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Chapitre 2 : Ondes harmoniques

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Les phénomènes ondulatoires considérés jusqu'ici - propagation, réflexion, interférence, etc. -peuvent s'appliquer à des situations quelconques, qu'il s'agisse d'impulsions uniques (telle unebosse se propageant le long d'une corde), ou qu'il s'agisse d'ondes à caractère périodique (telle lasuite des crêtes et des creux d'une vague). Le présent chapitre sera consacré plus particulièrementaux caractéristiques et propriétés des ondes périodiques, c'est-à-dire des ondes présentant unecertaine régularité dans l'espace-temps et décrivant de ce fait certains des aspects essentiels duson et de la lumière.

2.1 Description mathématique des ondes harmoniquesLes ondes périodiques les plus simples sont des ondes dont la forme est représentée par unefonction sinusoïdale : ce sont les ondes harmoniques. Leur importance provient du fait que, d'unepart, elles représentent tout une catégorie de phénomènes familiers et que, d'autre part, n'importequelle onde périodique peut être décomposée en une série d'ondes sinusoïdales. Ceci permet dedétailler les caractéristiques physiques responsables de la hauteur d'un son, de la couleur de lalumière, du timbre d'un instrument etc.Nous avons vu plus haut qu'une onde progressive est une fonction de type y(x-vt) ou y(x+vt).Une onde sinusoïdale est donnée par une fonction plus particulière, de type

y(x,t) = Asin[k(x-vt)] ou y(x,t) = A cos[k(x-vt)] ou encore y(x,t)= A sin[k(x-vt)+φ]

ainsi que par les relations semblables faisant intervenir x+vt au lieu de x-vt pour les ondessinusoïdales se déplaçant en sens contraire. Dans ces expressions A est l’amplitude de l’onde etreprésenterait, par exemple, la hauteur d'une vague, φ est le déphasage de l'onde et k est lenombre d'onde qui sera défini plus bas.

2.2 Caractéristiques d’une onde sinusoïdaleLa fonction y(x,t) décrite ci-dessus est ce que l'on appelle une fonction d’onde. Elle dépend dedeux variables et on la représente soit en fixant le temps, la variable de la fonction étant alors lacoordonnée x, soit en fixant la coordonnée spatiale, la variable de la fonction étant le temps t.

Temps fixe : l'illustration d'une onde sinusoïdale serait l’image obtenue en prenant uninstantané (photo) d'une coupe de la surface d’un lac sur lequel se propagent des vagues.

La distance entre deux crêtes ou deux creuxsuccessifs est appelée longueur d’onde et estnotée λ. La fonction s’exprime donc comme

€

y(x) = Asin(2πλx) = Asin(kx)

où

€

k =2πλ

est le nombre d’onde.Image instantanée d'une coupe de la surface d'unplan d'eau


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Exemple : Une série de vagues dont les crêtes mesurent 5 cm de haut, est décrite par la fonctiony(x)= 0,05 sin(3x), où x et y sont en mètres. Le nombre d'onde k vaut dans ce cas 3 rad/m. Lalongueur d'onde, ou distance entre les crêtes, est alors donnée par λ = 2π/k = 2,09 m.

Coordonnée fixe : l'illustration en serait le mouvement vertical de va-et-vient d’un bouchonplacé en un endroit donné sur la surface d’un lac parcouru par des vagues.

Film d'un point du plan d'eau en un endroit donné

La durée d'une oscillation complète constitue la période T. Elle correspond, par exemple, autemps qui s'écoule entre deux passages successifs du bouchon sur une crête. La fréquence f del’onde est définie comme l'inverse de la période : f = 1/T et s'exprime en hertz [Hz = s-1]. Lafonction s'écrit :

€

y(t) = Asin(2πTt) = Asin(kvt) = Asin(ωt) où

€

ω =2πT

= 2πf est la fréquence circulaire.

Exemple : Si les vagues de l'exemple précédent font osciller un bouchon à la surface de l'eau etqu'il passe par un maximum d'amplitude de 5 cm toutes les 1,2 s, sa fréquence vautf = 1/1,2 = 0,833 Hz et sa fréquence circulaire ω = 5,24 rad/s. La fonction décrivant lemouvement du bouchon est alors donnée par y(t) = 0,05 sin(5,24t).

Vitesse, fréquence et longueur d’onde sont liées par la relation :

€

v = λ f

En effet, comme l'onde parcourt la distance λ en un temps T, elle se déplace à la vitesse

€

v = λ /T = λ f .

Exemple 1 : Les vagues décrites dans les exemples précédents se déplacent à la vitesse

€

v = λ f = 2,09 ⋅ 0,833 =1,74 m/s.Exemple 2 : La longueur d'onde pour une nuance de vert vaut λ = 500 nm dans le vide. Il luicorrespond une fréquence

€

f = v /λ = 3 ⋅108 /(500 ⋅10−9) = 6,00 ⋅1014 Hz .

Exemple 3 : La fréquence des sons audibles s'étend de 20 Hz à 20 kHz. Pour un son sepropageant à 344 m/s, cela correspond à des longueurs d'onde comprises entre 17,2 m et17,2 mm.

Une onde sinusoïdale est donc caractérisée par une amplitude A (exprimant dans notre exemplela cote maximum d’un point de la vague au-dessus de la surface d’équilibre), par une fréquencef, par une longueur d’onde λ et par une vitesse de propagation v.


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2.3 Addition d’ondes sinusoïdalesLe principe de superposition s’applique bien sûr aussi aux ondes harmoniques. Considérons lecas de deux ondes de même amplitude et de même fréquence f se propageant dans le même sens.Selon la relation de phase (ou "décalage" δ) entre ces ondes, l’addition algébrique des ondes (a)et (b) conduit aux résultats suivants :

a et b peu décalés a et b décalés

a et b fortement décalés a et b presque en opposition

On voit que deux ondes peuvent se contrarier et même s’annuler, ou au contraire se renforcer.La somme « 1+1 » peut ainsi valoir n’importe quel nombre compris entre « 0 » et « 2 » !Deux ondes se renforcent si le décalage δ entre elles vaut un nombre entier m de longueursd’onde :

€

δ = m λ ,

€

m = 0, ±1, ± 2...et s’annulent si le décalage est un nombre entier impair de demi- longueurs d’onde :

€

δ = (2m +1) λ2

= mλ +12λ

Exemple : Si le décalage entre deux ondes de lumière jaune (λ = 600 nm) est de 0,6 µm il y arenforcement des deux ondes (m = 1) ; si le décalage est de 1,5 µm il y a annulation des deuxondes (décalage de 5 demi longueurs d'onde).


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2.4 Fronts d’onde et rayonsLe lieu géométrique des points où la perturbation, à un instant donné, possède la même valeur estappelé front d'onde. La direction de propagation de l'onde est perpendiculaire aux fronts d'ondeet l'ensemble de ces directions constitue les rayons de l'onde. Lorsque l'on jette un caillou dansl'eau par exemple, il se forme une série d'ondes circulaires qui s'éloignent du point d'impact. Lesfronts d'onde sont dans ce cas des cercles (visualisés par les crêtes de l'onde) et leur propagationest représentée par les rayons perpendiculaires aux cercles :

Pour une source d'ondes ponctuelle les fronts d’onde sont des surfaces sphériques se propageantdans tout l'espace. La conservation de l’énergie, et donc de la puissance, implique que l’intensitéde l’onde décroît dans ce cas avec le carré de la distance, puisqu'en se propageant la puissanceinitiale se répartit sur une surface de plus en plus grande au fur et à mesure que l'on s'éloigne dela source :

€

Intensité =Puissance de la source

4πr2 où r est la distance à la source.

Exemple 1 : Un haut-parleur dont la puissance sonore est de 0,5 W, produit à 8 m une intensité

€

I = Psonore /(4π r2) = 0,5 /(4π ⋅ 82) = 622 µW/m2 .

Exemple 2 : Pour que l'intensité I de l'onde soit de 1 W/m2 (seuil de douleur) à 50 cm, lapuissance sonore du haut-parleur doit valoir

€

Psonore = I ⋅ 4π r2 =1⋅ 4π (0,5)2 = 3,14 W .

2.5 Principe de HuygensIl consiste à assimiler chaque point d’un front d’onde à une source d'onde élémentaire sphérique(ou circulaire), appelée ondelette. L'enveloppe des ondelettes ainsi créées forme ensuite lenouveau front d'onde. Ce principe permet d'expliquer la propagation rectiligne ou sphériqued'une onde, le phénomène de diffraction, ainsi que les lois de la réflexion et de la réfraction.

Propagation rectiligne : Diffraction :


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La loi de la réfraction peut être démontrée à partir du principe de Huygens :

Elle s'exprime de manière générale comme :

€

sinα1v1

=sinα2

v2v1 et v2 étant les vitesses de l'onde dans les milieux 1 et 2.

Exemple 1 : Une onde lumineuse passe du vide (v1 = c) dans l'eau (v2 = c/1,33). Si l'onde estincidente sous un angle de 45°, elle est réfractée dans l'eau avec un angle donné par

€

sinα2 = sinα1 ⋅ (v2 /v1) = sin(45°) /1,33 = 0,532, soit

€

α2 = 32,1°.

Exemple 2 : Une onde sonore passe d'une zone où la température de l'air est de 0°C (v1 = 331m/s)à une zone où la température de l'air est de 40°C (v2 = 354 m/s). L'angle d'incidence étant de 20°,l'angle de réfraction est donné par

€

sinα2 = sinα1 ⋅ (v2 /v1) = sin(20°) ⋅ (354 /331) = 0,366 soit

€

α2 = 21,5°. Le changement de direction est donc de 1,5°. On notera que le son est totalementréfléchi sur la couche d'air chaud si l'angle incident dépasse l'angle critique valant ici 69,2°. Eneffet,

€

sinα2 = sinα1 ⋅ (v2 /v1) = sin(69,2°) ⋅ (354 /331) ≅1 donne pour l'angle réfracté

€

α2 = 90° : iln'y a donc pas de rayon réfracté. Ceci explique que le soir, dans les plaines étendues des payschauds, on entend particulièrement bien des sons provenant de sources éloignées, les couchesd'air inférieures s'étant refroidies plus rapidement que les couches élevées (mirage acoustique) etle son étant de ce fait totalement réfléchi par les couches supérieures.

2.6 Interférences et fentes de YoungLorsqu'une onde monochromatique plane (longueur d'onde λ) est incidente sur un cache percé dedeux petites fentes distantes de d (fentes de Young), on considère chaque fente comme étant lasource d'ondelettes qui vont se superposer. La différence de chemin ou décalage entre les deuxondelettes - ou rayons - interférant en un point P d'un écran très éloigné (de sorte que les rayonspuissent être considérés comme parallèles), sera donnée par

€

δ = d sinθ . L’interférence entre lesondelettes conduit à un maximum d’intensité si δ est un nombre entier de longueurs d’onde,c’est-à-dire si

€

δ = d sinθ = m λ . On trouve ainsi les angles θ pour lesquels on a un maximumd’intensité :

€

sinθm = m λd

,

€

m = 0, ±1, ± 2...

C’est en particulier le cas pour θ = 0° (correspondant à m = 0).


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Pour un cache percé de deux fentes, on observera sur l'écran la formation de franges, c'est-à-direde bandes alternativement claires et sombres.

La présence de franges est la signature d'un phénomène ondulatoire. En effet, des petites billesqui frapperaient le cache passeraient ou ne passeraient pas par les fentes. On observerait alors surl'écran deux taches correspondant à l'image géométrique des deux fentes.

Exemple 1 : Un cache comportant 2 fentes séparées de 0,05 mm, éclairé par de la lumière jaune(λ = 580 nm) produit des maxima dans les directions données par

€

sinθm = ±(m ⋅ 580 ⋅10−9) /0,05 ⋅10−3 = ±m ⋅ 0,0116⇒θ0 = 0°; θ1 = ±0,67°; θ2 = ±1,33°; θ3 = ±1,99°...

Exemple 2 : Sur un écran placé à L = 2 m du cache, la séparation entre les franges claires(maxima) est donnée par

€

Δ = L tanθm+1 − L tanθm ≅ L sinθm+1 − L sinθm = L (λ /d) = 23,2 mm. Ona utilisé ici l'approximation

€

tanθ ≅ sinθ car les angles sont petits.

2.7 DiffractionPour expliquer le phénomène de diffraction, c'est-à-dire le comportement d'une onde passant àtravers une ouverture (fente de largeur D ou trou de diamètre D), on utilise le principe deHuygens. Selon ce principe, chaque point du front d’onde qui passe par l’ouverture est considérécomme la source d’une ondelette. En un point P de l’écran, on additionne les amplitudes detoutes les ondelettes en tenant compte de la différence de leur chemin. Pour θ = 0°, on aura unmaximum d’interférences. On peut montrer que le premier minimum se produit pour

€

sinθ1 = ±λD

dans le cas d'une fente et

€

sinθ1 = ±1,22 λD

dans le cas d'une ouverture circulaire.

L'angle

€

θ1 donne l'extension de la tache lumineuse qui apparaît sur l'écran d'observation et quiest produite par l'ouverture dans le cache. Lorsque λ << D (ce qui est en général le cas pour lalumière), l’extension du premier maximum est faible et la lumière donne une image géométriquede l’ouverture. Lorsqu’au contraire la longueur d’onde est comparable à la dimension del’ouverture, le premier minimum apparaît pour un angle proche de 90°. Cela signifie alors quel’onde a complètement contourné l’ouverture.


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Exemple 1 : Une source lumineuse jaune (λ = 580 nm) éclairant un trou de diamètre 0,1 mmproduit une tache d'extension θ1 = ±0,41°, car

€

sinθ1 = ±1,22 ⋅ λ /D = ±1,22 ⋅ 580 ⋅10−9 /0,1⋅10−3 = ±7,08 ⋅10−3 .

Exemple 2 : Une source d'ultrasons de fréquence 44 kHz se propageant dans l'air à 20°C etarrivant sur un trou de diamètre 5 cm, produit une image d'extension angulaire de θ1 = ±11° car

€

sinθ1 = ±1,22 ⋅ λ /D = ±1,22 vf ⋅D

= ±1,22 34244 ⋅103 ⋅ 0,05

= ±0,190

2.8 Ondes stationnaires et résonancesLorsque l'on secoue régulièrement une corde de longueur finie à la fréquence f, une onde sepropage le long de la corde, est réfléchie à son extrémité et revient. Ceci donne lieu àl'interférence de deux ondes de même fréquence et de même amplitude, mais se propageant ensens contraire. Si la fréquence est quelconque, on observe un mouvement global désordonné dela corde. Par contre, pour certaines valeurs particulières de la fréquence f la corde devient lesiège d'une onde stationnaire : l'onde directe, qui se propage dans un sens, et l'onde réfléchie, quise propage dans le sens opposé, s'additionnent pour donner lieu à une figure qui paraîtstationnaire. Observons en effet la superposition de deux ondes de sens opposés pour 4 tempsdifférents :

Ondes se propageant en sens inverse, représentées en différents instants


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et reportons ensuite les résultantes pour les différents temps sur un même graphique :

Résultantes de deux ondes se propageant en sens inverse : on observe la formation de noeuds et de ventres

On remarque qu'en certains endroits la corde est immobile. On appelle ces endroits les nœuds (N)de l'onde stationnaire. En d'autres endroits, la corde se déplace avec une amplitude maximale. Cesont les ventres (V) de l'onde stationnaire.Dans le cas d’une corde tenue aux deux extrémités, les conditions aux limites imposent que laperturbation soit nulle là où la corde est fixée. La longueur totale de la corde correspond donc àun nombre entier de demi longueur d'onde. Les fréquences auxquelles les ondes stationnaires seproduisent sont les fréquences naturelles ou fréquences propres ou encore fréquences derésonance de la corde. Ces fréquences sont déterminées d’une part par la longueur de la corde,d'autre part par son diamètre, la matière dont elle est constituée et par la force avec laquelle elleest tendue. Une situation similaire se produira pour une peau de tambour fixée sur sacirconférence. Un exemple d'utilisation d’ondes stationnaires dans le cas optique est le laser : lalumière est réfléchie entre deux miroirs parallèles dont la distance est ajustée dans l'appareil lui-même de manière à produire une onde lumineuse stationnaire entre les miroirs.

Exemple : Dans les dessins ci-dessus on considère que la longueur de la corde est de 1,2 m et quela vitesse de propagation est de v = 7,7 m/s. L'onde stationnaire représentée a une longueurd'onde λ = 0,4 m, puisque la longueur de la corde correspondant à 6 demi longueurs d'onde. Cecidonne une fréquence propre de f = 19,25 Hz.

D'autres systèmes, tuyaux, plaques, membranes, etc. peuvent être également le siège de tout unensemble d'ondes stationnaires. Le calcul des fréquences de résonance pour le cas des cordes etdes tuyaux sera traité dans le chapitre suivant.


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Exercices

Sauf indication contraire, la température ambiante est de 20°C dans les exercices suivants.

1. Dans une expérience réalisée avec un bac à ondes, on produit une onde périodique sepropageant à la surface de l'eau. La longueur d'onde mesurée est de 2,4 cm pour unefréquence de 18 Hz. (a) Quelle est la vitesse de propagation de la vague sur l'eau ? (b) Quese passerait-il si l'on doublait la hauteur du niveau d'eau ? (c) Ecrire la fonction d'ondedécrivant le comportement de cette onde, sachant que l'amplitude maximale de la vague estde 2 mm. On admet que la perturbation est nulle au temps zéro lorsqu'on se trouve à l'originedes coordonnées (x = 0).

2. La lumière rouge a une longueur d'onde d'environ 650 nm dans le vide. Quelle est lafréquence de cette onde ?

3. Quelle est la longueur d'onde du La 440 Hz dans l'air à 0°C ? Dans l'oxygène à 0°C ?

4. Interférences : effectuer graphiquement la somme des deux sinus représentés dans les figuressuivantes. Commenter le résultat pour les trois cas considérés.

5. Une perturbation est donnée par : y(x,t)=2,5sin(7x+0,8t), distance en mètres, temps enseconde. Quelle est son amplitude ? Que vaut la fréquence de l'onde et sa vitesse depropagation ?

6. Une station radio émet des ondes à la fréquence AM 1600 kHz. Une autre station émet avecla fréquence FM 100,8 MHz. Calculer les longueurs d'onde correspondantes et précisezlaquelle de ces stations est la plus facilement détectable si le récepteur se trouve derrière unecolline (obstacle) ?

7. De la lumière rouge (620 nm dans le vide) traverse une vitre en verre. Que vaut sa longueurd'onde dans la vitre ? Quelle est sa fréquence ?


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8. Des vagues s'approchent d'un rivage avec un angle d'incidence de 30°, à la vitesse de 16 m/s.(a) Calculez le changement de direction qu'elles subissent en arrivant au niveau du rivage sila profondeur de ce dernier est de 3 m. (b) Pourquoi les vagues déferlent-elles toujoursperpendiculairement aux plages ?

9. L'intensité solaire recueillie sur Terre (au-dessus de l'atmosphère) est d'environ 1300 W/m2.Que vaut l'intensité solaire recueillie sur Mars ? Si un panneau solaire de surface0,5 x 0,5 m2 est suffisant sur Terre pour alimenter un robot fonctionnant à l'énergie solaire,quelles devront être ses dimensions sur Mars ?

10. Deux sources distantes de 3 cm produisent des ultrasons (en phase) de fréquence f = 40 kHz.(a) Calculer les directions pour lesquels on a des maxima d'interférence. (b) Si le détecteurd'ultrasons est placé à 1,2 m des sources quelle est la distance entre deux maximasuccessifs ? (c) Mêmes questions mais les sources d'ultrasons sont séparées de 5 cm puis de12 cm.

11. On éclaire un cache percé de deux fentes distantes de d = 1 mm avec de la lumière rouge(650 nm). (a) Calculer les angles pour lesquels on obtient les premiers maximad'interférence. (b) Calculer la distance de séparation de deux maxima successifs apparaissantsur un écran placé à 5 m du cache.

12. De la lumière verte (530 nm) traverse une ouverture circulaire de diamètre 0,1 mm.(a) Calculer l'extension de la tache lumineuse sur un écran placé à 80 cm de l'ouverture.(b) Même question pour un diamètre de 1,5 mm.

13. Des sons de fréquence 500 Hz traversent perpendiculairement une ouverture circulaire dediamètre 120 cm. (a) Calculer la direction du premier minimum. (b) Calculer l'extension dela "tache sonore" détectée par un micro placé à 5 mètres de l'ouverture.

14. Une onde stationnaire est formée lorsque deux ondes se propageant en sens contraireinterfèrent. Montrer que l'addition des fonctions d'onde y1=Asin(kx-ωt) et y2=Asin(kx+ωt)donne bien lieu à une onde stationnaire.


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