CHAPITRE IX Flexion simple

Hautes Etudes d’Ingénieur13, rue de Toul59046 Lille Cedex

Résistance des MatériauxCours de Tronc Commun

Une poutre est sollicitée à la flexion simple si les éléments de

réduction au centre de gravité de chaque section des forces de

cohésion sont un effort tranchant et un moment de flexion.

N=0 , Mt=0 , Ty 0 , Mfz0

I. Définition

La présence d’un effort tranchant engendre des contraintes de

cisaillement. Toutefois, l’expérience montre que celles-ci sont

faibles par rapport aux contraintes normales. Ceci nous permet de

négliger les effets de l’effort tranchant dans la déformation. On

ne considère donc que le moment fléchissant pour le calcul de la

flèche des poutres en flexion simple.

II. Etude des déformations

L’équation différentielle de la déformée reste donc :

Gz

f

E.IM

'v'

III.1 Contraintes normales

On retrouve l’expression de la contrainte normale définie pour la flexion pure :

III. Etude des contraintes

yIM

Gz

f .

max

Gz

maxfmax y

I

M.

Toutefois, en flexion simple, le moment fléchissant n’est pas constant sur toute la longueur de la poutre, l’expression de max

devient donc :

III.2 Contraintes tangentielles

Mise en évidence expérimentale

On considère deux poutres de sections globales identiques, faites d’un même matériau, soumises au même chargement. Une des deux poutres est constituée d’un empilement de barres.

III. Etude des contraintes

Glissement des éléments constituant la poutre composée.

Poutre monobloc moins déformée car pas de glissement forces internes longitudinales contraintes tangentielles longitudinales

III.2 Contraintes tangentielles

On observe la présence de deux types de contraintes tangentielles :

Une contrainte transversale notée xy appartenant aux sections

droites de la poutre

Une contrainte longitudinale notée yx suivant la direction Gx

III. Etude des contraintes

xy

yx

x

y

Il y a réciprocité des contraintes tangentielles xy= yx

III.2 Contraintes tangentielles

Expression de la contrainte tangentielle

On peut montrer que la contrainte tangentielle en M d’ordonnée y vaut :

III. Etude des contraintes

b.I

T.)(

Gz

z y

Avec :

T : l’effort tranchant dans la section (S) considérée

z : le moment statique par rapport à

l’axe Gz de la section située au dessus de l’ordonnée y

IGz : moment d’inertie de la section (S)

b : la largeur de la section (S) à l’ordonnée y b

(S)

yh/2

III.2 Contraintes tangentielles

Répartition de la contrainte tangentielle

La répartition de la contrainte tangentielle est parabolique. Elle est nulle sur les faces inférieures et supérieures de la poutre; elle est maximale en G.

III. Etude des contraintes

IV. Dimensionnement

V.1 Condition de résistance

On limitera la valeur de la contrainte normale à la valeur Rpe (dans la zone en traction) et à la valeur Rpc (dans la zone en compression) .On obtient ainsi les inéquations suivantes:

max

max

max

fmax max pe

Gz

fmax max pc

Gz

fmax max pc

Gz

M.y R dans la zone où il y a de la traction

I

M.y R

Idans la zone où il y a de la compression

M.y R

I

IV. Dimensionnement

V.2 Condition de déformation

On peut limiter la flèche maximale (vmax) à une valeur limite (vlim) imposée par le type de construction ou les contraintes technologiques.

On obtient ainsi l’inéquation suivante:

vv limmax