chapitre 4 la théorie des plaques à paroi mince · la théorie des plaques à paroi mince ......
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CHAPITRE 4
La Théorie des Plaques à Paroi Mince
Introduction et hypothèses
Théorie des plaques de Kirchhoff
Plaques rectangulaires
Plaques circulaires Différents appuis
Différents types de chargement
Hypothèses
Déplacements latéraux et les rotations de la mi-épaisseur sont petits ( w << t et <<1 )
Les dimensions sont grandes par rapport à l’épaisseur
a/t > 10 et b/t > 10
Matériau homogène, isotrope et élastique linéaire
Lignes droites normales au plan mi-épaisseur demeurent droites après chargement (flexion des poutres)
déplacement suivant l’épaisseur seulement
Surface à la mi-épaisseur est un plan neutre x = y = xy = 0
La contrainte normale à la surface de la mi-épaisseur est négligeable z 0
Flexion d’une poutre
y
zx
M
M
axe neutre
R
O
MM
Flexion d’une poutre (suite)
R
z
Rd
Rdd)zR(
IJ
IJ'H'G
x
u
x
x
x
axe neutre
R
O
M M
A B
D E
IJ
A' B'
D' E'
I J
z
z
G HG' H'
d
x
z z
yz
effet de Poisson
Relation déplacements-déformationsPlaques minces (Théorie de Kirchhoff)
x
v
y
u=
y
v=
x
u=
xy
y
x
0
0
0
z
v
y
w=
z
u
x
w=
z
w=
yz
xz
z
Mx
zy
x Mx
My
My
Flexion d’une plaque suivant plan xz
x
wz =u
2
2
x x
wz
x
u =
y
wz = v
2
2
y y
wz
y
v =
yx
wz2
x
v
y
u =
2
xy
1
zy
b
a
h
x
M M
Suivant plan yz
Suivant plan xz
M
xplan neutre
M
w
z
dx
O
rx
d
x
z
u = z
du = z d
= -dw/dx
Relations w, r, ,
2
21
x
w
x
w
xxrx
2
21
y
w
y
w
yry
yx
w
x
w
yy
w
xrr yxxy
211
x
x rz
1
y
y rz
1
xy
xy rz
12
2
2
2
2
22 11 y
w
x
wEzEyxx
2
2
2
2
22 11 x
w
y
wEzExyy
yx
wEzG xyxy
2
1
Rayons de courbures - déplacements Déformations - rayons de courbure
Contraintes - déplacements
Équilibre d'un élément de la plaque
Mx
zy
x
My
Mxy
Qy
dx
Mxy
p
dxx
MM x
x
dxx
MM xy
xy
dyy
MM xy
xy
dyy
MM y
y
dyy
QQ y
y
dxx
QQ x
x
dy
dzz = M x
2
t
2
t-
x
dzz = M y
2
t
2
t-
y
dzz = M xy
2
t
2
t-
xy
dz = Q xz
2
t
2
t-
x dz = Q yz
2
t
2
t-
y
Moments et contraintes dans une plaque
2
2
2
2
y
w
x
wDM x
2
2
2
2
x
w
y
wDM y
yx
wDM xy
2
)1(
)1(12 2
3
EtD
D est la rigidité en flexion de la plaque
12
3EtD
Pour une poutre en flexion
2max,
6
t
M= x
x 2max,
6
t
M= y
y 2max,
6
t
M= xy
xy
Contraintes maximales dans la plaque
Expressions des moments
Différence de 1/(1-2)
10% si = 0.3
Équation de Lagrange (1811)
Mx
zy
x
My
Mxy
Qy
dx
Mxy
p
dxx
MM x
x
dxx
MM xy
xy
dyy
MM xy
xy
dyy
MM y
y
dyy
QQ y
y
dxx
QQ x
x
dy
D
p
y
w
yx
w
x
w
4
4
22
4
4
4
2D
pw 4
Équilibre des forces suivant z
0
px
Q
x
Q yx
Équilibre des moments suivant x
y
yxy Qy
M
x
M
Équilibre des moments suivant y
xxxy Q
x
M
y
M
022
22
2
2
py
M
yx
M
x
M yxyx
substitution de et dans
Équation différentielle de Lagrange
Conditions aux rives
002
2
2
2
ax
ax y
w
x
wandw
00
ax
ax x
wandw
00
ax
xy
xxx y
MQVandM
0)2(02
3
3
3
2
2
2
2
axaxyx
w
x
wDand
y
w
x
wD
supportssimples
supportsencastrés
supports libres
a)
b)
c)
Plaque rectangulaire sur appuis simples
b
yn
a
xmp= p
sinsin0
axandxforx
ww
0002
2
byandyfory
ww
0002
2
b
ynsin
a
xmsin
b
n
a
mD
p= w
2
2
2
2
24
0
b
yn
a
xmp= p
m nmn
sinsin
1 1
Chargement sinusoïdal Conditions aux rives
b
xnsin
a
xmsin
D
p
y
w
yx
w
x
w
0
4
4
22
4
4
4
2
Équation de Lagrange devient
Généralisation (Navier 1820)
Charge latérale (double série trigonométrique)
dydxb
yn
a
xmyxp
ab= p
b a
mn
sinsin),(
40 0
1 12
2
2
2
24
sinsinm n
mn
b
yn
a
xm
b
n
a
mD
p= w
Plaque rectangulaire(suite)
m n
b
n
a
mmn
b
yn
a
xm
D
p= w
2
2
2
2
26
0
sinsin16
mn
pdydx
b
yn
a
xm
ab
p= p
b a
mn 2
0
0 0
0 16sinsin
4
531 ,,n,m
Chargement uniforme po
Plaque carrée
Plaque carrée simplement supportée
D
ap= w
40
max 00406.02
2 2 00 0479 x ,x a / y ,y a /M = M = . p a
Plaque carrée encastrée
2
0 01160max
Faw = .
D , /2 0.1492x x aM = F
D
ap= w
40
max 00126.02
0 00 0513x ,xM = . p a 22 00 0231x ,x a /M = . p a
2
0 00560max
Faw = .
D 0 0 1257 x ,xM = . F
Charge répartie, po
Charge concentrée, F
Charge répartie, po
Charge concentrée
0 3 = .
Plaque circulaire
Équilibre des moments suivant une ligne quelconque
h
dr
d
M
drdr
dMM r
r
drdr
dQQ r
r
Qr
Mr
z
r
M
n'
m
n op'
o'
m'
pp
r
0 = 2
drdr)d + )(rdQ + (Q +
2
dr)rd(Q drd M rdMdr)d + )(rdM + (M rrrrrr
0 =rQ Mrdr
dM M rr
r
dr
dw
r
z
r
uand
dr
wdz
dr
dur
2
2
Relation déformations-déplacements
M
x
½d
y
M½d
½d
Mr
rr
dMM dr
dr
Plaque circulaire (suite)
Relation contraintes-déformations-déplacements
dr
dw
rdr
wdEzErr
1
11 2
2
22
2
2
22
1
11 dr
wd
dr
dw
r
EzEr
Relation contraintes-réaction internes
dzz = M r
2
t
2
t-
r dzz = M2
t
2
t-
dz = Q rz
2
t
2
t-
r
r
w
rr
wDM r
2
2
2
21
r
w
r
w
rDM
substitution de dans
Équation différentielle
h
dr
d
M
drdr
dMM r
r
drdr
dQQ r
r
Qr
Mr
z
r
M
n'
m
n op'
o'
m'
pp
r
D
Q
dr
dw
rdr
wd
rdr
wd r22
2
3
3 11
D
Q
dr
dwr
dr
d
rdr
d r
1
substitution dans
Équation différentielle
Plaque circulaire solution
Solution
Équilibre suivant z
D
p
dr
dwr
dr
d
rdr
dr
dr
d
r
11
FdrdrprQr
r
2
0 0
2
32
21
24
ln4
)1(ln864
CrCrC
rD
Fr
D
prw
r
CrCr
D
Fr
D
pr
dr
dw 213
2)1ln2(
816
p
Qr
xz
Équation différentielle devient
C1, C2 et C3 sont obtenues à partir des condition aux rives
Flèche
Pente
F
Types d’appuis
p
p
p
p
supportssimples
supportsencastrés
supports libres
a)
b)
c)
0M
0w
arr
ar
0drdw
0w
ar
ar
r a
r a
r
r
M 0
Q 0
Cas particuliers
ar
p
a
r
p
r = 0 = 0
r = a = 0
r = a w = 0
)r (a 64D
p = w 222
)r (a 16D
pr = 22
a
r
+ 1
5 + 21
3
1 +
a
r
+ 1
+ 3 1
D64
pa = w
42
24
a
r
+ 1
+ 3 1
D16
pr=
23
r = 0 = 0r = a w = 0
r = a Mr = 0
Cas particuliers (suite)
ar
F
ar
F
r = 0 = 0
r = a = 0
r = a w = 0
r = 0 = 0r = a w = 0
r = a Mr = 0
12
4
2
r
a +
a
r ln
D
Fr = w
2
r
a ln
D4
Fr =
r
a ln 2r) r(a
+ 1
+ 3
D16
F = w 222
r
a ln +
+ 1
1
D4
Fr =
Cas particuliers (suite)
r = 0 w doit avoir une valeur finie et donc C2 = 0
r = 0 = 0 et donc C2 = 0
r = a w = 0 et Mr = M
D)(
)r a(M = w
12
22
ar
M M 32
21
24
ln4
)1(ln864
CrCrC
rD
Fr
D
prw
r
CrCr
D
Fr
D
pr
dr
dw 213
2)1ln2(
816
3
21
40 C
aC = 12
)1(C
D = MM r
D)(
r M =
1
M= M= M r
r
w
rr
wDM r 2
2
r = a
r = 0
1
2
(1 )
MC =
D
2
3 2(1 )
MaC =
D
Cas particuliers (suite)
a
r
F b
ar
p b
6 conditions frontières pour trouver la solution
Superposition
Déterminer les expressions pour la flèche et la contrainte maximales sachant que a/b=1.25
a
r
b p
Vp
=
+
Superposition
Superposition
