Classe de 2nde Correction du contrôle commun N°1 de mathématiques Exercice 1 : ( 12 points ) 1) Plaçons les points A, B, C et D A(- 6 ; 2), B(-2 ; -2), C(4 ; 4) et D(0 ; 8)

2) a) Coordonnées du milieu du segment [BD] Soit K le milieu du segment [BD] alors nous avons :

2 0 2 81 32 2 2 2

B D B DK K

x x y yx y+ +- + - += = = - = = = .

Donc, les coordonnées du point K milieu de [BD] sont K(-1 ; 3).

b) Nature du quadrilatère ABCD Les points E et K ont les mêmes coordonnées alors ils sont confondus. Il s’ensuit que les diagonales [AC] et [BD] du quadrilatère ABCD se coupent en leur milieu E. Donc, ABCD est un parallélogramme. 3) a) Déterminons la longueur AC A(- 6 ; 2) et C(4 ; 4)

( ) ( ) ( )( ) ( )22 2 24 6 4 2C A C AAC x x y y AC= - + - = - - + -

2 210 2 104AC AC= + = La longueur AC est de 104 .

b) Nature du triangle ABC Le côté le plus grand est [AC], comparons 2AC et 2 2AB BC+ .

2 22 2 32 72 32 72 =104

AB BC+ = += +

22 104 104AC =

=

Comme 2 2 2AB BC AC+ = alors, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.

c) Nature exacte du quadrilatère ABCD Le triangle ABC est rectangle en B alors l’angle ABC est droit. Le parallélogramme ABCD a un angle droit alors le quadrilatère ABCD est un rectangle. 4) a) Coordonnées du milieu F du segment [BC] F est le milieu du segment [BC], il vient que :

2 4 2 41 12 2 2 2

B C B CF F

x x y yx y

+ +- + - += = = = = = .

Donc, les coordonnées du point F milieu du segment [BC] est F(1 ; 1).

b) Construction du point G G est le symétrique de E par rapport à F. c) Coordonnées de G par le calcul G est le symétrique de E par rapport à F alors F est le milieu de [EG] Considérons ( );G GG x y on en déduit que :

( )

2 et y 2 2 2

2 et 2 2 1 et 2 3

E G E GF E G F F E G F

G F E G F E

G G

x x y yx x x x y y y

x x x y y yx y

+ += Û + = = Û + =

Û = - Û = -

Û = - - Û = -

3 et 1G Gx yÛ = Û = - Donc, les coordonnées du point G sont G(3 ; -1).

d) Nature du quadrilatère BGCE Les diagonales [BC] et [EG] du quadrilatère BGCE se coupent en leur milieu F. Par conséquent, BGCE est un parallélogramme. De plus, ABCD est un rectangle de centre E alors ses diagonales [AC] et [BD] se coupent en leur milieu E et sont de même longueur. On en déduit que EB = EC. Le parallélogramme BGCE a ses deux côtés consécutifs [BE] et [EC] de même longueur. Donc, BGCE est un losange. Exercice 2 : ( 7 points ) 1) Ensemble de définition de f L’ensemble de définition de f est [-3 ; 3]. 2) Image de -1 par f Le point de la courbe (Cf) d’abscisse -1 a pour ordonnée -0,5. Donc, l’image de -1 par f est - 0,5. 3) Antécédents de 3 par f Les antécédents de 3 par f sont les abscisses des points de la courbe (Cf) d’ordonnée 3. Donc, les antécédents de 3 par f sont x = -2 ou x = 3. 4) Détermination graphique de ( )3f -

( )3f - est l’ordonnée du point de (Cf) d’abscisse -3.

Donc, ( )3 2f - = .

5) Résolution graphique de ( ) 1f x = -

Les solutions de l’équation ( ) 1f x = - sont les abscisses des points de (Cf) d’ordonnée -1. Donc ( ) 1f x = - pour x = 0 ou x = 2.

6) Résolution graphique de l’inéquation ( ) 1f x < - .

Les solutions de l’inéquation ( ) 1f x < - sont les abscisses des points de (Cf) qui ont une ordonnée strictement inférieure à -1. Donc, ( ) 1f x < - pour ] [0 ; 2xÎ .

7) Résolution graphique de l’équation ( ) ( )f x g x=

Les solutions de l’équation ( ) ( )f x g x= sont les abscisses des points d’intersection des courbes (Cf) et (Cg). Donc, ( ) ( )f x g x= pour x = -1 ou x = 2.

8) Résolution graphique de l’inéquation ( ) ( )f x g x³

Les solutions de l’inéquation ( ) ( )f x g x³ sont les abscisses des points de (Cf) qui sont sur ou au-dessus de (Cg). Donc, ( ) ( )f x g x³ pour x Î [- 3 ; -1] È [2 ; 3].

Exercice 3 : ( 6 points ) 1) Plaçons B et construisons (C’)

2) Justifions que ABI est un triangle rectangle en I I est un point du cercle (C’) de diamètre [AB]. Donc, ABI est un triangle rectangle en I. 3) Démontrons que (IB) est tangente à (C) en I I est un point d’intersection des cercles (C) et (C’) comme A est le centre de (C) alors [AI] est un rayon de (C). De plus d’après 1), le triangle ABI étant rectangle en I alors la droite (IB) est perpendiculaire au segment [AI] en I. Donc, (IB) est tangente au cercle (C) au point I. 4) Déterminons le rayon du cercle (C) I est un point du cercle (C) de centre A alors AI est un rayon de (C). D’après 1), le triangle ABI étant rectangle en I avec AB = 5 cm et IB = 4,8 cm alors d’après le théorème de Pythagore on a :

2 2 2AB AI IB= + c’est-à-dire, 2 2 2AI AB IB= - soit 2 2 25 4,8AI = -

il vient que 2 1,96AI = d’où 1,96AI = ainsi AI = 1,4 cm Donc, le rayon du cercle (C) est AI = 1,4 cm. Exercice 4 : ( 6 points ) Partie A : 1) Complétons le tableau

x - 2 3 52

3

y 4 9 254

3

z -11 -31 -20 -7

2) Déterminons l’expression de z en fonction de x D’après l’algorithme on a 2y x= 4 5z y= - + on en conclut donc que

24 5z x= - +

Partie B : Calculons chacune des images par f. • Calculer l’image de 0 par f revient à calculer ( )0f .

( ) 20 4 0 5f = - ´ + d’où, ( )0 5f = Donc, l’image de 0 par f est 5.

• Calculer l’image de 16

- par f revient à calculer 16

f æ ö-ç ÷è ø

21 1 1 14 5 4 56 6 6 361 1 45 1 446 9 9 6 9

f f

f f

æ ö æ ö æ ö- = - ´ - + - = - ´ +ç ÷ ç ÷ ç ÷è ø è ø è øæ ö æ ö- = - + - =ç ÷ ç ÷è ø è ø

Donc, l’image de 16

- par f est 449

.

2) Déterminons les antécédents dans chacun des cas • Déterminer les antécédents de -59 revient à résoudre l’équation

( ) 59f x = - .

( ) 2

2

2

2

2

59 4 5 59

4 59 5

4 6464 4

16

16 ou 16 4 ou 4

f x x

x

x

x

x

x xx x

= - Û - + = -

Û - = - -

Û - = --

Û =-

Û =

Û = = -Û = = -

Donc, les antécédents de -59 par f sont x = - 4 ou x = 4. • Déterminer les antécédents de 21 revient à résoudre l’équation

( ) 21f x = .

( ) 2

2

2

2

2

21 4 5 21

4 21 5

4 1616

4

4

f x x

x

x

x

x

= Û - + =

Û - = -

Û - =

Û =-

Û = -

Impossible un carré est toujours positif d’où l’équation 2 4x = - n’a pas de solutions dans . Donc, 21 n’a pas d’antécédents par f. Exercice 5 : ( 9 points ) 1) Complétons le tableau

Représentation graphique Inégalités Intervalles

- 8 £ x £ -5 x Î [-8 ; -5]

-2 < x £ 3 x Î ] - 2 ; 3 ]

-2 £ x < 3 x Î [ - 2 ; 3 [

4 < x < 8 x Î ] 4 ; 8 [

x > - 4 xÎ ]- 4 ; +¥[

x £ 2 x Î ] - ¥ ; 2 ]

x < 5 x Î ] - ¥ ; 5[

x ³ -3 x Î [-3 ; +¥[

2) Complétons le tableau Inégalités Intervalles

-2 < x £ 5 x Î ]-2 ; 5]

y ³ 3 y Î [3 ; + ¥[

2 £ z < 4 z Î [2 ; 4[

t < - 7 t Î ]- ¥ ; -7[ 3) Complétons par Î ou Ï a) -3 Ï ] - ¥ ; -3[ ; b) 5,2 Î ] 5,1 ; 6[ ; c) p Î ]3,14 ; + ¥[ ; d) 2 Ï ] - ¥ ; 1,414]