cir-elc_chapitre 2_circuits en ru00e9gime continu (1)

M. ZEGRARICircuits en

Rgime Continu

CIRCUITS EN RGIME CONTINU

ELC-1112 CIRCUITS LECTRIQUES

COLE NATIONALE SUPRIEURE DARTS ET MTIERS - CASABLANCAAnnes Prparatoires IntgresDpartement Gnie lectrique

Chapitre

Pr. Mourad ZEGRARI


Rgime Continu

Plan

Notations de base

Lois de Kirchhoff

Analyse des circuits par les lois de Kirchhoff

Lois fondamentales : Pouillet, Ponts diviseurs

Thormes gnraux : Millman, Superposition

Thormes de Thvenin-Norton

2


Rgime Continu

Plan

3

Notations de base

Lois de Kirchhoff


Lois fondamentales : Pouillet et ponts diviseurs


Thorme de Thvenin - Norton


Rgime Continu

Circuit lectriqueEnsemble dlments lectriques (sources, rcepteurs)

connects de faon constituer un circuit ferm.

Nud

Point du rseau o se rejoignent au moins trois conducteurs.

BrancheGroupe dlments situ entre deux nuds successifs.

MailleEnsemble de branches relies dans un circuit ferm (le nud de dpart est le mme que celui darrive).

4

Notations de base


Rgime Continu

Nous dfinissons les paramtres suivants :

Nombre de branches : b

Nombre de nuds : n

Nombre de mailles : m

5

Paramtres dun circuit

Nuds

Branches

b = 7 ; n = 4 ; m = 4

Exemple


Rgime Continu

Exemple 2.1

Nous considrons le circuit suivant :

Nous distinguons :

Nombre de nuds indpendants : N = (n 1)

Nombre de mailles indpendantes : M = b (n 1)

6

R1 R2

R3

A

B

D

C

F

E

1 2

Vs3

+

-

Vs2

+

-Vs1

+

-

n = 2

Soit : b = 3

m = 3


Rgime Continu

Plan

7

Notations de base

Lois de Kirchhoff






Rgime Continu

Lois de KIRCHHOFF

1. Loi des nuds

Nous considrons un nud A dans un circuit lectrique :

La quantit de charge amene par les courants entrants (+) est gale celle retire par les courants sortants (-) :

dqe = dqs soit : I1 + I2 + I5 = I3 + I4La somme algbrique des courants dans un nud est nulle :

k=1

n

Ik = 0

8

I1

I2 I3

I4I5

A


Rgime Continu

Lois de KIRCHHOFF

2. Loi des mailles

Nous considrons la maille suivante :

Si lon parcoure toute la maille :

VAA = V1 + V2 + V3 + V4 = 0

La somme algbrique des tensions dans une maille est nulle :

k=1

n

Vk = 0

9

R1

R2

R4

D C

BA

R3

V1

V2

V3

V4

Vs2

+

- Vs3+-

Vs1+-


Rgime Continu

Plan

10

Notations de base

Lois de Kirchhoff






Rgime Continu


Ltude des circuits lectriques a pour objectif la dtermination des courants et tensions dans toutes les branches du circuit.

Les variables courants et tensions sont relies par :

quations de courants dans les nuds : N = (n 1)

quations des tensions dans les mailles : M = (b N)

quations v-i pour des lments de chaque branche : b

Nous obtenons ainsi : (N + M) + b = 2b quations dquilibre

11


Rgime Continu

Circuit passif optimal

Afin doptimiser le nombre de nuds et de mailles traiter, nous tudions un circuit passif o toutes les sources sont teintes :

Source de tension vs teinte : vs = 0 source court-circuite.

Source de courant is teinte : is = 0 source ouverte.

quations v-i pour des lments de chaque branche : b

12

vs = 0

+

-

Court-

Circuit

Source de tension teinte

is = 0

+

-

Court

Ouvert

Source de courant teinte


Rgime Continu

Exemple 2.2

Considrons le circuit suivant :

13

b = 5

N = n 1 = 2

M = b N = 3

A : i1 + i3 = i2

C : is = i3 + i4 + i5

(1) : vs = v1 + v2

(2) : v4 = v3 + v2

(3) : v3 = v1 + v5

v1 = R1 i1

v2 = R2 i2

v3 = R3 i3

v4 = R4 i4

v5 = R5 i5

N = 2 M = 3 b = 5


Rgime Continu

Formulation des quations

Les quations de maille sont reformules telle que :

k=1

n

Vsk = k=1

n

RkIk

Vsk : Somme algbrique des f..m. de chaque maille, affectes du signe de la borne par laquelle on sort suivant le sens

de parcours.

RkIk : Somme arithmtique des tensions rsistives dans chaque maille. Un produit (RkIk) est compt positif si le sens du courant Ii est le mme que celui de parcours de la maille. Il est compt ngatif sil est en sens inverse.

14


Rgime Continu

Exemple 2.3


Maille (1) : Vs1 Vs3 = R1I1 + R3I3

Maille (2) : Vs3 Vs2 = R2I2 R3I3

Nud A : I1 = I2 + I3

15

R1 R2I1

R3

Vs3

+

-

I2

I3

2Vs1

+

-Vs2

+

-

1

A

B


Rgime Continu

Formulation matricielle

Les quations des tensions de maille peuvent tre reformules sous la forme matricielle suivante :

E = R I

Pour lexemple prcdent :

Vs1 Vs3 = R1I1 + R3I3 = (R1 + R3) I1 R3I2Vs3 Vs2 = R2I2 R3I3 = R3I1 + (R2 + R3) I2

Vs1 Vs3

Vs3 Vs2

=

R1 + R3 R3

R3 R2 + R3

.

I1

I2

16

(E) : Matrice colonne des f..m.

Avec : (R) : Matric carre des rsistances.

(I) : Matrice colonne des courants.


Rgime Continu

Mthode des dterminants

La rsolution du systme matriciel linaire se fait come suit :

Dterminant principal :

On calcule le dterminant de la matrice des rsistances.

Dterminants particuliers : Ik

Dans la matrice (R), on substitue la colonne (I) par la colonne (E) des forces lectromotrices.

Calcul des courants

On dtermine chaque courant par son dterminant particulier :

Ik =Ik

17


Rgime Continu

Exemple 2.4 (1/2)


(1) : 24 + 8 = 40 I1 + 20 I2

(2) : 16 + 8 = 100 I3 + 20 I2

(A) : I1 = I2 + I3

Ce qui permet dcrire :

32 = 40 I1 + 20 I2

24 = 100 I1 + 120 I2

Soit :32

24=40 20

100 120.

I1

I2

18

40 I1

-

+

I3

I2

224 V

+

-

+

-

1

A

B

20

8 V

16 V

100

n = 2

b = 3

N = n 1 = 1

M = b N = 2


Rgime Continu

Exemple 2.4 (2/2)

Calcul du dterminant principal :

=40 20

100 120= 6800

Calcul des dterminants particuliers :

I1 =32 20

24 120= 3360 ; I2 =

40 32

100 24= 4160

Calcul des courants :

I1 =I1=3360

6800= 0.49 A ; I2 =

I2=4160

6800= 0.061 A

I3 = I1 I2 = 0.49 0.61 = - 0.12 A

19


Rgime Continu

Minimisation des quations

La mthode de formulation des quations dquilibre est simple. Cependant, le nombre dquations rsoudre) est assez lev.

Afin de rduire le nombre dquations, nous un ensemble de variables indpendantes en fonction desquelles toutes les autres variables du circuit peuvent tre exprimes :

La mthode des nuds : on choisit N tensions indpendantes et on crit N quations de courants : nb. q. = N < b

La mthode des mailles : on choisit M courants indpendants et on crit M quations de tensions : nb. q. = M < b

20

La mthode la plus simple est celle qui fait appel au plus petit nombre dquations.


Rgime Continu

Mthode des nuds

Les tapes de synthse de cette mthode sont :

tablir le circuit passif de base, dfinir : b et n.

Choisir un nud de rfrence et dfinir les (n1) potentiels aux autres nuds comme tensions nodales.

crire les N quations des courants pour les N nuds.

Formuler ces N quations en fonctions des N tensions nodales.

Dterminer les N tensions nodales par la mthode des dterminants.

21


Rgime Continu

Mise en quation (nuds)


Nud de rfrence : D

Potentiel de rfrence : vD = 0

22

B

n = 3

b = 5

N = n 1 = 2

M = b N = 3


Rgime Continu

Forme matricielle (nuds)

Les quations dquilibre obtenus avec la mthode des nuds peuvent se mettre sous la forme matricielle suivante :

23

Gii > 0 : somme des conductances au nud (i)Gij < 0 : somme des conductances reliant les nuds (i) et (j)Gij = Gji : symtrie de la matrice (G)


Rgime Continu

Exemple 2.5 (1/4)

Considrons le circuit suivant :

Le nud C est choisi comme nud de rfrence : VC = 0

Les tensions nodales calculer sont : VA et VB

24

Circuit initial Circuit passif


Rgime Continu

Exemple 2.5 (2/4)

Formulations des lois de nuds :

crivons ces quations en fonction des tensions nodales VA, VB :

25

A i1 = i2 + i3 + is

B i3 + is = i4 + i5

A Vs1 VAR1=VAR2+VA VBR3+ is

B VA VBR3+ is =

VBR4+VB Vs2R5

1

R1+1

R2+1

R3VA +

1

R3VB =Vs1R3 is

1

R3VA +

1

R3+1

R4+1

R5VB =Vs2R5+ is


Rgime Continu

Exemple 2.5 (3/4)

Nous obtenons la forme matricielle suivante :

Calculons les potentiels VA, VB par la mthode des dterminants :

26

1

R1+1

R2+1

R31

R3

1

R3

1

R3+1

R4+1

R5

VA

VB

=

Vs1R3 is

Vs2R5+ is

VB =VB= 11.60 V

VA =VA= 4.59 V


Rgime Continu

Exemple 2.5 (4/4)

Nous calculons les diffrents courants partir de VA et VB :

27

i1 =Vs1 VAR1=8 4.59

50= 68.2 mA

i2 =VAR2=4.59

250= 18.3 mA

i3 =VA VBR3=4.59 11.6

100= 70.1 mA

i4 =VBR4=11.6

200= 58 mA

i5 =VB Vs2R3=11.6 12

50= 8mA


Rgime Continu

Mthode des mailles

Les tapes de synthse de cette mthode sont :

tablir le circuit passif de base, dfinir : b et n.

Choisir un sens de parcours unique pour toutes les M mailles indpendantes et dfinir les courants fictifs associs.

crire les M quations des tensions pour les M mailles.

Formuler ces M quations en fonctions des M courants fictifs.

Dterminer les M courants fictifs par la mthode des dterminants.

28


Rgime Continu

Mise en quation (mailles)


Nud de rfrence : D

Potentiel de rfrence : vD = 0

29

B

n = 3

b = 5

N = n 1 = 2

M = b N = 3


Rgime Continu

Forme matricielle (maille)

Les quations dquilibre obtenus avec la mthode des mailles peuvent se mettre sous la forme matricielle suivante :

30

Rii > 0 : somme des rsistances de la maille (i)Rij < 0 : somme des rsistances communes entre (i) et (j)Rij = Rji : symtrie de la matrice (R)


Rgime Continu

Exemple 2.6 (1/4)

Considrons le mme circuit de lexemple prcdent :

Nous choisissons arbitrairement le sens horaire comme positif.

Les courants de maille (fictifs) calculer sont : J1, J2, J3

31

j3j1 j2

Circuit initial Circuit passif


Rgime Continu

Exemple 2.6 (2/4)

Formulations des lois de mailles :

crivons ces quations en fonction des courants de maille J1, J2, J3 :

32

1 Vs1 = R1J1 + R2 J1 J2

2 R3is = R2 J2 J1 + R3J2 + R4 J2 J3

3 Vs2 = R4 J3 J2 + R5J3

R1 + R2 J1 R2 J2 = Vs1

R2 J1 + R2 + R3 + R4 J2 R4 J3 = R3is

R4 J2 + R4 + R5 J3 = Vs2


Rgime Continu

Exemple 2.6 (3/4)

Nous obtenons la forme matricielle suivante :

Calculons les courants J1, J2, J3 par la mthode des dterminants :

33

R1 + R2 R2 0

R2 R2 + R3 + R4 R4

0 R4 R4 + R5

J1

J2

J3

=

Vs1

R3is

Vs2

J2 =J2= 49.9 mA

J1 =J1= 68.2 mA

J3 =J3= 8.1 mA


Rgime Continu

Exemple 2.6 (4/4)

Nous calculons les diffrents courants partir de J1, J2, J3 :

34

i1 = J1 = 68.2 mA

i2 = J1 J2 = 68.2 49.9 = 18.3 mA

i3 = J2 is = 49.9 120 = 70.1 mA

i4 = J2 J3 = 49.9 + 8.1 = 58 mA

i5 = J3 = 8.1 mA


Rgime Continu

Plan

35

Notations de base

Lois de Kirchhoff






Rgime Continu

Pour lanalyse des circuits lectriques simples (une deux mailles),

nous pouvons utiliser des outils de calcul permettant la

dtermination directe des courants et tensions dans un circuit.

Nous distinguons les lois fondamentales suivantes :

Loi de Pouillet

Loi du diviseur de tension

Loi du diviseur de courant

36

Lois fondamentales


Rgime Continu

Cest une loi drive des lois de Kirchhoff, elle s applique un

circuit simple contenant une maille unique :

37

Loi de Pouillet

R1

R2 R3

+

+ -Vs3

+

-Vs1

+

-

-+

R4

R5Vs4

Vs2I

Vs1 Vs2 Vs3 + Vs4 = R1 + R2 + R3 + R4 + R5 I I =Vs1 Vs2 Vs3 + Vs4R1 + R2 + R3 + R4 + R5

Vsk = I Rk

I = Vsk Rk

Somme

algbriqueSomme

arithmtique


Rgime Continu

Un circuit lectrique comprend deux sources de tension (Vs1,Rs1) et

(Vs2, Rs2) et deux rsistances R1, R2 montes en srie :

38

Exemple 2.7

Rs2 = 4

+

-

IR1 = 15 R2 = 25

Vs1 = 48 V

Calcul du courant :

I =Vs1 Vs2

Rs1 + Rs2 + R1 + R2=

48 15

2 + 15 + 25 + 4= 0.72 A

Rs1 = 2

+

-Vs2 = 15 V

+


Rgime Continu

Considrons n rsistances Rk, couples en srie et alimentes par

une source de tension Vs :

39

Loi du Diviseur de Tension

Vk = RkI =RkReq Vs

I =VsReq=Vs Rk

V1

RkVs

+

-

R1

Rn

Vk

I

Vn

Intensit du courant dans le circuit :

Tension aux bornes de la rsistance Rk :


Rgime Continu

Une source de tension Vs = 12 V alimente trois rsistances R1, R2,

R3 montes en srie :

40

Exemple 2.8

R3 = 20

+

-

V1

I

Req = Rk = 60

R1 = 15 R2 = 25

V2

V3Vs = 12 V

Rsistance quivalente :

Calcul des tensions :

V3 =R3Req Vs =

20 12

60= 4 VV1 =

R1Req Vs =

15 12

60= 3 V

V2 =R2Req Vs =

25 12

60= 5 V


Rgime Continu

Considrons n rsistances Rk, couples en parallle et alimentes

par un courant principal Is :

41

Loi du Diviseur de Courant

Ik =VsRk=ReqRk Is

Is =VsReq

Intensit du courant total :

Courant dans la rsistance Rk :

I1

RkVs

+

-

R1 Rn

Ik In

Is


Rgime Continu

Une source de courant Is = 2.4 A alimente trois rsistances R1, R2,

R3 montes en parallle :

42

Exemple 2.9

R120

+

-

I3

1

Req=1

20+1

50+1

10= 0.17 SIs = 2.4 A

Rsistance quivalente :

Calcul des courants :

I3 =5.88

10 2.4 = 1.41 AI1 =

5.88

20 0.24 = 0.71 A

I2 =5.88

50 2.4 = 0.28 A

I1 I2

R250

R310

Req =1

0.17= 5.88


Rgime Continu

Plan

43

Notations de base

Lois de Kirchhoff






Rgime Continu

Ce thorme permet de calculer le potentiel en un nud du circuit :

La loi des nuds au point M permet dcrire :

Le thorme de Millman est :

44

Thorme de Millman

VM = VkRk

1Rk

Ik = 0 soit Vk VMRk

= VkRk VM

1

Rk

I1

I2

I3

I4

A1

R1

A2

R2

R3

A3

R4 A4M


Rgime Continu

Calculons le potentiel au point A du circuit suivant :

En considrant le potentiel au point B comme rfrence :

45

Exemple 2.10

VA =

4530 36 +1515

130 +16 +115

= 7.5 V

30

VAB

A

B

45 V

+

-

3 V

-

+

6 15

15 V

+

-


Rgime Continu

quivalence des couplages toile (Y) et en Triangle () :

46

Thorme de Kennelly

Y : RA =RABRCA

RAB+RBC+RCA; RB =

RBCRABRAB+RBC+RCA

; RC =RCARBC

RAB+RBC+RCA

RAB =RARB+RBRC+RCRA

RC; RBC =

RARB+RBRC+RCRARA

; RCA =RARB+RBRC+RCRA

RBY :


Rgime Continu

Calculons la rsistance quivalente entre les bornes A et B :

On transforme le couplage triangle (AMN) des rsistances en un

couplage toile.

47

Exemple 2.11 (1/2)


Rgime Continu

Nous obtenons les structures suivantes :

La rsistance quivalente entre les points A et B scrit :

48

Exemple 2.11 (2/2)

RAB = 25 +212.5 75

212.5 + 75= 80.43


Rgime Continu

Le principe de superposition dcoule directement des proprits des systmes linaires.

49

Thorme de Superposition

S = k=1

n

Sk

La sortie S dun circuit excit simultanment par plusieurs sources dentre Ek, est gale la somme des sorties Sk du circuit pour chaque entre prise individuellement.

Principe

SystmeLinaire

E1

SE2

En


Rgime Continu

Considrons un circuit comportant deux sources dnergie :

Calculer lintensit du courant I dans la rsistance 150 laide du

thorme de superposition.

50

Exemple 2.12 (1/2)

100

I

vs = 24 V

+

-

-+

50

100 150

is = 0.15 A


Rgime Continu

1er cas : is = 0

51

Exemple 2.12 (2/2)

Ieq =24

100 +100 150 + 50100 + 150 + 50

= 144 mA

100

I1

vs = 24 V

+

-

50

100 150

100

I2

-+

50

100 150

is = 0.15 A

Ieq

I1 =100

100 + 150 + 50 144 = 48 mA

I2 =50

50 + 50 + 150 0.15 = 30 mA

50

I = I1 I2 = 48 30 = 18 mA

2me cas : vs = 0


Rgime Continu

Plan

52

Notations de base

Lois de Kirchhoff






Rgime Continu

Le principe consiste remplacer une partie dun circuit actif par un modle quivalent dune source de tension (VT, RT) :

53

Thorme de Thvenin

VT = VAB(co) VT : Tension vide aux bornes A et B

A

VT

+

-

RT

B

A

B

Rseau actif

RT = RAB(eq) RT : Rsistance quivalente vue A-B


Rgime Continu

Considrons un circuit suivant :


thorme de Thvenin.

54

Exemple 2.13 (1/2)

100

I

vs = 12 V

+

-

150 120

A

B


Rgime Continu

Calcul de VT :

55

Exemple 2.13 (2/2)

VT =150

100 + 150 12 = 7.2 V RT =

100 150

100 + 150= 60

I =7.2

60 + 120= 40 mA

Calcul de RT :

100

vs = 12 V

+

-

150

A

B

100

150

A

B

I

VT = 7.2 V

+

-120

RT = 60

VT RT


Rgime Continu

Le principe consiste remplacer une partie dun circuit actif par un modle quivalent dune source de courant (IN, RN) :

56

Thorme de Norton

IN = IAB(cc) IN : Courant de court-circuit entre A-B

A

VT

+

-

RN

B

A

B

Rseau actif

RN = RAB(eq) RN : Rsistance quivalente vue A-B


Rgime Continu

Considrons un circuit suivant :


thorme de Norton.

57

Exemple 2.14 (1/2)

100

I

vs = 12 V

+

-

150 120

A

B


Rgime Continu

Calcul de IN :

58

Exemple 2.14 (2/2)

IN =12

100= 0.12 A RN =

100 150

100 + 150= 60

I =60

60 + 120 0.12 = 40 mA

Calcul de RN :

100

vs = 12 V

+

-

150

A

B

100

150

A

B

I

IN = 0.12 A

+

-

120 RN = 60

IN RN

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