chapitre 2 le plan incliné

Chapitre 2

Le plan incliné

Lorsqu’un corps glisse le long d’un plan incliné, il n’est pas en chute libre. Ce corpsest contraint de se déplacer le long du plan. Le corps ne chute donc plus verticale-ment, mais il glisse le long de la pente du plan avec une accélération di�érente deg (figure 2.1). Si l’accélération est constante, les équations du mouvement rectiligneuniformément accéléré vues au chapitre 1 s’appliquent toujours. L’essentiel ici seradonc de trouver une façon d’exprimer l’accélération d’un objet sur un plan inclinépour pouvoir éventuellement décrire son mouvement.

Dans ce chapitre nous étudierons le mouvement d’un objet sur un plan incliné,sans frottement et soumis à l’action de plusieurs forces. Ce sera l’occasion de présenterles deux premières lois de Newton relatives au mouvement. Ces lois sont à la base dela mécanique classique.

θ

Figure 2.1 – Direction de la chute sur un plan incliné.

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14 Physique des mécanismes

2.1 Projection de l’accélération

Puisqu’un objet glissant sur un plan in-

θ θ

g

g sinθ

Figure 2.2 – Projection de l’accélération sur

le plan incliné.

cliné ne peut accélérer verticalement, sonaccélération sera plus petite que g. S’iln’y a pas de frottement, son accélérationsera égale à la composante de g le longdu plan (figure 2.2.)

L’angle du plan sera toujours donnépar rapport à l’horizontale, ce qui nouspermet grâce à la géométrie de trouverl’expression de l’accélération

a = g sin ◊. (2.1)

2.2 Les deux premières lois de Newton

La figure 2.3 présente un extrait des Philosophiae Naturalis Principia Mathematica deNewton 1 où il présente ses trois lois du mouvement. Les deux premières lois peuventse résumer ainsi :

Première loi ; si aucune force résultante ne s’exerce sur un corps, la vitessede ce corps ne peut pas varier. Son accélération est nulle.

Seconde loi ; la force résultante exercée sur un corps est égale au produit dela masse de ce corps et de son accélération.

˛

F

resultante

= ma (2.2)

1. Publié pour la première fois à Londres en 1687, ce livre est considéré comme l’un des plusimportant de l’histoire. Il a été traduit pour la première fois en français par Émilie du Châtelet etpublié par Voltaire en 1756, sous le titre Principes mathématiques de philosophie naturelle.

Chapitre 2. Le plan incliné 15

Figure 2.3 – Extrait des Principia de Newton (1643–1727) traduit par Mme du

Châtelet (source Bibliothèque Nationale de France).


2.3 L’application de la deuxième loi de Newton

Un exemple simple d’application de la deuxième loi de Newton est présenté à la figure2.4 où l’on doit trouver l’accélération des deux masses M et m. On suppose que lacorde reliant les deux masses est elle-même sans masse et qu’elle ne s’étire pas. Parconséquent, la grandeur de l’accélération de M doit être égale à celle de m

a

M

= a

m

= a. (2.3)

De plus selon la formulation de la deuxième loi, il faut considérer la force résul-tante sur chacune des masses. Pour M il n’y a que la tension T dans la corde

F

M

= T = Ma. (2.4)

Quant à m, deux forces agissent sur elle, la gravité et la tension dans la corde.Puisque ces deux forces sont en direction opposée, elles se soustraient. La résultantedes forces sur m est donc

F

m

= mg ≠ T = ma. (2.5)

La tension est partout la même dans la corde. On peut donc isoler T dans l’équa-tion (2.5) et remplacer l’expression ainsi obtenue dans l’équation (2.4) pour trouverla valeur de a

mg ≠ ma = Ma

Ma + ma = mg

a(M + m) = mg

a = m

M + m

g. (2.6)

Puisque la force est le produit de la masse et de l’accélération, l’unité de la forceest le kg·m/s2 qu’on définit comme étant le Newton (N)

1 kg·m/s2 = 1 N. (2.7)


M

m

T

T

mg

Figure 2.4 – Un bloc sur une surface lisse est tiré par un deuxième bloc suspendu.


Exemple 2.1

La figure 2.5 présente un exemple d’application de la deuxième loi faisant intervenir unplan incliné. Quelle sera l’accélération de chacune des masses M = 5 kg et m = 3 kgsi le plan est incliné de 30¶ ?

Solution

On considère toujours que la corde reliant les masses est sans masse et qu’elle ne peuts’étirer. Les deux masses ont par conséquent la même accélération.

Deux forces agissent sur la masse M , la tension dans la corde et la gravité.Cependant, on doit seulement considérer la composante de la gravité qui agit selonla pente du plan et qui est opposée à la tension. Nous avons vu à la section 2.1 quel’accélération selon la pente du plan est a = g sin ◊ par conséquent la composante dela force gravitationnelle selon le plan sera F

g,plan

= Mg sin ◊. L’équation de la forcerésultante pour M est donc

F

M

= T ≠ Mg sin ◊ = Ma. (2.8)

La force résultante sur la masse m est la même que celle de l’équation (2.5)

F

m

= mg ≠ T = ma. (2.9)

En isolant T dans l’équation (2.9) et en remplaçant le résultat dans l’équation (2.8)on obtient


θ θ

Mg

Mg sinθ m

T

mg

T

x

y

Figure 2.5 – Un bloc sur un plan incliné est tiré par un deuxième bloc suspendu.


2.4 Étapes pour la résolution de problèmes

Lorsqu’on doit résoudre un système de masses assujetties à des forces afin de carac-tériser leur mouvement, il faut procéder par étapes.

La méthode générale de résolution est en trois étapes :

1. Tracer le diagramme des forces pour chacune des masses du système.

m F1

θ

F2 F3

F4

F5

F6

Figure 2.6 – Diagramme de forces fictif pour une masse m.

2. Décomposer les forces selon deux axes perpendiculaires (voir Annexe A) etécrire la seconde loi de Newton selon chacun de ces axes.

3. Résoudre le système d’équations et d’inconnues correspondant. Les membresde droite donnent les accélérations résultantes a

x

et a

y

.

F

x

= F1 + F2 cos ◊ ≠ F4 ≠ F5 = ma

x

(2.10)

F

y

= F2 sin ◊ + F3 ≠ F6 = ma

y

. (2.11)

Ici comme les forces sont dans un même plan, elles peuvent se décomposer selonles axes x et y. Ce qui donne un système de deux équations pour chaque masse. Si lesforces étaient distribuées dans l’espace en trois dimensions, on obtiendrait un systèmede trois équations (soit en x, y et z) pour chacune des masses.


2.5 Exercices

2.1 Soit un bloc qui glisse sur une surface lisse ayant une inclinaison ◊ = 15¶. Si lebloc est immobile au départ au sommet du plan incliné et que ce plan fait 2 mde longueur, déterminez

(a) l’accélération du bloc, et

(b) sa vitesse lorsqu’il atteint la base du plan incliné.

2.2 On imprime à un bloc une vitesse initiale de 5 m/s en direction du sommetd’une pente lisse de 20¶. Quelle distance le bloc parcourra-t-il vers le sommetavant de s’immobiliser ?

2.3 La figure ci-contre illustre une corde qui maintientun bloc de masse M = 15 kg immobile sur un planincliné selon un angle de 30¶ par rapport à l’hori-zontale. Quel est est la grandeur de la tension dansla corde sachant que la masse de celle-ci ainsi quele frottement entre le bloc et le plan sont négli-geables ?

30°

2.4 Un ouvrier pousse un diable de 100 kg àvitesse constante le long d’un plan inclinéede 10¶ par rapport à l’horizontale. Quelleest la grandeur de la force que l’ouvrier im-prime au diable si l’ouvrier pousse celui-ciselon l’horizontale ?

10°

F


2.5 Une masse de 2 kg se trouve sur un plan incliné à un angle de 30¶. Elle estreliée à une masse de 5 kg posée sur une surface horizontale. Les deux massesglissent sans frottement. La poulie est de masse négligeable et fonctionne sansfrottement. On pousse sur la boîte à l’horizontale avec une force de 3 N. Quelleest alors la tension dans la corde qui unit les deux boîtes.

5 kg

30°

F

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