DS4 de Sciences physiques -PTSI -29/01/16 -4h-sans calculatrice.

EXI.1. Régime transitoire :

Nous considérons le circuit ci-dessous. Nous noterons i , l’intensité dans le résistor de résistance R, 1i

l’intensité dans le condensateur de capacité C, 2i l’intensité dans le résistor de résistance 2R et u t la

tension aux bornes du condensateur. L’interrupteur est ouvert depuis très longtemps.

A l’instant 0t , pris pour origine des temps,

nous fermons l’interrupteur K .

1.1. Préciser 1 2, , i i i et u à l’instant 0t ,

juste avant la fermeture de l’interrupteur .

1.2. Préciser 1 2, , i i i et u à l’instant 0t .

1.3. Même question quand t tend vers

l’infini.

1.4. Montrer en transformant le réseau que le circuit est équivalent à un simple circuit RC en charge dont on

précisera les caractéristiques.

1.5. Etablir l’équation différentielle vérifiée par u t ainsi que la solution u t .

1.6. Tracer l’allure de u t .

2. Régime sinusoïdal :

L’interrupteur est fermé et nous remplaçons le générateur de f.e.m constante par une source idéale de tension

de f.e.m. 2 cose t E t où représente la pulsation du générateur et E , la tension efficace. On

associe le complexe 2 exp expu U j t U j t à la tension 2 cosu t U t où

2 expU U j . De même, 2E E .

2.1. Calculer la fonction de transfert, U

HE

que l’on écrira sous la forme 0

01

HH

j

. Préciser le

module H et le déphasage .

2.2. Etablir l’expression littérale

de la fréquence de coupure cf en

fonction de R et C.

2.3. Nous traçons le diagramme

de Bode de GdB en fonction de la

fréquence f en échelle semi-log.

a) On obtient le graphe donné.

Déterminer graphiquement la

valeur de cf en précisant la

méthode utilisée.

b) En déduire la valeur approchée

de la capacité C si R=1,0kΩ.

c)Retrouver par le calcul la

position de asymptotes.

2.4 Donner en justifiant l’allure du graphe de φ fonction de logf

C

R

2R

K

E

i

2i

1i

2.5 Justifier sans calcul le positionnement des asymptotes des graphes de GdB et φ fonction de logf.

EXII.Etude de l’accéléromètre d’un stabilisateur d’images

Les appareils photo reflex numériques, même ceux d’entrée de gamme, sont aujourd’hui équipés

d’accéléromètres pour la stabilisation d’image. Cela permet, en particulier sur les longues focales, de

stabiliser la visée. Il est alors plus facile de faire le point sur un sujet très lointain et il est plus aisé de soigner

son cadrage, les tremblements du photographe étant amortis.

On se propose, dans cette partie, d’étudier le fonctionnement d’un accéléromètre à détection capacitive, ce

système étant le plus répandu actuellement. Son principe est décrit ci-après :

Une poutre suspendue appelée « masse sismique » constitue l’une des armatures d’un condensateur plan.

L’autre armature est solidaire de l’appareil photo dont on veut mesurer l’accélération (voir figure 1). Les

variations de capacité liées au déplacement de la masse sismique permettent de suivre son mouvement.

Armature 1

=« masse sismique »

Armature 2 solidaire de l’appareil photo

Figure 1

On modélise la structure mécanique étudiée par une masse ponctuelle M de masse m, suspendue à l’extrémité

d’un ressort de constante de raideur k et de longueur à vide 0, dont l’autre extrémité est fixée en O au bâti

solidaire de l’appareil photo (voir figure 2). Les amortissements sont modélisés par une force de frottement de

la forme : 𝐹𝑓 = - α.( 𝑣𝑀 )Rap où ( 𝑣𝑀 )Rap représente la vitesse du point M dans le référentiel de l’appareil

photo.

Figure 2

On s’intéresse à la

détermination de

l’amplitude ZO de la

vibration engendrée

par le tremblement du

photographe.

On considère pour cela

que le point O, qui est

lié à l’appareil photo,

oscille verticalement à

la pulsation ω avec une amplitude ZO dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen.

Sa position y est repérée par sa cote ZO cos(ωt) dans un repère lié au référentiel terrestre ( non représenté).

La position de la masse M est repérée dans le référentiel de l’appareil photo par sa cote z (sur le schéma).

On rappelle la relation de la composition des accélérations : ( 𝑎𝑀 )R1 = ( 𝑎𝑀 )R2+ ( 𝑎𝑅2 )R1 , R1 et R2

désignant deux référentiels en translation l’un par rapport à l’autre , ( 𝑎𝑀 )Ri l’accélération de M

mesurée dans le référentiel Ri et ( 𝑎𝑅2 )R1 l’accélération d’entraînement de R2 par rapport à R1 .

1. On note zeq la position d’équilibre de la masse M par rapport à l’appareil en l’absence de vibration.

Déterminer son expression en fonction de 0, m, g et k.

2. Etablir l’équation différentielle du mouvement de la masse M dans le référentiel de l’appareil photo faisant

apparaître les paramètres α, k,g, m, zeq, ω et ZO, en appliquant la relation fondamentale de la dynamique à

M dans le référentiel terrestre.

On note Z = z – zeq la position de la masse M par rapport à sa position d’équilibre dans l’accéléromètre.

3. Montrer que l’équation du mouvement de M peut se mettre sous la forme :

+𝜔0

𝑄 +ω0 .Z= ZO.ω² cos(ωt) . Nommer ω0 et Q. Préciser leurs dimensions et leurs

expressions en fonction de m, α et k.

On s’intéresse maintenant au mouvement de la masse en régime établi.

4. Expliquer pourquoi Z(t) peut se mettre sous la forme Z(t) = ZM .cos(ωt +φ). Préciser la signification des

différents termes apparaissant dans cette expression.

5. Etablir l’expression de ZM en fonction de ZO, Q et de la pulsation réduite x =𝜔0

𝜔. Il est conseillé d’utiliser

les notations complexes. Quelle est la nature du filtre associé à ZM(x) ? (justifier)

6. Montrer que la courbe ZM(x) passe par un maximum pour Q > 1/√2 et préciser l’expression xr de x lorsque

ZM passe par ce maximum ainsi que ZM(xr). Comparer xr à 1.

7. Etudier les asymptotes basse et haute fréquences de ZM(x) puis tracer sur un même graphique l’allure de la

courbe ZM(x) pour Q1 <1/√2 , Q2 >1/√2 et Q3 > Q2 en portant une attention particulière au positionnement

des maximums.

8. Comment faut-il choisir le facteur de qualité du système et sa pulsation propre pour qu’il fonctionne sur

une plage de fréquences de tremblements la plus large possible ? Comment choisir alors les paramètres m, α

et k ?

EXIII. On dispose d’une bobine B que l’on assimilera à

l’association série d’une inductance L et d’une

résistance r. (L et r sont des constantes positives,

indépendantes de la fréquence)

Pour les applications numériques , on pourra utiliser

√3≈1,7 ; 2,5.π≈8

Détermination de r

1) La bobine est parcourue par un courant i(t). Exprimer la tension u(t) à ses bornes en fonction de r, L,

i(t) et de sa dérivée par rapport au temps.

2) On réalise le circuit suivant, en

plaçant, en série avec la bobine, un

résistor de résistance R = 40 Ω.

L’alimentation est un générateur de

tension continue, constante, de force

électromotrice E0 = 1,0 V et de

résistance interne r0 = 2,0 Ω.

On mesure, en régime permanent, la

tension UR aux bornes de R.

Exprimer r en fonction des données de cette question. Calculer r avec UR = 0,6 V.

Détermination de r et L à partir d’un oscillogramme.

On place, en série avec la bobine, un résistor de résistance R = 40 Ω et un condensateur de capacité C =

10 µF .

Le GBF (générateur basses

fréquences) est réglé pour

délivrer une tension

sinusoïdale de fréquence f =

250 Hz (la pulsation sera

notée ω) et de valeur crête à

crête de 10 V. Deux tensions

sont visualisées sur un

oscilloscope numérique.

On obtient un oscillogramme équivalent au graphe suivant

3)Déterminer l’amplitude Ue

de la tension ue et

l’amplitude UR de la tension

uR.

4)Déterminer l’amplitude I

du courant i.

5) Rappeler l’expression

générale de l’impédance Z

d’un dipôle quelconque

(module de l’impédance

complexe). Calculer alors

l’impédance ZAM du dipôle

AM.

6)Des deux tensions, uR(t) et ue(t), laquelle, et pourquoi d’après l’oscillogramme, est en avance sur l’autre ?

7)Déterminer précisément, à partir de l’oscillogramme, le déphasage ϕue /i entre ue et i, (c’est-à-dire entre ue et

uR).

8)Ecrire l’expression générale de l’impédance complexe ZAM en fonction de r, R, L, C, ω.

9)Ecrire l’expression de l’impédance complexe ZAM en fonction de son module ZAM et du déphasage ϕue /i .

10)Exprimer r en fonction de R, ZAM et ϕue /i . Calculer sa valeur.

11)Exprimer L en fonction de C, ω, ZAM et ϕue /i. Calculer sa valeur.

EXIV.Données structurales du fer. données : NA 6,02.1023 mol–1 ; premiers éléments chimiques (par Z croissant) : H, He, Li, Be, B, C, N, O, F,

Ne, Na, Mg, Al, Si, P, S, Cl, Ar, K, Ca, Sc, Ti, V, Cr, Mn, Fe, Co, Ni, Cu, Zn…

1.La masse molaire du fer est M = 56 g.mol–1 et sa masse volumique est µ 7,9.103 kg.m–3 en phase solide ;

sans préjuger de la structure réelle du cristal, en déduire un ordre de grandeur de la distance entre les noyaux.

2.Le fer est un métal de transition de numéro atomique Z = 26. Déterminer sa configuration électronique puis

sa position dans la classification périodique des éléments.

3.Par analyse du spectre d’émission, on détecte dans la couronne solaire des ions Fe13+ (ce qui témoigne d’une

température de l’ordre de 106 K !) ; quel est l’élément dont l’atome est isoélectronique de cet ion exotique ?

Entre cet atome et l’ion Fe13+, lequel présente le plus grand rayon (à justifier) ?

4.Lorsqu’on compare les potentiels rédox standards des couples du type X2+ / X dans la ligne du fer, on constate

que celui du manganèse est anormalement bas, il est plus réducteur, ce qui signifie que Mn se transforme plus

facilement en X2+ que ses voisins (…24Cr, 25Mn, 26Fe …) ; interpréter ce fait en relation avec les structures

électroniques de valence des cations obtenus.

Corr DS4

EXI.1. Régime transitoire : c’est le même circuit que EX1 DM5 ( générateur d’éclair)

1.1.i2=0 dc i=i1 mais Le condensateur est chargé, dc dq/dt=i1=0 dc 0u t E et tous les courants sont

nuls.

1.2. Il y a continuité de la tension aux bornes du condensateur donc 0u t E donc 0i d’où

2 1 2i i E R .

1.3. En régime permanent constant, le condensateur de comporte comme un interrupteur ouvert donc 1 0i

et nous reconnaissons un diviseur de tension 2

2 3

R Eu E

R R

, 2

2

3

Ei i

R

1.4 En utilisant les équivalences Thévenin- Norton, il vient :

CRR

E

2

Rtu

CR

Etu

3

R

C3

E 3

R

Nous obtenons un simple circuit R C avec C C et '3

RR soumis à E/3

1.5.on peut utiliser le circuit équivalent du 1.4 puis se

ramener au cas simple du cours .

Sinon , en appelant q l’armature portée par l’armature

supérieure , on a ( loi des mailles ) : 𝑅

3 .i1 +

𝑞

𝐶 =

𝐸

3 avec

𝑞

𝐶

= u et donc = i1 =C soit 𝐸

3 =

𝑅𝐶

3 +u d’où … L’équation

différentielle : 3 3

E RC duu

dt . ou encore +

𝒖

𝝉 =

𝑬

𝑹𝑪 avec

τ =RC/3 ; on résout avec la C.I : u( 0) =E et la solution

qui s’écrit = =uSG +uSP =A. exp( -t/ τ ) +𝐸

3 ; d’où A=

2𝐸

3 et

u =𝐸

3 +

2𝐸

3. exp( -t/ τ )

Ou encore : La solution est

0 exp /

2exp / exp /

3 3 3 3

u t u u u t

E E E EE t t

1.6

tu

3

E

E

2. Régime sinusoïdal :

2.1. L’admittance des deux branches en parallèle est 2 2

e

jRCY jC

R R

.

La fonction de transfert est 1 1 1 3

21 1 31

e

e e

ZH

jRCR Z RY j RCR

R

dc

0 1/3H et 0 3 RC

2

1 3

1 3H

RC

; tan

3

RC ; φ=-Arctan(

𝑅𝐶𝜔

3 )

2.2. La fréquence de coupure correspond à

2

1 3 1 3

21 3H

RC

soit

3

2 2

ccf

RC

.=f0

2.3.a) On lit à l’intersection des asymptotes, ou à GdB= (GdBmax-3dB) =-13dB : 200cf Hz

b). On en déduit C=3

2𝜋𝑅𝑓𝐶

62,4 10 FC

c) En BF , H = 𝐻→1/3 soit GdB → -20 log3≈ -10 dB ( asymptote horizontale)

En HF , H ~1

3 (

𝑅𝐶𝜔

3 )-1 dc GdB ≈ -20logf -20logRC-20log(2π) on retrouve bien la pente de -20dB

/décade de l’asymptote oblique.

2.4. φ=-Arctan(𝑅𝐶𝜔

3 ) dc en BF, φ→0

et en HF , φ→- 𝜋

2

2.5 On redessine le circuit en BF : C

équivaut à un interrupteur ouvert , on

a un pont diviseur de tension de

H=1/3 dc GdB=-20 log3≈ -10 dB et

φ=0.

En HF, C équivaut à un fil dc H→0

mais pour avoir l’équation , il ne faut

pas aller si loin : il faut remplacer

l’association (R/2) //C par le dipôle qui

a la + faible impédance çàd ici C, dc

on enlève R , on se retrouve alors avec le résultat du passe-bas du cours bien connu : une asymptote

de pente -20dB /décade et φ→- 𝜋

2

EXII

1.Le système est la masse m dans un référentiel galiléen. Les forces appliquées au système sont :

- le poids , mg

- la tension du ressort, 0 zT k u

-(il n’ y a pas de frottement à l’équilibre puisque v=0)

A l’équilibre, la somme des forces est nulle soit m 𝑔 + =0 dc en projetant sur Oz : mg –k(zéq-l0)=0

0eq

mgz

k

2. (Le référentiel de l'appareil photo n'est pas galiléen car il oscille dans le référentiel terrestre galiléen) .

On applique dc la 2 ème loi de Newton ds le réf terrestre. Les forces appliquées au système sont :

- le poids, mg

- la tension du ressort, 0 zT k u

- les frottements, f v

m 𝑔 + - α 𝑣𝑅𝑎𝑝 =m𝑎 or 𝑣𝑅𝑎𝑝 =𝑢𝑧 puisque z mesure la position de M par rapport à O , qui est

fixe dans l’appareil photo. D’autre part , 𝑎 =(𝑎 ) Terre = (𝑎 ) Rap + (𝑎𝑅𝑎𝑝 ) Terre = 𝑢𝑧 +𝑧 𝑢𝑧 , le second

terme correspondant à l’accélération de O ( dc de l’appareil photo) par rapport à la Terre ; dc

calculable en dérivant deux fois ZO cos(ωt) soit 𝑧 =-ω ² . ZO cos(ωt)

En projetant suivant Oz, il vient : mg –k(z-l0) - α =m(-ω ² . ZO cos(ωt) ) soit , +𝛼

𝑚 +

𝑘

𝑚z=g+

𝑘

𝑚l0+ω ² .

ZO cos(ωt) soit , avec g+𝑘

𝑚l0=

𝑘

𝑚zeq ,

22

2002 2coseq eq

d zd z dz k k kz z z Z t

dt m dt m m dt m

3.En posant eqZ z z , 2

2

02cos

d Z dZ kZ Z t

dt m dt m

2

2002cos

d Z dZ kZ Z t

dt Q dt m

avec 0

Q m

et 0

k

m d’où

kmQ

0 est la pulsation propre, homogène à l’inverse d’une durée. Q est le facteur de qualité , sans dimension.

4.Le système étant linéaire, la masse oscille en régime établi à la même pulsation que le boîtier (excitation)

Son mouvement est à priori déphasé par rapport à celui de O.

mZ représente l’amplitude du mouvement de M et le déphasage du mouvement de M par rapport à

celui de O.

5. A Z on associe la fonction complexe Zm . ej(ωt+φ) =𝑍 ejωt où 𝑍 = Zm . ejφ est l’amplitude complexe

associée à Z. De même , à ZO cos(ωt) on associe la fonction complexe ZO ejωt mais ici la phase à

l’origine est nulle dc 𝑍𝑂 est en réalité ZO . Pour revenir à Z ( réelle ) , il suffira de faire Re(Zm .

ej(ωt+φ) )

L’équa diff s’écrit donc (jω)² Zm . ej(ωt+φ) + jω𝜔0

𝑄 Zm . ej(ωt+φ) +ω0² . Zm . ej(ωt+φ) = ω² ZO e

jωt

soit , en simplifiant par ejωt : (jω)² 𝑍 + jω𝜔0

𝑄𝑍+ω0² . 𝑍 = ω² ZO soit

𝑍 (-ω² + jω𝜔0

𝑄 + ω0² ) = ω² ZO dc 𝒁 =

𝛚² 𝒁𝑶

𝛚𝟎𝟐−𝛚 𝟐+𝐣𝛚𝝎𝟎𝑸

=

𝐱² 𝒁𝑶

𝟏−𝐱²+𝐣𝒙

𝑸

L’amplitude vaut 𝑍 (x)=

2

22

2

21

m

xZ x

xx

Q

. ZO. C’est un filtre passe haut.(chercher

l’équivalent en BF(ZO.x²) puis en HF(ZO ))

6. Avec ZO=1 , on a

2

2 22 222 22

1

11 1/1

m

xZ x

xxx

x QQ

.

Le maximum est obtenu quand 2

2

2 2

11 1/ 0

dx

dx x Q

soit

2

2

21

2 1r

Qx

Q

et

1

2Q pour que

fx existe.il y a dc résonance. Alors ZM( xr)= 2𝑍𝑂𝑄4

(2𝑄2−1)√𝑄2−1

4

7. Pour 1, 0mx Z et ~ ZO.x² dc

le début de la courbe est parabolique

Pour 01, mx Z Z .

8.Pour éviter une résonance , il faut Q ≤ 1

√2 , mais Q=

1

√2 correspond à la courbe la plus plate

possible dc c’est la meilleur valeur à retenir.( On souhaite idéalement que 0MZ Z indépendamment

de la fréquence, c'est-à-dire que la courbe de réponse soit la plus plate possible).D’autre part , il faut que

la pulsation de résonance soit la plus faible possible càd k plutôt faible et m élevée.(Rq :alors les

armatures 1 et 2 sont en opposition de phase et l’armature 2 dc quasi immobile par rapport à la

Terre ,même si ce n’est pas le but recherché ici).

EXIII

1)u=ri +L𝑑𝑖

𝑑𝑡

2)E0= ( r+r0 +R)I et UR =RI dc R E0 =( r+r0 +R) UR et r = 𝑅𝐸0

𝑈𝑅 - R- r0 ≈ 25 Ω

3)Ue =5,0V et UR =2,5V 4) dc I =𝑈𝑅

𝑅 = 6,2 .10-2 A

5)Z= 𝑈

𝐼 ( module de l’impédance complexe = module de amplitude complexe de la tension / module de

amplitude complexe de l’intensité : 𝑈

𝐼 ) dc ZAM =80 Ω

6) ue en avance sur uR donc sur i de 1/12 ème de période 7) donc le déphasage vaut φ =π/6

8) ZAM =R+r +1

𝑗𝐶𝜔 + jL𝜔 9) ZAM = ZAM .ejφ 10) ZAM .cos φ = Re(ZAM ) =R+r

D’où r= ZAM .cos φ – R =80.0,85 -40=28 Ω

11) ZAM .sinφ = Im(ZAM ) = L𝜔 – 1/Cω donc L =1

𝜔 (1/Cω + ZAM .sinφ ) =…=0,06H

EXIV

1.La masse d’un atome de Fer est donnée par: kg.

On en déduit l’ordre de grandeur du volume d’un atome de Fer par la relation

ce qui nous donne un ordre de grandeur de la taille caractéristique L avec VFe = L3 de.10−10m soit environ 0,1

nm. On a supposé ici que le Fer remplissait tout l’espace ce qui n’est pas vraiment correct (il faut connaître sa

compacité).

2)

Z=26

1s22s22p63s23p64s23d6

Il se trouve dans la 4ème période (couche 4s) et la 8ème colonne ( 8 électrons de plus que l’Argon, dc 8 e-

de valence). C’est un élément de transition.

3)

Si on enlève 13 électrons au Fer pour former Fe13+, on obtient l’atome isoélectronique ayant 26-13=13

électrons et donc 13 protons: Z = 13, c’est l’Aluminium.

C’est l’Aluminium qui présente le plus grand rayon. En effet, on a le même nombre d’e- mais dans le cas

du Fer, on a deux fois plus de protons ce qui implique une charge effective vue par les e- de valence beaucoup

plus importante et donc plus grande attraction coulombienne du noyau.

4)

Structure de Cr: 1s22s22p63s23p64s13d5

Structure de Cr2+: 1s22s22p63s23p63d4

Structure de Mn: 1s22s22p63s23p64s23d5

Structure de Mn2+: 1s22s22p63s23p63d5

Structure de Fe: 1s22s22p63s23p64s23d6

Structure de Fe2+: 1s22s22p63s23p63d6

L’ion Mn2+ a sa couche 3d avec 5 électrons soit une couche à demi-remplie ce qui apporte une stabilisation

supplémentaire par rapport aux deux autres configurations (règle de Hund).

…………………………………………………………………………………………. ;

Autre exo ( non donné)

EXII. Soit le circuit constitué d’une bobine d’inductance L en série avec l’association en

dérivationrésistance R + condensateur C . L’ensemble est alimenté par un générateur imposant la

tension e(t) =Em cos(ωt)

1.Faire un schéma du montage et préciser les notations employées pour les courants et les tensions.

Déterminer l’équation différentielle vérifiée par iR , l’intensité traversant la résistance (préciser

clairement les notations utilisées ) par les lois de Kirchhoff.

2.Retrouver cette équation différentielle en utilisant la fonction de transfert complexe 𝐻 d’un quadrupôle

a) exprimer 𝐻 en fonction de L,R,C et ω.

b)En déduire l’expression de 𝐼𝑅 , l’amplitude complexe de iR .

c) Retrouver ce résultat en utilisant l’équivalence Thévenin /Norton .

3.Déterminer la solution de cette équation en régime permanent en utilisant la méthode complexe

.Donner l’amplitude IRm et la phase ϕR de iR par rapport à e. Est-il possible que iR ne dépende pas de

R ?Pour quelles valeurs de IRm et de ϕR

EX2 : 1)Faire le schéma du circuit , nommer les courant , par ex i dans la branche principale , iR et

iC dans les branches dérivées , uC =uR la tension aux bornes de R càd aussi C , en convention

récepteur

Les lois : Ldi

𝑑𝑡 +uR =e (1) ; i = iR + iC ; RiR = uC or iC = C

d𝑢𝐶

𝑑𝑡 = RC

d𝑖𝑅

𝑑𝑡

(1) Devient Ld𝑖𝐶

𝑑𝑡 + L

d𝑖𝑅

𝑑𝑡 + RiR =e soit LRC

d²𝑖𝑅

𝑑𝑡² + L

d𝑖𝑅

𝑑𝑡 + RiR =e ou encore

𝐝²𝒊𝑹

𝒅𝒕² +

𝟏

𝑹𝑪

𝐝𝒊𝑹

𝒅𝒕 +

𝟏

𝑳𝑪iR =

𝐞

𝑹𝑳𝑪

2) on associe aux grandeurs réelles ………….. les grandeurs complexes :

iR (t) =IRm cos (ωt + ϕiR ) = ………… on lui associe 𝑖𝑅 = IRm ej (ωt + ϕiR ) avec iR (t) = Re (𝐼𝑅 .ejωt ) et 𝐼𝑅 = IRm ej ϕiR

e(t) =Em. cos ωt = ……………. ……… on lui associe 𝑒 = Em. e j ωt avec e(t) = Re (𝐸 .ejωt ) et 𝐸 = Em

l’équa diff en grandeurs complexes s’écrit : 𝐝²𝑖𝑅

𝒅𝒕² +

𝟏

𝑹𝑪

𝐝𝑖𝑅

𝒅𝒕 +

𝟏

𝑳𝑪𝑖𝑅 =

𝑒

𝑹𝑳𝑪 soit aussi

𝐝²𝐼𝑅

𝒅𝒕² +

𝟏

𝑹𝑪

𝐝𝐼𝑅

𝒅𝒕 +

𝟏

𝑳𝑪𝐼𝑅 =

Em

𝑹𝑳𝑪 en simplifiant par ejωt

or 𝐝²𝐼𝑅

𝒅𝒕² = (j ω )² 𝐼𝑅 et

𝐝𝐼𝑅

𝒅𝒕 = j ω 𝐼𝑅 donc l’équation devient : 𝐼𝑅 (-ω ² +

j ω

𝑹𝑪 +

1

𝐿𝐶 ) =

Em

𝑹𝑳𝑪

on posera ω0² = 1

𝐿𝐶

dc 𝐼𝑅 =Em

𝑹𝑳𝑪

1

(ω02− ω2)+𝑗ω

𝑅𝐶 =

Em

𝑹(𝟏−𝑳𝑪ω2 )+𝒋𝑳ω =

𝐸𝑚ω02

𝑅(ω02− ω2)+𝑗ω

𝐶

d’où le module IRm = 𝐼𝑅 = Emω02

𝑹.

1

√(ω02− ω2)²+(ω

𝑅𝐶)²

et l’argument ϕiR = - arg((ω02 − ω2) + 𝑗ω

𝑅𝐶) = - arctan (

ω

𝑅𝐶(ω02− ω2) )

𝐼𝑅 ( donc aussi iR ) ne dépend pas de R ssi 𝑅(1 − 𝐿𝐶ω2 ) =0 càd 1 − 𝐿𝐶ω2 =0 soit pour ω= ω0

2)Retrouvons l’expression de 𝐼𝑅 de manière directe sans passer par les grandeurs réelles :

(faire les schémas .. ) on remplace le générateur de tension 𝐸 en série avec L par l’association

générateur de courant 𝐸

𝒋𝑳ω en // avec impédance 𝑗𝐿ω puis on réunit la bobine et le condensateur

en dérivation pour former 𝑍𝐿𝐶

On peut ensuite utiliser la formule du diviseur de courant (ou bien repasser en modèle de Thévenin 𝐸

𝑗𝐿ω en // avec 𝑍𝐿𝐶 )

Cela donne 𝐼𝑅 = (𝑍𝐿𝐶

𝑅+𝑍𝐿𝐶 )

𝐸

𝒋𝑳ω=…=

Em

𝑹(𝟏−𝑳𝑪ω2 )+𝒋𝑳ω