-24-

Chapitre II:

Bases mathématiques de la théorie quantique

-25-

II.1. Vecteurs et opérateurs dans l’espace de Hilbert

Espace de Hilbert: est un espace vectoriel doué de deux propriétés :

1- produit scalaire : à deux vecteurs u

et v

pris dans cet ordre correspond un produit scalaire : u

. v

qui est un nombre qui peut être complexe

Ce produit scalaire est associatif : )w.ub v.ua )wb va.(u

2- le produit scalaire est soumis à la condition :

*)u.v( v.u

Le complexe conjugué

*)u.u( u.u

C’est la norme de u

, c’est un nombre réel.

Si la dimension de l’espace vectoriel est finie on peut trouver un ensemble complet de vecteurs u

tel que :

. 1

. 0 si i j

i i

i j

u u

u u

Base orthonormée

Ils constituent une base de vecteurs unités orthogonaux deux à deux

II.2. Espace des Fonctions D'onde F

1: Définition: les fonctions d'onde de la mécanique quantique sont des fonctions de carré sommables, de telles fonctions appartiennent à un espace vectoriel normé et complet

23(r, t) d r

Converge

où 3d r dxdydz

élément de volume. Donc (r, t)

IL2(IR): espace fonctionnel

possédant la structure de l'espace de Hilbert.

-26-

Conséquences.: F 2

3(r, t) / (r, t) d r 1

où les fonctions (r, t)

sont telle que (voir quelques exemples à la figure II.1):

- partout définies,

- continues

- de classe C: indéfiniment dérivable,

- à support borné: on est sûr que la particule se trouve dans un domaine défini.

F IL2 ==> F est un sous espace vectoriel de IL2(IR)

Figure II.1 : a) La fonction d’onde x / a(x) Ne et la densité 2

(x) correspondante

b) La fonction d’onde 2x / a(x) Nxe et la densité

2(x) correspondante.

2- Le produit scalaire:

Soit (r, t)

, (r, t)

éléments de F : le produit scalaire de (r, t)

par (r, t)

, (,), est:

* 3 *( , ) (r, t) (r, t)d r ( , )

-27-

Le produit scalaire est linéaire par rapport à et antilinéaire par rapport à

( , 11 + 22) = 1 (,1)+ 2 (,2)

(11 + 22, ) = *

1 (1,)+ *

2 (2,)

la norme –––––> (,)=2

3(r, t) d r

3- Opérateurs linéaires sur F

a) Définition: A est opérateurs linéaire

F ––––––>F

––––––> ´ = A

A ( (r, t)

+ µ (r, t)

) = A (r, t)

+ µ A (r, t)

Exemples: - opérateur Dérivation: Dx

XD (r, t) (r, t)x

- opérateur multiplication par x: X

X(x,y,z) = x (x,y,z)

b) Produit d'opérateurs: Soient A, B deux opérateurs linéaires. Pour appliquer le produit AB sur la fonction d'onde (r, t)

:

(AB) (r, t)

= A(B (r, t)

)

on fait agir B sur (r, t)

puis A sur le résultat

En général AB ≠ BA. On appelle commutateur de A et B l'opérateur [A,B] telle que: [A , B] = AB - BA

Exemple [X , Dx] (r, t)

= (x x

-

x

x) (r, t)

= - (r, t)

---> [X , Dx] = -1

-28-

4- Base discrète de l'espace vectoriel F

a) Définition: Soit un ensemble de fonctions iU (r)

de F avec i I={1,2,.., n} I

N. L'ensemble { iU (r)

} est une base discrète si et seulement si:

- i i ii Ii

(r) F ! C C telque (r) C U (r)

- i i i ii Ii

Si C C telque C U (r) 0 alors C 0 i

remarque: {Ui} est orthonormée si ij I={1,2,..., n}

(Ui,Uj) = *

i j i j

1 si i jU (r)U (r)d3r

0 si i j

( Symbole de Kronecker)

On montre que (Uj, (r)

) = (Uj, iii

C U ) = i j ii

C (U ,U ) = Cj

----> * 3i i iC (U (r), (r)) U (r), (r)d r

Conséquences

i i i ii i

(r) C U (r) (U (r), (r))U (r)

{Ui}iI est une base dans F si et seulement si elle vérifie la relation de

fermeture:

*

i i

i

U (r)U (r ') (r r ')

Démonstration: Soit

* 3

i i i i i i

i i i

3 * 3

i i

i

(r) C U (r) (U , )U (r) U (r ') (r ')d r ' U (r)

d r ' (r ') U (r ')U (r) d r ' (r ') f (r r ')

ou f (r r ')

est la fonction caractéristique de (r r ')

. On a donc:

-29-

*

i i

i

3

U (r ')U (r) (r r ')

(r) d r ' (r ') (r r ')

Si un ensemble orthonormé i i IU (r)

vérifie la relation de fermeture il constitue

une base.

5- Base continues Orthonormée ( F)

a) Définition: Tout un ensemble de fonctions {( r

)} où est un indice continue

( IR) vérifiant les relations suivantes:

* 3

' '

*

( , ) (r) (r)d r ( ') relation de normalisation

relation de fermeture (r) (r ') d (r r ')

est dit base orthonormée continue.

Conséquences

La norme: * 3( , ) (r) (r)d r (0) (r)

F

r

) F on peut écrire (r) C( ) (r)d ( , ) (r)d

3 3 *

* 3

*

Démonstration: (r) d r ' (r ') (r r ') d r ' (r ') (r ') (r)d

(r)d (r ') (r ') d r '

(r)( , )d C( ) (r)d

Produit scalaire

Soit (r) b( ) (r)d

et soit '(r) C( ') (r)d '

leur produit scalaire est

* 3( (r), (r)) (r) (r)d r

* * 3

'b ( ) (r)d C( ') (r)d ' d r

* * 3

'b ( )d C( ')d ' (r) (r) d r

-30-

*b ( )d C( ')d ' ( ')

*b ( )C( )d

Figure II.2 :L’intégrale de recouvrement est égale à l’aire hachurée

Cas particulier: norme 2

*( , ) C ( )C( )d C( ) d

Exemple: px ipx

1/ 2

1e

(2 )

x ipx

1/ 2

1(p)e dp

(2 )

p p '( , ) (p p')

, 3p p(r) (r ')d p (r r ')

F ipx

1/ 2

1(x) (p)e dp

(2 )

d. Conclusion- Résumé

Toutes les formules concernant les bases discrètes se généralisent en considérant les relations de correspondances suivantes:

Indice: i

Sommation: i

d

Distribution ij ( - ')

-31-

II.3. Représentation de Dirac, Espace des Etats

1- Introduction :

Nous avons vu au chapitre, d'après ce qui précède, que la théorie quantique peut être développée de manière équivalente dans la représentation des coordonnées r

ou dans celle des impulsions p

. En fait, la représentation dans laquelle on

travaille joue un rôle analogue au choix d’un système de coordonnées en géométrie. Or nous savons que les problèmes de géométrie peuvent être résolus `a l’aide du calcul vectoriel, sans se préoccuper d’un système de coordonnées particulier.

(r)

F i ii

(r, t) C U (r, t)

Ci dans une base discrète

(r, t) C( ) (r, t)d

C() dans une base continue

Il est donc logique de se demander si la théorie quantique ne peut pas être abordée sans faire usage d’une représentation particulière. C’était précisément le but que Dirac a poursuivi dans sa formulation de la théorie quantique.

Le problème est analogue à un point P(xi) IR3 où les coordonnées xi dépendent

de la base (référentiel) choisie. Mais la géométrie vectoriel (espace vectoriel)

permet de faire des calculs sans tenir compte du référentiel ( PP'

est indépendant

de la base choisie). Par analogie on définie un espace abstrait E des états d’un système physique (particule): l’état quantique du système physique sera caractérisé par un vecteur état appartenant à E

Remarque: F IL2(IR) ==> E est un sous espace d’un espace de Hilbert (espace vectoriel normé complet)

2- Définitions

a) les éléments de E sont appelés vecteurs kets et notés

à tout fonction (r)

F correspond un et un seul vecteur Ket

(r)

(r indice continue, (r)

est l’ensemble des composants de sur

une base).

-32-

La figure II.2 fournit une représentation géométrique du vecteur “ket” dans l’espace des coordonnées.

b) les vecteurs-bras notés sont les éléments de l’ensemble dual E * de E,

ce sont donc des formes linéaires définies sur E (ou fonctionnelle définie sur E)

f: E ------> C linéaire

------> f( )

Notation : le bras f E* et f( ) = f C. c’est un nombre obtenue

en agissant f E* sur E . L'expression est nommée bracket (crochet)

3- Propriétés

Produit scalaire dans E :

à tout ket E on associe le bras E*. est le fonctionnelle linéaire qui au

ket associe le bracket C qui est le produit scalaire ( , ) de par

.

( , ) = Notation de Dirac du produit scalaire

Figure II.3 : Représentation

géométrique du vecteur d’état

dans l’espace de coordonnées.

-33-

Figure II.4 : Schéma du produit scalaire de deux fonctions d’ondes

Figure II.5 Cette figure illustre l’aspect vectoriel de l’espace des fonctions d’ondes

Remarque : soient 1, 2 C

la correspondance

Ket linéaire ======> Bras antilinéaire

1|1> + 2|2> ======> *

-34-

la correspondance |> ======> E

|> ------> |'> = A|>

la matrice de A entre |> et |> est formée d'éléments:

) = (

b) Exemple d'opérateur linéaire

i: projecteur orthogonal P sur un ket |>

Soit |> tel que = 1 normé. On définit : P = |> E : P |> = |>

Propre : P2 = PP P

Démonstration. P2 = PP = |>}i≤q orthonormé: = ij

soit l'opérateur linéaire q

q i i

i 1

P

E : q

q i i

i 1

P

C'est la projection de sur le sous espace Eq

de E

5- Opérateur adjoint A+ de A

A: E ------> E A: Opérateur linéaire

-35-

|> ------> |'> = A|>

A+ : E* ------> E* : A+ est opérateur linéaire adjoint de A

< '|=

-36-

II.4. Calcul Matriciel et Notion de Représentations dans L’espace des

Etats

Représentation :

*Le chois d’une représentation c’est le choix d’une base orthonormée {|Ui>} ou

{|>}:

les vecteurs |>, }iI IN et {|>}IR sont dites orthonormés si :

ij = ij

,' ) ===> |> E

b: Relation de fermeture :

i i i i

i

C U avec C U dansunebasediscontinu

Soit E :

C( ) d avec C( ) dansunebasecontinu

i i i i i i i i

i i i i

i i

i

C U U U U U ( U U )

U U 1I avec 1I Opérateur identité

de même

-37-

C( ) d d d ( d )

d 1I avec 1I Opérateur identité

Ces deux relations sont appelés relation de fermeture

- réciproquement : i i i ii i

1I U U C U

1I d C( ) d

2- Représentations des vecteurs ket et bras

a) Ket :

E, est représenté par une matrice unicolonne. Ses composantes sont

les Ci dans {|Ui} et C() dans la base {|}:

1

2

i

n

U

U

.

.

.

U

.

.

.

U

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Dans la base {|Ui} discrète Dans la base {|} continue

Infinité continue de nombres C()

-38-

b) bras :

E*, est représenté par la matrice uniligne. Ses composantes sont les Ci*

dans {|Ui}et C*() dans la base {|}:

1 2 i nU U . . . U . . . U Dans la base {|Ui} discrète

. . . . . . . . . Dans la base {|}

continue

*i ii

b U dans {|Ui} b*i = Ui

*b ( ) d dans {| } b*()=

Afin d’obtenir le produit scalaire qui est un nombre et comme est

matrice unicolonne il faut soit une matrice uniligne. est représenté par:

1

2

1 2 i n

i

n

U

U

.

.

.U U . . . U . . . U

U

.

.

.

U

Dans la représentation {|Ui} discrète

-39-

.

.

.

.

.. . . . . . . . .

.

.

.

.

Dans la représentation {|} continue

3- Représentation des opérateurs

11 1j 1n

21

i1 ij

nn

A . . A . A

A . . . . .

. . . . . .A

A . . A . .

. . . . . .

. . . . . A

Dans la base {|Ui}

ou

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .A

. . . A( , ') . .

. . . . . .

. . . . . .

Dans la base {|}

A est représenté par une matrice carrée d'éléments:

Aij = Dans la base {|Ui}

A(')=

-40-

Remarque :

Si A est hermitique (A=A+ ), alors Aij = A*ji . Les éléments symétriques

par rapport à la diagonale Aii sont complexes conjugués En particulier Aii = A*ii

IN

La trace d’un opérateur :

ii i i

i i

Tr A A U A U Indépendante de la base choisie

4- Changement de représentation :

Il revient au problème de changement de base dans un espace vectoriel. Les nouvelles représentations des kets, bras et opérateurs (matrice) seront connus si l’on détermine la matrice de passage des nouvelles bases (nouvelles représentations) aux anciennes bases (ou inversement).

a) Soit P la matrice de passage de la base orthonormée {|Ui>} à la base

orthonormée {|Vk>} les éléments de P sont Pik.

Pik = ------->

. . . k . .

. . . . . .

. . . . . .P

i . . ik . .

. . . . . .

. . . . . .

P est la matrice de passage, elle définit le changement de base.

b) (P+ki ) = (Pik )* =

c) Propriété: la matrice de passage P d’un base orthonormée à une autre base orthonormée est unitaire. On a donc:

P P PP 1I 1I est la Matrice unité

Démonstration :

-41-

lemme :

i j i j i k k jijk

i k k j ik kj

k k

AB U AB U U A1IB U U A U U B U

U A U U B U A B

il lj i l l j i l l jijl l l

i j ij

P P P P V U U V V ( U U ) V

V 1I V

d) Nouvelles composantes des kets et bras

Ci = Ui dans {|Ui} et C( = dans {|}

= ik ii

P U

Démonstration : = i i ki ii i

U U P U

de même Ui iki

P

i iki

U P

Opérateur A : Akl =k l ki i jljij

P A P

Démonstration : k l k l i i j j li j

U U A U U

i i j j l ki i jljij ij

U U A U U P A P

de même Ui| A |Uj> Aij ik kl ljkl

P A P

II.5. Spectre d’un Opérateur. Equation aux Valeurs Propres

1. Définition : soit A une application linéaire de E dans E telle que:

A: E ------> E Opérateur linéaire

-42-

|> ------> |'> = A|>

L’équation A|> = a|> s’appelle "équation aux valeurs propres a de l'opérateur A"

|> E vérifiant l'équation aux valeurs propres s'appelle ket propre.

L’ensemble de ces valeurs propres s'appelle spectre de A

a est dite valeurs propres non dégénérée (simple) si tous les kets |> correspondants sont colinéaires.

a est dite valeur propre dégénérée d’ordre g si-il existe g kets |i> (avec i=1, 2, ...g) propres linéairement indépendants, comme le montre schématiquement la figure II.5:

On a alors : A|i> = a |i>

a : l’ensemble des kets propres |i> est un espace vectoriel de

dimension g (g: ordre de dégénérescence) appelé sous espace propre de la valeur propres a

cas particulier Si g = 1 alors a est non dégénéré

2- Equation aux valeurs propres de A, équation caractéristiques

soit A: E ------> E Opérateur linéaire

Question: quelles sont toutes les valeurs propres i de A et les vecteurs propres

|i> telle que:

Figure II.6 : Dégénérescence du niveau d’énergie En : g = 4.

-43-

A|i> = i |i>

soit la représentation {|Ui>}iI avec I un ensemble fini. Soient A, , |> Tel que:

A|> = |>

projection cette dernière équation sur |Ui>

=

= on introduit la relation de fermeture

====> = i j jj

U | A | U U |

= ij j

j

A C =

===> ij ij jj

(A )C 0 Système de n équations linéaire et homogène

Le système admet une solution non nulle si et seulement si:

det ( I) 0 A Équation caractéristique (ou équation séculaire)

c. a. d

11 1j 1N

21 22 2 j 2N

i1 ii ij iN

N1 NN

A . . A . A

A A . A . A

. . . . . .

A . A A . A

. . . . . .

A A

= 0

Équation de degré N en

-44-

3- Notion d’observables

a- cas d’un opérateur hermitique

Soit A: E ------> E Opérateur linéaire hermitique tel que A+ = A

i) chaque valeur propre d’un opérateur hermitique est réelle:

Démonstration: Soit |> E, on a A|> = |>

= |>

avec

A est hermitique :

-45-

n, n' ( n n'): < in|jn'> = 0 où |jn'> En' (espace propre de an' an)

Dans un espace propre En on peut toujours choisir {|ni>}i=1,2, g n

orthonormé tel que:

= ij

Avec de tel choix on aboutit à un système orthonormé de vecteurs propres de A vérifiant :

} de vecteur propre de A est une base dans

E alors A est une observable.

Ceci s'exprime par la relation de fermeture : ng

n 1 i 1

|nj>

-46-

c. Ensemble d’observables qui commutent

i) Théorème I: Si A, B deux opérateurs qui commutent et si |> est vecteur

propre de A alors B|> est aussi vecteur propre de A, avec la même valeur propre.

Démonstration:

A|> = a|> ===>B(A ) B(a ) aB

A(B ) aB par ce que AB BA

- a non dégénéré ===> B|> est colinéaire à |> ===> |> est vecteur propre de B

- a dégénéré ===>|> E a: B|> E a, ===> E a est globalement invariant (stable) sous l’action de B.

ii) Théorème II: Si deux observables A et B commutent et si |> et |>

sont vecteurs propres de A de valeurs propres différentes alors: = 0

1

2

1 2

A | a |

A | a |

a a

===> 2

1

1 2

| AB | a | B |

| BA | a | B |

0 (a a ) | B |

donc

iii) Théorème III: Il est possible de construire une base orthonormée de l’espace des états (E) constituée par des vecteurs propres communs à deux observables A et B qui commutent.

A est une observable, {|Uin>} est une base orthonormée de E formée de vecteurs

propres de A : A|Uin> = an|Uin> et < U

in|U

in>= nn' ij (i= 1,2,.. gn,

n=1,2,...)

===> la matrice A = anI est diagonale.

Question: Quelle est la matrice de B dans la base {|Uin>}?

-47-

or d'après le théorème II, < Uin|B|Uin’>= 0 pou n n’, par contre rien à dire

pour n=n’ et i j. La matrice de B sera donc "diagonale par blocs“ où les blocs sont formés par des matrices carré ( gn x gn) d'éléments de B sur En : <

Uin|B|Ujn’>

E 1 E 2 E 3

E 1 M11 0 0 0 0 0

E 2 0 M22

0 0 0 0

E 2 0 0 M33

0 0 0

0 0 0 . 0 0

0 0 0 0 . 0

0 0 0 0 0 .

Remarque : si an est solution simple de l’équation caractéristique det (A - an I) = 0

alors la diagonale de B est formée par des matrices (1x1) c’est à dire des constantes.

Désignons par {|Uin,p>} la base de En commune aux vecteurs propres A et B

telle que:

A|Uin,p> = an |Uin,p> et B|U

in,p> = bp|U

in,p>

Exercice : montrer que [A,B]|Uin,p> = 0 i, n, p .

i i i

np p np p n npi

npi i i

np n np n p np

AB U b A U b a UA,B U 0

BA U a B U a b U

d) Ensembles complets d’observables qui commutes: ECOC

i) Définition: On dit que les observables A,B... L forment un ensemble complet d’observables qui commutent (ECOC) s’ils commutent deux à deux et s’il existe une et une seule base orthonormée de E formée des vecteurs propres communs à ces observables.

Conséquence: la donnée des valeurs propres an, bp, ...lr des observables

A,B...L formant un ECOC détermine le vecteur propre unique commun à A,B,...L.

-48-

On note ce ket propre commun |an, bp, ..., lr> . On dit alors que l’état dynamique

du système physique (décrit par le ket en question) est complètement spécifié par la donnée des nombres quantiques , an, bp, ..., lr.

ii) Soit une observable A de spectre {an} avec {|Uin>} la base de E formée

des vecteurs propres de A.

- Pour tout n, la valeur propre an est simple (non dégénéré) alors la donnée

de an détermine de façon unique le vecteur propre correspondant. Ceci implique

qu'il existe une base orthonormée de E formée de vecteurs propres de A. Alors A est ECOC à lui seul

- Si-il existe un n pour qui an est dégénéré. C'est à dire, il existe dans E

plusieurs bases formées de vecteurs propres de A avec an comme valeur propre

alors A n'est pas un ECOC.

soit alors B une observable tel que [A,B] = 0. Existe-il une base orthonormée de E formée de vecteurs propres communs à A et B? Si oui A, B forment un ECOC

- Si non, s'il existe un couple de valeurs propres (an, bp) correspondant à plusieurs vecteurs propres communs à A et B indépendants alors on prend une observable C qui commute avec A et B et ainsi de suite jusqu’à trouver une base unique de E formée de vecteurs propres commun aux observables A,B,C, .... qui formeront donc un ECOC

II.6. Applications

1. Représentations {|r>} et {|p>}

i) Expression d’un ket dans {|r>} et {|p>}

Dans la représentation |r>, les coefficients Cn du développement de |> E sont les fonctions d’ondes :

( r

) =

Dans la représentation |p>, les coefficients Sn du développement de |> E

sont les fonctions d’ondes transformées de Fourrier de ( r

):

( p

) =

-49-

Remarque : r et p représentent les ensembles d’indice continue (x,y,z) et (px,py,pz)

ii) relation de fermeture et d’orthonormalisation

dans la base |r>s’écrit : 3r r d r

Dans les notations de Dirac la fonction d’onde ( r

) peut encore être explicitée de la manière suivante

3(r) r r r ' r ' d r '

3(r r ') (r ')d r '

La figure II.2 fournit une représentation géométrique du vecteur “ket” dans l’espace des coordonnées.

Figure II.7 : Représentation géométrique du vecteur d’état dans l’espace de

coordonnées.

-50-

2- Opérateurs R et P

i) Définitions:

- les opérateurs composantes X, Y, Z de l'opérateur vectoriel R (opérateur position) sont définies par:

r X x r

r Y y r

r Z z r

où x,y et z sont les 3 indices représentant |r> .

- les opérateurs composantes Px, Py, Pz de l'opérateur vectoriel P

(opérateur impulsion) sont définies par:

x x

y y

z z

p P p p

p P p p

p P p p

où px, py et pz sont les 3 indices représentant |p> .

ii) Action de P dans {|r>} et action de R dans {|p>}

- Action de P dans {|r>}

ir P 3

ir p p P d p on a

ipr /

3/ 2

1r p e

2

ipr / 3

i3/ 2

1e p p d p

2

ipr / 3

3/ 2

i

1e p d p

i r2

ipr / 3 3

3/ 2

i

1e d p p r ' r ' d r '

i r2

-51-

3 ip( r r ') / 3

3

i

1d p e (r ')d r '

i r2

3 ip( r r ') / 3

3

i

1(r ')d r ' e d p

i r 2

3

i

(r ') (r r ')d r 'i r

car

ip( r r ') / 3

3

1(r r ') e d p

2

i

(r)i r

r P (r)i

- Action de R dans {|p>}

ip R 3

ip r r R d r on a

ipr /

3/ 2

1p r e

2

ipr / 3

i3/ 2

1e r r d r

2

ipr / 3

3/ 2

i

1e r d r

i p2

ipr / 3 3

3/ 2

i

1e d r r p' p' d p'

i r2

3 i(p p ') r / 3

3

i

1d r e (p')d p'

i p2

3 i(p p ') r / 3

3

i

1(p')d p' e d r

i p 2

3

i

(p') (p p')d p'i p

car

i(p p ') r / 3

3

1(p p') e d r

2

-52-

i

(p)i p

p R (p)i

iii) R et P sont hermitiques

iR 3

ir r R d r * 3

i(r)r (r)d r

*

* 3

i(r)r (r) d r

*

3

ir r R d r *

iR iR

====> Ri = R+

i donc Ri est hermitique

de même:

iP 3

ip p P d p * 3

i(p)p (p)d p

*

* 3

i(p)p (p) d p

*

3

ip p P d p *

iP iP

====> Pi = P+

i donc Pi est hermitique

• Les kets r sont les kets propres commun à X, Y, Z correspondant aux

valeurs propres x, y, z (indices continus) X r x r , Y r y r , Z r z r

• En représentation {|p>} les kets |p> sont kets propres commun à Px, Py,

Pz correspondants aux valeurs propres px, py, pz (indices continus),

Px|p> = px|p>, Py|p> = py|p>, Pz|p> = pz|p>

iV) R et P sont des observables car {|r>} et {|p>} constituent des bases de E.

De plus la donnée des valeur propres xo, yo, zo de X, Y, Z suffit pour déterminer

le vecteur propres unique correspondant |ro>

l’ensemble { X, Y, Z} est un ECOC dans E. De même pour {Px, Py, Pz}