Chap 5 : Particule dans un puits.

1) Etude d’une particule dans un puits infini 1D (quantum well).C’est un système quantique très simple. Il correspond classiquement à l’étude du

déplacement du centre de masse d’une sphère dans un tube aux parois infiniment solides.

Quelque soit l’énergie cinétique de la sphère, elle restera confinée à l’intérieur du tube. On a donc une énergie potentielle qui sera de la forme (la référence est choisie nulle à l’intérieur du tube).

a

V=infini V=infiniV=0

x

V

0

V=0 si a < x < 0

V=infini sinon

L’équivalent quantique est une couche d’épaisseur a de semi conducteur, comprise entre deux couches d’isolants parfaits.

a

V=infini V=infiniV=0

x

V

0

La particule ne peut pas se trouver dans la région ou V est infini, car elle aurait alors une énergie infinie. Sa densité de probabilité de présence doit donc y être nulle et l’on a :

Dans la région entre 0 et a, le potentiel est nul et l’énergie est uniquement cinétique.L’hamiltonien s’écrit :

Recherche des valeurs propres et fonctions propres de l’énergie du système.

Le système est suffisamment simple pour être traité sans passer par l’algèbre linéaire.(On peut le faire mais c’est inutile …)

Il faut donc résoudre l’équation aux valeurs propre pour l’énergie, c’est-à-dire l’équation de Schrödinger, suivante :

Les solutions de cette équation différentielle sont de la forme :

Il y a donc une solution générale (pour x compris entre 0 et a):

(A et B peuvent être complexes)

Pour déterminer A et B, il faut introduire d’autres données : les conditions aux limites

Il faut pour cela, se rappeler une des propriétés que doivent posséder les fonctions d’onde :

- Les fonctions d’ondes sont des fonctions continues

Ceci doit être vrai en particulier aux points 0 et a.

Continuité de la fonction :

donc

Comme E dépend de k, on a :

L’énergie est quantifiée !!!Elle dépend d’un entier que l’on appelle « nombre quantique »

(n=0 ?)

n-Les niveaux s ’éloignent les uns des autres lorsque n augmente-L’énergie minimale n’est pas nulle ! C’est l’énergie de point zéro. Ceci a des conséquences très importantes en physique statistique et n’a pas d’équivalent « classique ».-Lorsque a augmente, les niveaux se resserrent. Lorsque a tend vers l’infini la quantification disparaît.

L’énergie de point zéro est une source d’inspiration inépuisable pour la SF !Dr Rodney McKay travaillant sur un ZPM (Stargate Atlantis)

normalisation des fonctions propres :

Il ne reste qu’à déterminer la valeur de A afin que la fonction soit normalisée :

Etat fondamental

noeud

n=1n=2n=3

n=4

n=5 Il y a n-1 nœuds dans chaque fonction

Il y a alternance de fonctions paires et impaires par rapport à l’axe du puit.

Classique

Quantique

Densité de probabilité :

La densité de probabilité est nulle aux nœuds de la fonction d’onde.

La mesure de la position de la particule montrera qu’elle a des zones « privilégiées » d’existence en fonction de son énergie.

n=1n=2n=3

n=4

n=5

Valeur moyenne de la position de la particule :

Quelque soit n, la valeur moyenne de la position de la particule est au milieu du puits.Cela semble normal puisque toutes les fonctions densité de probabilité sont symétriques par rapport à a/2.

Valeur moyenne de la quantité de mouvement de la particule :

Produit fonction impaire par fonction paire !

Ceci ne signifie pas que la molécule est immobile ! Mais est cohérent avec la symétrie du problème car on a autant de chances de mesurer la particule allant de droite à gauche que de gauche à droite.

La plus petite valeur est obtenue pour n=1 et l’on a alors

Ce qui est en accord avec la relation d’Heisenberg.

2) Etude d’une particule dans un puits infini 2D (quantum wire).

Les fonctions propres sont simplement :

Et les énergies :

3) Etude d’une particule dans un puits infini 3D (quantum dot).

Avec des nanostructures, il y a très peu de niveaux possibles à l’intérieur de la cavité, l’écart entre ces niveaux peut être ajusté très précisément en jouant sur la taille de l’objet. On peut ainsi moduler l’énergie de transition entre ces niveaux.

4) Etude d’une particule dans un puits fini 1D :

I IIIII

On doit alors résoudre l’équation aux valeurs propres :

Solutions :

I IIIII

Exemple de fonctions d’onde dans des puits finis de différentes largeurs.

Notez que la décroissance exponentielle est plus importante dans le haut du puits.La recherche des constantes est plus compliquée que dans le puits infini. Il faut utiliser les conditions aux limites portant sur la continuité de la fonction et sur la continuité de sa dérivée.