacement

restent donc inchangées. La fonction de base du potentiel devient (Delaunay, 2006) :

gf S~ QR QR A QR, (II-35)

aE A QR 1 ST Q1 R QR. (II-36)

Les tableaux regroupant les définitions des matrices d’interactions élastique,

piézoélectrique et diélectrique restent les mêmes. Les Gk restent inchangés pour la matrice


32

d’interaction élastique car l’expression des fonctions de base du déplacement reste la même.

Cependant les Gk seront modifiés pour les matrices d’interactions piézoélectrique et

diélectrique. Dans ce cas, les Gk sont donnés dans les travaux de Delaunay. Ils sont définis

dans le cadre de la matrice d’interaction piézoélectrique comme suit (Delaunay, 2006) :

tS 5o=r 6ST ,

tT 5o=r 6TT ,

tw 55o=r 6wT ,

tx 5o=r 6T6w ,

tv 5o=r 6T6w ,

tu 5o=r 6w6S ,

ty 5o=r 6w6S ,

tz o=r 6T6S ,

t o=r 6T6S ,

(II-37)

Les Dij, Eij et Fij sont les mêmes que dans ceux dans la matrice d’interaction élastique

précédemment calculée. Le calcul des coefficients ¡¢o=r, ¡¢o=r, ¡¢o=r et ¡¢o=r est présenté en

Annexe 2.

Les coefficients Gk sont définis dans le cadre de la matrice d’interaction diélectrique

comme suit (Delaunay, 2006) :

GS D¥¥jδ§§jC¢¢jo©r LST ,

GT δ¥¥jD§§jC¢¢jo©r LTT ,

Gw δ¥¥jδ§§jD¢¢jo©r LwT ,

Gx δ¥¥jE§§jF¢¢jo©r LTLw ,

Gv δ¥¥jF§§jE¢¢jo©r LTLw ,

Gu F¥¥jδ§§jE¢¢jo©r LwLS ,

Gy E¥¥jδ§§jF¢¢jo©r LwLS ,

Gz E¥¥jF§§jC¢¢jo©r LTLS ,

G F¥¥jE§§jC¢¢jo©r LTLS ,

(II-38)

Le calcul des coefficients ¢¢jo:r, ¢¢jo:r, ¢¢jo:r et ¢¢jo:r est présenté en Annexe 2.


33

II.4.3 Résultats de la simulation

Calcul des nouvelles fréquences propres

La résolution de la nouvelle équation aux valeurs propres (Eq. (II-31)) donne les

fréquences propres du système. Le Tableau II-6 montre une comparaison entre les fréquences

propres du cube dépourvu d’électrode et de celui avec une électrode complète sur une face.

Tableau II-6 : Calcul de l’écart fréquentiel d’un cube de PMN-34,5PT de dimension

10x10x10 dû à la métallisation sur la face x3=-L3

Numéro Sans Electrode

Fréquences (Hz)

Face -L3 Electrodée

Fréquences (Hz) Ecart

7 82965 83016 -0,06% 8 89242 87844 1,57% 9 109157 106266 2,65% 10 109157 106266 2,65% 11 118058 117614 0,38% 12 119402 119288 0,10% 13 126955 123305 2,88% 14 129801 123305 5,00% 15 129801 125821 3,07% 16 134127 134127 0,00% 17 139264 136859 1,73% 18 142253 141867 0,27% 19 142253 141867 0,27% 20 145260 144714 0,38% 21 153082 152798 0,19% 22 153082 152798 0,19% 23 160015 159918 0,06% 24 161715 161136 0,36% 25 169496 166173 1,96% 26 170279 166853 2,01% 27 170279 166853 2,01% 28 170701 169976 0,42% 29 170701 169976 0,42% 30 172933 172431 0,29% Ecart Maximal 5,00%

Ecart relatif Moyenné 1,2%

Le calcul des nouvelles fréquences montre que l’écart moyen avec les fréquences

calculées précédemment est de 1,2 % et que l’écart maximal est de 5,00%. Cependant cette

faible différence ne nous permet pas de dire que l’apport de l’électrode est négligeable car il y

a un décalage de certains modes propres de vibration. Les deux fréquences à la même


34

position (ayant le même numéro) ne décrivent pas forcément le même mode. Les fréquences

dégénérées ne se retrouvent pas à la même position (voir annexe 5).

Déformée modale d’un cube piézoélectrique avec une face métallisée

Tableau II-7 : Comparaison des déformées modales sur la face L3 dans les cas cube sans

électrode et cube avec une électrode

Sans Electrode Face –L3 Electrodée

a) 89242 Hz b) 87844 Hz

c) 145260 Hz d) 144714 Hz

e) 160015 Hz f) 159918

g) 170279 h) 166853


35

Pour vérifier ce décalage de certains modes prédits, une comparaison des spectres de

déplacement sans électrode et avec une électrode sur la face –L3 est nécessaire. Le Tableau

II-7 montre une comparaison entre les champs de déplacement calculés pour le même numéro

de fréquence sur la face x3=L3.

La modification des conditions électriques affecte la position et la forme de certains

modes. Les figures a) et b) du Tableau II-7 prédisent le même mode, de même que les figures

c) et d) du même tableau. Les figures e) et f) à 160 kHz et g) et h) bien qu’ayant les mêmes

numéros de fréquences n’engendrent pas le même mode avec ou sans électrode.

Classification des fréquences suivant les modes

Tableau II-8 : Comparaison des fréquences des modes retrouvés

Numéro de Mode Sans Electrode (0) Face -L3 Métallisée

(1) Ecart (0&1)

7 82965 83016 -0,06% 8 89242 87844 1,57% 9 109157 106266 2,65% 10 109157 106266 2,65% 11 118058 117614 0,38% 12 119402 119288 0,10% 13 126955 125821 0,89% 14 129801 123305 5,00% 15 129801 123305 5,00% 16 134127 134127 0,00% 17 139264 136859 1,73% 18 142253 141867 0,27% 19 142253 141867 0,27% 20 145260 144714 0,38% 21 153082 152798 0,19% 22 153082 152798 0,19% 23 160015 - - 24 161715 161136 0,36% 25 169496 166173 1,96% 26 170279 - - 27 170279 - - 28 170701 169976 0,42% 29 170701 169976 0,42% 30 172933 - -

Ecart Maximal 5,00%

Ecart Moyen 1,27%


36

Les fréquences voisines ne correspondent pas forcément aux mêmes formes. Il faudra

donc les classer par numéro de mode. Les champs de déplacement des différentes fréquences

ont été calculés à l’Annexe 5. Le Tableau II-8 montre la classification des fréquences suivant

les modes décrits. Les numéros des modes sont classés suivant leur ordre d’apparition dans le

cas du cube sans électrode.

Le Tableau II-8 montre que les écarts (maximal et moyen) restent quasi-inchangés.

Cependant le mode prédit à la fréquence de 125821 Hz vient avant ceux à 123305 Hz. Cette

comparaison prend en compte la nature du mode prédit. Les modes 23, 26, 27 et 30 ne

trouvent pas de correspondance dans les trente premières fréquences.

II.5 Conclusion

Cette étude reprend la méthode variationnelle proposé par Ohno et Delaunay et al.. La

discussion sur le critère de convergence a permis de choisir le degré 7 pour la suite de ce

travail. Cependant les matrices d’interaction peuvent être simplifiées suivant la symétrie. Par

exemple pour notre structure les matrices d’interactions peuvent être divisées en huit (8) blocs

de matrices d’interactions. Cette simplification permet d’avoir des matrices de petite taille et

donc de diminuer les temps de calcul. Elle permet aussi de séparer directement les modes

semblables (Mochizuki, 1987). Ces modèles permettront de valider les résultats obtenus dans

les prochains chapitres.

Les méthodes décrites donnent plusieurs fréquences propres. Parmi ces fréquences,

seules celles qui permettent un couplage électromécanique sont intéressantes dans l’optique

de déterminer les propriétés fonctionnelles du matériau. L’identification de ces fréquences est

très difficile et très longue à faire (plusieurs jours) car il faut calculer les champs de

déplacement associés à toutes les fréquences propres avant de chercher leur correspondant en

expérience. Enfin compte tenu des conditions d’excitation électrique certains modes ne sont

pas engendrés dans cette gamme de fréquences (23, 26, 27 et 30). L’admittance électrique,

quant à elle, ne donne que les fréquences qui permettent un couplage piézoélectrique.

L’identification est donc très facile à faire. L’admittance électrique sera donc modélisée.

Dans le chapitre suivant, une seconde électrode sera introduite dans le modèle de

Delaunay et al (Delaunay et al., 2008). Cette configuration permettra de modéliser

l’admittance électrique du matériau.

Modélisation de l’admittance électrique, extension de la méthode variationnelle

37

Chapitre III : Modélisation de l’admittance électrique,

extension de la méthode variationnelle

III.1 Introduction

L’originalité de ce travail est l’introduction d’une nouvelle électrode sur la face L3 et

le choix de la nouvelle fonction de base de potentiel. L’objectif est de caractériser les

céramiques avec un seul échantillon à partir d’une simple mesure électrique. Les méthodes

utilisées jusqu’à présent sont basées sur des mesures de vibration. Ces mesures sont souvent

très difficiles à mettre en œuvre (problème de précision des mesures et durée de l’expérience

très longue) et requièrent un matériel très souvent coûteux. De plus la sensibilité de

l’instrumentation, en particulier de l’interféromètre laser, laisse supposer qu’il est possible

d’identifier les modes propres de vibration libre sur des échantillons plus petits (de 5 mm à 1

mm de coté). Ainsi, les propriétés à petites échelles (< 1cm) pourraient être révélées.

Toutefois, la précision sur les constantes mesurées résulte de l’aptitude du dispositif à

identifier et à analyser les différents modes excités. Pour de très petites dimensions, cette

technique est donc limitée par la densité des modes qui complexifie leur identification. Cette

caractérisation n’est donc adaptée que pour des échantillons dont les dimensions sont proches

de 1 cm. Si tel n’est pas le cas, l’ensemble des modes ne sera pas présent et, donc, les

informations liées au spectre de résonance ne seront pas suffisantes pour établir une

caractérisation complète. De plus, une étude en fréquence peut s’avérer délicate car la

vibration libre, en haute fréquence, engendre une densité modale importante rendant difficile

la distinction des modes.

La mesure de l’impédance électrique d’un échantillon est plus facile à réaliser et plus

rapide (mise en place du dispositif et mesure d’impédance sur un échantillon ne dépassent pas

30 min). L’objectif est donc de développer un modèle permettant de prédire l’impédance ou

l’admittance d’un cube piézoélectrique afin d’utiliser ce modèle pour la caractérisation des

matériaux.

Dans ce chapitre la méthode variationnelle est utilisée pour modéliser l’admittance

électrique d’un cube piézoélectrique. La formulation matricielle a été adoptée pour simplifier

la résolution du problème.


38

III.2 Vibrations forcées : cube avec deux électrodes sur la surface

x3=-L3 et sur x3=L3

Considérons une céramique piézoélectrique parallélépipédique avec deux électrodes

sur les faces –L3 et L3. Notons que les électrodes sont complètes sur les deux faces comme le

montre la figure suivante.

Figure III-1 : Parallélépipède Rectangle de dimensions 2L1, 2L2, 2L3 avec deux

électrodes.

III.2.1 Calcul de la nouvelle équation aux valeurs propres

L’introduction d’une seconde électrode sur la face L3 ne change pas l’expression du

Lagrangien (Eq.(II-29)). Les expressions de matrices A et B deviennent :

N=f ∑ L gfMVVb=, T]S , (III-1)

ffj ∑ L gfMVVW gfj,W T]S . (III-2)

Ainsi le système d’équation aux valeurs propres précédemment défini reste inchangé.

Choix des fonctions de base

Les fonctions de base du champ de déplacement restent inchangées. La présence

d’électrodes sur –L3 et L3 impose un potentiel constant sur ces faces :

.BoJS, JT, 6wr E'1,BoJS, JT, 6wr E'2. -. (III-3)


39

La fonction de base choisie doit vérifier ces conditions de potentiel sur les faces -L3 et

L3. Choisissons de court-circuiter les deux électrodes et de les mettre à la masse, c’est à dire

que : 0),,(),,( 321321 ==− LxxLxx φφ . Bien que cette condition ne soit pas nécessaire, elle

accélère la convergence du calcul et annule les matrices A et B. Les polynômes de Legendre

ont été conservés et pondérés par un polynôme indépendant de x1 et x2 et fonction de x3 qui

annule le potentiel sur –L3 et sur L3. La fonction de base du potentiel choisie est :

gf S~ QR QR A QR, (III-4)

aE: A HJ363K o1r H1 J363K2 HJ363K. (III-5)

La Figure III-2 présente de représentation graphique de fη (x) pour n=1,2,3,4,5,6 :

Figure III-2 : Représentation graphique du polynôme de Legendre fn(x) pour les six

premiers ordres.

Ce graphe montre que le potentiel électrique est nul sur les faces x3=-L3 et x3=L3 mais

il reste libre à l’intérieur du cube et sur les faces non métallisées.

Dans ce cas la définition des matrices d’interactions élastiques, piézoélectriques et

diélectriques reste inchangée, la valeur numérique de la matrice d’interaction élastique aussi

car les fonctions de base du déplacement sont identiques. La définition des Gk est la même

pour les matrices d’interactions piézoélectrique et diélectrique. Cependant les coefficients

o=r, o=r , o=r , o=r pour la matrice d’interaction piézoélectrique et les coefficients o:r, o:r , o:r , o:r pour la matrice d’interaction diélectrique ne sont pas les mêmes que

précédemment car la fonction fη n’est plus la même.


40

Calcul des coefficients de la matrice d’interaction piézoélectrique

En reprenant l’expression des Gk dans le cadre de la matrice d’interaction

piézoélectrique (Eq.(II-37)) et en prenant en compte les nouvelles fonctions du potentiel

électrique (Eq.(III-5)) les valeurs o=r, o=r , o=r , o=r sont présentées dans l’Annexe 4. Le

calcul de la première intégrale est explicité à l’Annexe 4.

Calcul des coefficients de la matrice d’interaction diélectrique :

En reprenant l’expression des Gk dans le cas de la matrice d’interaction diélectrique

(Eq.(II-38)) les valeurs jo:r, jo:r , jo:r , jo:r sont présentées dans l’Annexe 4. Le calcul de

ces deux matrices permet de résoudre l’équation aux valeurs propres car la matrice

d’interaction élastique est déjà connue.

III.2.2 Résultats de la simulation

Calcul des nouveaux modes propres : déformée modale

La résolution de l’équation aux valeurs propres (Eq.(II-32)) donne les nouvelles

fréquences propres du cube de PMN-34,5PT métallisé sur les deux faces perpendiculaires à la

polarisation.

Tableau III-1 : Déformation de la face L3 dans le cas d’un cube avec deux électrodes

a-) 86689 Hz b-) 117710 Hz

c-) 141390 Hz d-) 164960 Hz


41

Comme pour le cas avec une électrode, les fréquences situées à la même position ne

prédisent toujours pas le même mode (voir Annexe 5). Le champ de déplacement, sur la face

L3, est calculé pour les mêmes numéros de fréquence que précédemment.

Les figures du Tableau III-1 confirment la présence d’un décalage en fréquence. Le

mode décrit à la figure (e) du Tableau II-7, qui avait pour fréquence 145260 Hz dans le cas

avec une électrode, a pour fréquence 117710 Hz dans ce cas (figure b). La figure c) ne trouve

pas de mode correspondant dans le cas cube sans électrode mais on le retrouve bien dans le

cas du cube avec une électrode. La figure (d) quant à elle, ne trouve pas de mode

correspondant dans les deux cas précédents.

Comparaison des nouvelles fréquences propres

Tableau III-2 : Comparaison des fréquences de même mode.

Numéro de Mode

Sans Electrode (0)

Face -L3 Electrodée (1)

Face -L3 et L3 Electrodées (2)

Ecart (0&1) Ecart (0&2)

7 82965 83016 83006 -0,06% -0,05% 8 89242 87844 86689 1,57% 2,86% 9 109157 106266 104060 2,65% 4,67% 10 109157 106266 104060 2,65% 4,67% 11 118058 117614 116970 0,38% 0,92% 12 119402 119288 119190 0,10% 0,18% 13 126955 125821 124720 0,89% 1,76% 14 129801 123305 117890 5,00% 9,18% 15 129801 123305 117890 5,00% 9,18% 16 134127 134127 134130 0,00% 0,00% 17 139264 136859 134500 1,73% 3,42% 18 142253 141867 141390 0,27% 0,61% 19 142253 141867 141390 0,27% 0,61% 20 145260 144714 117710 0,38% 18,97% 21 153082 - 152600 - 0,31% 22 153082 152798 - 0,19% - 23 160015 - - - - 24 161715 161136 160540 0,36% 0,73% 25 169496 166173 163670 1,96% 3,44% 26 170279 - - - - 27 170279 - - - - 28 170701 169976 166260 0,42% 2,60% 29 170701 169976 166260 0,42% 2,60% 30 172933 - - - -

Ecart Maximal 5,00% 18,97%

Ecart Moyen 1,27% 3,51%


42

Le Tableau III-2 montre une comparaison des fréquences suivant les numéros de

mode. La classification a été faite grâce aux champs de déplacement calculés en Annexe 5.

Le Tableau III-2 montre que l’écart maximal passe de 9,18% à 18,97%. Ce mode

correspondant à l’index n°20 dans le cas cube sans électrode se retrouve à l’index n°12 dans

le cas du cube métallisé sur les deux faces. Les modes 22, 23, 26, 27 et 30 ne trouvent pas de

mode correspondant dans les trente premières fréquences.

III.3 Calcul de la matrice d’admittance : cube avec électrodes sur les

faces –L3 et L3

La détermination de la matrice d’admittance passe par l’évaluation du champ de

déplacement et du potentiel électrique du cube piézoélectrique (R. Holland & EerNisse,

1968). Dans le chapitre précédent ces deux grandeurs ont été évaluées. Les mêmes

expressions de potentiel électrique et de déplacement mécanique sont réutilisées pour la

détermination de l’admittance.

La quantité de charge Q sur une électrode (2) pour un mode µ donné est définie par la

relation suivante (R. Holland & EerNisse, 1968) :

®o=r L M_3 Q3()#(,) 3D B,DR N_N , (III-6)

u et B sont respectivement les équations des déplacements et du potentiel électrique. Pour

obtenir la matrice d’admittance nous devons exprimer le courant sur l’électrode (1) (R.

Holland & EerNisse, 1968) :

¯ &G L M_w8w#, wW B,W>N_[ . (III-7)

Le courant et la quantité de charge sont reliés par l’expression I=dQ/dt.

En faisant la différenciation entre le courant et la tension il en résulte (Richard

Holland, 1968) :

° &G ∑ ±²or±²or³² p³ &G. (III-8)

Dans cette relation, CS est la capacité statique du cube piézoélectrique. Elle s’exprime

comme suit (Richard Holland, 1968) :

33 N263. (III-9)

Dans le cas d’un échantillon cubique l’admittance devient (Richard Holland, 1968):


43

° &G ∑ 8®>2³² p³ &G, (III-10)

avec ®or 7 M3 Q3()#(,) 3D B,DR @U . III.3.1 Résultats de simulation : Validation du modèle d’admittance

Pour valider le modèle d’admittance, les résultats des simulations sont comparés avec

ceux prédits par les modèles de Mason (Mason, 1948) et KLM (Krimholtz, Leedom, &

Matthaei, 1970). Dans l’étude de vibration de plaques minces, considérerons une lame

piézoélectrique de dimensions latérales 2L1 et 2L2 très grande devant l’épaisseur 2L3 comme

le montre la Figure III-3.

Figure III-3 : Plaque de matériau piézoélectrique avec deux faces métallisées.

En l’absence de pertes, la relation donnant l’impédance électrique d’une lame

piézoélectrique chargée par deux milieux avant et arrière d’impédance mécanique Z1 et Z2

vaut (Royer & Dieulesaint, 1999) :

´)E µ 1&0G 1 ('2´!( 2´!o1coso(rr&o´1´2r sino(rQ´!2´1´2R sino(r&´!o´1´2r coso(r, (III-11)

où d représente l’épaisseur de l’échantillon i.e. d=2L3.

Lorsque la lame est libre, alors Z1=Z2=0 (forces nulles sur les faces), l’impédance

électrique prend la forme :

´)E µ 1&0G »1 ('2 tano( 2⁄ r( 2⁄ ¾. (III-12)

La fréquence d’antirésonance et le coefficient de couplage sont donnés par (Royer &

Dieulesaint, 1999) :

2L2

x1

x3

x2

2L1

2L3


44

Aa @g o2r , (III-13)

(' ¿ÀA$2Aa tan HÀ2 AaA$Aa K. (III-14)

Le coefficient de couplage théorique est obtenu grâce à l’équation suivante :

(' Á 33233 33 . (III-15)

Application à une plaque piézoélectrique de PMN34,5PT :

Considérons les valeurs de C33, e33 et ε33 et de la masse volumique de la céramique

PMN-34,5PT données dans le Tableau II-4. Pour une épaisseur de 10 mm et des dimensions

latérales de 1000 mm le modèle de Mason donne les spectres d’admittance et d’impédance de

la Figure III-4.

Figure III-4 : Impédance et admittance d’une plaque PMN-34,5PT(modèle de Mason)

Les fréquences de résonnance et d’antirésonance associées à ces deux spectres sont

présentées dans le Tableau III-3. Ce tableau montre que seuls les harmoniques impaires sont

non nuls.

Tableau III-3 : Fréquences de résonance et d’antirésonance (modèle de Mason)

Numéro 1 2 3 4

Fréquences de résonance (fr) 222520 712620 1193300 1672800

Fréquences d'antirésonance (fa) 239290 717880 1196500 1675100

fa/fa(1) 1,00 3,00 5,00 7,00

Coefficient de couplage (kt) 40,18%


45

Le modèle d’admittance développé dans ce travail est ensuite appliqué à une plaque de

PMN-34,5PT parallélépipédique de dimensions 2L1=2L2=1000 mm et 2L3=10 mm. Pour

assurer une bonne prédiction des harmoniques le degré maximal d’approximation des

polynômes de Legendre est pris égal à neuf (9).

Figure III-5 : Module de l’impédance et de l’admittance d’une plaque PMN-34,5PT.

La Figure III-5 présente les évolutions fréquentielles de l’admittance et de

l’impédance électriques du modèle variationnelle. Cette figure est quasi-identique à celle

obtenue par le modèle de Mason (sauf pour le 3éme harmonique). Le Tableau III-4 présente les

fréquences de résonance et d’antirésonance et leurs harmoniques.

Tableau III-4 : Fréquences de résonance et d’antirésonance (modèle variationnelle)

Numéro 1 2 3 4

Fréquences de résonances (fr) 222540 712600 1197300 1890200

Fréquences d'antirésonances (fa) 236600 716800 1200000 1893800

fa/fa(1) 1 3,03 5,07 8,00

Coefficient de couplage (kt) 37,15%

Le Tableau III-4 montre que seules les harmoniques impaires de la fréquence

d’antirésonance sont non nulles sauf pour la quatrième fréquence. Le coefficient de couplage

est de 37,15%. Il est donc proche de celui trouvé précédemment.

Le Tableau III-5 présente une comparaison des fréquences de résonance et

d’antirésonance obtenues avec les deux modèles. Il y’a donc une bonne adéquation des

résultats entre les deux modèles sauf pour la quatrième fréquence.


46

Tableau III-5 : Comparaison des fréquences obtenues des deux modèles

Numéro 1 2 3 4 Modèle

Fréquences de résonances (fr) 222520 712620 1193300 1672800 Mason


Fréquences de résonances (fr) 222555 712600 1197200 1890200 Variationnelle


Ecart entre fr -0,02% 0,00% -0,33% -13,00% Ecart entre fa 1,12% 0,15% -0,29% -13,06%

Les champs de déplacement correspondant à la fréquence de résonance et ses

harmoniques sont représentés à la Figure III-6.

Déformée de la face L3

1

2

3

4

Figure III-6 : Champs de déplacement obtenu à la fréquence de résonance et ses

harmoniques.

Cette figure confirme bien que les résonances 1, 2 et 3 correspondent à des modes de

dilatation (Yao, Shannigrahi, & Tay, 2004). La fréquence 4 ne correspond pas une

Modélisation de l’admittance électrique, extension de la méthode

harmonique impaire de la fréquence de résonance.

épaisseur le déplacement particulaire suivant

Figure III-7 : Déplacement

Cette figure montre que le déplacement suivant x

n est le numéro d’harmonique

vibration d’une plaque piézoélectrique.

maximal du polynôme d’approximation

fréquences de résonance et d’antirésonance. Cependant un écart fréquentiel est observé à

partir de la 4ème résonance.

polynôme d’approximation est pris égal à quatorze (14) (

Figure III-8 : Impédance et

Modélisation de l’admittance électrique, extension de la méthode

47

de la fréquence de résonance. Pour vérifier s’il s’agit bien d

le déplacement particulaire suivant x3 a été calculé.

Déplacement particulaire selon x3 (x1=x2=0) pour les quatre fréquences

de résonances.

Cette figure montre que le déplacement suivant x3 est homogène à un sin (n*x

d’harmonique du mode. Nous retrouvons donc les harmoniques impaires de

d’une plaque piézoélectrique. La fréquence de 8*fa est due au choix du degré

polynôme d’approximation. Le degré 9 permet de prédire les trois premières


Pour bien prédire cette 4ème fréquence le degré maximal du

n est pris égal à quatorze (14) (Figure III-8).

ce et admittance d’une plaque PMN-34,5PT calculée avec N=14


Pour vérifier s’il s’agit bien d’un mode

=0) pour les quatre fréquences

est homogène à un sin (n*x3/L3) où

Nous retrouvons donc les harmoniques impaires de

au choix du degré

Le degré 9 permet de prédire les trois premières


fréquence le degré maximal du

calculée avec N=14.


48

La quatrième fréquence de résonance qui était prédit avec N=9 à 1893800 Hz se

retrouve à la fréquence de 1675510 Hz pour N=14. La cinquième fréquence de résonance qui

était hors de cette plage de fréquence se retrouve maintenant dans cette bande de fréquence.

Cette harmonique se trouve bien à 7*fa au lieu de 8*fa (SuyvvSÂTwuuÂÂ 7,08). L’écart entre cette

fréquence et celle prédit par le modèle de Mason est inférieur à 0,03%.

Le modèle d’admittance confirme les résultats d’une plaque en mode épaisseur se

trouvant dans la littérature.

III.3.2 Résultats de simulation : Modélisation du spectre d’admittance d’un

cube

Après avoir calculé les fréquences propres du système dans le cas d’un échantillon

avec deux électrodes, les déplacements surfaciques et le potentiel électrique sont calculés pour

en déduire la matrice des charges électriques Q (eq.(III-6)). La matrice d’admittance est

déduite de la matrice des charges et des fréquences propres. La Figure III-9 présente

l’évolution du module de l’admittance électrique en fonction de la fréquence.

Figure III-9 : Module de l’admittance d’un Cube piézoélectrique PMN-34,5PT de

dimension 10X10X10 mm 3.

Dans cette plage de fréquence, seules cinq fréquences sont couplées alors que soixante

quinze fréquences propres y étaient calculées. L’admittance permet ainsi une identification

plus rapide des fréquences électriques que les autres méthodes variationnelles existant dans la


49

littérature (Delaunay et al., 2008; Ohno, 1976). Les fréquences couplées sont regroupées dans

le Tableau III-6 avec les modes correspondant.

Tableau III-6 : Fréquences piézoélectriquement couplées et numéros associés.

N° de résonnance N° mode Fréquences (Hz) Déformée théorique de la face L3

1 12 117714

2 30 167331

3 48 234637

4 50 242701

5 52 255358


50

Ce tableau (Tableau III-6) montre que sur les trente premières fréquences de

résonances seules deux sont couplées. Les modes décrits par ces fréquences sont divers et

variés. Les deux premiers modes sont des modes de dilatation. Le troisième est un mode de

flexion. Tandis que les deux dernières combinent dilatation et cisaillement. La nature de ces

champs de déplacement montre que toutes les constantes des différents tenseurs sont sensibles

à l’admittance du cube.

III.4 Conclusion

Le modèle d’admittance a été décrit. L’introduction d’une seconde électrode dans le

modèle de Delaunay et al. (Delaunay et al., 2008) a permis de montrer qu’il existe un

décalage en fréquence entre les modes de vibrations libre et forcée. La simulation a permis de

montrer que sur les 75 premières fréquences propres, seules 5 correspondent à des résonances

électriques. L’admittance ainsi simulée permet donc une identification plus rapide et plus

efficace des fréquences de résonance que les modèles précédents (Delaunay et al., 2008;

Ohno, 1976). Le mode épaisseur a été choisi pour valider le modèle. Le coefficient de

couplage (en mode épaisseur) obtenu via le modèle d’admittance est identique à celui donnée

par le constructeur. La comparaison des fréquences de résonance et d’antirésonance obtenus

grâce aux modèles de Mason et d’admittance montre une très bonne cohérence entre ces

modèles.

51

Deuxième partie

Etude Expérimentale

52

Dans cette partie, l’influence des électrodes sur le spectre fréquentiel de la

résonance d’un cube piézoélectrique, est mise en évidence. Les dispositifs

expérimentaux, qui ont permis de faire les mesures, sont décrits. Des mesures de

vitesses particulaires normales sont faites grâce à un dispositif d’interférométrie laser

et comparées avec les résultats théoriques. Des mesures électriques (admittances et

impédances électriques) permettent de caractériser les matériaux grâce au modèle

d’admittance. Des échantillons de PMN-34,5PT, PZ21 de dimensions respectives

10x10x10 mm3 et 15x15x15 mm3 et des échantillons de PZ27, PZ52 et PZ54 de

dimensions 4x4x4 mm3 ont été caractérisés.

Spectre de vibration d’un cube piézoélectrique

53

Chapitre IV : Spectre de vibration d’un cube

piézoélectrique

IV.1 Introduction

La mesure de l’admittance électrique du cube piézoélectrique suffit pour extraire

l’ensemble de ses constantes élastiques, piézoélectriques et diélectriques. L’objet de ce

chapitre est de décrire le dispositif expérimental qui a été mis en place pour caractériser des

matériaux. Afin de valider cette méthode de caractérisation, les modes expérimentaux seront

mesurés en utilisant le dispositif d’interférométrie Laser (Babilotte et al., 2011). Les mesures

des vibrations surfaciques dans les trois cas (cube sans électrode, cube avec une électrode et

cube avec deux électrodes) permettront de voir si les résultats de la caractérisation vérifient

les modèles d’Ohno et de Delaunay et al..

IV.2 Dispositifs expérimentaux

IV.2.1 Excitation électrique et détection optique du spectre de vibration

d’un cube piézoélectrique

Figure IV-1 : Schéma de principe d’une mesure de vibration surfacique.

Echantillon

Porte échantillon

Ordinateur de calcul

Générateur Large Bande

Oscilloscope

Interféromètre Laser +

déplacement

Contrôleur OFV500

Contrôleur DC500


54

Le schéma de principe est présenté Figure IV-1. Un générateur d’impulsion large

bande (Sofranel) envoie une excitation électrique sur notre échantillon posé sur un porte

échantillon (bloc d’aluminium + mousse). Les vibrations de la surface sont détectées avec une

sonde laser. Cette sonde optique, associée à une détection électronique à large bande, permet

de mesurer des vitesses mécaniques normales à la surface. Les signaux sont numérisés et

moyennés par un oscilloscope. Un programme Labview permet depuis l’ordinateur

d’automatiser les mesures. L’interféromètre est fixé à un système de déplacement dans le plan

qui nous permet de mesurer la vitesse surfacique sur tous les points de la face et ainsi

reconstituer les modes de vibration à la surface du cube. Une photo du dispositif expérimental

est présentée sur la Figure IV-2.

Figure IV-2 : Dispositif expérimental : Banc de mesure optique.

IV.2.2 Dispositif de mesure d’admittance électrique

Figure IV-3 : Schéma de principe d’une mesure d

Pour mesurer l’admittance électrique (parties réelle et imaginaire) d’un résonateur

piézoélectrique libre en fonction de la fréquence, un analyseur d

mesure d’impédance est utilisé. L’élément piézoélectrique dont les deux faces sont

métallisées est placé dans un système permettant un contact électrique sur chaque face

(métallisée). Dans ces conditions, l’élément piézoélectr

résonateur libre. Le dispositif de mesure est présenté sur la

d’effectuer la mesure, le système global est calibré en mesurant l’impédance de charges de

référence (charge étalon 50 Ω

sont transférées sur un ordinateur via un programme d’acquisition avant d’être traitées.

IV.3 Mesures des vibrations sur un cube de propriétés connues

IV.3.1 Mise en place de l’excitation

Les mesures optiques ont été faites sur des cubes de PMN

étudiés en théorie (échantillon non métallisé, échantillon avec une électrode et échantillon

avec deux électrodes). Pour l’échantillon dépourvu d’électrode la tension d’excitation e

appliquée sur les coins opposés des deux faces perpendiculaires à l’axe de polarisation.

que cela ne soit pas le cas, l’excitation est supposée ponctuelle, car l’intégralité des modes

peut être engendrée avec ce type d’excitation.

les coins comme le montre la Figure


55

Dispositif de mesure d’admittance électrique

Schéma de principe d’une mesure d’admittance électrique


piézoélectrique libre en fonction de la fréquence, un analyseur d’impédance couplé à un kit de



. Dans ces conditions, l’élément piézoélectrique se comporte comme un

résonateur libre. Le dispositif de mesure est présenté sur la Figure IV


Ω, 0 Ω et circuit ouvert). Grâce à un câble de liaison, les mesures


Mesures des vibrations sur un cube de propriétés connues

Mise en place de l’excitation

res optiques ont été faites sur des cubes de PMN-34,5PT dans les trois cas


avec deux électrodes). Pour l’échantillon dépourvu d’électrode la tension d’excitation e

appliquée sur les coins opposés des deux faces perpendiculaires à l’axe de polarisation.


avec ce type d’excitation. Deux petites électrodes sont mises en place sur

Figure IV-4. Leur surface étant très petite devant la surface de la


’admittance électrique.


’impédance couplé à un kit de



ique se comporte comme un

IV-3. Enfin, avant


et circuit ouvert). Grâce à un câble de liaison, les mesures


Mesures des vibrations sur un cube de propriétés connues

34,5PT dans les trois cas


avec deux électrodes). Pour l’échantillon dépourvu d’électrode la tension d’excitation est

appliquée sur les coins opposés des deux faces perpendiculaires à l’axe de polarisation. Bien


trodes sont mises en place sur

. Leur surface étant très petite devant la surface de la

face, leurs influences sur les fréquences de résonances sont supposées négligeables

et al., 2008).

a)

Figure IV-4 : Schéma d’excitation

Le même principe est adopté pour un cube avec une seule électrode. La face arrière

sera entièrement métallisée tandis que la face avant aura une petite électrode sur un coin

(Figure IV-5).

Pour le cube avec deux électrodes les deux faces sont entièrement métallisées comme

montré sur la Figure IV-5.b).

Figure IV-5 : Schéma d’excitation électrique pour un cube avec une électrode

IV.3.2 Résultats expérimentaux

Cube dépourvu d’électrode

La réponse impulsionn

Figure IV-1. Cette mesure est

par pas régulier de 0,5 mm. Ce processus de mesure permet de cartographier la fac

de déterminer les modes de vibration du cube piézoélectrique. La

réponse temporelle mesurée au centre de la face arrière.


56

face, leurs influences sur les fréquences de résonances sont supposées négligeables

a) Face avant b) Face arrière

Schéma d’excitation électrique pour un cube sans électrode (métal en gris)




a) Face avant

b) Face arrière

Schéma d’excitation électrique pour un cube avec une électrode

Résultats expérimentaux

Cube dépourvu d’électrode

La réponse impulsionnelle du cube est mesurée avec le dispositif expérimental de la

faite sur la face arrière du cube (Figure IV-5

. Ce processus de mesure permet de cartographier la fac

de déterminer les modes de vibration du cube piézoélectrique. La Figure

réponse temporelle mesurée au centre de la face arrière.


face, leurs influences sur les fréquences de résonances sont supposées négligeables (Delaunay

(métal en gris).




Schéma d’excitation électrique pour un cube avec une électrode (métal en gris).

elle du cube est mesurée avec le dispositif expérimental de la

.b et Figure IV-4.b)

. Ce processus de mesure permet de cartographier la face et permet

Figure IV-6 présente la


57

Figure IV-6 : Réponse temporelle du cube dépourvu d’électrode (mesure de vitesse au

centre de la face).

A partir de cette réponse temporelle, la réponse fréquentielle du cube piézoélectrique à

une excitation électrique est déduite. Le calcul des réponses fréquentielles de tous les points

de la surface donnent le spectre de vibration de la face. La Figure IV-7 présente l’évolution

fréquentielle de la vitesse de vibration de deux points (coin et milieu de la face arrière).

Figure IV-7 : Vitesse de vibration en fonction de la fréquence (milieu et coin de la face)

Cette figure prouve que toutes les vibrations de la face ne sont pas perceptibles à tous

les points de la face. Les déplacements donnant lieu aux

mesuré sur un coin n’existent pas (où sont très atténués) dans le cas du spectre mesuré au

milieu de la face. Ce sont des modes de flexion ou de torsion. Par contre le mode n°1 du

spectre mesuré au milieu correspond à un

la face et a une amplitude plus grande

sur tous les points de la face permettent de représenter la vibration de la face en fonction de la

fréquence. Ces résonances correspondent à des modes propres de vibration du matériau. Les

fréquences propres des vibrations mesura

fréquences sont regroupées dans le

Tableau IV-1 : Fréquence des résonances

159200 186300

Cube avec une électrode

Le même dispositif expérimental

cube avec une électrode. Cette fois

Figure IV-


58

que toutes les vibrations de la face ne sont pas perceptibles à tous

déplacements donnant lieu aux résonances n°1 et n°2 du spectre


des modes de flexion ou de torsion. Par contre le mode n°1 du

spectre mesuré au milieu correspond à un mode de dilatation car il est perceptible au coin de

la face et a une amplitude plus grande au milieu de la face. Le calcul des spectres fréquentiels


nce. Ces résonances correspondent à des modes propres de vibration du matériau. Les

propres des vibrations mesurables au centre de la face sur cette bande de

fréquences sont regroupées dans le Tableau IV-1.

: Fréquence des résonances sensibles au centre de la face

Fréquences en Hz

208300 243100 260200 279100

Cube avec une électrode

Le même dispositif expérimental permet de mesurer les vibration

cube avec une électrode. Cette fois-ci la face arrière est entièrement métallisée

-8 : Vitesse de vibration en fonction de la fréquence


que toutes les vibrations de la face ne sont pas perceptibles à tous

nances n°1 et n°2 du spectre


des modes de flexion ou de torsion. Par contre le mode n°1 du

mode de dilatation car il est perceptible au coin de

. Le calcul des spectres fréquentiels


nce. Ces résonances correspondent à des modes propres de vibration du matériau. Les

bles au centre de la face sur cette bande de

sensibles au centre de la face

291300

ibrations dans le cas d’un

métallisée.

en fonction de la fréquence.


59

Un spectre montre que les coins sont beaucoup plus sensibles aux vibrations de la face

observée (Figure IV-8). Le nombre de résonances retrouvé sur les coins est de 19 tandis que

ce nombre est de 10 au centre de la face. La différence de réflexivité entre l’électrode et la

partie sans électrode peut expliquer que certains modes n’ont pas pu être visualisés dans le

premier cas. La métallisation permet une meilleure réflectivité du faisceau Laser. Le Tableau

IV-2 donne les fréquences des résonances retrouvées au centre de la face.

Tableau IV-2 : Fréquence des résonances sensibles au centre de la face

Fréquences en Hz

139200 149000 166100 178500 208500

237800 242700 261900 280100 290500

Ces fréquences des vibrations sont différentes de celles du cube sans électrode. La

comparaison des différents modes mesurés à ces fréquences permet d’évaluer l’impact de

l’électrode.

Cube avec deux électrodes :

Figure IV-9 : Vitesse de vibration surfacique en fonction de la fréquence.


60

Le spectre obtenu est beaucoup plus sélectif (Figure IV-9). Les fréquences couplées

piézoélectriquement sont plus basses que précédemment. Les fréquences couplées sont

regroupées dans le Tableau IV-3 qui présente les fréquences des résonances retrouvées au

centre de la face.

Tableau IV-3 : Fréquence des résonances sensibles au centre de la face

Fréquences en Hz

126000 168500 177400 240100 245400 262100

L’introduction de la nouvelle électrode décale les fréquences de résonances. Dans ce

cas le nombre de mode couplé est moins important que précédemment. L’introduction d’une

seconde électrode rigidifie la structure donc certains modes se retrouvent en très hautes

fréquences. De plus l’excitation sur les deux électrodes entières favorise plus les modes de

dilatation.

IV.3.3 Comparaison théorie-expérience :

Les fréquences propres et les champs de vibration expérimentaux des résonances

perceptibles au centre de la face sont comparés aux résultats théoriques.

Comparaison théorie-expérience : Cas sans électrode

La Tableau IV-4 montre une assez bonne adéquation entre les champs de vitesses

théoriques et expérimentaux même si le rapport signal sur bruit des signaux mesurés n’est pas

des meilleurs. Mais les valeurs des fréquences correspondantes sont assez éloignées surtout

pour les deux premiers modes avec un écart de 13900 Hz soit 8,73% pour le premier et 8400

Hz soit 4,5% pour le deuxième mode. Pour ces deux modes les champs de vitesse entre

théorie et expérience sont déphasés de π. Cette différence peut résulter d’un problème de

calage de la phase.

L’identification a été très difficile voire impossible en hautes fréquences car la

transformation électromécanique est faible et donc certains point sont noyés dans du bruit.


61

Tableau IV-4 : Comparaison entre modes et fréquences théoriques et expérimentaux

Fréquences

Exp. (Hz) Déformée modale Exp.

Fréquences

Théo. (Hz) Déformée modale théorique

159200 145260

186300 177948

208300 205266

243100 242520

Comparaison théorie expérience : Cas avec une électrode

La Tableau IV-5 montre une assez bonne adéquation théorie-expérience au niveau des

fréquences de résonance et des champs de vitesse. Plus la fréquence est élevée, plus il y’a

divergence entre les fréquences de résonance des modes théoriques et expérimentaux (7 et

21% en haute fréquences). Les propriétés utilisées en entrée du modèle ont été extraites par


62

Delaunay et al. Les mesures de vibration ont été faites dans les mêmes conditions que dans

cette étude (cube avec une électrode et excitation sur le coin) (Delaunay et al., 2008). C’est

pour cela que la correspondance est meilleure dans ce cas.


Fréquences


Fréquences

Théo. (Hz) Déformée modale Théorique

139200

136859

149000

144714

166100

161136

178600

177157


63

208500

201656

237800

237890

242700

245605

261900

259741

280100

302059

Comparaison théorie-expérience : Cas avec deux électrodes

Le Tableau IV-6 montre que certains modes précédemment prédits se retrouvent plus

bas en fréquence. L’introduction d’une seconde électrode confirme que les fréquences de

résonance deviennent de plus en plus basses par rapport au cas avec une électrode.


64


Fréquences


Fréquences


126000

117714

168500

198433

177400

167331

240100

245908

245400

242701


65

262100

255538

La Figure IV-10 présente une comparaison des spectres mesurés au centre de la face

dans les trois cas (cube sans électrode, cube avec une électrode et cube avec deux électrodes).

Figure IV-10 : Comparaison des trois spectres expérimentaux (bleu : sans électrode ; noir :

avec une électrode et rouge : avec deux électrodes).

L’introduction d’une électrode change les conditions aux limites électriques sur cette

face. Ce changement de conditions aux limites électriques influence la vibration du cube.

IV.4 Mesures électriques sur un cube de propriétés connues

Dans cette partie sont présentés les résultats des mesures électriques. Ces mesures ont

permis d’obtenir l’impédance et l’admittance électrique du cube de PMN-34,5PT de

dimensions 10x10x10 mm3. Ces grandeurs sont représentées sur la Figure IV-11.


66

Figure IV-11 : Mesures électriques : partie réelle et imaginaire de l’impédance et

l’admittance électrique d’un cube de PMN-34,5PT

La Figure IV-11 montre cinq résonances dans cette plage de fréquence. Ces

fréquences sont regroupées dans le Tableau IV-7.

Tableau IV-7 : Fréquences couplées piézoélectriquement

Fréquences des résonances électriques en Hz

126900 177470 239400 244530 260870

IV.4.1 Comparaison entre mesure électrique et mesure de vibration :

La Figure IV-12 présente les amplitudes normalisées des spectres de vibration

mécaniques et le module du spectre d’admittance. Les résonances électriques et mécaniques

sont confondues. Ceci est dû au fait que les vibrations mécaniques sont excitées

électriquement (voir protocole de mesure au Laser). Les fréquences de résonances du spectre

d’admittance correspondent aux modes résonants couplés.

Figure IV-12 : Comparaison des fréquences de résonnance

IV.4.2 Comparaison théorie expérience

Dans le modèle d’admittance, le matériau est considéré sans perte, la partie réelle de

l’admittance est donc nulle. Ce sont les modules des admittances théorique et expérimentale

qui sont comparés.

Figure IV-13 : Comparaison des


67

Comparaison des fréquences de résonnances électriques et mécaniques

expérimentales

Comparaison théorie expérience :


. Ce sont les modules des admittances théorique et expérimentale

Comparaison des spectres d’admittance théorique (noir) et

expérimental (rouge).


lectriques et mécaniques


. Ce sont les modules des admittances théorique et expérimentale

d’admittance théorique (noir) et


68

IV.4.3 Discussion

La Figure IV-13 montre que les deux spectres d’admittance (théorique et

expérimental) ont le même nombre de résonances (cinq). Pour le spectre expérimental la

quatrième résonance est peu visible car noyée dans du bruit. Il faut ainsi se référer à la partie

réelle de l’admittance pour bien la distinguer (voir Figure IV-11). Cependant les résonances

ne sont pas localisées aux mêmes endroits. Cette différence peut s’expliquer par le fait que les

propriétés utilisées ont été extraites d’un cube avec une seule électrode. Cependant les modes

prédits théoriquement sont les mêmes que ceux obtenus en pratique (Tableau IV-8).

Le Tableau IV-8 montre une bonne adéquation entre les modes de résonance

théoriques et expérimentaux. La plupart des modes observés sont des modes de dilatation

(épaisseur).

Tableau IV-8 : Comparaison entre modes théoriques et expérimentales.

N°

mode

Déformée théorique de la face

L3

Déformée expérimentale de la

face L3

1

2

3


69

4

5

IV.5 Conclusion

Les dispositifs expérimentaux présentés dans ce chapitre ont permis de mesurer

l’admittance électrique et d’engendrer et d’identifier les modes de vibration des échantillons.

L’admittance électrique ainsi mesurée permettra d’extraire les propriétés fonctionnelles des

échantillons. Les mesures des vibrations dans les trois cas (sans électrode, une électrode et

deux électrodes) confirment le décalage en fréquence prédit en théorie. Les mesures des

modes de vibration permettront de valider les résultats de la caractérisation. Cette étude

montre une bonne correspondance entre modes prédits par l’admittance théorique et ceux

donnés par l’admittance expérimentale.

Jusqu’à présent le matériau était considéré sans perte. L’introduction des pertes

entraine une atténuation des amplitudes et donc une meilleure adéquation entre amplitude

théorique et expérimentale. Dans le chapitre suivant les pertes électriques et mécaniques sont

évaluées et introduites dans le modèle.


70

Evaluation des pertes globales ramenées d’un cube piézoélectrique

71

Chapitre V : Evaluation des pertes globales ramenées

d’un cube piézoélectrique

V.1 Introduction des pertes dans les modèles de vibration d’un

cube

Dans un matériau piézoélectrique, deux mécanismes de pertes interviennent, d’une

part les pertes mécaniques et d’autre part les pertes diélectriques (Feuillard, 1993).

V.1.1 Prise en compte des pertes mécaniques et diélectriques

Les pertes mécaniques sont une conséquence de la propagation des ondes dans les

céramiques. Elles sont dues aux frottements internes générés dans ces matériaux (Zaitsev,

Feuillard, & Diallo, 2012).

On considère d’abord les pertes mécaniques, en faisant abstraction des propriétés

électriques et piézoélectriques. Aux fréquences qui nous intéressent, les pertes mécaniques

sont d’origines viscoélastiques. Leur existence dans ce milieu mécanique se traduit par

l’apparition de coefficients d’élasticité complexes. Si l’on veut prendre en compte ce terme,

nous devons considérer le matériau non piézoélectrique. Cela revient donc à considérer le

matériau à champ électrique constant. Le coefficient d’élasticité complexe s’écrit (Loyau,

2004; Royer & Dieulesaint, 1999) :

)1( mjECEC δ+= (V-1)

où mδ représente les pertes mécaniques.

D’un point de vue diélectrique (en faisant abstraction des phénomènes mécaniques), si

le matériau est libre de se déformer (déformation non nulle), le déplacement des particules va

pouvoir contribuer, au travers d’un moment dipolaire non nul, à l’induction électrique. Par

contre, dans le cas d’une déformation nulle, le moment dipolaire induit est nul et donc il n’y a

pas de contribution d’origine mécanique. Les pertes purement diélectriques, δe , interviennent

donc sur la constante diélectrique à déformation constante et a pour forme (Loyau, 2004;

Royer & Dieulesaint, 1999):


72

)1( ejss δεε −= (V-2)

V.1.2 Impact sur le déplacement mécanique

La méthode de Rayleigh-Ritz est toujours utilisée mais, dans le cas d’un matériau avec

pertes, ap et br deviennent complexes. Les polynômes de Legendre restent inchangés. Les

éléments des matrices d’interactions élastiques et diélectriques deviennent complexes. Par

conséquent les valeurs propres et les vecteurs propres aussi sont complexes. Les déplacements

deviennent donc complexes (présence de parties réelle et imaginaire).

∑=

=N

pppaiu

1ψ (V-3)

où ui est le déplacement complexe et ap les nouvelles valeurs propres du système d’équations

aux valeurs propres.

V.1.3 Impact sur l’admittance électrique

L’admittance électrique d’un matériau sans perte est donnée par l’équation (III-8).

Cependant une céramique sans pertes n’existe quasiment pas. L’admittance électrique

devient :

[ ]∑ −− +−

=µ

µ

µµ

ωωω

ω 2122

)2()1(21 Cj

QQjY (V-4)

avec µµµ)()()(

' nnnjQQQ += où µ

)(nQ et µ)(' nQ représentent, respectivement, la quantité de charge et

les pertes capacitives sur la surface n pour le mode propre µ.

L’introduction des pertes fait apparaître une partie réelle dans l’équation de l’admittance

électrique. Cette partie réelle est proportionnelle à la quantité de chaleur dissipée par effet

Joule.

V.2 Evaluation des pertes sur un cube de propriétés connues

V.2.1 Mesure des pertes mécaniques

Dans un premier temps considérons que les pertes diélectriques sont nulles et que les

pertes élastiques sont approximativement égales à l’inverse du facteur de qualité. Dans ce cas

le facteur de qualité de chacune des cinq résonances électriques sera mesuré. Cette valeur est

donnée par la relation:


73

rf

ff

rf

f

Qm121 −

=∆==≅ δδ (V-5)

Le Tableau V-1 donne le facteur de qualité de chaque résonance.

Tableau V-1 : Facteur de qualité et pertes mécaniques sur les différentes résonances.

N° Résonnance 1 2 3 4 5

Fréquence de résonnance (fr

en Hz) 126900 177470 239400 244530 260870

Fréquence 1 (f1 en Hz) 126600 176630

242800 260470

Fréquence 2 (f2 en Hz) 127230 178300

244930 261230

Facteur de Qualité (Q) 201,43 106,27

114,80 343,25

Pertes élastiques (δm) 4,96.10-3 9,41.10-3

8,71.10-3 2,91.10-3

Le Tableau V-1 montre que le facteur de qualité diffère d’une résonance à l’autre. La

mesure sur la troisième résonance n’a pas été possible en raison du faible rapport signal sur

bruit. Les fréquences à la mi-hauteur n’ont pas pu être mesurées. Un facteur de perte moyen,

de 6,65 10-3, est utilisé pour une première approximation.

Cette valeur de perte a été introduite dans le tenseur élastique. La Figure V-1

représente l’admittance électrique obtenue.


74

Figure V-1 : Admittance électrique après l’introduction des pertes mécanique.

V.2.2 Mesure des pertes électriques

L’admittance électrique (V-4) est la somme de deux admittances.

2121 YYY +=− (V-6)

avec : [ ]∑−

=µ

µ

µµ

ωωω

22

)2()1(1

QQjY (admittance dynamique) et 212 −= CjY ω (admittance statique).

Les résonances résultent de l’impédance dynamique et la pente de l’admittance

clampée. L’angle entre la tangente de la partie réelle de l’admittance théorique et celle

expérimentale est due à l’admittance clampée (voir Figure V-2). L’admittance clampée peut

s’écrire :

( )jCCjY e +== −− δωω 21212 . (V-7)

Cette admittance peut se mettre sous la forme :

jXRY +=2 (V-8)

La Figure V-2 permet de déterminer la partie réelle de l’admittance clampée R.


75

Figure V-2 : Tangente des admittances électriques expérimentale (noir) et théorique

(bleu).

Les pertes électriques sont calculées en prenant une valeur de cette pente et la

fréquence correspondante (sauf pour f=0). Pour la fréquence de 0,3 MHz, les pertes

électriques obtenues sont de l’ordre de 1,38.10-2.

En introduisant les pertes électriques dans le modèle d’admittance les courbes (noir)

de la Figure V-3 sont obtenues.

Figure V-3 : Admittances électriques (en bleu pertes mécaniques seules et en noir après

introduction des pertes électriques).


76

L’introduction de facteurs de pertes globaux mécaniques et diélectriques permet de

modéliser non seulement les positions des fréquences de résonance de l’admittance électrique

mais aussi leur amplitude et leur largeur à mi-hauteur. Ces deux valeurs de pertes

(mécaniques et électriques) ne constituent que des valeurs de départ. Une optimisation est

donc nécessaire pour avoir le meilleur couple (pertes mécaniques-pertes électriques)

permettant d’avoir une meilleure adéquation théorie-expérience.

V.3 Conclusion

Cette étude montre que la partie réelle de l’admittance électrique résulte des pertes

dans le matériau. L’admittance électrique théorique a été comparée à celle expérimentale et

les pertes électriques et mécaniques ont été évaluées. L’introduction de ces pertes dans le

modèle a permis d’obtenir un meilleur facteur de qualité. Cependant, les fréquences

théoriques et expérimentales ne concordent pas.

Dans la partie suivante, les paramètres d’entrées seront optimisés pour obtenir une

bonne adéquation entre théorie et expérience. Les propriétés ainsi obtenues sont utilisées

comme valeurs d’entrée dans les modèles d’Ohno (cube sans électrode), de Delaunay (cube

avec une électrode) et de cube avec deux électrodes. Les résultats obtenus sont comparés aux

résultats expérimentaux. Les erreurs relatives sur les fréquences des modes sont comparées

avec celles obtenues avec les paramètres d’entrée.

77

Troisième partie

Caractérisations tensorielles des céramiques

78

L’identification des tenseurs élastiques, piézoélectriques et diélectriques a été faite

grâce à une procédure d’optimisation des paramètres. Cette procédure permet d’ajuster les

paramètres d’origine pour avoir une meilleure adéquation entre l’admittance électrique

théorique et celle expérimentale. Le système a onze inconnues car les matériaux sont

anisotropes et symétriques (structure hexagonale). En prenant en compte la relation C12= C11-

2C66 le nombre d’inconnues passe de onze à dix. Le nombre de fréquences couplées étant plus

petit que le nombre d’inconnues il n’est donc pas aisé de déterminer correctement les valeurs

exactes des tenseurs car les solutions peuvent être multiples. Une procédure de minimisation

sera donc utilisée pour optimiser les paramètres ajustés.

Stratégie d’inversion et caractérisations tensorielles de céramiques

79

Chapitre VI : Stratégie d’inversion et caractérisations

tensorielles de céramiques

VI.1 Méthodes de traitement inverses : stratégie d’inversion

VI.1.1 Introduction

Afin de trouver les paramètres ajustées d’un modèle, ses résultats doivent être

comparés à des mesures expérimentales à travers une boucle de rétroaction. Pour ce faire, il

est alors indispensable de définir une condition sur la minimisation de l’écart entre le

comportement théorique et réel et sur l’agissement des variables d’entrée du modèle, comme

le montre le schéma Figure VI-1 (Delaunay, 2006) :

Figure VI-1 : Schéma du principe de minimisation

La fonction de minimisation F(e) est le plus souvent définie par le principe des

moindres carrés. Cette fonction se définit comme suit :

or ∑ ||T . (VI-1)

VI.1.2 Sensibilité des fréquences de résonance aux paramètres d’entrée

Le Tableau VI-1 quantifie l’écart fréquentiel dû à un petit écart sur la valeur des

paramètres d’entrées. Il montre que, pour un cube métallisé entièrement sur les deux faces, les

fréquences de résonance sont plus sensibles aux coefficients en 3 (31,33). Cela est dû à la

présence des électrodes sur les faces L3 et –L3 et à la polarisation qui est suivant l’axe x3.

Cette sensibilité montre qu’il peut avoir une combinaison des valeurs d’entrées qui donnera en


80

sortie des fréquences de résonance identiques à celles expérimentales. Cependant cette étude

de sensibilité montre que les fréquences dépendent de tous les coefficients du tenseur.

Tableau VI-1 : Sensibilité des fréquences de résonance aux propriétés du matériau

Mode 1 2 3 4 5

%/GPa

∆f/∆CE11 0,07 0,04 0,02 0,01 0,02

∆f/∆CE33 0,75 0,43 0,24 0,13 0,14

∆f/∆CE44 0,02 0,04 0,25 0,29 0,31

∆f/∆CE66 -0,69 -0,19 0,30 0,48 1,03

∆f/∆CE13 -1,59 -0,92 -0,60 -0,29 -0,20

%/C/m2

∆f/∆e15 0,03 0,11 0,13 0,19 0,08

∆f/∆e31 -0,15 -0,45 -0,21 -0,12 -0,11

∆f/∆e33 0,12 0,31 0,17 0,12 0,07

%/nF/m ∆f/∆εS11 0,00 -0,08 -0,08 -0,04 0,00

∆f/∆εS33 -0,07 -0,19 -0,11 -0,12 -0,05

VI.1.3 Sensibilité des amplitudes des résonances aux paramètres d’entrée

Le Tableau VI-2 quantifie l’écart d’amplitude des résonances dû à un petit écart sur la

valeur des paramètres d’entrées pour les valeurs de pertes calculées précédemment. Cette

sensibilité nous montre qu’il peut exister une combinaison des valeurs d’entrées qui donnera

en sortie des amplitudes identiques à celles expérimentales. Globalement les amplitudes des

résonances sont plus sensibles aux coefficients piézoélectriques.

L’examen des deux tableaux de sensibilité (Tableau VI-1 et Tableau VI-2) montre que

les deux premières résonances sont globalement plus sensibles aux coefficients C33, C13, e31,

e33 et ε33. Ces deux résonances correspondent donc à des modes de dilatation.


81

Tableau VI-2 : Sensibilité de l’amplitude des résonances aux propriétés du matériau

Mode 1 2 3 4 5

%/GPa

∆H/∆CE11 -0,73 -0,67 3,47 1,92 -1,26

∆H/∆CE33 -1,13 0,03 -1,95 4,83 -3,44

∆H/∆CE44 0,03 0,06 -7,11 12,33 -13,04

∆H/∆CE66 1,17 0,65 -23,60 -38,17 10,16

∆H/∆CE13 2,07 0,51 -2,84 -14,93 2,51

%/C/m2

∆H/∆e15 0,09 -0,12 -14,68 11,70 -8,69

∆H/∆e31 -6,78 -0,95 -17,31 4,06 -1,18

∆H/∆e33 6,22 2,47 6,80 13,53 2,10

%/nF/m ∆H/∆εS11 0,04 0,09 1,37 -3,12 1,71

∆H/∆εS33 -0,17 2,24 -0,94 -5,97 4,31

VI.1.4 Ajustement global du spectre d’admittance

Pour ajuster de façon globale le spectre d’admittance il faut ajuster dans un premier

temps les fréquences de résonance et dans un second temps faire un ajustement global en

introduisant la hauteur des résonances. Pour ce faire il faut définir un critère de minimisation

de l’écart entre celles mesurées et celles calculées par le modèle. Ici, ce critère est basé sur la

minimisation de la valeur ∆mc (∆mc1 pour les fréquences et ∆mc2 pour les amplitudes) définie

par (Schwarz & Vuorinen, 2000; Brian Zadler et al., 2002) :

∆V9S ∑ Ç<ÈÉÊËÌéÉoÎr p<ÏÐÑÏËÑéÉoÎr ÇÎ∑ Ç<ÈÉÊËÌéÉoÎr ÇÎ . eVI-2)

∆V9T ∑ ÇÒÈÉÊËÌéÉoÎr pÒÏÐÑÏËÑéÉoÎr ÇÎ∑ ÇÒÈÉÊËÌéÉoÎr ÇÎ . (VI-3)

L’ajustement des constantes, suivant ce critère, est ensuite réalisé grâce à la méthode

du simplexe. Cette algorithme est schématisé Figure VI-2.


82

Figure VI-2 : Schéma du principe de l’algorithme du simplexe

VI.2 Caractérisations tensorielles à partir des mesures

électriques

VI.2.1 Introduction

Le simplexe a été appliqué au modèle d’admittance pour extraire toutes les propriétés

fonctionnelles des céramiques. Les densités ont été mesurées sur les échantillons ayant servi

pour l’expérience. Les résultats des caractérisations ont été utilisés comme valeurs d’entrée

OUI

Echantillon

Estimation des constantes

Fréquences et Amplitudes des

résonances (expérience)

Mesure de l’admittance électrique

Propriétés fonctionnelles

extraites

Ecart entre théorie et expérience inférieur

ou égal ∆mc

Modification des propriétés

NON

Fréquences et Amplitudes des résonances (théorie)

Calcul de l’admittance électrique ( par le model)


83

des modèles d’Ohno (Ohno, 1976) et de Delaunay (Delaunay et al., 2008). Ces simulations

permettent de valider la méthode de caractérisation.

VI.2.2 Résultats pour la céramique PMN-34,5PT

Les résultats obtenus pour le PMN-34,5PT sont présentés dans le Tableau VI-3.

Tableau VI-3 : Propriétés d’une céramique PMN-34,5PT extraites grâce au modèle au modèle

d’admittance.

Propriétés Unités Valeurs

Initiales

Valeurs

Ajustées

Masse Volumique ρ Kg/m3 8060

Rigidité Elastique

EC11 GPa 174,7 192,79

EC12 GPa 116,61 136,2

EC13 GPa 119,3 123,62

EC33 GPa 154,8 156,96

EC44 GPa 26,7 24,98

EC66 GPa 29,0 28,27


S11ε 0ε 2373 2143

S33ε 0ε 2825 2664


15e C/m2 17,1 17,24

31e C/m2 -6,4 -7,29

33e C/m2 27,3 28,76

Coefficient de couplage kt % 40 43

Pertes mécaniques δm % 0,54

Pertes électriques δe % 0,885

Les tenseurs obtenus sont quasi-identiques aux valeurs de départ sauf pour les

coefficients C11 et C12 qui sont très grands par rapport aux valeurs de départ. Ceci peut

s’expliquer par le fait que les valeurs initiales ont été obtenues grâce à un cube métallisé sur

une seule face et que le modèle de Delaunay et al ne prend pas en compte les pertes dans le


84

matériau. Le nouveau kt est supérieur au premier car quand le matériau durcit, il se renforce

au niveau du couplage électromécanique.

VI.2.3 Optimisation des pertes électriques et mécaniques

Les tenseurs ayant changé, une procédure d’optimisation a été lancée pour déterminer

à nouveau les pertes électriques et mécaniques en même temps. L’optimisation se fait avec les

deux hypothèses décrites précédemment. Cette optimisation permet d’obtenir les valeurs

présentées au Tableau VI-3.

VI.2.4 Fiabilité des résultats obtenus

Pour vérifier la fiabilité des résultats obtenus, une comparaison des spectres

d’admittance théorique (utilisant les paramètres ajustés) et pratique a été faite. Les modes de

vibrations théoriques et pratiques dans les trois cas étudiés précédemment (cube sans

électrode, modèle d’Ohno, cube avec une face métallisée, modèle de Delaunay et cube avec

deux faces métallisées) ont été comparés.

Comparaison des spectres d’admittances

Le spectre d’admittance obtenu est en adéquation avec celui expérimental (Figure

VI-3 et Figure VI-4). Cependant, il faudra comparer le modèle avec les modèles existants

dans la littérature.


85

Figure VI-3 : Partie réelle de l’admittance électrique : théorie (rouge) et expérience (noir)

Figure VI-4 : Partie imaginaire de l’admittance électrique : théorie (rouge) et expérience

(noir)

Comparaison des champs de déplacement

Cube sans électrode : Modèle d’Ohno

La comparaison des champs de déplacement des particules expérimentaux à ceux

théoriques montrent que le tenseur extrait par le modèle d’admittance donne une meilleure

adéquation théorie-expérience (voir Tableau VI-4).


86

Tableau VI-4 : Comparaison entre modes et fréquences théoriques et expérimentaux

Fréquences


Fréquences


159200

157214

186300

189061

208300

217677

243100

248534

L’écart maximal en fréquences est de 8,73% dans le cas du tenseur extrait par

Delaunay alors qu’il est de 4,51% dans le cas du tenseur extrait du modèle d’admittance. Pour

le cas du cube sans électrode, les paramètres extraits du modèle d’admittance semblent être

plus en adéquation avec l’expérience que ceux extraits par le modèle vibrationnel (Tableau

VI-5). Certains modes ont l’air de ne pas correspondre mais ceci n’est dû au fait que la

réception laser des modes n’est pas des meilleure quand le cube n’est pas métallisé. En plus le


87

coefficient de couplage électromécanique est très faible quand le cube est dépourvu

d’électrode.

Tableau VI-5 : Comparaison des fréquences expérimentales et théoriques

Fréquences

Expérimentale (0)

(Hz)

Tenseur de

Delaunay (1)

(Hz)

Tenseur extrait

avec le modèle

d'admittance (2)

(Hz)


159200 145260 157214 8,73% 1,22%

186300 177948 189061 4,49% -1,47%

208300 205266 217677 1,45% -4,51%

243100 242520 248534 0,23% -2,24%

Cube avec une électrode : Modèle de Delaunay

Sur certains modes la transformation électromécanique n’est pas importante ce qui

explique qu’ils ne sont pas bien représentés. Il faut aussi noter qu’expérimentalement il est

difficile de mesurer le déplacement sur les bords de la face. La comparaison des champs de

déplacement des particules expérimentaux à ceux théoriques montre que le tenseur extrait par

le modèle d’admittance donne une bonne adéquation théorie expérience (Tableau VI-6).


Fréquences


Fréquences

Théo. (Hz) Déformée modale Théorique

139200

139967

149000

156417


88

166200

166099

178500

187520

208500

213708

237800

233550

242700

246105

261900

266349


89

280100

289552

290500

299992


Delaunay (Delaunay et al., 2008) alors qu’il est de 5,08% dans le cas du tenseur extrait du

modèle d’admittance. Dans le cas du cube avec une électrode, les paramètres extraits du

modèle vibrationnel donnent une bonne adéquation théorie expérience en basses fréquences.

Cependant, pour les hautes fréquences, on note une forte divergence entre fréquences

théoriques et expérimentales. Le tenseur extrait du modèle d’admittance donne une bonne

adéquation en hautes et en basses fréquences (Tableau VI-7).


Fréquences

Expérimentale (0)

(Hz)

Tenseur de

Delaunay (1)

(Hz)

Tenseur extrait avec

le modèle

d'admittance (2) (Hz)


139200 136859 139967 1,71% -0,52%

149000 144714 156417 2,88% -4,97%

166100 161136 166099 2,99% 0,00%

178500 177157 187520 0,73% -5,08%

208500 201656 213708 3,29% -2,49%

237800 237890 233550 -0,03% 1,79%

242700 245605 246105 -1,20% -1,40%

261900 259741 266349 0,83% -1,69%

280100 302059 289552 -7,85% -3,38%

290500 351736 299992 -21,10% -3,28%


90

Cube avec deux électrodes

Dans ce cas le coefficient de couplage est plus important donc les modes

expérimentaux sont mieux représentés et l’indentification est beaucoup plus facile à faire que

dans les cas précédents. La comparaison des champs de déplacement expérimentaux à ceux

théoriques montrent que le tenseur extrait par le modèle d’admittance donne une meilleure

adéquation théorie expérience (Tableau VI-8).


Fréquences


Fréquences


126000

127321

168500

165387

177400

177540

240100

240537


91

245400

246032

262100

260750


Delaunay (Delaunay et al., 2008) alors qu’il est de 1,87% dans le cas du tenseur extrait du

modèle d’admittance (Tableau VI-9). Dans ce cas, les paramètres extraits du modèle

vibrationnel donnent des fréquences assez divergentes de celles obtenues en pratique. Le

tenseur extrait du modèle d’admittance donne une bonne adéquation que ce soit en haute ou

en basse fréquence.


Fréquences

Expérimentale (0)

(Hz)

Tenseur de

Delaunay (1)

(Hz)

Tenseur extrait

avec le modèle

d'admittance (2)

(Hz)


125600 117714 127321 6,54% -1,08%

168500 198433 165387 -17,74% 1,87%

177400 167331 177540 5,67% -0,09%

240100 245908 240537 -2,42% -0,18%

245400 242701 246032 1,12% -0,24%

262100 255538 260750 2,50% 0,51%

Les figures (Figure VI-3 et Figure VI-4) et les tableaux (de Tableau VI-4 à Tableau VI-9)

montrent que les résultats expérimentaux en terme de résonance électrique et de déformée


92

modale sont en bon accord avec les calculs issus des valeurs ajustées des propriétés

fonctionnelles du cube de PMN-34,5PT données préalablement (Tableau VI-3).

VI.2.5 Résultats pour la céramique PZ-21:

Le modèle d’admittance a été appliqué à la caractérisation d’un cube de PZ-21 de

dimensions 15x15x15 mm 3. Les mesures électriques ont permis d’obtenir l’admittance

électrique du cube de PZ-21.

Résultats

Grâce au modèle d’admittance la totalité des tenseurs du cube de PZ-21 a pu être

extraite ainsi que les pertes électriques et mécaniques associées.

Les résultats ainsi obtenus (Tableau VI-10) sont proches des valeurs données par le

constructeur de ces céramiques (Ferroperm, n.d.). Une comparaison entre les spectres

d’admittances théoriques et expérimentales mais aussi entre les fréquences des modes

théoriques et expérimentales permettra de juger la validité des résultats. La comparaison des

spectres d’admittances théorique et expérimental est présentée Figure VI-5.


93

Tableau VI-10 : Propriétés d’une céramique de PZ-21PT

Propriétés Unités Valeurs de

départ

Valeurs de

Ferroperm

Valeurs Ajustées

(Modèle

d’admittance)

Masse Volumique ρ Kg/m3 7700 7780 7700

Rigidité Elastique

EC11 GPa 172 114 123,08

EC12 GPa 122 75,6 80,81

EC13 GPa 107 72,4 73,68

EC33 GPa 140 111 106,12

EC44 GPa 22,4 26,3 20,87

EC66 GPa 25,1 19,2 21,13


S11ε 0ε 1114 2121 1514

S33ε 0ε 903 1981 1675


15e C/m2 16,36 16,19 13,43

31e C/m2 -6,9 -2,92 -2,19

33e C/m2 27,3 23,4 29,21

Pertes mécaniques δm % 3 ,5 - 1,5

Pertes électriques δe % 3 - 2

Vérifications des résultats

Comparaison des spectres d’admittances


94

Figure VI-5 : Admittance électrique du cube de PZ-21PT : expérimentale (noir) et théorie

(bleu) après ajustement

La comparaison des spectres théorique et expérimental montre une assez bonne

adéquation entre spectre théorique et expérimental. L’écart observé sur la seconde résonance

est dû au fait qu’un facteur de perte global est utilisé.

Comparaison des fréquences de modes

La cartographie de la face arrière du cube avec une seule électrode a été faite grâce au

dispositif d’interférométrie laser. Les fréquences des groupes des modes identifiées

expérimentalement ont été comparées avec celles données par le modèle théorique d’Ohno en

utilisant les propriétés extraites de l’admittance comme paramètres d’entrée du modèle. Les

fréquences de résonance ont été mesurées jusqu’à environ 200 kHz.

Le Tableau VI-11 présente la comparaison des fréquences des modes théoriques et

expérimentales. Les modes théoriques de vibration du cube sont obtenus grâce au modèle

d’OhnO (cube dans des conditions libre-libre) (Ohno, 1976). Le tenseur extrait ci-dessus

(Tableau VI-10) est utilisé comme valeurs d’entrée du modèle. Ce tableau montre une bonne


95

adéquation pour toutes les fréquences sauf pour B1u(2) dont l’écart est de 13% (pour les

champs de vitesse, voir Annexe 7). Le tenseur extrait du modèle d’admittance est donc

satisfaisant.

Tableau VI-11 : Comparaison des fréquences théoriques et expérimentales des groupes

identifiés

Groupes identifiés

Fréquences

Expérimentales

(Hz)

Fréquences

Théoriques

(Hz)

Ecart

Torsion 51653 51520 0,26%

Flexion (selon x2/x3) 72558 68358 5,79%

Torsion 85528 85310 -2,20%

Dilatation 93768 93016 0,80%

Flexion (selon x3) 110401 109546 0,77%

Cisaillement (selon x3) 140919 144036 -1,99%

Flexion (selon x3) 144429 163408 -13,14%

Cisaillement (selon x3) 198904 205194 -2,61%

Cette étude a permis d’évaluer les propriétés fonctionnelles de la céramique PZ-21.

Les propriétés extraites sont cohérentes avec celles données par le constructeur (Ferroperm,

n.d.). Dans la suite cette procédure sera utilisée pour caractériser d’autres matériaux.

VI.2.6 Détermination des propriétés d’autres matériaux

Avec la même procédure les propriétés caractéristiques des matériaux suivant : PZ27

de dimensions 3,99 x 4,01 x 4,01 mm3, PZ52 de dimensions 4 x 4 x 3,91 mm3 et PZ54 de

dimensions 4,02 x 4,02 x 4,02 mm3 (de masses respectives 0,5032 g, 0,462 g et 0,5085 g) ont

été déterminées.

Le Tableau VI-12 présente le récapitulatif des propriétés extraites des spectres

d’admittances des matériaux cités ci-dessous. Ces propriétés permettent d’obtenir une bonne

adéquation entre les spectres d’admittances théoriques et expérimentales. Les valeurs ainsi

obtenues sont proches de celles données par le constructeur (Ferroperm, n.d.).


96

Tableau VI-12 : Tableau récapitulatif des propriétés de matériaux caractérisés avec

l’admittance électrique

Propriétés Unités PZ27 PZ52 PZ54

Masse Volumique ρ kg/m3 7840 7380 7830

Rigidité Elastique

EC11 GPa 153 114,4 157,2

EC12 GPa 108 65,4 104,7

EC13 GPa 87 64,56 93,75

EC33 GPa 111 101,23 129,36

EC44 GPa 25 21 24,3

EC66 GPa 22,5 24 ,5 26,25


S11ε 0ε 1117 1113 1306

S33ε 0ε 911 651 1249


15e C/m2 9,6 8,53 9,49

31e C/m2 -2,96 -3,64 -2,86

33e C/m2 19,2 25,97 23,68

Pertes mécaniques δm % 1,49 0,33 0,26

Pertes électriques δe % 1,01 0,2 0,14

VI.3 Conclusion

Le modèle numérique de l’admittance électrique est bien adapté pour la caractérisation

de matériaux piézoélectriques. Le dispositif expérimental mis en place est simple et très facile

à réaliser contrairement à l’interférométrie laser. Les résultats obtenus avec cette méthode sur

le PMN-34,5PT sont en parfaite adéquation avec celles données dans la littérature.

L’admittance a aussi permis d’identifier les propriétés fonctionnelles de la céramique PZ21.

Ces deux échantillons ont des dimensions de 10 mm et 15 mm. De plus l’admittance

électrique à permis d’extraire les tenseurs des céramiques PZ-27, PZ-52 et PZ-54 d’environ 4


97

mm de coté. Les mesures d’admittance permettent donc de caractériser des échantillons de

très petites tailles contrairement aux mesures par interférométrie laser.

Les résultats obtenus semblent cohérents car ils vérifient le modèle vibrationnel

d’Ohno (Ohno, 1976). Les résultats du PMN-34,5PT ont permis d’obtenir une meilleure

adéquation théorie-expérience que ceux du PZ-21 car son spectre d’admittance a un meilleur

facteur de qualité. Pour le PZ-21 le facteur de qualité est médiocre (inférieur à 65) ce qui se

traduit par des pertes plus élevées et donc une moins bonne concordance entre les résonances

théoriques et pratiques. La mesure de la densité des matériaux a été faite avec les deux

électrodes donc la densité réelle du matériau peut être différente de celle utilisée dans les

calculs ce qui peut se traduire par un léger décalage en fréquence.


98

Effet de la taille de l’électrode sur

Chapitre VII : Effet de la taille de l’électrode sur le

spectre d’admittance électrique

VII.1 Introduction

Jusqu’à présent le modèle d’admittance déve

complètes sur les deux faces perpendiculaires à la polarisation. Les tenseurs extraits peuvent

donc prendre en compte les propriétés électromécaniques des électrodes. Il faudra donc

évaluer l’influence des électrodes

piézoélectriques et diélectriques des céramiques.

Dans ce chapitre l’électrode du bas (x

haut (x3=L3) aura différentes tailles et l’admittance électrique sera cal

configuration d’électrode. Les tailles choisi

(configuration 1), 4/25 (configuration 6), 9/25 (configuration 7), 16/25 (configuration 8) et

25/25 (configuration 9) par rapport à la

l’électrode du haut certains modes seront généré

spectres d’admittance pour chaque configuration permettront de comparer théori

expérience.

VII.2 Calcul de l’admittance électrique d

électrode partielle

VII.2.1 Choix des fonctions de base

Figure VII-1 : Cube piézoélectrique avec une électrode entière et une électrode partielle

Effet de la taille de l’électrode sur le spectre d’admittance électrique

99

Effet de la taille de l’électrode sur le

spectre d’admittance électrique

Introduction

modèle d’admittance développé prenait en compte deux électrodes



évaluer l’influence des électrodes sur chaque coefficient des tenseurs élastiques,

piézoélectriques et diélectriques des céramiques.

Dans ce chapitre l’électrode du bas (x3=-L3) ne sera pas changée

) aura différentes tailles et l’admittance électrique sera cal

configuration d’électrode. Les tailles choisies pour l’électrode du haut sont


25/25 (configuration 9) par rapport à la surface de la face x3=L3. En fonction de la taille de

ut certains modes seront générés et d’autres annihilés. Les mesures des

spectres d’admittance pour chaque configuration permettront de comparer théori

Calcul de l’admittance électrique d’un cube avec une

Choix des fonctions de base

Cube piézoélectrique avec une électrode entière et une électrode partielle

le spectre d’admittance électrique

Effet de la taille de l’électrode sur le

loppé prenait en compte deux électrodes



sur chaque coefficient des tenseurs élastiques,

cependant celle du

) aura différentes tailles et l’admittance électrique sera calculée pour chaque

s pour l’électrode du haut sont : 1/25


. En fonction de la taille de

s et d’autres annihilés. Les mesures des

spectres d’admittance pour chaque configuration permettront de comparer théorie et

’un cube avec une

Cube piézoélectrique avec une électrode entière et une électrode partielle


100

La Figure VII-1 présente la nouvelle configuration du cube piézoélectrique dont

l’admittance électrique est à calculée.

Les fonctions de bases précédemment choisies pour le déplacement mécanique restent

inchangées. Cependant la nouvelle configuration impose un changement des fonctions de base

du potentiel électrique. Ainsi, le potentiel électrique doit être le même sur toute la partie

métallisée et libre dans la partie sans électrode. Comme dans le cas du cube avec deux

électrodes entières les électrodes seront ici aussi court-cuitées et mises à la masse pour

simplifier les calculs des matrices d’interactions piézoélectriques et diélectriques. Les

fonctions de base choisies pour le potentiel électrique sont :

Bf 1~6S6T6w HJS6SK HJT6TK A HJw6wK (VII-1)

où

f¢ HxwLwK o1r¢ H1 xwLwKT P¢ HxwLwK pour la partie métalisée,

o1r¢ 12 H1 xwLwK P¢ HxwLwK pour la partie libre. - (VII-2)

La première fonction est celle utilisée dans le cas de deux électrodes entières et la

deuxième fonction est celle utilisée dans le cas d’un cube avec une seule électrode.

La matrice d’interaction élastique reste inchangée car les fonctions de base du

déplacement mécanique restent les identiques. Cependant il faudra calculer les nouvelles

matrices d’interaction piézoélectrique et diélectrique.

VII.2.2 Calcul des nouvelles matrices d’interaction piézoélectrique et

diélectriques

La fonction de base du potentiel électrique est une fonction par partie. Les intégrales

volumiques doivent donc prendre en compte les bornes de l’électrode partielle. Les

contributions volumiques des fonctions de bases d’un cube avec une seule électrode sont

connues et ainsi que celles avec deux électrodes entières. Elles peuvent donc être utilisées

dans le cas d’une électrode partielle.

Les tableaux (II-1, II-2 et II-3) regroupant les définitions des matrices d’interactions

élastique, piézoélectrique et diélectrique restent inchangés. Les coefficients Gk restent

inchangés pour la matrice d’interaction élastique car l’expression des fonctions de base du

déplacement est la même que dans le chapitre II. Cependant ils sont modifiés pour les


101

matrices d’interactions piézoélectrique et diélectrique. La Figure VII-2 présente le principe

utilisé pour le calcul de ces coefficients Gk pour les matrices d’interactions piézoélectrique et

diélectrique dans le cas d’une électrode partielle.

Pour calculer les interactions volumiques des différentes fonctions de base dans un

cube avec une électrode pleine et une électrode partielle, le calcul se fait en quatre phases.

a) Cube avec une électrode pleine et une

électrode partielle.

b) Délimitation des deux électrodes en

regard

c) Coupe suivant les deux électrodes en

regard

d) L’électrode du haut est retirée sur le

premier parrallélepipéde

e) Remplacement du parrallélépipéde avec

électrode par celui sans électrode

supérieure dans le cube

f) Cube avec une électrode entière sur une

face

Figure VII-2 : Schéma de principe du calcul des matrices d’interactions


102

Phase 1 : les interactions volumiques dans un cube avec une seule électrode seront

calculées (figure f).

Phase 2 : dans un second temps, les interactions volumiques dans un parallélépipède

rectangle dont la surface de base est égale à la surface de l’électrode partielle et considéré

avec une seule électrode entière seront calculées (parallélépipède figure d).

Phase 3 : dans un troisième temps, interactions volumiques dans le parallélépipède

rectangle précédent seront calculées en considérant qu’il possède deux électrodes entières

(parallélépipède figure c).

Phase 4 : enfin les interactions volumiques dans le cube avec une électrode partielle et

une électrode pleine seront donc obtenues en faisant 1-2+3 (cube figure a).

Tableau VII-1 : Nouvelles définitions des Gk de la matrice interaction piézoélectrique

tS Q5o=r d5do=r d5ddo=rR 6ST

tT Q5o=r 5ddo=r 5dddo=rR 6TT

tw Q55o=r 5d5do=r 5d5ddo=rR 6wT

tx Q5o=r 5ddo=r 5dddo=rR 6T6w

tv Q5o=r 5ddo=r 5dddo=rR 6T6w

tu Q5o=r d5do=r d5ddo=rR 6w6S

ty Q5o=r d5do=r d5ddo=rR 6w6S

tz Qo=r ddo=r dddo=rR 6T6S

t Qo=r ddo=r dddo=rR 6T6S

Les Dij, Eij et Fij sont les mêmes que dans ceux dans la matrice d’interaction élastique

précédemment calculée (voir Annexe 1). Le calcul des coefficients¡¢o=r,¡¢o=r, ¡¢o=r , ¡¢o=r, jo:r, jo:r , jo:r et jo:r

est le même que pour un cube avec une seule électrode et est présenté en

Annexe 2.


103

5dj, dj, dj dj sont définies comme suit :

5dj Ý oÞrjoÞrÞß

ßà mVII-3)

dj Ý oÞrÞ joÞrÞ Þß

ßà (VII-4)

dj Ý oÞr joÞrÞ Þß

ßà (VII-5)

dj Ý oÞrÞ joÞrÞß

ßà (VII-6)

où X0 et X1 sont respectivement les coordonnées de début et de fin de l’électrode.

Tableau VII-2 : Nouvelles définitions des Gk de la matrice interaction diélectrique

GS QD¥¥jδ§§jC¢¢jo©r Dd¥¥jδd§§jC¢¢jo©r Dd¥¥jδd§§jCd¢¢jo©r R LST

GT Qδ¥¥jD§§jC¢¢jo©r δd¥¥jDd§§jC¢¢jo©r δd¥¥jDd§§jCd¢¢jo©r R LTT

Gw Qδ¥¥jδ§§jD¢¢jo©r δd¥¥jδd§§jD¢¢jo©r δd¥¥jδd§§jDd¢¢jo©r R LwT

Gx Qδ¥¥jE§§jF¢¢jo©r δd¥¥jEd§§jF¢¢jo©r δd¥¥jEd§§jFd¢¢jo©r R LTLw

Gv Qδ¥¥jF§§jE¢¢jo©r δd¥¥jFd§§jE¢¢jo©r δd¥¥jFd§§jEd¢¢jo©r R LTLw

Gu QF¥¥jδ§§jE¢¢jo©r Fd¥¥jδd§§jE¢¢jo©r Fd¥¥jδd§§jEd¢¢jo©r R LwLS

Gy QE¥¥jδ§§jF¢¢jo©r Ed¥¥jδd§§jF¢¢jo©r Ed¥¥jδd§§jFd¢¢jo©r R LwLS

Gz QE¥¥jF§§jC¢¢jo©r Ed¥¥jFd§§jC¢¢jo©r Ed¥¥jFd§§jCd¢¢jo©r R LTLS

G QF¥¥jE§§jC¢¢jo©r Fd¥¥jEd§§jC¢¢jo©r Fd¥¥jEd§§jCd¢¢jo©r R LTLS

Les coefficients définis pour le Tableau VII-1 sont valables pour le Tableau VII-2. Les

valeurs do=r, do=r , do=r , do=r , djo:r, djo:r , djo:r et djo:r sont identiques à celles

présentées dans l’Annexe 4 (cube avec deux électrodes). Le calcul de la première intégrale est

explicité à l’Annexe 3.


104

VII.3 Validation sur un cube de PMN 34,5PT

Le cube de PMN-34,5PT précédemment étudié est utilisé pour cette nouvelle étude.

Une des deux électrodes est remplacée par une petite électrode de taille 1/9ème de la surface de

la face. La petite électrode a une forme carrée et est placée sur un coin de la face.

L’admittance électrique théorique dans cette nouvelle configuration a été calculée en

utilisant les résultats de la caractérisation du Tableau VI-3. Cependant les pertes mécaniques

et électriques ont été revues à la hausse et prises respectivement égales à 2% et 1,4% car en

excitant plus de modes on augmente les pertes. L’admittance expérimentale est obtenue grâce

au dispositif expérimental décrit dans le Chapitre IV (paragraphe IV.2.2). La Figure VII-3

présente une superposition des spectres d’admittance théorique et expérimentale.

Figure VII-3 : Module de l’admittance électrique d’un cube de PMN34,5PT avec une

électrode partielle

Cette figure montre une assez bonne adéquation des deux spectres d’admittance. Les

quelques différences notées peuvent provenir des dimensions exactes de l’électrode mais aussi

surtout aux facteurs de pertes globaux introduits dans le modèle car ils ont été estimés à partir


105

des pertes obtenues pour une excitation sur deux électrodes entières. On constate l’apparition

de petites résonnances correspondant à des modes de flexion et de torsion avant le premier

mode de dilation qui se situe aux environs de 150 KHz alors que ces modes étaient quasi-

inexistants dans le spectre d’admittance avec deux électrodes entières. Le spectre

d’admittance devient plus riche en résonances, cependant leur hauteur est beaucoup plus

petite. Le mode de dilation s’est décalé de 126 kHz avec les deux électrodes entières à 150

kHz avec une électrode partielle.

VII.4 Application à des cubes de Pz27

VII.4.1 Présentation des échantillons

Le modèle précédemment décrit a été appliqué à quatre cubes de Pz27 avec une

électrode entière sur une des faces perpendiculaires à l’axe de polarisation et une électrode

partielle sur la face opposée. Les électrodes partielles ont une forme carrée et pour dimensions

respectives 1/25, 4/25, 9/25, 16/25 et 25/25 par rapport à la surface de la face du cube. La

Figure VII-4 présente la disposition et la taille de l’électrode supérieure dans cette étude.

Figure VII-4 : Configuration de l’électrode supérieure des échantillons

Ces échantillons ont été fabriqués par Meggit Sensing System. Ils ont des dimensions

10x10x10 mm3 et ont été polarisés avec deux électrodes entières perpendiculairement aux

électrodes avant d’enlever l’électrode supérieure et la remplacer par une électrode partielle.

VII.4.2 Comparaison des différents spectres d’admittance

Les propriétés fonctionnelles de la céramique Pz27 utilisées dans cette simulation sont

celles calculées dans le chapitre précédant (Tableau VI-12). Les pertes électriques et

mécaniques de ce tableau sont utilisées dans ce calcul bien qu’elles soient calculées pour une

Config1 Config6 Config7 Config8 Config9


106

excitation sur deux électrodes entières. Les mesures d’admittance sont faites avec le dispositif

expérimental décrit au Chapitre IV.

La Figure VII-5 présente une superposition de l’évolution fréquentielle des spectres

théoriques (figure a) et expérimentaux (figure b) obtenus pour les cinq configurations

d’électrodes étudiées (config1, config6, config7, config8 config9).

a) Théorie b) Expérience

Figure VII-5 : Comparaison des cinq spectres théoriques de l’admittance électrique

Les spectres théoriques et expérimentaux montrent que le nombre de modes excités

dépend de la taille de l’électrode. La configuration 1 montre dix résonances en théorie (neuf

en expérience) tandis que la configuration 9 ne montre que trois résonances que ce soit en

théorie ou en expérience. Dans le premier cas, l’excitation est faite de telle sorte que les

vibrations libres du cube soient observées. Dans le cas de deux électrodes complètes sur les

deux faces la structure se rigidifie et seuls les modes de dilatation sont excités. Les amplitudes

des résonances dépendent aussi de la taille de l’électrode.

Les résultats théoriques et expérimentaux montrent un décalage de la résonance

principale vers les basses fréquences. La Figure VII-6 présente l’évolution de cette résonance

en fonction de la surface de l’électrode partielle. Dans la configuration 1 cette résonance est

localisée à 148 kHz en expérimental. Elle se retrouve à 124,8 kHz dans le cas de la

configuration 9.


107

Figure VII-6 : Evolution de la résonance principale en fonction de la surface de l’électrode

(rouge : théorie et bleu : expérience)

VII.5 Conclusion

L’influence de l’électrode dans le spectre d’admittance a été étudiée dans ce chapitre.

Les admittances électriques théoriques ont été modélisées dans le cas d’un cube avec une

électrode entière sur une face et une électrode partielle sur la face opposée. Ce modèle a été

validé avec un matériau de référence (PMN-34,5PT), avant d’être appliqué à des cubes de

Pz27 avec différentes tailles de l’électrode partielle. Les admittances expérimentales ont été

mesurées pour chaque configuration d’électrode. La comparaison des spectres théoriques et

expérimentaux a permis de relever un décalage de la résonance principale vers les basses

fréquences. Le nombre de résonances dépend de la taille de l’électrode. Plus l’électrode est

petite plus le couplage est petit et plus les pertes électriques et mécaniques sont grandes.

Ce travail n’est pas encore exhaustif car l’étude théorique a été faite avec un seul

couple de perte pour toutes les configurations. Il faudra donc en toute rigueur calculer les

pertes ramenées pour chaque configuration. L’optimisation des pertes permettra ainsi de

déterminer la partie imaginaire de tous les coefficients des tenseurs élastique et diélectrique.

109

Conclusion et Perspectives

110

La connaissance des propriétés fonctionnelles des matériaux piézoélectriques est très

importante pour le dimensionnement des systèmes ultrasonores. Cependant cette

caractérisation de matériaux pose un certain nombre de problèmes. Les méthodes actuels sont

très limités. Les unes utilisent très souvent plusieurs échantillons pour déterminer l’ensemble

des propriétés du matériau. Il est cependant préférable d’en utiliser qu’un seul pour palier

l’inhomogénéité des matériaux et les difficultés de reproductibilité. Les autres utilisent un seul

échantillon cependant leur utilisation est limitée par la taille des échantillons, la complexité du

dispositif expérimental, les délais de l’expérimentation et de l’identification des modes et ne

prennent pas en compte les pertes électriques et mécaniques dans le matériau.

Dans ce travail une nouvelle méthode basée sur la spectroscopie de résonance

ultrasonore a été mise en place pour palier ces problèmes de méthode (utilisation de plusieurs

échantillons) et d’expérimentation (temps de mesures et délai d’identification). Cette méthode

consiste à ajuster, au spectre d’admittance mesuré via le dispositif d’impédancemétrie, le

spectre d’admittance théorique. L’avantage de cette méthode est le fait qu’elle utilise non

seulement un échantillon pour extraire toutes les propriétés fonctionnelles de matériaux mais

aussi que le dispositif expérimental est très simple à mettre en œuvre et l’acquisition de

l’admittance expérimentale ne dure que quelques minutes (5 min maximum pour un

échantillon). De plus suivant les conditions d’excitation électrique les pertes électriques et

mécaniques résultant peuvent être évaluées. C’est ainsi qu’un modèle d’admittance électrique

de matériaux piézoélectriques de formes parallélépipédiques a été développé. Ce modèle

d’admittance a été validé grâce au modèle de Mason en prenant des dimensions latérales très

grandes devant l’épaisseur de l’échantillon. La comparaison des fréquences de résonance et

d’antirésonance obtenus grâce aux modèles de Mason et d’admittance montre une très bonne

cohérence entre ces modèles.

Les pertes électriques et mécaniques ont été évaluées et introduites dans le modèle

d’admittance. Il en résulte que la partie réelle de l’admittance est l’image des pertes

électriques et mécaniques. L’introduction des pertes dans le modèle a permis d’obtenir un

meilleur facteur de qualité théorique.

Le modèle numérique de l’admittance électrique s’est avéré bien adapté pour la

caractérisation de matériaux piézoélectriques. Le dispositif expérimental mis en place est

simple et facile à réaliser et ne nécessite pas a priori l’identification des modes de vibration.

Les résultats obtenus avec cette méthode sur un matériau étalon (PMN-34,5PT dont les

propriétés sont connues) sont en adéquation avec celles données dans la littérature. Les

111

propriétés fonctionnelles de la céramiques PZ21 ont aussi été extraites. Ces deux échantillons

ont des dimensions respectives de 10 mm et 15 mm donc très adaptées pour vérifier des

mesures laser. Les propriétés ainsi extraites ont été utilisées comme paramètres d’entrées des

modèles d’Ohno et de Delaunay et al.. Elles permettent ainsi d’obtenir des fréquences quasi

identiques pour les modes recueillis par l’interféromètre laser. De plus l’admittance

électrique a permis d’extraire les tenseurs des céramiques PZ-27, PZ-52 et PZ-54 d’environ 4

mm de coté. Les mesures d’admittance peuvent donc caractériser des échantillons de petites

tailles.

Le modèle d’admittance est ensuite adapté à des céramiques avec de nouvelles

configurations d’électrodes afin de modéliser l’influence des électrodes sur les fréquences de

résonance et les pertes électriques et mécaniques par rapport à la taille des électrodes. L’une

des faces perpendiculaires à la polarisation est entièrement métallisée tandis que la face

opposée a une électrode partielle (de 1/25 à 1).

Dans le futur l’influence des électrodes sur les propriétés fonctionnelles extraites des

céramiques sera étudiée. Une correction de ces propriétés sera donc mise en place (calcul de

la partie imaginaire de tous les coefficients).

Actuellement les fonctions de bases choisis (polynômes de Legendre) permettent

seulement de modéliser l’admittance électrique de matériaux parallélépipédiques. Cependant

en introduisant d’autres types de fonctions de bases stables et faciles d’intégration, il sera

possible d’étendre ce modèle à d’autres types de géométrie. La prise en compte des pertes

dans le modèle d’admittance permettra aussi de modéliser l’échauffement (dissipation

thermique) dans les céramiques piézoélectriques.

A

Annexes

B

Annexe 1 : Description des Dij, Eij et Fij dans le cas du cube sans

électrode

Les fonctions de bases utilisées sont des polynômes de Legendre. Les fonctions de Legendre sont

les solutions de l’équation différentielle suivante :

0)1()1( 2 =++

− ynndx

dyx

dx

d. (A.1.1)

La formule de Rodrigues donne une équation du polynôme de Legendre sous la forme :

[ ]

−

=

=sinon. )1(

!2

1

,0 si 1

)(2 n

n

n

n

n

xdx

d

n

n

xP (A.1.2)

La figure suivante présente de représentation graphique de Pn(x) pour n=1,2,3,4,5,6 :

Figure A.1.1 : Représentation graphique du polynôme de Legendre Pn(x) pour les six premiers

ordres (Delaunay, 2006).

Ce graphique montre que les polynômes de Legendre sont à moyenne nulle sauf pour n=1. Le

nombre de lobe dépend du degré du polynôme de Legendre. La moyenne de ces fonctions est nulle.

C

Les matrices Г, Ω et Λ défines dans les tableaux 1, 2 et 3 sont calculées dans les travaux

d’OHNO [Ohno]. Le calcul de Г sera explicité pour le cas EijklC = EC1111. Pour ce faire les équations

(2.15) et (2.18) seront utilisées.

∫∫∫

∂∂

+∂

∂

∂∂

+∂

∂=Γ=Γ

v

ppppEpppp dV

xxxxC .

4

1

1

1'

1

1'

1

1

1

11111''

ψψψψ (A.1.3)

En utilisant la relation (2.22)

∫∫∫

=Γ v dVL

xP

L

xP

L

xP

L

xP

dx

L

xdP

dx

L

xdP

LLL

EC

pp .3

3'

3

3

2

2'

2

2

1

1

1'

1

1

1

321

1111' ννµµ

λλ (A.1.4)

En posant i

ii

L

xX = cette équation devient :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫−−−

=Γ1

1

3

1

1

2

1

121

1111 3'32'211

1'

1

11' dXXPXPdXXPXPdX

dX

XdP

dX

XdP

LCpp

E

ννµµλλ (A.1.5)

( ) ( )444444 3444444 21

1

11

1'

1

11'

1

121

''1111

G

E dXdX

XdP

dX

XdP

LCpp ∫

−

=Γ λλδδ ννµµ (A.1.6)

Les valeurs des Gk de l’équation (2.27) sont obtenues par extension de ce calcul aux autres

combinaisons des (i,j,k,l).

Les Dij, Eij et Fij sont définis comme suit :

( ) ( )( )

( )

+≥+++

+≥+++

== ∫−

sinon, 0

paire, 'et ' si 2/11'212

paire, 'et ' si 2/'1'1'212

'1

1

' λλλλλλλλ

λλλλλλλλ

λλλλ dX

dX

XdP

dX

XdPD (A.1.7)

D

( )( )

+<++

== ∫− sinon, 0

impaire, 'et ' si 1'212'1

1

'

λλλλλλλλλλ dX

dX

XdPXPE (A.1.8)

( )( )

+>++

== ∫− sinon. 0

impaire, 'et ' si 1'212

'

1

1

'

λλλλλλλ

λλλ dXXP

dX

XdPF (A.1.9)

E

Annexe 2 : Description des coefficients des matrices d’interaction

piézoélectrique et diélectrique dans le cas du cube avec une

électrode

Les fonctions de bases du potentiel électrique changent pour répondre aux conditions aux limites

électriques dues à la présence de l’électrode. L’équation (II-36) a été choisie pour répondre à ses

critères. La figure suivante présente la représentation graphique de fn(x) pour n=1,2,3,4,5,6 :

Figure A.2.1 : Représentation graphique du polynôme de Legendre fn(x) pour les six premiers

ordres (Delaunay, 2006).

Les fonctions ne sont plus symétriques et la moyenne n’est plus nulle pour toutes les fonctions.

Détermination de la matrice d’interaction piézoélectrique

F

Le calcul des coefficients )( pCνη , )( pDνη , )( pEνη et )( pFνη est présenté dans la thèse de Thomas

Delaunay (Delaunay, 2006). Ils ont pour expressions :

( ) ( )( ) ( )

( )

=−−

=+++

=

Π== ∫

−

sinon, 0

,1 si 12

,1 si 321

, si 1

2

11

1

)(

ηννν

ηννν

ην

ηννη dXXfXPC p (A.2.1)

( ) ( )( )( )( )( )

+>++

+>+

<+

Π== ∫−

impaire, et si 221

,paire et si 21

, si 211

1

)(

ηνηνηη

ηνηνηη

ηνννην

νη dXdX

Xf

dX

XPD p (A.2.2)

( )( )

( ) ( )

<

=++

Π== ∫−

sinon, 0

, si 1

, si 1211

1

)( ην

ηνννη

ννη dXdX

XfXPE p (A.2.3)

( )( )

( )

>

=+

Π== ∫−

sinon, 0

, si 1

, si 121

1

)( ην

ηννν

ην

νη dXXfdX

XPF p (A.2.4)

où .2

12)1(

+−=Π νη

Détermination de la matrice d’interaction diélectrique :

Les coefficients )('

dCηη , )('

dDηη , )('

dEηη et )('

dFηη sont calculés dans la thèse de Thomas Delaunay

[Delaunay]. Ils ont pour expressions :

G

( ) ( )

( )( ) ( )( )( )( )

( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )( )

=+++++

=−++++

=−+

=++

=−+−+

Θ== ∫−

sinon, 0

,'2 si 1'1'24''

,'2 si 1'1'24'

,'1 si 1-1'2'

,'1 si 1'2'

,' si 314213

'

1

1

)('

ηηηηηηηη

ηηηηηηηη

ηηηη

ηηηη

ηηηηηη

ηηηη dXXfXfC d (A.2.5)

où 12

)1( '

+−=Θ

+

η

ηη

,

( ) ( )( )( )( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

>++−

<++−

=++++

==

+

+

−∫

,' si 211''1

,' si 2111

,' si 1241121

'

'

'1

1

)('

ηηηη

ηηηη

ηηηηηηηη

ηη

ηηηη dX

dX

Xf

dX

XfD d (A.2.6)

( )( )

( )( )( )

=−−

=++−

=

−== +

−∫

sinon, 0

,'1 si 412

,'1 si 1'412'

,' si 21

1'

22

22

'1

1

)('

ηηηη

ηηηη

ηη

ηη

ηηηη dX

dX

XfXfE d (A.2.7)

( )( ) ( )

( )( )

=+−

=−+−

=

−== +

−∫

sinon. 0

,'1 si '412'

,'1 si 1412

,' si 21

1' 22

22

'1

1

)('

ηηηη

ηηηη

ηη

ηη ηη

ηη dXXfdX

XfE d (A.2.8)

H

Annexe 3 : Calcul d’intégral

Les coefficients des matrices d’interaction piézoélectrique et diélectrique ont été calculés dans le

document Cependant ce cas étant celui utilisé pour la détermination de l’admittance électrique, le calcul

de la première intégrale permettant de déterminer )( pCνη sera explicité.

∫ ∫− −−−+=

1

1

1

1

2 )( )1()1( )(2

12)()( dxxPxxPdxxfxP β

βαβα

α (A.3.1)

−++−= ∫∫

−−

1

1

21

1

)()()()()12)(12(2

)1(dxxPxPxdxxPxP βαβα

β

βα

++

++

++

++−

+++−= ∫

−−+−+

1

1

1111 )(12

)(12

1)(

12)(

12

1

12

2)12)(12(

2

)1(dxxPxPxPxP ββαααβ

β

ββ

ββ

αα

ααδ

αβα

−++−

−+++−

++++−

+++++−

+

++−=

−−

+−−+

++

)1)(1(

)1)(1()1)(1(

)1)(1(

12

2

)12)(12(

12

2

)12)(12(

)1(

32

2

)12)(12(

)1(

32

2

)12)(12(

)1)(1(

12

2

)12)(12(2

)1(

βα

βαβα

βααβ

β

δαβα

βα

δαβα

βαδαβα

βα

δαβα

βαδα

βα

∫−

+=−++

+−

−=+++

+−

=

−+

++

+−

−=1

1

22

sinon. 0

,2 si 12

1

)12)(12(

)1(

,2 si 32

1

)12)(12(

)1(

, si 1232

)1(

12

11

)1()()(

βααβα

βα

βααβα

αβ

βααα

αα

α

ββα dxxfxP

I

Annexe 4 : Calculs des coefficients des matrices d’interaction

piézoélectrique et diélectriques

• Matrice d’interaction piézoélectrique

∫−

+=−++

+−

−=+++

+−

=

−+

++

+−

−=1

1

22

)(

sinon, 0

,2 si 12

1

)12)(12(

)1(

,2 si 32

1

)12)(12(

)1(

, si 1232

)1(

12

11

)1()()(

ηννην

ην

ηνννν

νη

ηννν

νν

ν

ηηννη dxxfxPC p (A.4.1)

( )∫− ++++++∏−=1

1

)( 7654321)1()()(

DDDDDDDdxdx

xdf

dx

xPdD p ηην

νη

(A.4.2)

où

++>++++

+++−

=

sinon, 0

paire, et 1 si 1)1)/(22(12

2

12

)1(4

1ηνηνβη

νν

ηη

D

+−>++++

−

=

sinon, 0

paire, et 1 si 1)1)/(22(12

4

2ηνηννν

ηη

D

+≤++

−+++++−+

+≥++

−+++++−+

=

sinon, 0

paire, et si )12)(12(

)1()2)(1)(1)(1()1(

paire, et si )12)(12(

)1()2)(1)(1)(1()1(

3 ηνηνην

νννηννηννν

ηνηνην

ηηνηηηηνηη

D

+≤++

+≥−

+++−=

sinon, 0

paire, et 2- si )2)(1(

paire, et 2- si )1(

)12)(12(

)1(4 ηνηννν

ηνηνηη

ηνην

D

J

++≤−

++≥++

+++−=

sinon, 0

paire, et 2 si )1(

paire, et 2 si )2)(1(

)12)(12(

)1(5 ηνηννν

ηνηνηη

ηννη

D

+−<+

=sinon, 0

paire, et 1 si 1) /(226

ηνηνηηD

+=+

=sinon, 0

paire, et si 1) /(227

ηνηννD

( )321 )1()()(1

1

)( EEEdxxfdx

xPdE p ++∏−=∫−

ηη

ννη (A.4.3)

où

+<

−+−

+++

=

sinon, 0

impaire, et si )12)(12(

2

3)1)(2(2

1)2(-2

1

22

ηνηνηη

ηηη

ηE

++<++

++−=

sinon, 0

impaire, et 2 si 3)1)(2(2

2)()12(

2ηνην

ηηηη

E

+<+

−−=

sinon, 0

impaire, et 2- si 1)-1)(2(2

1)(2

3ηνην

ηηηη

E

( )321 )1()(

)(1

1

)( FFFdxdx

xdfxPF p ++∏−=∫−

ηηννη (A.4.4)

où

+>

−+−

+++

=

sinon, 0

impaire, et si )12)(12(

2

3)1)(2(2

1)2(-2

1

22

ηνηνηη

ηηη

ηF

++>++

++−=

sinon, 0

impaire, et 2 si 3)1)(2(2

2)()12(

2ηνην

ηηηη

F

K

+>+

−−=

sinon, 0

impaire, et 2- si 1)-1)(2(2

1)(2

3ηνην

ηηηη

F

avec : 2

1212 ++=∏

ην.

• Matrice d’interaction diélectrique

∫−+

−=+−+

−++

++

+=+

++−−

−++

+=

−+

++

−−−

+++

+++

−+

++

++++

−+++−

−=+

−+

++

++++

−+

++

++++

+++

++++−

=−+

++

−+

++

++

++++++

−+

++

+−

−==1

1

22

22

2222

2

2222

2

2222

''

)('

sinon, 0

,4' si 52

1

)1')(23(2

1)'('

1'212

)2)(1(

,4' si 3'2

)2')(1'(

3))(21(2

1)(

1'212

1

,2' si 1'2

'

3'2

)1'(

3))(21(2

2)(

1'212

1

3'2

1)'2)('(

1232

)1(

12

1

1'212

1

12

2

)1'2)(12(

)1'(

,2' si '-12

1)'('

1232

)1(

12

1

1'212

1

1'2

'

3'2

)1'(

3)5)(2(2

2)1)((

1'212

1

32

2

)1'2)(12(

)1('

,' si )12)(12(

)1(

3-2

1

1232

)1(

12

1

52

1

)32)(12(

)2()1(

1232

)1(

12

21

)1()()(

ηηηηη

ηηηη

ηη

ηηη

ηηηη

ηηηη

ηηηη

ηη

ηηηη

ηηηηη

ηη

ηη

ηηηηηηην

ηηηηη

ηη

ηη

ηηηηη

ηη

ηηηη

ηηηηηηη

ηηηη

ηηηη

ηη

ηη

ηηηηη

ηη

ηη

η

ηηηηηη dxxfxfC d

(A.4.5)

∫− +++++−==1

1

)('

')(' A5A4A3A2A1)1(

)()( pd Ddxdx

xdf

dx

xdfD ηη

ηηηηη (A.4.6)

L

+≤−++−

−++

+++

+

++

−++

+++

++++

++++

++

+−

+≥−+

−−

−++

+++

+

+

−++

+++

++++

+++

++

+−

∏−= +

sinon, 0

paire, 'et '-2 si )1'2)(1'2(

)1)(1'('

)12)(12()32)(12(

)1(

)3)(2()1'2)(1'2(

'

)3'2)(1'2(

)1'(

)32)(12(

)2)(1()3)(2(

32

2

12

1

paire, 'et '-2 si )1'2)(1'2(

)1')(2'('

)12)(12()32)(12(

)1(

)1'(')1'2)(1'2(

'

)3'2)(1'2(

)1'(

)32)(12(

)2)(1()1'('

32

2

12

1

)1(A1

22

22

222

22

'

ηηηηηηηηηη

ηηη

ηηη

ηηηη

ηηη

ηηη

ηηηηη

ηη

η

ηηηηηη

ηηηηη

ηηη

η

ηηηη

ηηη

ηηη

ηηηηη

ηη

η

ηη

+≤−−+−

−+−

−+

+

−++

+++

−++

+++

+

++

++++

++++

++

−++

+++

−

+≥−−+−

−+−

−+

+

−++

+++

−++

+++

+

++

++++

++++++

−++

+++−

∏−= +

sinon, 0

paire, 'et ' si )1)(2()1'2)(1'2(

')1'(

)12)(12(

)1(

)1()1'2)(1'2(

'

)3'2)(1'2(

)1'(

)12)(12()32)(12(

)1(

)2)(3()3'2)(1'2(

)2')(1'(

)32)(12(

)2)(1()1(

)12)(12()32)(12(

)1(

paire, 'et ' si )1')(2'()1'2)(1'2(

')1'(

)12)(12(

)1(

)1'(')1'2)(1'2(

'

)3'2)(1'2(

)1'(

)12)(12()32)(12(

)1(

)2')(3'()3'2)(1'2(

)2')(1'(

)32)(12(

)2)(1()1'('

)12)(12()32)(12(

)1(

)1(A2

2222

22

2222

22

'


ηηηη

ηηηη

ηηη

ηηη

ηηη

η

ηηηη

ηηηη

ηηηηηη

ηηη

η


ηηηη

ηηηη

ηηη

ηηη

ηηη

η

ηηηη

ηηηη

ηηηηηη

ηηη

η

ηη

M

++≤−−+−

−+−

−+

+++

++

−++

+++

+−−+−

−−

++≥++−

−+−

−+

++++

++

−++

+++

+++−

−−

∏−= +

sinon, 0

paire, 'et 2' si )1)(2()1'2)(1'2(

')1'(

)12)(12(

)1(

)1()3'2)(1'2(

)2')(1'(

)12)(12()32)(12(

)1()1)(2(

)12)(12(

)1(

paire, 'et 2' si )1'(')1'2)(1'2(

')1'(

)12)(12(

)1(

)3')(2'()3'2)(1'2(

)2')(1'(

)12)(12()32)(12(

)1()1'('

)12)(12(

)1(

)1(A322

22

'


ηηηη

ηηηη

ηηηη

ηηη

ηηηηηηη


ηηηη

ηηηη

ηηηη

ηηη

ηηηηηηη

ηη

++≤++

+++−

−

++≥++++

+++−

−

∏−= +

sinon, 0

paire, 'et 4' si 1)-2)(-()3'2)(1'2(

)2')(1'(

)12)(12(

)1(

paire, 'et 4' si 3)'2)('()3'2)(1'2(

)2')(1'(

)12)(12(

)1(

)1(A4 ' ηηηηηηηη

ηηηηηη

ηηηηηηηη

ηηηηηη

ηη

+−≤++++

+++−

−

+−≥−−++

+++−

−

∏−= +

sinon, 0

paire, 'et 4' si 3)2)(()32)(12(

)2)(1(

)1'2)(1'2(

')1'(

paire, 'et 4' si )1'2)('()32)(12(

)2)(1(

)1'2)(1'2(

')1'(

)1(A5 ' ηηηηηηηη

ηηηηηη

ηηηηηηηη

ηηηηηη

ηη

∫− +++++−==1

1

)('

')(' B5B4B3B2B1)1(

)()( pd Edx

dx

xdfxfE ηη

ηηηηη (A.4.7)

+<−+

−−+

−+

−++

+++

−++

++++

++++

+++++

−+−

+++

∏−= +

sinon, 0

impaire, et si )1'2)(1'2(

)1'('

)12)(12(

)1(2

)1'2)(1'2(

'

)3'2)(1'2(

)1'(

)12)(12()32)(12(

)1(2

3)'1)(2'(2

2)'1)('(

3)1)(2(2

2)1)(2(

)12)(12(

2

3)1)(2(2

1)2(-

)1(1

2222

22

'

ηνηνηη

ηηηη

ηη

ηηη

ηηη

ηηη

ηηη

ηηηη

ηηηη

ηηη

ηηη

ηηB

N

++<

−++

+++

−+−

++++

−++

++++

++++−

∏−= +

sinon, 0

impaire, et 2 si )1'2)(1'2(

'

)3'2)(1'2(

)1'(

)12)(12(

)1(2

3)'1)(2'(2

2)'1)('2(

)12)(12()32)(12(

)1(2

3)1)(2(2

2)()12(

)1(222

22

' ηνηνηη

ηηη

ηηη

ηη

ηηηη

ηηη

ηηη

ηηηη

ηηB

+<

−++

+++

−+−+

−++

+++

+++++

+−−

∏−= +

sinon, 0

impaire, et 2- si )12)(12()32)(12(

)1(

)1'2)(1'2(

)1'('2

)1'2)(1'2(

'

)3'2)(1'2(

)1'(

3)1)(2(2

2)()12(

1)-1)(2(2

1)(2

)1(322

22

' ηνηνηη

ηηη

ηηη

ηη

ηηη

ηηη

ηηηη

ηηηη

ηηB

+<−+

−++

++

∏−= +

sinon, 0

impaire, et 4- si )1'2)(1'2(

)1'('

3)1)(2(2

2)()12(

)1(4 'ηνην

ηηηη

ηηηη

ηηB

++<++

++−+

−

∏−= +

sinon, 0

impaire, et 4 si 3)'1)(2'(2

2)'()1'(

)12)(12(

)1(2

)1(5 'ηνην

ηηηη

ηηηη

ηηB

∫− +++++−==1

1

)(''

)(' C5C4C3C2C1)1()(

)( pd Fdxxfdx

xdfF ηη

ηη

ηηη (A.4.8)

+>−+

−−+

−+

−++

+++

−++

++++

++++

+++++

−+−

+++

∏−= +

sinon, 0

impaire, et si )1'2)(1'2(

)1'('

)12)(12(

)1(2

)1'2)(1'2(

'

)3'2)(1'2(

)1'(

)12)(12()32)(12(

)1(2

3)'1)(2'(2

2)'1)('(

3)1)(2(2

2)1)(2(

)12)(12(

2

3)1)(2(2

1)2(-

)1(1

2222

22

'

ηνηνηη

ηηηη

ηη

ηηη

ηηη

ηηη

ηηη

ηηηη

ηηηη

ηηη

ηηη

ηηC

O

++>

−++

+++

−+−

++++

−++

++++

++++−

∏−= +

sinon, 0

impaire, et 2 si )1'2)(1'2(

'

)3'2)(1'2(

)1'(

)12)(12(

)1(2

3)'1)(2'(2

2)'1)('2(

)12)(12()32)(12(

)1(2

3)1)(2(2

2)()12(

)1(222

22

' ηνηνηη

ηηη

ηηη

ηη

ηηηη

ηηη

ηηη

ηηηη

ηηC

+>

−++

+++

−+−+

−++

+++

+++++

+−−

∏−= +

sinon, 0

impaire, et 2- si )12)(12()32)(12(

)1(

)1'2)(1'2(

)1'('2

)1'2)(1'2(

'

)3'2)(1'2(

)1'(

3)1)(2(2

2)()12(

1)-1)(2(2

1)(2

)1(322

22

' ηνηνηη

ηηη

ηηη

ηη

ηηη

ηηη

ηηηη

ηηηη

ηηC

+>−+

−++

++

∏−= +

sinon, 0

impaire, et 4- si )1'2)(1'2(

)1'('

3)1)(2(2

2)()12(

)1(4 'ηνην

ηηηη

ηηηη

ηηC

++>++

++−+

−

∏−= +

sinon, 0

impaire, et 4 si 3)'1)(2'(2

2)'()1'(

)12)(12(

)1(2

)1(5 'ηνην

ηηηη

ηηηη

ηηC

avec : 2

1'212 ++=∏

ηη.

P

Annexe 5 : Comparaison des champs de déplacement dans les trois

cas (sans électrode, avec une électrode et avec deux électrodes)

Tableau A.5.1 : Comparaison des modes de vibration théorique des 23 premières fréquences

propres non nulles dans les trois cas.

N

° Sans électrode Avec une électrode Avec deux électrodes

7

8

9

10

Q

11

12

13

14

15

R

16

17

18

19

20

S

21

22

23

24

25

T

26

27

28

29

30

U

Annexe 6 : Le simplexe

Le simplexe, Nelder & Mead

Le simplexe est une technique à la fois fondamentale et très populaire pour les problèmes

d'optimisation linéaire. Ainsi, étant donné un ensemble d'inégalités linéaires sur n variables réelles,

l'algorithme permet de minimiser (ou maximiser) une fonction objectif, qui est elle aussi linéaire

(Zahara & Kao, 2009).

C’est la méthode la plus utilisée à ce jour. Cet algorithme a été mis en place par Nelder & Mead

en 1965 (Nelder & Mead, 1965). Il est particulièrement utilisé dans les domaines du génie électrique, du

génie mécanique, du génie chimique et en médecine.

Le simplexe représente une figure géométrique à N+1 côtés (dans un espace à N paramètres soit

N dimensions). Le point minimal est atteint en déformant et en déplaçant le simplexe (par rapport à une

position initiale aléatoire). Le principe est le suivant (Luersen, Le Riche, & Guyon, 2004) :

maintenir un simplexe S,

soient 1...,2,1 +=

Njjx les sommets de S,

il est supposé que )1(...)3()2()1( +≤≤≤≤ Nxfxfxfxf ,

soit le centroïde des N premiers sommets : ∑ == Ni Nixcx 1 / ,

à chaque itération, 1+Nx est remplacé par 1 )1( +−+= Nxcx µµµ ,

où µ représente les opérations de base : Réflexion (µ= 1), Expansion (µ= 2), Contraction

interne (µ= -1/2) et Contraction externe (µ = 1/2).

L’algorithme proposé est alors le suivant (Nelder & Mead, 1965) :

soit un simplexe S initial,

soient τ et ƒmax, la précision et le nombre maximal d’itération,

tant que τ>−+ )1()1( xfNxf et maxffn ≤ ,

si )()()1( NxfRxfxf <≤ alors RxNx =+1 ,

si )1()()( xfRxfExf << alors ExNx =+1 ,

si )()1( Rxfxf < et )()( RxfExf ≥ alors RxNx =+1 ,

si )1()()( +<≤ NxfRxfNxf et )()( RxfCExf ≤ alors CExNx =+1 ,

si )1()( +≥ NxfRxf et )1()( +< NxfCIxf alors CIxNx =+1 ,

sinon rétrécissement.

V

Cet algorithme ne converge pas toujours. Cependant, en pratique, il est très robuste (Lagarias,

Reeds, Wright, & Wright, 1998).

Exemple

Considérons le système d’inéquations suivant :

≤+++

≤+++

≤+++

4204334

117

255223

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

(A.6.1)

avec 0 ,0 ,0 ,0 4321 ≥≥≥≥ xxxx

Ce système d’inéquations a trois inéquations et quatre inconnues. Ce système est donc

surdimensionné. Par conséquent plusieurs solutions sont possibles parmi lesquelles le quartet (0,0,0,0).

Pour avoir une solution unique il faut donc une ligne d’optimisation de la solution. Ainsi une équation

supplémentaire sera introduite. Cette équation est dite fonction d’optimisation. Choisissons :

4321 17121319max xxxxy +++= . Il faudra donc chercher la solution qui permettra de maximiser y.

Le système précédent devient ainsi :

≥≥≥≥

≤+++

≤+++

≤+++

+++=

0 ,0 ,0 ,0

4204334

117

255223

17121319max

4321

4321

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

xxxxy

(A.6.2)

La solution de base (0,0,0,0) précédemment donnée n’est plus optimal car y=0. Il existe donc une

solution plus adéquate que celle-ci. L’objectif sera donc de rechercher la solution optimale de notre

système.

Pour résoudre ce système d’inéquations, des variables dites d’écart seront introduites dans le

système. Ces variables permettent de passer d’un système d’inéquations à un système d’équations

(eq.(A.6.3)).

W

≥

=++++

=++++

=++++

+++=

0,,, , , ,

4204334

117

255223

17121319max

3214321

34321

24321

14321

4321

tttxxxx

txxxx

txxxx

txxxx

xxxxy

(A.6.3)

Le simplexe en tableaux

Le simplexe en tableaux permet de rendre les étapes du simplexe plus rapides. Voici l'écriture

sous forme de tableau pour notre exemple. On applique le critère des variables entrantes et sortantes

puis on effectue le pivot de Gauss pour en déterminer le quartet optimal.

x1 x2 x3 x4 t1 t2 t3 C

t1 3 2 1 2 1 0 0 255

t2 1 1 1 1 0 1 0 117

t3 4 3 3 4 0 0 1 420

y 19 13 12 17 0 0 0 0

x1, x2 x3 et x4 sont des variables hors base tandis que t1,t2 et t3 sont des variables de base. La

solution de base est donnée par le quartet (0,0,0,0) mais y n’est pas optimal. Cependant il faut toujours

partir avec la solution de base pour le simplexe avant d’optimiser.

Il faudra rechercher un pivot. La solution est optimale dès que tous les coefficients de y sont

négatifs ou nuls. La colonne du pivot est toujours celle du coefficient y le plus positif (plus grand). Dans

notre exemple, c’est 19 donc la première colonne est celle du pivot. La variable associée au pivot est la

variable entrante donc ici x1. Il faudra maintenant déterminer la variable sortante. Pour cela il faut faire

le rapport des contraintes (C dans le tableau) aux coefficients correspondants et prendre le plus petit

rapport positif. La ligne contenant ce rapport est la ligne du pivot. Par conséquent le pivot va être à

l’intersection de cette ligne et de la colonne du pivot comme le montre le tableau suivant :

X

x1 x2 x3 x4 t1 t2 t3 C K

t1 3 2 1 2 1 0 0 255 85

t2 1 1 1 1 0 1 0 117 117

t3 4 3 3 4 0 0 1 420 105

y 19 13 12 17 0 0 0 0

Le pivot est donc le chiffre 3 et la variable sortante est t1.La variable x1 va donc rentrer dans la

base et t1 va en sortir. Ce qui nous conduit à l’étape suivante :

x1 x2 x3 x4 t1 t2 t3 C K

t1 3 2 1 2 1 0 0 255 85

t2 1 1 1 1 0 1 0 117 117

t3 4 3 3 4 0 0 1 420 105

y 19 13 12 17 0 0 0 0

x1 1 2/3 1/3 2/3 1/3 0 0 85

t2 0 1/3 2/3 1/3 -1/3 1 0 32

t3 0 1/3 5/3 4/3 -4/3 0 1 80

y 0 1/3 17/3 13/3 -19/3 0 0 -1615

Pour le calcul des nouveaux coefficients les instructions suivantes seront appliquées :

les éléments de la ligne du pivot vont être divisés par le pivot,

les éléments de la colonne du pivot autre que le pivot deviennent nuls,

à chaque fois que la ligne du pivot croise une colonne en zéro la colonne reste inchangée.

tous les autres éléments sont à calculer à l’aide de la méthode du rectangle.

Les itérations sont à répéter jusqu’à obtenir tous les coefficients de la ligne y négatifs ou nuls. La

solution optimale est ainsi atteinte. On lit sur le tableau final les valeurs des coefficients variables x1, x2,

x3 et x4. Les variables hors base sur le tableau final sont nulles tandis que les variables de base ont pour

valeurs le nombre se trouvant à l’intersection de la ligne de la variable et de la colonne des contraintes

(C).

Y

Ce travail est ainsi très difficile à faire manuellement surtout dans ce cas car le système possède

dix variables indépendantes. C’est ainsi qu’un programme développé sous Matlab a été adapté au

spectre d’admittance pour obtenir un ajustement optimal avec un nombre d’itérations raisonnables.

Z

Annexe 7 : Comparaison des champs vitesse théoriques et

expérimentaux

Tableau A.6.1 : Comparaison des modes de vibration théorique et expérimental du PZ-21PT.

Groupes identifiés Fréquences Expérimentales (Hz) Fréquences Théoriques (Hz)

Au

Ag

B1u

AA

B1g

B1u(2)

CC

Bibliographie

DD

Adachi, T., Kondo, Y., Yamaji, A., Yang, S.-H., & Yang, I.-Y. (2005). Nondestructive evaluation of micro-cracks in a ceramic ferrule by resonant ultrasound spectroscopy. NDT & E International, 38(7), 548–553. doi:10.1016/j.ndteint.2005.01.008

Agrawal, B. N., & Treanor, K. E. (1999). Shape control of a beam using piezoelectric actuators. Smart Materials and Structures, 8(6), 729–740. doi:10.1088/0964-1726/8/6/303

Auld, B. A. (1990). Acoustic Fields and Waves in Solids (2 Sub edit., p. 446). Krieger Pub Co.

Babilotte, P., Diallo, O., Hue, L.-P. T. H., Kosec, M., Kuscer, D., & Feuillard, G. (2011). Electrical excitation and optical detection of ultrasounds in PZT based piezoelectric transducers. Journal of Physics: Conference Series, 278, 012027. doi:10.1088/1742-6596/278/1/012027

Barzegar, A. F., Damjanovic, D., & Setter, N. (2004). The effect of boundary conditions and sample aspect ratio on apparent d/sub 33/ piezoelectric coefficient determined by direct quasistatic method. IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics and Frequency Control, 51(3), 262–270. doi:10.1109/TUFFC.2004.1320781

Berlincourt, D. A., Curran, D. R., & Jaffe, H. (1964). Piezoelectric and piezomagnetic materials and their function in transducers. (Physical Acoustics, Ed.). New-York Academic Press.

Brissaud, M. (1991). Characterization of piezoceramics. IEEE transactions on ultrasonics, ferroelectrics, and frequency control, 38(6), 603–17. doi:10.1109/58.108859

Brissaud, Michel. (2007). Matériaux piézoélectriques: Caractérisation, modélisation et vibration (p. 448). Lyon: PPUR presses polytechniques.

Chapelon, J. Y., Cathignol, D., Cain, C., Ebbini, E., Kluiwstra, J. U., Sapozhnikov, O. A., Fleury, G., et al. (2000). New piezoelectric transducers for therapeutic ultrasound. Ultrasound in medicine & biology, 26(1), 153–9. Retrieved from http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pubmed/10687803

Delaunay, T. (2006). Caractérisation fonctionnelle et relations structure – Propriètés de monocristaux piézoélectriques de type Pérovskite. Université François Rabelais de TOURS.

Delaunay, T., Clezio, E. L., Guennou, M., Dammak, H., Thi, M. P., & Feuillard, G. (2008). Full Tensorial characterization of PZN-12%PT single crystal by resonant ultrasound spectroscopy. IEEE transactions on ultrasonics, ferroelectrics, and frequency control, 55(2), 476–88. doi:10.1109/TUFFC.2008.665

Demarest, H. H. (1971). Cube-Resonance Method to Determine the Elastic Constants of Solids. The Journal of the Acoustical Society of America, 49(3B), 768. doi:10.1121/1.1912415

Diallo, O., Clezio, E. Le, Lethiecq, M., & Feuillard, G. (2012). Electrical excitation and mechanical vibration of a piezoelectric cube. INFORMACIJE Midem Journal of Microelectronics Electronic Components And Materials, 42(N°3), 192–196.

Ferroperm. (n.d.). Ferroperm Data-Matrix. Retrieved from http://www.ferroperm-piezo.com/

EE

Feuillard, G. (1993). Étude du bruit thermique dans les transducteurs piézoélectriques ultrasonores: application à la modélisation de l’élévation de température et à la caractérisation des transducteurs. Université François Rabelais de TOURS.

Fleury, G. (2003). New piezocomposite transducers for therapeutic ultrasound. Proceedings of SPIE (Vol. 4954, pp. 227–236). SPIE. doi:10.1117/12.476626

Gonzalez, A. M., De Frutos, J., & Duro, M. C. (1999). Procedure for the characterisation of piezoelectric samples in non-standard resonant modes. Journal of the European Ceramic Society, 19(6-7), 1285–1288. doi:10.1016/S0955-2219(98)00421-X

Guiffard, B. (1999). Élaboration et caractérisation de céramique ferroelectriques de type PZTfluoré. INSA de LYON.

Heyliger, P. (2000). Traction-free vibration of layered elastic and piezoelectric rectangular parallelepipeds. The Journal of the Acoustical Society of America, 107(3), 1235. doi:10.1121/1.428413

Heyliger, P., & Ledbetter, H. (1998). Detection of surface and subsurface flaws in homogeneous and composite solids by resonant ultrasound. Journal of Nondestructive Evaluation, 17(2), 79–87. doi:10.1007/BF02995485

Holland, R., & EerNisse, E. P. (1968). Variational Evaluation of Admittances of Multielectroded Three-Dimensional Piezoelectric Structures. IEEE Transactions on Sonics and Ultrasonics, 15(2), 119–131. doi:10.1109/T-SU.1968.29457

Holland, Richard. (1968). Resonant Properties of Piezoelectric Ceramic Rectangular Parallelepipeds. The Journal of the Acoustical Society of America, 43(5), 988. doi:10.1121/1.1910969

IEEE. (2002). Publication and Proposed Revision of ANSI/IEEE Standard 176-1987. IEEE Transaction on Ultrasonics, Ferroelectrics and Frequency Control, 52(176), 423–428.

Krimholtz, R., Leedom, D. A., & Matthaei, G. L. (1970). New equivalent circuit for elementary piezoelectric transducers. Electronic Letters, 6, 398–399.

Lagarias, J. C., Reeds, J. A., Wright, M. H., & Wright, P. E. (1998). Convergence Properties of the Nelder--Mead Simplex Method in Low Dimensions. SIAM Journal on Optimization, 9(1), 112–147. doi:10.1137/S1052623496303470

Le Dren, S. (2000). Elaboration de couches épaisses piézoélectriques déposées sur substrats pour des applications microtechniques. INSA de LYON.

Levassort, F., Pham Thi, M., Hemery, H., Marechal, P., Tran-Huu-Hue, L.-P., & Lethiecq, M. (2006). Piezoelectric textured ceramics: Effective properties and application to ultrasonic transducers. Ultrasonics, 44 Suppl 1, e621–6. doi:10.1016/j.ultras.2006.05.016

Loyau, V. (2004). Étude du bruit thermique dans les transducteurs piézoélectriques ultrasonores: application à la modélisation de l’élévation de température et à la caractérisation des transducteurs. Université François Rabelais de TOURS.

FF

Luersen, M. A., Le Riche, R., & Guyon, F. (2004). A constrained, globalized, and bounded Nelder?Mead method for engineering optimization. Structural and Multidisciplinary Optimization, 27(1-2), 43–54. doi:10.1007/s00158-003-0320-9

Lynch, C. S. (1994). Electro-mechanical coupling in 8/65/35 PLZT. Proceedings of 1994 IEEE International Symposium on Applications of Ferroelectrics (pp. 357–360). IEEE. doi:10.1109/ISAF.1994.522376

Maréchal, P., Levassort, F., Tran-Huu-Hue, L.-P., & Lethiecq, M. (2007). Lens-focused transducer modeling using an extended KLM model. Ultrasonics, 46(2), 155–67. doi:10.1016/j.ultras.2007.01.006

Mason, W. P. (1948). Electromechanical transducers and wave filters. (N. J. Princeton & V. Nostrand, Eds.)Physical Review (2nd Editio., Vol. 72).

Maynard, J. (1996). Resonant Ultrasound Spectroscopy. Physics Today, 49(1), 26. doi:10.1063/1.881483

Measurement Specialties Inc. (n.d.). Piezo Film Sensors Technical Manual. Sensor Products Division. Retrieved from www.msiusa.com

Migliori, A., Sarrao, J. L., Visscher, W. M., Bell, T. M., Lei, M., Fisk, Z., & Leisure, R. G. (1993). Resonant ultrasound spectroscopic techniques for measurement of the elastic moduli of solids. Physica B: Condensed Matter, 183(1-2), 1–24. doi:10.1016/0921-4526(93)90048-B

Million, C. (2003). Contribution à l’étude de procédés de réalisation de structures métal/PZT/métal sur silicium pour microsystèmes piézoélectriques. INSA de LYON.

Mochizuki, E. (1987). Application of Group Theory to free Oscillations of an Anisotropic Rectangular Parallelepiped. J. Phys. Earth, 35, 159–170.

Morgan Electro Ceramics. (n.d.). Technical Publication TP - 238 Piezoelectricity. Retrieved from www.morgan -electroceramics.com

Nelder, J. A., & Mead, R. (1965). A simplex method for function minimization. Oxford Journals.

Ohno, I. (1976). Free Vibration of a Rectangular Parallelepiped Crystal and its Application to Determination of Elastic Constants of Orthorhombic Crystals. J. Phys. Earth, 24, 355–379.

Ohno, I. (1990). Rectangular Parallelepiped Resonance Method for Piezoelectric Crystals and Elastic Constants of Alpha-Quartz. Phys. Chem. Minerals, 17, 371–378.

Royer, D., & Dieulesaint, E. (1996). Ondes élastiques dans les solides: Propagation libre et guidée (Masson., p. 328). Paris.

Royer, D., & Dieulesaint, E. (1999). Ondes élastiques dans les solides : Génération, interaction acousto-optique, applications (Masson., p. 410). Paris.

Schwarz, R. ., & Vuorinen, J. . (2000). Resonant ultrasound spectroscopy: applications, current status and limitations. Journal of Alloys and Compounds, 310(1-2), 243–250. doi:10.1016/S0925-8388(00)00925-7

GG

Souchon, R., Rouvière, O., Gelet, A., Detti, V., Srinivasan, S., Ophir, J., & Chapelon, J. Y. (2003). Visualisation of HIFU lesions using elastography of the human prostate in vivo: preliminary results. Ultrasound in medicine & biology, 29(7), 1007–15. Retrieved from http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pubmed/12878247

Tiersten, H. F. (1971). On the nonlinear equations of thermo-electroelasticity. International Journal of Engineering Science, 9(7), 587–604. doi:10.1016/0020-7225(71)90062-0

Visscher, W. M., Migliori, A., Bell, T. M., & Reinert, R. A. (1991). On the normal modes of free vibration of inhomogeneous and anisotropic elastic objects. The Journal of the Acoustical Society of America, 90(4), 2154. doi:10.1121/1.401643

Yao, K., Shannigrahi, S., & Tay, F. E. H. (2004). Characterisation of piezoelectric thin films by areal laser scanning. Sensors and Actuators A: Physical, 112(1), 127–133. doi:10.1016/j.sna.2003.12.014

Zadler, Brian, Scales, J. A., Le Rousseau, J. H. L., & Smith, M. L. (2002). Resonant ultrasound spectroscopy: Theory and application (pp. 1854–1857). doi:10.1190/1.1817048

Zadler, Bryan. (2005). Properties of Elastic Materials using Contacting and Non-contacting Acoustic Spectroscopy. Colorado School of Mines.

Zahara, E., & Kao, Y.-T. (2009). Hybrid Nelder–Mead simplex search and particle swarm optimization for constrained engineering design problems. Expert Systems with Applications, 36(2), 3880–3886. doi:10.1016/j.eswa.2008.02.039

Zaitsev, B. D., Feuillard, G., & Diallo, O. (2012). The application of the variation method for the estimation of the viscosity of solid. 2012 IEEE International Ultrasonics Symposium (pp. 1738–1741). IEEE. doi:10.1109/ULTSYM.2012.0436

Résumé

Ce travail a pour objectif la détermination des propriétés fonctionnelles des matériaux

piézoélectriques : les coefficients de couplage, les constantes élastiques, piézoélectriques et

diélectriques, de même que les pertes électriques et mécaniques.

De nos jours, les techniques conventionnelles d’identification de ces paramètres utilisent

plusieurs échantillons. Dernièrement le laboratoire a développé (Delaunay et al.) une méthode

ultrasonore de caractérisation de matériaux piézoélectriques permettant de déterminer ces propriétés à

partir d’un seul échantillon. Cette méthode, basée sur la spectroscopie de résonance ultrasonore,

examine les modes de vibrations d’un cube piézoélectrique et extrait des résonances mécaniques

mesurées par interférométrie Laser les propriétés électromécaniques de l’échantillon. Dans ce travail,

cette méthode a été modifiée afin d’obtenir les propriétés électromécaniques des matériaux à partir

d’une seule mesure d’impédance électrique.

Dans un premier temps, le problème direct est résolu ; les fréquences propres et les modes

propres d’un cube sont modélisés par une méthode variationnelle ; les champs de déplacement et

l’admittance électrique sont calculés en fonction de la fréquence. La géométrie étant fixée, forme

cubique, l’admittance dépend seulement des propriétés du matériau et des conditions de métallisation de

l’échantillon. La méthode est validée à travers la caractérisation d’un cube de PMN-34,5PT dont les

propriétés sont connues. Les mesures électriques de l’impédance de l’élément sont comparées au spectre

d’admittance prédit par la théorie. Les vitesses de vibration du matériau sont également mesurées et

comparées aux résultats donnés par les modèles existants.

La résolution du problème inverse, permet de déterminer les propriétés d’un matériau inconnu, à

travers la convergence de courbe d’admittance théorique vers celle expérimentale. Les propriétés du PZ-

21 sont extraites grâce à cette procédure. Une discussion sur ces valeurs et une comparaison avec celles

de la littérature permet de valider les résultats obtenus.

Mots clés : Ultrasons - Piézoélectricité - Céramiques – Modélisation- Admittance

Abstract

This work deals with the determination of electromechanical properties of piezoelectric

materials: coupling coefficients, elastic, dielectric and piezoelectric constants, electrical and mechanical

losses.

Until now, several samples are needed in conventional techniques to perform the complete

identification of the material properties. Recently, Delaunay et al. proposed an ultrasonic protocol

allowing the determination of these characteristics from only one sample. This method, referred to as

Resonant Ultrasound Spectroscopy, is based on the comparison of the mode shapes and frequencies of

modeled vibration modes of piezoelectric parallelepipeds with experimental data measured by Laser

interferometry. It is here modified to obtain the electromechanical properties from electrical impedance

measurements only. The direct problem is first solved: the resonance modes of a two face metalized

piezoelectric cube are modeled and both mechanical displacements and electrical impedance are

calculated as functions of the frequency. The method is first applied for validation on a PMN-34.5PT

material with known properties. Electrical impedance and mechanical velocity measurements are

performed and their agreement to the theoretical predictions is discussed.

In order to determine the properties of unknown materials, the inverse problem is solved by

fitting the theoretical impedance curves to experimental ones. This procedure is then applied to the

identification of the properties of PZ-21. The results are discussed and compared to data from the

literature.

Keywords: Ultrasound - Piezoelectricity - Ceramics – modeling- Admittance

correction thèseod ed

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