chapitre 10 puissances à exposants entiers2015-isj
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DEBRE-NIV-SAUMA-VIL-VONCE Ch.10 page 1
Chapitre X : Puissances à exposants entiers
Au terme de ce chapitre, l’élève sera capable de :
!! Transformer une puissance à exposant négatifs en puissance à exposant
positif
!! Effectuer des calculs comportant des puissances à exposants entiers
!! Enoncer les propriétés des puissances à exposant négatif
!! Transformer des nombres sous la forme d’une puissance de 10
!! Transformer des nombres sous la forme d’une notation scientifique
DEBRE-NIV-SAUMA-VIL-VONCE Ch.10 page 2
1! Les puissances à exposants positifs
Connecte-toi sur le site de mathinverses et regarde la vidéo présente dans l’onglet puissances à exposants entiers -> propriétés des puissances à exposants positifs
Si tu veux t'exercer sur feuille de papier, n'hésite pas, prends tes instruments de construction et refais les mêmes exercices que ceux présentés dans le film. Ensuite, réalise le quizz L3. 1.1! Exemples
2²= (-2)²= - 2²=
2³= (-2)³= - 2³=
2 1 = 2 0 = (½)²=
Cas particuliers
a 1 = .....
a 0 = .....
1 n = .....
L’expression a n est une ……………………………… dont a est la …………………
et n est …………………………………
1.2! Règle des signes des puissances
!! Toute puissance d’un nombre positif est un nombre ……………………………
!! Toute puissance paire d’un nombre négatif est un nombre ……………………………
!! Toute puissance impaire d’un nombre négatif est un nombre …………………………
En résumé : une puissance est un nombre négatif dans le seul cas où la base est
…………………………… et l’exposant …………………………… .
Remarque :
Attention, les puissances sont prioritaires par rapport aux multiplications ! ! ! (PEMDAS)
DEBRE-NIV-SAUMA-VIL-VONCE Ch.10 page 3
1.3! Exercices
1)! 5²=
2)! (- 5)²=
3)! 0,2³=
4)! (- 0,001)³=
5) =⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
2
23
6)! 7 1 =
7)! 2 + 3 . 7 + 4²=
8)! (- 3)² - (5 + 2) =
9)! 3² + 4 . (- 2)³ - 21 =
10) ( )
=+−++⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛− 3
272
2421
21
2! Les puissances à exposants négatifs
Connecte-toi sur le site de mathinverses et regarde la vidéo présente dans l’onglet puissances à exposants entiers -> propriétés des puissances à exposants négatifs Si tu veux t'exercer sur feuille de papier, n'hésite pas, refais les mêmes
exercices que ceux présentés dans le film. Ensuite, réalise le quizz L3.
2.1! Exemples
2-3 = l’inverse de 2³ = …………………
a-2 = l’inverse de a² = …………………
a-n = ……………………………………………
= …………………
2.2! Exercices
1)! =−13
2)! =−23
3)! ( ) =− −25
4)! ( ) =−− −23
5) =−2c
6)! ( ) =− −5a
7) =− −6a
7)! =+ −− 23 2.42.5
8)! ( ) =− −153
9)! ( ) =− −383.2
10)! =−254
11)! =−331
12)!( )( )
=−
+−−
−
42
32
35.84.53
DEBRE-NIV-SAUMA-VIL-VONCE Ch.10 page 4
3! Propriétés des puissances
3.1! Produit de puissances de même base
Pour multiplier des puissances de même base, on conserve la base et on additionne les exposants.
Si a ∈ R et si p et q ∈ Z : a p . a q = a p + q
3.2! Puissance d’une puissance
Pour élever une puissance à une autre puissance, on conserve la base et on multiplie les exposants.
Si a ∈ R et si p et q ∈ Z : (a p) q = a p . q
3.3! Puissance d’un produit
Pour élever un produit de facteurs à une puissance, on élève chaque facteur à cette puissance.
Si a et b ∈ R et si p ∈ Z : (a . b) p = a p . b p
3.4! Puissance d’une fraction
Pour élever une fraction à une puissance, on élève chaque terme à cette puissance.
Si a ∈ R, b ∈ R0 et si p ∈ Z : p
pp
ba
ba =⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
3.5! Fraction de puissances
Lorsqu’une fraction est composée d’un numérateur et d’un dénominateur de même base et d’exposants différents, on conserve la base et on soustrait les exposants (exposant du numérateur diminué de l’exposant du dénominateur).
Si a ∈ R0 et si p et q ∈ Z : qpq
p
aaa −=
DEBRE-NIV-SAUMA-VIL-VONCE Ch.10 page 5
4! Exercices
4.1! Applique les propriétés des puissances pour réduire les expressions suivantes.
a³ . a²= (x³)²= (- b 4)³=
(a 4)²= 5x . 2x = 3x³y . 2xy²=
(a . b) 5 = 4a² - (- a 5) = (3a²b) 4 =
(2a)³= (5ac)²= (- a³)²=
a . a²= (-b 5)³= (- 2a²b) 5 =
(-2a³)² . (- 3a²)³= =⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
2
ba =3
5
aa
(-2a²b)³ . (5a6b)²= =⎟⎠⎞⎜
⎝⎛−
35ca =8
2
xx
6xy² . (3x²y)²= =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −3
54yx =4
4
yy
(x4)² . (- x 5)²= =⎟⎠⎞⎜
⎝⎛−
2
34a =4
5
bb
(- x³)² . (- x)³ . (- x) = =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛3
3
2
yx =3
6
zz
4.2! Ecris les expressions suivantes avec des exposants positifs.
a –5 = 3 . a . b –5 = =−
−
4
5
ba
a³ . b –7 = - 2a –3b²= =−432ab
a –2 . b –5 = =−3
1b
=−−42
3ba
a . b² . c –3 = =−8
1a
=−
−
2
14
63cba
5! . a². b –3 = =−2
3
ba
=
−−
−
−
32
1
58cba
DEBRE-NIV-SAUMA-VIL-VONCE Ch.10 page 6
4.3 Choisis la bonne réponse.
4.4 Réduis les expressions ci-dessous. Ta réponse ne doit plus comporter aucun exposant négatif.
1.! -4a³.(-3a4) =
2.! (-3ab)³ =
3.! (-2a³b)³.(-3a²b)² =
4.! a-3.a5 =
5.! a-8.a-2 =
6.! (2a-3b²)³ =
7.! (a-5)² =
8.!=−2
²aa
9.!=
−
2
3
aa
18.! =−−
34
3
)310(cab
19.! =− −−
14
3
)52(xx
20.! =−
−
2
2
³2³6
baba
21.!=
− −−
−
23
55
)3(5abba
22.!=−
−−−
2
523 )2(abba
23.! =−
53
)²
(ba
24.! =−−
−−
−−3
423
512
)2
(yxzyx
DEBRE-NIV-SAUMA-VIL-VONCE Ch.10 page 7
10.!=−
−
2
5
aa
11.!=−
−
1
54.aaa
12.!=
−
6
6
aa
13.!=
−
3
2
aa
14.!a-2.b³ = 15.!a.b-2 =
16.! =−
33
)²5
2(ba
17.!=−
−3
35
)²
(bba
25.! =−− −
−−
−2
321
332
)32(
cbba
26.!=− −
−−
−2
232
43
)3(
xyyx
27.! =−
−−
−3
74
53
)3
(baba
28.! =−−
−−
−−
232
54
)2()²3(
bacba
29.! =− −−− 324 )³31.()
23(
xx
30.! =− −−−− 2134 ³)2).(23( baba
31.! =− −−
−−
32
342
)³3
1.()32(
xx
5! Notation scientifique
Connecte-toi sur le site de mathinverses et regarde la vidéo présente dans l’onglet puissances à exposants entiers -> Notation scientifique Si tu veux t'exercer sur feuille de papier, n'hésite pas, prends tes instruments de construction et refais les mêmes exercices que ceux
présentés dans le film. Ensuite, réalise le quizz L2.
5.1! En observant l’évolution des exposants, écris chaque nombre sous forme d’une puissance de 10.
10 000 1 000 100 10 1 0,1 0,01 0,001 0,0001
………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… …………
5.2! Écris les expressions suivantes de plusieurs manières.
10 –3 = 1 centième =
10 –8 = 1 millionième =
10 –5 = 1 milliardième =
DEBRE-NIV-SAUMA-VIL-VONCE Ch.10 page 8
Qui ne connait pas le célèbre cube de monsieur Rubik ? Par contre, ce qui est moins connu, c’est le nombre de configurations que l’on peut obtenir en faisant subir des rotations aux différentes faces.
Ce nombre astronomique est 43 252 003 274 489 856 000.
Cette écriture est illisible et difficile à retenir. Pourquoi ne pas noter une approximation intéressante de ce nombre :
43!52 003 274 489 856 000 = 43 . 10 18
DEBRE-NIV-SAUMA-VIL-VONCE Ch.10 page 9
5.3 Classe par ordre croissant.
5.4 Ecris les nombres suivants en notation scientifique.
1)! 567 000 =
2)! 12 300 =
3)! 0,00002 =
4)! 0,0000458 =
5)! 120 000 000 000 =
6)! 5 784 984 000 =
7)! 3,45 =
8)! 34 =
9)! 0,0000000009 =
10)!10 000 000 000 000 000 =
11)!134,983 =
12)!0,69843 =.
5.6 Complète les pointillés.
1)! 0,0009 . 10….. = 9
2)! 0,4.10 ….. = 40
3)! 0,7 . 10 …. = 0,0007
4)! 2,4 . 10 …. = 240 000
5)! 0,567 . 10…. = 5,67
6)! ………..…. . 105 = 17 635
7)! ………..…. . 104 = 28370
8)! ……….….. . 102 = 512
9)! ……..……. . 10-3 = 89,9
10)!…………... . 10-2 = 0,69
11)!65 = 0,065 . …………………
12)!347 = 3,47 . ………………….
13)!2 =0,0002 . ……………...………...
14)!2,1 = 0,0021 . …………………….
15)!6,54 = 0,0654 . ……………………
16)!0,352 =. 3,52 …………………….
17)!0,007001 =. 7,0001 …………….
5.7 Calcule et veille à ce que ta réponse soit en notation scientifique.
1)! 0,00002 . 0,0004 =
2)! 0,0003 . 230000 =
3)! 1500 . 0,004 =
4)! (0,0005)³ =
5)! (0,002)² =
6)! (-5000)² =
7)! 70000. (-0,002) = ……………….….
8)! 0,000012 . 30 = ………………………
9)! 0,005 . 300 . 0,0004 = ……………..
10)!3. 10² . 4 . 10-7 = ……………………
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Les scientifiques se sont mis d’accord sur une écriture commune pour écrire les grands et les petits nombres :
Un nombre en notations scientifique s’écrit sous la forme d’un produit du type : a . 10 n dans lequel a est un nombre décimal
tel que 1 ≤ a < 10 et n est un entier.
Exemple : l’écriture scientifique de 2930,6 est 2,9306 . 10³.
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6.!Exercices complémentaires
1)! Calcule après avoir rendu les exposants positifs.
=− 2)7( =−35 =− −5)3( =25 =−25 =− 25
=−243 =−
−
2
3
52 =−
−
1
2
25
=−2
3
55 =
−
2
5
22 =3
4
22
2)! Réduis les expressions suivantes en n’utilisant que des exposants positifs.
=−52 .aa =−
−
2
3
45aa =−5)2( a
=−27 .aa =−32 )(a =−− 23 )5( a
=2
7
aa =−− 42 )(d =− −− 41)2( ab
=−
−
3
5
aa =−− 24 )(a =⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
−3
ba
=−
−
3
3
aa =−2)(ab =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−− 32
ab
=32 .xx =− 44 .bb =23 3.2 bb =−− 32 .xx =−− 44 .bb =−− )3.(2 23 bb =−25 .aa =− − ).( 44 bb =−− 213 )5( ba =− −25 .aa =xx 3.2 =− −− 32 )5( a
=44 .bb =− )2.(3 xx =−4
53bab
=−− 3254 . baba =− − cbaabc
21
3
32
=− −− 25 )2( a =− −− 123 )4( ba
=− 512
4
23
cbaabc =− −22 )3.()5( aa
=−− 232 )( ba =⎟⎠⎞⎜
⎝⎛⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
− 22
.ab
ba
=−− 133 )( ba =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−
− 2
2
1
3bba
DEBRE-NIV-SAUMA-VIL-VONCE Ch.10 page 12
3)! Ecris les expressions suivantes sous forme d’un produit de puissances de nombres premiers.
=125.52 =−1643 =12.16 =−32.32 =32 5.10 =− 32.2 7
=2732 =2
3
315 =
12133.552
4)! Réduis les fractions suivantes en n’utilisant que des exposants positifs dans les réponses finales. Attention, dans un exercice, plusieurs propriétés des puissances sont à appliquer.
=2
−−
)()(54
243
baba =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
−
−−
− 2
425
532
1 cbcba
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
−−
− 3
432
32
2 yxyx =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
−
−−
− 2
321
332
32
cbba
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−
−
− 2
334
135
cabcba =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−−−− 2
4
353
4
5 3.abc
cba
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−−−− 3
52
412
54
23
32.
23
yxz
zyyx =
−−−
−−
−−−−−
325
2374352
)3()2].()3[(
bababa
=−−
−−
−−
232
524
)2()3(
bacba =−
−−−
−−−−
331233
3123231
).()2()2.()3(
yxyxyxxy
=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ − −−−− 23134 )2.(23 baba =−−−−−−
−−−−−−
3213131
3222123
).()3()3.()5(
yxyxyxyx
5)! Ecris les expressions suivantes en utilisant le produit d’un entier (le plus petit possible) par une puissance de 10. Ecris aussi la réponse en utilisant la notation scientifique.
=032000,0 ( ) =24000,0 =00010.2,3 =3002,0 ( ) =− 4300 =000400.4,2 =0001012 ( ) =− 502,0 =0005.000102
=300.12000,0 =02,0.003,0 =− 2007,0 =451.001000,0 =6000,0.000700 ( ) ( ) =− 23 003,0.2,0 =5000,0.002,0 =150.8000,0 ( ) ( ) =− 34 4,0.001,0