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  • VII) Formalisme Quantique

    Certains tats quantiques ne peuvent tre dcrits par une fonction donde

    telle que nous les avons vues (le spin par exemple). Le formalisme doit tre

    gnralis de manire a pouvoir dcrire tous les systmes.

    En mcanique ondulatoire : Ltat du systme est dcrit par une

    fonction donde.

    Dans le formalisme gnral : Ltat du systme est dcrit par un

    vecteur dtat faisant partie de lespace des tats du systme.

    Les vecteurs dtat peuvent tre associs une fonction donde, mais ce

    nest pas obligatoire.

    Le formalisme quantique se retrouve bas sur les rgles du calcul vectoriel

    dans lespace des tats.

  • 1) Notation de Dirac

  • Un vecteur quelconque de lespace des tats, , est appel vecteur-ket ou plus simplement ket. On le note par le symbole , en mettant

    lintrieur un signe distinctif permettant de le diffrencier des autres tats.

    Par exemple, si le ket est associ un tat dcrit pas une fonction (r), on pourra le noter :

    : ket psi

    A tout vecteur-ket de , correspond un vecteur dans lespace dual * que lon nomme vecteur-bra ou bra.

    Les fonctions que lon manipulait en mcanique ondulatoire taient

    complexes. On admettra quil existe un espace dual, *, de lespace des tats dont les vecteurs dtats peuvent tre associs aux fonctions complexes

    conjugues des fonctions associes aux vecteurs dtat de .

    : bra psiNB : En anglais, bracket

    signifie crochet.

  • Quelques proprits :

    -Si est un complexe et |> un ket de , alors |> est galement un ket de que lon peut noter | > .

    -Le bra associ |> est * est not < | >

    On a les proprits suivantes

    < | > = < | >*

    < | 1 1 + 2 2 > = 1 < | 1> + 2 < | 2 >

    < 1 1 + 2 2 | > = 1*< 1 | > + 2*< 2 | >

  • Normalisation et orthogonalit

    '

    * 1tout l espace

    dv =

    ij

    espaceltout

    ji dv ='

    *

    Mcanique ondulatoire Formalisme quantique

    < | >=1normalisation

    othonormalit < i | j >=ij

    La notation de Dirac est plus lgre

  • Oprateurs :

    Lorsque lon fait agir loprateur A sur un ket |>, on obtient un autre ket.

    A |> = |>

    De mme : A | 1 1 + 2 2 > = 1 A | 1 > + 2 A |2 > (i : complexes)

    On appelle lment de matrice de A entre et , le produit scalaire :

    < | A |> = < | > ( cest un nombre complexe !)

    Le produit dun ket par un bra est un oprateur !

    Si A= |> < |

    Alors A |> = |> < | > = |> : complexe

  • Oprateurs (suite) :

    On dsigne par oprateur adjoint, A+, de loprateur A, loprateur qui

    vrifie :

    Si A |> = |> alors < | = < | A+

    Comme < | > = < | >*

    Alors < | > = < | A+ | > = < | >* = < | A |>*

    Do < | A+ | > = < | A |>*

    Lorsquun oprateur concide avec son adjoint : A= A+

    On dit que A est HERMITIQUE et lon a

    < | A | > = < | A |>*

  • 2) Dfinir une base dans lespace des tats

    Comme dans tout espace vectoriel, il existe une infinit de bases

    orthonormes que lon peut dfinir dans . Si cet espace est de dimension N, alors on aura N vecteurs de base |ui> i=1N vrifiant la relation

    dorthonormalit :

    < ui | uj >=ij

    Et tout ket |> de pourra scrire :

    |> = 1 |u1> + 2 |u2> + 3 |u3> +.. +N |uN> ==

    N

    innu

    1

    Composantes de |> sur les |ui>

  • Pour calculer les composantes, on utilise un oprateur de projection, Pi :

    = |ui> = 1 |ui> +..+ i |ui> +.. +N |ui>

    0 0 0 01

    Pi |> = i |ui>

  • Si lon additionne tous les oprateurs projections, on doit retrouver toutes

    les composantes du vecteur |>

    1 1

    N N

    i i ii i

    P u = =

    = =

    On a donc

    1==

    N

    iiP

    1

    Oprateur identit (ne fait rien)

    Relation de fermeture

    Signifie que la base est complte (suffisante pour bien dcrire |>)

  • Base discrte et base continue :

    Lorsque les tats sont quantifis, on a une base discrte dtats, et on doit

    utiliser le signe somme, comme dans les relations prcdentes.

    Lorsque les tats ne sont pas quantifis, on a une base continue, et on doit

    utiliser le signe intgral.

    < ui | uj >=ij < wa | wb >=(a-b)

    1aaww =

    Base continue

    1==

    N

    iiP

    1

    Base discrte

    Attention, une base discrte peut tre de dimension infinie (N= )!

    Delta

    de

    Dirac

  • Reprsentation dun ket :

    Dans la base des |ui> le ket |> est reprsent par ses composantes ci

    ucucuc nn+++= ...2211

    Le ket est reprsent par le vecteur colonne des coefficients

    =

    nc

    c

    c

    :.2

    1

    Cette notation implique que la base est clairement dfinie.

    Au mme ket correspondent des reprsentations diffrentes dans diffrentes bases.

  • Reprsentation dun bra :

    Dans lespace dual, le bra associ au ket prcdent, dans la base des bras

  • Reprsentation dun oprateur :

    Dans la base |ui>, un oprateur A est reprsent par une matrice dont les

    lments de matrices sont dfinis par :

    Aij=< ui | A | uj >

    Lignecolonne

    =

    nnn2n1

    2n2221

    1n1211

    A....AA

    ::::

    A....AA

    A....AA

    A Matrice carre

  • Laction de A puis de B est reprsent par la matrice dont les lments sont :

    < ui|BA| uj>

    On peut insrer la relation de fermeture de la base |ui>.

    Application successive de deux oprateurs :

    Soient A et B deux oprateurs reprsents dans la base des |ui>.

    ==k

    kjikk

    jkkijiuAuuBuuBAu AB

    Cest la formule usuelle du produit de matrice

    1

  • Attention, certains oprateurs ne commutent pas

    BAAB

    [ ] ( ) 0= BAABAB

  • Application dun oprateur un ket :

    Si |>= A|>

    Les composantes de |> sont ci = =

    En insrant la relation de fermeture :

    ==j

    jijj

    jjiiuuAuc cA'

    On obtient la formule usuelle du produit matrice-vecteur

  • Le produit scalaire :

    Si |> et |> sont deux kets, on peut calculer leur produit scalaire en utilisant leur reprsentation dans une base |ui> :

    iii

    ii

    ibauu* ==

    =i

    iiua

    =i

    iiub

    qui est

  • j

    i j

    iji

    jj

    i j

    ii

    uuba

    uuuu

    =

    =

    *

    Le produit ket-bra :

    Nous avons vu que le produit dun ket par un bra est un oprateur

    =i

    iiua =

    iiiub

    Reprsente une matrice

    dont tous les lments

    sont nuls sauf celui de la

    ligne i, colonne j, qui

    vaut 1.

    (facile dmontrer)

    On obtient finalement un oprateur

    dont les lments de matrice sont :

    Aij=ai bj*

  • Rcapitulatif

    ( )

    =

    ( )

    =

    =

    ( )

    Ket | >

    Bra < |

    Oprateur A

    AB=C

    < | > = scalaire

    | > < | = oprateur

  • Exemple : la monnaie (qu)antique

    Ttradrachme d'argent

    Tte d'Athna avec des feuilles d'olivier sur le casque

    Revers: chouette, rameau d'olivier, croissant de lune

    Vers 460-450 avant JC

  • Lespace des tats pour lobservable face visible est compose de

    deux tats propres :

    Pile, not par le ket | p >Face, not par le ket | f >

    La fonction donde dcrivant la pice est :

    |> = | f > + | p >

    Avec 2+2=1

    peut tre diffrent de car les calculs de probabilits ntaient pas encore trs connus lpoque, et la pice est trs mal quilibre.

  • 1

    0f

    =

    0

    1p

    =

    =

    Loprateur suivant permet de retourner la pice :0 1

    1 0A

    =

    En effet :

    pfA =

    =

    =

    10

    01

    0110

    fpA =

    =

    =

    01

    10

    0110

    Sont effet sur la fonction donde est moins clair !

    pfA

    +=

    =

    =

    0110

    En fait, cet oprateur permute les coefficients (et les probabilits) de chaque face.

  • Loprateur du tricheur :

    =

    00

    01B

    donne toujours le rsultat pile lorsque lon mesure la face visible :

    fB =

    =

    =

    0

    1

    00

    01

    La combinaison de A et B donne :

    1 10 10 0

    1 00 0 0 0 0

    BA f

    = = = =

    pAB =

    =

    =

    =

    1

    0

    01

    00

    00

    01

    01

    10

    A et B ne

    commutent pas

  • Lexemple de la monnaie nest pas trs physique, mais il existe beaucoup

    de systmes simples 2 tats.

    Spin de llectron

    Polarisation

    de la

    lumire

  • Observables :

    Un oprateur qui peut tre associ une observable doit concider avec

    son adjoint (proprit dhermiticit) et on a alors :

    < ui | A | uj > = < uj | A |ui>*

    Au niveau de la matrice reprsentant loprateur, cela signifie que :

    * Les lments symtriques par rapport la diagonale

    principale sont complexes conjugus.

    * Les lments sur la diagonale principale sont rels.

    Exemple

    dobservable :

    +

    +

    =2260230608210211

    iii

    iii

    A

    Diagonale principale

    NB : une matrice relle

    symtri