Régime sinusoïdal - Introduction 18/05/2014
UFHB – UFR SSMT - L1 Tronc commun
1
Circuits électriques-Régime sinusoïdal• Objectifs : Fournir aux étudiants les outils de base nécessaires à la résolution
des problèmes relatifs aux circuits fonctionnant en régime sinusoïdal permanent;
• Pré-requis : Bac scientifique (C,D,E)
• Modes d’évaluation : examen final (écrit )
• Débouchés de ce cours : Fait partie des pré-requis pour les cours relatifs à l’électronique et à l'électrotechnique
• Volume horaire : 9h CM, 9h TD
• Enseignant : Dr N’GUESSAN Alexandre
• Bibliographie : – Fundamentals of electric circuits (Charles K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku)
1
Résultats attendus
A la fin de ce cours, l’étudiant devrait, au moins, savoir :
• Passer du sinusoïdal temporel permanent au phasoriel et
inversement
• Utiliser les lois de base de l’électrocinétique pour déterminer
les grandeurs d’un circuit fonctionnant en régime sinusoïdal
permanent
• Effectuer le bilan de puissance d’une installation électrique
• Améliorer le facteur de puissance d’une installation électrique
• Déterminer la fréquence de résonance d’un circuit
• Fournir la fonction de transfert et tracer le diagramme de
Bode d’un circuit à fréquence variable2
Circuits électriques-Régime sinusoïdal
Régime sinusoïdal - Introduction 18/05/2014
UFHB – UFR SSMT - L1 Tronc commun
2
Programme
• Chapitre 1 : Sinusoïdes et phaseurs
• Chapitre 2 : Puissance électrique
• Chapitre 3 : Réponse fréquentielle
3
Circuits électriques-Régime sinusoïdal
Chapitre 1 – Sinusoides et phaseurs
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19/05/2014
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.1 Sinusoïde
- : l’amplitude de la sinusoïde
- : la pulsation (en radians/seconde)
- : l’argument
- : la période de la sinusoïde (en sec)-->
- f : la fréquence (en Hertz)
( ) ( )tsinVt m w=v
wP
=2
T ( ) ( )tTt vv =+
Tf
1=
mV
wtw
1
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.1 Sinusoïde
Soit :
est l’argument (radians ou degrés)
est la phase (radians ou degrés)
Soient
--> et sont en phase
--> et ne sont pas en phase
( ) ( )f+w= tsinVt mv
( )f+wt
f
( ) ( )1m tsinVt f+w=1v ( ) ( )2m tsinVt f+w=2v
0=f 1v 2v
0¹f 1v 2v
2
12 f-f=f
Chapitre 1 – Sinusoides et phaseurs
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19/05/2014
1 . Sinusoïdes et phaseurs
Comparaison :
•Même fréquence.
• Pas obligation de même amplitude
• Il vaut mieux exprimer les sinusoïdes sous la même forme (sinus ou cosinus)
1.1 Sinusoïde
3
1 . Sinusoïdes et phaseurs
( ) tsin180tsin w-=°±w
( ) tcos180tcos w-=°±w
( ) tcos90tsin w±=°±w
( ) tsin90tcos w=°±w m
Passage sinus-cosinus
4
Chapitre 1 – Sinusoides et phaseurs
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19/05/2014
1 . Sinusoïdes et phaseurs
Addition graphique de deux sinusoïdes de même fréquence
( )q-w=w+w tcosCtsinBtcosA
( )°+w=w-w 1.53tcos5tsin4tcos3
Important : ne pas confondre les axes des sinus et cosinus avec ceux des
angles complexes 5
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.2 Les Phaseurs
Soit
ou
D’où
Avec
est la représentation phasorielle de la sinusoïde
( ) ( )f+w= tcosVt mv
( ) ( ) ( )( )f+w=f+w= tj
mm eVRetcosVtv
( ) ( )tjj
m eeVRet wf=v
( ) ( )tjeVRet w=v
fÐ== fm
j
m VeVV
V
6
Chapitre 1 – Sinusoides et phaseurs
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19/05/2014
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.2 Les Phaseurs
Les formes sinusoïdales peuvent être facilement exprimées sous forme
des phaseurs qui sont plus aisées à utiliser que les sinus et les cosinus.
Un Phaseur est un nombre complexe représentant l’amplitude
et la phase d’une sinusoïde
Les phaseurs fournissent des outils simples pour l’analyse des circuits
linéaires excités par des sources sinusoïdales ; les solutions de tels
circuits seraient très difficiles à obtenir autrement.
(représentation (représentation
Temporelle) phasorielle)
( ) ( )f+w= tcosVt mv fÐ= mVVÛ
7
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.2 Les Phaseurs
Un phaseur est une représentation complexe de l’amplitude et de la phase
d’une sinusoïde
8
Chapitre 1 – Sinusoides et phaseurs
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19/05/2014
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.2 Les Phaseurs
•Comme dans le cas d’une grandeur complexe, le phaseur peut être
exprimé sous forme cartésienne, polaire ou exponentielle.
•Le phaseur ayant une amplitude et une phase (direction), il se comporte
donc comme un vecteur.
9
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.2 Les Phaseurs
Expression d’un nombre complexe :
• Forme rectangulaire
• Forme polaire
• Forme exponentielle
Relation entre forme rectangulaire et forme polaire :
jyxz +=
fÐ= rzf= jrez
( )f+f=fÐ=+= sinjcosrrjyxz
22 yxr +=x
ytan 1-=f
f= cosrx f= sinry
10
Chapitre 1 – Sinusoides et phaseurs
UFHB – UFR SSMT - L1 Tronc commun 6
19/05/2014
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.2 Les Phaseurs
Opérations sur les nombres complexes :
•Addition :
•Soustraction :
•Multiplication :
•Division :
11111 rjyxz fÐ=+= 22222 rjyxz fÐ=+=
( ) ( )212121 yyjxxzz +++=+
( ) ( )212121 yyjxxzz -+-=-
212121 rrzz f+fÐ=
21
2
1
2
1
r
r
z
zf-fÐ=
11
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.3 Application des phaseurs aux éléments d’un circuit électrique
Résistance R
•Forme temporelle :
•Forme phasorielle
La relation tension-courant du domaine temporel continue d’exister dans le domaine phasoriel
( )f+w= tcosImi ( )φωtcosRIR m +== iv
fÐ= mII IRV =
12
Chapitre 1 – Sinusoides et phaseurs
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19/05/2014
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.3 Application des phaseurs aux éléments d’un circuit
électrique
•Résistance R
Le courant et la tension sont
en phase
13
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.3 Application des phaseurs aux éléments d’un circuit
électrique
Inductance L
•Forme temporelle :
•Forme phasorielle
( )f+w= tcosIi m
fÐ= mII
( )f+ww-== tsinLIdt
diL mv
( )°+=- 90cossin AA ( )°+f+ww= 90tcosLImv
( )φωLIeeeωLIeωLIV m
j90j90jφ
m
90φj
m Ð×=== °°°+
je 90j =° ILjV w=
14
Chapitre 1 – Sinusoides et phaseurs
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19/05/2014
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.3 Application des phaseurs aux éléments d’un circuit
électrique
•Inductance L
Diagramme phasoriel d’une
inductance : le courant I est en retard
de phase sur V
15
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.3 Application des phaseurs aux éléments d’un circuit électrique
•Condensateur C
•Forme temporelle :
•Forme phasorielle
je 90j =°
( )f+w= tcosVmv ( )f+ww-== tsinCVdt
dvCi
( )°+f+ww= 90tcosCVisoit
fÐ= mVV ( ) fÐw×=w=w= °°f°+fm
90j90jj
m
90j
m CVeeeCVeCVI
VCjI w=
Cj
IV
w=
16
Chapitre 1 – Sinusoides et phaseurs
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19/05/2014
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.3 Application des phaseurs aux éléments d’un circuit
électrique
•Condensateur C
Diagramme phasoriel d’un
condensateur : le courant I est en
avance de phase sur V
17
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.3 Application des phaseurs aux éléments d’un circuit
électrique
Tableau récapitulatif
18
Chapitre 1 – Sinusoides et phaseurs
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19/05/2014
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.4 Impédance et admittance
L’impédance d’un circuit est le rapport entre le phaseur et le
phaseur , mesuré en ohms (Ω)
ou (L’admittance Y est l’inverse
de l’impédance)
Z V
I
IZV =I
VZ =
19
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.4 Impédance et admittance
On a : l’impédance (en Ohms)
Avec
: la résistance (en Ohms)
: la réactance (en Ohms)
X positif Impédance inductive
X négatif Impédance capacitive
X nulle Impédance résistive
Forme phasorielle :
Avec et
jXRZ +=
( )ZReR =( )ZImX =
qÐ= ZZ
22 XRZ +=R
Xtan 1-=q
20
w-w=
C
1LX
( )ww C1L f
( )ww C1L p
( )w=w C1L
Chapitre 1 – Sinusoides et phaseurs
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19/05/2014
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.4 Impédance et admittance
On a : l’admittance (Siemens)
Avec
: la conductance (en Siemens)
: la susceptance (en Siemens)
Passage Impédance – Admittance
Remarque : si alors
jBGY +=
( )YReG =( )YImB =
V
I
Z
1Y ==
22 XR
RG
+= 22 XR
XB
+-=
0X ¹R
1G ¹
21
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.4 Utilisation des lois relatives à la théorie des circuits
Impédances en série
Impédances en parallèle
pour n=2
n21eq Z...ZZZ +++=
21
21
21 /1/1
1
ZZ
ZZ
ZZZ eq +
×=
+=
n21
n21
eq
eq
Y...YY
Z
1...
Z
1
Z
1
V
IY
Z
1
+++=
+++===
22
Chapitre 1 – Sinusoides et phaseurs
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19/05/2014
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.4 Utilisation des lois relatives à la théorie des circuits
Pont diviseur de tension
Pont diviseur de courant
VZZ
ZV
21
11 ×
+=
VZZ
ZV
21
22 ×
+=
IZZ
ZI
21
21 ×
+=
IZZ
ZI
21
12 ×
+=
23
Conversion étoile-triangle Conversion triangle-étoile
1
133221a
Z
ZZZZZZZ
×+×+×=
2
133221b
Z
ZZZZZZZ
×+×+×=
3
133221c
Z
ZZZZZZZ
×+×+×=
cba
cb1
ZZZ
ZZZ
++×
=
cba
ac2
ZZZ
ZZZ
++×
=
cba
ba3
ZZZ
ZZZ
++×
=24
Chapitre 1 – Sinusoides et phaseurs
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19/05/2014
1 . Sinusoïdes et phaseurs
Loi des noeuds
La somme algébrique des courants circulant
dans les branches adjacentes à un nœud est nulle.
On peut aussi dire que la somme algébrique des k
courants entrants dans un nœud est égale à la
somme des l courants sortants.
Exemple :
ou
åå¾®¾··¾®¾
=lk
lk II
0IIII 4321 =-+-
4231 IIII +=+25
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.4 Utilisation des lois relatives à la théorie des circuits
Loi des mailles
La somme algébrique des tensions rencontrées en parcourant la maille
dans le sens prédéfini est nulle.
Exemple :
( )îíì
-
+=±å
contraire sens le dansest si
parcours de sens le dansest si 0
k
k
kV
VV
0EUUE 2211 =-+-
26
Chapitre 1 – Sinusoides et phaseurs
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19/05/2014
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.4 Utilisation des lois relatives à la théorie des circuits
Théorème de superposition
L’intensité du courant circulant dans une branche (resp. la tension de branche) d’un réseau contenant plusieurs branches est égale à la somme algébrique des intensités (resp. tensions) créées dans cette branche par chaque générateur supposé seul (les autres étant éteints).
Remarque : Il y a autant de cas à superposer que de générateurs intervenant dans le réseau.
27
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.4 Utilisation des lois relatives à la théorie des circuits
Théorème de superposition
Exemple :
Montage global Montage 1 Montage 2
( )2121
21a
ZZZZZZ
ZZEI
+++
=
2121
1221
ba1
ZZZZZZ
EZEZ
III
×+×++
=
+=
2121
21b
ZZZZZZ
EZI
++=
28
Chapitre 1 – Sinusoides et phaseurs
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1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.4 Utilisation des lois relatives à la théorie des circuits
Théorème de Thevenin
Un réseau compris entre deux noeuds A et B est équivalent à un
générateur indépendant de tension parfait en série avec le dipôle
composé
représente la tension lorsque la portion de réseau débite dans un
circuit ouvert (tension à vide).
est l’impédance entre les points A et B lorsque toutes les sources
indépendantes sont éteintes.
0E
0Z
0E
0Z
29
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.4 Utilisation des lois relatives à la théorie des circuits
Théorème de Thevenin
Exemple :
Lorsqu’on éteint les sources :
Sans charge, on a une tension :
21
210
ZZ
ZZZ
+=
21
12210
ZZ
EZEZE
++
=30
Chapitre 1 – Sinusoides et phaseurs
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1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.4 Utilisation des lois relatives à la théorie des circuits
Théorème de Norton
Un réseau compris entre deux noeuds A et B est équivalent à une source
indépendante de courant réelle en parallèle avec un dipôle composé
d’admittance .
est le courant électromoteur, c’est à dire lorsque la portion de réseau
débite dans un court-circuit.
est obtenue lorsque toutes les sources indépendantes sont éteintes
(comme pour Thévenin).
0I
0Y
0I
0Y
31
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.4 Utilisation des lois relatives à la théorie des circuits
Théorème de Norton
Exemple :
Lorsqu’on éteint les sources :
Sans charge, on a un générateur de courant :
21
210
ZZ
ZZZ
+=
21
210
ZZ
EEI
+-
=32
Chapitre 1 – Sinusoides et phaseurs
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1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.4 Utilisation des lois relatives à la théorie des circuits
Equivalent Norton-Thevenin
On peut passer de Thevenin à Norton et inversement
33
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.4 Utilisation des lois relatives à la théorie des circuits
Théorème de Millman
Dans un réseau électrique de branches en parallèle, comprenant chacune
un générateur de tension parfait en série avec un élément linéaire, la
tension aux bornes des branches est égale à la somme des forces
électromotrices respectivement multipliées par l'admittance de la
branche, le tout divisé par la somme des admittances
å
å
=
==n
1i
i
n
1i
ii
Y
EY
V
34
Chapitre 2 – Puissance électrique
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18/05/2014
Chapitre 2
Puissance électrique
1
1. Puissance électrique
1 Puissance instantanée
( ) ( ) ( )titvtp =
( ) ( )vm
tVtv qw += cos ( ) ( )im tIti qw += cos
( ) ( ) ( ) ( ) ( )ivmm ttIVtitvtp qwqw ++== coscos
Source
sinusoïdale
Eléments
passifsv(t)
i(t)
( ) ( ) ( )ivmmivmm tIVIVtp qqwqq +++-= 2cos2
1cos
2
1
2
Chapitre 2 – Puissance électrique
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18/05/2014
1. Puissance électrique
1 Puissance instantanée
Puissance instantanée = somme d’un terme constant et d’un terme fluctuant à
fréquence double. Ce dernier a une valeur moyenne nulle. La puissance
moyenne absorbée se réduit donc au premier terme.
3
1. Puissance électrique
2. Valeur efficace
La valeur efficace d’un courant périodique est le courant continu qui produit la
même puissance consommée par effet joule que ce courant périodique lorsqu’il
traverse une résistance.
(a) sinusoïdal
( (b) continu
(b) Circuit conti
4
Chapitre 2 – Puissance électrique
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18/05/2014
1. Puissance électrique
Valeur efficace
Valeur efficace d’un signal périodique :
Valeur efficace du courant (sinusoïdal) :
De même, la valeur efficace de la tension est :
Notation : Les valeurs instantanées seront notées en minuscule (ex : i(t), p(t)).
Pour les courant et les tensions, on notera V et I à la place de et
Rem : Lorsqu’un courant sinusoïdal ou une tension sinusoïdale est spécifié, c’est
très souvent en terme de sa valeur efficace. Par exemple, la tension domestique
de 220 V est la valeur efficace de la tension délivrée par la CIE.
ò=T
effdtx
TX
0
21
( )2
Idtt2cos1
2
1
T
ItdtcosI
T
1I m
T
0
2
mT
0
22
meff =w+==w= òò
2
m
eff
VV =
effV effI
5
1. Puissance électrique
3. Puissances et facteur de puissance
Puissance fluctuante (partie variable de p(t) :
Puissance active :
Puissance réactive :
Puissance apparente :
Facteur de puissance :
Angle du facteur de puissance :
vmVV qÐ=imII qÐ=
( )ivcosVIP q-q=
( )ivsinVIQ q-q=
VIS=
( )ivcos q-q
iv q-q
( ) ( )ivt2cosVI q+q+w=
6
Chapitre 2 – Puissance électrique
UFHB – UFR SSMT – L1 Tronc commun 4
18/05/2014
1. Puissance électrique
3. Puissances et facteur de puissance
L’angle du facteur de puissance est aussi égal à l’angle d’impédance de charge.
Remarques
•
• Charge purement résistive :
• Charge purement réactive :
• FP en arrière courant en retard sur tension charge inductive
• FP en avant courant en avant sur tension charge capacitive
vVV qÐ=iII qÐ=
iv
i
v
I
V
I
V
I
VZ q-qÐ=
qÐqÐ
==
1puissance deFacteur 0 ££
( ) 0Q1cos0 iviv =Þ=f-fÞ=f-f( ) 0P0cos90 iviv =Þ=f-fÞ°±=f-f
c
co
c
cha
7
1. Puissance électrique
4. Puissance complexe
• Q=0 pour une charge résistive (facteur de puissance =1)
• Q<0 pour une charge capacitive (facteur de puissance en avance)
• Q>0 pour une charge inductive (facteur de puissance en retard)
Triangle des puissances Triangle des impédances
ZV
I
vVV qÐ=iII qÐ=
iv
*VIIVS q-qÐ=×=
( ) ( )iviv sinjVIcosVIS q-q+q-q=
jQPS +=
8
Chapitre 2 – Puissance électrique
UFHB – UFR SSMT – L1 Tronc commun 5
18/05/2014
1. Puissance électrique
4. Puissance complexe
S dans le 1er cadrant charge inductive
S dans le 2ème cadrant charge capacitive
9
1. Puissance électrique
5. Tableau récapitulatif
j= cosUIP
*
2
2
IURe
R
U
RI
×=
=
=
j= sinUIQ
*
2
2
IUIm
X
U
XI
×=
=
=
UIS=
*
2
2
IU
Z
U
ZI
×=
=
=
Z
Rcos =j
S
P=
Puissance
active
Puissance
réactive
Puissance
apparente
Facteur de
puissance
10
Chapitre 2 – Puissance électrique
UFHB – UFR SSMT – L1 Tronc commun 6
18/05/2014
1. Puissance électrique
6. Théorème de Boucherot
Si les charges étaient en série, on aurait :
Quelque soit la manière dont les charges sont connectées
(série ou parallèle), la puissance complexe apparente totale délivrée par source
est égale à la somme des puissances complexes apparentes consommées par
les charges
21 III += ( ) 21
*
2
*
1
*
2
*
1
*SSIVIVIIVIVS +=+=+==
21 VVV += ( ) 21
*
2
*
1
*
21
*SSIVIVIVVIVS +=+=+==
11
1. Puissance électrique
6. Théorème de Boucherot
Soit une source alimentant N charges, le théorème de Boucherot stipule que :
la puissance active d’un système est égale à la somme des puissances actives
des éléments le constituant, de même pour la puissance réactive et la
puissance apparente complexe.
Attention :
N21 P...PPP +++=
N21 Q...QQQ +++=
N21 S...SSS +++=
N21 S...SSS +++¹
12
Chapitre 2 – Puissance électrique
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18/05/2014
1. Puissance électrique
7. Correction du facteur de puissance
Elle consiste à amener le facteur de puissance à une valeur proche de l’unité
afin de diminuer les pertes par effet joule dans le réseau.
Lorsque la charge est inductive (majorité des cas), le facteur de puissance sera
amélioré en installant un condensateur en parallèle comme illustré sur la figure
ci-dessous.
13
1. Puissance électrique
7. Correction du facteur de puissance
Si la charge inductive d’origine a
une puissance apparente , alors :
Si nous souhaitons augmenter le
facteur de puissance de à sans
toucher à la puissance active , alors la
nouvelle puissance réactive est :
La réduction de la puissance réactive est causée par le condensateur shunt,
soit :
11 cosSP q=
1111 tanPsinSQ q=q=
22 tanPQ q=
( )2121C tantanPQQQ q-q=-=14
Chapitre 2 – Puissance électrique
UFHB – UFR SSMT – L1 Tronc commun 8
18/05/2014
1. Puissance électrique
7. Correction du facteur de puissance
Rem1 : la puissance active P dissipée par la charge n’est pas affectée par la
correction du facteur de puissance car la puissance moyenne due au
condensateur est égale à zéro.
Rem 2 : Bien que dans la majeure partie des situations en pratique la charge
soit inductive, il est aussi possible que la charge soit capacitive, c’est-à-dire
qu’elle opère avec un facteur de puissance en arrière. Dans ce cas, on
connectera une inductance aux bornes de la charge pour la correction du
facteur de puissance. L’inductance shunt L nécessaire peut être calculée à partir
de :
avec
différence entre ancienne et nouvelle puissances réactives
²CVX
²VQ
C
C w== ( )²V
tantanP
²V
QC 21C
wq-q
=w
=
Þw
==L
²V
X
²VQ
L
L
LQ
²VL
w= 21
QQQL
-=
15
2. Adaptation d’un générateur à une impédance de charge
1. Adaptation en puissance
Adapter en puissance la charge au générateur revient à chercher R et X pour
lesquels le générateur transmet le maximum de puissance à la charge.
jXRZ
jXRZ iii
+=
+=
*IVjQPS ×=+=
g
i
EZZ
ZV
+=
i
g
ZZ
EI
+=
*
i
g
g
i ZZ
EE
ZZ
ZS ÷÷
ø
öççè
æ
+´
+=
16
Chapitre 2 – Puissance électrique
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18/05/2014
2. Adaptation d’un générateur à une impédance de charge
1. Adaptation en puissance
Pour adapter en puissance, il faut que la charge ait une impédance égale à
l’impédance conjuguée du générateur
( ) ( )2i
2
i
2
g2
i
2
gXXRR
ZE
ZZ
ZES
+++´=
+´=
( )( ) ( )2i
2
i
2
gXXRR
RESReP
+++´== 0
X
Pet 0
R
P=
¶¶
=¶¶
( )( )( ) ( )[ ] E
XXRR
XXRRRR
dR
dP 2
g22
i
2
i
iii ´+++
++-+=
( )( ) ( )[ ] E
XXRR
XXR2
dX
dP 2
g22
i
2
i
i ´+++
+-=
RR et XX ii =-=Þ
17
2. Adaptation d’un générateur à une impédance de charge
2. Adaptation en tension
On recherche Z pour laquelle la tension V aux bornes de la charge est maximale
ou la plus grande possible.
Pour que V soit maximum, il suffit que
Pour une bonne adaptation en tension, il faut que l’impédance interne du
générateur soit très petite devant l’impédance de la charge.
g
i
EZZ
ZV
+=
( )Z0E
ZZ
Z
dZ
dVg2
i
i "¹
+=
ZZi pp
18
Chapitre 2 – Puissance électrique
UFHB – UFR SSMT – L1 Tronc commun 10
18/05/2014
2. Adaptation d’un générateur à une impédance de charge
3. Adaptation en courant
On recherche la valeur de Y pour laquelle le courant dans Y es maximum ou le
plus grand possible.
On cherche la valeur de Y pour laquelle le courant dans Y est maximum ou le
plus grand possible
I sera le plus grand possible si Y est très grand devant Yi
0
i
IYY
YI
+=
( )0
YY
Y
dY
dI2
i
i ¹+
=
19
3. Principe de dualité
Définition : A chaque circuit électrique, on peut faire correspondre un autre
circuit appelé circuit dual où toutes les équations sont identiques à condition de
permuter les tensions par les intensités
Exemples
Z=R+jX Y=G+jB
X réactance (Ω) B susceptance (S)
V=Zi i=Yv
V tension I courant
L inductance C condensateur
Eléments en parallèle Eléments en série
Générateur de tension Générateur de courant
Noeud Maille
Circuit diviseur de tension Circuit diviseur de courant 20
Chapitre 2 – Puissance électrique
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18/05/2014
3. Principe de dualité
÷ø
öçè
æw
-w+=C
1LjRZ
÷ø
öçè
æw
-w+=L
1CjGY
Þ
Þ
21
3. Principe de dualité
Méthode de construction du circuit dual :
• On part du schéma du circuit initial
• On crée un nœud à l'intérieur de chaque maille de ce circuit plus un à
l'extérieur
• On trace un lien entre chacun de ces nœuds en passant systématiquement à
travers un dipôle du montage
• On obtient le circuit dual en dessinant un circuit où chacun des liens
précédents contient le dipôle dual de celui qui a été coupé par le lien.
22
Chapitre 2 – Puissance électrique
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18/05/2014
4. Notion de résonance
Les circuits résonants comportent des éléments réactifs L et C simultanément.
1. Résonance série
a. Définition
On dit qu’un circuit est résonnant si i et v sont en phase autrement dit si
l’impédance du circuit pour la fréquence est une résistance pure. Soit
A la résonance on a :
fréquence de résonance
0w
÷ø
öçè
æw
-w+=+=C
1LjRjXRZ
( ) 0ZIm =
LC2
1f
LC
1
C
1L 00
p=Þ=wÞ
w=w
23
4. Notion de résonance
b. Etude de l’impédance en fonction de la fréquence
b.1 X en fonction de ω
(réactance capacitive)
(réactance inductive)w-w=
C
1LX
ïî
ïí
ì
==w
+¥®¥®w
-¥®®w
0XLC1
X
X0
24
Chapitre 2 – Puissance électrique
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4. Notion de résonance
b. Etude de l’impédance en fonction de la fréquence
b.2 Z en fonction de ω
2
C
1L²R²X²RZ ÷
ø
öçè
æw
-w+=-=
ïïï
î
ïïï
í
ì
=w=w
w®¥®w
w®®w
RZ
)inductif(
LZ
)capacitif(
C1Z0
0
25
4. Notion de résonance
b. Etude de l’impédance en fonction de la fréquence
b.2 Argument de Z
R
C
1L
ArctgZArg w-w
=
ïïïï
î
ïïïï
í
ì
=w=w
®¥®w
®®w
)résistifcircuit(
0ZArg
)inductifcircuit(
2πZArg
)capacitifcircuit(
2π-ZArg0
0
26
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4. Notion de résonance
c. Coefficient de surtension
Recherche de Vc et VL aux bornes du condensateur et de l’inductance à la
résonance
avec
On a
De même :
Pour , on a
est le coefficient de surtension
0
CC
IV
w=
0
CRC
VV
R
VI
w=Þ=
0
0
C
0
0 LR
V
RC
VV
C
1L w=
w=Þ
w=w
C00L VLR
VILV =w=w=
RL 0 fw Þ VVou VV CL ff
C
L
R
1
RC
1
R
LQ
0
00 =
w=
w=
27
4. Notion de résonance
2. Résonance parallèle
L’étude de l’admittance Y (module et phase) nous donne les mêmes courbes que
celle de Z dans le circuit série.
Etude de l’impédance Z
÷ø
öçè
æw
-w+=+=L
1CjGjBGY
( )w
-w+w=
ww-+w
=RL
1²CLjRL
jRL
²RCLRjL
Z
1
( )( )( )
( ) ( )22 1²LCR²L
1²LCjRLRL
1²LCjRL
RLZ
-w+w
-w-ww=
-w+ww
=
28
Chapitre 2 – Puissance électrique
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4. Notion de résonance
A la résonance, on a :
(même pulsation de résonance
que celle du circuit série).
( ) ( )LC
101LCR0ZIm 2
0
2 =wÞ=-wÞ=
2)ZArg(et 0Z
0)ZArg(et RZ
2)ZArg(et 0Z0
0
p-®®¥®w
=®w=w
p®®®w
29
4. Notion de résonance
Coefficient de surintensité
A la résonance, les amplitudes complexes des différents courants sont donnés par:
est le coefficient de surintensité du circuit parallèle
0max
r IR
VI ==
0
0000
00
maxL
L
RQ avec IjQI
L
Rj
jL
VI
w=-=
w-=
w=
0
000000max0CL
RRCQ avec IjQIjRCVjCI
w=w==w=w=
0Q
30