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VII) Formalisme Quantique

Certains tats quantiques ne peuvent tre dcrits par une fonction donde

telle que nous les avons vues (le spin par exemple). Le formalisme doit tre

gnralis de manire a pouvoir dcrire tous les systmes.

En mcanique ondulatoire : Ltat du systme est dcrit par une

fonction donde.

Dans le formalisme gnral : Ltat du systme est dcrit par un

vecteur dtat faisant partie de lespace des tats du systme.

Les vecteurs dtat peuvent tre associs une fonction donde, mais ce

nest pas obligatoire.

Le formalisme quantique se retrouve bas sur les rgles du calcul vectoriel

dans lespace des tats.

1) Notation de Dirac

Un vecteur quelconque de lespace des tats, , est appel vecteur-ket ou plus simplement ket. On le note par le symbole , en mettant

lintrieur un signe distinctif permettant de le diffrencier des autres tats.

Par exemple, si le ket est associ un tat dcrit pas une fonction (r), on pourra le noter :

: ket psi

A tout vecteur-ket de , correspond un vecteur dans lespace dual * que lon nomme vecteur-bra ou bra.

Les fonctions que lon manipulait en mcanique ondulatoire taient

complexes. On admettra quil existe un espace dual, *, de lespace des tats dont les vecteurs dtats peuvent tre associs aux fonctions complexes

conjugues des fonctions associes aux vecteurs dtat de .

: bra psiNB : En anglais, bracket

signifie crochet.

Quelques proprits :

-Si est un complexe et |> un ket de , alors |> est galement un ket de que lon peut noter | > .

-Le bra associ |> est * est not < | >

On a les proprits suivantes

< | > = < | >*

< | 1 1 + 2 2 > = 1 < | 1> + 2 < | 2 >

< 1 1 + 2 2 | > = 1*< 1 | > + 2*< 2 | >

Normalisation et orthogonalit

'

* 1tout l espace

dv =

ij

espaceltout

ji dv ='

*

Mcanique ondulatoire Formalisme quantique

< | >=1normalisation

othonormalit < i | j >=ij

La notation de Dirac est plus lgre

Oprateurs :

Lorsque lon fait agir loprateur A sur un ket |>, on obtient un autre ket.

A |> = |>

De mme : A | 1 1 + 2 2 > = 1 A | 1 > + 2 A |2 > (i : complexes)

On appelle lment de matrice de A entre et , le produit scalaire :

< | A |> = < | > ( cest un nombre complexe !)

Le produit dun ket par un bra est un oprateur !

Si A= |> < |

Alors A |> = |> < | > = |> : complexe

Oprateurs (suite) :

On dsigne par oprateur adjoint, A+, de loprateur A, loprateur qui

vrifie :

Si A |> = |> alors < | = < | A+

Comme < | > = < | >*

Alors < | > = < | A+ | > = < | >* = < | A |>*

Do < | A+ | > = < | A |>*

Lorsquun oprateur concide avec son adjoint : A= A+

On dit que A est HERMITIQUE et lon a

< | A | > = < | A |>*

2) Dfinir une base dans lespace des tats

Comme dans tout espace vectoriel, il existe une infinit de bases

orthonormes que lon peut dfinir dans . Si cet espace est de dimension N, alors on aura N vecteurs de base |ui> i=1N vrifiant la relation

dorthonormalit :

< ui | uj >=ij

Et tout ket |> de pourra scrire :

|> = 1 |u1> + 2 |u2> + 3 |u3> +.. +N |uN> ==

N

innu

1

Composantes de |> sur les |ui>

Pour calculer les composantes, on utilise un oprateur de projection, Pi :

= |ui> = 1 |ui> +..+ i |ui> +.. +N |ui>

0 0 0 01

Pi |> = i |ui>

Si lon additionne tous les oprateurs projections, on doit retrouver toutes

les composantes du vecteur |>

1 1

N N

i i ii i

P u = =

= =

On a donc

1==

N

iiP

1

Oprateur identit (ne fait rien)

Relation de fermeture

Signifie que la base est complte (suffisante pour bien dcrire |>)

Base discrte et base continue :

Lorsque les tats sont quantifis, on a une base discrte dtats, et on doit

utiliser le signe somme, comme dans les relations prcdentes.

Lorsque les tats ne sont pas quantifis, on a une base continue, et on doit

utiliser le signe intgral.

< ui | uj >=ij < wa | wb >=(a-b)

1aaww =

Base continue

1==

N

iiP

1

Base discrte

Attention, une base discrte peut tre de dimension infinie (N= )!

Delta

de

Dirac

Reprsentation dun ket :

Dans la base des |ui> le ket |> est reprsent par ses composantes ci

ucucuc nn+++= ...2211

Le ket est reprsent par le vecteur colonne des coefficients

=

nc

c

c

:.2

1

Cette notation implique que la base est clairement dfinie.

Au mme ket correspondent des reprsentations diffrentes dans diffrentes bases.

Reprsentation dun bra :

Dans lespace dual, le bra associ au ket prcdent, dans la base des bras

Reprsentation dun oprateur :

Dans la base |ui>, un oprateur A est reprsent par une matrice dont les

lments de matrices sont dfinis par :

Aij=< ui | A | uj >

Lignecolonne

=

nnn2n1

2n2221

1n1211

A....AA

::::

A....AA

A....AA

A Matrice carre

Laction de A puis de B est reprsent par la matrice dont les lments sont :

< ui|BA| uj>

On peut insrer la relation de fermeture de la base |ui>.

Application successive de deux oprateurs :

Soient A et B deux oprateurs reprsents dans la base des |ui>.

==k

kjikk

jkkijiuAuuBuuBAu AB

Cest la formule usuelle du produit de matrice

1

Attention, certains oprateurs ne commutent pas

BAAB

[ ] ( ) 0= BAABAB

Application dun oprateur un ket :

Si |>= A|>

Les composantes de |> sont ci = =

En insrant la relation de fermeture :

==j

jijj

jjiiuuAuc cA'

On obtient la formule usuelle du produit matrice-vecteur

Le produit scalaire :

Si |> et |> sont deux kets, on peut calculer leur produit scalaire en utilisant leur reprsentation dans une base |ui> :

iii

ii

ibauu* ==

=i

iiua

=i

iiub

qui est

j

i j

iji

jj

i j

ii

uuba

uuuu

=

=

*

Le produit ket-bra :

Nous avons vu que le produit dun ket par un bra est un oprateur

=i

iiua =

iiiub

Reprsente une matrice

dont tous les lments

sont nuls sauf celui de la

ligne i, colonne j, qui

vaut 1.

(facile dmontrer)

On obtient finalement un oprateur

dont les lments de matrice sont :

Aij=ai bj*

Rcapitulatif

( )

=

( )

=

=

( )

Ket | >

Bra < |

Oprateur A

AB=C

< | > = scalaire

| > < | = oprateur

Exemple : la monnaie (qu)antique

Ttradrachme d'argent

Tte d'Athna avec des feuilles d'olivier sur le casque

Revers: chouette, rameau d'olivier, croissant de lune

Vers 460-450 avant JC

Lespace des tats pour lobservable face visible est compose de

deux tats propres :

Pile, not par le ket | p >Face, not par le ket | f >

La fonction donde dcrivant la pice est :

|> = | f > + | p >

Avec 2+2=1

peut tre diffrent de car les calculs de probabilits ntaient pas encore trs connus lpoque, et la pice est trs mal quilibre.

1

0f

=

0

1p

=

=

Loprateur suivant permet de retourner la pice :0 1

1 0A

=

En effet :

pfA =

=

=

10

01

0110

fpA =

=

=

01

10

0110

Sont effet sur la fonction donde est moins clair !

pfA

+=

=

=

0110

En fait, cet oprateur permute les coefficients (et les probabilits) de chaque face.

Loprateur du tricheur :

=

00

01B

donne toujours le rsultat pile lorsque lon mesure la face visible :

fB =

=

=

0

1

00

01

La combinaison de A et B donne :

1 10 10 0

1 00 0 0 0 0

BA f

= = = =

pAB =

=

=

=

1

0

01

00

00

01

01

10

A et B ne

commutent pas

Lexemple de la monnaie nest pas trs physique, mais il existe beaucoup

de systmes simples 2 tats.

Spin de llectron

Polarisation

de la

lumire

Observables :

Un oprateur qui peut tre associ une observable doit concider avec

son adjoint (proprit dhermiticit) et on a alors :

< ui | A | uj > = < uj | A |ui>*

Au niveau de la matrice reprsentant loprateur, cela signifie que :

* Les lments symtriques par rapport la diagonale

principale sont complexes conjugus.

* Les lments sur la diagonale principale sont rels.

Exemple

dobservable :

+

+

=2260230608210211

iii

iii

A

Diagonale principale

NB : une matrice relle

symtri