chap6 fiabilité

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Chapitre 6 Fiabilité et taux de défaillance Fiabilité : Définition : Fiabilité est la probabilité pour qu’un composant ou un système remplisse une fonction requise dans des conditions définies et ce remplisse une fonction requise dans des conditions définies, et ce, pendant une période définie . Soit : t est une variable aléatoire continue désignant le temps jusqu'à la prochaine défaillance du système (ou le temps de bon fonctionnement du système). La probabilité pour qu’une défaillance ait lieu à un moment entre t et t est : ( ) { } ft t t t t t PΔ = < < ( ) { } ft t t t t t PΔ < < où f(t) est la fonction de densité de la probabilité de défaillance L b bilité ’il it déf ill à t t é làt Remarque : La probabilité pour qu’il y ait une défaillance à un moment avant ou égal à t est la fonction cumulée de répartition : ( ) { } ( ) t ' ' Ft t ft dt t =P= ( ) { } ( ) Ft t ft dt t 0P

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Page 1: chap6 fiabilité

Chapitre 6

Fiabilité et taux de défaillance

Fiabilité :Définition :

Fiabilité est la probabilité pour qu’un composant ou un système remplisse une fonction requise dans des conditions définies et ceremplisse une fonction requise dans des conditions définies, et ce, pendant une période définie.

Soit : t est une variable aléatoire continue désignant le temps jusqu'à la prochaine défaillance du système (ou le temps de bon fonctionnement du système). La probabilité pour qu’une défaillance ait lieu à un moment entre t et ∆t est :

( ) { }f t t t t ttPΔ = < < + Δ( ) { }f t t t t ttPΔ < < + Δoù f(t) est la fonction de densité de la probabilité de défaillance

L b bilité ’il it déf ill à t t é l à t

Remarque :

La probabilité pour qu’il y ait une défaillance à un moment avant ou égal à t est la fonction cumulée de répartition :

( ) { } ( )t ' 'F t t f t dtt= P ≤ = ∫( ) { } ( )F t t f t dtt 0P ≤ ∫

Page 2: chap6 fiabilité

La fonction de fiabilité du système est :

( ) { } ( )

( )t ' '

R t t tt= P = 1- F>

∫ ( )( )

t '

' 't

'f t dt

t dt

01 -

f∞

=

=

∫∫ ( )t∫

( ) ( )dD’où :

( ) ( )f t R td= -dt

( ) ( )Remarque : ( ) ( )R 0 ∞=1 et R = 0( ) ( )R t t%= F( ) ( ) ( )R t t t% = 1-R = F

Remarque :

( ) ( ) ( )R t t t1 R F

Taux de défaillance :

La probabilité pour qu'un système tombe en panne au moment t< t+Δt,

sachant qu'il n'est pas en panne à t= t est :

{ }(t) t P t t | tt tλ Δ = < + Δ >

{ } { }{ }

P X YP X Y

P Y=

Ior selon la définition : { } { }P Y

{ } { }{ }

{ }{ }

P ( t) ( t t) P t t t f(t) t(t) t P t t | t

( )

t t tt t

t t> < + Δ < < + Δ Δ

λ Δ = < + Δ > = = =I

{ } { } { }( ) |

R(t)P t P tt t> >

f(t)(t)

R(t)λ =D’où le taux de défaillance est :

R(t)

en pratique (t)λ =Nombre de défaillances

temps d'opérationtemps d opération

Page 3: chap6 fiabilité
Page 4: chap6 fiabilité
Page 5: chap6 fiabilité

Taux de défaillance des condensateurs en polystyrènep y y

Moyenne des temps de bon fonctionnmenty p(Mean time to failure : MTTF)

( )( ) ( ) ( )t d

(t) R t (1)t t dt

λ = = ×f 1-R R

( ) ( )( )

tt dt

tλ =

dR-

R ( ) ( ) ( ) ( )t

0f t t R(t) t exp t ' dt '⎡ ⎤= λ = λ − λ⎢ ⎥⎣ ⎦∫( )

( ) ( )t

0t ' dt ' ⎡ ⎤λ λ⎣ ⎦∫ = -ln R

( ) ( ) ( ) ( )0

( ) p ⎢ ⎥⎣ ⎦∫

( ) ( )t

0t t ' dt ' (2)⎡ ⎤− λ⎢ ⎥⎣ ⎦∫R = exp( )R 0 ⇒= 1

Page 6: chap6 fiabilité

dR ∞{ } ( ) ( ) ( )

00t t t dt t dt t R t dt

0 0d R

M T T F = E f - - tRd t

∞∞ ∞ ∞= = = +∫ ∫ ∫

( )0

MTTF R t dt∞

= ∫

Exemple 6.1

Soit le taux de défaillance d’un ventilateur à grande vitesse :

où t est le temps d'opération en heure. Sachant que la fiabilité demandée est de 0,95, calculez la durée de vie prévue pour le

4 6(t) (2 10 3 10 t) / heure− −λ = × + ×

demandée est de 0,95, calculez la durée de vie prévue pour le ventilateur.

Solution

t l d é d i é l til t lt

0(t)dt

t : la durée de vie prévue pour le ventilateur, alors

R(t) 0,095 e − λ

= = ∫t

∫ 4 6t

0)(2 10 3 10 dt

0,95 e− −+− × ×

= ∫24 6t t(2 10 3 10 )e

− −− × + ×=

24 6(2 10 t 3 10 t )1ln( ) ln(e )

0,95)

− −× + ×=

2 4 6 25,1293 10 2 10 t 3 10 t− − −× = × + ×

1 2t 129,9; t 2632= =−

t 129Heures=

Page 7: chap6 fiabilité

Exemple 6.2

( )2⎧⎪Soit la fiabilité d’une opération de coupage :

Déterminez :

( ) ( )2

0 0

0

1 t / t 0 t tR t

0 t t

⎧ − ≤ <⎪⎨

≥⎪⎩

1. λ(t)2. MTTF?

1. λ(t) ?

f (t)(t)

R(t)λ =

( )

00 0 0

d d t 2 tor f (t) R(t) (1 ) (1 ) 0 t t

dt dt t t t=− =− − = − ≤ <

2 t

0 00

20

0 0

2 t(1 )

t t 2donc 0 t t

t t(1 ) t (1 )

t t

−λ= = ≤ <

− −0

0

2 à t=0

t

à t=t

⎧⎪⎪λ=⎪⎪⇒⎨⎪⎪λ=∞⎪⎪⎩0 0t t ⎩λ augmente avec l’augmentation de t

( )2MTTF R(t)dt 1 t / t

∞ ∞∫ ∫ ( )00 0

MTTF R(t)dt 1 t / t= = −∫ ∫n

n

0

(a bx) 1(a bx) avec a=1 et b=

(n 1)b t

∞ ++ =+∫0 0(n 1)b t+∫

0t3 3

00 0 0

t t(1 ) t (1 )

t t t

⎡ ⎤− ⎢ − ⎥

⎢ ⎥0 0 0

0 0

t t tD'où MTTF =

1 3 3(2 1)t

⎢ ⎥=− =⎢ ⎥

⎢ ⎥− + ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Exemple 6.3

Soit où t est en année. Calculez :3

32f(t)

(t 4)=

+

1. R(t)2. λ(t)3. MTTF

Page 8: chap6 fiabilité

Solution

t

01) R(t) = 1- f (t)dt∫

2t t t 332 (t 4)f(t)dt = dt = 32 (t 4) dt = 32

−− ++∫ ∫ ∫30 0 0

f(t)dt dt 32 (t 4) dt 322(t 4)

+−+∫ ∫ ∫

t22 2 20

16 16 1616(t+4) = - = 1-

(t+4) 4 (t 4)−

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥=− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ +⎢ ⎥⎣ ⎦0 (t+4) 4 (t 4)⎣ ⎦ +⎢ ⎥⎣ ⎦

2

16R(t) =

(t 4)+2 2

16 16R(t) = 1-(1- )

(t 4) (t 4)=

+ +

2

3

f (t) 32 (t+4) 22) (t) =

R(t) (t 4)(t 4) 16

×λ = =++ ×

2

2(t)

(t 4)λ =

+

20 00

16 16 163) MTTF = R(t)dt = dt = - = 0 - = 4

(t 4) 4(t 4)

∞∞ ∞ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥++ ⎣ ⎦

∫ ∫ MTTF 4=

Courbe en baignoireCourbe en baignoire

Comportement du taux de défaillance avec le temps d’un système qui ne contient aucun composant en redondant

λ(t)λ(t)

Jeunesse Mature Jeunesse Mature viellesse

Temps t

Évolution du taux de défaillance en électronique

Temps t

Évolution du taux de défaillance en mécanique

La période de maturité correspond à la majorité de la vie d'un composant ou d'un système. Le taux de défaillance est constanttaux de défaillance est constant.

Page 9: chap6 fiabilité

Modèle basé sur le taux de défaillance constant

( )tλ = NLoi exponentielle

( ) ( )⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

− λ λ= λ = λ∫t ' '0

t dt tFDR : f t t e -e

p

( ) λtFCR : F t -= 1 - e

t ⎛ ⎞∫( )t

t dt tR t⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

λ λ∫ '0- -= e = e

MTTF =1

MTTF =λ

2σ = 21

σλ2

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Fonction de densité, fonction de fiabilité et taux de défaillance en fonction du temps d’opération

Page 10: chap6 fiabilité

Exemple 6.4

Considérons un dispositif ayant un λ = 0.02 défaillances/h, calculez :

1. La probabilité que le dispositif tombe en panne pendant une opération d di hde dix heures.

2. La probabilité que le dispositif tombe en panne dans les prochaines 10 heures sachant que le dispositif vient de fonctionner sans panne pendant 100 heurespendant 100 heures

Exemple 6.5

Un test de vérification d’un dispositif électronique pendant deuxUn test de vérification d un dispositif électronique pendant deux mois révèle que la fiabilité est 0.990. Sachant que le taux de défaillance du dispositif est constant, calculez :

1 Le taux de défaillance1. Le taux de défaillance

2. Le MTTF

3. La fiabilité pour une durée de 4 ans

Fiabilité des systèmes non réparablesConsidérons les cas où les défaillances des composants du système sont indépendants

S tè é i Si l t d tè t lSystèmes séries : Si un seul composant du système est en panne le système ne fonctionne plus. Le système est sans redondance.

1 2 3 n

ii

R(t) R (t)=∏i

Remarque : La fiabilité de ces systèmes se détériore dramatiquement avec l'augmentation du nombre des composantes. Considérons un système comprenant 6 composants de fiabilité individuelle de 0 9 La fiabilité ducomprenant 6 composants de fiabilité individuelle de 0.9. La fiabilité du système est par conséquent : (0.9)6 = 0.53. Afin de garder une fiabilité à un niveau aussi haut que possible et minimiser cet effet, il est nécessaire d'utiliser la redondance à l'aide de moyens, entre autres, des systèmes parallèles.

Page 11: chap6 fiabilité

( ) ( )ii

t tλ = λ∑n

ii 1

t

R(t) e =− λ

=∑

1i

i

(MTTF)

1 1

1

i iMTTF (MTTF)= ∑

Exemple 6.6

U tè d d d 100 t d t l fi bilitéUn système sans redondance comprend 100 composants dont la fiabilité est de 0.90. Sachant que le taux de défaillance est constant, calculez la durée de vie prévue du système au cas où le nombre total des composants est réduit à 70.p

Systèmes parallèles : Le système fonctionne si au moinsSystèmes parallèles : Le système fonctionne si au moins un composant fonctionne.

1

n

ii 1

R(t) 1 (1 R )=

= − −∏

1

2

i 1=

n

3

Exemple 6.7

La fiabilité d'un composant ayant un taux de défaillance constant, est évalué à 0 95 è d i0.95 après un an de service.

1. Quel est le taux de défaillance?2. Calculez la fiabilité d'un système qui est muni de deux composants

identiques en parallèle, sachant que les défaillances sont q p , qindépendantes.

Page 12: chap6 fiabilité

Ex 6.8

Le MTTF d’un lecteur de disquette ayant un taux de défaillance constant, est de 5000 heures. Calculez :

1 La probabilité de défaillance du lecteur pour une opération d’une1. La probabilité de défaillance du lecteur pour une opération d une année

2. La probabilité de défaillance d’un système ayant deux lecteurs en parallèle sachant que les défaillances sont indépendantesparallèle, sachant que les défaillances sont indépendantes