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Complément en mécanique
des fluides
Formation de formateurs 23 janvier 2020
Barde Michel et Nathalie, Mazerat Christophe, Tarride Isabelle
B.O. (spécialité première) :
• D’où vient la relation fondamentale de l’hydrostatique et quelles sont les conditions d’application ?
• Considérons une particule élémentaire de fluide , de volume V = dxdydz. Elle est soumise aux forces de pression de la part des autres particules de fluide :
Suivant l’axe (Oz),la
projection des forces est :
p(z)dxdy – p(z+dz)dxdy
= -𝜕𝑝
𝜕𝑧dzdxdy
…et de même sur les autres axes.
Finalement, la résultante des forces de pression sur la particule de fluide est :
𝐹 : - dxdydz
La force volumique correspondante est :
𝐹𝑝 = -
La force volumique correspondant au poids est :
𝑃𝑣 =
Si le fluide est au repos :
𝑃𝑣 = et 𝐹𝑝 = - se compensent
Ainsi :
D’où :
• P ne dépend que de l’altitude z
• dP = - dz
s’intègre facilement si est constant ce qui est le cas des fluides incompressibles (sinon dépend de P )
dP = - dz
PB – PA = - ( zB – zA )
PB – PA = (zA - zB)
Attention donc si l’axe est orienté vers le bas !(axe de profondeur)
si l’axe est orienté vers le bas
dP = - dz
PB – PA = - ( zB – zA )
PB – PA = (zB - zA)
B.O. (spécialité terminale) :
Définition du débit massique (hors programme) :
C’est la masse qui traverse une surface par unité de temps. Unité : kg/s
Dans le cas d’une section droite d’un tube de
courant : Dm = v S
Ԧ𝑣
Définition du débit volumique (au programme):
C’est le volume qui traverse une surface par unité de temps. Unité : m3/s
Dans le cas d’une section droite d’un tube de
courant : DV = v S
Ԧ𝑣
En régime stationnaire, le débit massique se conserve à travers toute section d’un tube de courant : Dm1 = Dm2
donc 1 v1 S1 = 2 v2 S2
Dans le cas d’un fluide incompressible, = cste
1 = 2 et 1 v1 S1 = 2 v2 S2
devient :
v1 S1 = v2 S2
Dans le cas d’un fluide incompressible, = cste
v1 S1 = v2 S2
Il y a conservation du débit volumique pour un fluide incompressible en régime permanent.
Dv1 = Dv2
Et pour les écoulements gazeux ?
Les gaz sont compressibles !
Mais pour v 0,3 vson ( 370 km/h à 0°C)
On peut considérer que l’écoulement est incompressible.
Le débit volumique peut donc être considéré comme constant même si le fluide n’est pas incompressible.
B.O. (spécialité terminale) :
La relation de Bernoulli :
Pour un écoulement incompressible :• d’un fluide parfait (pas de viscosité, donc pas de
forces de frottements),• en régime stationnaire,• et sans échange de chaleur avec l’extérieur
(le fluide reste à température constante) :
P + 𝑣2
2+ gz = Cste
Le long d’une ligne de courant*
La relation traduit un bilan d’énergie mécanique :
En appliquant le principe de conservation de l’énergie mécanique à une particule fluide de masse dm = Dmdt :
dEm = d(Ec + Epp) = W(forces de pression)
Dmdt ( 1
2(𝑣2
2-𝑣12) + g(z2 – z1)) = P1v1dtS1 – P2v2dtS2
Avec Dm = v1S1 = v2S2 (écoulement incompressible)
z2z1
v1dt
v2dt
On aboutit à :
P1 + 𝑣1
2
2+ gz1 = P2 +
𝑣22
2+ gz2
Énergievolumique de
pression
Énergie cinétique
volumique
Énergie potentiellevolumique
Daniel Bernoulli (1700-1782)
Application : Effet Venturi
P1 + 𝑣1
2
2+ gz1 = P2 +
𝑣22
2+ gz2
v alors P ( pour z constant)
Vaporisateur
Trompe à vide
• Application de la relation de Bernoulli : mesure de la vitesse d’un écoulement à l’aide d’un tube de Pitot.
Bernoulli entre A et A (point d’arrêt) :
PA + 𝑣2
2= 0 + PA
Bernoulli entre B et B (ligne de courant):
PB + 𝑣2
2= PB +
𝑣2
2donne PB = PB
Loin du tube, PA = PB
D’où𝑣2
2= PA – PB
Un manomètre différentiel mesure PA – PB
On peut en déduire v, la vitesse de l’écoulement par rapport au tube de Pitot.
• Tube de Pitot utilisé dans l’aéronautique
Mirage 2000