circuits électriques-régime sinusoïdal · des problèmes relatifs aux circuits fonctionnant en...

Régime sinusoïdal - Introduction 18/05/2014

UFHB – UFR SSMT - L1 Tronc commun

1

Circuits électriques-Régime sinusoïdal• Objectifs : Fournir aux étudiants les outils de base nécessaires à la résolution

des problèmes relatifs aux circuits fonctionnant en régime sinusoïdal permanent;

• Pré-requis : Bac scientifique (C,D,E)

• Modes d’évaluation : examen final (écrit )

• Débouchés de ce cours : Fait partie des pré-requis pour les cours relatifs à l’électronique et à l'électrotechnique

• Volume horaire : 9h CM, 9h TD

• Enseignant : Dr N’GUESSAN Alexandre

• Bibliographie : – Fundamentals of electric circuits (Charles K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku)

1

Résultats attendus

A la fin de ce cours, l’étudiant devrait, au moins, savoir :

• Passer du sinusoïdal temporel permanent au phasoriel et

inversement

• Utiliser les lois de base de l’électrocinétique pour déterminer

les grandeurs d’un circuit fonctionnant en régime sinusoïdal

permanent

• Effectuer le bilan de puissance d’une installation électrique

• Améliorer le facteur de puissance d’une installation électrique

• Déterminer la fréquence de résonance d’un circuit

• Fournir la fonction de transfert et tracer le diagramme de

Bode d’un circuit à fréquence variable2

Circuits électriques-Régime sinusoïdal

Régime sinusoïdal - Introduction 18/05/2014

UFHB – UFR SSMT - L1 Tronc commun

2

Programme

• Chapitre 1 : Sinusoïdes et phaseurs

• Chapitre 2 : Puissance électrique

• Chapitre 3 : Réponse fréquentielle

3

Circuits électriques-Régime sinusoïdal

Chapitre 1 – Sinusoides et phaseurs

UFHB – UFR SSMT - L1 Tronc commun 1

19/05/2014

1 . Sinusoïdes et phaseurs

1.1 Sinusoïde

- : l’amplitude de la sinusoïde

- : la pulsation (en radians/seconde)

- : l’argument

- : la période de la sinusoïde (en sec)-->

- f : la fréquence (en Hertz)

( ) ( )tsinVt m w=v

wP

=2

T ( ) ( )tTt vv =+

Tf

1=

mV

wtw

1


1.1 Sinusoïde

Soit :

est l’argument (radians ou degrés)

est la phase (radians ou degrés)

Soient

--> et sont en phase

--> et ne sont pas en phase

( ) ( )f+w= tsinVt mv

( )f+wt

f

( ) ( )1m tsinVt f+w=1v ( ) ( )2m tsinVt f+w=2v

0=f 1v 2v

0¹f 1v 2v

2

12 f-f=f



19/05/2014


Comparaison :

•Même fréquence.

• Pas obligation de même amplitude

• Il vaut mieux exprimer les sinusoïdes sous la même forme (sinus ou cosinus)

1.1 Sinusoïde

3


( ) tsin180tsin w-=°±w

( ) tcos180tcos w-=°±w

( ) tcos90tsin w±=°±w

( ) tsin90tcos w=°±w m

Passage sinus-cosinus

4



19/05/2014


Addition graphique de deux sinusoïdes de même fréquence

( )q-w=w+w tcosCtsinBtcosA

( )°+w=w-w 1.53tcos5tsin4tcos3

Important : ne pas confondre les axes des sinus et cosinus avec ceux des

angles complexes 5


1.2 Les Phaseurs

Soit

ou

D’où

Avec

est la représentation phasorielle de la sinusoïde

( ) ( )f+w= tcosVt mv

( ) ( ) ( )( )f+w=f+w= tj

mm eVRetcosVtv

( ) ( )tjj

m eeVRet wf=v

( ) ( )tjeVRet w=v

fÐ== fm

j

m VeVV

V

6



19/05/2014


1.2 Les Phaseurs

Les formes sinusoïdales peuvent être facilement exprimées sous forme

des phaseurs qui sont plus aisées à utiliser que les sinus et les cosinus.

Un Phaseur est un nombre complexe représentant l’amplitude

et la phase d’une sinusoïde

Les phaseurs fournissent des outils simples pour l’analyse des circuits

linéaires excités par des sources sinusoïdales ; les solutions de tels

circuits seraient très difficiles à obtenir autrement.

(représentation (représentation

Temporelle) phasorielle)

( ) ( )f+w= tcosVt mv fÐ= mVVÛ

7


1.2 Les Phaseurs

Un phaseur est une représentation complexe de l’amplitude et de la phase

d’une sinusoïde

8



19/05/2014


1.2 Les Phaseurs

•Comme dans le cas d’une grandeur complexe, le phaseur peut être

exprimé sous forme cartésienne, polaire ou exponentielle.

•Le phaseur ayant une amplitude et une phase (direction), il se comporte

donc comme un vecteur.

9


1.2 Les Phaseurs

Expression d’un nombre complexe :

• Forme rectangulaire

• Forme polaire

• Forme exponentielle

Relation entre forme rectangulaire et forme polaire :

jyxz +=

fÐ= rzf= jrez

( )f+f=fÐ=+= sinjcosrrjyxz

22 yxr +=x

ytan 1-=f

f= cosrx f= sinry

10



19/05/2014


1.2 Les Phaseurs

Opérations sur les nombres complexes :

•Addition :

•Soustraction :

•Multiplication :

•Division :

11111 rjyxz fÐ=+= 22222 rjyxz fÐ=+=

( ) ( )212121 yyjxxzz +++=+

( ) ( )212121 yyjxxzz -+-=-

212121 rrzz f+fÐ=

21

2

1

2

1

r

r

z

zf-fÐ=

11


1.3 Application des phaseurs aux éléments d’un circuit électrique

Résistance R

•Forme temporelle :

•Forme phasorielle

La relation tension-courant du domaine temporel continue d’exister dans le domaine phasoriel

( )f+w= tcosImi ( )φωtcosRIR m +== iv

fÐ= mII IRV =

12



19/05/2014


1.3 Application des phaseurs aux éléments d’un circuit

électrique

•Résistance R

Le courant et la tension sont

en phase

13



électrique

Inductance L



( )f+w= tcosIi m

fÐ= mII

( )f+ww-== tsinLIdt

diL mv

( )°+=- 90cossin AA ( )°+f+ww= 90tcosLImv

( )φωLIeeeωLIeωLIV m

j90j90jφ

m

90φj

m Ð×=== °°°+

je 90j =° ILjV w=

14



19/05/2014



électrique

•Inductance L

Diagramme phasoriel d’une

inductance : le courant I est en retard

de phase sur V

15


1.3 Application des phaseurs aux éléments d’un circuit électrique

•Condensateur C



je 90j =°

( )f+w= tcosVmv ( )f+ww-== tsinCVdt

dvCi

( )°+f+ww= 90tcosCVisoit

fÐ= mVV ( ) fÐw×=w=w= °°f°+fm

90j90jj

m

90j

m CVeeeCVeCVI

VCjI w=

Cj

IV

w=

16



19/05/2014



électrique

•Condensateur C

Diagramme phasoriel d’un

condensateur : le courant I est en

avance de phase sur V

17



électrique

Tableau récapitulatif

18



19/05/2014


1.4 Impédance et admittance

L’impédance d’un circuit est le rapport entre le phaseur et le

phaseur , mesuré en ohms (Ω)

ou (L’admittance Y est l’inverse

de l’impédance)

Z V

I

IZV =I

VZ =

19



On a : l’impédance (en Ohms)

Avec

: la résistance (en Ohms)

: la réactance (en Ohms)

X positif Impédance inductive

X négatif Impédance capacitive

X nulle Impédance résistive

Forme phasorielle :

Avec et

jXRZ +=

( )ZReR =( )ZImX =

qÐ= ZZ

22 XRZ +=R

Xtan 1-=q

20

w-w=

C

1LX

( )ww C1L f

( )ww C1L p

( )w=w C1L



19/05/2014



On a : l’admittance (Siemens)

Avec

: la conductance (en Siemens)

: la susceptance (en Siemens)

Passage Impédance – Admittance

Remarque : si alors

jBGY +=

( )YReG =( )YImB =

V

I

Z

1Y ==

22 XR

RG

+= 22 XR

XB

+-=

0X ¹R

1G ¹

21


1.4 Utilisation des lois relatives à la théorie des circuits

Impédances en série

Impédances en parallèle

pour n=2

n21eq Z...ZZZ +++=

21

21

21 /1/1

1

ZZ

ZZ

ZZZ eq +

×=

+=

n21

n21

eq

eq

Y...YY

Z

1...

Z

1

Z

1

V

IY

Z

1

+++=

+++===

22



19/05/2014



Pont diviseur de tension

Pont diviseur de courant

VZZ

ZV

21

11 ×

+=

VZZ

ZV

21

22 ×

+=

IZZ

ZI

21

21 ×

+=

IZZ

ZI

21

12 ×

+=

23

Conversion étoile-triangle Conversion triangle-étoile

1

133221a

Z

ZZZZZZZ

×+×+×=

2

133221b

Z

ZZZZZZZ

×+×+×=

3

133221c

Z

ZZZZZZZ

×+×+×=

cba

cb1

ZZZ

ZZZ

++×

=

cba

ac2

ZZZ

ZZZ

++×

=

cba

ba3

ZZZ

ZZZ

++×

=24



19/05/2014


Loi des noeuds

La somme algébrique des courants circulant

dans les branches adjacentes à un nœud est nulle.

On peut aussi dire que la somme algébrique des k

courants entrants dans un nœud est égale à la

somme des l courants sortants.

Exemple :

ou

åå¾®¾··¾®¾

=lk

lk II

0IIII 4321 =-+-

4231 IIII +=+25



Loi des mailles

La somme algébrique des tensions rencontrées en parcourant la maille

dans le sens prédéfini est nulle.

Exemple :

( )îíì

-

+=±å

contraire sens le dansest si

parcours de sens le dansest si 0

k

k

kV

VV

0EUUE 2211 =-+-

26



19/05/2014



Théorème de superposition

L’intensité du courant circulant dans une branche (resp. la tension de branche) d’un réseau contenant plusieurs branches est égale à la somme algébrique des intensités (resp. tensions) créées dans cette branche par chaque générateur supposé seul (les autres étant éteints).

Remarque : Il y a autant de cas à superposer que de générateurs intervenant dans le réseau.

27



Théorème de superposition

Exemple :

Montage global Montage 1 Montage 2

( )2121

21a

ZZZZZZ

ZZEI

+++

=

2121

1221

ba1

ZZZZZZ

EZEZ

III

×+×++

=

+=

2121

21b

ZZZZZZ

EZI

++=

28



19/05/2014



Théorème de Thevenin

Un réseau compris entre deux noeuds A et B est équivalent à un

générateur indépendant de tension parfait en série avec le dipôle

composé

représente la tension lorsque la portion de réseau débite dans un

circuit ouvert (tension à vide).

est l’impédance entre les points A et B lorsque toutes les sources

indépendantes sont éteintes.

0E

0Z

0E

0Z

29



Théorème de Thevenin

Exemple :

Lorsqu’on éteint les sources :

Sans charge, on a une tension :

21

210

ZZ

ZZZ

+=

21

12210

ZZ

EZEZE

++

=30



19/05/2014



Théorème de Norton

Un réseau compris entre deux noeuds A et B est équivalent à une source

indépendante de courant réelle en parallèle avec un dipôle composé

d’admittance .

est le courant électromoteur, c’est à dire lorsque la portion de réseau

débite dans un court-circuit.

est obtenue lorsque toutes les sources indépendantes sont éteintes

(comme pour Thévenin).

0I

0Y

0I

0Y

31



Théorème de Norton

Exemple :

Lorsqu’on éteint les sources :

Sans charge, on a un générateur de courant :

21

210

ZZ

ZZZ

+=

21

210

ZZ

EEI

+-

=32



19/05/2014



Equivalent Norton-Thevenin

On peut passer de Thevenin à Norton et inversement

33



Théorème de Millman

Dans un réseau électrique de branches en parallèle, comprenant chacune

un générateur de tension parfait en série avec un élément linéaire, la

tension aux bornes des branches est égale à la somme des forces

électromotrices respectivement multipliées par l'admittance de la

branche, le tout divisé par la somme des admittances

å

å

=

==n

1i

i

n

1i

ii

Y

EY

V

34

Chapitre 2 – Puissance électrique

UFHB – UFR SSMT – L1 Tronc commun 1

18/05/2014

Chapitre 2

Puissance électrique

1

1. Puissance électrique

1 Puissance instantanée

( ) ( ) ( )titvtp =

( ) ( )vm

tVtv qw += cos ( ) ( )im tIti qw += cos

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ivmm ttIVtitvtp qwqw ++== coscos

Source

sinusoïdale

Eléments

passifsv(t)

i(t)

( ) ( ) ( )ivmmivmm tIVIVtp qqwqq +++-= 2cos2

1cos

2

1

2



18/05/2014


1 Puissance instantanée

Puissance instantanée = somme d’un terme constant et d’un terme fluctuant à

fréquence double. Ce dernier a une valeur moyenne nulle. La puissance

moyenne absorbée se réduit donc au premier terme.

3


2. Valeur efficace

La valeur efficace d’un courant périodique est le courant continu qui produit la

même puissance consommée par effet joule que ce courant périodique lorsqu’il

traverse une résistance.

(a) sinusoïdal

( (b) continu

(b) Circuit conti

4



18/05/2014


Valeur efficace

Valeur efficace d’un signal périodique :

Valeur efficace du courant (sinusoïdal) :

De même, la valeur efficace de la tension est :

Notation : Les valeurs instantanées seront notées en minuscule (ex : i(t), p(t)).

Pour les courant et les tensions, on notera V et I à la place de et

Rem : Lorsqu’un courant sinusoïdal ou une tension sinusoïdale est spécifié, c’est

très souvent en terme de sa valeur efficace. Par exemple, la tension domestique

de 220 V est la valeur efficace de la tension délivrée par la CIE.

ò=T

effdtx

TX

0

21

( )2

Idtt2cos1

2

1

T

ItdtcosI

T

1I m

T

0

2

mT

0

22

meff =w+==w= òò

2

m

eff

VV =

effV effI

5


3. Puissances et facteur de puissance

Puissance fluctuante (partie variable de p(t) :

Puissance active :

Puissance réactive :

Puissance apparente :

Facteur de puissance :

Angle du facteur de puissance :

vmVV qÐ=imII qÐ=

( )ivcosVIP q-q=

( )ivsinVIQ q-q=

VIS=

( )ivcos q-q

iv q-q

( ) ( )ivt2cosVI q+q+w=

6



18/05/2014


3. Puissances et facteur de puissance

L’angle du facteur de puissance est aussi égal à l’angle d’impédance de charge.

Remarques

•

• Charge purement résistive :

• Charge purement réactive :

• FP en arrière courant en retard sur tension charge inductive

• FP en avant courant en avant sur tension charge capacitive

vVV qÐ=iII qÐ=

iv

i

v

I

V

I

V

I

VZ q-qÐ=

qÐqÐ

==

1puissance deFacteur 0 ££

( ) 0Q1cos0 iviv =Þ=f-fÞ=f-f( ) 0P0cos90 iviv =Þ=f-fÞ°±=f-f

c

co

c

cha

7


4. Puissance complexe

• Q=0 pour une charge résistive (facteur de puissance =1)

• Q<0 pour une charge capacitive (facteur de puissance en avance)

• Q>0 pour une charge inductive (facteur de puissance en retard)

Triangle des puissances Triangle des impédances

ZV

I

vVV qÐ=iII qÐ=

iv

*VIIVS q-qÐ=×=

( ) ( )iviv sinjVIcosVIS q-q+q-q=

jQPS +=

8



18/05/2014


4. Puissance complexe

S dans le 1er cadrant charge inductive

S dans le 2ème cadrant charge capacitive

9


5. Tableau récapitulatif

j= cosUIP

*

2

2

IURe

R

U

RI

×=

=

=

j= sinUIQ

*

2

2

IUIm

X

U

XI

×=

=

=

UIS=

*

2

2

IU

Z

U

ZI

×=

=

=

Z

Rcos =j

S

P=

Puissance

active

Puissance

réactive

Puissance

apparente

Facteur de

puissance

10



18/05/2014


6. Théorème de Boucherot

Si les charges étaient en série, on aurait :

Quelque soit la manière dont les charges sont connectées

(série ou parallèle), la puissance complexe apparente totale délivrée par source

est égale à la somme des puissances complexes apparentes consommées par

les charges

21 III += ( ) 21

*

2

*

1

*

2

*

1

*SSIVIVIIVIVS +=+=+==

21 VVV += ( ) 21

*

2

*

1

*

21

*SSIVIVIVVIVS +=+=+==

11


6. Théorème de Boucherot

Soit une source alimentant N charges, le théorème de Boucherot stipule que :

la puissance active d’un système est égale à la somme des puissances actives

des éléments le constituant, de même pour la puissance réactive et la

puissance apparente complexe.

Attention :

N21 P...PPP +++=

N21 Q...QQQ +++=

N21 S...SSS +++=

N21 S...SSS +++¹

12



18/05/2014


7. Correction du facteur de puissance

Elle consiste à amener le facteur de puissance à une valeur proche de l’unité

afin de diminuer les pertes par effet joule dans le réseau.

Lorsque la charge est inductive (majorité des cas), le facteur de puissance sera

amélioré en installant un condensateur en parallèle comme illustré sur la figure

ci-dessous.

13



Si la charge inductive d’origine a

une puissance apparente , alors :

Si nous souhaitons augmenter le

facteur de puissance de à sans

toucher à la puissance active , alors la

nouvelle puissance réactive est :

La réduction de la puissance réactive est causée par le condensateur shunt,

soit :

11 cosSP q=

1111 tanPsinSQ q=q=

22 tanPQ q=

( )2121C tantanPQQQ q-q=-=14



18/05/2014



Rem1 : la puissance active P dissipée par la charge n’est pas affectée par la

correction du facteur de puissance car la puissance moyenne due au

condensateur est égale à zéro.

Rem 2 : Bien que dans la majeure partie des situations en pratique la charge

soit inductive, il est aussi possible que la charge soit capacitive, c’est-à-dire

qu’elle opère avec un facteur de puissance en arrière. Dans ce cas, on

connectera une inductance aux bornes de la charge pour la correction du

facteur de puissance. L’inductance shunt L nécessaire peut être calculée à partir

de :

avec

différence entre ancienne et nouvelle puissances réactives

²CVX

²VQ

C

C w== ( )²V

tantanP

²V

QC 21C

wq-q

=w

=

Þw

==L

²V

X

²VQ

L

L

LQ

²VL

w= 21

QQQL

-=

15

2. Adaptation d’un générateur à une impédance de charge

1. Adaptation en puissance

Adapter en puissance la charge au générateur revient à chercher R et X pour

lesquels le générateur transmet le maximum de puissance à la charge.

jXRZ

jXRZ iii

+=

+=

*IVjQPS ×=+=

g

i

EZZ

ZV

+=

i

g

ZZ

EI

+=

*

i

g

g

i ZZ

EE

ZZ

ZS ÷÷

ø

öççè

æ

+´

+=

16



18/05/2014


1. Adaptation en puissance

Pour adapter en puissance, il faut que la charge ait une impédance égale à

l’impédance conjuguée du générateur

( ) ( )2i

2

i

2

g2

i

2

gXXRR

ZE

ZZ

ZES

+++´=

+´=

( )( ) ( )2i

2

i

2

gXXRR

RESReP

+++´== 0

X

Pet 0

R

P=

¶¶

=¶¶

( )( )( ) ( )[ ] E

XXRR

XXRRRR

dR

dP 2

g22

i

2

i

iii ´+++

++-+=

( )( ) ( )[ ] E

XXRR

XXR2

dX

dP 2

g22

i

2

i

i ´+++

+-=

RR et XX ii =-=Þ

17


2. Adaptation en tension

On recherche Z pour laquelle la tension V aux bornes de la charge est maximale

ou la plus grande possible.

Pour que V soit maximum, il suffit que

Pour une bonne adaptation en tension, il faut que l’impédance interne du

générateur soit très petite devant l’impédance de la charge.

g

i

EZZ

ZV

+=

( )Z0E

ZZ

Z

dZ

dVg2

i

i "¹

+=

ZZi pp

18



18/05/2014


3. Adaptation en courant

On recherche la valeur de Y pour laquelle le courant dans Y es maximum ou le

plus grand possible.

On cherche la valeur de Y pour laquelle le courant dans Y est maximum ou le

plus grand possible

I sera le plus grand possible si Y est très grand devant Yi

0

i

IYY

YI

+=

( )0

YY

Y

dY

dI2

i

i ¹+

=

19

3. Principe de dualité

Définition : A chaque circuit électrique, on peut faire correspondre un autre

circuit appelé circuit dual où toutes les équations sont identiques à condition de

permuter les tensions par les intensités

Exemples

Z=R+jX Y=G+jB

X réactance (Ω) B susceptance (S)

V=Zi i=Yv

V tension I courant

L inductance C condensateur

Eléments en parallèle Eléments en série

Générateur de tension Générateur de courant

Noeud Maille

Circuit diviseur de tension Circuit diviseur de courant 20



18/05/2014


÷ø

öçè

æw

-w+=C

1LjRZ

÷ø

öçè

æw

-w+=L

1CjGY

Þ

Þ

21


Méthode de construction du circuit dual :

• On part du schéma du circuit initial

• On crée un nœud à l'intérieur de chaque maille de ce circuit plus un à

l'extérieur

• On trace un lien entre chacun de ces nœuds en passant systématiquement à

travers un dipôle du montage

• On obtient le circuit dual en dessinant un circuit où chacun des liens

précédents contient le dipôle dual de celui qui a été coupé par le lien.

22



18/05/2014

4. Notion de résonance

Les circuits résonants comportent des éléments réactifs L et C simultanément.

1. Résonance série

a. Définition

On dit qu’un circuit est résonnant si i et v sont en phase autrement dit si

l’impédance du circuit pour la fréquence est une résistance pure. Soit

A la résonance on a :

fréquence de résonance

0w

÷ø

öçè

æw

-w+=+=C

1LjRjXRZ

( ) 0ZIm =

LC2

1f

LC

1

C

1L 00

p=Þ=wÞ

w=w

23


b. Etude de l’impédance en fonction de la fréquence

b.1 X en fonction de ω

(réactance capacitive)

(réactance inductive)w-w=

C

1LX

ïî

ïí

ì

==w

+¥®¥®w

-¥®®w

0XLC1

X

X0

24



18/05/2014



b.2 Z en fonction de ω

2

C

1L²R²X²RZ ÷

ø

öçè

æw

-w+=-=

ïïï

î

ïïï

í

ì

=w=w

w®¥®w

w®®w

RZ

)inductif(

LZ

)capacitif(

C1Z0

0

25



b.2 Argument de Z

R

C

1L

ArctgZArg w-w

=

ïïïï

î

ïïïï

í

ì

=w=w

®¥®w

®®w

)résistifcircuit(

0ZArg

)inductifcircuit(

2πZArg

)capacitifcircuit(

2π-ZArg0

0

26



18/05/2014


c. Coefficient de surtension

Recherche de Vc et VL aux bornes du condensateur et de l’inductance à la

résonance

avec

On a

De même :

Pour , on a

est le coefficient de surtension

0

CC

IV

w=

0

CRC

VV

R

VI

w=Þ=

0

0

C

0

0 LR

V

RC

VV

C

1L w=

w=Þ

w=w

C00L VLR

VILV =w=w=

RL 0 fw Þ VVou VV CL ff

C

L

R

1

RC

1

R

LQ

0

00 =

w=

w=

27


2. Résonance parallèle

L’étude de l’admittance Y (module et phase) nous donne les mêmes courbes que

celle de Z dans le circuit série.

Etude de l’impédance Z

÷ø

öçè

æw

-w+=+=L

1CjGjBGY

( )w

-w+w=

ww-+w

=RL

1²CLjRL

jRL

²RCLRjL

Z

1

( )( )( )

( ) ( )22 1²LCR²L

1²LCjRLRL

1²LCjRL

RLZ

-w+w

-w-ww=

-w+ww

=

28



18/05/2014


A la résonance, on a :

(même pulsation de résonance

que celle du circuit série).

( ) ( )LC

101LCR0ZIm 2

0

2 =wÞ=-wÞ=

2)ZArg(et 0Z

0)ZArg(et RZ

2)ZArg(et 0Z0

0

p-®®¥®w

=®w=w

p®®®w

29


Coefficient de surintensité

A la résonance, les amplitudes complexes des différents courants sont donnés par:

est le coefficient de surintensité du circuit parallèle

0max

r IR

VI ==

0

0000

00

maxL

L

RQ avec IjQI

L

Rj

jL

VI

w=-=

w-=

w=

0

000000max0CL

RRCQ avec IjQIjRCVjCI

w=w==w=w=

0Q

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