chapitre 1 v1

RDM

Mécanique des Milieux Continus Unidimensionnels

(MMC1D)

Ecole Nationale d’Ingénieurs de Tunis

Département de Génie Mécanique

Makrem ARFAOUI

RDM = Résistance des matériaux objectif Concept de dimensionnement

RDM

Contexte

Bride à évolution et serrage rapides

Contexte

Contexte

• Structures : barres, poutres, plaques, coques, pièces volumique, ...

• Étude

– de la résistance,

– de la rigidité,

– des instabilités.

Problématiques

Accident d’avion, Los Angeles, le 02 juin 2006

Eclatement de disque de turbine

Problématiques Résistance

nanomachine / déformation de nanotubes de carbone

Nano-mécanique

Problématiques Rigidité

Casa Grande Ruins, Hohokam village, Arizona, USA, 12ème siècle

Problématiques Instabilité

• Structures : barres, poutres, plaques, coques, pièces volumiques, ...

• Étude

– de la résistance,

– de la rigidité,

– des instabilités.

• Deux aspects

– la vérification,

– le dimensionnement.

Problématiques & Objectifs Généraux

• étant donné une pièce dont les dimensions sont fixées, quel est le degré de sécurité structurale ?

– quelles sont les actions ?

– quelles sont les caractéristiques matérielles ?

Vérification des structures

• étant donné un degré de sécurité exigé, quelles sont les dimensions optimales à donner à une pièce ?

– avant-projet

– vérification

– itération

• c’est une démarche de conception

Dimensionnement des structures

Problématiques & Objectifs Généraux

Méthodes Existantes

On connait au moins deux théories mécaniques des solides !

• La mécanique des solides rigides (MSR) (en prépa ?)

-Étude du mouvement de solide rigide

-Étude des actions extérieures d’une façon globale via leurs torseurs résultants

• La mécanique des milieux continus tridimensionnels classique (MMC3D)

-Étude des déformations et des contraintes à l’échelle locale pour un comportement élastique linéaire homogène isotrope

-Étude de quelques problèmes simples : sphère, cylindre, …

Pour un même solide réel, on pourra être amené à choisir l’une ou l’autre suivant le

but poursuivi.

Méthodes Existantes

On connait au moins deux théories mécaniques des solides !

• La mécanique des solides rigides (MSR) (en prépa ?)

-Étude du mouvement de solide rigide

-Étude des actions extérieures d’une façon globale via leurs torseurs résultants

impossibilité de caractériser les actions internes et les déformations

• La mécanique des milieux continus tridimensionnels classique (MMC3D)

-Étude des déformations et des contraintes à l’échelle locale pour un comportement élastique linéaire homogène isotrope

-Étude de quelques problèmes simples : sphère, cylindre, …

Impossibilité d’étudier des pièces réelles complexes analytiquement : équations aux dérivées partielles à trois variables

Développement de méthodes numériques résolvant le problème : ces outils numériques sont généralement destinés à la vérification et non la démarche conceptuelle et nécessitent des compétences spécifiques.

Une Nouvelle Méthode

On peut souhaiter faire d’autres choix encore en diminuant le nombre de variables !?!

Mécanique des solides ayant une longueur caractéristique beaucoup plus grande que les deux autres (solides élancés) : on se ramène à des équations différentielles à une variable

Moteur hydraulique Poclain

Arbre en modélisation géométrique 3D Arbre en modélisation géométrique 1D

Méthodologie

Objectifs du Cours

1. Construire une mécanique des milieux continus unidimensionnels MMC1D en suivantla même démarche que celle des milieux continus tridimensionnels MMC3D.2. Introduire quelques aspects technologiques dans le formalisme mécanique3. Apprendre à l’étudiant à réfléchir en terme de conception

Hypothèses du Cours

• Hypothèses sur le matériau

– homogène,

– isotrope,

– élastique linéaire.

• Principe de Saint-Venant

Loin des sections d’application des actions, l’état de contrainte et de déformation d’une poutre ne dépend que du torseur résultant des actions appliquées et non de la manière précise avec laquelle ces actions sont appliquées.

• Hypothèse de petites perturbations HPP

– hypothèse de petites transformations,

– hypothèse de petits déplacements,

• Hypothèse de non vibration

Plan du Cours

1. Équilibre et dynamique des structures de poutres

2. Efforts Intérieurs et Déformations

3. Problème de Saint-Venant et sécurité structurale

4. Loi de comportement thermoélastique

5. Équilibre et dynamique d’une Structure thermoélastique de poutres

6. Flambage

Passage de la modélisation géométrique d’une poutre par la MMC3D à celle de la MMC1D

L

d

dS

Comment reconnait-on une poutre ou un milieu curviligne ?

Une poutre ou un milieu curviligne est un solide élancé dans une direction oùune dimension dans une direction est plus importante que dans les deux autres.

L>>d

De la modélisation géométrique d’une poutre par la MMC3D à celle par la MMC1D

Comment définit-on une poutre ou un milieu curviligne ?

Une poutre = un solide engendré par une surface plane

dS Ligne moyenne

Section droite

/ le centre de gravitéd

S [ ]0 1G G G∈

dS ⊥Le plan à la ligne moyen en G

D<<L, Rc et RT, respectivement la ligne moyenne, le rayon de courbure et de torsion

dSLa section droite est évolutive, ses variations (taille, forme, …) en fonction de G,

sont très lentes.


MMC3D MMC1D

G0

G1

G+

dS

( )dS G

3D à 1D

1D à 3D ?

Réduire ou concentrer localement chaque section droite en son centre de gravité GL’ensemble des centres de gravité forment la ligne moyenne

Perte d’information

Comment passer de la modélisation géométrique de la MMC1D à celle de la MMC3D ?

Paramétrage de la ligne moyenne et de la section droite

De la modélisation géométrique d’une poutre par la MMC3D à celle par la MMC1D : étude de la ligne moyenne

MMC3DMMC1D

G0

G1G+

dS

dS

3D à 1D

( )gR O,i, j ,k

[ ] [ ]

( ) ( ) ( )

0 1 0 1

u OG x u .i y u . j .

u

z

G G

u

u

k

→

→ = + +uuur r r r

Représentation paramétrique du vecteur position

Application bijective

+j

i

k

O

Repère Galiléen


MMC3DMMC1D

G0

G1G+

dS

dS

3D à 1D

( )gR O,i, j ,k

[ ] [ ]

( ) ( ) ( )

0 1 0 1


u

z

G G

u

u

k

→

→ = + +uuur r r r


( ) ( ) ( )0

u2 2 2

u

s x' y ' z ' .du = ± + + ∫

Abscisse curviligne+/- sens croissant ou décroissant de u


+j

i

k

O

Repère Galiléen


MMC3DMMC1D

G0

G1G+

dS

dS

3D à 1D

t

( )gR O,i, j ,k

[ ] [ ]

( ) ( ) ( )

0 1 0 1


u

z

G G

u

u

k

→

→ = + +uuur r r r


( ) ( ) ( )0

u2 2 2

u

s x' y ' z ' .du = ± + + ∫

dOGt

ds=


Repère de Frenet ( )FR G,t ,n,b

Vecteur unitaire tangent


+j

i

k

O

Repère Galiléen


MMC3DMMC1D

G0

G1G+

dS

dS

3D à 1D

t

n

( )gR O,i, j ,k

[ ] [ ]

( ) ( ) ( )

0 1 0 1


u

z

G G

u

u

k

→

→ = + +uuur r r r


( ) ( ) ( )0

u2 2 2

u

s x' y ' z ' .du = ± + + ∫

dOGt

ds= C

d tn R .

ds=




Vecteur normal


+j

i

k

O

Repère Galiléen


MMC3DMMC1D

G0

G1G+

dS

dS

3D à 1D

t

n

b

( )gR O,i, j ,k

[ ] [ ]

( ) ( ) ( )

0 1 0 1


u

z

G G

u

u

k

→

→ = + +uuur r r r


( ) ( ) ( )0

u2 2 2

u

s x' y ' z ' .du = ± + + ∫

dOGt

ds= C

d tn R .

ds= b t n= ∧




Vecteur normal

Vecteur binormal


+j

i

k

O

Repère Galiléen


MMC3DMMC1D

G0

G1G+

dS

dS

3D à 1D

1D à 3D : non

t

n

b

( )gR O,i, j ,k

[ ] [ ]

( ) ( ) ( )

0 1 0 1


u

z

G G

u

u

k

→

→ = + +uuur r r r


( ) ( ) ( )0

u2 2 2

u

s x' y ' z ' .du = ± + + ∫

dOGt

ds= C

d tn R .

ds= b t n= ∧




Vecteur normal

Vecteur binormal

ne dépend que de la forme de la ligne moyenne (indépendant de la forme de la section droite)


+j

i

k

O

Repère Galiléen


MMC3DMMC1D

G0

G1G+

dS

dS

3D à 1D

1D à 3D : non

t

n

b

( )gR O,i, j ,k

Vecteur unitaire tangent+

j

i

k

O

Repère Galiléen

CGI R .n=

TGJ R .b=

et C T

R R Rayons de courbure et de torsion

Le repère de Frenet ne permet pas de caractériser cette section et de «mémoriser la forme»lors du passage de la modélisation géométrique par la MMC3D à celle par la MMC1D

FR caractérise la forme de la ligne moyenne indépendant de la forme ded

S

et 1/C T

1 / R R Courbure et de torsion

I et J sont, respectivement, les centres de courbure et de torsionC T

d n 1 1t b

ds R R= − −

T

db 1n

ds R=

i

j

k OG a.cos .i a.sin . j .a. .k / n.2.θ θ λ θ θ π= + + = 2ds a. 1 .dλ θ= +

2 2 2

dOG sin cost .i . j .k

ds 1 1 1

θ θ λ

λ λ λ= = − + +

+ + +

r

( ) ( )2 2

dt cos sin.i . j

ds a. 1 a. 1

θ θ

λ λ= − −

+ +( )2

C

dtR 1 / a. 1

dsλ= = +

r

C

dtn R . cos .i sin . j

dsθ θ= = − −

2 2 2

sin cos 1b t n .i . j .k

1 1 1

λ θ λ θ

λ λ λ= ∧ = − +

+ + +

Exemple de construction du repère de Frenet

dOGt

ds= C

d tn R .

ds= b t n= ∧

T

db 1n

ds R=

2

T

1R a.

λ

λ

+=

De la modélisation géométrique d’une poutre par la MMC3D à celle par la MMC1D : étude de la section droite

MMC3DMMC1D

G0

G1G+

dS

dS

3D à 1D

1D à 3D ?

t

n

b

( )gR O,i, j ,k


Vecteur normal

Vecteur binormal

+j

i

k

O

Repère Galiléen

Caractérisation de la section droite

dP S

G / OG OP.dS∈

= ∫

Centre de gravite Aire de la section Opérateur d’inertie (tenseur, matrice)

( )S G ( )

F

xx xy xz

d F xy yy yz

xz yz zz R

I I I

I G,S / R I I I

I I I

− −

= − − − −

( ) ( )d

2 2xx

S

I G y z .dS= +∫ ( )d

2yy

S

I G z .dS= ∫ ( )d

2zz

S

I G y .dS= ∫ ( )d

yz

S

I G y.z.dS= ∫ ( ) ( )xz xyI G I G 0= =


MMC3DMMC1D

G0

G1G+

dS

dS

3D à 1D

1D à 3D ?

xy

z

( )gR O,i, j ,k+

j

i

k

O

Repère Galiléen

Opérateur d’inertie symétrique et défini positif

( )

P

x

d P y

z R

I 0 0

I G,S / R 0 I 0

0 0 I

=

( ) ( )d

2 2xx

S

I G y z .dS= +∫ ( )d

2yy

S

I G z .dS= ∫ ( )d

2zz

S

I G y .dS= ∫

( )d FI G,S / R

Il existe un repère nommé central principale ou local tel que est diagonal( )d PI G,S / R

Moments quadratiques centraux principaux

( )PR G,x, y,z

Repère Central Principalou Repère Local


MMC3DMMC1D

G0

G1G+

dS

dS

3D à 1D

1D à 3D : Oui

xy

z

( )gR O,i, j ,k+

j

i

k

O

Repère Galiléen

( )PR G,x, y,z

Repère Central Principalou Repère Local

Le repère Central Principal caractérise :-la ligne moyenne via le vecteur tangent-La section droite via les vecteurs qui diagonalise son opérateur d’inertie et y z

( )PR G,x, y,z permet de « mémoriser la forme de la section droite »

Dans la suite du cours, on utilisera que les repères Galiléen et Central Principal (Local)!

Si la section droite dS possède un axe de symétrie, il est un axe principal (direction

de vecteur propre) et G est sur cet axe. Si la section droite dS possède deux axes de

symétrie, ils sont les deux axes principaux (direction de deux vecteurs propres) et G

est leur intersection.

En général, G, S, PR , yur, zr et ( )d PI G,S / R dépendent de l’abscisse curviligne x. Si

une poutre est droite et de section constante, alors PR est cartésien et dS et

( )d PI G,S / R sont indépendant de x.

Remarques

Exemples de section droite

yx ( ) ( )d

42 2

x

S

.RI G y z .dS

2

π= + =∫ ( )

d

42

y

S

.RI G z .dS

4

π= =∫ ( )

d

42

z

S

.RI G y .dS

4

π= =∫

R

z

yx

RiRe

e

( ) ( )d

2 2 3x

S

I G y z .dS 2. .R .eπ= + =∫

( )d

2 3y

S

I G z .dS .R .eπ= =∫

( )d

2 3z

S

I G y .dS .R .eπ= =∫

Ri rayon intérieur

Re rayon extérieur

R rayon moyen

e épaisseur

z

z

yx

b

h

( ) ( ) ( )d

2 2 2 2x

S

b.hI G y z .dS . b h

12= + = +∫

( )d

32

y

S

b.hI G z .dS

12= =∫

( )d

32

z

S

h.bI G y .dS

12= =∫

b largeur

h hauteur

De la modélisation des actions d’une poutre par la MMC3D à celle par la MMC1D : actions extérieures

MMC3DMMC1D

( )gR O,i, j,k+

j

i

k

O

Repère Galiléen

Les actions de contact 0

Q , 1

Q , L

Q et c

Q sont dues au contact de la poutre avec d’autres

poutres via des liaisons (encastrement, rotule, …).

Ces actions extérieures peuvent être connues ou inconnues selon la nature du problème.

0Q

0S

1S

1Qc

S

d∆∆∆∆ <<<<<<<<

cQ

LS

LQ

G0

G1G+d

S

3D à 1D ?

1D à 3D ?

xy

z ( )PR G,x, y,z

De la modélisation des actions d’une poutre par la MMC3D à celle par la MMC1D : actions extérieures sur une section droite qcq

MMC3DMMC1D

( )gR O,i, j,k+

j

i

k

O

Repère Galiléen

0Q

0S

1S

1Qc

S

d∆∆∆∆ <<<<<<<<

cQ

LS

LQ

G0

G1G+d

S

3D à 1D ?

1D à 3D ?

xy

z ( )PR G,x, y,z

G+ dS

dS∂

LQ

f

Inventaire des actionsextérieures appliquéessur une section droite

( ) [ ]10GGGGSd ∈

( ) ( )( )

[ ]

( )

( )d d

0 1

d

d0 1

LS S

G

Gext / G G , G LP S

P SG G G

p G Q .dl f .dS

m G GP Q .dl

GP f .dS

µ

∂

∈∂

∈∈

= +

= = ∧

+ ∧

∫ ∫

∫

∫Réduction en GConcentration en G

De la modélisation des actions d’une poutre par la MMC3D à celle par la MMC1D : actions extérieures la section S0

MMC3DMMC1D

( )gR O,i, j,k+

j

i

k

O

Repère Galiléen

0Q

0S

1S

1Qc

S

d∆∆∆∆ <<<<<<<<

cQ

LS

LQ

G0

G1G+d

S

3D à 1D ?

1D à 3D ?

xy

z ( )PR G,x, y,z

G+ 0S

0S∂

0Q

Inventaire des actions extérieures appliquées sur la section droite 0S

Réduction en G0

Concentration en G0

( )( )

00

0 0

00

0 0SG

ext / G , G

00 0P S

G

F Q .dS

FC G P Q .dS

∈

=

= = ∧

∫

∫

De la modélisation des actions d’une poutre par la MMC3D à celle par la MMC1D : actions extérieures sur la section droite S0

MMC3DMMC1D

( )gR O,i, j,k+

j

i

k

O

Repère Galiléen

0Q

0S

1S

1Qc

S

d∆∆∆∆ <<<<<<<<

cQ

LS

LQ

G0

G1G+d

S

3D à 1D ?

1D à 3D ?

xy

z ( )PR G,x, y,z

G+ 1S

1S∂

1Q

Inventaire des actionsextérieures appliquéessur la section droite 1S

Réduction en G1

Concentration en G1

( )( )

11

1 1

11

1 1SG

ext / G , G

11 1P S

G

F Q .dS

FC G P Q .dS

∈

=

= = ∧

∫

∫

De la modélisation des actions d’une poutre par la MMC3D à celle par la MMC1D : actions extérieures sur la surface SC

MMC3DMMC1D

( )gR O,i, j,k+

j

i

k

O

Repère Galiléen

0Q

0S

1S

1Qc

S

d∆∆∆∆ <<<<<<<<

cQ

LS

LQ

G0

G1G+d

S

3D à 1D ?

1D à 3D ?

xy

z ( )PR G,x, y,z

GK + dS

dS∂

CQ

Réductionen GK

( )( )

c

c

K CSK

ext / K , K

K CP S

K

F Q .dS

FC KP Q .dS

∈

=

= = ∧

∫

∫

Inventaire des actionsextérieures appliquéessur une section droite

( )d K KS G G K K− + ∈

( ) ( )

( )

( )

( )d

K

K

dK

K c

SG

ext / K K , G

G K K c

P SG K K

p G Q .dl

m G G P Q .dlµ

− +

− +

∂

∈∂ ∈

=

= = ∧

∫

∫

K−

K+

K K 0, K K K− + − + → →

K

De la modélisation des actions d’une poutre par la MMC3D à celle par la MMC1D : actions extérieures

MMC3DMMC1D

( )gR O,i, j,k+

j

i

k

O

Repère Galiléen

0Q

0S

1S

1Qc

S

d∆∆∆∆ <<<<<<<<

cQ

LS

LQ

3D à 1D : Oui

1D à 3D : Non

( )PR G,x, y,z

G0

G1

G

+dS

xy

z

(((( ))))(((( ))))

0

0 0

G

ext / G , GF

(((( ))))(((( ))))

1

1 1

G

ext / G , GF

(((( )))) (((( ))))

(((( ))))

0 1

G

ext / G G , Gµµµµ

(((( ))))(((( ))))

K

ext / K , KF

K

La modélisation des actions par la MMC1D engendre une perte d’informations : deux distributions

d’actions, appliquées sur une section donnée et ayant même torseur, ne seront pas distinguées par la

MMC1D.

C’est le principe de Saint-Venant qui justifie cette approximation en affirmant que ces deux

distributions d’actions produiront, sauf au voisinage immédiat de la section concernée, le même effet.

Remarques

Les actions à distance trouvent généralement leurs origines dans des forces

volumiques d’inertie d’entrainement, de Coriolis ou du poids. Dans ce derniers cas

(les autres seront traités ultérieurement), la force volumique f .gρ= induit le torseur

linéique suivant :

( )( )

[ ]

d

0 1

d d0 1

d

SG

g / G G , G

G

P S P SG G G

p .g.dS .S .g

m GP .g.dS GP.dS .g 0

ρ ρ

µ

ρ ρ∈ ∈

∈

= =

= = ∧ = ∧ =

∫

∫ ∫

On néglige souvent l’effet du poids propre par rapport aux autres actions. Il est

nécessaire de vérifier la validité de cette hypothèse dans chaque situation. En effet,

dans le cas des câbles ou certaines structures lourdes, cette hypothèse est mise à

défaut.

De la modélisation des actions d’une poutre par la MMC3D à celle par la MMC1D : types d’actions extérieures

Une structure a pour fonction de supporter des actions appliquées connues (données du problème).

Ces données peuvent être réelles (poids d’un plafond reposant sur une poutre) ou réglementaires (poids de

la neige ou action du vent sur un bâtiment, convoi type pour un pont).

Ces actions peuvent être réparties avec un torseur linéique (poids propre d’une structure, entrainement dû

à une rotation) ou concentrées en un certain nombre de points avec des torseurs ponctuels.

Ce sont des actions permanentes (poids, action concentrée statique) ou actions temporaires (action

d’entrainement due à la rotation).

Une poutre est reliée au monde extérieur par un certain nombre de liaisons. Le monde extérieur est

considéré comme Galiléen et un repère Galiléen g

R lui est associé. Une liaison introduit un certain nombre

de conditions cinématiques de liaison. Pour maintenir ces liaisons, il faut exercer des actions de liaison qui

sont des inconnues du problème.

Actions connues ou données du problème

Actions inconnues de liaison

( )( )

K K

ext / K , KKK

FF

C

=

( ) ( )

( )( )

( )0 1

G

ext / G G , G

GG

p G

m G

=

µ

( )( )

A A

ext / poutre, AAA

RR

M

=

( )( )

( )( )

*A ,* * *

Aext / poutre,

A A*A Aext / poutre, A

AA *

A

RW R U R . M .

Mu 0

u

ωω

= =

+ =

=

Dans le cadre de l’hypothèse de petites perturbations (HPP), le travail virtuel des actions

de liaison est nul dans tout mouvement virtuel compatible avec la liaison. Le travail

virtuel des actions de liaison dans le mouvement virtuel est alors

Un mouvement virtuel compatible avec la liaison vérifie les conditions cinématiques

de la liaison.

( )( )

*

A ,*

poutre / ext , A *

AA

Uu

ω=

De la modélisation des actions d’une poutre par la MMC3D à celle par la MMC1D : types d’actions extérieures

Définition de mouvement virtuel compatible à la liaison

Travail virtuel des actions de liaison (parfaite)

De la modélisation des actions d’une poutre par la MMC3D à celle par la MMC1D : liaisons tridimensionnels

Liaison d’encastrement

(a)

(b) Assemblage de deux solides par goupille cannelée.

(a) schéma cinématique, (b) un exemple technologique


Liaison pivot

(a)

(b) Articulation sur coussinet



Liaison sphérique ou rotule

(a) (b) Patin de serre–joint.


De la modélisation des actions d’une poutre par la MMC3D à celle par la MMC1D : liaisons planes

Torseur

cinématique

Torseur

statique

Schématisation

Encastrement x y zu u 0ω= = =

xR ,

yR ,

zM

qcq

Glissière x z

u 0ω= =

yu qcq libre

x zR ,M qcq,

yR 0=

Articulation x y

u u 0= =

zω qcq libre

xR et

yR

qcq, z

M 0=

Appui simple y

u 0=

xu et

zω qcq

libre

yR qcq,

x zR M 0= =

Ressort

hélicoïdal

yu relié à

yR

xu et

zω qcq

libre

y yR k.u= −

qcq,

x zR M 0= =

Ressort spiral z

ω relié à z

M

xu et

yu qcq

libre

z zM C.ω= −

qcq,

x yR R 0= =

De la modélisation des actions d’une poutre par la MMC3D à celle par la MMC1D : actions intérieures

Bâti extérieurBâti extérieur

Liaison externe

Liaison externe

Liaison interne

Système d’étude : Treillis (assemblage de poutres)

Actions internes

x

x

n

.nσσσσ

σσσσ

0G

1G

0G

0G

0G

(((( ))))(((( ))))G

/ , GT

− +− +− +− +

(((( ))))

(((( ))))G

/ , GT

+ −+ −+ −+ −

(((( ))))

(((( ))))(((( ))))

(((( ))))G

/ , G

G

R GT

M G+ −+ −+ −+ −

====

0G

x

x

n

.nσσσσ

σσσσ

0G

1G

0G

0G

0G

(((( ))))(((( ))))G

/ , GT

− +− +− +− +

(((( ))))

(((( ))))G

/ , GT

+ −+ −+ −+ −

(((( ))))

(((( ))))(((( ))))

(((( ))))G

/ , G

G

R GT

M G+ −+ −+ −+ −

====

0G

De la modélisation des actions d’une poutre par la MMC3D à celle par la MMC1D : torseur des actions internes

( )( )

( )

( )

d

d

SG

/ , G

G

P SA

R G .n.dS

TM G GP .n.dS

σ

σ+ −

∈

=

= = ∧

∫

∫

Définition du système d’étude

Orientation de la ligne moyenne du – vers le +

Coupure de la ligne moyenne en deuxparties distincts et complémentaires

Le torseur des actions internes estDéfinie par l’action de la partie + sur la partie -

( )( )

( )( )

G G

/ , G / , GT T

+ − − += −

De la modélisation des actions d’une poutre par la MMC3D à celle par la MMC1D : actions internes de liaison

Liaison interne

Système d’étude : Treillis (assemblage de poutres)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )/ / // / /W R .u C . R .u C . R . u u C . 0ω ω ω ω

+ + − − + − + −

+ − − + + −+ − − + + −= + + + = − + − =

+I

I−

I

Liaison parfaite

De la modélisation des actions d’une poutre par la MMC3D à celle par la MMC1D : actions de liaisons internes (planes)

Détermination des torseurs des actions de liaisons externes : Enoncé du Principe Fondamental de la Dynamique (PFD)

Il existe au moins un repère g

R appelé repère Galiléen, tel que pour toute partie 'Σ

d’un système matériel Σ en mouvement par rapport à g

R , le torseur résultant

( )ext / ', OF

Σ des actions mécaniques extérieures exercées à 'Σ soit égal, à chaque instant,

au torseur dynamique de 'Σ :

( ) ( ) ( ) gext / ', O O

' , F D '/ RΞ

Σ Σ Σ∀ ⊂ =

Enoncé du PFD

Le principe fondamental de la dynamique se ramène à celui de la statique lorsque le

torseur dynamique du système matériel 'Σ par rapport à g

R est nul :

( )

ext / ', O' , F O

ΞΣ Σ∀ ⊂ =

Enoncé du PFS

Le système 'Σ sera dit en équilibre et on parlera plutôt du principe fondamental de la

statique (PFS).

Détermination des torseurs des actions de liaisons externes : Remarques sur l’Enoncé du Principe Fondamental de la Dynamique (PFD)

Le PFD n’est concerné que par les actions extérieures et dynamiques sur un sous système matériel

'Σ . Il est donc nécessaire d’isoler un sous système matériel avant d’appliquer le PFD. Le choix du

sous système matériel 'Σ nous est laissé libre. Néanmoins, il est plus judicieux de choisir un sous

système rendant les actions de liaison extérieures. La démarche consiste donc à : (1) choisir un

sous système matériel 'Σ , (2) faire l’inventaire des actions extérieures et exprimer leurs torseurs

au même point, (3) calculer le torseur dynamique ( ) ( )gO

D '/ RΣ , (4) appliquer le PFD.

Le torseur statique des actions extérieures caractérise l’aptitude de ces actions à imprimer un

mouvement global à 'Σ . La résultante tend à imprimer un mouvement de translation alors que le

moment tend à imprimer un mouvement de rotation

Un torseur associé à une action ne caractérise que faiblement cette action. Il n’est pas possible de

remonter à partir de la donnée d’un torseur associé à une action, à l’action précise qu’il représente.

Le torseur des actions est une résultante : il y aune infinité de distributions d’actions extérieures

donnant lieu à la même résultante

Détermination des torseurs des actions de liaisons externes : Remarques sur l’Enoncé du Principe Fondamental de la Dynamique (PFD)

Du fait que le PFD se contente d’une caractérisation torsorielle des actions extérieures, le principe

fondamental de la dynamique PFD ne distingue pas deux systèmes d’actions extérieures s’ils sont

représentés par le même torseur. On dit alors que les deux systèmes d’actions sont torsoriellement

équivalents

Le PFD ne dépend ni de la géométrie du système matériel, ni de la température, …

Le PFD est écrit dans la configuration actuelle ; en effet, les actions extérieures et dynamiques

sont à caractériser dans la configuration actuelle inconnue. Dans le cadre de l’hypothèse du HPP,

les deux configurations initiale (naturelle) et actuelle peuvent être confondues et le PFD peut

s’écrire sur la configuration initiale. Cette hypothèse du HPP simplifie l’application du PFD en

caractérisant les actions extérieures et dynamiques sur la configuration initiale connue.

Néanmoins, certaines structures ont une configuration initiale (naturelle) déformée : câbles, …

Détermination des torseurs des actions de liaisons externes : Expression du torseur dynamique

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )g

g G g

'

gAA g

A g g G g

'R

. P / R .dV m. C / R

D '/ R d '/ RAP . P / R .dV m.V A / R V C / R

dt

Σ

Σ

ρ Γ Γ

Σ σ Σδ ρ Γ

=

= = ∧ = + ∧

∫

∫

GC le centre de gravité de 'Σ , m la masse totale de 'Σ , V le vecteur vitesse et Γ le

vecteur accélération. O

σ désigne le moment cinétique ayant l’expression suivante :

( ) ( ) ( )( )A G A'/ R m.AC V A / R J ', '/ Rσ Σ Σ Ω Σ= ∧ +

( )( ) ( ) ( )A AJ ', '/ R J '/ R . '/ RΣ Ω Σ Σ Ω Σ=

G0

G1

G

+dS

xy

z

(((( ))))(((( ))))

0

0 0

G

ext / G , GF

(((( ))))(((( ))))

1

1 1

G

ext / G , GF

(((( )))) (((( ))))

(((( ))))

0 1

G

ext / G G , Gµµµµ

(((( ))))(((( ))))

K

ext / K , KF

K

( )gR O,i, j,k+

j

i

k

O

Repère Galiléen

( )PR G,x, y,z

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )

1

0 1 i

0

1

0 0 1 1 i i

0

GG G K

G g

i G

GG G G G K K

0 1 i G

i G

gA

g G g

R

F F F p G .dx m. C / R

C AG F C AG F C AK F m G AG p G .dx

d '/ Rm.V A / R V C / R

dt

+ + + =

+ ∧ + + ∧ + + ∧ + + ∧

= + ∧

∑ ∫

∑ ∫

Γ

σ Σ

Détermination des torseurs des actions de liaisons externes : application du Principe Fondamental de la Dynamique (PFD)

Détermination des torseurs des actions externes et internes : Notions de mobilité et d’isostacité

Définition. Structure de poutres mobile ou non-mobile

On dit qu’une structure de poutres est mobile s’il existe au moins une action qui la

met en mouvement de solide rigide. Dans le cas contraire, la structure est dite non-

mobile.

Remarque

Soit une structure de poutre composée de n poutres liées entre par des liaisons. La

détermination des inconnues statiques des différentes liaisons nécessite l’écriture du

PFD sur chaque poutre.

Définition. Structure de poutres isostatique ou hyperstatique

On dit qu’une structure de poutres est isostatique s’il est possible de déterminer tous

les torseurs des actions de liaisons extérieures et des actions internes (actions de

liaisons intérieures inclues). Dans le cas contraire, la structure est dite hyperstatique.

Définition

Soit une structure de poutres, composée par p

N poutres, assemblées par des liaisons

internes entre elles et externes avec l’extérieur. Le nombre des inconnues statiques

externes et internes est s

N . L’application du PFS ou le PFD donne lieu à la

résolution d’un système matricielle linéaire de éq p

N 6.N= (éq p

N 3.N= dans le cas plan)

équations indépendantes :

[ ] A . X b= avec [ ] éq sA N N = × , s

X N= et éqb N=

On appelle s

r le rang de la matrice [ ]A , c'est-à-dire l’ordre le plus élevé de la sous

matrice carré [ ]A' de [ ]A ayant un déterminant non nul. On a évidemment s éq

r N≤ .

On définit la mobilité de la structure de poutres par éq s

m N r 0= − ≥ et l’hyperstacité

par s s

h N r 0= − ≥ . Si m>0 la structure de poutres est dite mobile, autrement elle est

non-mobile. Si h>0 la structure de poutre est dite hyperstatique, autrement elle est

isostatique.

Détermination des torseurs des actions externes et internes : Détermination des degrés de mobilité et d’isostacité


Proposition La démarche

Analyse de la mobilité :

Si le système de poutres est simple, on utilise la définition de mobilité.

Dans le cas où le système de poutres est complexe, on utilise la définition

mathématique de degré de mobilité. L’écriture du PFS ou PFD, c'est-à-dire le

système matriciel [ ] A . X b= , permet d’analyser la mobilité. Si le système est

mobile, le PFD est appliqué. Si le système de poutres est non-mobile, le PFS est

appliqué.

Analyse de l’isostacité :

L’écriture du système matriciel [ ] A . X b= et l’exploitation de la définition

mathématique de l’isostatcité permet d’analyser l’isostacité du système de poutres. Si

le système de poutres est isostatique, les inconnues statiques sont déterminées par

l’exploitation du PFD ou PFS. Si le système de poutres est hyperstatique, les

inconnues statiques ne sont pas entièrement déterminées.

chapitre 1 v1

Documents