centre des classes prÉparatoires lydex-benguerir/maroc

PCSI-LYDEX

20 juin 2018 Page -2- [email protected]

Quatrième partie

THERMODYNAMIQUE

3

TABLE DES MATIÈRES

IV THERMODYNAMIQUE 3

1 MODÈLE DU GAZ PARFAIT 9

1.1 Modèle microscopique du gaz parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.2 La pression cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.3 Théorème d’équipartition :Température cinétique . . . . . . . . . . . . 13

1.1.4 Équation d’état :Notion de gaz réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2 L’énergie interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2.3 Capacités calorifiques à volume constant . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 STATIQUE DES FLUIDES 19

2.1 Équation fondamentale de la statique des fluides . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Équilibre d’une atmosphère isotherme. Facteur de Boltzmann. . . . . . . . . 20

2.2.1 Variation de la pression avec l’altitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.2 Généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3 Poussée d’ARCHIMÈDE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 SYSTÈMES THERMODYNAMIQUES 29

3.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2 Équilibre thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3 Variables thermodynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.4 Transformations thermodynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.5 Cœfficients thermo-élastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.5.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.5.2 Relations aux dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.5.3 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4 PREMIER PRINCIPE DE LA THERMODYNAMIQUE 35

4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.1.1 Travail échangé par un système :travail des forces de pression . . . . 35

4.1.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5

PCSI-LYDEX TABLE DES MATIÈRES

4.1.3 Transfert thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.1.4 Divers formes de transfert d’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2 Premier principe de la thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.3 Conséquences pratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.4 Enthalpie d’un système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.5 Capacités thermiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.5.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.5.2 Interprétation en terme de chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.6 Détente de Joule-Gay Lussac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.7 Détente de Joule-Thomson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.8 Applications au gaz parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.8.1 Loi de Joule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.8.2 Relation de Mayer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.8.3 Loi de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.8.4 Formule de Reech . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.9 Enthalpie d’une phase condensée dans le modèle incompressible et indilatable 47

5 Second principe pour un système fermé 49

5.1 Énoncé du deuxième principe (ILYA PRÉGOGINE) . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.2 IDENTITÉS THERMODYNAMIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.2.1 Différentielle de l’énergie interne d’un système simple fermé . . . . . 51

5.2.2 Pression et température thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.2.3 Première identité thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.2.4 Deuxième identité thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.3 TRANSFORMATIONS DU GAZ PARFAIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.3.1 Adiabatique réversible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.3.2 Transformation quelconque : l’entropie d’un gaz parfait . . . . . . . . 52

5.3.3 Applications aux détentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.3.3.1 Détente de Joule Gay-Lussac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.3.3.2 Détente de Joule Thomson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.4 Entropie d’une phase condensée dans le modèle incompressible et indilatable 54

5.5 Énergie libre F ,Enthalpie libre G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.5.1 Énergie libre F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.5.2 Enthalpie libre G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.6 Troisième principe de la thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.6.1 Facultatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.7 L’interprétation statistique de l’entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6 CHANGEMENT D’ÉTAT D’UN CORPS PUR 61

6.1 Notions générales sur la changement d’état d’un corps pur . . . . . . . . . . 61

6.2 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6.3 Isothermes d’ANDREWS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6.4 Changement d’état en diagramme (P,T) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6.5 Transfert thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.6 Règles des moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6.7 Formule de CLAPEYRON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67



7 MACHINES DITHERMES 697.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697.2 Les différentes machines dithermes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

7.2.1 Moteur thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697.2.2 Machine frigorifique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707.2.3 Pompe à chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

7.3 MACHINES DE CARNOT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717.3.2 Représentation du cycle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

7.3.2.1 En diagramme TS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727.3.2.2 En diagramme PV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

7.4 Expressions des rendements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737.4.1 Machines de Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737.4.2 Machines Réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

7.5 Premier ppe de la thermo pour un système ouvert en écoulement permanent 757.5.1 Débit massique,débit convectif d’une grandeur extensive . . . . . . . 75

7.5.1.1 Débit massique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 757.5.1.2 Débit convectif d’une grandeur extensive . . . . . . . . . . . . 76

7.5.2 Bilan enthalpique pour un écoulement permanent . . . . . . . . . . . 77

8 DIFFUSION DES PARTICULES 798.1 DÉFINITION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 798.2 Étude macroscopique de la diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

8.2.1 Vecteur densité de courant de particules . . . . . . . . . . . . . . . . . 798.2.2 Loi de conservation de particules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

8.3 LOI DE FICK . ÉQUATION DE DIFFUSION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 818.3.1 Loi de FICK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 818.3.2 Equation de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 818.3.3 Résolution de l’équation de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

8.4 MODÈLE MICROSCOPIQUE DE LA DIFFUSION DANS LE GAZ . . . . . . . . 82


CHAPITRE 1

MODÈLE DU GAZ PARFAIT

La thermodynamique est la partie de la physique qui s’interesse à l’étude desbilans d’énergie entre un système et le milieu l’extérieur, autrement dit c’estl’étude des propriétés physiques des corps en fonction de la température.

Définition

1.1 Modèle microscopique du gaz parfait

1.1.1 Définitions

⊲ Un gaz estmonoatomique s’il est constitué d’un seul type d’atome célibataire.(gazrares et vapeur des métaux)⊲ Un gaz est diatomique s’il est constitué de deux atomes (O2,N2,CO,HCl,NO,· · · )

Considérons un gaz dans une enceinte :

P

9

PCSI-LYDEX 1.1. MODÈLE MICROSCOPIQUE DU GAZ PARFAIT

Le gaz est considéré parfait si : Les particules du gaz sont ponctuelles (a). Pas d’interaction entre les particules (b). Le choc des particules avec la paroi est élastique(c).

Définition

En effet :

(a) : Soit vp le volume propre d’une particule ( modèle des sphères dures).Soit N le nombre de particules que renferme l’enceinte.Si on pose Vp le volume propre du gaz alors

Vp = Nvp

la condition (a) est équivalente à

Vp = Nvp ≪ V = L × l × h

V = L × l × h le volume macroscopique.

Particules ponctuelles

Si Vp ≪ V alors les particules du gaz seront considérées comme ponctuelles ( i.epas de volume propre)

(b) :Pas d’interactions entre les particules c’est à dire :

Ep(microscopique) = EP,µ = 0

Par conséquent l’énergie mécanique du gaz est purement cinétique.

Em,µ = Ec,µ + Ep,µ =⇒ Em,µ = Ec,µ

(c) :Choc élastique c’est à dire

Ec(av) = Ec(ap) =⇒ V ′2 = V2

Choc élastique

Si le choc est élastique alors la norme du vecteur vitesse est conservée avant etaprès choc

1.1.2 La pression cinétique

On rappelle que la pression P(M) au point M est définit par

P(M) =dF

dS



avec : dF l’intensité de la force moyenne exercée au point M et dS une surface élémen-taire entourant le point M.

La pression est un scalaire positif, son unité dans le système international estla pascal tel que 1Pa = 1N/m2 . 1Bar =105 Pascal. 1 atm =101325 Pascal. 1 atm= 76 cm Hg. Dans le cas général La pression P(M) en un point quelconque M d’un fluide estdéfinie par :

d−→F = −P(M)

−→dS = −P(M)dS−→n

où dS est un élément de surface quelconque entourant le point M, et −→n un vecteurunitaire normale à la surface dS orienté vers l’extérieur

Remarques

Soit un gaz parfait en équilibre dans un référentiel galiléen R ,enfermé dans une en-ceinte de volume macroscopique V ; à la température T .Ce gaz contient N particules ponctuelles .

M

dτ

∑

(N,V)

On appelle la densité particulaire au point M qu’on note n∗ le nombre de particules parunité de volume

n∗ =dN

dτ=⇒ N =

$V

n∗dτ

Cas particulier : Si le système∑

est homogène alors la densité particulaire n∗ est constanteet par conséquent N = n∗V

n∗ = cte =⇒ N = n∗V

On suppose que le système est isotrope c’est à dire que toutes les directions sont pos-sibles et équiprobables c’est à dire que le vecteur vitesse peut prendre :±vx

−→ex;±vy−→ey;±vz

−→ez

et par conséquent la probabilité de

P(+vx) = P(−vx) = P(+vy) = P(−vy) = P(+vz) = P(−vz) =1

6

On appelle vitesse quadratique moyenne −→u la racine carré de la valeur moyenne du carréde la vitesse :

−→u 2=< −→v 2 >=< −→vx

2 > + < −→vy2 > + < −→vz

2 >=⇒< −→vx2 >=< −→vy

2 >=< −→vz2 >=

−→u 2

3



On suppose pour la suite que tous les particules du gaz se déplacent avec la mêmevitesse égale à la vitesse quadratique −→u .Déterminons la force que subit une particule lors du son choc avec la paroi de

∑

.Pour cela appliquons la relation fondamentale de la dynamique dans le référentiel Rgaliléen

−→f Σ→P = m−→a =⇒

−→f Σ→P = m

∆−→v

∆t

avec ∆t la durée du choc et m la masse de la particule

α

αx

y

M

−→v

−→v′

Puisque le choc est élastique alors il y a conservation de l’énergie cinétique de la parti-cule avant et après le choc

1

2m−→v 2

=1

2m−→v′ 2 =⇒ v = v′

Par conséquent il y a conservation de la norme de la vitesse avant et après le choc .

Évaluons ∆−→v

∆−→v =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−v′ cosα

v′ sinα

0

−

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

v cosα

v sinα

0

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−2v cosα

0

0

Donc :−→f Σ→P = −

2mv cosα

∆t−→ex = −

−→f P→Σ

C’est une force normale à la surface Σ au point M.Question :Quelle est le nombre dN de particules qui vont heurter une surface élémen-

taire dS entourant le point M pendant la durée ∆t du choc ?Les dN particules ayant choc pendant ∆t avec dS sont contenu dans un cylindre de vo-lume élémentaire

dτ =−→dS .−→v ∆t = vdS cosα∆t



v∆t

αx

y

M

−→v

−→dS

Donc le nombre de particules est:

dN =1

2n∗vdS cosα∆t

Le1

2parce que les vitesses −→v et −−→v ont la même probabilité (

1

2) et par conséquent la

force pressante moyenne d−→F au point M du au choc à pour expression

d−→F = dN

−→f P→Σ =

1

2n∗vdS cosα∆t

2mv cosα

∆t−→ex

Sachant que vx = v cosα =⇒< v2x >=−→u 2

3On conclut donc que

d−→F =

1

3mn∗−→u 2dS −→ex

On tire que la pression au point M est

P(M) =1

3mn∗−→u 2

On remarque que cette pression est proportionnelle à l’énergie cinétique ,elle est nom-mée pression cinétiqueComme

n∗ =N

V=⇒ PV =

1

3mN−→u 2

= n1

3mNA

−→u 2

1.1.3 Théorème d’équipartition :Température cinétique

On admet le théorème suivant :

À chaque terme quadratique dans l’expression de l’énergie totale d’une particule

on fait associer1

2kBT

ThéorèmeThéorème d’équipartition

avec kB = 1.38.10−23JK−1 :constante de Boltzmann



T est dite température cinétique.

1. kB =R

NA

=⇒ R = NAkB

2. Est-ce que les termes suivants sont quadratiques ou non?

Terme mgz1

2kx2 mgl(1 − cos θ)

1

2mgℓθ2

Quadratique Non oui non oui

Remarques

Activité

Gaz parfait monoatomique

On a : em = ec =1

2mu2 =

1

2m(V2

x + V2y + V2

z )

Par conséquent :

em = ec =3

2KT

Gaz parfait diatomiquePour un gaz parfait diatomique la distance entre les atomes est constante (modèle clas-sique) , chaque particule possède cinq degrés de liberté (xG, yG, zG) les coordonnées dubarycentre G et deux de rotations ϕ, θ autour de G et par conséquent :

ec =1

2mv2Gx +

1

2mv2Gy +

1

2mv2Gz +

1

2Jϕϕ

2+

1

2Jθθ

2 et ep = 0 donc

em =5

2kBT

1.1.4 Équation d’état :Notion de gaz réel

On appelle paramètre d’état ou variable d’état d’un système thermodynamique unevariable qui décrit l’état macroscopique du système .

température , volume, nombre de particule , pression ....

Exemple

On appelle équation d’état une équation entre les variables d’état ; pour les gazelle est de la forme f (P, T,V,N) = 0

L’équation d’état d’un gaz parfait est

PV = nRT = NkBT

Avec n le nombre de mole du gaz , R la constante des gaz parfaits et kB la constante deBoltzmann

R = NAkB == 8, 314 JK−1



On peut définir la température cinétique d’un gaz parfait monoatomique par

PV = NKT =1

3mN −→u 2

=⇒ T =m −→u 2

3K

Remarque

On trace dans le diagramme d’amagat y = PV = f (P) à T = cte

G.P

G.R

G.R

P

y=PV

Dans le diagramme d’amagat y = PV = f (P) est une droite horizontale.Pour un gaz réel y = PV = f (P) est une courbe qui coincide avec celle du gaz parfait enfaible pression (P→ 0)(ou à volume infini (V →∞)

Conclusion:

Tout gaz réel tend vers un gaz parfait à pression faible ou à volumeinfini

lim

P→0ouV→∞

GR = GP

Un gaz est dit réel lorsque il n’est pas parfait c’est à dire au moins si :⊲ Les particules ne sont pas ponctuelles : possèdent un volume propre pas négli-

geable.⊲ Le choc avec la parois n’est pas élastique.⊲ L’interaction entre les particules n’est pas négligeable : le système admet une éner-

gie potentielle microscopique.

Il existe plusieurs équation d’état pour les gaz réel ,la plus utilisée est celle du VanDear Waals :

(P +n2a

V2)(V − nb) = nRT

b représente le volume propre d’une mole de particules , nommé le covolume

n2a

V2traduit la pression du aux chocs entre les particules , nommé la pression in-


PCSI-LYDEX 1.2. L’ÉNERGIE INTERNE

terne

Dans l’équation d’état du gaz de Van Dear Waals si a = b = 0 alors on retrouvel’équation d’état du gaz parfait

Remarque

1.2 L’énergie interne

1.2.1 Définition

l’énergie interne U d’un système est l’énergie mécanique moyenne dans un référen-tiel galiléen R′ ou le système est au repos, sans interaction avec aucun champ extérieur :

U = Ec/R′ + Epint

Ec/R′ : l’ énergie cinétique microscopique moyenne du gaz Epint : énergie potentielle d’interaction entre les différents particules du système.

1.2.2 Applications

Pour un gaz parfait monoatomique on a les particules sont ponctuelles , chaqueparticule possède trois degrés de liberté (x, y, z) et par conséquent :

ec =1

2mv2x +

1

2mv2y +

1

2mv2z et ep = 0 donc em = ec + ep = ec d’où :

U = Em =3

2NkBT =

3

2nRT

Pour un gaz parfait diatomique la distance entre les atomes est constante (modèleclassique) , chaque particule possède cinq degrés de liberté (xG, yG, zG) les coordonnéesdu barycentre G et deux de rotations ϕ, θ autour de G et par conséquent :

ec =1

2mv2Gx +

1

2mv2Gy +

1

2mv2Gz +

1

2Jϕϕ

2+

1

2Jθθ

2 et ep = 0 donc em = ec + ep = ec d’où :

U = Em =5

2NkBT =

5

2nRT

Pour un gaz parfait l’énergie interne ne dépend que de la température (premièreloi de Joule ), par contre pour un gaz réel son énergie interne dépend de la tem-pérature et du volume c’est à dire U = U(T,V)

Remarque



1.2.3 Capacités calorifiques à volume constant

On définit la capacité calorifique à volume constant d’un gaz par :

Cv =∂U

∂T

)

V=ct(J.K−1)

Pour un gaz parfait : monoatomique

Cv(GPM) =3

2nR

diatomique

Cv(GPD) =5

2nR

On définit aussi les capacités calorifiques⊲ molaires à volume constant par

Cvm =Cv

n(J.K−1.mol−1)

⊲ massiques à volume constant

cv =Cv

m(J.K−1g−1)

Pour un gaz parfait : monoatomique

Cvm(GPM) =3

2R , cv(GPM) =

3

2

R

M

diatomique

Cv(GPD) =5

2R , cv(GPD) =

5

2

R

M

Avec M la masse molaire du gaz parfait.On récapitule

G.P.M G.P.D

U(J)3

2nRT

5

2nRT

Cv(J.K−1)3

2nR

5

2nR

Cv,m(J.K−1.mol−1)3

2R = 12, 47

5

2R = 20, 8

cv(J.K−1.kg−1)3R

2M

5R

2M


CHAPITRE 2

STATIQUE DES FLUIDES

2.1 Équation fondamentale de la statique des fluides

Soit un fluide (liquide ou gaz) :Homogène :Sa masse volumique ρ(M) est la même en tout point M du fluide.

On suppose que le fluide est soumis à l’action du champ de pesanteur −→g supposéuniforme, en équilibre dans un référentiel R supposé galiléen .Considérons une tranche du fluide horizontale comprise entre les altitudes z et z + dz

possédant un surface S

y

z

x

−→g

−→F (z + dz)

−→F (z)

z

z + dz

Inventaire des forces appliquées sur cette tranche de hauteur dz

Le poids d−→P = −dm−→g = −ρS dzg −→ez

La force pressante à la hauteur z + dz :−→F (z + dz) = −P(z + dz)S −→ez

La force pressante à la hauteur z :−→F (z) = P(z)S −→ez

La condition d’équilibre s’écrit :−ρS dzg −→ez − P(z + dz)S −→ez + P(z)S −→ez =−→0

On tire que

dP

dz+ ρg = 0

19

PCSI-LYDEX 2.2. ÉQUILIBRE D’UNE ATMOSPHÈRE ISOTHERME. FACTEUR DE BOLTZMANN.

C’est l’équation fondamentale de la statique des fluides projeté sur l’axe des z orientévers le haut

On suppose que le fluide est incompressible : sa masse volumique est constante.Par intégration on trouve :

P(z) + ρgz = cte

C’est à dire que si zր=⇒ P(z) ց et vice versa.Pour déterminer la constante on fixe un niveau de référence : la surface libre ou la pres-sion vaut la pression atmosphérique.Et suivant le choix de l’origine du point O c’est àdire z = 0 soit en surface soit au fond du fluide.

1. A z = h on a P = Patm ⇔ Patm + ρgh = cte

d’où P(M) − Patm = ρg(h − z) = Pe(M) avec Pe(M) la pression effective.

2.P(B) − P(A) = ρg(zA − zB)

3. Les isobares (l’ensembles des points M tel que P(M) = cte) sont des planshorizontaux (⊥ −→ez)

Remarque

Baromètre de Torricelli

Activité

hh

≈ vide

Mercure (Hg)

Patm − 0 = ρgh avec h=76 cm Hg

2.2 Équilibre d’une atmosphère isotherme. Facteur de

Boltzmann.

2.2.1 Variation de la pression avec l’altitude

On suppose que :



1. L’atmosphère est un gaz parfait

2. T = cte dans toute l’atmosphère (atmosphère isotherme)

3. −→guniforme

4. L’atmosphère est en équilibre hydrostatique :les particules de l’atmosphère nebougent pas (pas d’énergie cinétique microscopique)

On a :dP

dz= −ρg

et comme ρ =dm

dV; ainsi PV =

m

MRT ⇔

dm

dV=

PM

RT

ρ =MP

RT

dP

dz= −

PMg

RT⇔ ln P = −

Mg

RTz + cte

On tire que :

P = P0e−MgRT

z

zH

P

Avec

H =RT

Mg

A.NGGGGGGGGGA H(298K) = 7978 m

De même

ρ = ρ0e−MgRT

z

avec ρo =MPo

RTo

Sachant que R = kBNA alorsM

R=

M

kBNA

=m

kB

; Avec m la masse d’une seule particule

Sachant que ep est l’énergie potentielle d’une particule alors

P = P0e−epKT



Pour un gaz parfait et à T = cte on a :dN

dV=

P

KT= n∗ :avec n∗ la densité

particulaireDonc :

n∗ = n∗0e−

ep

kBT

avec n∗0=

P0

kBT

Remarque

Conclusion:

Les niveaux les plus bas(z 0) sont les plus peuplés

1. Si on pose Ha =RT

Mg:possède la dimension d’une longueur ,elle est dite

échelle des profondeurs, sa valeur numérique pour T = 17 oC = 290 K estHa = 8, 48.103 m

2. La hauteur pour que la pression diminue de 1% est z1 = 0, 01Ha = 84, 8 m

On conclut que pour les systèmes gazeux usuels, (l’ordre de quelquesmètres ) on peut considérer que la pression est constante au sein dugaz

Remarques

APPLICATION

ÉTUDE DE L’ÉQUILIBRE DE L’ATMOSPHÈRE DANS LE

CHAMP DE PESANTEUR(CNC 2009)

L’atmosphère terrestre s’étend sur quelques dizaines de kilomètres et permet à toutesles espèces vivantes terriennes de respirer pour vivre. Les phénomènes physiques inter-venant dans l’atmosphère sont nombreux et caractérisent en fait différentes couches enfonction de l’altitude : de la troposphère au niveau du sol jusqu’à l’ionosphère couched’atmosphère la plus haute avant l’Espace.

On se propose d’étudier quelques modèles de variation de la pression dans l’atmo-sphère terrestre. Dans tout le problème, on ne tiendra pas compte des effets liés à larotation de la Terre. Le champ de pesanteur ~g = −g~uz est supposé uniforme, d’intensitéégale à sa valeur au niveau du sol. ~uz étant le vecteur unitaire de la direction ascendanteOz.



1- Pression dans un fluide au repos dans le champ de pesanteurOn considère un fluide au repos dans le champ de pesanteur. On suppose que la pressionet la masse volumique du fluide ne dépendent que de l’altitude z. On appelle P(z) cettepression et ρ(z) la masse volumique du fluide. La pression au niveau du sol, pris commeorigine des altitudes z = 0, vaut P0 = 1, 0 bar = 1, 0.105 Pa.

1.1- Déterminer la résultante d ~Fp des forces de pression s’exerçant sur une tranchede fluide de base S , située entre les altitudes z et z+dz (figure 1). En déduire l’expressionde la densité volumique des forces de pression.

1.2- Écrire l’équation qui traduit l’équilibre mécanique de la tranche de fluidedans le champ de pesanteur. Montrer que la pression est liée à la masse volumique dufluide par l’équation :

dP

dz+ ρg = 0 (2.1)

1.3- On suppose dans cette question que la masse volumique du fluide est quasi-indépendante de l’altitude. Déterminer l’expression de la pression P(z) qui règne dans lefluide à l’altitude z.

1.4- Ordres de grandeurs

1.4.1- Déterminer la différence de pression entre le sol et le toit d’une salle,situé à une altitude de 3 m, en assimilant l’air à un gaz parfait à la température ambianteT = 300 K. Commenter.

1.4.2- Déterminer la différence de pression entre la surface libre et un point àune profondeur de 3 m d’un océan. Commenter.

2- Modèle de l’atmosphère isotherme

On assimile l’atmosphère à un gaz parfait de masse molaire Ma au repos dans leréférentiel terrestre supposé galiléen et soumis au champ de pesanteur uniforme ~g.

On suppose dans ce paragraphe, que l’atmosphère est isotherme dans laquelle latempérature est uniforme et vaut T0 = 273 K. La pression au niveau du sol vaut P0 =

1, 0 bar = 1, 0.105 Pa. On appelle P(z) la pression qui règne à l’altitude z.2.1- A partir de l’équation d’état des gaz parfaits, déterminer l’expression de la

masse volumique de l’air en fonction de Ma, T0, de la pression P et de la constante desgaz parfaits R.



2.2- En déduire, en utilisant l’équation (2.1), l’expression de la pression P(z).

2.3- Interpréter le résultat obtenu en termes énergétiques et mettre en évidencele facteur de Boltzmann.

2.4- En déduire une hauteur caractéristique h des variations de la pression P(z).Déterminer la valeur numérique de h. Commenter.

3- Modèle de l’atmosphère polytropique

Le modèle de l’atmosphère isotherme ne s’applique qu’à la haute atmosphère appeléestratosphère, pour des couches d’air dont l’altitude est comprise entre 10 km et 30 km, etavec une température de l’ordre de 223 K.

Entre les altitudes z = 0 et z = 10 km, l’air est constamment brassé par les courantsque constituent les vents dont l’origine est en partie due aux variations journalières dela température au niveau du sol. La partie de l’atmosphère correspondante s’appelle latroposphère.

Les données expérimentales transmises par un ballon-sonde, utilisé par une stationmétéorologique, au cours de la traversée de la troposphère et de la basse stratosphèremontrent que le modèle le mieux adapté est celui d’un gradient uniforme de tempéra-ture. Ces données permettent de tracer le profil réel de la pression régnant à la verticalede la station. Les résultats sont rassemblés sur la figure 2. On cherche à modéliser cesrésultats en considérant un profil de température de la forme :

T (z) = T0 − a.z

T0 et a étant des paramètres constants.

3.1- Donner l’expression de la masse volumique ρ(z) de l’air en fonction de Ma, T0,a, z, P(z) et R.La pression et la masse volumique sont toujours liées par l’équation (2.1).

3.2- Déterminer l’expression de la pression P(z). Montrer qu’elle s’écrit sous laforme :

P(z) = P0(1 − b.z)α

où b et α sont deux paramètres constants à déterminer.

3.3- Comparer ce champ de pression avec celui obtenu pour l’atmosphère iso-therme lorsque l’on se place à faible altitude (b.z≪ 1).

3.4- Montrer que la pression est liée à la masse volumique par la relation :

P(z)

ρ(z)k= cste

appelée relation polytropique d’indice k. Donner l’expression de k en fonction de α.Le traitement des données expérimentales, indiquées par des croix sur la figure 2, per-met d’ajuster les valeurs de P0, b et α pour que le modèle décrive correctement lespoints expérimentaux. On obtient ainsi : P0 = 1, 03.105 Pa ; b = 1, 95.10−5 m−1 et α = 5, 91.La courbe correspondante est tracée en trait plein sur la figure 2.

3.5- Déduire de ces résultats les valeurs de T0 et de a. En déduire la valeur de latempérature T à une altitude de 10 km. Conclure quant à la validité de ce modèle pourdécrire la troposphère.

3.6- Déduire de ce qui précède l’ordre de grandeur de l’épaisseur de l’atmosphèredans le cadre de ce modèle.



1- Pression dans un fluide au repos dans le champ de pesanteur

1.1- La résultante des forces de pression :

d−→F p = P(z)S −→ez − P(z + dz)S −→ez =⇒ d

−→F p = −S dP −→ez

• L’expression de la densité volumique des forces pressante

−→f V =

d−→F P

dτ= −

dP

dz

−→ez

1.2- L’équilibre mécanique, donc la résultante des forces extérieures est nulle, cequi donne

d−→F p − ρgS dz −→ez =

−→0 =⇒

dP

dz+ ρg = 0

L’expression de la pression : L’intégration donne

P(z) = Po − ρgz

2- Ordres de grandeur :

2.1- Dans une salle de hauteur H = 3m on a :

∆P = Po − PH = ρgHA.N

GGGGGGGGGA ∆P = 34, 2 Pa

Comme∆P

Po

≪ 1 Donc la pression dans la salle est constante.

2.2- Dans l’océan

∆P = PH − Po = ρgHA.N

GGGGGGGGGA ∆P = 329430 Pa

Comme∆P

Po

≃ 0, 291 alors on ne peut pas considérer que la pression dans l’océan est

constante.3- Modèle de l’atmosphère isotherme

3.1- On a gaz parfait :

PV = nRT =⇒ ρ =m

V=

PoMa

RTo



3.2- L’équation (1) donne

dP

dz+ ρg = 0 =⇒

dP

dz+

Mag

RTo

P = 0

On pose

h =RTo

Mag

alors

P(z) = Po exp(−z

h)

3.3- En remplaçant R par NAK et connaissant que m =Ma

NA

la masse d’une particule

ainsi puisque l’axe oz orienté vers le haut donc ep = +mgz(+cte = 0) alors

P(z) = Po exp(−ep

KTo

)

Et puisque par hypothèse l’atmosphère est en équilibre alors em = ep + ec = ep et donc

P(z) = Po exp(−em

KTo

)

exp(− em

KTo) : c’est le facteur de Boltzmann

3.4- La hauteur caractéristique est

h =RTo

Mag

A.NGGGGGGGGGA h = 7978, 2 m

Remarquons que h représente la hauteur telle que P(z = h) =P(z = 0)

eCommentaire : la valeur de h est très supérieur aux valeurs habituelles, par conséquenton peut considérer la pression constante.

4- Modèle de l’atmosphère polytropique

4.1- L’expression de la masse volumique

ρ =MaP

RT=⇒ ρ =

MaP

R(To − az)

5-

5.1- L’intégration de la statique des fluide donne :dP

dz= −

Mag

R(To − az)P =⇒

dP

P=

Mag

aR(−

adz

To − az)

ce qui donne en integrant

lnP

Po

=Mag

aRln

To − az

To



Donc

P(z) = Po

(

1 −a

To

z)

MagaR

Il en résulte que

b =a

To

; α =Mag

aR

5.2- Comparaison des résultants pour bz≪ 1 =⇒ z≪ 1

Atmosphère isotherme :P = Po exp−z/h→ Po(1 −Mag

RTo

z)

Atmosphère polytropique : P = Po(1 − bz)α → Po(1 −Mag

RTo

z)

Donc Au voisinage de la terre (z→ 0) les deux modèles coincident.

5.3- Montrons la relation :On a :

P(z) = Po

(

1 −a

To

z)α

Ainsi :

ρ =Ma

RTo(1 − bz)P =⇒ ρ =

MaPo

RTo

(1 − bz)α−1

Ce qui donne

P

ραα−1

= cte =⇒ k =α

α − 1

6-

6.1- Application Numérique :

α =Mag

Ra=⇒ a =

Mag

Rα

A.NGGGGGGGGGA a = 5, 79.10−3 K.m−1

b =a

To

=⇒ To =a

b

A.NGGGGGGGGGA To = 297 K

Pour l’altitude de 10 km on a :

T (10 km) = 239 K

Commentaire : Entre la température donnée à 10 km (223 k) est la température cal-culée par le modèle est de l’ordre de 16 K ce qui prouve que le modèle convient avecune légère variation de température, et par conséquent si on veux améliorer mieux lemodèle il faut tenir compte de l’action du vent donc l’atmosphère n’est plus en équilibremécanique ( équilibre hydrostatique).

6.2- La hauteur de l’atmosphère dans le modèle :SI H est la hauteur de l’atmosphère alors P(z = H+) = 0 (au delà de l’atmosphère il n’y a


PCSI-LYDEX 2.3. POUSSÉE D’ARCHIMÈDE.

que le vide) d’où :

P(H) = 0 =⇒ H =1

b

A.NGGGGGGGGGA H = 51, 28 km

2.2.2 Généralisation

Lorsque un système thermodynamique en équilibre à la température T , constituéde particules dont l’énergie ε peut prendre différentes valeurs , les particules serépartissent sur les différents niveaux énergétiques proportionnellement au fac-teur de BOLTZMANN :e−

εKT

ε = ec + ep + . . .

2.3 Poussée d’ARCHIMÈDE.

Tout corps plongé dans un fluide subit une force dirigée vers le haut égale en normeau poids du volume du fluide déplacé

−→FA = ρgV

−→k = −ρV−→g = −md

−→g


CHAPITRE 3

SYSTÈMES THERMODYNAMIQUES

3.1 Définitions

Un système thermodynamique est une partie matérielle de l’univers délimité parune surface fermé au sens mathématique et non au sens physique soumise àl’observation.

Définition

surface fermée ausens mathéma-tique surface fermée au

sens physique

Systèmethermodynamique

Milieu extérieur

L’univers

On rappelle qu’une surface fermée au sens mathématique est une surface qui délimiteun volume, par contre une surface fermée au sens physique qui ne se laisse pas traver-sée par la matière.

La surface peut être réelle ou fictive.

Remarque

29

PCSI-LYDEX 3.2. ÉQUILIBRE THERMODYNAMIQUE

Un système thermodynamique est dit :

⊲ Isolé : s’il n’échange avec le milieu extérieur ni énergie ni matière.⊲ Fermé : s’il ne peut échanger avec le milieu extérieur que de l’énergie.⊲ Ouvert : s’il échange de la matière avec le milieu extérieur .⊲ Homogène : si toutes les variables thermodynamiques varient de manièrecontinues ( eau + sel avant la saturation).⊲ Hétérogène : certains paramètres varient de manière discontinus (exemple :eau + glace :variation de la masse volumique ρ).⊲ Isotrope : aucunes propriétés physiques ne dépendent de la direction (locale-ment le système présente une symétrie sphérique).⊲ Simple :ne possède pas de propriétés magnétiques et diéléctrique.

Définitions

3.2 Équilibre thermodynamique

Un système est en équilibre thermodynamique si on a :

⊲ Équilibre mécanique :(∑−−→

Fext =−→0 ) =⇒ P = cte

⊲ Équilibre thermique :(T = cte)

⊲ Équilibre chimique : la composition chimique du système ne varie pas (le potentielchimique µ = cte)

L’équilibre thermodynamique est un état dans lequel toutes les variables d’étatsont constantes dans le temps :L’équilibre thermodynamique est un état sta-tionnaire.

Remarque

3.3 Variables thermodynamiques

On appelle variable d’état toute grandeur (scalaire ou vectorielle ) qui caractériseune propriété macroscopique du système.(P,V, T,N, · · · ) Une variable d’état est dite extensive s’elle peut être définie pour le système entier

ou une partie et qui dépend des dimensions du système, elles sont en général additives.

masse, volume, charge,le courant électrique nombre de particule, longueur, sur-

face, l’énergie,−→P , −→σo, · · · .

Exemples

Une variable intensive est définie en chaque point du système (déduite d’une va-


PCSI-LYDEX 3.4. TRANSFORMATIONS THERMODYNAMIQUES

leur moyenne )et elles ne sont pas additives.

T, P, σ, ρ , l’indice de réfraction,concentration, pH, · · ·

Exemples

3.4 Transformations thermodynamiques

On dit qu’un système subit une transformation lorsque il passe d’un état d’équilibreinitial à un état d’équilibre final.On dit qu’une transformation est :• isotherme si au cours de laquelle la température reste constante (T = cte)

• isobare si la pression P = cte.• isochore si le volume V = cte

• Une transformation quasi-statique est une transformation suffisamment lente pourqu’elle soit considérée comme une suite continue d’états d’équilibre infiniment voisins .

On comprime un gaz dans une enceinte , par addition des masses :

Exemple

1 mgGGGGGGGGGA

1 mgGGGGGGGGGA

Transformation rapide (irreversible)

1 kg

Transformation quasistatique

• Une transformation est dite réversible s’elle est quasi-statique ,ainsi on peut chan-ger le sens des échanges d’énergie à chaque instant.• une transformation est dite adiabatique s’elle se fait sans échange d’énergie ther-mique (sans échange de chaleur).


PCSI-LYDEX 3.5. CŒFFICIENTS THERMO-ÉLASTIQUES

• Une transformation réversible est forcement quasistatique ( l’inverse est faux).• Toute transformation qui n’est pas réversible est dite irréversible.• Toute transformation rapide ou accompagné de frottement est irréversible.

Remarque

3.5 Cœfficients thermo-élastiques

3.5.1 Définition

⊲ Cœfficient de dilatation isobare :

α =1

V

∂V

∂T

)

P: (K−1)

⊲ Cœfficient de variation de pression isochore :

β =1

P

∂P

∂T

)

V: (K−1)

⊲ Cœfficient de compressibilité isotherme :

χT = −1

V

∂V

∂P

)

T: (Bar−1)

Pour un gaz parfait on a :PV = nRT donc :

α = β =1

T; χT =

1

P

Activité

3.5.2 Relations aux dérivées partielles

On a : f (P,V, T ) = 0⇒ V = V(T, P) et T = T (V, P) donc :



dV =∂V

∂T

)

P

dT +∂V

∂P

)

T

dP (1)

dT =∂T

∂V

)

P

dV +∂T

∂P

)

V

dP (2)

(2)⇒ dV =1

(

∂T

∂V

)

P

dT −

(

∂T

∂P

)

V

/

(

∂T

∂V

)

P

dP

⇒∂V

∂T

)

P

=1

(

∂T

∂V

)

P

et∂V

∂P

)

T

= −

(

∂T

∂P

)

V

/

(

∂T

∂V

)

P

(

∂V

∂T

)

P

(

∂T

∂P

)

V

(

∂P

∂V

)

T

= −1 (A)

Relation importante à connaître.

On peut généraliser la relation précédente comme suit.Si l’équation d’état s’écrit sous la forme f (X, Y, Z) = 0 alors :

∂X

∂Y

]

Z×∂Y

∂Z

]

X×∂Z

∂X

]

Y= −1

3.5.3 Application

1. Relation entre les cœfficients thermoélastiques

(A)⇒ (−χT V)(Pβ)1

αV= −1

βχT P = α

Relation importante à connaître

2. Loi de dilatationOn a :

dV =

(

∂V

∂T

)

P

dT +

(

∂V

∂P

)

T

dP = αVdT − χT VdP

dV

V= αdT − χT dP

On suppose que α et χT sont constantes ; donc :

LnV

V0

= αT − χT P.

Si αT − χT P ≪ 1 alors :

V = V0(1 + αT − χT P)

Si αT ≫ χT P alors :

V = V0(1 + αT )

C’est la loi des dilatation des volumes en fonction de la température


CHAPITRE 4

PREMIER PRINCIPE DE LA THERMODYNAMIQUE

4.1 Introduction

4.1.1 Travail échangé par un système :travail des forces de pres-

sion

C’est un échange d’énergie d’origine macroscopique, résulte du déplacement ma-croscopique du point d’application d’une force macroscopique.

1. On définit le travail élémentaire d’une force :

δW =−→F .d−−→OM

.

2. Travail des forces de pression :Soit un fluide qui subit une transformation élémen-taire qui mène son volume de v à v+dv.

xx x + dx

−→F op

δWext=−→F .d−−→OM > 0.

⇒ δWext= PextS dx = −Pextdv :le volume diminue (dv < 0).

δWext= −Pextdv

35

PCSI-LYDEX 4.1. INTRODUCTION

Si dv < 0⇒ δWext > 0 :(compression). Si dv > 0⇒ δWext < 0 :(détente).

1. Si la transformation est quasi-statique alors P = Pext et on aura :

δWext= −Pdv

2. Si la transformation est isochore alors : dv = 0⇒ δWext= 0

3. Généralisation : Pour une transformation quasi-statique le travail s’écrit :

δWext= XdY

X une grandeur intensive et Y une grandeur extensive.

Remarques

Dans le diagramme de Clapeyron P = f (V) on a :

P

VVA VB

A

B

S 2

S 1

WA→B = −∫ B

APdv = −S 1

WB→A = −∫ A

BPdv = +(S 1 + S 2)

Pour le cycle ABA on a donc :|Wcycle |=WA→B +WB→A = S 2

Conclusion:

Le travail est positif si le cycle est décrit dans le senstrigonométrique

4.1.2 Applications

Déterminons pour un gaz parfait le travail des forces pressantes dans les transforma-tions suivantes :


PCSI-LYDEX 4.1. INTRODUCTION

Isochore

Wisochore = 0

IsobareC’est le cas par exemple d’une transformation rapide

Wisobare = −Pext(V f − Vi)

quasi-statique isothermela transformation étant quasi-élastique alors le système passe par une infinité d’étatd’équilibre d’où

P(Q.S ) = Pext = Pgaz = P

WT (Q.S ) = nR T lnVi

V f

= PiVi lnVi

V f

= P f VF lnVi

V f

adiabatiqueOn admet pour le moment qu’une transformation est adiabatique (pas d’échange dechaleur) que PVγ = cte

Wad =1

γ − 1(P f V f − PiVi) =

nR

γ − 1(T f − Ti) = Cv(T f − Ti)

4.1.3 Transfert thermique

C’est un échange d’énergie qu’on note Q qui se fait au niveau microscopique.il n’ya pas de déplacement macroscopique.Il résulte , par exemple , d’une inégalité de température entre le système et le milieuextérieur avec lequel il est en contact

4.1.4 Divers formes de transfert d’énergie

Un système peut recevoir de l’énergie par :

Travail mécanique : δW =−→F .d−−→OM = Mdθ.

Travail électrique : δW = uidt = udq. Travail des forces pressantes : δW = −PdV = −PextdV. Transfert thermique ou chaleur Q


PCSI-LYDEX 4.2. PREMIER PRINCIPE DE LA THERMODYNAMIQUE

4.2 Premier principe de la thermodynamique

énoncé du premier principe de la thermodynamique

Pour tout système fermé , on peut définir une fonction de variables d’état, extensive,conservative , appelée énergie interne U tel que au cours d’une transformationd’un système thermodynamique d’un état initial vers un état final , la somme destransferts thermiques et du travail des forces échangés avec l’extérieur au coursde la transformation est vérifie

∆(U + Ec + Ep) = Q +W

Le premier principe traduit la conservation totale de l’énergie macrosco-pique et microscopique

Remarque

Cas particulier important :Dans un référentiel galiléen R si le système est au repos alors Ec = 0 pas d’énergie cinétique macroscopique Ep = Cte pas de variation de l’énergie potentielle macroscopique

le premier principe se réduit

∆U = Q +W

P

VVA VB

A

B

W1 ,Q

1

W4 ,Q

4

∆U =W1 +Q1 =W2 +Q2 = ... =W4 +Q4.L’énergie interne ne dépend pas du chemin suivi :

Conclusion:

l’énergie interne U est une fonction d’état


PCSI-LYDEX 4.3. CONSÉQUENCES PRATIQUES

1. Pour une variation élémentaire

dU = δW + δQ

2. Pour une transformation cyclique

∆Ucycle = 0

3. Une transformation telle que U = cte est dite transformation isoénergi-tique

Remarque

4.3 Conséquences pratiques

U est une fonction d’état donc dU est une différentielle totale exacte c’est à dire :

dU = Adx + Bdy avec A = (∂U

∂x)y et B = (

∂U

∂y)x alors le théorème de Schwartz

∂A

∂y=∂B

∂x⇔∂

∂y(∂U

∂x) =∂

∂x(∂U

∂y)

Pour une transformation cyclique

∆U = 0⇒ Qcycle = −Wcycle

Pour une transformation adiabatique Q = 0 pas d’échange thermique avec l’exté-rieur alors :

∆U =Wadiabatique

4.4 Enthalpie d’un système

On définit l’enthalpie H d’un système la fonction d’état extensive conservative définiepar :

H = U −∑

i

XiYi

tel que Xi une grandeur intensive et Yi une grandeur extensive relié par δW = XdY

Lorsque les seules forces qui travaillent sont les forces pressantes alors δW = −PdV

et par conséquent :

H = U + PV

On définit aussi :

• Hm =H

nl’enthalpie molaire (Jmol−1).


PCSI-LYDEX 4.5. CAPACITÉS THERMIQUES

• hm =H

ml’enthalpie massique (J kg−1).

⊲ dH est une différentielle exacte (vérifie le théorème de Schwartz).⊲ ∆H ne dépend pas du chemin suivi.⊲ ∆Hcycle = 0

Remarques

4.5 Capacités thermiques

4.5.1 Définitions

Hypothèses :- Fluide homogène.- Seules les forces de pression travaillent.Dans ce cas :

U = U(V, T ) = U(V, P) = U(P, T )

H = H(V, T ) = H(V, P) = H(P, T )

dU =(∂U

∂T

)

VdT +

(∂U

∂V

)

TdV ; dH =

(∂H

∂T

)

PdT +

(∂H

∂P

)

TdP

On définit :• la capacité calorifique (ou thermique ) à pression constante par :

CP =∂H

∂T

)

P(J K−1)

• capacité thermique molaire à pression constante

CP,m =CP

n(J K−1 mol−1)

• capacité thermique massique à pression constante.

cm =CP

m(J K−1 kg−1)

CV et CP dépendent à priori de la température. Application du théorème de Schwartz :

dU = CvdT +∂U

∂V

)

TdV =⇒

∂Cv

∂V

)

T=∂

∂T

(∂U

∂V

)

T

)

V

dH = CpdT +∂H

∂P

)

TdP =⇒

∂Cp

∂P

)

T=∂

∂T

(∂H

∂P

)

T

)

P

Remarques


PCSI-LYDEX 4.6. DÉTENTE DE JOULE-GAY LUSSAC

4.5.2 Interprétation en terme de chaleur

On a :dU = δW + δQ = −PextdV + δQ (seules les forces pressantes travaillent )à volume constant on a :

dU = δQ

donc : CV =∂U

∂T

)

V=δQV

dTIl en résulte :

CV =δQV

dT⇔ QV = ∆U =

∫ T2

T1

CVdT

CV est la quantité de chaleur à fournir au système thermodynamique à volumeconstant pour élever sa température de 1K.

Définition

Ainsi on a :

H = U + PV ⇒ dH = dU + PdV + VdP

⇒ dH = δW + δQ + PdV + VdP

⇒ dH = (P − Pext)dV + δQ + VdP

On maintient P = cte = Pext(où à P = cte et de manière quasi-statique)dH = δQP = CpdT

Cp =δQp

dT⇔ QP = ∆H =

∫ T2

T1

CPdT

1. Si Cp = cte alors ∆H = Qp = Cp(T f − Ti).

2. Cp est la quantité d’énergie thermique à fournir au système thermodyna-mique à pression constante pour élever sa température de 1oC

Remarques

4.6 Détente de Joule-Gay Lussac

On appelle détente de Joule-Gay-Lussac une détente d’un gaz dans le vide


PCSI-LYDEX 4.7. DÉTENTE DE JOULE-THOMSON

Gaz

(V)

Vide

(V’)

Robinet

Compartiment (C1) Compartiment (C2)

Détente de Joule Gay-LussacLes parois sont calorifugées (adiabatiques).On ouvre le robinet R ; le gaz se détend et occupe le volume total (V + V ′).Considérons le système

∑

= gaz + vide contenu dans C1

⋃

C2

Le volume est constant (parois rigide)⇒Wext= 0

La transformation est adiabatique alors Q=0Le premier principe donne :

∆U =Wext+Q = 0⇒ U = cte

Conclusion:

La détente de Joule-Gay-Lussac est isoénergitique

4.7 Détente de Joule-Thomson

(P1; V1) (P2; V2)

Paroiporeuse

Paroi adiabatique

(P1; V1) (P2; V2)

Étranglement

Paroi adiabatique

Hypothèses :


PCSI-LYDEX 4.7. DÉTENTE DE JOULE-THOMSON

⊲ Parois adiabatique.⊲ Ecmac ≈ 0 (On néglige la variation de la vitesse)⊲ Epext ≈ cte (On néglige la variation de l’altitude)

On a : ∆U + ∆Ec,mac + ∆Ep,ext =Wext+Q =Wext (adiabatique)

Wext= W1 + W2 avec :W1 > 0 car compression (V : V1 0) et W2 < 0 car détente

(V : 0 V2)

W1 =

0∫

V1

−PdV = P1V1

W2 =

V2∫

0

−PdV = −P2V2

⇒W = W1 +W2 = P1V1 − P2V2

Le premier principe ∆U =Wext= P1V1 − P2V2 = U2 − U1

⇒ P1V1 + U1 = P2V2 + U2 On tire que :

H1 = H2

Conclusion:

La détente de Joule-Thomson est isenthalpique

Résultats expérimentaux avec P1 = 2atm et P2 = 1atm

⊲ L’air : ∆T = −0.26K

⊲ gaz carbonique CO2 : ∆T = 1.15K

⊲ L’hydrogène H2 : ∆T = 0K

Détente dans une tuyère inclinée :

∆U + ∆Emacc + ∆EPext = P1V1 − P2V2

⇒ U2 − U1 +1

2mV2

2−

1

2mV2

1+ mgz2 − mgz1 = P1V1 − P2V2

⇒ U2 +1

2mV2

2 + mgz2 + P2V2 = U1 +1

2mV2

1 + mgz1 + P1V1

⇒ H2 +1

2mV2

2+ mgz2 = H1 +

1

2mV2

1+ mgz1

Par unité de masse :

hm +1

2V2+ gz = cte

(valable en régime permanent)

Remarque


PCSI-LYDEX 4.8. APPLICATIONS AU GAZ PARFAIT

4.8 Applications au gaz parfait

4.8.1 Loi de Joule

1. 1ere loi de joule :

L’énergie interne d’un gaz parfait ne dépend que de la

température

c’est à dire U(T,V) = U(T ).dU = CVdT donc :

∆U =

∫ T2

T1

CVdT

2. 2eme loi de joule :On a : H = U + PV et PV = nRT donc H = U(T ) + nRT = H(T )

enthalpie d’un gaz parfait ne dépend que de la température

dH = CPdT donc :

∆H =

∫ T2

T1

CPdT

4.8.2 Relation de Mayer

On a : H = U + PV = U + nRT par conséquent : dH = dU + nRdT

⇒ CPdT = CVdT + nRdT .

CP − CV = nR

relation de Mayer

conséquences :•CP > CV > 0.

• Si on pose γ =CP

CV

cœfficient de Laplace alors :

γ =CP

CV

> 1

• Pour un gaz parfait monoatomique on a : U =3

2nRT donc :

CV =3

2nR ; CP =

5

2nR ; γ =

5

3= 1.67



•Pour un gaz parfait diatomique on a : U =5

2nRT donc :

CV =5

2nR ; CP =

7

2nR ; γ =

7

5= 1.4

On a CP − CV = nR et γ =CP

CV

il en résulte :

CV =nR

γ − 1; CP =

γ

γ − 1nR

à retenir

Remarque

4.8.3 Loi de Laplace

Pour une transformation adiabatique :

dU = CVdT =nR

γ − 1dT

nRdT = d(PV)

⇒ dU =1

γ − 1d(PV)

dU = δQ + δW⇒ δQ = dU − δW

δQ =γ

γ − 1d(PV) + PdV

On tire que :

δQ =γ

γ − 1PdV +

1

γ − 1VdP

Pour une transformation adiabatique d’un gaz parfait (δQ = 0) on a donc :

γPdV + VdP = 0⇒ γdV

V+

dP

P= 0

PVγ = cte =⇒ TVγ−1= cte =⇒ P1−γT γ = cte

En effet :PVγ = cte =⇒ PV.Vγ−1

= cte

=⇒ nRTVγ−1= cte

=⇒ TVγ−1= cte

Ainsi

PVγ = cte =⇒ P(nRT

P

)γ= cte

=⇒ Pγ−1T γ = cte



Le travail d’une transformation adiabatique réversible d’un gaz parfait :

∆U =Wad = Cv(T f − Ti) =nR

γ − 1(T f − Ti)

Remarque

4.8.4 Formule de Reech

⊲ Pour une transformation adiabatique : γPdV + VdP = 0⇒ γ = −V

P(∂P

∂V)adiabatique

⊲ Pour une transformation isotherme :PV = nRT = cte⇒V

P= −(∂V

∂P)T

D’où γ = (∂V

∂P)T × (

∂P

∂V)adiabatique

γ =(∂V

∂P)T

(∂V

∂P)ad

=

(∂P

∂V)ad

(∂P

∂V)T

> 1

Il en résulte que dans le diagramme (P,V) la pente d’une adiabatique est plus grandeque la pente d’une isotherme.On sait que :

χT = −1

V(∂V

∂P)T ⇒ (

∂V

∂P)T = −χT V

et :χS = −1

V(∂V

∂P)ad ⇒ (

∂V

∂P)ad = −χS V

On tire la formule de Reech :

γ =χT

χS

formule de Reech

Autre écriture de la formule de Reech

CP,m − CV,m = R ; cp − cv =R

M

conséquences :•γ > 1⇒ χS < χT

• De même :∂P

∂V

)

ad<∂P

∂V

)

Tcar∂P

∂V< 0

Dans le diagramme de Clapeyron (représentation dans le plan (V,P)


PCSI-LYDEX 4.9. ENTHALPIE D’UNE PHASE CONDENSÉE DANS LE MODÈLE INCOMPRESSIBLE ET INDILATABLE

P

V

adiabatique

isotherme

En effet :Pour un gaz parfait :

Transformation isotherme :Pisotherme =C1

V

Transformation adiabatique :Padiabatique =C2

VγPuisque γ > 1 alors :

Conclusion:

La pression d’une transformation adiabatique décroît plus vite que lapression d’une transformation isotherme

4.9 Enthalpie d’une phase condensée dans le modèle

incompressible et indilatable

Pour la phase condensé (solide,liquide) V ≈ cte⇒ dV = 0 ; par conséquent U = U(T ).De même on admet que :PV ≪ U⇒ H ≈ U c’est à dire que H = H(T )

donc : dH = CPdT ≈ dU = CVdT ⇒

CP ≃ CV ≃ C

Avec C la capacité thermique de la phase condensée.


PCSI-LYDEX 4.9. ENTHALPIE D’UNE PHASE CONDENSÉE DANS LE MODÈLE INCOMPRESSIBLE ET INDILATABLE


CHAPITRE 5

SECOND PRINCIPE POUR UN SYSTÈME FERMÉ

Question : Pourquoi un 2emeprincipe ?Soit l’exemple suivant constitué d’un morceau de cuivre (système A ) à la températureTCu plongé dans une quantité d’eau (système B ) à la température Teau, le système dans uncalorimètre (Système a parois indéformable et calorifugé (adiabatique)), avec TCu > Teau

Teau

TCu

Équilibre

thermodynamique

Te

Le système (A+B) étant isolé : UA+B = Cte Conservation de l’énergie. et pourtant lesystème a évolué : une quantité d’énergie passe du système (A) vers le système (B).d’où il faut un deuxième principe pour décrire l’évolution des transformations .

5.1 Énoncé du deuxième principe (ILYA PRÉGOGINE)

Il existe plusieurs énoncé du deuxième principe (Carnot ,Clausius,Thomson . . .)Soit un système thermodynamique délimité par une surface Σ dont la température del’interface est TΣ échange avec le milieu extérieur la quantité d’énergie thermique Q.

Système thermodynamique

Q

Σ, TΣ

Milieu extérieur

49

PCSI-LYDEX 5.1. ÉNONCÉ DU DEUXIÈME PRINCIPE (ILYA PRÉGOGINE)

Lors de l’évolution infinitésimale d’un système physique fermé , la variationd’une fonction d’état appelée entropie S du système est donnée par :

dS =δQe

TΣ+ δSi

• δQe : la quantité de chaleur élémentaire échangée avec le milieu extérieur .• TΣ :température du système à l’interface Σ.

• δSe=δQe

TΣ: l’entropie élémentaire échangée .

• δSi : entropie élémentaire crée due à toutes modifications internes au système(réactions chimiques , transfert thermique,. . .).tous les phénomènes irréversibles àl’intérieur du système .⋄ S est une fonction d’état alors :

1. ∆S ne dépend pas du chemin suivi .

2. S vérifie le théorème de Schwartz (d.t.e).

3. ∆Scycle = 0

⋄ S est une grandeur extensive (additive).

SIGNE DE δSi :

1. Si la transformation est irréversible alors δSi > 0

2. Si la transformation est réversible alors δSi= 0

Conclusion:

δSi> 0

important

1. δS e et δS i ne sont pas des différentielles totales exactes .

2. Pour une transformation réversible on a :δQe= 0 et δS i

= 0 donc S = cte ;c’està dire :

adiabatique + réversible = isentropique

3. S augmente avec le désordre interne.

Remarques


PCSI-LYDEX 5.2. IDENTITÉS THERMODYNAMIQUES

5.2 IDENTITÉS THERMODYNAMIQUES

5.2.1 Différentielle de l’énergie interne d’un système simple fermé

Pour un système simple fermé il y a deux variables thermodynamiques indépendantesà choisir ; parmi T,P,V,U,S,H,.....Toutes les fonctions thermodynamique peuvent s’exprimer de deux variables indépen-dantes, pour l’énergie interne les variables naturelles sont S et V ;c’est à dire U = U(S ,V)

et par conséquent :

dU =∂U

∂S

)

VdS +

∂U

∂V

)

SdV

5.2.2 Pression et température thermodynamique

On définit la pression et la température thermodynamique par les relations suivantes :

T =∂U

∂S

)

V; P = −

∂U

∂V

)

S

On admet que :

La température thermodynamique est égale à la température cinétique etla pression thermodynamique est égale à la pression cinétique

5.2.3 Première identité thermodynamique

Le premier principe donne :dU = δQe+ δWe.

Or δWe= −PdV et pour une transformation quasi-statique : δQe

= TdS − TδSi

On imagine une transformation réversible entre les mêmes états initial et final (l’énergieinterne est une fonction d’état) (δSi

= 0) ; d’où :

dU = TdS − PdV

C’est la première identité thermodynamique fondamentale du système simple fermé,elle est applicable pour une transformation quelconque ,réversible ,irréversible ,quasi-statique , non quasi-statique car U est une fonction d’état à condition que les états initialet final soient des états d’équilibre.

Le théorème de Schwartz s’écrit pour la première identité thermodynamique

∂T

∂V

)

S= −∂P

∂S

)

V

C’est la première égalité thermodynamique de Maxwell

Remarque


PCSI-LYDEX 5.3. TRANSFORMATIONS DU GAZ PARFAIT

5.2.4 Deuxième identité thermodynamique

On a de même pour un système fermé et lorsque les seules forces qui travaillent sontles forces pressantes que : H = U + PV

⇒ dH = dU + PdV + VdP

⇒ dH = TdS − PdV + PdV + VdP

⇒ dH = TdS + VdP

dH = TdS + VdP

C’est la deuxième identité thermodynamique

Le théorème de Schwartz s’écrit pour la deuxième identité thermodynamique

∂T

∂P

)

S=∂V

∂S

)

P

C’est la deuxième égalité thermodynamique de Maxwell

Remarque

5.3 TRANSFORMATIONS DU GAZ PARFAIT

5.3.1 Adiabatique réversible

On a δQe= TdS = 0 et :

dU = TdS − PdV

dH = TdS + VdP

⇒

dU = −PdV

dH = VdP

dH

dU= −

VdP

PdV=CPdT

CVdT= γ

On suppose que CP et CV sont constantes alors :dP

P+ γ

dV

V⇒ d(PVγ) = 0

Conclusion:

Les lois de Laplace pour une transformation isentropique:

PVγ = cte ‖ TVγ−1= cte ‖ T γP1−γ

= cte

5.3.2 Transformation quelconque : l’entropie d’un gaz parfait

La première identité thermodynamique dU = TdS − PdV donne


PCSI-LYDEX 5.3. TRANSFORMATIONS DU GAZ PARFAIT

⇒ dS =dU

T+

P

TdV

⇒ dS = CV

dT

T+

P

TdV

G.P⇒ dS = CV

dT

T+ nR

dV

V

∆S = CV lnT

T0

+ nR lnV

V0

Autre écriture :S = S0 + CV ln T + nR ln V

Pour une transformation isentropique (S = cte) et sachant que Cv =nR

γ − 1alors on

retrouve

TVγ−1= cte

Remarque

Autre expression de l’entropie d’un gaz parfait :La deuxième identité thermodynamique dH = TdS + VdP donne

⇒ dS =dH

T−

V

TdP

⇒ dS = CP

dT

T−

V

TdP

G.P⇒ dS = CP

dT

T− nR

dP

P

∆S = CP lnT

T0

− nR lnP

P0

Autre écriture :S = S′0 + CP ln T − nR ln P

Pour une transformation isentropique (S = cte) et sachant que Cp =nRγ

γ − 1alors on

retrouve

T γP1−γ= cte

Remarque

5.3.3 Applications aux détentes

5.3.3.1 Détente de Joule Gay-Lussac

Détente dans le vide d’un fluide calorifugé et sans pièce mobile (transformation irré-versible) ;Que vaut ∆S ?


PCSI-LYDEX 5.4. ENTROPIE D’UNE PHASE CONDENSÉE DANS LE MODÈLE INCOMPRESSIBLE ET INDILATABLE

⋆ Bilan d’énergie

Appliquons le premier principe :∆U = δWe+ δQe

= 0

La détente de Joule Gay-Lussac est isoénergitique U = cte. Pour un gaz parfait :dU = CVdT = 0⇒ T = cte

On conclut pour un gaz parfait la détente de Joule Gay-Lussac est isotherme (1ere loi deJoule)

⋆Bilan entropique

Appliquons le deuxième principe :

∆S = CV lnT

T0

+ nR lnV

2V0

comme T = T0 et V = 2V0

alors :

∆S = ∆Si= nR ln 2

et puisque :∆S = ∆Se+ ∆Si alors ∆Si > 0 : transformation irréversible (naturelle).

5.3.3.2 Détente de Joule Thomson

En régime stationnaire :⋆Bilan énergétiqueLe premier principe :dU = δQe

+ δWe= −PdV ⇒ dU + PdV = 0

Dans un compartiment On peut écrire :d(U + PV) = dH = 0

On tire que : ∆H = 0⇒ H = cte

La détente de Joule Thomson est isenthalpique H = cte. Pour un gaz parfait :dH = CPdT = 0⇒ T = cte

On conclut pour un gaz parfait la détente de Joule Thomson est isotherme (2emeloi deJoule) ⋆Bilan entropiqueAppliquons le deuxième principe :

∆S = CP lnT2

T1

− nR lnP2

P1comme T2 = T1 et P1 > P2

alors :

∆S = ∆Si= −nR ln

P2

P1

> 0 (P2 < P1)

et puisque :∆S = ∆S e+ ∆Si alors ∆Si > 0 : transformation irréversible (naturelle).

5.4 Entropie d’une phase condensée dans le modèle in-

compressible et indilatable

On suppose que le volume du fluide ne varie presque pas V ≈ cte =⇒ dV = 0

D’après les identités thermodynamiques dU = dH = CdT = TdS donc pour la phase


PCSI-LYDEX 5.4. ENTROPIE D’UNE PHASE CONDENSÉE DANS LE MODÈLE INCOMPRESSIBLE ET INDILATABLE

condensée

dS =CdT

T=⇒ ∆S = C ln

TF

TI

Application 1 :Contact thermique entre deux corps

S 1(T1,m1, c1)

S 2(T2,m2, c2)

contact

Te

Te

Le système∑

= S 1

⋃

S 2 étant isolé et puisque l’énergie interne est une fonction d’étatalors :dU = dU1 + dU2 = 0 ⇒ C1dT + C2dT = 0 avec Ci = mici ;ci étant la capacité calorifiquemassique donc :m1c1dT + m2c2dT = 0.On suppose que ci ne dépend pas de la température et notons Tela température d’équi-libre :

m1c1(Te − T1) + m2c2(Te − T2) = 0 =⇒ Te =m1c1T1 + m2c2T2

m1c1 + m2c2

Si m1 = m2 et c1 = c2 alors Te =T1 + T2

2Question : Que vaut ∆S ? :

On a :dU = TdS − PdV(≈ 0) = mcdT ⇒ dS = mcdT

TPar conséquent :

∆S1 = m1c1 lnTe

T1

et

∆S2 = m2c2 lnTe

T2

Si on suppose que :m1c1 = m2c2 alors :

∆SΣ = mc lnT 2

e

T1T2

= mc ln(T1 + T2)2

4T1T2

Comme (T1 + T2)2 > 4T1T2 en effet :(T1 + T2)2 − 4T1T2 = (T1 − T2)2 > 1

On conclut que : ∆SΣ > 0 transformation naturelle.


PCSI-LYDEX 5.5. ÉNERGIE LIBRE F ,ENTHALPIE LIBRE G

Remarque:énoncé du deuxième principe selon kelvin

Soit un moteur monotherme ( en contact avec une seule source de chaleur à latempérature T0) qui décrit un cycle- Le premier principe :∆U =W +Q = 0⇒W = −Q

- Le deuxième principe :∆S =Q

T0

+ ∆Si= 0⇒ Q = −T0∆Si < 0

⇒W > 0 : travail reçu par le moteur.d’où énoncé de KELVIN :Transformer intégralement en travail la chaleur d’une source unique aucours d’une transformation cyclique est impossible .D’où il faut au moins deux sources de chaleur donc machine ditherme.

5.5 Énergie libre F ,Enthalpie libre G

5.5.1 Énergie libre F

On appelle fonction énergie libre ou fonction de Helmoltz la fonction d’état définiepar :

F = U − TS

Dans le cas d’un fluide homogène , la différentielle dF a pour expression :dF = dU − d(TS) =⇒ dF = TdS − PdV − TdS − SdT

dF = −SdT − pdV

On conclut donc que :

S = −∂F

∂T

)

V; P = −

∂F

∂V

)

T

Ainsi

∂S

∂V

)

T=∂P

∂T

)

V

C’est la troisième égalité thermodynamique de Maxwell

On peut définir l’énergie interne par :

U = F + TS =⇒ U = F − T∂F

∂T

)

V

Remarque


PCSI-LYDEX 5.6. TROISIÈME PRINCIPE DE LA THERMODYNAMIQUE

5.5.2 Enthalpie libre G

On appelle fonction enthalpie libre ou fonction de Gibbs la fonction d’état définiepar :

G = H − TS

Dans le cas d’un fluide homogène , la différentielle dG a pour expression :dG = dH − d(TS) =⇒ dG = TdS + VdP − TdS − SdT

dG = −SdT + VdP

On conclut donc que

S = −∂G

∂T

)

P; V = −

∂G

∂P

)

T

Ainsi∂S

∂P

)

T= −∂V

∂T

)

P

C’est la quatrième égalité thermodynamique de Maxwell

On peut définir l’enthalpie par :

H = G + TS =⇒ H = G − T∂G

∂T

)

P

Remarque

5.6 Troisième principe de la thermodynamique

Il a été énoncé par Nerst en 1906, puis complété par Planck en 1911

Troisième principe de la thermodynamique

Lorsque la température d’un corps pur tend vers 0K , son entropie tendvers une valeur limite qui est nulle si l’état est stable .Si l’état du corpsn’est pas stable, son entropie est une constante qu’on peut prendre nullepar convention

On retient que le troisième principe est un principe de référence.

5.6.1 Facultatif

Si on pose le transfert thermique réversible

δQ = CvdT + ℓdV = CpdT + kdP =⇒ dS =Cv

TdT +

ℓ

TdV =

Cp

TdT +

k

TdV


PCSI-LYDEX 5.6. TROISIÈME PRINCIPE DE LA THERMODYNAMIQUE

Montrons que :

ℓ = T∂P

∂T

]

V; k = −T

∂V

∂T

]

P

Ainsi :

∂Cv

∂V

]

T= T∂2P

∂T 2

]

V;∂Cp

∂P

]

T= −T

∂2V

∂T 2

]

P

On a :

dU = CvdT + (ℓ − P)dV

Pour un gaz parfait et puisque U ne dépend que de la température (Première loi deJoule)alors

ℓ(G.P) = P

De même

dH = δQ + VdP =⇒ dH = CpdT + (V + k)dP

Pour un gaz parfait et puisque H ne dépend que de la température (Première loi deJoule)alors

k(G.P) = −V

Démontrons les équations de Maxwell pour la thermodynamique.Appliquons le théorème de Schwartz pour les quatres fonctions d’état(U,H,FetG) Pour l’énergie interne :

dU = TdS − PdV =⇒∂T

∂V

]

S= −∂P

∂S

]

V

Pour l’enthalpie :

dH = TdS + VdP =⇒∂T

∂P

]

S=∂V

∂S

]

P

Pour l’énergie libre :

dF = −SdT − PdV =⇒∂S

∂V

]

T=∂P

∂T

]

V

Pour l’enthalpie libre :

dG = −SdT + VdP =⇒∂V

∂T

]

P= −∂S

∂P

]

T


PCSI-LYDEX 5.7. L’INTERPRÉTATION STATISTIQUE DE L’ENTROPIE

5.7 Notions élémentaires sur l’interprétation statistique

de l’entropie : formule de BOLTZMANN

On définit L’entropie d’un système par :

S = kB lnΩ

Avec Ω le nombre de micro-états que peut prendre le système.

A 0K , tous les corps sont à l’état solide ( pas de vibration des particules) doncΩ = 1 et par conséquent S = 0 ( On retrouve le troisième principe de la thermo-dynamique)

Remarque


PCSI-LYDEX 5.7. L’INTERPRÉTATION STATISTIQUE DE L’ENTROPIE


CHAPITRE 6

CHANGEMENT D’ÉTAT D’UN CORPS PUR

6.1 Notions générales sur la changement d’état d’un

corps pur

On rappelle que :

Solide Liquide Gaz

Sublimation

Condensation

Fusion

Solidification Liquéfaction

Vaporisation

Exemple : La sublimation de l’iode.

6.2 Définitions

Soit un corps pur fermé (m = cte =⇒ N = cte) en équilibre entre deux phases parexemple (L-G).Par exemple :

H2O(ℓ)−−−− H2O(g)

eau liquide

eau vapeur

On pose :⊲ m = mℓ + mg

61

PCSI-LYDEX 6.3. ISOTHERMES D’ANDREWS

⊲ xℓ =mℓ

mtitre massique de la phase liquide .

⊲ xg =mg

mtitre massique de la phase gazeuse ; d’où :

xℓ + xg = 1

⊲ v =V

mle volume massique .

⊲ vℓ =Vℓ

mℓvolume massique de la phase liquide .

⊲ vg =Vg

mgvolume massique de la phase gazeuse.

d’où :

v =Vg + Vℓ

m=

mgvg

m+

mℓvℓ

m

v = xℓvℓ + xgvg = xℓvℓ + (1 − xℓ)vg = xgvg + (1 − xg)vℓ

De la même façon pour les grandeurs extensives on trouve :

u =U

m= xℓuℓ + xgug

h =H

m= xℓhℓ + xghg

s =S

m= xℓsℓ + xgsg

g =G

m= xℓgℓ + xggg

6.3 Isothermes d’ANDREWS

On comprime un gaz de masse m constante à différentes températures , dans le dia-gramme (P, v) on obtient :


PCSI-LYDEX 6.3. ISOTHERMES D’ANDREWS

Liquide

Vapeur = gaz

État fluide

liquide

vapeur

T1

T2 > T1

T3 > T2

TC

T4 > TC

P

v = Vm

A

C

B

vℓ vg

Avec :⊲ C :Point critique.⊲ Tc : température critique .⊲ AC : la courbe d’ébullition ( apparition des premières bulles gazeuses).⊲ CB :courbe de rosé (disparition de la dernière goutte liquide).⊲ Pour T < Tc on a vℓ , vg : changement d’état de première espèce.⊲ Dans la zone de cœxistence des deux phases(L+G)la pression reste constante :

c’est la pression de vapeur saturante Ps = Ps(T ).⊲ Pour T = Tc on a vℓ = vg :changement d’état de deuxième espèce.


PCSI-LYDEX 6.4. CHANGEMENT D’ÉTAT EN DIAGRAMME (P,T)

⊲ Pour T > Tc, on ne peut pas distinguer la phase liquide de celle du gaz : onparle de l’état fluide.⊲ Au point C on a :

∂P

∂V

)

T=Tc

= 0 (asymptote horizontale)

∂2P

∂V2

)

T=Tc

= 0 (point d’inflexion)

⊲ Sur le palier de changement d’état on T = cte et P = cte

et comme d−→G = −SdT + VdP =⇒ dG = 0

On retient que :

Conclusion:

le changement d’état d’un corps pur fermé se fait à enthalpie

libre constante.

Remarques

6.4 Changement d’état en diagramme (P,T)

T

C

P

TTT TC

PT

PC

Solide

Liquide

Gaz

dPdT< 0

dPdT> 0

• T : point triple : cœxistence des trois phases.• C : Point critique, Au delà de Tc on ne peut pas distinguer les phases liquide et

vapeur ; on parle de l’état fluide.

Pour l’eau :

T

∣

∣

∣

∣

∣

∣

TT = 273, 16 K

PT = 613 PaC

∣

∣

∣

∣

∣

∣

TC = 647, 3 K

PC = 22, 1.106 Pa

Exemple


PCSI-LYDEX 6.5. TRANSFERT THERMIQUE

Pour tout changement d’état en diagramme (P, T ) on adP

dT> 0 sauf pour l’eau, germa-

nium, silicium,bismuth et l’antimoine où pour l’équilibre (S-L) on adP

dT< 0 (Voir courbe

précédente)

6.5 Transfert thermique

Liquide

Vapeur = gazliquide vapeur

W

P

v = Vm

X

YZ

vℓ vg

N.B : Courbes d’analyse thermique :

De W → X

W → Z : compression isotherme de la phase vapeur Z apparition de la première goutte liquide Z → Y déplacement de l’équilibre vers la phase liquide Y disparition de la dernière bulle gaz Y → X compression de la phase vapeur.

De X → W

⊲ X → Y dilatation de la phase vapeur.⊲ Y apparition de la première bulle gaz⊲ Y → Z déplacement de l’équilibre vers la phase vapeur⊲ Z disparition de la dernière goutte liquide⊲ Z → W : dilatation isotherme de la phase vapeur


PCSI-LYDEX 6.6. RÈGLES DES MOMENTS

⋄ Le premier principe : puisque la pression est constante dans un changement d’étatalors on préfère utilisé H au lieu de U.⋄ sur le palier : P = cte =⇒ dH = δQe

P = dL

∆H = QP = Lℓ−→g

Lℓ−→g : chaleur latente de changement d’état.⋄ ainsi la chaleur latente massique par :

∆hℓ−→g =∆Hℓ−→g

m=

Lℓ−→g

m= ℓℓ−→g

⋄ De même on a dS =δQ

Ton définit l’entropie de changement d’état puisque la trans-

formation se fait à température constante par :

∆S =QP

T=∆Hℓ−→g

T=

Lℓ−→g

T

⋄ ainsi l’entropie massique de changement d’état par :

∆sℓ−→g =∆hℓ−→g

T=ℓℓ−→g

T

remarque :S g ≫ S ℓ > S s

Conclusion:

Lors d’un changement d’état on a:

∆H = L = mh ∆S =∆H

Tchgt d’état

6.6 Règles des moments

On a : v = xℓvℓ + xgvg et xℓ + xg = 1 donc :v = xℓ(vℓ − vg) + vg donc :

xℓ =vg − v

vg − vℓ=

MP

NP

De même :

xg =v − vℓ

vg − vℓ=

MN

NP

On conclut que :NP =MN

xg=

MP

xℓdonc :

xℓMN = xgMP

c’est la règle des moments


PCSI-LYDEX 6.7. FORMULE DE CLAPEYRON

6.7 Formule de CLAPEYRON

Soit un corps pur en équilibre sous deux phases ϕ1 et ϕ2

ϕ1

P

T

ϕ2

On rappelle que dG = −SdT + VdP Sur la courbe de changement d’état on a la pressionainsi la température son constante et par conséquent l’enthalpie libre est constante c’està dire que G1(T, P) = G2(T, P) et G1(T + dT, P + dP) = G2(T + dT, P + dP)

Or G(T + dT, P + dP) = G(T, P) + dG(T, P) et par suite

dG1(T, P) = dG2(T, P)

On déduit que(∂G1

∂P

)

TdP +

(∂G1

∂T

)

PdT =

(∂G2

∂P

)

TdP +

(∂G2

∂T

)

PdT

On rappelle aussi que :V =(∂G

∂P

)

Tet S = −

(∂G

∂T

)

Pon tire que

dP

dT=∆S

∆V=

L1→2

T∆V

C’est la formule de Clapeyron de changement d’état


PCSI-LYDEX 6.7. FORMULE DE CLAPEYRON

Le changement d’état : Lℓ−→g :dP

dT=

Lℓ g

T (Vg − Vℓ)On suppose que :• L est constante.•Vg ≫ Vℓ (toujours vérifié si on est loin du point critique ).• la vapeur se comporte comme un gaz parfait (approximation grossière).

dP

dT=

Lℓ g

TVg⇒

dP

dT=

LP

nRT 2

⇒dP

P=

Lmolaire

R

dT

T 2

⇒dP

P=

Lmolaire

R

dT

T 2

⇒ lnP

P0

= −Lmolaire

RT

Ps = P0e−

Lmolaire

RT

Ceci donne la pression de vapeur saturante en fonction de la température.

Exemple

Pour déterminer la chaleur latente molaire expérimentalement on trace ln P =

f (1

T) : c’est un droite de pente −

Lmolaire

R

ln P

1

T

Pente=-Lmolaire

R

Remarque


CHAPITRE 7

MACHINES DITHERMES

7.1 Introduction

Une machine thermique est un convertisseur d’énergie ,pour fonctionner conti-nuellement en régime permanent,elle effectue des cycles qui peuvent être :⊲ réversible : machine idéale (machine de Carnot).⊲ irréversible : machine réelle. Pour décrire un cycle la machine à besoin d’un agent thermique par exemple le

fréon CCl2F2 pour les réfrigérateurs ,l’azote,eau vapeur · · · On appelle thermostat ou source de chaleur un système thermodynamique de

grande capacité calorifique (C → ∞) ,c’est à dire sa température reste constammentconstante.

7.2 Les différentes machines dithermes

Les machines dithermes fonctionnent entre deux sources thermodynamiques de tem-perature différentes Tc pour la source chaude et T f pour la source froide , avec Tc > T f .

7.2.1 Moteur thermique

Il fournit un travail W au milieu extérieur en empruntant une quantité de chaleur Qc

de la source chaude et en restituant obligatoirement une quantité de chaleur Q f à lasource froide

Source Chaude M.D.T

Milieu Extérieur

Source FroideQc Q f

W

69

PCSI-LYDEX 7.2. LES DIFFÉRENTES MACHINES DITHERMES

Exemple : La locomotive à vapeur :- Qc reçue par la machine ⇒ Qc > 0.- Q f ,W fournit par la machine ditherme donc Q f < 0 ainsi W < 0.On définit le rendement ρ d’un moteur par :

ρ =

∣

∣

∣

∣

∣

ce qu’on veut

ce qu’on paye

∣

∣

∣

∣

∣

< 1

ρ = −W

Qc

Si ρ = 1 alors Q f = 0 Impossible par Kelvin .

Le premier principe pendant un cycle ∆U = Qc +Q f +W = 0⇒W = −(Qc +Q f )

donc ρ =Qc +Q f

Qc

⇒

ρ = 1 +Q f

Qc

< 1 (Q f < 0)

7.2.2 Machine frigorifique

Son rôle est d’extraire une quantité de chaleur Q fà la source froide en recevant untravail W du milieu extérieur et en fournissant une quantité de chaleur Qc à la sourcechaude .

Source Chaude M.D.T

Milieu Extérieur

Source FroideQc Q f

W

On a Qc < 0 ; Q f > 0 et W > 0.Exemple : réfrigérateur , climatiseur .On définit l’efficacité de la machine frigorifique :

e =Q f

W> 1 (par but de la machine)

Or le premier principe Qc +Q f +W = 0⇒W = −(Qc +Q f )

e =−1

1 +Qc

Q f

(> 1)

7.2.3 Pompe à chaleur

Son rôle est de fournir une quantité de chaleur Qc à la source chaude , en recevantun travail W du milieu extérieur et une quantité de chaleur Q fde la source froide .


PCSI-LYDEX 7.3. MACHINES DE CARNOT

Source Chaude M.D.T

Milieu Extérieur

Source FroideQc Q f

W

On a Qc < 0 ; Q f > 0 et W > 0.

e = −Qc

W> 1 (par but de la machine)

Or le premier principe Qc +Q f +W = 0⇒W = −(Qc +Q f )

e =Qc

Qc +Q f

(> 1)

7.3 MACHINES DE CARNOT

7.3.1 Définition

Une machine qui fonctionne sur un cycle réversible ditherme,composé de deuxisothermes et de deux isentropiques

Définition


PCSI-LYDEX 7.3. MACHINES DE CARNOT

7.3.2 Représentation du cycle

7.3.2.1 En diagramme TS

S 1 S 2

T f

Tc

Isentropique(S

1)

Isotherme (T f )

Isentro

pique(S

2 )

Isotherme (Tc)T

S

On a :Qc = Tc∆S =

∫ S2

S1Tc dS > 0

Q f = −T f∆S =∫ S1

S2T f dS < 0

⇒ Qc +Q f > 0⇒W < 0

Conclusion:

Si le cycle est décrit dans le sens horaire alors il est moteur

• moteur ( sens horaire)• récepteur (sens trigonométrique).

7.3.2.2 En diagramme PV

Moteur

Récepteur

Isentropique(S

2 )

Isotherme (Tc)

Isentrop

ique(S

1 )

Isotherme (T f )

P

V


PCSI-LYDEX 7.4. EXPRESSIONS DES RENDEMENTS

Rappel :

γ =χT

χS

> 1

de même : χT = −1

V

∂V

∂P)T et χS = −

1

V

∂V

∂P)S

et puisque χT et χS sont positifs alors :

∂P

∂V< 0

ainsi :

(∂P

∂V)S < (

∂P

∂V)T

La pente d’une isentropique est plus forte que celle d’une isotherme .

⊲ Une isentropique ne peut pas couper une isotherme deux fois, en effet on auradu travail avec une seule source de chaleur (impossible par Kelvin).⊲ De même une isotherme ne peut pas couper une isentropique deux fois car enaura un travail moteur (impossible par Kelvin).⊲ En un point donné en diagramme (PV) il ne passe qu’une seule isotherme etune seule isentropique car la pente est unique.

Remarques

W = −

∮

PdV ⇒

< 0 si sens horaire> 0 si sens trigonométrique

Conclusion:

La machine de Carnot est motrice si le cycle est décrit dans le sens

horaire en diagramme (PV) .

7.4 Expressions des rendements

7.4.1 Machines de Carnot

1. Moteur de Carnot :

ρ =Qc +Q f

Qc

= 1 +Q f

Qc

Or :Qc = Tc(S2 − S1) et Q f = T f (S1 − S2)

d’où le théorème de Carnot :

ρc = 1 −T f

Tc

< 1


PCSI-LYDEX 7.4. EXPRESSIONS DES RENDEMENTS

Toutes les machines thermiques fonctionnant de manière reversible en échan-geant de la chaleur avec deux sources de températures Tc et T f ont le même

rendement ρc = 1 −T f

Tc

ThéorèmeThéorème de Carnot

(a) On a le cycle est réversible donc :Qc

Tc

+Q f

T f

= 0 =⇒Q f

Qc

= −T f

Tc

(b) Le rendement de Carnot est indépendant de la nature de l’agent thermique, il ne dépend que de la température des deux sources.

(c) De la même façon on trouve pour :

(d) La machine frigorifique

e =−1

1 +Qc

Q f

on tire que :

ec =1

Tc

T f

− 1

=T f

Tc − T f

> 1

(e) La pompe à chaleur

e =Qc

Qc +Q f

on tire que :

ec =1

1 −T f

Tc

=Tc

Tc − T f

> 1

Remarques

7.4.2 Machines Réelle

ρ′ = −W′

Q′c=

Q′c +Q′f

Q′c= 1 +

Q′f

Q′c

Or le deuxième principeQ′c

Tc

+

Q′f

T f

+ Sc= 0 (cycle)

=⇒Q′

f

T f

= −Q′c

Tc

− Sc

En effet : ΣQi

Ti

= −Sc < 0 : énoncé du deuxième principe selon Clausius (inégalité de Clau-

sius)


PCSI-LYDEX 7.5. PREMIER PPE DE LA THERMO POUR UN SYSTÈME OUVERT EN ÉCOULEMENT PERMANENT

=⇒Q′

f

Q′c= −

T f Sc

Q′c−

T f

Tc

=⇒ ρ′ = 1 −T f

Tc

−T f S

c

Q′c

=⇒ ρ′ = ρc −T f S

c

Q′c

=⇒ −ρ′ + ρc =T f S

c

Q′c> 0

Conclusion:

Le rendement ou l’efficacité du cycle de Carnot est une limite pour

toutes les machines thermiques réelles

ρ ≤ ρc ‖ e ≤ ec

7.5 Premier ppe de la thermo pour un système ouvert

en écoulement permanent

On rappelle qu’un système ouvert est un système qui peut échanger de la matièreavec le milieu extérieur. On appelle écoulement permanent ou stationnaire le déplacement d’un fluide avec

toutes les grandeurs ne dépendent pas du temps.

7.5.1 Débit massique,débit convectif d’une grandeur extensive

7.5.1.1 Débit massique

Soit une conduite de section S ou un fluide s’écoule à la vitesse −→u F :

−→u F

uFdt

t t + dt

Entre les instant t et t+ dt la section S est traversée par la masse élémentaire dm = ρdτ =

ρS uFdt

On appelle débit massique qu’on note Dm d’un fluide en écoulement à travers une surfaceS

Dm =dm

dt= ρS uF kg−1.s−1



1. Le débit massique représente la masse du fluide qui traverse la section S

par unité de temps (une seconde)

2. La définition générale du débit massique est :

Dm =

∫∫

©S

−→j .−→ds

Avec−→j = ρ−→u F

Remarques

7.5.1.2 Débit convectif d’une grandeur extensive

Soit X une grandeur extensive (V,U, S ,H,G, Em,Cv,CP, · · · )On appelle grandeur massique de la grandeur X la quantité

x =dX

dmunité deX.kg−1

X x grandeur massique

V v =dV

dm=

1

ρvolume massique

U u =dU

dménergie interne massique

H h =dH

dmenthalpie massique

C c =dC

dmcapacité thermique massique

G g =dG

dmenthalpie libre massique

Exemple

On en déduit que :

dX

dt= xDm = DX

DX débit de la grandeur X

Cas particulier :X = V =⇒ v =1

ρ

DV =1

ρDm =⇒ Dm = ρDV



DV : débit volumique

1. Dans une conduite de section variable et en régime permanent on a

DV = S 1u1 = S 2u2

2. Dans une conduite contenant des ramifications et en régime permanent ona

D =∑

Di

Analogie avec la loi de nœuds en électrocinétique

Remarques

7.5.2 Bilan enthalpique pour un écoulement permanent

On s’interesse à un écoulement unidimensionnel en régime permanent , c’est àdire pour toute grandeur G on a G(M) = G(x)

S S

S A S ′A

x

t t + dt

Soit S le système délimité par les surfaces S A et S ′A.Entre les les instants t et t + dt , le système peut échangé avec l’extérieur : L’énergie thermique

Q =

∫

P thdt =

∫

Qdt

Travail des forces pressantes

WFP = −

∫

P dV

Travail des forces conservatives (le poids par exemple)

δW = −dEp

Travail utile (autre que le travail des forces pressantes et conservatives) :

Wu =

∫

P udt



On rappelle que :−→F p = PS −→ex =⇒WFP =

∫

PS dx donc

P FP =δWFP

δt= PS u =

PDm

ρ

Pour le système S délimité par deux surfaces S A dont la force pressante est−→F A et S ′A dont

la force pressante est−→F ′A on a :

P FP = PAS AuA − P′AS ′Au′A = (PAvA − P′Av′A)Dm = −∆(PvDm)

Appliquons le premier principe pour le système fermé S de masse dm = Dm dt pour celadressons un bilan de l’énergie totale du système : L’énergie totale à l’instant t :

ET (t) = U(t) + Em(t) = (u(t) + ep(t) + ec(t))Dmdt

L’énergie totale à l’instant t + dt :

ET (t + dt) = U(t + dt) + Em(t + dt) = (u(t + dt) + ep(t + dt) + ec(t + dt))Dmdt

Donc

ET (t + dt) − ET (t) = δW + δQ =⇒ Dmdt[∆(u + ec + ep)] =P thdt +P udt − ∆(PvDm)dt

=⇒ Dm∆(u + Pv + ec + ep) =P th +P u

Dm∆(h + ec + ep) =P th +P u

C’est l’expression du premier principe pour un système ouvert en écoulement permanentunidimensionnel

1. Si le poids est la seule force conservatives (avec Oz orienté vers le haut)alors

Dm∆(h +1

2

−→V 2+ gz) =P th +P u

2. Si on néglige l’énergie cinétique massique (−→V ≃

−→0 ) ainsi la variation de

l’énergie potentielle , alors l’expression devient

Dm∆h =P th +P u

Remarques


CHAPITRE 8

DIFFUSION DES PARTICULES

8.1 DÉFINITION

La diffusion est un phénomène de transport de particules sans mouvement macrosco-pique de support.La diffusion tend à uniformiser la répartition des particules qui se déplacent des zonesoù la concentration est forte vers les zones où la concentration est faible. Ce phénomènese produit dans des systèmes hors d’équilibre( c’est un phénomène irréversible).

Diffusion des ions dans une solution aqueuse. Diffusion des molécules d’un gaz.

Exemples

Ce phénomène de diffusion est du aux chocs entre particules diffusées et particulesdu support en effet, expérimentalement si on augmente la densité des particules du sup-port la diffusion devient lente.On s’intéresse à la diffusion unidimensionnelle c’est à dire on suppose que le transportdes particules se fait selon une seule direction.

Si le transport se fait avec un mouvement macroscopique, on parle alors deconvection.

Remarque

8.2 Étude macroscopique de la diffusion

8.2.1 Vecteur densité de courant de particules

Considérons un milieu dans lequel peuvent diffuser des particules dans la direction(Ox).

79

PCSI-LYDEX 8.2. ÉTUDE MACROSCOPIQUE DE LA DIFFUSION

Soit n(x, t) nombre de particules par unité de volume à l’abscisse x et à l’instant t.

x

dS

Le nombre de particules δN qui traverse la surface élémentaire dS pendant la durée dt

est proportionnel à dt et à dS .On pose ( analogie avec l’électricité)

δN =−→j .−→dS dt =⇒ δN = jdS dt

−→j = j −→ex exprimé en m−2 s−1 est appelé vecteur densité de courant de particules ouvecteur densité de flux de particules.

On rappelle que : δq = dIdt avec dI =−→j .−→dS

On définit le flux de particules diffusé par :

δϕ =−→j .−→dS =⇒ δϕ = j dS

8.2.2 Loi de conservation de particules

Considérons un milieu dans lequel peuvent diffuser des particules dans la direction(Ox).

x

dSx x + dx

Soit :⊲ N(x, t) le nombre de particules contenues dans ce volume à l’instant t.⊲ N(x, t + dt) le nombre de particules contenues dans ce volume à l’instant t + dt.

La variation de ce nombre est :

δN = N(x, t + dt) − N(x, t) = [n(x, t + dt) − n(x, t)]S dx =⇒ δN =∂n

∂tS dxdt

Calculons le nombre de particules échangées :

δNe = j(x, t)S dt − j(x + dx, t)S dt =⇒ δNe = −∂ j

∂xS dxdt

En supposant qu’il n’y a ni création, ni absorption de particules, on aura

δN = δNe


PCSI-LYDEX 8.3. LOI DE FICK . ÉQUATION DE DIFFUSION

Donc :

−∂ j

∂xS dxdt =

∂n

∂tS dxdt

Il en résulte que

∂ j

∂x+∂n

∂t= 0

C’est la relation traduisant la conservation des particules

8.3 LOI DE FICK . ÉQUATION DE DIFFUSION

8.3.1 Loi de FICK

La densité de courant de particules−→j est liée à la densité de particule n par la loi de

FICK :−→j = −D

−−−−→grad n =⇒ j = −D

∂n

∂x

D : cœfficient de diffusion ou diffusivilité qui dépend de la nature des particules et dusupport. D s’exprime en m2 s−1.

Pour la molécule d’oxygène dans les conditions normales de température et depression :⊲ Dans l’air : D =2.06 × 10−5 m2 s−1.⊲ Dans l’eau : D =1.8 × 10−9 m2 s−1.

Exemples

8.3.2 Equation de diffusion

En absence d’apparition et de disparition de particules on a :

∂ j

∂x+∂n

∂t= 0

Et comme

j = −D∂n

∂x=⇒∂n

∂t= +D

∂2n

∂x2

Dans le cas général , avec σa le nombre de particules crée par unité de temps etpar unité de volume( ou absorbée = terme de source) l’équation s’écrit :

∂n

∂t= +D

∂2n

∂x2+ σa

Remarque


PCSI-LYDEX 8.4. MODÈLE MICROSCOPIQUE DE LA DIFFUSION DANS LE GAZ

8.3.3 Résolution de l’équation de diffusion

La résolution de l’équation de diffusion dépend des conditions initiales et des condi-tions aux limites.En régime permanent (stationnaire) et en absence de terme de source, l’équation dediffusion devinet

d2n

dx2= 0 =⇒ n = Ax + B

Supposons que en x = 0 on a no et en x = L on a nL alors

n = no −no − nL

Lx =⇒ ϕ = −D

dn

dx=

no − nL

LDS

Représentation graphique :

x xL

nL

no

n

ϕ

8.4 MODÈLEMICROSCOPIQUE DE LA DIFFUSION DANS

LE GAZ

Pour l’étude microscopique, on adopte le modèle des sphères dures.Dans ce modèle les molécules du gaz diffusé et celle du support sont des boules de rayonsrd et rs .On suppose aussi que les molécules du support sont immobiles et réparties avecune densité uniforme ns.Considérons une molécule du gaz diffusé, d barycentre A, arrivant dans la direction (Ox)sur une molécule du support de barycentre S .Il y’aura choc si A est contenu dans le cylindre de centre S et de rayon rs + rd.


PCSI-LYDEX 8.4. MODÈLE MICROSCOPIQUE DE LA DIFFUSION DANS LE GAZ

x

A

S

L’aire σ = π(rs + rd)2 est appelée section efficace du choc.Le libre parcours moyen est la distance moyenne L∗ entre 2 chocs successifs avec lesmolécules du support.A subit un choc si le cylindre de section σ et de longueur L∗ contient une molécule dugaz du support, soit

nsL∗σ = 1 =⇒ L∗ =

1

nsσ


centre des classes prÉparatoires lydex-benguerir/maroc

Documents