connaître et comprendre circuits logiques ele1300 · l’additionneur “complet” (suite) 3...

Circuits LogiquesELE1300ELE1300

Représentation des nombreset opérations

JP David

Objectifs

• Connaître et comprendre�La représentation d’un nombre dans une base

quelconque et en particulier dans les formats binaires.

3 novembre 2014 Circuits logiques - JP David 2

binaires.

• Être capable de�Convertir un nombre d’une base à une autre�Réaliser des opérations sur les nombres

• Addition – soustraction – multiplication – division

[ ]( )1 2 1 0 1 2

, n n m b

a a a a a a a− − − − −

� �

partie entière partie fractionnaire base

Forme générale d’un nombre


partie entière

n chiffres

partie fractionnaire

m chiffres

base

[ ]( )1 2 1 0 1 2

, n n m b

a a a a a a a− − − − −

� �

1 2 1 0 1 2 n n m

b b b b b b b− − − − −

� �

Forme générale d’un nombre (suite)


1 21 2 1 0 n n

n na b a b a b a− −

− −× + × + + × +�

Valeur :

-1 -2 --1 -2 - m

ma b a b a b+ × + × + + ×�

b b b b b b b� �

Exemple 1

51 = 1.25 + 1.24 + 0.23 + 0.22 + 1.21 + 1.20

= 32 + 16 + 0 + 0 +2 + 1

51 = (((((1).2+1).2+0).2+0).2+1).2+1


51 = (((((1).2+1).2+0).2+0).2+1).2+1

32 16 8 4 2 1

1 1 0 0 1 1

Exemple 2

64 32 16 8 4 2 1 1/2

1/4

1/8

1/16

1/32

1/64

Base10

0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 51


0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 51

0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 5,125

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1…

1/3

SYSTÈME BASE CHIFFRES

BINAIRE

OCTAL

DÉCIMAL

HEXADÉCIMAL

2

8

10

16

{ }0,1,2,3,4,5,6,7ia ∈

{ }0,1ia ∈

{ }0,1,2,3,4,5,6,7,8,9ia ∈

{ }0,1,2,3, 4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,Fa ∈

Quelques bases usitées


HEXADÉCIMAL 16 { }0,1,2,3, 4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,Fia ∈

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 0 1

10 10 10 10 10 10 10 10 10243,6 2 10 4 10 3 10 6 10−= × + × + × + ×

Exemples :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 1 0 1 2 3

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21011,101 1 10 0 10 1 10 1 10 1 10 0 10 1 10− − −= × + × + × + × + × + × + ×

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 0 1

16 16 16 16 16 16 16 16 1612A, 4 1 10 2 10 A 10 4 10−= × + × + × + ×

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 1 2

8 8 8 8 8 8 8 8 845,36 4 10 5 10 3 10 6 10− −= × + × + × + ×

BINAIRE

0000000100100011010001010110

OCTAL

0123456

HEXADÉCIMAL

0123456

DÉCIMAL

0123456

Quelques bases usitées (suite)


0110011110001001101010111100110111101111

10000

67

101112131415161720

6789ABCDEF10

6789

10111213141516

Conversion par multiplication

• Exemples :�110011(2) = (((((1)x2+1)x2)x2)x2+1)x2+1

= 51

�51 = (5) x 10 + 1


�51 = (5) x 10 + 1 = 101(2) x 1010(2) + 1 = 110011(2)

Conversion par division

• Exemples :51 / 2 = 25 reste 1 (LSB)25 / 2 = 12 reste 112 / 2 = 6 reste 06 / 2 = 3 reste 0


6 / 2 = 3 reste 03 / 2 = 1 reste 11 / 2 = 0 reste 1 (MSB)

110011(2) / 1010(2) = 101(2) reste 1(2) (1)

101(2) / 1010(2) = 0(2) reste 101(2) (5)

Binaire, octal et hexadécimal

1001010101001111 binaire

1001010101001111

1 1 2 5 1 7 octal


1 1 2 5 1 7 octal

1001010101001111

9 5 4 F hexa

Justification ? Conv. de base par division

L’addition binaire : 207 + 120

128 64 32 16 8 4 2 1


1 0 1 0 0 0 1 1 1

Le décalage

32 16 8 4 2 1 1/2

1/4

1/8

1/16

1/32

1/64

Base10

1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 51

0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 25,5


0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 25,5

0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 12,75

0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 6,375

0 1 1 0 0 1 1 0 0 3, …

0 1 1 0 0 1 1 0 1, …

La multiplication

• 123 x 35 = (1 x 100 + 2 x 10 + 3) x 35= 3 x 35 = 0105+ 2 x 35 x 10 = 0700+ 1 x 35 x 100 = 3500

= 4305


en base 2:

• 101(2) x 110011(2) = (1 x 100(2) + 0 x 10(2) + 1) x 110011(2)

= 1 x 110011(2) = 00110011(2)

+ 0 x 110011(2) x 10(2) = 00000000(2)

+ 1 x 110011(2) x 100(2) = 11001100(2)

= 11111111(2)

La soustraction : 207 - 120

128 64 32 16 8 4 2 1+

+


0 1 0 1 0 1 1 1

-

-

La soustraction : 79 - 120

128 64 32 16 8 4 2 1+

+


1 1 0 1 0 1 1 1

-

-

-256

Les nombres négatifs

• Soit une architecture 8 bits

� 00000000(2) ≤ N ≤ 11111111(2) (soit 255)

� 11111111(2) + 1 = 1 00000000(2) → 00000000(2)

� Si (11111111(2) + 1) = 0, alors 11111111(2) = -1


(2) (2)

• Toutes les opérations sont % (modulo) 256

� Les nombres négatifs sont en fait 256-n

• -1 → 255, -2 → 254, -3 → 253 … -255 → 1

• 3 – 1 = (3 + 255) % 256 = 2

• 255 -1 = (255 + 255) % 256 = 254

• 1 – 3 = (1 + 253) % 256 = 254 (=256-2)

La notation complément à 2

• Soit un nombre V de N bits V[N-1 … 0]�Comment savoir si sa valeur est :

• V[N-1..0] ou V[N-1..0] - 2N

• 254 ou -2 (254-256)


• On définit que V[N-1] est le bit de signe�Si V[n-1] = 0, alors V est positif

• V = V[N-1..0]

�Si V[n-1] = 1, alors V est négatif• V = V[N-1..0] - 2N

�V = V[N-1] (-2N-1) + V[N-2..0]

En 8 bits, on peut représenter les nombres entiers de -128 à +127

Le calcul du complément à 2

• Par définition :/2x = 2N – x

• Par soustraction :0 – x


0 – x

• Par complément à 1:2N – x = (2N – 1) – x +1 = /x +1

/2 (00000010(2)) = 11111111(2)– 00000010(2) + 1

= 11111101(2) + 1

= 11111110(2)

Retour à la soustraction

128 64 32 16 8 4 2 1+

+


1 1 1 0 1 0 1 1 1

-

-

-256

La division binaire

1101001100(2) |1100(2) 844 | 12

-1100000000(2) 1 -768 = 12 x 64

0001001100(2) 76

110000000(2) 0 384

11000000(2) 0 192


1100000(2) 0 96

-110000(2) 1 -48 = 12 x 4

11100(2) 28

-11000(2) 1 -24 = 12 x 2

100(2) 4

1100(2) 0

reste 100(2) 844 / 12 = 70,reste 4

Virgule fixe

• La représentation en virgule fixe signifie que l’on fixe le nombre de bits de la partie fractionnaire�Ex : 5 bits d’entier + 3 bits après la virgule


�Ex : 5 bits d’entier + 3 bits après la virgule

• Pour les additions soustractions�Aucun changement

• Pour les multiplications/divisions�Remettre la virgule au bon endroit

Exemples en virgule fixe

• En virgule fixe 5.3

� 9.375 + 20.875 = 1/8 (75 + 167)

� 01001.011(2) + 10100.111(2)

= 0.001(2) (01001011(2) + 10100111(2)) = 0.001(2) (11110010(2))

= 11110.010(2)


= 11110.010(2)

� 9.375 x 20.875 = (1/8)2 x (75 x 167)

= 0.000001(2) (01001011(2) x 10100111(2))

= 0.000001(2) (11000011101101(2)) = 11000011.101101(2) (fixe 10.6)

• Convertir 37.69 en virgule fixe

De 37, par /2 successives, on a : 100101(2)

De 0.69, par x2 successives, on a : 0.101100 …(2)

37.69 = 100101.101100 …(2)

Addition de deux bits (demi-additionneur binaire)

A et B : cumulande et cumulateur

S : somme R : retenue

Le “demi” additionneur


0 0 0 0

0 1 0 1

1 0 0 1

1 1 1 0

A B R SS A B= ⊕ R AB=

S

R

A

B

1 3 2 1

1 3 2 1 0

1 3 2 1 0

1 3 2 1 0

nr r r r

n

n

n n

a a a a a

b b b b b

r s s s s s

−

−

−

−

+

�

�

�

Additionner n bits


1 3 2 1 0n nr s s s s s−�

Additionneur binaire complet

ΣΣΣΣ

a0 b0a1 b1a2 b2bn-1an-1

s0s1s2sn-1rn

r0 = 0r2 r1rn-1 r3

1

0 0 0 0 0

0 0 1 1 0

i i i i ir a b s r+

0 1

1 01

0100

0

aibi

ri

0 1

1 0

1011

s r a b r a b r a b r a b= + + +

L’additionneur “complet”


0 1 0 1 0

0 1 1 0 1

1 0 0 1 0

1 0 1 0 1

1 1 0 0 1

1 1 1 1 1

i i i i i i i i i i i i is r a b r a b r a b r a b= + + +

0 0

0 11

0100

0

aibi

ri

1 0

1 1

1011

1i i i i i i ir r a r b a b

+= + +

i i i i i i i i i i i i is r a b r a b r a b r a b= + + +

( ) ( )i i i i i i i i i ir a b a b r a b a b= + + +

( ) ( ) ( )i i i i i i i i ir a b r a b r a b= ⊕ + ⊕ = ⊕ ⊕

L’additionneur “complet” (suite)


ou ii ii ii i irr bbb a aa + +

0 0

0 11

0100

0

aibi

ri

1 0

1 1

1011

( )i i i i i i ir a b a b a b= + +

( )i i i i ir a b a b= ⊕ +

1i i i i i i ir r a r b a b+

= + +

ai

bi

ri

( )i i i is r a b= ⊕ ⊕

L’additionneur “complet” (suite)


( )1i i i i i ir r a b a b

+= ⊕ +

Inconvénient de l’additionneur itératif :

Délai de propagation des retenues

Cet additionneur à 3 bits a un chemin critique (le plus long chemin de l’entrée à la sortie) de 7 portes.

a0

b0

a1

b1

s0r0

Ô temps …


portes.

La longueur du chemin critique est proportionnelle au nombre de bits et le délai qu’il engendre peut facilement devenir excessif pour des additionneurs de large taille.

Solution : Circuit d’anticipation de retenues

r

b1

a2

b2

s1

s2

(en anglais : « Carry Lookahead Network »)

1 où (ou bien ) et i i i i i i i i i i i ir r p g p a b a b g a b+

= + = ⊕ + =

1 0 0 0r r p g= +

( )2 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1r r p g r p g p g r p p g p g= + = + + = + +

Anticipation des retenues


( )3 2 2 2 0 0 1 0 1 1 2 2 0 0 1 2 0 1 2 1 2 2r r p g r p p g p g p g r p p p g p p g p g= + = + + + = + + +

0 0 1 2 1 0 1 2 1 1 2 1 2 3 1

4 3 2 1 3 2 1 2 1 1 n n n n n

n n n n n n n n n n

r r p p p p g p p p g p p g p p

g p p p g p p g p g

− − − −

− − − − − − − − − −

= + + + +

+ + + +

� � � � �

�

g0

p1

g1

p2

g2

p3

r1

r2

r

Ex. sur un additionneur 4 bits


p3

g3

r3

r4

Chemin de 2 portes

s0

s1

s

a0 a1 a2b2

a3

b3b0 b1

Exemple (suite)


s3

r4

s2

Circuit d’anticipation des retenues

r1 r2 r3 r4

g0 p1 g1 p2 g2 p3 g3

[ ] [ ]1 2 2 1 0 1 2 2 1 0n n n na a a a a b b b b b

− − − −−� �

a

b0

a

b1

a

b2bn-1

a

Addition/soustraction


ΣΣΣΣ

a0a1a2an-1

s0s1s2sn-1rn

r0 = 1r2 r1rn-1 r3

Unité arithmétique binaire avec commande de l’opération

a0

b0

a1

b1

a2

b2bn-1

an-1

0 , addition

1 , soustractionc

=

Addition/soustraction (suite)


ΣΣΣΣ

s0s1s2sn-1rn

r0

r2 r1rn-1 r3

d

détection de débordement

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