chapitre 3 Élèments de théorie d'Échantillonage

8/16/2019 Chapitre 3 Élèments de Théorie d'Échantillonage

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Économie et management.Licence 2.Statistiques.

Année2014 - 2015

Chapitre 3 :

É éments !e théorie!"échanti onnage

Criste Schi t#.


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$$ % +istri ution !"échanti onnage : théor meCentra Limite et oi 'orma e.

1 % Con!itions !"app ication.& Théorème Central Limite : conditions d'application .

& Taille minimum d'échantillon : nN

≥ 0,05 .

& Si N →+ ∞ : alors n →0 .

& Conditions d'application réunies .& Échanti on : tout tirage sera tou ours a éatoire et représentati, !e a popu ation.& +istri ution !e x̄ i : suit une oi norma e.

2 % )oment !e a !istri ution !e x̄ i .

& E (x̄ i) = 1n ∑i = 1p

x̄ i .

& Chaque échantillon : représentatif .& x̄ i µ .

& E (x̄ i) = 1n

n µ = µ .

& E (x̄ i) = µ .

& Écart-type de la population : σ .& rreur-type d'échantillon : σ (̄x ) .

& Si N →+ ∞ : σ (̄x )= σ√ n .

& Si N fini : σ (̄x ) = σ√ n √N− nN − 1 .& Coefficient de correction : √N − nN − 1 .


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& Loi normale : forme .& e : marge !"erreur.

3 % aria e a éatoire centrée et ré!uite.

& !ariable aléatoire centrée réduite de la loi normale Z .

& Z= E ( ̄x) + e − E ( ̄x )σ ( ̄x) = eσ ( ̄x ) .

& Si N →+ ∞ : Z= eσ√ n

.

& "istribution de Z : proportionnelle # la distribution de x̄ .& "istribution de Z .

& )o*enne : 0 .& rreur-t*pe : 1 .

& "istribution de x̄ .& )o*enne : E ( ̄x) .& rreur-t*pe : σ ( ̄x ) .


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& ésolution : probabilité que µ soit inférieur # 51000 .& égiona iser e pro me.

& Z= eσ√ n

= 51800 − 51000730,3

= 800730,3

= 1,1 .

& Lecture !ans a ta e !e oi norma e : P (0 < Z< 1,1 ) = 0,3643 .& P (µ < 51000 ) = 0,5 − P (51000 < µ < E ( ̄x)) = 0,5 − P (0 < Z < 1,14 ) = 0,1357 .

& ésolution : probabilité que µ soit compris entre 51300 et 52300 .& égiona iser e pro me.

& Z= eσ√ n

= 52300 − 51800730,3

= 500730,3

= 0,68 .

& Lecture !ans a ta e !e oi norma e : P (0 < Z < 0,68 ) = 0,2517 .& P (51300 < µ < 52300 )= 2.P (0 < Z < 0,68 ) = 0,5034 .


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$$$ % +istri ution !e proportion !"échanti on.

1 % Con!itions !"app ication.

& (opu ation !e tai e N .& Échanti on !e tai e n .

& (roportion !e popu ation P .& (roportion !"échanti on p̄ .

& Notion : distribution de proportion moyenne d'échantillon p̄ i .& traction !e p usieurs proportions : i = 1, ... , p proportions.& (our chaque proportion : i [ 0, p ] .

& Ca cu !e a mo*enne : E (p̄ i)= p i .

& p̄ suit une loi normale : deu& conditions .& Si n p ≥ 5 .& Si n (1 − p )≥ 5 .

& Sinon : nécessaire d'au%menter la taille de n .

2 % )oments !e a !istri ution !e a mo*enne !"échanti on.

a % )o*enne.

& E (p̄ i) : moyenne des proportions moyennes d'échantillons .& 'otée : p̄ .

& Comme es échanti ons sont a éatoires et représentati,s !e a popu ation.& A ors : p̄ i ≈ p .

% rreur t*pe.

& σ (̄p ) : erreur type d'échantillon .

& Si N fini : σ (̄p ) =

√p (1 − p )

n √N − n

N − 1.

& Si N →+ ∞ infini : σ (̄p )= √p (1 − p )n √N − nN − 1 = √p (1 − p )n .& A/ec lim

N →+ ∞ √N − nN − 1 = 1 .

& "istribution de p̄ : pas d'écart type .


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3 % aria e a éatoire centrée et ré!uite.

& !ariable aléatoire centrée réduite de la loi normale Z .

& Z= p̄ + e + ̄pσ ( ̄p )

.

& Si N →+ ∞ : Z= e

√p (1 − p )n .

4 % Lecture !e a ta e norma e.

& Table de loi normale centrée et réduite : lecture .& n igne : unité et premi re !écima e.& n co onne : !eu i me !écima e.

& $éthodolo%ie : cinq étapes .& Énoncer a oi : con!itions et param tres.

& Con!itions : p̄ →Normale si n p ≥ 5n (1 − p )≥ 5

.

& (aram tres :̄p = p

σ (p )= √p (1 − p )n √N − nN − 1& égiona iser e pro me : hachurer a #one cherchée.& Ca cu e !e z = p̄ + e − p̄

√p (1 − p )n& Lecture !ans a ta e !e oi norma e : P (0 < Zi < Z) .& Conc usion.

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