Intervalle de confiance pour un modle ARCH(1)

Chapitre 6: Les modles ARCH de A H

Plan du chapitre

1. Le concept de volatilit

2. Rappel

3. Les modles ARCH(p) la rescousse

4. Simulation

5. Dtection

6. Estimation

7. GARCH(p,q)

8. Intervalle de confiance des prvisions

9. Autres modles

10. Conclusion

Voir GARCH.PRG pour les applications.

1. Le concept de volatilit

Dans le modle AR(1) de base

yt = (+ (yt-1 + et o et ~ N(0,(2),

on a suppos que (2 tait constant. Il sagit dune approche un peu restrictive. En finance et en ingnierie financire, ( (lcart-type), est une variable centrale qui correspond au concept de volatilit. Rgle gnrale, ( est suppos constant, ce qui nest pas toujours satisfaisant. Lexprience a montr que la volatilit peut fluctuer de faon importante. Voir graphique joint. En pratique, on estime ( sur des courtes priodes, ce qui permet dincorporer indirectement une forme de changement. Dans les pages qui suivent, nous allons voir, suite aux travaux de Engle (1982), comment modifier le modle AR(1) pour tenir compte dune volatilit qui change travers le temps selon une approche bien dfinie.

2. Rappel

Soit

yt = (+ (yt-1 + et o et ~ N(0,(2)

E yt = ( = (/(1-()

Var yt = (2/(1-(2).

Si on suppose yt-1 connu:

E[yt | yt-1] = (+ (yt-1La moyenne conditionnelle dpend de linformation disponible au temps t-1 et nest pas ncessairement constante. Par contre, la variance conditionnelle

Var[yt | yt-1] = E[ (yt - E[yt | yt-1] )2 | yt-1 ] = E[ (et)2 | yt-1 ] = (2est fixe et ne dpend de linformation disponible au temps t-1. En fait, lhypothse et ~ N(0,(2) nous amne ce rsultat, ce qui est manifestement trop restrictif. Il nous faut un modle beaucoup plus souple et plus raliste de la variance conditionnelle.

3. Les modles ARCH(p) la rescousse

Regardons le terme derreur de plus prs:

E[et | et-1, ...,] = 0

Esprance zro

E[et et-j] = 0

Non corrl

E[et2 | et-1, ...,] = Et-1et2 = ht = (0 + (1 et-12

Variance conditionnelle

o (0 >0 et (1>0 pour garantir que ht soit en tout temps positif (il sagit dune variance).

ht dpend maintenant de linformation disponible la priode t-1. Quand et-1 est grand (positif ou ngatif), ht est aussi plus lev et les chances dobtenir un et grand augmente. Si effectivement le et obtenu est grand, ht+1 est aussi plus lev et les chances dobtenir un et grand demeurent importantes jusqu ce que le terme derreur gnr soit petit, ce qui stabilise les choses pour quelques priodes ..... jusqu ce que un nouveau et grand soit tir. Le modle ARCH(1) permet de gnrer des pisodes de volatilit importante (des et positifs ou ngatifs grands) suivis dpisodes de volatilit plus faible, exactement le phnomne retrouv dans les donnes.

Plus spcifiquement, on dit AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity ou ARCH (un explication plus prcise de cette nomenclature sera donne plus loin). De plus, bien que non corrls, les termes derreurs et ne sont plus indpendants entre priodes adjacentes puisque ht dpend de et-1 , donc des donnes de la priode prcdente.

Variance non conditionnelle

Pour trouver la variance non conditionnelle, je recule

Et-2Et-1et2 = Et-2[(0 + (1 et-12]

= (0 + (1 Et-2et-12

= (0 + (1 ht-1

car Et-1et2 = ht et Et-2et-12 = ht-1

= (0 + (1 ((0 + (1 et-22)

= (0 + (1(0 + (12 et-22Et-3Et-2Et-1et2= Et-3[(0 + (1(0 + (12et-22]

= (0 + (1(0 + (12 Et-3et-22

= (0 + (1(0 + (12ht-2

= (0 + (1(0 + (12((0 + (1 et-32)

= (0 + (1(0 + (12(0 + (12 et-32En reculant de plus en plus vers le pass Et-j...Et-3Et-2Et-1et2, nous aurons une progression gomtrique qui convergera vers

= Var (et) = E (et2) = (2 = Variance non conditionnelle. Il est important de noter que pour que la variance non conditionnelle soit positive, (0 >0 et 0< (10 et (1+ ... +(p 0. Plusieurs ( sont souvent ngatifs ... ce qui nous amne une classe de modle encore plus gnrale qui pourra rgler ce problme.

7. GARCH(p,q)

On cherche une persistance plus grande. En spcifiant la variance conditionnelle

ht = (0 + (1 et-12 + (1ht-1on permet, selon la valeur de (1, une relation de rcurrence entre ht et ht-1. Plus (1 sera proche de 1, plus la persistance sera grande.

Calculons la variance non conditionnelle en reculant vers le pass

Et-1et2

= (0 + (1 et-12 + (1ht-1Et-2Et-1et2 = Et-2[(0 + (1 et-12 + (1ht-1]

= (0 + (1 Et-2et-12 + (1 Et-2ht-1

= (0 + (1ht-1 + (1ht-1

car par dfinition Et-2et-12 = ht-1 et Et-2ht-1 = ht-1 car ht-1 ne dpend que dinformation de la priode t-2.

Et-2Et-1et2= (0 + ((1+(1)ht-1

En poursuivant les substitutions, on a

Et-2Et-1et2= (0 + ((1+(1)( (0 + (1 et-22 + (1ht-2)

Et-3Et-2Et-1et2= (0 + ((1+(1) (0 + (1 Et-3et-22 + (1 Et-3ht-2)

Et-3Et-2Et-1et2= (0 + ((1+(1)(0 + ((1+(1)2ht-2En reculant de plus en plus vers le pass Et-j...Et-3Et-2Et-1et2, nous aurons une progression gomtrique qui convergera vers

= Var(et) = E(et2) = (2 = Variance non conditionnelle.

crivons maintenant le processus GARCH(1,1) de faon lgrement diffrente:

et2 = ht + vt

o vt = et2 - htet2 = (0 + (1 et-12 +(1ht-1+ vtAjoutons et retranchons (1 et-12 :

et2 = (0 + ((1 +(1) et-12 +(1ht-1+ vt - (1 et-12et2 = (0 + ((1 +(1) et-12 +vt - (1 (et-12-ht-1)

et2 = (0 + ((1 +(1) et-12 +vt - (1 vt-1Un modle GARCH(1,1) est en fait une modle ARMA(1,1) dans les erreurs au carr!

8. Intervalle de confiance pour un modle ARCH(1)

Supposons un modle AR(1)

yt = (yt-1 + et o et|t-1 ~ N(0,ht) et ht = (0 + (1e2t-1Nous avons driv prcdemment les esprances et variances conditionnelles du processus ARCH. Nous connaissons aussi les formules pour les prvisions y*T+h et le erreurs de prvisions e*T+h du modle AR(1). Plus spcifiquement,

E[yT+h | T] = (hyT et

Var[e*T+h | T] = ET[e2T+h + (e2T+h-1 + + ((h-1)2e2T+1 + termes croiss]

= ET[e2T+h]+ (2 ET[ e2T+h-1] + + ((h-1)2 ET [e2T+1] + 0

Dans le cas habituel, ET[e2T+h] = ET[ e2T+h-1] = ET [e2T+1] = (2 et la formule se simplifie

Var[e*T+h | T] = (2(1 + (2 + ((h-1)2).

Dans le cas dun terme derreur ARCH, nous avons montr que les erreurs au carr suivent un processus AR(1)

e2t = (0 + (1e2t-1 + vt o E vt = 0.

Ainsi,

ETe2T+h = (0 + (1ETe2T+h-1 et

ETe2T+1 = (0 + (1ETe2T = (0 + (1e2TETe2T+2 = (0 + (1ETe2T+1 = (0 + (1((0 + (1e2T) = (0 + (1(0 + ((1)2e2TETe2T+h = (0 + (1ETe2T+h-1 = (0 + (1(0 + . + ((1)he2TIl sagit alors de remplacer les termes appropris dans la formule

Var[e*T+h | T] = ET[e2T+h]+ (2 ET[ e2T+h-1] + + ((h-1)2 ET [e2T+1].

Dans le cas derreurs GARCH, on sait que les erreurs au carr suivent un processus ARMA(1,1) et les prvisions des erreurs au carr sont lgrement diffrentes:

e2t = (0 + ((1+(1) e2t-1 + vt - (1vt-1ETe2T+1 = (0 + ((1+ (1) e2T - (1vT

o vT = hT-e2TETe2T+2 = (0 + ((1+(1) ETe2T+1ETe2T+h = (0 + ((1+(1) ETe2T+h-19. Autres modlesLe modle ARCH tout comme le modle GARCH dailleurs repose sur lhypothse fondamentale que des chocs positif ou ngatif ont le mme effet sur la variance conditionnelle ht, on parle alors deffets symtriques implicites dans la formulation au carr. Des observateurs astucieux des marchs financiers ont plutt limpression dune asymtrie dans les effets: des chocs ngatifs (mauvaise nouvelle) auraient un effet beaucoup plus grand sur lincertitude et la volatilit (ht) que des chocs positifs (bonne nouvelle). Comment modliser ce fait stylis des marchs financiers tout en conservant la fonctionnalit et la simplicit des modles ARCH ou GARCH. Nous prsentons ici deux des nombreuses approches qui ont t proposes.

Glosten, Jagannathan et Runkle (1989) ont suggr un modle GARCH amlior

ht = (0 + (1e2t-1 + (It-1e2t-1+ (1ht-1o It-1 est une variable indicatrice gale 1 si et-1 0, leffet sur ht est gal (1. Quand et-10, ceci permet dobtenir une volatilit plus grande pour les termes derreurs ngatifs, tel que postul par de nombreux observateurs.N-GARCH

Une autre approche consiste spcifier

ht = a0 + b1ht-1 + b2ht-1(et-1-d)2Si d>0, le terme entre parenthse (et-1-d) sera ncessairement plus petit quand et-1>0 que quand et-1