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Chapitre 7. Diagonalisation
Objectifs : 1) Comprendre la simplicité des matrices diagonales2) Appendre à rendre une matrice non diagonale en une diagonale3) Apprendre la notion des valeurs propres, vecteurs propres etc.
§1 Pourquoi les matrices diagonales sont simples ?
Addition, multiplication, puissance, polynôme.déterminant, inversion (si possible), images et noyau, lié ou libre,rang, résolution d’un système etc.
Multiplication à droite par une matrice diagonale :
(~v1, · · · ,~vn)
λ1 · · · 0...
. . ....
0 · · · λn
=
(
λ1~v1, · · · , λn~vn
)
Exemple.
1 0 0−1 2 13 1 0
3 0 00 −1 00 0 π
=
Chapitre 7. Diagonalisation
Objectifs : 1) Comprendre la simplicité des matrices diagonales2) Appendre à rendre une matrice non diagonale en une diagonale3) Apprendre la notion des valeurs propres, vecteurs propres etc.
§1 Pourquoi les matrices diagonales sont simples ?
Addition, multiplication, puissance, polynôme.déterminant, inversion (si possible), images et noyau, lié ou libre,rang, résolution d’un système etc.
Multiplication à droite par une matrice diagonale :
(~v1, · · · ,~vn)
λ1 · · · 0...
. . ....
0 · · · λn
=
(
λ1~v1, · · · , λn~vn
)
Exemple.
1 0 0−1 2 13 1 0
3 0 00 −1 00 0 π
=
3 0 0−3 −2 π9 −1 0
.
§2 Une matrice A semblable à une matrice diagonale M
On dit que A est semblable à M si A s’écrit
A = PMP−1, ou bien P−1AP = M ,
avec P une matrice inversible.
Exemple. A =
(
3a − 2b −2a + 2b3a − 3b −2a + 3b
)
= P
(
a 00 b
)
P−1 avec
P =
(
1 21 3
)
.
Une fois avoir exprimé A sous cette forme, il est beaucoup plusfacile de calculer A2,A3,An, etc, il suffit de remplacer a par an et b
par bn !
Preuve.
§2 Une matrice A semblable à une matrice diagonale M
On dit que A est semblable à M si A s’écrit
A = PMP−1, ou bien P−1AP = M ,
avec P une matrice inversible.
Exemple. A =
(
3a − 2b −2a + 2b3a − 3b −2a + 3b
)
= P
(
a 00 b
)
P−1 avec
P =
(
1 21 3
)
.
Une fois avoir exprimé A sous cette forme, il est beaucoup plusfacile de calculer A2,A3,An, etc, il suffit de remplacer a par an et b
par bn !
Preuve.A2 = (PMP−1)2 = (PMP−1)(PMP−1) = PM(P−1P)MP−1 =
PM2P−1 = P
(
a2 00 b2
)
P−1 =
(
3a2 − 2b2 −2a2 + 2b2
3a2 − 3b2 −2a2 + 3b2
)
· · · .
§3 Diagonalisation
Diagonaliser une matrice A, c’est de trouver une matrice inversible
P = (~v1, · · · ,~vn) et une matrice diagonale M =
λ1 · · · 0...
. . ....
0 · · · λn
telles que A = PMP−1, ou bien, AP = PM. Comment trouver P etM ? Rappelons que
PM = (~v1, · · · ,~vn)
λ1 · · · 0...
. . ....
0 · · · λn
=
(
λ1~v1, · · · , λn~vn
)
et AP = (A~v1, · · · ,A~vn).
§3 Diagonalisation
Diagonaliser une matrice A, c’est de trouver une matrice inversible
P = (~v1, · · · ,~vn) et une matrice diagonale M =
λ1 · · · 0...
. . ....
0 · · · λn
telles que A = PMP−1, ou bien, AP = PM. Comment trouver P etM ? Rappelons que
PM = (~v1, · · · ,~vn)
λ1 · · · 0...
. . ....
0 · · · λn
=
(
λ1~v1, · · · , λn~vn
)
et AP = (A~v1, · · · ,A~vn).Donc AP = PM ⇐⇒ A~v1 = λ1~v1, · · · ,A~vn = λn~vn
§3 Diagonalisation
Diagonaliser une matrice A, c’est de trouver une matrice inversible
P = (~v1, · · · ,~vn) et une matrice diagonale M =
λ1 · · · 0...
. . ....
0 · · · λn
telles que A = PMP−1, ou bien, AP = PM. Comment trouver P etM ? Rappelons que
PM = (~v1, · · · ,~vn)
λ1 · · · 0...
. . ....
0 · · · λn
=
(
λ1~v1, · · · , λn~vn
)
et AP = (A~v1, · · · ,A~vn).Donc AP = PM ⇐⇒ A~v1 = λ1~v1, · · · ,A~vn = λn~vn
⇐⇒ (A − λ1Id)~v1 = ~0, (A − λ2Id)~v2 = ~0, · · ·
§3 Diagonalisation
Diagonaliser une matrice A, c’est de trouver une matrice inversible
P = (~v1, · · · ,~vn) et une matrice diagonale M =
λ1 · · · 0...
. . ....
0 · · · λn
telles que A = PMP−1, ou bien, AP = PM. Comment trouver P etM ? Rappelons que
PM = (~v1, · · · ,~vn)
λ1 · · · 0...
. . ....
0 · · · λn
=
(
λ1~v1, · · · , λn~vn
)
et AP = (A~v1, · · · ,A~vn).Donc AP = PM ⇐⇒ A~v1 = λ1~v1, · · · ,A~vn = λn~vn
⇐⇒ (A − λ1Id)~v1 = ~0, (A − λ2Id)~v2 = ~0, · · ·
⇐⇒ ~v1 ∈ Ker(A − λ1Id),~v2 ∈ Ker(A − λ2Id), · · · .
§3 Diagonalisation
Diagonaliser une matrice A, c’est de trouver une matrice inversible
P = (~v1, · · · ,~vn) et une matrice diagonale M =
λ1 · · · 0...
. . ....
0 · · · λn
telles que A = PMP−1, ou bien, AP = PM. Comment trouver P etM ? Rappelons que
PM = (~v1, · · · ,~vn)
λ1 · · · 0...
. . ....
0 · · · λn
=
(
λ1~v1, · · · , λn~vn
)
et AP = (A~v1, · · · ,A~vn).Donc AP = PM ⇐⇒ A~v1 = λ1~v1, · · · ,A~vn = λn~vn
⇐⇒ (A − λ1Id)~v1 = ~0, (A − λ2Id)~v2 = ~0, · · ·
⇐⇒ ~v1 ∈ Ker(A − λ1Id),~v2 ∈ Ker(A − λ2Id), · · · .Déterminer
des noyaux on sait faire !
Exo. Pour diagonaliser A =
(
5 −36 −4
)
, on fabrique d’abord deux
nouvelles matrices A − 2Id et A − (−1)Id et on détermine pourchacune d’elles une base du noyau (ces deux valeurs 2,−1 sont lesracines de l’équation det(A − λId) = 0 ) :
diagonaliser A
(
5 −36 −4
)
det(A − λId) = 0 λ = 2 ւ ց−1
A − λId
(
3 −36 −6
) (
6 −36 −3
)
base du noyau
(
11
) (
12
)
assembler P =
(
1 11 2
)
et M =
(
2 00 −1
)
vérifier que AP = PM Conclure que A = PMP−1. A est diagonalisée.
Diagonaliser de même la matrice
(
2 11 2
)
.
Valeurs propres et vecteurs propres
Définition. On dit qu’un vecteur ~v non nul est un vecteur proprede A si A~v est proportionnel à ~v, c’est-à-dire qu’il existe une valeurλ telle que A~v = λ~v. On dit que λ est la valeur propre de A
associée à ~v.Reprenons notre exemple :
A =
(
3a − 2b −2a + 2b3a − 3b −2a + 3b
)
= P
(
a 00 b
)
P−1 avec P =
(
1 21 3
)
.
Donc AP = P
(
a 00 b
)
, et A
(
11
)
= a
(
11
)
, A
(
23
)
= b
(
23
)
.(
11
)
est un vecteur propre, de valeur propre associée
Valeurs propres et vecteurs propres
Définition. On dit qu’un vecteur ~v non nul est un vecteur proprede A si A~v est proportionnel à ~v, c’est-à-dire qu’il existe une valeurλ telle que A~v = λ~v. On dit que λ est la valeur propre de A
associée à ~v.Reprenons notre exemple :
A =
(
3a − 2b −2a + 2b3a − 3b −2a + 3b
)
= P
(
a 00 b
)
P−1 avec P =
(
1 21 3
)
.
Donc AP = P
(
a 00 b
)
, et A
(
11
)
= a
(
11
)
, A
(
23
)
= b
(
23
)
.(
11
)
est un vecteur propre, de valeur propre associée a ;(
23
)
Valeurs propres et vecteurs propres
Définition. On dit qu’un vecteur ~v non nul est un vecteur proprede A si A~v est proportionnel à ~v, c’est-à-dire qu’il existe une valeurλ telle que A~v = λ~v. On dit que λ est la valeur propre de A
associée à ~v.Reprenons notre exemple :
A =
(
3a − 2b −2a + 2b3a − 3b −2a + 3b
)
= P
(
a 00 b
)
P−1 avec P =
(
1 21 3
)
.
Donc AP = P
(
a 00 b
)
, et A
(
11
)
= a
(
11
)
, A
(
23
)
= b
(
23
)
.(
11
)
est un vecteur propre, de valeur propre associée a ;(
23
)
est un vecteur propre, de valeur propre associée b.
Valeurs propres et vecteurs propres
Définition. On dit qu’un vecteur ~v non nul est un vecteur proprede A si A~v est proportionnel à ~v, c’est-à-dire qu’il existe une valeurλ telle que A~v = λ~v. On dit que λ est la valeur propre de A
associée à ~v.Reprenons notre exemple :
A =
(
3a − 2b −2a + 2b3a − 3b −2a + 3b
)
= P
(
a 00 b
)
P−1 avec P =
(
1 21 3
)
.
Donc AP = P
(
a 00 b
)
, et A
(
11
)
= a
(
11
)
, A
(
23
)
= b
(
23
)
.(
11
)
est un vecteur propre, de valeur propre associée a ;(
23
)
est un vecteur propre, de valeur propre associée b.
Nous venons de démontrer :
Valeurs propres et vecteurs propres
Définition. On dit qu’un vecteur ~v non nul est un vecteur proprede A si A~v est proportionnel à ~v, c’est-à-dire qu’il existe une valeurλ telle que A~v = λ~v. On dit que λ est la valeur propre de A
associée à ~v.Reprenons notre exemple :
A =
(
3a − 2b −2a + 2b3a − 3b −2a + 3b
)
= P
(
a 00 b
)
P−1 avec P =
(
1 21 3
)
.
Donc AP = P
(
a 00 b
)
, et A
(
11
)
= a
(
11
)
, A
(
23
)
= b
(
23
)
.(
11
)
est un vecteur propre, de valeur propre associée a ;(
23
)
est un vecteur propre, de valeur propre associée b.
Nous venons de démontrer :
Théorème de diagonalisation. Une matrice carrée n × n estdiagonalisable ssi elle possède n vecteurs propres formant une base.
Un autre exemple : A est une matrice 2 × 2 telle que
A
(
11
)
=
(
22
)
et A
(
1−1
)
=
(
1−1
)
. Alors A est diagonalisable :
A
(
1 11 −1
)
=
(
2
(
11
)
, 1
(
1−1
))
=
(
1 11 −1
)(
2 00 1
)
,
avec P =??, M =?? et A =?? .
Un autre exemple : A est une matrice 2 × 2 telle que
A
(
11
)
=
(
22
)
et A
(
1−1
)
=
(
1−1
)
. Alors A est diagonalisable :
A
(
1 11 −1
)
=
(
2
(
11
)
, 1
(
1−1
))
=
(
1 11 −1
)(
2 00 1
)
,
avec P =??, M =?? et A =?? . Réponse : A =1
2
(
3 11 3
)
.
Comment trouver les valeurs propres ?
On cherche d’abord les λi (valeurs propres).
Théorème des valeurs propres. Les valeurs propres λi d’unematrice A sont les solutions de l’équation
det(A − λId) = 0 .
Comment trouver les valeurs propres ?
On cherche d’abord les λi (valeurs propres).
Théorème des valeurs propres. Les valeurs propres λi d’unematrice A sont les solutions de l’équation
det(A − λId) = 0 .
Exo. Trouver les valeurs propres de
(
1 −20 3
)
et
(
5 −36 −4
)
.
Polynôme caractéristique
Définition Pour toute matrice carrée A, on appelle
det(A − λId)
le polynôme caractéristique de A. Ainsi les valeurs propres de A
sont précisément les racines du polynôme caractéristique.
Exo. Déterminer le polynôme caractéristique de
1 2 30 −1 20 0 1/2
,
5 −3 06 −4 00 1 1
,
1 0 0 00 −1 0 00 0 1
40
0 0 0 π
Puis déterminer les valeurs propres pour chacune de ces matrices.
§4. Critères de diagonalisabilité
Théorème 0 (déjà vu) Une matrice A est diagonalisable ssi ellepossède une famille de vecteurs propres formant une base.
Théorème 1 (facile) Si toutes les racines du polynômecaractéristique de A sont simples, alors A est diagonalisable. (sinon,A peut être ou ne pas être diagonalisable).
Théorème 2 (difficile) Si A est une matrice réelle et symétrique,alors toutes les valeurs propres de A sont réelles et A estdiagonalisable.
Exo. Pour chacune des trois matrices suivantes, déterminer si elleest diagonalisable, et la diagonaliser si possible :
(
1 11 1
)
,
(
1 10 1
)
,
(
5 −11 3
)
5 0 00 5 00 0 0
Rappel. Le polynôme caractéristique d’une matrice carrée A estdet(A − λId) (c’est un polynôme en λ).
Exemple : Le polynôme caractéristique de
(
a b
c d
)
est∣
∣
∣
∣
a − λ b
c d − λ
∣
∣
∣
∣
= (a−λ)(d −λ)− cd = λ2 − (a+ d)λ+ ad − bc .
§5 Trace, déterminant et valeurs propres
Rappel. Les valeurs propre d’une matrice carrée sont les racines deson polynôme caractéristique.
Définition. On appelle la trace de A la somme des éléments sur ladiagonale.
Définition. On appelle la trace de A la somme des éléments sur ladiagonale.
Exemples. tr
(
a b
c d
)
= a + d , tr
(
0 1−1 −1
)
=??
tr
1 2 32 −1 00 2 4
=??
Théorème. La trace de A est égale à la somme des valeurs propresde A et le déterminant de A est le produit des valeurs propres de A.
Preuve. Supposons A =
(
a b
c d
)
, det(A) = ad − bc , tr(A) = a+ d .
Définition. On appelle la trace de A la somme des éléments sur ladiagonale.
Exemples. tr
(
a b
c d
)
= a + d , tr
(
0 1−1 −1
)
=??
tr
1 2 32 −1 00 2 4
=??
Théorème. La trace de A est égale à la somme des valeurs propresde A et le déterminant de A est le produit des valeurs propres de A.
Preuve. Supposons A =
(
a b
c d
)
, det(A) = ad − bc , tr(A) = a+ d .
On a det(A − λI ) = λ2 − (a + d)λ+ ad − bc .
Définition. On appelle la trace de A la somme des éléments sur ladiagonale.
Exemples. tr
(
a b
c d
)
= a + d , tr
(
0 1−1 −1
)
=??
tr
1 2 32 −1 00 2 4
=??
Théorème. La trace de A est égale à la somme des valeurs propresde A et le déterminant de A est le produit des valeurs propres de A.
Preuve. Supposons A =
(
a b
c d
)
, det(A) = ad − bc , tr(A) = a+ d .
On a det(A − λI ) = λ2 − (a + d)λ+ ad − bc .Soient s, t les deux racines. Alors on peut factoriserdet(A−λI ) = (λ−s)(λ−t) = λ2−sλ−tλ+st = λ2−(s+t)λ+st .En comparant les coefficients on obtient :
Définition. On appelle la trace de A la somme des éléments sur ladiagonale.
Exemples. tr
(
a b
c d
)
= a + d , tr
(
0 1−1 −1
)
=??
tr
1 2 32 −1 00 2 4
=??
Théorème. La trace de A est égale à la somme des valeurs propresde A et le déterminant de A est le produit des valeurs propres de A.
Preuve. Supposons A =
(
a b
c d
)
, det(A) = ad − bc , tr(A) = a+ d .
On a det(A − λI ) = λ2 − (a + d)λ+ ad − bc .Soient s, t les deux racines. Alors on peut factoriserdet(A−λI ) = (λ−s)(λ−t) = λ2−sλ−tλ+st = λ2−(s+t)λ+st .En comparant les coefficients on obtient :s + t = a + d = tr(A) et st = ad − bc = det(A).
Le cas général se démontre de manière similaire.
§6. Théorème de Caylay-Hamilton, calcul de A−1.
Théorème. Pour le polynôme caractéristique d’une matrice A, si
l’on fait une substitutionλ (terme-constant)↓ ↓A (terme-constant) · Id
, on obtient
une matrice qui vaut la matrice zéro.
§6. Théorème de Caylay-Hamilton, calcul de A−1.
Théorème. Pour le polynôme caractéristique d’une matrice A, si
l’on fait une substitutionλ (terme-constant)↓ ↓A (terme-constant) · Id
, on obtient
une matrice qui vaut la matrice zéro.
Exemple. Soit A =
(
1 23 4
)
. Son polynôme caractéristique est
det(A − λId) = λ2 − tr(A)λ+ det(A) = λ2 − 5λ− 2substitution ↓
A2 − 5A − 2Id.
Le théorème prétend alors que A2 − 5A − 2Id vaut la matrice zéro.
Vérifier-le !
§6. Théorème de Caylay-Hamilton, calcul de A−1.
Théorème. Pour le polynôme caractéristique d’une matrice A, si
l’on fait une substitutionλ (terme-constant)↓ ↓A (terme-constant) · Id
, on obtient
une matrice qui vaut la matrice zéro.
Exemple. Soit A =
(
1 23 4
)
. Son polynôme caractéristique est
det(A − λId) = λ2 − tr(A)λ+ det(A) = λ2 − 5λ− 2substitution ↓
A2 − 5A − 2Id.
Le théorème prétend alors que A2 − 5A − 2Id vaut la matrice zéro.
Vérifier-le ! La preuve est plus facile dans le cas où A est
diagonalisable. Faisons-la en taille 2 : A = P
(
s 00 t
)
P−1 et
det(A − λId) se factorise en (λ− s)(λ− t).
La preuve est plus facile dans le cas où A est diagonalisable.
Faisons-la en taille 2 : A = P
(
s 00 t
)
P−1 et det(A − λId) se
factorise en (λ− s)(λ− t).
La preuve est plus facile dans le cas où A est diagonalisable.
Faisons-la en taille 2 : A = P
(
s 00 t
)
P−1 et det(A − λId) se
factorise en (λ− s)(λ− t). Après substitution on obtient
(A−sId)(A−tId) = P(
(
s 00 t
)
-sId)(
(
s 00 t
)
-tId)P−1 = P0P−1 = 0.
Exo. Faire cette preuve en taille 3 et taille n.
A quoi ça sert ?
La preuve est plus facile dans le cas où A est diagonalisable.
Faisons-la en taille 2 : A = P
(
s 00 t
)
P−1 et det(A − λId) se
factorise en (λ− s)(λ− t). Après substitution on obtient
(A−sId)(A−tId) = P(
(
s 00 t
)
-sId)(
(
s 00 t
)
-tId)P−1 = P0P−1 = 0.
Exo. Faire cette preuve en taille 3 et taille n.
A quoi ça sert ? Ça aide à calculer
1. à calculer la matrice inverse : Dans notre exemple A =
(
1 23 4
)
,
on a A2 − 5A− 2Id = 0. Donc A2 − 5A = 2Id , et A(A− 5Id) = 2Id ,
par suite A ·1
2(A − 5Id) = Id . Donc A−1 =
1
2(A − 5Id).
2. calculer les puissances :A3 = A2 · A = (5A + 2Id)A = 5A2 + 2A =
La preuve est plus facile dans le cas où A est diagonalisable.
Faisons-la en taille 2 : A = P
(
s 00 t
)
P−1 et det(A − λId) se
factorise en (λ− s)(λ− t). Après substitution on obtient
(A−sId)(A−tId) = P(
(
s 00 t
)
-sId)(
(
s 00 t
)
-tId)P−1 = P0P−1 = 0.
Exo. Faire cette preuve en taille 3 et taille n.
A quoi ça sert ? Ça aide à calculer
1. à calculer la matrice inverse : Dans notre exemple A =
(
1 23 4
)
,
on a A2 − 5A− 2Id = 0. Donc A2 − 5A = 2Id , et A(A− 5Id) = 2Id ,
par suite A ·1
2(A − 5Id) = Id . Donc A−1 =
1
2(A − 5Id).
2. calculer les puissances :A3 = A2 · A = (5A + 2Id)A = 5A2 + 2A == 5(5A + 2Id) + 2A = 27A + 10Id , et
La preuve est plus facile dans le cas où A est diagonalisable.
Faisons-la en taille 2 : A = P
(
s 00 t
)
P−1 et det(A − λId) se
factorise en (λ− s)(λ− t). Après substitution on obtient
(A−sId)(A−tId) = P(
(
s 00 t
)
-sId)(
(
s 00 t
)
-tId)P−1 = P0P−1 = 0.
Exo. Faire cette preuve en taille 3 et taille n.
A quoi ça sert ? Ça aide à calculer
1. à calculer la matrice inverse : Dans notre exemple A =
(
1 23 4
)
,
on a A2 − 5A− 2Id = 0. Donc A2 − 5A = 2Id , et A(A− 5Id) = 2Id ,
par suite A ·1
2(A − 5Id) = Id . Donc A−1 =
1
2(A − 5Id).
2. calculer les puissances :A3 = A2 · A = (5A + 2Id)A = 5A2 + 2A == 5(5A + 2Id) + 2A = 27A + 10Id , et A4 = · · ·
La preuve est plus facile dans le cas où A est diagonalisable.
Faisons-la en taille 2 : A = P
(
s 00 t
)
P−1 et det(A − λId) se
factorise en (λ− s)(λ− t). Après substitution on obtient
(A−sId)(A−tId) = P(
(
s 00 t
)
-sId)(
(
s 00 t
)
-tId)P−1 = P0P−1 = 0.
Exo. Faire cette preuve en taille 3 et taille n.
A quoi ça sert ? Ça aide à calculer
1. à calculer la matrice inverse : Dans notre exemple A =
(
1 23 4
)
,
on a A2 − 5A− 2Id = 0. Donc A2 − 5A = 2Id , et A(A− 5Id) = 2Id ,
par suite A ·1
2(A − 5Id) = Id . Donc A−1 =
1
2(A − 5Id).
2. calculer les puissances :A3 = A2 · A = (5A + 2Id)A = 5A2 + 2A == 5(5A + 2Id) + 2A = 27A + 10Id , et A4 = · · · = 145A + 52Id .
§7. Retour à la diagonalisation
A quoi ça sert de diagonaliser une matrice ? c’est-à-dire d’exprimerA sous la forme PMP−1 avec M diagonale ?
§7. Retour à la diagonalisation
A quoi ça sert de diagonaliser une matrice ? c’est-à-dire d’exprimerA sous la forme PMP−1 avec M diagonale ?Ça sert en particulier de faciliter le calcul d’une puissance de lamatrice, par exemple A3 = PM3P−1.
§7. Retour à la diagonalisation
A quoi ça sert de diagonaliser une matrice ? c’est-à-dire d’exprimerA sous la forme PMP−1 avec M diagonale ?Ça sert en particulier de faciliter le calcul d’une puissance de lamatrice, par exemple A3 = PM3P−1.A quoi ça sert de calculer des puissances d’une matrice ?
§7. Retour à la diagonalisation
A quoi ça sert de diagonaliser une matrice ? c’est-à-dire d’exprimerA sous la forme PMP−1 avec M diagonale ?Ça sert en particulier de faciliter le calcul d’une puissance de lamatrice, par exemple A3 = PM3P−1.A quoi ça sert de calculer des puissances d’une matrice ?Ça sert par exemple de calculer le cumul d’intérêt :
§7. Retour à la diagonalisation
A quoi ça sert de diagonaliser une matrice ? c’est-à-dire d’exprimerA sous la forme PMP−1 avec M diagonale ?Ça sert en particulier de faciliter le calcul d’une puissance de lamatrice, par exemple A3 = PM3P−1.A quoi ça sert de calculer des puissances d’une matrice ?Ça sert par exemple de calculer le cumul d’intérêt :
Avec 3% d’intérêt annuel, et 100 euros de capital initial, commentcalculer le capital au bout de 3 ans, de 10 ans ?
§7. Retour à la diagonalisation
A quoi ça sert de diagonaliser une matrice ? c’est-à-dire d’exprimerA sous la forme PMP−1 avec M diagonale ?Ça sert en particulier de faciliter le calcul d’une puissance de lamatrice, par exemple A3 = PM3P−1.A quoi ça sert de calculer des puissances d’une matrice ?Ça sert par exemple de calculer le cumul d’intérêt :
Avec 3% d’intérêt annuel, et 100 euros de capital initial, commentcalculer le capital au bout de 3 ans, de 10 ans ? On pose u0 = 100,et un le capital au bout de n ans, alorsun = (1 + 0, 03)un−1 = (1, 03)n100.
§7. Retour à la diagonalisation
A quoi ça sert de diagonaliser une matrice ? c’est-à-dire d’exprimerA sous la forme PMP−1 avec M diagonale ?Ça sert en particulier de faciliter le calcul d’une puissance de lamatrice, par exemple A3 = PM3P−1.A quoi ça sert de calculer des puissances d’une matrice ?Ça sert par exemple de calculer le cumul d’intérêt :
Avec 3% d’intérêt annuel, et 100 euros de capital initial, commentcalculer le capital au bout de 3 ans, de 10 ans ? On pose u0 = 100,et un le capital au bout de n ans, alorsun = (1 + 0, 03)un−1 = (1, 03)n100.
Avec x euros d’action A et y euros d’action B , les valeurs après unan sont x + 0, 03y et 0, 04x + y respectivement. Comment calculerles valeurs après 3 ans, après 10 ans ?
§7. Retour à la diagonalisation
A quoi ça sert de diagonaliser une matrice ? c’est-à-dire d’exprimerA sous la forme PMP−1 avec M diagonale ?Ça sert en particulier de faciliter le calcul d’une puissance de lamatrice, par exemple A3 = PM3P−1.A quoi ça sert de calculer des puissances d’une matrice ?Ça sert par exemple de calculer le cumul d’intérêt :
Avec 3% d’intérêt annuel, et 100 euros de capital initial, commentcalculer le capital au bout de 3 ans, de 10 ans ? On pose u0 = 100,et un le capital au bout de n ans, alorsun = (1 + 0, 03)un−1 = (1, 03)n100.
Avec x euros d’action A et y euros d’action B , les valeurs après unan sont x + 0, 03y et 0, 04x + y respectivement. Comment calculerles valeurs après 3 ans, après 10 ans ? On pose{
xn+1 = xn + 0, 03yn
yn+1 = 0, 04xn + yn
ou bien
(
xn+1
yn+1
)
=
(
?)(
xn
yn
)
§8. Sens géométrique des vecteurs propres
Cas de valeurs propres multiples
Exo. Pour chacune des trois matrices suivantes, déterminer si elleest diagonalisable, et la diagonaliser si possible :
(
1 11 1
)
,
(
1 10 1
)
,
(
5 −11 3
)
5 0 00 5 00 0 0
On va rencontrer des valeurs propres multiples.
Pour
(
1 11 1
)
, on voit qu’elle est symétrique, donc par le théorème
2, elle est diagonalisable. On peut aussi calculer son polynôme
caractéristique
∣
∣
∣
∣
1 − λ 11 1 − λ
∣
∣
∣
∣
= λ(λ− 2). De là on voit qu’il y a
deux valeurs propres distinctes. On peut donc appliquer Théorème1 pour conclure que la matrice est diagonalisable. On peut bien surcommencer à chercher les vecteurs propres...
Pour
(
1 11 1
)
, on voit qu’elle est symétrique, donc par le théorème
2, elle est diagonalisable. On peut aussi calculer son polynôme
caractéristique
∣
∣
∣
∣
1 − λ 11 1 − λ
∣
∣
∣
∣
= λ(λ− 2). De là on voit qu’il y a
deux valeurs propres distinctes. On peut donc appliquer Théorème1 pour conclure que la matrice est diagonalisable. On peut bien surcommencer à chercher les vecteurs propres...
Pour
(
1 10 1
)
, on n’a qu’une seule valeur propre λ = 1. Calculer
une base de son sous espace propre : A − Id =
(
0 10 0
)
. On trouve
Ker(A − Id) = 〈~e1〉. Donc P =(
~e1
)
n’est pas une matrice carrée.A n’est pas diagonalisable.
Pour
(
1 11 1
)
, on voit qu’elle est symétrique, donc par le théorème
2, elle est diagonalisable. On peut aussi calculer son polynôme
caractéristique
∣
∣
∣
∣
1 − λ 11 1 − λ
∣
∣
∣
∣
= λ(λ− 2). De là on voit qu’il y a
deux valeurs propres distinctes. On peut donc appliquer Théorème1 pour conclure que la matrice est diagonalisable. On peut bien surcommencer à chercher les vecteurs propres...
Pour
(
1 10 1
)
, on n’a qu’une seule valeur propre λ = 1. Calculer
une base de son sous espace propre : A − Id =
(
0 10 0
)
. On trouve
Ker(A − Id) = 〈~e1〉. Donc P =(
~e1
)
n’est pas une matrice carrée.A n’est pas diagonalisable.
Pour
(
5 −11 3
)
, le polynôme caractéristique est
Pour
(
1 11 1
)
, on voit qu’elle est symétrique, donc par le théorème
2, elle est diagonalisable. On peut aussi calculer son polynôme
caractéristique
∣
∣
∣
∣
1 − λ 11 1 − λ
∣
∣
∣
∣
= λ(λ− 2). De là on voit qu’il y a
deux valeurs propres distinctes. On peut donc appliquer Théorème1 pour conclure que la matrice est diagonalisable. On peut bien surcommencer à chercher les vecteurs propres...
Pour
(
1 10 1
)
, on n’a qu’une seule valeur propre λ = 1. Calculer
une base de son sous espace propre : A − Id =
(
0 10 0
)
. On trouve
Ker(A − Id) = 〈~e1〉. Donc P =(
~e1
)
n’est pas une matrice carrée.A n’est pas diagonalisable.
Pour
(
5 −11 3
)
, le polynôme caractéristique est (λ− 4)2. Donc 4
est une valeur propre double. Son sous espace propre est dedimension un. A n’est pas diagonalisable.
Pour
2 0 01 3 12 8 1
, son polynôme caractéristique est
Pour
2 0 01 3 12 8 1
, son polynôme caractéristique est
(2 − λ)(
(3 − λ)(1 − λ)− 8)
.
Pour
2 0 01 3 12 8 1
, son polynôme caractéristique est
(2 − λ)(
(3 − λ)(1 − λ)− 8)
. Il faut surtout garder le facteur
(2 − λ), on obtient que les valeurs propres sont 2 et les racines de(3− λ)(1− λ)− 8. Donc les valeurs propres sont
Pour
2 0 01 3 12 8 1
, son polynôme caractéristique est
(2 − λ)(
(3 − λ)(1 − λ)− 8)
. Il faut surtout garder le facteur
(2 − λ), on obtient que les valeurs propres sont 2 et les racines de(3− λ)(1− λ)− 8. Donc les valeurs propres sont λ1 = 5, λ2 = 2 etλ3 = −1.
Pour
2 0 01 3 12 8 1
, son polynôme caractéristique est
(2 − λ)(
(3 − λ)(1 − λ)− 8)
. Il faut surtout garder le facteur
(2 − λ), on obtient que les valeurs propres sont 2 et les racines de(3− λ)(1− λ)− 8. Donc les valeurs propres sont λ1 = 5, λ2 = 2 etλ3 = −1. Pour trouver les vecteurs propres correspondants, onéchelonne les trois matrices et obtient
Pour
2 0 01 3 12 8 1
, son polynôme caractéristique est
(2 − λ)(
(3 − λ)(1 − λ)− 8)
. Il faut surtout garder le facteur
(2 − λ), on obtient que les valeurs propres sont 2 et les racines de(3− λ)(1− λ)− 8. Donc les valeurs propres sont λ1 = 5, λ2 = 2 etλ3 = −1. Pour trouver les vecteurs propres correspondants, onéchelonne les trois matrices et obtient
1 0 00 1 0−2 −4 01
30 0
0 0 1−1
3−1 2
,
0 0 01 0 00 1 0
0 0 1−1
9−1
9−1
3
−8
9
1
9−2
3
,
1 0 00 1 00 2 0
−1
30 0
0 0 11
3−1 −4
Donc
A = PMP−1, avec P =
Pour
2 0 01 3 12 8 1
, son polynôme caractéristique est
(2 − λ)(
(3 − λ)(1 − λ)− 8)
. Il faut surtout garder le facteur
(2 − λ), on obtient que les valeurs propres sont 2 et les racines de(3− λ)(1− λ)− 8. Donc les valeurs propres sont λ1 = 5, λ2 = 2 etλ3 = −1. Pour trouver les vecteurs propres correspondants, onéchelonne les trois matrices et obtient
1 0 00 1 0−2 −4 01
30 0
0 0 1−1
3−1 2
,
0 0 01 0 00 1 0
0 0 1−1
9−1
9−1
3
−8
9
1
9−2
3
,
1 0 00 1 00 2 0
−1
30 0
0 0 11
3−1 −4
Donc
A = PMP−1, avec P =
0 3 01 −3 12 −2 −4
et M =
Pour
2 0 01 3 12 8 1
, son polynôme caractéristique est
(2 − λ)(
(3 − λ)(1 − λ)− 8)
. Il faut surtout garder le facteur
(2 − λ), on obtient que les valeurs propres sont 2 et les racines de(3− λ)(1− λ)− 8. Donc les valeurs propres sont λ1 = 5, λ2 = 2 etλ3 = −1. Pour trouver les vecteurs propres correspondants, onéchelonne les trois matrices et obtient
1 0 00 1 0−2 −4 01
30 0
0 0 1−1
3−1 2
,
0 0 01 0 00 1 0
0 0 1−1
9−1
9−1
3
−8
9
1
9−2
3
,
1 0 00 1 00 2 0
−1
30 0
0 0 11
3−1 −4
Donc
A = PMP−1, avec P =
0 3 01 −3 12 −2 −4
et M =
5 0 00 2 00 0 −1
.
Pour
−1 0 01 3 12 8 1
, son polynôme caractéristique est
(−1− λ)(
(3− λ)(1 − λ)− 8)
.
Pour
−1 0 01 3 12 8 1
, son polynôme caractéristique est
(−1− λ)(
(3− λ)(1 − λ)− 8)
. On garde les facteurs, ici (−1− λ),
on obtient que les valeurs propres sont 5, -1 et -1.
λ1 = 5 :
1 0 00 1 0−1 −4 01
60 0
0 0 1−1
6−1 2
, λ2 = −1 :
0 0 01 0 02 0 0
0 1 00 0 1−1 −1 −4
Par chance, la valeur λ2 qui compte double, a deux vecteurspropres libres dans Ker(A − λ2Id). On peut donc former P et M
telles que A = PMP−1. Ici P =??, M =??
Pour
−1 0 01 3 12 8 1
, son polynôme caractéristique est
(−1− λ)(
(3− λ)(1 − λ)− 8)
. On garde les facteurs, ici (−1− λ),
on obtient que les valeurs propres sont 5, -1 et -1.
λ1 = 5 :
1 0 00 1 0−1 −4 01
60 0
0 0 1−1
6−1 2
, λ2 = −1 :
0 0 01 0 02 0 0
0 1 00 0 1−1 −1 −4
Par chance, la valeur λ2 qui compte double, a deux vecteurspropres libres dans Ker(A − λ2Id). On peut donc former P et M
telles que A = PMP−1. Ici P =??, M =??
Réponse : P =
0 1 01 0 12 −1 −4
, M =
5 0 00 −1 00 0 −1
D’autres cas de valeurs propres multiples
A =
5 0 00 5 00 0 0
, B =
−1 0 00 −1 −30 0 2
, C =
2 3 −2−1 4 −1−1 5 −1
A est déjà diagonale, 5 est une valeur propre double.
D’autres cas de valeurs propres multiples
A =
5 0 00 5 00 0 0
, B =
−1 0 00 −1 −30 0 2
, C =
2 3 −2−1 4 −1−1 5 −1
A est déjà diagonale, 5 est une valeur propre double.
B a pour valeurs propres
D’autres cas de valeurs propres multiples
A =
5 0 00 5 00 0 0
, B =
−1 0 00 −1 −30 0 2
, C =
2 3 −2−1 4 −1−1 5 −1
A est déjà diagonale, 5 est une valeur propre double.
B a pour valeurs propres 2,−1,−1, une base de Ker(B − 2Id) est
D’autres cas de valeurs propres multiples
A =
5 0 00 5 00 0 0
, B =
−1 0 00 −1 −30 0 2
, C =
2 3 −2−1 4 −1−1 5 −1
A est déjà diagonale, 5 est une valeur propre double.
B a pour valeurs propres 2,−1,−1, une base de Ker(B − 2Id) est
01−1
, et une base de Ker(B − (−1)Id) est
D’autres cas de valeurs propres multiples
A =
5 0 00 5 00 0 0
, B =
−1 0 00 −1 −30 0 2
, C =
2 3 −2−1 4 −1−1 5 −1
A est déjà diagonale, 5 est une valeur propre double.
B a pour valeurs propres 2,−1,−1, une base de Ker(B − 2Id) est
01−1
, et une base de Ker(B − (−1)Id) est ~e1,~e2. Donc B est
diagonalisable.
La matrice C a pour valeurs propres
D’autres cas de valeurs propres multiples
A =
5 0 00 5 00 0 0
, B =
−1 0 00 −1 −30 0 2
, C =
2 3 −2−1 4 −1−1 5 −1
A est déjà diagonale, 5 est une valeur propre double.
B a pour valeurs propres 2,−1,−1, une base de Ker(B − 2Id) est
01−1
, et une base de Ker(B − (−1)Id) est ~e1,~e2. Donc B est
diagonalisable.
La matrice C a pour valeurs propres 2, 2, 1. Mais il nous manque devecteurs propres libres pour former la matrice P . La matrice C n’estdonc pas diagonalisable, voir Exo. 6 de TD 7.
Epilogue : Base du noyau après échelonnement suivant les lignes
Epilogue : Base du noyau après échelonnement suivant les lignes
•
1© 2 0 −20 0 1© 20 0 0 00 0 0 0
(les pivôts doivent être égales à 1©).
Epilogue : Base du noyau après échelonnement suivant les lignes
•
1© 2 0 −20 0 1© 20 0 0 00 0 0 0
(les pivôts doivent être égales à 1©).
• On permutes les lignes de 0 afin de mettre les pivots sur la
diagonale :
1© 2 0 −20 0 0 00 0 1© 20 0 0 0
.
Epilogue : Base du noyau après échelonnement suivant les lignes
•
1© 2 0 −20 0 1© 20 0 0 00 0 0 0
(les pivôts doivent être égales à 1©).
• On permutes les lignes de 0 afin de mettre les pivots sur la
diagonale :
1© 2 0 −20 0 0 00 0 1© 20 0 0 0
.
• On remplace les 0 sur la diagonale par −1 et on extrait ces
vecteurs colonnes :
2−100
et
−202−1
.
Epilogue : Base du noyau après échelonnement suivant les lignes
•
1© 2 0 −20 0 1© 20 0 0 00 0 0 0
(les pivôts doivent être égales à 1©).
• On permutes les lignes de 0 afin de mettre les pivots sur la
diagonale :
1© 2 0 −20 0 0 00 0 1© 20 0 0 0
.
• On remplace les 0 sur la diagonale par −1 et on extrait ces
vecteurs colonnes :
2−100
et
−202−1
. C’est la base recherchée !
Epilogue : Base du noyau après échelonnement suivant les lignes
•
1© 2 0 −20 0 1© 20 0 0 00 0 0 0
(les pivôts doivent être égales à 1©).
• On permutes les lignes de 0 afin de mettre les pivots sur la
diagonale :
1© 2 0 −20 0 0 00 0 1© 20 0 0 0
.
• On remplace les 0 sur la diagonale par −1 et on extrait ces
vecteurs colonnes :
2−100
et
−202−1
. C’est la base recherchée !
Preuve : Ces vecteurs sont clairement libres et de bon nombre parle théorème du rang. Il reste plus qu’à vérifier manuellement qu’ilssont dans le noyau.
Epilogue : Base du noyau après échelonnement suivant les lignes
•
1© 2 0 −20 0 1© 20 0 0 00 0 0 0
(les pivôts doivent être égales à 1©).
• On permutes les lignes de 0 afin de mettre les pivots sur la
diagonale :
1© 2 0 −20 0 0 00 0 1© 20 0 0 0
.
• On remplace les 0 sur la diagonale par −1 et on extrait ces
vecteurs colonnes :
2−100
et
−202−1
. C’est la base recherchée !
Preuve : Ces vecteurs sont clairement libres et de bon nombre parle théorème du rang. Il reste plus qu’à vérifier manuellement qu’ilssont dans le noyau. Tester sur un autre exemple !