Chapitre 5(≈ 4heures)

Analyse dimensionnelleet similitude

22

Plan du chapitre 5Plan du chapitre 5

� Introduction et définitions� Analyse dimensionnelle des équations de bilan:

- Forme adimensionnelle des équationsde continuité et de Navier-Stokes .

- Critères de similitude.

3. Théorème de Buckingham (Théorème de Π).

4. Exemples d’application.

33

Critères de similitudeCritères de similitude

D

L

Maquette (M)Prototype

DM

LM

� Similitude géométrique: (similitude des formes)

GMM

LL

DD κ== (1)

Constante de proportionnalitégéométrique

44

� Similitudes cinématique et dynamique:

La similarité cinématique et dynamique sont les deux autres conditions à respecter avant de considérer que les deux écoulements soient similaires. Les paramètres cinématiques et dynamiques doivent avoir une certaine relation.

Comme dans le cas de la similitude géométrique (rapports de longueurs), on devra avoir une relation pour la force (F), la masse (m) et le temps (t).

tt

mm

FF

tM

mM

FM

κ=κ=

κ=(2)

- Force:

- Masse:

- Temps:

κF, κm et κt sont respectivement les constantes de proportionnalité des forces, des masses et des temps.

55

(3)

pp

aa

VV

2G

FM

3G

mM

2t

GM

t

GM

κκ=

ρκκ=ρ

κκ=

κκ=- Vitesse:

- Accélération:

- Masse volumique:

- Pression:

À partir de ces expressions, on pourra obtenir tous les rapports d’échelle maquette/prototype pour n’importe quel paramètre cinématique ou dynamique et les propriétés des fluides:

66

( ) ���

����

�

κκκ=κ amF 2

t

GmF

La loi de Newton s’applique, qu’on travaille sur le prototype ou sur la maquette:

maF = MMM amF =et (4)

En remplaçant FM, mM et aM, des équations 2 et 3, on obtient:

On divise ensuite par F le membre de gauche et par (ma) le membre de droite (puisque F = ma) :

(5)

(6)2t

GmF κ

κκ=κF

2t

Gm1κκκκ=ou�

77

Réarrangement de l’équation (6):

F3G

2t

4Gm1κκκ

κκ=Multiplions et divisons l’équation (6) par κG3:�

��

���

�

κκ

���

����

�

κκ

���

����

�

κκ=

F

2G

2t

2G

3G

m1Séparation des termes: �

( )( )( )FF

LLVV1

M

22M

22MM ρρ=

κF

κG2

prototype22

Maquette22 LV

FLV

Fρ

=ρ (7)�

88

L’équation (7) donne la condition pour avoir une similaritédynamique entre le modèle et la maquette. Le paramètre adimensionnel (F/ρV2L2) doit être le même à des positions sur le prototype et sur la maquette géométriquement similaires.

a) Cas où les forces de gravité sont importantes:La force de gravité F = mg est proportionnelle à ρL3g. Si on remplace dans l’équation (7), on aura:

prototype22

3

Maquette22

3

LVgL

LVgL

ρρ=

ρρ

prototype

2

Maquette

2

gLV

gLV = Nombre de Froude (Fr) (8)

En inversant et après simplification, on obtient:

99

b) Cas où les forces de pression sont importantes:La force de pression est F = ∆pL2. Si on remplace dans l’équation (7) on aura:

prototype22

2

Maquette22

2

LVpL

LVpL

ρ∆=

ρ∆

Donc, pour des problèmes où les forces de gravité sont importantes, le nombre de Froude doit être le même à des positions géométriquement similaires sur le prototype et sur la maquettes.

prototype2

21

Maquette2

21 V

pVp

ρ∆=

ρ∆

Nombre d’Euler (Eu) (9)

En inversant et après simplification, on obtient:

1010

Donc, pour des problèmes où les forces de pression sont importantes, le nombre d’Euler doit être le même à des positions géométriquement similaires sur le prototype et sur la maquette.

1111

c) Cas où les forces de viscosité sont importantes:

Pour des fluides Newtoniens: τ = -µ(dV/dy).

La force de cisaillement est donnée par l’expression suivante:

222 LyV

LdydV

LF∆∆µ−=µ−=τ=

Donc F est proportionnelle à µVL.

En remplaçant F par µVL dans l’équation (7), on aura:

prototype22

Maquette22 LV

VLLV

VLρµ=

ρµ

1212

En inversant et après simplification on obtient:

prototypeMaquette

VLVLµ

ρ=µ

ρ

Nombre de Reynolds (Re)

(10)

Donc, pour des problèmes où les forces visqueuses sont importantes, le nombre de Reynolds doit être le même àdes positions géométriquement similaires sur le prototype et sur la maquette.

1313

Plan du chapitre 5Plan du chapitre 5

1. Introduction et définitions2. Analyse dimensionnelle des équations de bilan:

- Forme adimensionnelle des équationsde continuité et de Navier-Stokes .

- Critères de similitude.

3. Théorème de Buckingham (Théorème de Π).

4. Exemples d’application.

1414

Notion de dimensionNotion de dimension� Les grandeurs physiques pour les systèmes

isothermes sont exprimées en fonction destrois grandeurs fondamentales:

- La longueur: L- Le temps : t (système: M, L, t )- La masse : M

� On peut aussi choisir la force, F, à la placede la masse,M, comme grandeur fondamentale

- La longueur: L- Le temps : t (système: F, L, t )- La force : F

1515

1616

Selon le théorème de Buckingham (ou théorème π), dans un problème comprenant n grandeurs physiques où il y a m dimensions fondamentales, on peut réécrire ces grandeurs physiques en (n-m) paramètres adimensionnelsindépendants.

Théorème de Buckingham (Théorème ππππ)

Théorème de Buckingham (Théorème ππππ)

mni −=n: Nombre de grandeurs

physiques

m: Nombre de dimensionsfondamentales

i: Nombre de groupes adimensionnels nécessaires

1717

Soient Α1, Α2, Α3,..., Αn les différentes grandeurs physiques: comme la vitesse, la pression, la viscosité, etc. Entre toutes ces quantités, il y a une relation de la forme:

Si Π1, Π2, Π3, ..., représentent les quantités adimensionnelles parmi les quantités physiques Α1, Α2, Α3,..., Αn, on peut alors écrire une équation de la forme:

ou

0)A,...,A,A( n21 =φ

0),...,,,(f mn321 =ππππ −

Théorème de Buckingham (suite)Théorème de Buckingham (suite)

0),...,,(f mn321 =πππ=π −

1818

Les étapes de l’analyse dimensionnelleLes étapes de l’analyse dimensionnellePour effectuer une analyse dimensionnelle, on doit considérer les neufétapes suivantes:1. Dresser la liste de toutes les quantités physiques Ai et leur

dimension correspondante. Omettre toute quantité physique qui est une fonction directe d’une ou d’autres quantités physiques.Exemple: Si on a un écoulement dans un cylindre et qu’on a les paramètres Q, D et <V>, on doit omettre le débit volumique, Q, ou la vitesse moyenne, <V>, car Q = π<V>D2/4

2. Écrire la fonction

3. Choisir les variables répétitives. Ces variables doivent contenir toutes les m dimensions du problème. Souvent, on retient une variable parce qu’elle déterminne l’échelle, une autre, parce qu’elle détermine les conditions cinématiques; il faut une variable liée avec la masse ou les forces du système.Exemple: on peut retenir D, V et ρ comme variables fondamentales.

0)A,...,A,A( n21 =φ

1919

Les étapes de l’analyse dimensionnelleLes étapes de l’analyse dimensionnelle

4. Écrire les paramètres π en fonction des exposants inconnus:

S’assurer que toutes les quantités Ai sont incluses dans lesgroupes πi.

5. Écrire les équations des paramètres π pour les exposants; on doit obtenir une somme algébrique nulle pour chaque dimension.

6. Résoudre les équations simultanément.

7. Remplacer les exposants trouvés (x1, y1, z1,...) dans les expressions de π (étape 4) pour obtenir les paramètres π sans dimension.

( ) ( ) ( ) 00011z3yx1zyx1 tLMtMLMLLLtDV 111111 ==µρ=π −−−−

2020

Les étapes de l’analyse dimensionnelleLes étapes de l’analyse dimensionnelle

8. Déterminer la fonction:

ou résoudre une valeur explicite de:

S’assurer que tous les paramètres πi sont indépendants les uns desautres.

9. Mettre les résultats sous la forme de nombres sans dimension connus (Re, Fr, Eu, etc.).

0),...,,,(f mn321 =ππππ −

),...,,(f mn321 −πππ=π

2121

Plan du chapitre 5Plan du chapitre 5

1. Introduction et définitions2. Analyse dimensionnelle des équations de bilan:

- Forme adimensionnelle des équationsde continuité et de Navier-Stokes .

- Critères de similitude.

3. Théorème de Buckingham (Théorème de Π).

4. Exemples d’application.

2222

Écoulement dans une conduite cylindrique rugueuse

Écoulement dans une conduite cylindrique rugueuse

Grandeurs:

Géométriques : D, e, L

Physiques : ρ, µ

Cinématiques et dynamiques: V, ∆p

D

L1 1p gzρ+

2 2p gzρ+

ρ , µe (rugosité)

2323

L’expérience montre que pour l’écoulement dans une conduite:

où:( )e,,,Vou,Q,DfLP µρ�=∆

�P/L: Perte de charge par unité de longueurD : Diamètre de la conduite<V> : Vitesse moyenne (ou Q: Débit volumique)ρ et µ : Masse volumique et viscosité dynamique.e : Rugosité moyenne de la conduite

Question:En utilisant le théorème π, on vous demande de proposer une forme pour présenter les résultats expérimentaux en fonction de paramètres adimensionnels.

2424

Inventaire des variables:Inventaire des variables:

LeRugosité

ML-1t-1µViscosité

Masse volumique

Longueur

Diamètre

Vitesse

Perte de charge

Variable

ML-3ρ

LL

LD

Lt-1<V>

ML-1t-2∆P

Dimensions(MLt)

Symbole

2525

On a 7 quantités avec trois dimensions (MLt). On trouve donc (7 – 3 = 4) paramètres π, soient:

Si on prend <V>, D et ρ comme variables qui se répètent (car les trois contiennent les dimensions fondamentales MLt).

Π1, Π2, Π3 et Π4

Les nombres Π qu’on peut former sont les suivants:

�

�

=µρ>=<π

=ρ>=<π

=ρ>=<π

=∆ρ>=<π

000zyx4

000zyx3

000zyx2

000zyx1

tLMDV

tLMeDV

tLMLDV

tLMPDV

444

333

222

111

2626

Les nombres Π qu’on peut former sont les suivants:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

�

�

==π

==π

==π

==π

−−−−

−−

−−

−−−−

00011z3yx14

000z3yx13

000z3yx12

00021z3yx11

tLMtMLMLLLt

tLMLMLLLt

tLMLMLLLt

tLMtMLMLLLt

444

333

222

111

2727

( ) ( ) ( ) 0002x1z3yx1z1 tLMtLM 11111 ==π −−−−++

�.

( ) ( ) ( ) 000x1z3yxz2 tLMtLM 22222 ==π −+−+

�.

�

�

=−−=−−+=+

02x

01z3yx

01z

1

111

1

�

�

−==−=

2x

0y

1z

1

1

1

21 vp�ρ

∆=π� �

�

�

=−=+−+=

0x

01z3yx

0z

2

222

2

�

�

=−=

=

0x

1y

0z

2

2

2

DL

2 =π� �

2828

( ) ( ) ( ) 000x1z3yxz3 tLMtLM 33333 ==π −+−+

�.

�.

�

�

=−=+−+=

0x

01z3yx

0z

3

333

3

�

�

=−=

=

0x

1y

0z

3

3

3

De

3 =π��

( ) ( ) ( ) 0001x1z3yx1z4 tLMtLM 44444 ==π −−−−++

� ��

�

=−−=−−+=+

01x

01z3yx

01z

4

444

4

�

�

−=−=−=

1x

1y

1z

4

4

4

Re1

DV4 =�ρ

µ=π

2929

Relation finale:Relation finale: ( )4321 ,,f πππ=π

���

���=

�ρ∆

Re1

,De

,DL

fVP

2�

3030

Vidange d’un réservoir via une conduite cylindrique verticaleVidange d’un réservoir via une conduite cylindrique verticale

Q

d

LH

ρ, µ

Le liquide s’écoule d’un réservoir àun débit volumique Q. Ce débit dépend du niveau du liquide, h, du diamètre, d, et de la longueur, L, de la conduite, ainsi que de l’accélération gravitationnelle, g.On vous demande de trouver une relation entre le débit Q et les autres paramètres adimensionnels.

(Résolution en classe)

3131

Inventaire des variables:Inventaire des variables:

gAccélération_pesanteur

µViscosité

Masse volumique

Longueur_conduite

Diamètre_conduite

Niveau du liquide

Débit volumique

Variable

ρ

L

d

H

Q

Dimensions(MLt)

Symbole

3232

Écoulement à travers un filtreÉcoulement à travers un filtre

Soit un écoulement laminaire visqueux d’un liquide à travers un filtre dont chaque maille a la forme d’un triangle équilatéral de côtés s (voir figure). On vous demande de déterminer, par une analyse dimensionnelle, la forme de l’équation du débit volumique d’un liquide de viscosité dynamique µ qui passe par ce filtre contenant n mailles par unité de surface. On considère qu’il y a une chute de pression par unité de longueur du filtre égale à ∆p/L.

D

s

(Résolution en classe)

3333

Inventaire des variables:Inventaire des variables:

n(πD2/4)Nbre_total_mailles

µViscosité

Côtés_mailles

Perte de charge

Diamètre_filtre

Débit volumique

Variable

s

∆p/L

D

Q

Dimensions(MLt)

Symbole