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Généralités - Rappels Statique des uides Relation de Bernoulli Cou he limite laminaire

Mé anique des uides

Olivier Boiron

E ole Centrale Casablan a

Janvier 2018

Olivier Boiron E ole Centrale Casablan a

MF

Page 2: Mécanique des fluides - perso.centrale-marseille.fr

Généralités - Rappels Statique des uides Relation de Bernoulli Cou he limite laminaire

Sommaire

Généralités - Rappels

Equations générales

Eléments de rhéologie

Equations sans dimension

Eorts sur les orps

Statique des uides

Relation de Bernoulli

Cou he limite laminaire

Olivier Boiron E ole Centrale Casablan a

MF

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Généralités - Rappels Statique des uides Relation de Bernoulli Cou he limite laminaire

Sommaire

Généralités - Rappels

Equations générales

Eléments de rhéologie

Equations sans dimension

Eorts sur les orps

Statique des uides

Relation de Bernoulli

Cou he limite laminaire

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Généralités - Rappels Statique des uides Relation de Bernoulli Cou he limite laminaire

Equations générales

Introdu tion - Rappels

Généralités

Les uides onsidérés dans le adre de e ours sont assimilés à des milieux

ontinus.

La parti ule uide est le volume élémentaire ma ros opique de uide onsidéré

La des ription du mouvement des uides est usuellement réalisée via le

formalisme d'Euler.

Un hamp ve toriel ou tensoriel est identié en tout point de l'espa e par la

donnée de la fon tion

f (~x , t),~f (~x , t) ou f (~x , t)

La dérivée d'un hamp au ours du temps en suivant la parti ule dans son

mouvement où dérivée parti ulaire s'é rit :

Df (~x , t)

Dt

=∂f (~x , t)

∂t+∂f (~x , t)

∂x.∂x

∂t

Soit

Df (~x , t)

Dt

=∂f (~x , t)

∂t+∇f (~x , t).~u

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Généralités - Rappels Statique des uides Relation de Bernoulli Cou he limite laminaire

Equations générales

Généralités - Rappels

Conservation de la masse

On onsidère un domaine uide Ω entouré par une surfa e Σ

Soit ρ(~x , t) et ~u(~x , t) respe tivement la masse volumique et le hamp de

vitesse du uide ontenu dans Ω, le prin ipe de onservation de la masse

indique que :

Ω

∂ρ(~x , t)

∂tdv +

Σρ(~x , t)~u(~x , t)~nds = 0 (1)

ou en ore

Ω

∂ρ

∂t+∇ · (ρ~u)dv = 0 (2)

La forme lo ale s'é rit alors :

∂ρ

∂t+∇ · (ρ~u) =

Dt

+ ρ∇ · ~u (3)

Lorsque le uide est homogène (ρ = Cte) le hamp de vitesse doit être à

divergen e nulle : ∇ · ~u = 0.

∇ · ~u mesure le hangement de volume au ours du mouvement.

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Généralités - Rappels Statique des uides Relation de Bernoulli Cou he limite laminaire

Equations générales

Généralités - Rappels

Conservation de la quantité de mouvement

On onsidère un domaine uide Ω entouré par une surfa e Σ

Le prin ipe de onservation de la quantité de mouvement s'é rit :

Ω

∂ρ~u

∂tdv +

Σ(ρ~u)~u~nds =

Σσ~nds +

Ω

~f

v

dV (4)

σ est le tenseur des ontraintes de Cau hy du uide. Pour un uide

Newtonien il s'é rit :

σ = (−p + λ∇ · ~u)I + µ(∇~u +∇~uT ) (5)

λetµ sont respe tivement la 2ième vis osité et la vis osité dynamique du

uide. Elles sont liées par la relation de Stokes 3λ+ 2µ = 0 qui indique que les

for es de frottement ne parti ipent pas au hangement de volume du uide.

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Equations générales

Généralités - Rappels

Conservation de la quantité de mouvement

En utilisant la onservation de la masse et Ostrogradski on obtient la forme

dite non onservative de la onservation de la quantité de mouvement

Ωρ∂~u

∂tdv +

Ωρ(~u · ∇)~udv =

Ω∇ · σdV +

Ω

~f

v

dV (6)

et en ore sous forme lo ale en onsidérant des volumes élémentaires

ρ∂~u

∂t+ ρ(~u · ∇)~u = ∇ · σ + ~

f

v

(7)

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Généralités - Rappels Statique des uides Relation de Bernoulli Cou he limite laminaire

Equations générales

Généralités - Rappels

En résumé

Finalement l'é oulement d'un uide autour d'un obsta le quel onque est régi par

les 2 équations suivantes appelées équations de Navier-Stokes :

∂ρ∂t

+∇ · (ρ~u) = 0

ρ ∂~u∂t

+ ρ(~u · ∇)~u = ∇ · σ + ~f

v

σ = (−p + λ∇ · ~u)I + µ(∇~u +∇~uT )

(8)

Dans la situation la plus simple d'un uide in ompressible newtonien et d'un

é oulement isotherme, les ara téristiques de l'é oulement sont onnues lorsque

l'on sait déterminer en tout point la vitesse,~u, et la pression statique p.

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Généralités - Rappels Statique des uides Relation de Bernoulli Cou he limite laminaire

Equations générales

Généralités - Rappels

Fluide parfait

On appelle uide parfait un uide qui n'est pas visqueux !

Sa vis osité est nulle

Le tenseur des ontraintes de Cau hy se réduit alors au tenseur sphérique :

σ = −pI

Les évolutions du uide sont alors dé rites par les équations suivantes ou

équations d'Euler :

∂ρ∂t

+∇ · (ρ~u) = 0

ρ ∂~u∂t

+ ρ(~u · ∇)~u = −∇p + ~f

v

(9)

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Equations générales

Généralités - Rappels

Equations en notation tensorielle

Il est utile de onnaître également la forme tensorielle des équations.

Pour Navier-Stokes :

∂ρ∂t

+∂ρu

i

∂xi

= 0

ρ∂u

i

∂t+ ρu

j

∂ui

∂xj

= − ∂p∂x

i

+ ∂∂x

j

(µ(∂u

i

∂xj

+∂u

j

∂xi

)) + f

vi

(10)

Pour Euler :

∂ρ∂t

+∂ρu

i

∂xi

= 0

ρ∂u

i

∂t+ ρu

j

∂ui

∂xj

= − ∂p∂x

i

+ f

vi

(11)

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Généralités - Rappels Statique des uides Relation de Bernoulli Cou he limite laminaire

Equations générales

Généralités - Rappels

Fluide parfait in ompressible

On appelle uide parfait in ompressible un uide homogène à masse volumique

onstante.

ρ(x , t) = Cte (12)

La ondition d'in ompressibilité s'é rit :

∇ · ~u = 0 (13)

Le hamp de vitesse est à divergen e nulle

En géométrie plane ou axisymétrique on a alors aussi ∇∧ ~u = 0

Il existe alors un hamp s alaire Ψ(x, t), appelée fon tion de ourant telle que :

u

x

= − ∂Ψ∂y

u

y

= ∂Ψ∂x

(14)

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Généralités - Rappels Statique des uides Relation de Bernoulli Cou he limite laminaire

Eléments de rhéologie

Généralités - Rappels

Fluide visqueux newtonien

Un uide visqueux est qualié de newtonien lorsqu'il existe une relation linéaire

entre les ontraintes visqueuses et les vitesses de déformation.

Soit l'é oulement isaillé pur i-dessous :

PSfrag repla ements

~uℓ

Figure E oulement isaillé 1D

On dénit le taux de isaillement ou vitesse de déformation par

γ =u

La ontrainte tangentielle visqueuse asso iée s'é rit pour un uide newtonien :

τ = µγ

µ est la vis osité dynamique du uide. Son unité SI est le (kg .m−1.s−1)

On utilise souvent également la vis osité inématique du uide :

ν =µ

ρ(m2.s−1)

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Eléments de rhéologie

Généralités - Rappels

Fluide visqueux newtonien

Pour les uides usuels l'approximation uide newtonien est susante.

La vis osité dynamique est souvent très sensible à la température du uide

On généralise au as d'é oulements quel onques en introduisant :

Le tenseur des vitesses de déformation (ou des taux de déformation) :

D = 1

2

(∇~u + ∇~

u

T )

Le tenseur des ontaintes visqueuses : σ

v

= (λ∇ · ~u)I + 2µD où λ est la

deuxième vis osité du uide

λ et µ sont reliées par la loi de Stokes : 3λ + 2µ = 0. Cette loi exprime le

prin ipe que les ontraintes visqueuses ne parti ipent pas à la ompression du

uide

Pour un é oulement in ompressible on a : σ

v

= 2µD = µ(∇~u + ∇~

u

T )

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Eléments de rhéologie

Généralités - Rappels

Fluide visqueux non newtonien

Lorsque l'hypothèse de linéarité entre vitesse de déformation et ontrainte

n'est plus vériée on parle de uide non-newtonien.

Pour l'é oulement isaillé pur ren ontré i-dessus on pose : τ = µ(γ)γ

La vis osité µ dépend elle même du isaillement.

Suivant l'évolution de µ en fon tion de γ on parle de :

Fluide rhéo-uidiant : la vis osité diminue ave γ

Fluide rhéo-épaississant : la vis osité augmente ave γ

Fluide à seuil (ou à ontrainte seuil) : le uide ne s'é oule (γ 6= 0) que lorsque

la ontrainte est supérieure à un seuil σ0

:

σ = σ0

+ µγ (15)

PSfrag repla ements

σ

Figure Comportements rhéologiques type

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Eléments de rhéologie

Généralités - Rappels

Fluide visqueux non newtonien

Lorsque l'é oulement devient plus omplexe la mesure de la vitesse de

déformation est plus déli ate à dénir.

En toute rigueur on doit poser pour un uide in ompressible :

σ = 2µ(D)D (16)

Généralement, an de onserver une dénition obje tive de la vis osité, µ est

fon tion des trois invariants de D

En pratique on ne retient souvent que le deuxième invariant de D, dénit par

γ =

2D.D

On a alors :

σ = µ(γ)D et γ =

1

2

D.D (17)

Il existe un grand nombre de lois plus ou moins empiriques pour al uler la

vis osité d'un uide non newtonien.

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Eléments de rhéologie

Généralités - Rappels

Fluide visqueux non newtonien

La loi de Carreau :

µ = µ∞ +(µ0

−µ∞)[1− (H(T )γλ)2]n−1

2

et H(T ) = e

α( 1

T−T

0

+ 1

Tα−T

0

)(18)

n, λ, T0

, Tα, µ0

et µ∞ sont des onstantes

La loi de Hers hlel-Bulkley

σ = σ0

+ µ(D)D

µ =σ0

+k[γn−(σ0

/µ0

)n ]γ

(19)

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Eléments de rhéologie

Généralités - Rappels

Fluide visqueux non newtonien

Anisotropie des ontraintes normales

En prin ipe en présen e d'un é oulement isaillé pur et pour un uide

newtonien les ontraintes visqueuses sont tangentielles à la dire tion de

l'é oulement et normale à la dire tion de son gradient de vitesse :

σxx

= µu

h

ave ~u = ux (20)

Les ontraintes normales à la dire tion du isaillement sont isotropes et

limitées à la pression. Dans le as du isaillement pur on a :

σyy

= −p (21)

Dans ertains uides on observe une dépendan e des ontraintes normales au

isaillement :

σxx

− σyy

= −ψ1

(γ)γ2 et σyy

− σzz

= −ψ2

(γ)γ2 (22)

où ψ1

et ψ2

sont des fon tions de γ et dépendent du type de uide.

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Eléments de rhéologie

Généralités - Rappels

Fluide visqueux non newtonien

Cet eet permet d'expliquer par exemple l'eet Weissenberg lorsque l'on

plonge un barreau tournant dans une solution de polymères.

Figure Eet Weissenberg

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Equations sans dimension

Généralités - Rappels

Equations sans dimension

Utilité :

Permet de s'aran hir des dimensions : théorie des maquettes

Permet de jauger l'inuen e relative des termes les uns par rapport aux

autres : ompréhension physique

Prin ipe : on dénit des grandeurs de référen e :

Une longueur L

Une vitesse U

0

Une pression ρU2

0

Un temps T

Une ontrainte visqueuse µU

0

L

puis des variables sans dimension :

Les oordonnées : x

+i

=x

i

L

Une vitesse

~u

+ = ~u

U

0

Une pression p

+ = p

ρU2

0

Un temps t

+ = t

T

Une ontrainte visqueuse σ

+= σ

+

µU

0

L

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Equations sans dimension

Généralités - Rappels

Equations sans dimension

Obtention

Les équations sans dimension s'obtiennent en substituant terme à terme dans

les équations dimensionnelles les variables physiques par les variables sans

dimension

Pour l'équation de la onservation de la quantité de mouvement pour un

uide visqueux in ompressible (7) on obtient :

ρU0

T

∂~u+

∂t++ρU2

0

L

(~u+ · ∇)~u+ = −ρU2

0

L

∇p

+ +µU

0

L

2

∇ · σ++ ~f

+v

(23)

Ou en ore en divisant l'équation par

ρU2

0

L

:

L

U

0

T

∂~u+

∂t++ (~u+ · ∇)~u+ = −∇p

+ +µ

ρU0

L

∇ · σ++

L

ρU2

0

~f

+v

(24)

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Equations sans dimension

Généralités - Rappels

Equations sans dimension

Les nombres sans dimension usuels

Le groupement St = ρU

0

T

est appelé nombre de Strouhal. Il pilote les eets

d'instationnarité dans l'é oulement en omparant un temps ara téristique

d'adve tion à un temps ara téristique de l'é oulement (une période par

exemple pour un é oulement pulsé).

Le groupement Re = ρU

0

L

µest le nombre de Reynolds. Il ompare for e

d'inertie et for e de frottement.

Le nombre de Reynolds joue un rle entral en mé anique des uides ar il

permet de distinguer les régimes d'é oulement laminaire et turbulent.

C'est Osborne Reynolds (1842-1912) qui a mis en éviden e e nombre au

ours d'une expérien e élèbre (vidéo).

Si la for e de volume est la gravité

~f

v

= ρ~g = −ρg .~z le dernier terme du

membre de droite peut se re-é rire :

L

ρU2

0

~f

+v

= −gL

U

2

0

~z (25)

Le groupement

U

0√gL

est appelé nombre de Froude. Il ompare for e d'inertie

et for e de pesanteur. Il joue un rle prépondérant notamment dans les

é oulements dits à surfa e libre.

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Equations sans dimension

Généralités - Rappels

Equations sans dimension

Rle des nombres sans dimension

Les nombres sans dimension jouent un rle doublement important en

mé anique des uides.

Ils permettent :

De dis erner dans les équations l'importan e relative des termes qu'ils

représentent. Par exemple si Re >> 1 les for es de frottement sont supposées

négligeables. A l'inverse si Re << 1 e sont les for es d'inertie qui deviennent

négligeables.

Ils permettent d'établir les relation dites de similitude permettant de

omparer des phénomènes identiques e passant à des é helles spatiale

diérentes. C'est la théorie des maquettes.

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Equations sans dimension

Généralités - Rappels

Classi ation des é oulements

Classi ation ave le Reynolds

En fon tion du nombre de Reynolds on peut distinguer diverses lasses

d'é oulement.

Figure Classi ation des é oulements par le Reynolds

La nature non linéaire des équations de Navier-Stokes induit une grande

variété de formes d'é oulements autour d'un même objet.

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Equations sans dimension

Généralités - Rappels

E oulements autour d'un ylindre

Classi ation ave le Reynolds

A petit nombre de Reynolds, les termes d'inertie deviennent négligeables.

L'é oulement est dominé par la vis osité

Les lignes de ourant sont symétriques par rapport au plan médian du

ylindre.

Figure E oulement rampant autour d'un ylindre

Ces é oulements à très bas Reynolds sont appelés é oulements rampants ou

de Stokes

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Equations sans dimension

Généralités - Rappels

E oulements autour d'un ylindre

Classi ation ave le Reynolds

Pour Re = 50 l'é oulement n'arrive plus à suivre omplètement la ourbure

imposée par la paroi du ylindre.

On observe un dé ollement de l'é oulement sur la partie arrière du orps

suivie par la présen e d'une zone de re ir ulation.

Les tourbillons dans la zone de re ir ulation sont ontra-rotatifs àd qu'ils

tournent dans des sens opposés

Figure E oulement dé ollé autour d'un ylindre

L'é oulement demeure stationnaire (si l'é oulement amont est également

stationnaire et que le ylindre ne bouge pas ! !).

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Equations sans dimension

Généralités - Rappels

E oulements autour d'un ylindre

Classi ation ave le Reynolds

Pour Re = 100 l'é oulement n'arrive plus à suivre omplètement la ourbure

imposée par la paroi du ylindre.

On observe un dé ollement de l'é oulement sur la partie arrière du orps

suivie par la présen e d'une zone de re ir ulation instationnaire

Les tourbillons dans la zone de re ir ulation sont ontra-rotatifs et se

déta hent alternativement du ylindre.

Figure Allée de Von Karmann

L'é oulement est instationnaire. C'est l'allée de Von Karmann (videos)

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Equations sans dimension

Généralités - Rappels

E oulements autour d'un ylindre

Classi ation ave le Reynolds

Pour Re < 10

5

l'é oulement demeure laminaire.

Le point de dé ollement avan e vers l'amont. Le sillage est tourmenté

Figure E oulement sub ritique

L'é oulement est instationnaire. Il est qualié de sub ritique

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Généralités - Rappels Statique des uides Relation de Bernoulli Cou he limite laminaire

Equations sans dimension

Généralités - Rappels

E oulements autour d'un ylindre

Classi ation ave le Reynolds

Pour Re > 10

5

l'é oulement est turbulent.

Le sillage est très tourmenté, d'extension transverse plus importante que pour

le as sub ritique

Figure E oulement sur ritique

L'é oulement est instationnaire. Il est qualié de sur ritique

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Généralités - Rappels Statique des uides Relation de Bernoulli Cou he limite laminaire

Equations sans dimension

Généralités - Rappels

Traînée du ylindre

Ces formes d'é oulements très diérentes vont induire des eorts également

diérents sur le ylindre.

Pour al uler la résultante des eorts exer és par le uide sur le orps on doit

al uler :

~F =

S

σ~nds (26)

La proje tion de la résultante dans la dire tion de l'é oulement amont

s'appelle la traînée du orps

T =

S

σ~nds.~x (27)

Le oe ient de traînée est un nombre sans dimension qui permet de

ara tériser la traînée du orps. Il est tel que :

T =

S

σ~nds .~x =1

2

ρU2

0

C

x

S (28)

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Généralités - Rappels Statique des uides Relation de Bernoulli Cou he limite laminaire

Equations sans dimension

Généralités - Rappels

Traînée du ylindre

La valeur du C

x

évolue de près de deux ordres de grandeur sur l'é helle des

Reynolds

On note les valeurs très élevées du C

x

à petit nombre de Reynolds (eets

visqueux importants)

La transition laminaire turbulent (sub ritique/sur ritique) se traduit par une

dimunition brutale du C

x

Figure Coe ient de traînée du ylindre

A retenir le C

x

est voisin de 1 sur une large gamme de Reynolds

(10

3 < Re < 5.105)

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Généralités - Rappels Statique des uides Relation de Bernoulli Cou he limite laminaire

Eorts sur les orps

Généralités - Rappels

Eorts sur les orps

D'une manière générale pour un orps quel onque la résultante des eorts

n'est pas alignée ave la dire tion de l'é oulement.

On appelle traînée la proje tion de la résultante dans la dire tion de

l'é oulement amont.

On appelle portan e la proje tion de la résultante dans la dire tion

perpendi ulaire à l'é oulement amont.

Portan e et traînée sont toujours dénies dans le repère lié à la dire tion de la

vitesse du uide observée depuis le orps. C'est le repère Eiel, du nom de son

inventeur.

Par ailleurs l'eort exer é sur le orps peut se dé omposer en une omposante

liée à la pression et l'une liée aux eets visqueux.

~F =

S

σ~nds =

S

−p~nds +∫

S

σv

~nds (29)

ave σv

= µ(∇~u +∇~uT ) le tenseur des ontraintes visqueuses.

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Généralités - Rappels Statique des uides Relation de Bernoulli Cou he limite laminaire

Eorts sur les orps

Généralités - Rappels

Eorts sur les orps

La traînée et la portan e engendrées par les for es de pression s'appellent

traînée et portan e de forme. La distribution de pression autour du orps

dépend de sa forme....

Les omposantes visqueuses s'appellent traînée et portan e visqueuses ou de

frottements.

L'évaluation par al ul dire t des for es de portan e et de traînée s'avère être

une tâ he ardue ar elle requiert la onnaissan e non seulement du hamp de

pression en tout point de la surfa e du orps mais également du tenseur

gradient de vitesse pour évaluer le frottement. Cela n'est généralement

a essible que (di ilement) par voie expérimentale ou par voie digitale à

l'aide de simulations numériques.

C'est la raison pour laquelle on été introduits les oe ients de portan e et de

traînée, qui déduits des mesures ou des simulations, permettent d'a éder

fa ilement aux al uls :

T =1

2

ρU2

0

C

x

(Re)S (30)

P =1

2

ρU2

0

C

z

(Re)S (31)

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Généralités - Rappels Statique des uides Relation de Bernoulli Cou he limite laminaire

Eorts sur les orps

Généralités - Rappels

Eorts sur les orps

Figure Répartition de la pression statique autour d'une voiture

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Généralités - Rappels Statique des uides Relation de Bernoulli Cou he limite laminaire

Eorts sur les orps

Généralités - Rappels

Eorts sur les orps

Les oe ients C

x

et C

z

ne sont généralement pas onstants.

Ils dépendent prin ipalement du régime d'é oulement don du Re mais

peuvent également dépendre d'autres paramètres.

Pour une aile d'avion les eets de la ompressibilité mesurés par le nombre de

Ma h, M et bien sûr l'in iden e du prol interviennent.

T =1

2

ρU2

0

C

x

(Re,M, α)S (32)

P =1

2

ρU2

0

C

z

(Re,M, α)S (33)

a

cz

cz

cz

cx

cx

cx

theta

theta

Figure Coe ients aérodynamique d'un prol NACA 0012

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Généralités - Rappels Statique des uides Relation de Bernoulli Cou he limite laminaire

Eorts sur les orps

Généralités - Rappels

Moments sur les orps

On peut dénir de la même manière le moment exer é par les for es

aérodynamiques sur un axe donné

~M∆ =

S

~HM ∧ σ~nds (34)

On dénit également le oe ient de moment, C

M

par :

M∆ =1

2

ρU2

0

C

M

S .L (35)

Pour obtenir le torseur omplet des eorts

autour du orps il faut al uler les moments sur

les 3 axes de roulis, tangage et la et.

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Généralités - Rappels Statique des uides Relation de Bernoulli Cou he limite laminaire

Eorts sur les orps

Généralités - Rappels

Centre de poussée

Il est souvent utile pour déterminer l'équilibre d'un objet de onnaître le point

d'appli ation de la résultante des eorts aérodynamiques ou hydrauliques.

Ce point est appelé entre de poussée. Il se al ule en onsidérant l'égalité

entre moment de la résultante appliqué au entre de poussée, P, et somme des

moments élémentaires, soit en onsidérant le moment par rapport à un point

O :

~OP ∧ ~F =

S

~OM ∧ σ~nds (36)

On déduit de ette relation la position du point P

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Généralités - Rappels Statique des uides Relation de Bernoulli Cou he limite laminaire

Sommaire

Généralités - Rappels

Equations générales

Eléments de rhéologie

Equations sans dimension

Eorts sur les orps

Statique des uides

Relation de Bernoulli

Cou he limite laminaire

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Généralités - Rappels Statique des uides Relation de Bernoulli Cou he limite laminaire

Statique des uides

Introdu tion

En statique des uides on onsidère que le uide utilisé est au repos soit

~u = 0 !

Les for es qui s'exer ent sur le uide se résument, sauf as parti uliers , aux

for es de pression et de volume.

L'équation de la dynamique du uide se réduit alors à :

−∇p + ~f

v

= 0 (37)

Si on onsidère que les for es de volume se réduisent à la pesanteur on a don :

∇p + ρg~z = 0 (38)

Soit après intégration :

dp

ρ+ gz = Cte) (39)

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Généralités - Rappels Statique des uides Relation de Bernoulli Cou he limite laminaire

Hydrostatique

L'hydrostatique fait référen e à l'eau hoisie omme uide. On onsidère don

que elle- i est in ompressible et que ρ = Cte

L'équation (39) s'é rit alors :

p + ρgz = Cte (40)

Conséquen es :

Dans un uide (eau) pla é dans le hamp de pesanteur les isobares (surfa es

de même pression) sont des surfa es horizontales.

Si l'on onsidère deux uides homogènes, in ompressibles et non mis ibles de

masse volumique diérentes, l'interfa e est une surfa e horizontale.

Paradoxe hydrostatique : la pression sur le fond des ré ipients ne dépend pas

du volume ! !

PSfrag repla ements

h

Figure Paradoxe de l'hydrostatique

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Généralités - Rappels Statique des uides Relation de Bernoulli Cou he limite laminaire

Hydrostatique

Théorème d'Ar himède

"Tout orps plongé dans un uide reçoit de la part de elui- i une poussée

verti ale, dirigée de bas en haut, égale au poids du volume de uide dépla é"

Eau

mg

n

z

M

PSfrag repla ements

h

Figure Poussée d'Ar himède

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Généralités - Rappels Statique des uides Relation de Bernoulli Cou he limite laminaire

Hydrostatique

Théorème d'Ar himède

La seule for e en l'absen e de mouvement exer ée par le uide sur le orps est

la for e de pression.

La pression en un point M de la surfa e du orps est donnée à l'aide la

relation (40) :

p + ρgz = Cte dans tout le uide

Une référen e peut être hoisie à la surfa e du uide où règne la pression

atmosphérique :

p

atm

+ ρgh = p

M

+ ρgz

La pression en M s'é rit alors :

p

M

= p

atm

+ ρg(h − z)

La for e totale exer ée par le uide sur le orps en hoisissant une normale

extérieure dirigée vers le uide s'é rit :

F =

S

−p~nds

soit en utilisant le théorème d'Ostrogradski :

~F =

V

−∇pdv =

V

ρgdv~z = ρgV~z

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Généralités - Rappels Statique des uides Relation de Bernoulli Cou he limite laminaire

Hydrostatique

Théorème d'Ar himède

Le ρ étant elui du uide la masse ρgV représente bien la masse du volume

dépla é !

La poussée nette s'é rit alors :

~P = ρgV~z −mg

~z = (ρ− ρ

s

)gV~z (41)

ave ρ

s

la masse volumique du orps

Si ρ

s

> ρ on oule ! !

Si ρ

s

< ρ on otte ! !

PSfrag repla ements

h

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Généralités - Rappels Statique des uides Relation de Bernoulli Cou he limite laminaire

Hydrostatique

Evangelista Torri elli et le pompage

Autour des années 1600, les fontainiers de Floren e s'a harnent sans su ès à

aspirer l'eau de l'Arno à plus de 18 brasses (trente-deux pieds ou 10,33 m) de

hauteur

C'est Evangelista Torri elli (plus onnu pour le baromètre éponyme) qui

apportera la réponse !

Patm

Arno

Za−Zb

Figure Pompage dans un puits

La pression à l'aspiration de la pompe

s'é rit :

p

asp

= p

atm

− ρg(zA

− z

B

) = p

atm

− ρg∆z

La pression d'aspiration dans la pompe

peut devenir inférieure à la pression de

vapeur saturante (≈ 1.7kPa à 15

o

C) si

∆z > 10.3m. L'eau bout et la vapeur

d'eau désamor e la pompe ! !

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Généralités - Rappels Statique des uides Relation de Bernoulli Cou he limite laminaire

Sommaire

Généralités - Rappels

Equations générales

Eléments de rhéologie

Equations sans dimension

Eorts sur les orps

Statique des uides

Relation de Bernoulli

Cou he limite laminaire

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Généralités - Rappels Statique des uides Relation de Bernoulli Cou he limite laminaire

Relation de Bernoulli

Intégrales premières du mouvement

Le théorème de Bermoulli se déduit des équations de onservation de la

quantité de mouvement.

Il exprime la onservation de l'énergie dans le uide onsidéré omme parfait

(non visqueux) et in ompressible et homogène (ρ = Cte).

Considérons les équations d'Euler (9)

ρ∂~u

∂t+ ρ(~u · ∇)~u = −∇p + ~

f

v

(42)

Ave la pesanteur pour for e de volume l'équation s'é rit et en dé omposant

le terme onve tif il vient :

ρ∂~u

∂t+ ρ∇

u

2

2

+ ρ(∇ ∧ ~u) ∧ ~u = −∇p + ρ~g (43)

Le pesanteur dérivant d'un potentiel peut s'é rire :

~g = −∇(gh) où h est la

te altimétrique au point onsidéré. L'équation pré édente s'é rit alors :

ρ∂~u

∂t+∇(

ρu2

2

+ p + ρgh) + ρ(∇ ∧ ~u) ∧ ~u = 0 (44)

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Généralités - Rappels Statique des uides Relation de Bernoulli Cou he limite laminaire

Relation de Bernoulli

Intégrales premières du mouvement

Si on onsidère un é oulement permanent (ou stationnaire) la dérivée lo ale

de la vitesse est nulle

Si de plus (∇ ∧ ~u) ∧ u = 0 on peut é rire :

∇(ρu2

2

+ p + ρgh) = 0 (45)

On obtient la relation de Bernoulli en intégrant la relation pré édente :

ρu2

2

+ p + ρgh = Cte (46)

La onstante est i i la même dans tout le uide

Deux as de gure peuvent se présenter :

∇ ∧ u = 0 l'é oulement est dit irrotationnel

∇ ∧ u parallèle à~u. C'est l'é oulement de Beltrami-Gromeka (é oulement

héli oïdal)

La relation de Bernoulli est importante à plus d'un titre :

elle montre les diverses manières dont l'énergie peut se transformer dans un

uide.

elle permet d'introduire la pression dynamique : ρ u

2

2

la pression totale : p + ρu2

2

+ ρghOlivier Boiron E ole Centrale Casablan a

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Généralités - Rappels Statique des uides Relation de Bernoulli Cou he limite laminaire

Relation de Bernoulli

Pression d'arrêt

Une des onséquen es de l'équation de Bernoulli est qu'elle permet de al uler

fa ilement la pression sur un point d'arrêt de l'é oulement.

Un point d'arrêt est un point de vitesse nulle.

En uide parfait où en prin ipe la vitesse est tangentielle à la paroi, le point

d'arrêt est ommun à la paroi et à une ligne de ourant dont la dire tion est

parallèle à la normale à la paroi en e point.

Si la vitesse et la pression à l'inni amont sont respe tivement p∞ et u∞ on

a :

ρu2∞

2

+ p∞ + ρgh∞) = p

A

+ ρghA

(47)

Eau

p U

A

Figure Point d'arrêt

Si la ligne de ourant est horizontale (h∞ = h

A

) on a don :

p

A

=ρu2

2

+ p∞ (48)

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Généralités - Rappels Statique des uides Relation de Bernoulli Cou he limite laminaire

Relation de Bernoulli

Tube de pitot

Le tube de pitot est un appareil de mesure qui utilise la relation pré édente pour

déterminer la valeur de la vitesse dans un é oulement par deux mesures de

pression.

En eet on voit que l'on a fa ilement : u =

2(pA

−p∞)ρ

La mesure de p

A

est immédiate pour peu qu'une prise de pression soit

disposée au point d'arrêt.

Pour mesurer p∞, la pression statique, une autre prise de pression doit être

aménagée sur le orps du tube de pitot à un endroit où les lignes de ourant

sont redevenues parallèles à la dire tion de l'é oulement amont.

Figure Tube de pitot

In onvénient du pitot il est sensible à la dire tion de l'é oulement amont.

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Relation de Bernoulli

Equations intrinsèques

Les équations intrinsèques désignent les équations du mouvement é rites dans

un référentiel lié à la ligne de ourant.

Le repère utilisé est le repère intrinsèque omposé de la tangente, la normale

et la binormale.

Dans e repère les équations d'Euler (9) ave les hypothèses pré édentes

s'é rivent pour un é oulement plan :

−∂

∂s(p + ρ

u

2

2

+ ρgh) = 0 (49)

ρu

2

R

= −∂

∂n(p + ρgh) (50)

l.d.c.un

Figure Repère intrinsèque

où s et n sont respe tivement l'abs isse urviligne et la normale et R le rayon

de ourbure

La deuxième équation est extrêmement importante. Si on suppose que le

terme ρgh n'intervient pas (uide non pesant) on voit que le gradient de

pression normal à la ligne de ourant dépend de sa ourbure.

Autrement dit si la ligne de ourant est horizontale (R = ∞) le gradient de

pression normal est nul (ou hydrostatique si le uide est pesant).

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Sommaire

Généralités - Rappels

Equations générales

Eléments de rhéologie

Equations sans dimension

Eorts sur les orps

Statique des uides

Relation de Bernoulli

Cou he limite laminaire

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Généralités - Rappels Statique des uides Relation de Bernoulli Cou he limite laminaire

Cou he limite laminaire

Généralités

La théorie de la ou he limite joue un rle entral en mé anique des uides

Elle s'intéresse à la zone à proximité immédiate de la paroi où, en uide réel

visqueux, la ondition d'adhéren e du uide à la paroi impose un gradient de

vitesse dé itaire

Les phénomènes visqueux y sont don prépondérants et "pilotent"

omplètement l'allure des hamps de vitesse.

La théorie de la ou he limite date de la première moitié du XXime siè le, les

ontributions de Prandtl (1875-1953) et de Blasius (1883-1970), deux

ingénieurs allemands, y sont prépondérantes.

Les théories de la ou he limite laminaire puis turbulente sont parmis les

avan ées qui ont permis de mieux maîtriser les é oulements sur les prols

d'ailes et ouvrir la voie à l'aérodynamique moderne

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Généralités - Rappels Statique des uides Relation de Bernoulli Cou he limite laminaire

Cou he limite laminaire

Résultats d'expérien e

Expérien e réalisée en souerie sur une plaque plane

E oulement permanent laminaire Re ≈ 5.5105

Le uide est de l'air supposé in ompressible

Figure Prols de vitesse dans une ou he limite laminaire sur plaque plane

On remarque la diéren e très marquée entre le gradient longitudinal de

vitesse

∂u∂x

et le gradient transversal

∂u∂y

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Généralités - Rappels Statique des uides Relation de Bernoulli Cou he limite laminaire

Cou he limite laminaire

Hypothèses

On onsidère l'expérien e pré édente d'é oulement sur une plaque plane

L'é oulement est permanent laminaire (Re ≤ 5.5105), plan (2D)

Le uide est de l'air supposé in ompressible

Le point de départ de l'étude est de onsidérer qu'il existe deux é helles

d'évolution très diérentes suivant que l'on s'intéresse à la dire tion

longitudinale 0x ou à la dire tion transverse 0y .

Suivant la dire tion transverse le gradient de vitesse est onné dans une

ou he d'épaisseur δ(x)

Suivant la dire tion longitudinale l'évolution de l'é oulement s'établit sur une

longueur assimilable à elle de la plaque.

On a bien sur :

δ(x) << L (51)

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Généralités - Rappels Statique des uides Relation de Bernoulli Cou he limite laminaire

Cou he limite laminaire

Hypothèses

L'é oulement sur plaque laminaire

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