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CENTRE DES CLASSES PRÉPARATOIRES
LYDEX-Benguerir/Maroc
COURS DE PHYSIQUE
PCSI/MPSI/TSI
ÉLECTROMAGNÉTISME
SAID EL FILALI
Cinquième partie
ÉLECTROMAGNÉTISME
3
TABLE DES MATIÈRES
V ÉLECTROMAGNÉTISME 3
1 ÉLECTROSTATIQUE DANS LE VIDE 9
1.1 CHAMP ÉLECTROSTATIQUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1 Notions générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.2 Répartition de charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.3 Complément mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.4 Loi de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.5 Le Champ électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.5.1 Champ électrostatique crée par une charge ponctuelle . . . . 15
1.1.5.2 Champ électrostatique crée par un ensemble de charges ponctuelles 17
1.1.5.3 Champ électrostatique crée par une distribution continue de charges 19
1.1.6 Lignes de champ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.2 LE POTENTIEL ELECTROSTATIQUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.2.2 Cas d’une charge ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.2.3 Relation locale entre le potentiel et le champ . . . . . . . . . . . . . . 30
1.2.3.1 L’opérateur gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.2.3.2 L’expression du gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.2.3.3 Relation entre le champ et le potentiel . . . . . . . . . . . . . 32
1.2.3.4 Surfaces équipotentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.2.4 Potentiel crée par une distribution de charges . . . . . . . . . . . . . . 32
1.3 ÉNERGIE POTENTIELLE D’INTERACTION ÉLECTROSTATIQUE . . . . . . . 33
1.3.1 Énergie potentielle d’une charge placée dans un champs électrostatique 33
1.3.2 Énergie potentielle d’interaction entre deux charges ponctuelles . . . 34
1.4 SYMÉTRIE ET INVARIANCE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.4.1 Symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.4.2 Invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.5 THÉORÈME DE GAUSS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.5.1 Flux du champ électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.5.2 Énoncé du théorème de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.6 APPLICATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.6.1 Fil infini chargé uniformément . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5
PCSI-LYDEX TABLE DES MATIÈRES
1.6.2 Cylindre infini chargé uniformément en surface . . . . . . . . . . . . . 391.6.3 Cylindre infini chargé uniformément en volume . . . . . . . . . . . . . 411.6.4 Sphère uniformément chargée en volume . . . . . . . . . . . . . . . . 431.6.5 Sphère uniformément chargée en surface . . . . . . . . . . . . . . . . 441.6.6 Plan infini uniformément chargée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.7 Analogie électromécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481.7.1 Analogie Electrique/mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481.7.2 Théorème de Gauss en mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481.7.3 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.8 LE DIPÔLE ÉLECTROSTATIQUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521.8.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521.8.2 Le potentiel électrostatique crée par un dipôle dans le cadre de l’approximation dipolaire.Surface
1.8.2.1 Le potentiel électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551.8.2.2 Surfaces équipotentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1.8.3 Le champ électrostatique crée par un dipôle dans le cadre de l’approximation dipolaire.Lignes1.8.3.1 L’expression du champ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581.8.3.2 Les lignes de champ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
1.8.4 Aspect énergétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601.8.4.1 Actions subies par un dipole électrostatique rigide . . . . . . 601.8.4.2 l’énergie potentielle d’un dipole électrostatique rigide . . . . 60
1.9 LE CONDENSATEUR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611.9.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611.9.2 Le condensateur plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621.9.3 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
1.9.3.1 Condensateur plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631.9.3.2 Condensateur cylindrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2 MAGNÉTOSTATIQUE 692.1 Champ et potentiel magnétostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.1.1 Distribution de courant électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.1.1.1 Vecteur densité de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.1.1.2 Équation locale de la conservation de la charge . . . . . . . . 722.1.1.3 Formulation locale de la loi d’Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.1.2 Champ magnétostatique : loi de Biot et Savart . . . . . . . . . . . . . . 742.1.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.1.3.1 Segment traversé par un courant . . . . . . . . . . . . . . . . 752.1.3.2 Champ magnétique sur l’axe d’une spire circulaire . . . . . . 762.1.3.3 Champ magnétique à l’intérieur d’un solénoïde . . . . . . . . 77
2.1.4 Propriétés du champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792.1.4.1 Conservation du flux du champ magnétique . . . . . . . . . . 792.1.4.2 Théorème d’Ampere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.1.5 Autres Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802.1.5.1 Champ magnétique d’un fil infini traversé par un courant I . . 802.1.5.2 Solénoïde infini traversé par un courant I . . . . . . . . . . . . 802.1.5.3 Cylindre infini traversé par un courant I . . . . . . . . . . . . 822.1.5.4 Ruban infini traversé par un courant surfacique . . . . . . . . 822.1.5.5 Nappe infinie traversé par un courant surfacique . . . . . . . 83
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PCSI-LYDEX TABLE DES MATIÈRES
2.1.5.6 Bobines de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852.1.6 Relation de passage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.1.6.1 La composante normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872.1.6.2 La composante tangentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.1.7 Potentiel vecteur. Forme locale du théorème d’Ampere . . . . . . . . 892.1.7.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892.1.7.2 Forme locale du théorème d’Ampere . . . . . . . . . . . . . . . 91
2.1.8 Équation de Poisson de la magnétostatique . . . . . . . . . . . . . . . 922.1.9 Applications (énoncé voir TD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.2 Dipôle magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 952.2.1 Définition. Moment magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 952.2.2 L’expression du potentiel vecteur dans l’approximation dipolaire . . . 982.2.3 Le champ magnétique dans l’approximation dipolaire . . . . . . . . . 992.2.4 Actions d’un champ magnétique sur un dipôle . . . . . . . . . . . . . . 101
2.2.4.1 Résultante des forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1012.2.4.2 Le moment résultant des forces de Laplace . . . . . . . . . . . 1012.2.4.3 Énergie potentielle d’interaction d’un dipôle rigide placé dans un champ extérieur2.2.4.4 Actions subies par un dipôle magnétique dans un champ extérieur1032.2.4.5 Comparaison entre les dipoles électrostatique et magnétique 103
2.3 Le champ magnétique terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
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CHAPITRE 1
ÉLECTROSTATIQUE DANS LE VIDE
On s’interesse aux propriétés physiques des charges immobiles dans un référentiel Rsupposé galiléen, placées dans le vide.
1.1 CHAMP ÉLECTROSTATIQUE
1.1.1 Notions générales
On classe les corps en deux catégories :•
Conducteurs : présentent des électrons (de valence) libres qui peuvent se déplacerd’un atome à un autre.
les métaux, les éléctrolytes, · · ·Exemple
•
Isolants : corps dépourvu d’électrons libres ( les électrons de valence sont liés).
le bois, le verre, le papier, le plastique · · ·Exemple
L’électron est une particule «élementaire» de charge q = −e=-1.6 × 10−19 coulomb
Toute charge q est un multiple entier de la charge de l’électron : On dit que lacharge est quantifiée |q| = Ne
La charge est une grandeur extensive , ne dépend pas du référentiel, pour unsystème isolé, la charge est conservée. Une charge élémentaire dq occupant dans l’espace un volume élémentaire dτ sera
considérée comme ponctuelle si les dimensions de dτ sont très négligeables devant unedistance caractéristique du système, autrement dit le point P où se situe la charge dq estvu du point M situé à grande distance.((dτ)1/3 ≪ PM)
P(dτ, dq)
PM = rMb
9
PCSI-LYDEX 1.1. CHAMP ÉLECTROSTATIQUE
dq ponctuelle =⇒ 3√
dτ ≪ r
1.1.2 Répartition de charge
Soit q une charge occupant un volume (V) :
P(dτ, dq)
(V, q)
Soit dq une charge élémentaire occupant le volume dτ centré en P
On appelle densité volumique de charge exprimé en (Cm−3)la grandeur
ρ(P) =dq(P)
dτ(P)=⇒ q =
$
Vρ(P)dτ
DéfinitionDensité volumique de charge
Sphère de rayon R chargée uniformément en volume (ρ = cte)
dq = ρdτ =⇒ q =4
3ρπR3
cylindre de rayon R et de hauteur h chargée uniformément en volume (ρ = cte)
dq = ρdτ =⇒ q = ρπR2h
Cube d’arrête a chargée uniformément en volume (ρ = cte)
dq = ρdτ =⇒ q = ρa3
Exemples
Lorsque une dimension est très négligeable devant les deux autres, on définit la densité
surfacique de charge (σ)
On appelle densité surfacique de charge exprimé en (Cm−2)la grandeur
σ(P) =dq(P)
dS (P)=⇒ q =
"
Σ
σ(P)dS
DéfinitionDensité surfacique de charge
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PCSI-LYDEX 1.1. CHAMP ÉLECTROSTATIQUE
Sphère de rayon R chargée uniformément en surface (σ = cte)
dq = σdS =⇒ q = 4πσR2
cylindre de rayon R et de hauteur h chargée uniformément en en surface laté-rale (σ = cte)
dq = σdS =⇒ q = 2σπRh
Disque de rayon R chargé uniformément
dq = σdS =⇒ q = σπR2
Exemples
Si
deux dimensions sont négligeables devant la troisième alors on définit la densité linéique
On appelle densité linéique de charge exprimé en (Cm−1)la grandeur
λ(P) =dq(P)
dℓ(P)=⇒ q =
∫
Γ
λ(P)dℓ
DéfinitionDensité linéique de charge
segment AB de longueur ℓ
dq = λdℓ =⇒ q = λℓ
Exemple
Pour une distribution discrète de charge différentes ; Avec qi la charge d’uneespèce et Ni son nombre, occupant un volume V
Remarque
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Mi(qi)
Soit q la charge totale du système, donc :
q =
n∑
i=1
qiNi =⇒ ρ =q
V =n∑
i=1
n∗i qi
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PCSI-LYDEX 1.1. CHAMP ÉLECTROSTATIQUE
Avec n∗ la densité particulaire , qui représente le nombre de particules par unité devolume
n∗ =N
V
1.1.3 Complément mathématique
On rappelle que : Vecteur position et déplacement élémentaire :
−−→OM
−−−−→dOM
Coordonnées cartésiennes x −→ex + y−→ey + z −→ez dx −→ex + dy −→ey + dz −→ez
Coordonnées Cylindriques r −→er + z −→ez r −→er + rdθ −→eθ + dz −→ez
Coordonnées sphériques r −→er dr −→er + rdθ −→eθ + r sin θdϕ −→eϕ
Surface élémentaire :Soit −→a et
−→b deux vecteurs :
−→a
−→b S
la surface S délimitée par le parallélogramme formé par −→a et−→b est
S =‖ −→a ∧ −→b ‖
On oriente la surface S par un vecteur unitaire −→n défini par
−→n =−→a ∧ −→b‖ −→a ∧ −→b ‖
Il en résulte que
−→S = S−→n =⇒ −→S = −→a ∧ −→b
• Surface élémentaire en coordonnées cartésiennes :
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PCSI-LYDEX 1.1. CHAMP ÉLECTROSTATIQUE
-−→dS z = dx −→ex ∧ dy −→ey =⇒
−→dS z = dxdy −→ez
-−→dS y = dz −→ez ∧ dx −→ex =⇒
−→dS y = dxdz −→ey
-−→dS x = dy −→ey ∧ dz −→ez =⇒
−→dS x = dydz −→ex
• Surface élémentaire en coordonnées cylindriques :Le cylindre présente deux surfaces de bases (A et B)et une surface latérale
A
B
-Surface de base :−→dS base = ±rdrdθ −→ez
-Surface latérale :−→dS L = rdθ −→eθ ∧ dz −→ez =⇒
−→dS L = rdθdz −→er
• Surface élémentaire en coordonnées sphériques :
A
Pour une sphère r = cte donc
−→dS = rdθ −→eθ ∧ r sin θdϕ −→eϕ =⇒
−→dS = r2 sin θdθdϕ −→er
Pour les surfaces fermées (en 3D : délimitant un volume) on oriente toujours lanormale −→n vers l’extérieur
Remarque
On rappelle que la surface :• de base d’un cylindre de rayon R est S B = πR
2
• latérale d’un cylindre de rayon R et de hauteur h est S L = 2πRh
• d’une sphère de rayon R est S = 4πR2
Volume élémentaire :On rappelle que le volume délimité par trois vecteurs vaut
V = (−→a ∧ −→b ).−→c
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PCSI-LYDEX 1.1. CHAMP ÉLECTROSTATIQUE
• volume élémentaire en coordonnées cartésiennes :
dτ = dxdydz
• volume élémentaire en coordonnées cylindriques :
dτ = rdrdθdz =⇒ V(cylindre) = πR2h
• volume élémentaire en coordonnées sphériques :
dτ = r2 sin θdrdθdϕ =⇒ V(sphère) =4
3πR3
1.1.4 Loi de Coulomb
Soit deux charges ponctuelles placées dans le vide q1 au point P et q2 au point Mdistant de r.
•
•
P(q1)
M(q2)−→u
Chacune des deux charges exerce sur l’autre une force électrostatique donnée par laloi de Coulomb :
−→F 1/2 = −
−→F 2/1 =
1
4πεo
q1q2
PM3
−−→PM
Si on pose
−→u =−−→PM
PMet r =‖ −−→PM ‖
alors la loi de Coulomb devient
−→F 1/2 = −
−→F 2/1 =
1
4πεo
q1q2
PM2
−→u = 1
4πεo
q1q2
r2
−→u
Avec :• εo : permittivité diélectrique du vide sa valeur est
εo = 8.854 187 817 × 10−12 Fm−1
• 1
4πεo
= 9.109(S .I)
• Si q1q2 > 0 =⇒ force repulsive.• Si q1q2 < 0 =⇒ force attractive.
Remarques
20 juin 2018 Page -14- [email protected]
PCSI-LYDEX 1.1. CHAMP ÉLECTROSTATIQUE
Dans un milieu linéaire homogène et isotrope la loi de Coulomb reste valable àcondition de remplacer εo par ε = εoεr
εr est dite permittivité diélectrique relative. Analogie entre les interactions coulombienne et gravitationnelle :
interactions coulombienne interactions gravitationnelle
Répulsive/attractive attractive
1
4πεo
q1q2
r2
−→u −Gm1m2
r2
−→u
q m
1
4πεo
−G
Comparaison entre les forces gravitationnelle et électrostatique dans l’atome d’hydro-gène :On donne : me=9.11 × 10−31 kg ; e=1.6 × 10−19 C ;G=6.67 × 10−11 Nm2 kg−2
Fe
Fg≃ 4.1042
On retient que la force gravitationnelle est très négligeable devant la force électrosta-tique.
1.1.5 Le Champ électrostatique
1.1.5.1 Champ électrostatique crée par une charge ponctuelle
Soit une charge q placé en O et M un point quelconque de l’espace différent de O.Plaçons une charge q′ en M
O(q)
−→u N
−→u M
•
•
•
M(q′)
N(q”)
La loi de Coulomb s’écrit :
−→F O→M =
1
4πεo
qq′
r2M
−→u M = q′−→E (M)
20 juin 2018 Page -15- [email protected]
PCSI-LYDEX 1.1. CHAMP ÉLECTROSTATIQUE
de même entre q et q” la loi de Coulomb
−→F O→N =
1
4πεo
qq”
r2N
−→u N = q”−→E (N)
−→E est appelé le champ électrostatique créé par la charge ponctuelle q placé au point Oau point considéré
On appelle champ électrostatique une région de l’espace ou une particule char-gée est soumise à la force de Coulomb
−→E (M) =
1
4πεo
q
OM3
−−→OM =
1
4πεo
q
r2
−→er
DéfinitionChamp électrostatique
Et Par Suite Si Une Charge Q est placée en M, elle subit la force−→F telle que
−→F = Q
−→E (M) =
1
4πεo
r2
−→er
Remarques
Le champ électrostatique−→E (M) créé par une charge ponctuelle n’est pas défini à
l’origine c’est à dire pour r = 0
Le sens du champ−→E (M) dépend du signe de la charge q source de
−→E :
Pour q > 0,−→E présente le sens de −→er :
−→E (M) est un champ divergent.
q > 0
Pour q < 0,−→E présente le sens opposé de −→er :
−→E (M) est un champ convergent.
q < 020 juin 2018 Page -16- [email protected]
PCSI-LYDEX 1.1. CHAMP ÉLECTROSTATIQUE
1.1.5.2 Champ électrostatique crée par un ensemble de charges ponctuelles
Soit une distribution de charges ponctuelle qi placées aux points Oi, et q une chargeponctuelle placé au point M
La loi de Coulomb entre la charge qi placé en Oi et q placé en M s’écrit :
−→F i =
1
4πεo
qiq
r2i
−→u i = q−→E i(M)
La résultante des forces appliquées sur la charge q vaut
−→F =
i=n∑
i=1
−→F i =⇒
−→F =
i=n∑
i=1
1
4πεo
qqi
r2i
−→u i
Si on pose−→F = q
−→E (M) alors le champ résultant est
−→E (M) =
i=n∑
i=1
−→E i(M) =⇒ −→E (M) =
i=n∑
i=1
1
4πεo
qi
r2i
−→u i
On dit que le champ résultant−→E (M) vérifie le principe de superposition .
Déterminer le champ électrostatique créé par un doublet(qA, qB) placé enA(−a, 0, 0) et B(a, 0, 0) au point M(0, y, 0) dans les deux cas suivants :
1. qA = qB = q > 0
2. qA = −qB = q > 0
3. Conclure
ActivitésChamp d’un doublet
1. Champ créé par le doublet (q,q)
• •A(q) B(q)
xO
α α
α α
y
y
M
−→E A
−→E B
20 juin 2018 Page -17- [email protected]
PCSI-LYDEX 1.1. CHAMP ÉLECTROSTATIQUE
On a :−→E (M) =
−→E A(M) +
−→E B(M) ainsi :
−→E A
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
EA cosα
EA sinα
0
−→E B
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
−EB cosα
EB sinα
0
=⇒ −→E
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
0
(EB + EA) sinα
0
Comme (ABM) triangle isocèle alors AM = BM =√
a2 + y2 ce qui donne
EA = EB =1
4πεo
qy
(a2 + y2)3/2
Par conséquent
−→E (M) =
1
4πεo
qy
(a2 + y2)3/2
−→ey
Soit le système formé par la distribution de charge et le pont M• Le plan (xoy) est un plan de symétrie passant par le point M.• Le plan (xoz) est un plan de symétrie passant par le point M.Il en résulte que le champ électrostatique appartient à
l’intersection des plans de symétrie
−→E (M) ∈ ∩Πs
Remarque −→E et les plans de symétrie
2. Champ créé par le doublet (q,-q)
• •A(q) B(-q)
xO
α α
α
y
y
M
−→E A
−→E B
On a :−→E (M) =
−→E A(M) +
−→E B(M) ainsi :
−→E A
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
EA cosα
EA sinα
0
−→E B
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
EB cosα
−EB sinα
0
=⇒ −→E
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
(EB + EA) cosα
0
0
20 juin 2018 Page -18- [email protected]
PCSI-LYDEX 1.1. CHAMP ÉLECTROSTATIQUE
Comme (ABM) triangle isocèle alors AM = BM =√
a2 + y2 ce qui donne
EA = EB =1
4πεo
qa
(a2 + y2)3/2
Par conséquent
−→E (M) =
1
4πεo
qa
(a2 + y2)3/2
−→ex
Soit le système formé par la distribution de charge et le point M• Le plan (xoy) est un plan de symétrie passant par le point M.• Le plan (xoz) est un plan d’anti-symétrie passant par le point M.Il en résulte que le champ électrostatique appartient à
l’intersection des plans de symétrie perpendiculaire au plan
d’antisymétrie−→E (M) ∈ ∩Πs
−→E (M)⊥ΠA
• Si M est un centre de symétrie alors−→E (M) =
−→0
Remarque −→E et les plans de symétrie
1.1.5.3 Champ électrostatique crée par une distribution continue de charges
Pour une distribution continue de charge, on subdivise le volume V en des volumesélémentaires dτ centré en P, portant la charge élémentaire dq avec
3√
dτ ≫ PM et parconséquent la charge dq sera considérée comme ponctuelle.
P(dτ, dq)
PM = rMb
Le champ électrostatique élémentaire d−→E créé par la charge élémentaire dq (ponctuelle)
placé en P au point M est
d−→E (M) =
1
4πεo
dq
PM2
−→u =⇒ −→E (M) =
$
V
1
4πεo
dq
PM2
−→u
Avec
dq = ρdτ = σdS = λdℓ
20 juin 2018 Page -19- [email protected]
PCSI-LYDEX 1.1. CHAMP ÉLECTROSTATIQUE
Activité
1- Champ électrostatique créé par un segment AB chargé uniformément (λ >0) en un point M distant de r (voir figure suivante)
α
αA
αB
Mr
A
O
P(dq)
B
b
b
−→er
z
−→u
Puisque on a invariance par rotation autour de l’axe Oz alors on utilise les coordonnéescylindriques (r, θ, z)Symétrie et invariances :
• Le plan ( −→er ,−→ez) = Πs =⇒
−→E θ =
−→0
• Le système AB,M est invariant par rotation autour de l’axe Oz , donc−→E (M) ne
dépend pas de θ.Par conséquent
−→E (M) = Er(r, z) −→er + Ez(r, z) −→ez
Au point P on a la charge dq = λdℓ =⇒ dq = λdz crée au point M un champ élémentaire
d−→E donnée par :
d−→E =
1
4πεo
dq
PM2
−→u =⇒ d−→E =
1
4πεo
λdz
PM2
−→u
Or :- −→u = cosα −→er − sinα −→ez
- tanα =z
r=⇒ dz = r
dα
cos2 α
-PM =r
cosαN.B : On a choisit α comme variable d’intégration ( très utile en physique de choisir desangles comme variables d’intégration) et remarquons que r = cte lorsque le point P décritla distribution AB.Ce qui donne
d−→E =
λ
4πεor[cosαdα −→er − sinαdα −→ez] =⇒
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
dEr =λ
4πεorcosαdα
dEz = −λ
4πεorsinαdα
20 juin 2018 Page -20- [email protected]
PCSI-LYDEX 1.1. CHAMP ÉLECTROSTATIQUE
Par intégration on obtient :
Er =λ
4πεor(sinαB − sinαA)
Ez =λ
4πεor(cosαB − cosαA)
=⇒ −→E (M) =
λ
4πεor
((sinαB − sinαA) −→er + (cosαB − cosαA) −→ez
)
1/ Si O est le milieu du segment [AB] alors le plan ( −→er ,−→eθ) = Πs =⇒ Ez = 0 qu’on
peut retrouver par
Ez =λ
4πεor(cosαB − cosαA)
αA = αB
GGGGGGGGGGGGGGGGA Ez = 0
2/ Lorsque les angles αA →π
2et αB → −
π
2, le segment [AB] tend vers un fil infini
et par conséquent.
Remarques
−→E (M)fil infini =
λ
2πεor
−→er
2- Champ électrostatique créé par une distribution circulaire (spire circulaire)chargée uniformément (λ > 0) en un point M de son axe d’angle au sommet α (voirfigure suivante) :
α α
R
M
R
P(dq)
O O P(dq)
b
b
−→er
z−→u
−→u
x
y
θ
• M
•
Puisque on a invariance par rotation autour de l’axe Oz alors on utilise les coordonnéescylindriques (r, θ, z)Symétrie et invariances :•
( −→ex,−→ez) = Πs
( −→ey, −→ez) = Πs
=⇒ −→E (M) = E(M) −→ez
20 juin 2018 Page -21- [email protected]
PCSI-LYDEX 1.1. CHAMP ÉLECTROSTATIQUE
Ou bien tout plan diamétral (contenant le diamètre ) est un plan de symétrie donc−→E (M) =
E(M) −→ez
• M situé sur Oz donc r = 0
• Invariance par rotation autour de Oz donc
−→E (M) = E(z) −→ez
On a : d−→E =
1
4πεo
dq
PM2
−→u et comme dq = λRdθ
Puisque−→E est porté par −→ez alors on projette suivant −→ez ce qui donne
dE =λRdθ
4πεoPM2cosα
Lorsque le point P décrit la distribution, seule l’angle θ varie de 0 → 2π donc aprèsintégration on obtient
−→E (M) =
λRdθ
2εoPM2cosα −→ez
Puisque cosα =z
PMet PM =
√z2 + R2 alors
−→E (M) =
λR
2εo
z
(z2 + R2)3/2
−→ez
Représentons E(z) :- E(z) est une fonction impaire.- lim
z→+∞E(z) = 0
-E(z) présente un extremum pourdE(z)
dz= 0 =⇒ z = ±
√2R
√2R
−√
2R
z
E(z)
20 juin 2018 Page -22- [email protected]
PCSI-LYDEX 1.1. CHAMP ÉLECTROSTATIQUE
Pour la distribution (D) de charges seule (et non pour le systèmecharge+M le plan xOy est un plan de symétrie (xOy = Πs(distributionseule) et par conséquent pour le point M’ symétrie de M on a :
−→E (M′) = −−→E (M) si
−→E (M)⊥Πs(D)
Remarque
•M
• M’
−→E (M)
−→E (M′) = −−→E (M)
3- Champ électrostatique créé par un disque chargé uniformément en surface(σ > 0) en un point M de son axe (voir figure suivante)
α α
r
M
r
P(dq)
O O P(dq)
b
b
−→er
z−→u
−→u
x
y
θ
• M
•
Puisque on a invariance par rotation autour de l’axe Oz alors on utilise les coordonnéescylindriques (r, θ, z)Symétrie et invariances :•
( −→ex,−→ez) = Πs
( −→ey, −→ez) = Πs
=⇒ −→E (M) = E(M) −→ez
Ou bien tout plan diamétral (contenant le diamètre ) est un plan de symétrie donc−→E (M) =
E(M) −→ez
20 juin 2018 Page -23- [email protected]
PCSI-LYDEX 1.1. CHAMP ÉLECTROSTATIQUE
• M situé sur Oz donc r = 0
• Invariance par rotation autour de Oz donc
−→E (M) = E(z) −→ez
On a : d−→E =
1
4πεo
dq
PM2
−→u et comme dq = σdS =⇒ dq = σrdrdθ
Puisque−→E est porté par −→ez alors on projette suivant −→ez ce qui donne
dE =1
4πεo
σrdrdθ
PM2cosα
Lorsque le point P décrit le disque on a z = cte donc on exprime r et PM en fonction de z
et α choisit comme variable d’intégration :
- PM =z
cosα
- r = z tanα =⇒ dr = zdα
cos2 α
Donc dE =σ
4πεo
sinαdαdθ et par intégration on obtient
−→E (z > 0) =
σ
2εo
(1 − cosαm) −→ez
Remarques
1. Soit M’(z < 0) le symétrie de M (z > 0) par rapport au plan du disque (qui représenteun plan de symétrie pour la distribution)
−→E (M′) = −−→E (M) = − σ
2εo
(1 − cosαm) −→ez
2. Pour un plan infini chargé en surface αm →π
2l’expression du champ est
−→E plan infini = ±
σ
2εo
−→ez
+ si z>0 et - si z<0.
3. On pose :
• −→E (O+) = limM→O+
−→E (M) =⇒ −→E (O+) =
σ
2εo
−→ez
• −→E (O−) = limM→O−
−→E (M) =⇒ −→E (O−) = − σ
2εo
−→ez
Il en résulte que−→E (O+) − −→E (O−) =
σ
εo
−→ez
20 juin 2018 Page -24- [email protected]
PCSI-LYDEX 1.1. CHAMP ÉLECTROSTATIQUE
Si on pose −→ez =−→n 1→2 =
−→n la normale au plan chargé dirigé du milieu (1)(z>0) versle milieu (2)(z>0)
−→E (O+) − −→E (O−) =
σ
εo
−→n
C’est la relation de passage
Representation graphique du champ E(z) créé par un plan infini :
z
E(z)
− σ2εo
σ
2εo
A la traversée d’une surface chargée le champ subit une discontinuité deσ
εo
PropriétéRelation de passage
4- Champ électrostatique créé par une couronne de rayon interne Ri et de rayonexterne Re
Ri
Re
Ri Re
αm
αM
Première méthode :On utilise le résultat précédent du disque et on change les bornes d’intégration
dEz =σ
4πεo
sinαdαdθ =⇒ Ez =
∫ αM
α=αm
∫ 2π
θ=0
σ
4πεo
sinαdαdθ
Ce qui donne−→E (M) =
σ
2εo
[cosαm − cosαM] −→ez
Deuxième méthode :On peut remarquer que la distribution est équivalente à
20 juin 2018 Page -25- [email protected]
PCSI-LYDEX 1.1. CHAMP ÉLECTROSTATIQUE
Ri
Re
σ
S (σ)=
Re
S 1(σ)+
Ri
S 2(−σ)
Puisque S = S 1(σ) + S 2(−σ) alors−→E (M) =
−→E 1(M) +
−→E 2(M)
Avec :• −→E 1(M) =
σ
2εo
[1 − cosαM] −→ez
• −→E 2(M) =−σ2εo
[1 − cosαm] −→ez
Donc
−→E (M) =
σ
2εo
[cosαm − cosαM] −→ez
On retrouve le résultat.
5- Champ électrostatique crée par un plan infini
On peut remarque que le plan est un disque de rayon infini R → ∞ =⇒ α → π2ce qui
donne
−→E (M)planin f ini = signe(z)
σ
2εo
−→ez
C’est un champ uniforme perpendiculaire à la distribution Représentations graphiques :
E
z
− σ2εo
σ2εo
20 juin 2018 Page -26- [email protected]
PCSI-LYDEX 1.1. CHAMP ÉLECTROSTATIQUE
−→E
−→E
−→E
−→E
−→E
−→E
−→E
−→E
−→E
−→E
S (σ)
Remarques
1. A la traversée de la surface chargée, on retrouve la relation de passage :
−→E (O+) − −→E (O−) =
σ
εo
−→n
2. Pour deux plans infinis de charge surfaciques opposées on a :
⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖
⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕ (σ)
(−σ)
ET = 0
ET = 0
ET =σ
εo
1.1.6 Lignes de champ
On appelle ligne de champ d’un champ de vecteur−→X quelconque, une courbe (C)
définie dans l’espace tel que en chacun de ses points le vecteur−→X y tangent.
DéfinitionLDC
20 juin 2018 Page -27- [email protected]
PCSI-LYDEX 1.2. LE POTENTIEL ELECTROSTATIQUE
Le vecteur−→X tangent à la courbe (C) donc
−→X ∧ −−−−→dOM =
−→0
C’est l’équation différentielle des LDC
En électrostatique−→X =−→E Ce qui donne :
- En coordonnées cartésiennes :
−→E ∧ −−−−→dOM =
−→0 =⇒
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Ex
EyEz
∧
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
dx
dy
dz
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Eydz − Ezdy = 0 (1)
Ezdx − Exdz = 0 (2)
Exdy − Eydx = 0 (3)
(1) =⇒Ey
dy=
Ez
dzde même (2) =⇒ Ez
dz=
Ex
dxIl en résulte que
−→E ∧ −−−−→dOM =
−→0 =⇒
Ey
dy=
Ez
dz=
Ex
dx
- En coordonnées cylindriques :
−→E ∧ −−−−→dOM =
−→0 =⇒ Er
dr=
Eθ
rdθ=
Ez
dz
- En coordonnées sphériques :
−→E ∧ −−−−→dOM =
−→0 =⇒ Er
dr=
Eθ
rdθ=
Eϕ
r sin θdϕ
1.2 LE POTENTIEL ELECTROSTATIQUE
1.2.1 Définitions
Soit (C) une LDC (d’origine A) du vecteur−→X
20 juin 2018 Page -28- [email protected]
PCSI-LYDEX 1.2. LE POTENTIEL ELECTROSTATIQUE
•
−→X (M)
•
A
B
•M
On appelle circulation élémentaire du vecteur−→X la grandeur
dC = −→X .−−−−→dOM
Définition
Donc la circulation entre deux points A et B on a :
CBA =
∫ B
A
−→X .−−−−→dOM
et sur un courbe fermée dite contour
C∅ =∮ −→
X .−−−−→dOM = 0
1.2.2 Cas d’une charge ponctuelle
Soit q une charge ponctuelle placée en O et M un point quelconque de l’espace diffé-rent de O :
On a : dC = −→E (M).−−−−→dOM or
−→E (M) =
1
4πεo
q
r2
−→er et−−−−→dOM = dr −→er + rdθ −→eθ + r sin θdϕ −→eϕ
Donc
dC = −→E (M).−−−−→dOM =⇒ dC = 1
4πεo
q
r2dr
Remarquons que1
4πεo
q
r2dr = −d
( 1
4πεo
q
r+ cte
)
On pose pour la suite
V(M) =1
4πεo
q
r+ cte
V(M) est appelé le potentiel électrostatique créé par une charge ponctuelleRemarques
20 juin 2018 Page -29- [email protected]
PCSI-LYDEX 1.2. LE POTENTIEL ELECTROSTATIQUE
1. Le potentiel électrostatique (grandeur scalaire) est toujours défini à une constanteadditive près.
2. Dans le cas d’une charge ponctuelle (distribution finie dans l’espace) on prendcomme référence l’infini c’est à dire
limr→∞
V(r) = 0 =⇒ cte = 0
Il en résulte que
V(M) =1
4πεo
q
r
3. On retient donc :
dV(M) = −−→E (M).−−−−→dOM = −dC
1.2.3 Relation locale entre le potentiel et le champ
1.2.3.1 L’opérateur gradient
Soit une fonction scalaire f (x, y, z).
On appelle−−−−→grad l’opérateur qui transforme la fonction scalaire f en vecteur dont les
composantes sont les dérivées partielles
−−−−→grad f (x, y, z) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂ f
∂x∂ f
∂y∂ f
∂z
=⇒ −−−−→grad f (x, y, z) =∂ f
∂x−→ex +∂ f
∂y−→ey +
∂ f
∂z−→ez
Déterminer le gradient des fonctions suivantes :
1. f (x, y, z) = x2+ y2+ z2
2. g(x, y, z) = sin(ax + by + cz)
ExempleLe gradient d’une fonction
1/ Sachant que :
∂ f
∂x= 2x
∂ f
∂y= 2y
∂ f
∂z= 2z
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=⇒ −−−−→grad f (x, y, z) = 2(x −→ex + y−→ey + z −→ez)
20 juin 2018 Page -30- [email protected]
PCSI-LYDEX 1.2. LE POTENTIEL ELECTROSTATIQUE
2/ On a :
∂g
∂x= a cos(ax + by + cz)
∂g
∂y= b cos(ax + by + cz)
∂g
∂z= c cos(ax + by + cz)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=⇒ −−−−→grad g(x, y, z) = cos(ax + by + cz)(a −→ex + b −→ey + c −→ez)
On rappelle que :
−−−−→dOM = dx −→ex + dy −→ey + dz −→ez
−−−−→grad f =
∂ f
∂x−→ex +
∂ f
∂y−→ey +∂ f
∂z−→ez
d f =∂ f
∂xdx +
∂ f
∂ydy +
∂ f
∂zdz
Et par conséquent pour toute fonction scalaire f on a :
d f =−−−−→grad f .
−−−−→dOM
N.B :−−−−→grad f est orienté toujours dans le sens croissant de f
1.2.3.2 L’expression du gradient
1/ Coordonnées cartésiennes :
−−−−→grad f (x, y, z) =
∂ f
∂x−→ex +
∂ f
∂y−→ey +∂ f
∂z−→ez
2/ Coordonnées cylindriques :
−−−−→grad f (r, θ, z) =
∂ f
∂r−→er +
1
r
∂ f
∂θ−→eθ +
∂ f
∂z−→ez
3/ Coordonnées sphériques :
−−−−→grad f (r, θ, ϕ) =
∂ f
∂r−→er +
1
r
∂ f
∂θ−→eθ +
1
r sin θ
∂ f
∂ϕ−→eϕ
L’opérateur gradient est un opérateur linéaire et par conséquent :
• −−−−→grad (λ f ) = λ−−−−→grad f
• −−−−→grad ( f + g) =−−−−→grad f +
−−−−→grad g
PropriétéPropriétés du gradient
20 juin 2018 Page -31- [email protected]
PCSI-LYDEX 1.2. LE POTENTIEL ELECTROSTATIQUE
1.2.3.3 Relation entre le champ et le potentiel
Puisque dV(M) = −−→E (M).−−−−→dOM et dV =
−−−−→grad V(M).
−−−−→dOM alors :
−→E (M) = −−−−−→grad V(M)
C’est l’équation locale entre−→E (M) et V(M) valable en régime stationnaire
N.B :−→E (M) s’oriente toujours dans le sens des potentiels décroissant.
1.2.3.4 Surfaces équipotentielles
On appelle surface équipotentielle (SEP) l’ensemble des point M de l’espace tel quele potentiel est constant.
M ∈ S EP =⇒ V(M) = Vo = cte
Conséquence : V(M) = cte =⇒ dV = 0 donc−→E (M).
−−−−→dOM = 0 par conséquent
−→E (M)⊥−−−−→dOM
Les lignes de champ sont perpendiculaires aux surfaces équipotentielles
Propriété
Exemple
Pour une charge ponctuelle
−→E (M) =
1
4πεo
q
r2
−→er =⇒ LDC sont des droites passant par O.
V(M) =1
4πεo
q
r= cte =⇒ r = Cte SEP sont des sphères concentriques :
q > 0
1.2.4 Potentiel crée par une distribution de charges
Pour une distribution discrète de charge :Soit un ensemble de charges ponctuelles q1, · · · , qi, · · · , qN , chaque charge est placée au
20 juin 2018 Page -32- [email protected]
PCSI-LYDEX 1.3. ÉNERGIE POTENTIELLE D’INTERACTION ÉLECTROSTATIQUE
point Pi.Le champ crée par cette distribution au point M vaut d’après le principe de superposition
−→E (M) =
N∑
i=1
−→E i
et puisque l’opérateur−−−−→grad est linéaire alors
V(M) =
N∑
i=1
Vi(M) =⇒ V(M) =
N∑
i=1
1
4πεo
qi
PiM
Pour une distribution continue de charge :On subdivise le distribution en des charges élémentaire dq occupant le volume élémen-taire dτ tel que
3√
dτ ≪ PM, donc la charge dq se comporte comme ponctuelle et parconséquent
dV =1
4πεo
dq
PM=⇒ V(M) =
1
4πεo
$
V
dq
PM
Avec dq = ρdτ = σdS = λdℓ
1.3 ÉNERGIE POTENTIELLE D’INTERACTION ÉLECTRO-
STATIQUE
1.3.1 Énergie potentielle d’une charge placée dans un champs
électrostatique
Le travail de la force électrique−→F = q
−→E s’écrit : δW =
−→F .−−−−→dOM et par conséquent
δW = −q−−−−→grad V.
−−−−→dOM =⇒ δW = −d(qV) Donc
dEp = d(qV) =⇒ Ep = qV + cte
L’énergie potentielle électrostatique d’une charge q placée dans un champ−→E créé
par une distribution créant le potentiel V s’exprime par
Ep = qV + cte =⇒WA→B = q(VA − VB)
DéfinitionÉnergie potentielle électrostatique
20 juin 2018 Page -33- [email protected]
PCSI-LYDEX 1.4. SYMÉTRIE ET INVARIANCE
1.3.2 Énergie potentielle d’interaction entre deux charges ponc-
tuelles
L’énergie potentielle d’interaction entre deux charges ponctuelles q1, q2 placées enM1 et M2 distant de M1M2 = r s’exprime par
Ep = q2V1 + cte =⇒ Ep =1
4πεo
q1q2
r+ cte
1.4 SYMÉTRIE ET INVARIANCE
1.4.1 Symétrie
Rappelons que : Plan de symétrie Πs(M) : c’est un plan miroir c’est à dire pour deux points P1 et P2
symétrique par rapport au plan Πs on a :q(P1) = q(P2)
• •P1 P2
−→E
Πs
Conclusion:
Le champ électrostatique appartient à l’intersection des plans desymétries
−→E (M) ∈ ∩Πs(M)
Plan d’antisymétrie ΠA(M) : c’est un plan miroir c’est à dire pour deux points P1 et P2
symétrique par rapport au plan ΠA(M) on a :q(P1) = −q(P2)
• •P1 P2
−→E
ΠA
20 juin 2018 Page -34- [email protected]
PCSI-LYDEX 1.5. THÉORÈME DE GAUSS
Conclusion:
Le champ électrostatique perpendiculaire au plan d’antisymétrie
−→E (M)⊥ΠA(M)
1.4.2 Invariance
Invariance par translation:Une distribution de charge est invariante par translation le long de l’axe Oz si ρ(x, y, z) =
ρ(x, y, z + ∆z) (c’est à dire une translation le long de Oz laisse le système invariant) et par
conséquent le champ−→E ne dépend pas de la variable z.
N.B : On a une invariance par translation si la direction est infinie Invariance par rotation:
On dit qu’on a invariance par rotation autour de l’axe ∆ si la distribution de charge resteinvariante par rotation autour de ∆.
Si θ est l’angle de rotation alors−→E ne dépend pas de θ.
1.5 THÉORÈME DE GAUSS
1.5.1 Flux du champ électrostatique
Soit S une surface et A un point de S
On pose
−→dS (A) = dS −→n
avec −→n un vecteur unitaire à la surface S au point A
A
−→X
−→n
Soit−→X un vecteur défini au point A ; on définit le flux élémentaire dΦ au point A par
dΦ =−→X (A).
−→dS =
−→X (A)dS −→n =⇒ Φ =
"
S
−→X (A).
−→dS
20 juin 2018 Page -35- [email protected]
PCSI-LYDEX 1.6. APPLICATIONS
Le flux Φ représente le nombre de vecteur−→X qui traverse la surface S .
On oriente une surface fermée qui délimite un volume (en 3D) par la normaledirigeant toujours vers l’extérieur
Remarque
1.5.2 Énoncé du théorème de Gauss
Dans le vide, le flux du champ électrostatique d’une distribution de charges àtravers une surface fermée Σ est égal à la charge intérieure divisé par εo
Φ =
Σ
−→E (M).
−→dS =
Qint
εo
ThéorèmeTHÉORÈME DE GAUSS
Le théorème de Gauss constitue un outil de calcul rapide du champs électrosta-tique d’une distribution possédant une symétrie élevée.Pour utiliser le théorème de Gauss, on suit les étapes suivantes :• Symétrie et invariance afin de déterminer la direction et la variable dont dé-
pend le champs−→E
• Choix de la surface de Gauss Σ• Application du théorème de Gauss
Notation
1.6 APPLICATIONS
1.6.1 Fil infini chargé uniformément
Soit un fil infini (confondu avec l’axe Oz) chargé uniformément avec une densité li-néique λ > 0.
On détermine le champ−→E et le potentiel V en tout point M de l’espace.
En coordonnées cylindriques on a :
20 juin 2018 Page -36- [email protected]
PCSI-LYDEX 1.6. APPLICATIONS
−→er
−→eθ
M
z
Or
λ
bc
Symétrie :
• Le plan ( −→er ,−→eθ)est un plan de symétrie (Πs) passant par le point M donc
−→E (M). −→ez = 0
puisque −→ez⊥Πs
• Le plan ( −→er ,−→ez)est un plan de symétrie (Πs) passant par le point M donc
−→E (M). −→eθ = 0
puisque −→eθ⊥Πs
Donc
−→E (M) = E(M) −→ez
Invariances :• le fil est infini donc on a invariance par translation le long de l’axe Oz donc
−→E (M)
ne dépend pas de la variable z
• On a invariance par rotation autour de l’axe Oz donc−→E (M) ne dépend pas de la
variable θConséquence
−→E (M) = E(r) −→er
Choix de la surface de Gauss :Puisque le champ
−→E (M) ne dépend que de la variable r et afin de faire sortir le E(r) de
l’intégrale il faut que E(r) = cte =⇒ r = Cte et puisque r = Cte donne une surface encoordonnées cylindriques alors la surface de gauss est un cylindre d’axe Oz et de rayonr (passant par M)
20 juin 2018 Page -37- [email protected]
PCSI-LYDEX 1.6. APPLICATIONS
−→er
−→eθ
M
z
Or
bc
−→n 1
−→n 2
−→n L =−→er
S 1
S 2
S L
h
La surface de Gauss Σ = S 1 ∪ S 2 ∪ S L
Théorème de Gauss :
On a Φ = Φ1 + Φ2 + ΦL =⇒ Φ ="
S 1
−→E (M).
−→dS
︸ ︷︷ ︸=0(−→E (M)⊥−→n 1)
+
"
S 2
−→E (M).
−→dS
︸ ︷︷ ︸=0(−→E (M)⊥−→n 2)
+
!
S L
−→E (M).
−→dS
Donc
Φ =
Σ
−→E (M).
−→dS = E(M)2πrh
La charge intérieure
Qint =
∫ h
0
λ dz =⇒ Qint = λh
Il en résulte que
−→E (M) =
λ
2πεor−→er
Le champ électrostatique d’une distribution linéique n’est pas défini sur le filc’est à dire en r = 0
Remarque
L’expression du potentiel V(M :
On a : dV = −−→E (M).−−−−→dOM =⇒ dV(M) = −E(M) −→er .(dr −→er + rdθ −→eθ + dz −→ez ce qui donne :
dV(M) = − λ
2πεordr =⇒ V(M) = − λ
2πεo
ln r + cte
Puisque la fonction lnr diverge en r = 0 et r → ∞ alors on choisit V(r = R) = 0 ce quidonne
V(M) =λ
2πεo
ln(R
r
)
20 juin 2018 Page -38- [email protected]
PCSI-LYDEX 1.6. APPLICATIONS
Représentation graphique de E(r) :
r
E(r)
Représentation graphique de V(r) :
r
V(r)
R
1.6.2 Cylindre infini chargé uniformément en surface
Considérons une distribution cylindrique infinie de rayon R d’axe Oz portant unecharge surfacique constante σ > 0
z
Le champ−→E (M) :
Symétrie et invariance donne−→E (M) = E(r) −→er
Surface de Gauss : cylindre d’axe Oz passant par le point M
Théorème de Gauss :
20 juin 2018 Page -39- [email protected]
PCSI-LYDEX 1.6. APPLICATIONS
Φ = Φ1 + Φ2 + ΦL =⇒ Φ ="
S 1
−→E (M).
−→dS
︸ ︷︷ ︸=0(−→E (M)⊥−→n 1)
+
"
S 2
−→E (M).
−→dS
︸ ︷︷ ︸=0(−→E (M)⊥−→n 2)
+
!
S L
−→E (M).
−→dS
Donc
Φ =
Σ
−→E (M).
−→dS = E(M)2πrh
La charge intérieure :• Pour M à l’intérieur (r < R)
Qint = 0 =⇒ E(r < R) = 0
• Pour M à l’extérieur (r > R)
Qint = σ2πrh =⇒ E(r > R) =σR
εor
r
E(r)
σ
εo
R
On a une distribution surfacique en r = R et par conséquent le champ est discon-tinu en r = R
−→E (R+) − −→E (R−) =
σ
εo
−→n
On retrouve la relation de passage
Notation
Le potentiel V(M) :On a : dV = −Edr et puisque la distribution n’est pas limité dans l’espace on prendV(R) = 0
• Pour r 6 R on a : E = 0 =⇒ V(r 6 R) = cte = 0 puisque V(r) est continu.
V(r 6 R) = 0
• Pour r > R on a : E =σR
εor=⇒ V(r) = −σR
εo
ln r + cte
V(R) = 0 =⇒ cte =σR
εo
ln R donc
V(r > R) =σR
εo
ln(R/r)
20 juin 2018 Page -40- [email protected]
PCSI-LYDEX 1.6. APPLICATIONS
Représentation graphique de V(r) :
r
V(r)
R
1.6.3 Cylindre infini chargé uniformément en volume
Soit un cylindre infini de rayon R d’axe Oz uniformément chargé en volume avec ρ > 0.
z
Symétrie et invariances :
Symétrie cylindrique donc−→E (M) = E(r) −→er
Par conséquent la surface de Gauss est un cylindre d’axe Oz , de rayon r et de hauteur h
Le champ−→E (M) :
Théorème de Gauss :
Φ = Φ1 + Φ2 + ΦL =⇒ Φ ="
S 1
−→E (M).
−→dS
︸ ︷︷ ︸=0(−→E (M)⊥−→n 1)
+
"
S 2
−→E (M).
−→dS
︸ ︷︷ ︸=0(−→E (M)⊥−→n 2)
+
!
S L
−→E (M).
−→dS
Donc
Φ =
Σ
−→E (M).
−→dS = E(M)2πrh
La charge intérieure :• Pour M à l’intérieur (r < R)
Qint = ρπr2h =⇒ E(r < R) =
ρ
2εo
r
• Pour M à l’extérieur (r > R)
Qint = ρπR2h =⇒ E(r > R) =
ρR2
2εor
20 juin 2018 Page -41- [email protected]
PCSI-LYDEX 1.6. APPLICATIONS
r
E(r)
ρR
2εo
R
Pour une distribution volumique , le champ est continu
−→E (R+) =
−→E (R−)
Notation
Le potentiel V(M) :On a : dV = −Edr et puisque la distribution n’est pas limité dans l’espace on prendV(R) = 0
• Pour r 6 R on a : E =ρ
2εo
r =⇒ V(r 6 R) =ρ
4εo
(R2 − r2)
V(r 6 R) =ρ
4εo
(R2 − r2)
• Pour r > R on a : E =ρR2
2εor=⇒ V(r) = −ρR
2
2εo
lnr + cte
V(R) = 0 =⇒ cte =ρR2
2εo
lnR donc
V(r > R) =ρR2
2εo
lnR
r
Représentation graphique de V(r) :
r
V(r)
R
20 juin 2018 Page -42- [email protected]
PCSI-LYDEX 1.6. APPLICATIONS
1.6.4 Sphère uniformément chargée en volume
Une sphère de centre O et de rayon r uniformément chargée en volume avec unedensité volumique de charge ρ > 0
y
z
x
R
Symétrie et invariances
Le système charge ,M est invariante par rotation autour du point O donc−→E (M)
et V(M) ne dépendent pas de θ et ϕ les plans ( −→er ,
−→eθ) et ( −→er ,−→eϕ) sont des plans de symétrie donc
−→E (M) = E(r) −→er
Il en résulte que la surface de Gauss est une sphère de centre O et de rayon r
Calcul du champ
Φ =
Σ
−→E (r).
−→dS =⇒ Φ = E(r)4πr2
La charge intérieur :• Pour M à l’extérieur (r > R)
Qint =
#
ρ dτ =⇒ Qint =4
3πρR3 donc
−→E (r > R) =
ρR3
3εor2
−→er
• Pour M à l’intérieur (r 6 R)
Qint =
#
ρ dτ =⇒ Qint =4
3πρr3 donc
−→E (r 6 R) =
ρr
3εo
−→er
Représentation graphique de E(r)
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r
V(r)
R
ρR
3εo
Pour une distribution volumique le champ est continu.
Remarque
Calcul
du potentielPuisque la distribution est limitée dans l’espace on prend V(r →∞) = 0
On a : dV = −−→E (M).−−−−→dOM =⇒ dV = −E(r)dr
Pour M à l’extérieur (r > R)
E(r) =ρR3
3εor2=⇒ V(r > R) =
ρR3
3εor
Pour M à l’intérieur (r 6 R)
dV = − ρr3εo
dr =⇒ V(r 6 R) =ρ
6εo
(3R2 − r2)
Représentation graphique de V(r)
r
V(r)
R
ρR2
2εo
ρR2
3εo
1.6.5 Sphère uniformément chargée en surface
Soit une sphère de rayon R,chargée en surface avec la densité surfacique σ > 0
20 juin 2018 Page -44- [email protected]
PCSI-LYDEX 1.6. APPLICATIONS
⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕
⊕⊕⊕⊕⊕⊕
⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕
⊕ ⊕⊕ ⊕
⊕⊕⊕⊕⊕⊕
R
Symétrie et invariances
Symétrie sphérique donc−→E (M) = E(r) −→er et V(M) = V(r)
Il en résulte que la surface de Gauss est une sphère de centre O et de rayon r
Calcul du champ
Φ =
Σ
−→E (r).
−→dS =⇒ Φ = E(r)4πr2
La charge intérieur :• Pour M à l’intérieur (r < R)
Qint = 0 donc
−→E (r < R) =
−→0
• Pour M à l’extérieur (r > R)Qint =
#
ρ dτ =⇒ Qint = σ4πR2 donc
−→E (r > R) =
σR2
εor2
−→er
Représentation graphique de E(r)
20 juin 2018 Page -45- [email protected]
PCSI-LYDEX 1.6. APPLICATIONS
r
E(r)
R
σ
εo
Pour une distribution surfacique le champ est discontinu.
Remarque
Calcul
du potentielPuisque la distribution est limitée dans l’espace on prend V(r →∞) = 0
On a :−→E (M) − −−−−→grad V(M) =⇒ dV = −E(r)dr
Pour M à l’extérieur (r > R)
E(r) =σR2
εor2=⇒ V(r > R) =
σR2
εor
Pour M à l’intérieur (r < R)
dV = 0 =⇒ V(r < R) =σR
εo
Représentation graphique de V(r)
r
V(r)
R
σRεo
1.6.6 Plan infini uniformément chargée
Soit un plan infini (xOy) portant une densité de charge σ > 0
Puisque le plan est infini donc on choisit M sur Oz.Symétrie et invariances
20 juin 2018 Page -46- [email protected]
PCSI-LYDEX 1.6. APPLICATIONS
Tout plan contenant Oz est un plan de symétrie donc−→E (M) = E(M) −→ez
Puisque la distribution est infinie alors on a invariance par translation suivant lesaxe Ox et Oy et par conséquent
−→E (M) = E(z) −→ez
Par conséquent la surface de Gauss est un cylindre
⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕
z
x
y
•
•
M(z)
M′(−z)
−→n 2
−→n 1
−→E (z)
−→E (−z)
σ
Calcul du champ Théorème de Gauss :
Φ = Φ1 + Φ2 + ΦL =⇒ Φ =!
S 1
−→E (M).
−→dS +
!
S 2
−→E (M).
−→dS +
"
S L
−→E (M).
−→dS
︸ ︷︷ ︸=0(−→E (M)⊥−→n (= −→er))
Donc
Φ = E(z)πr2+ E(−z)(−πr2)
et puisque E(−z) = −E(z) alors
Φ = 2E(z)πr2
La charge intérieure :
Qint = σπr2
Donc−→E (M) = signe(z)
σ
2εo
−→ez
Avec
signe(z) =
+1 si z > 0
−1 si z < 0
Représentation graphique de E(r)
20 juin 2018 Page -47- [email protected]
PCSI-LYDEX 1.7. ANALOGIE ÉLECTROMÉCANIQUE
z
E(r)
σ
2εo
− σ2εo
Pour une distribution surfacique le champ est discontinu, et on retrouve la rela-tion de passage avec −→n 1→2 =
−→ez
−→E (O+) − −→E (O−) =
σ
εo
−→n
Remarque
1.7 Analogie électromécanique
1.7.1 Analogie Electrique/mécanique
Électrique Mécanique
Force−→F =
1
4πεo
q1q2
r2
−→er
−→F = −Gm1m2
r2
−→er
Source La charge q La masse m
1
4πεo
−G
Relation Force/Champ−→F = q
−→E (M) =
−→F = m−→g (M)
Champ−→E (M) =
1
4πεo
#
Ddq
r2
−→er−→g (M) = −G
#
Ddm
r2
−→er
Le potentiel VE(M) =1
4πεo
#
Ddq
rVG(M) = −G
#
Ddm
r
relation locale−→E (M) = −−−−−→grad VE(M) −→g (M) = −−−−−→grad VG(M)
L’énergie potentielle Ep = qVE + cte =1
4πεo
q1q2
r+ cte Ep = mVG + cte = −Gm1m2
r+ cte
Théorème de Gauss
Σ
−→E (M).
−→dS =
Qint
εo
Σ
−→g (M).−→dS = −4πGmint
1.7.2 Théorème de Gauss en mécanique
D’après ce qui précède Le théorème de Gauss en mécanique s’écrit
Σ
−→g (M).−→dS = −4πGmint
20 juin 2018 Page -48- [email protected]
PCSI-LYDEX 1.7. ANALOGIE ÉLECTROMÉCANIQUE
1.7.3 Application
Extrait du CNC Physique I 1999
Données utiles:• Constante de gravitation universelle G=6.7 × 10−11(u.S.I)• Masse de la terre mT ≃ 6.0 × 1024 kg• Rayon moyen de la terre RT ≃ 6.4 × 106 m
1/ Analogie électromécanique
1D On considère deux masses m1 et m2 ponctuelles situées respectivement auxpoints M1 et M2 de l’espace.
1.1⊲ Rappeler l’expression de la force gravitationnelle−→F g(1→2) exercée par m1 sur
m2 en fonction de m1 , m2,G et −→r = −−−−−→M1M2. Cette force est-elle attractive ou répulsive?2D Avec quelle unité s’exprime la constante de gravitation universelle G dans le
système international des unités (S.I) ?3D On considère deux charges ponctuelles q1 et q2 situées respectivement aux
points M1 et M2 de l’espace.
3.1⊲ Donner l’expression de la force électrostatique−→F e(1→2) exercée par q1 sur q2
en fonction de q1 , q2 et−→r = −−−−−→M1M2 et de la permittivité électrique du vide εo. Cette force
est-elle attractive ou répulsive?Avec quelle unité pratique exprime-t-on εo dans le S.I.
3.2⊲ Le champ électrostatique−→E 1(M2) créé par la chargé q1 au point M2 est défini
par−→F e(1→2) = q2
−→E 1(M2).
Donner l’expression de−→E 1(M2)
3.3⊲ Rappeler le théorème de Gauss .
4D En comparant les expressions de−→F g(1→2) et
−→F e(1→2), dégager une analogie entre
les grandeurs électriques et les grandeurs mécaniques. Quel est l’analogue mécanique
du champ électrostatique−→E ?
Le champ gravitationnel−→G créé en un point M de l’espace par une distribution de masse
D donnée est défini par−→F g(M) = m
−→G(M)
où−→F g(M) est la force gravitationnelle exercée par la distribution D sur une masse m
placée au point M.5D En s’inspirant de l’analogie , donner l’équivalent du théorème de Gauss pour
le champ gravitationnel créé par une distribution de masse quelconque D . On feraattention à la nature attractive ou répulsive de la force gravitationnelle.
2/ Champ gravitationnel terrestre
On assimile la Terre à une boule (sphère pleine) homogène de centre T, de rayon R et demasse m . On repère un point M quelconque de l’espace par ses coordonnées sphériques
(r, θ, ϕ) telles que r = ‖−−→T M‖. On note−→GT (M) le champ gravitationnel terrestre au point M.
6D En utilisant les propriétés de symétrie de la distribution de masse, montrer que−→GT (M) peut s’écrire
−→GT (M) = GT (r) −→er dans la base locale ( −→er ,
−→eθ, −→eϕ) des coordonnéessphériques de centre T.
20 juin 2018 Page -49- [email protected]
PCSI-LYDEX 1.7. ANALOGIE ÉLECTROMÉCANIQUE
7D Montrer,sans faire de calcul, que GT (r) est nul au centre de la Terre.8D En utilisant le théorème de Gauss pour le champ gravitationnel, établir l’ex-
pression de GT (r) en tout point M de l’espace et représenter graphiquement GT (r). Ondonnera l’ordre de grandeur de GT à la surface de la Terre.
9D ApplicationOn imagine que l’on perce un tunnel le long d’un diamètre de la Terre. À l’une des extré-mités du tunnel on abandonne sans vitesse initiale un objet de masse m que l’on pourraassimiler à un point matériel. On néglige toute force autre que la force gravitationnelleterrestre et on supposera que le référentiel terrestre est galiléen.
9.1⊲ Établir l’équation différentielle du mouvement de l’objet. Quelle est la na-ture du mouvement? Exprimer sa période T .
9.2⊲ Calculer l’ordre de grandeur de T . Commenter.9.3⊲ La propriété précédente peut-elle donner lieu à une application pratique?
Laquelle ?
1/ Analogie électromécanique
-3D-3.1⊲ L’expression de la force gravitationnelle
−→F g(1→2) = −G
m1m2
r3
−−−−−→M1M2
Cette force est attractive.-3.2⊲ L’unité dans le système international des unités (S.I)est
G : Nkg−2 m2
-2D-2.1⊲ L’expression de la force électrostatique
−→F e(1→2) =
1
4πεo
q1q2
r3
−−−−−→M1M2
. Cette force est• attractive si q1q2 < 0
• répulsive si q1q2 > 0
• L’unité pratique de εo dans le S.I est Fm−1.-2.2⊲ L’expression de
−→E 1(M2) =
1
4πεo
q1
r3
−−−−−→M1M2
20 juin 2018 Page -50- [email protected]
PCSI-LYDEX 1.7. ANALOGIE ÉLECTROMÉCANIQUE
-2.3⊲ Le théorème de Gauss .
Φ =
Σ
−→E (M).
−→dS =
Qint
εo
-1D L’analogie entre les grandeurs électriques et les grandeurs mécaniques.
Électrique Mécanique
Force−→F =
1
4πεo
q1q2
r2
−→er
−→F = −Gm1m2
r2
−→er
Source La charge q La masse m
1
4πεo
−G
Relation Force/Champ−→F = q
−→E (M) =
−→F = m
−→G(M)
L’analogue mécanique du champ électrostatique−→E est le champ
−→G
0D Le théorème de Gauss pour le champ gravitationnel créé par une distributionde masse quelconque D .
Σ
−→G(M).
−→dS = −4πGmint
2/ Champ gravitationnel terrestre
1D On a une symétrie sphérique donc
−→GT (M) = GT (r) −→er
2D Puisque le point T est un centre de symétrie alors
GT (r = 0) = 0
3D L’expression de GT (r) en tout point M de l’espace :
La surface de Gauss est une sphère de centre T et de rayon r
Σ
−→G(M).
−→dS = −4πGmint
Symétrie sphérique donc Φ = G(r)4πr2
Pour r < R =⇒ mint = mT
r3
R3T
ce qui donne
GT (r 6 RT ) = −GmT
R3r
Pour r > R =⇒ mint = mT
ce qui donne
GT (r 6 RT ) = −GmT
r2
Représenter graphiquement GT (r).
20 juin 2018 Page -51- [email protected]
PCSI-LYDEX 1.8. LE DIPÔLE ÉLECTROSTATIQUE
4D Application
4.1⊲ L’équation différentielle du mouvement de l’objet :La relation fondamentale de la dynamique projetée sur −→er donne :
mr = mGT =⇒ r + GmT
R3T
r = 0
La nature du mouvement : mouvement rectiligne sinusoïdal L’expression de la période T . :
T = 2π
√R3
T
GmT
4.2⊲ L’ordre de grandeur de T .
T ≃ 5074(s) = 1 h 24 min 34 s
Commentaire. : Au cours de la rotation de la terre autour d’elle même, le point maté-riel effectue 17 va et viens
4.3⊲ L’ application pratique : horloge
1.8 LE DIPÔLE ÉLECTROSTATIQUE
1.8.1 Définition
On appelle dipôle électrostatique un système globalement neutre (QT = 0) maisle barycentre des charges positives G+ diffèrent du barycentre des charges néga-tives G− c’est à dire
QT = 0 et−−−−−→G−G+ ,
−→0
Définition
20 juin 2018 Page -52- [email protected]
PCSI-LYDEX 1.8. LE DIPÔLE ÉLECTROSTATIQUE
bcbc
bc
bc
bc
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bc
bc
bc
bc
bcbc
G− G+ G− ⊖ ⊕ G+
Exemples
Doublet [N(-q),P(+q)]
Molécule HCl Deux segments AB et CD parallèles uniformément chargés avec une densité de
charges opposée :
⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕
⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖
A
C
B
D
Un cercle chargé avec une densité de charge exprimée en coordonnées polaires par
λ = λo cos θ avec λo > 0
x
y
⊕ ⊕ ⊕⊕ ⊕⊕ ⊕
⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕
⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖
⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖
⊖ ⊖ ⊖ ⊖ ⊖ ⊖
G+•
G−•
θ
Le dipôle électrostatique est dit rigide si la distance G−G+ est constante
RemarqueDipôle rigide
• On modélise pour la suite un dipôle par un bipoint [G−(−q),G+(+q)]
• On caractérise un dipôle électrostatique par son moment dipolaire−→P définie par
−→P = +q
−−−−→G−G+ (Cm−1)
20 juin 2018 Page -53- [email protected]
PCSI-LYDEX 1.8. LE DIPÔLE ÉLECTROSTATIQUE
Il existe une autre unité de−→P c’est le Debye notée D tel que
1D =1
310−29 Cm−1
Remarque
La molécule d’eau est formée d’un atome d’oxygène et de deux atomes d’hydro-gène ; H2O est une molécule coudée, l’angle entre les deux liaisons (O−H ) estde l’ordre de α = 105o l’atome d’oxygène semble prendre un excès de chargenégative : −2δ = −2ηe avec e = 1.6 × 10−19 C ; Chaque atome d’hydrogène porteun excès de charge positive : +δ = +ηe. De ce fait la molécule d’eau possède unmoment dipolaire permanent −→µ de norme = 6.16 × 10−30 Cm−1.Calculer η , sachant que la distance d (O-H ) est égale à 0.98 × 10−10 m.
ActivitéMoment dipolaire de la molécule d’eau
On a :• La charge totale QT = 2δ − 2δ =⇒ QT = 0
• G− , G+ donc la molécule d’eau est une moléculepolaire.• l’expression du moment dipolaire :On a :
−→µ = −→µ 1 +−→µ 2 =⇒ µ = ηed
√2(1 + cosα)
Donc
η =µ
ed√
2(1 + cosα)
A.NGGGGGGGGGA η = 0, 32(32%)
O
HH
α
−→µ
−→µ 2−→µ 1
G+⊕
η > 50% : Liaison à caractère ionique partiel η < 50% : Liaison à caractère covalent partiel
NotationLiaison covalente/ionique
On considère une distribution linéique de charge repartie sur un cercle, de centreO et de rayon R, avec une densité linéique λ = λo sin θ .
1. Quelle est l’unité de λo ?
2. Déterminer la charge totale portée par le cercle.
3. Déterminer l’expression du vecteur−−−→OG+
4. En déduire l’expression du moment dipolaire−→P
ActivitéMoment dipolaire d’une distribution linéique
20 juin 2018 Page -54- [email protected]
PCSI-LYDEX 1.8. LE DIPÔLE ÉLECTROSTATIQUE
1. L’unité de λo est Cm−1
2. La charge totale
QT =
∫ 2π
0
λdℓ =⇒ QT = λoR
∫ 2π
0
sin θ dθ = 0
3. Puisque l’axe Oy est un axe desymétrie pour la distribution alorsles barycentres G− et G+ sont situéssur l’axe Oy.
x
y
⊕⊕⊕⊕⊕⊕
⊕⊕⊕⊕⊕
⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊖⊖⊖⊖⊖ ⊖ ⊖ ⊖ ⊖ ⊖ ⊖ ⊖ ⊖ ⊖ ⊖ ⊖ ⊖
⊖ ⊖
⊖ ⊖⊖⊖⊖⊖
G+•
G−•
θ
MR
On rappelle que
−−→OG =
∑i
qi
−−−→OMi
∑i
qi
=
∫ −−→OM dq∫
dq
Pour les charges positives On a :
Q+ =
∫ π
0
λdℓ =⇒ Q+ = 2Rλo = −Q−
Sachant que−−−→OG+ =
1
Q+
∫ π0
−−→OMdq qu’on projette suivant l’axe Oy
OG+ =R2λo
Q+
∫ π
0
sin2 θ dθ =⇒ −−−→OG+ =πR
4
−→ey
4. L’expression du moment dipolaire
−→P = Q+
−−−−→G−G+ = 2Q+
−−−→OG+ =⇒
−→P = λoπR
2 −→ey
1.8.2 Le potentiel électrostatique crée par un dipôle dans le cadre
de l’approximation dipolaire.Surface équipotentielle
1.8.2.1 Le potentiel électrostatique
Soit un dipôle de moment dipolaire−→P modélisé par un doublet (-q,+q) situé respec-
tivement au point N et P et M un point quelconque de l’espace à une distance r de Omilieu de [NP] comme indique la figure suivante
20 juin 2018 Page -55- [email protected]
PCSI-LYDEX 1.8. LE DIPÔLE ÉLECTROSTATIQUE
x
y
z
P(+q)•
N(−q)•
θ
M
r
ϕ
−→eθ
−→eϕ
−→er
−→P
Le moment dipolaire du dipôle vaut
NP = 2a =⇒ −→P = 2aq −→ez
En coordonnées sphériques on a :• Le potentiel V(M) = V(r, θ, ϕ)
• Le champ−→E (M) = Er(r, θ, ϕ) −→er + Eθ(r, θ, ϕ) −→eθ + Eϕ(r, θ, ϕ) −→eϕ
- Symétrie : Le plan ( −→er ,−→eθ) = Πs =⇒
−→E ϕ =
−→0
- Invariance : On a invariance par rotation autour de−→P ( ici l’axe Oz) donc les grandeurs
−→E (M) et V(M) ne dépendent pas de la variable ϕ c’est à dire
−→E (M) = Er(r, θ)
−→er + Eθ(r, θ)−→eθ et V(M) = V(r, θ)
Il en résulte l’utilisation des coordonnées polaires (r, θ)
On rappelle que : Le potentiel crée par une charge ponctuelle s’écrit avec référence à l’infini ( puisque
la distribution est limitée dans l’espace)
V(M) =1
4πεo
q
r
Le potentiel vérifie le théorème de superposition
V(M) = Vp(M) + VN(M) =⇒ V(M) =q
4πεo
( 1
r+− 1
r−
)=
q
4πεo
(r− − r+
r− × r+
)
avec r+ = PM et r− = NM
On s’interesse au point M tel que ‖−−→OM‖ = r ≫ a : c’est l’
approximation
dipolaire
20 juin 2018 Page -56- [email protected]
PCSI-LYDEX 1.8. LE DIPÔLE ÉLECTROSTATIQUE
Dans ce cadre on a :−→r ± = −→r ∓ a −→ez =⇒ r2
± = r2+ a2 ∓ 2ar cos θ
=⇒ r± ≃ r(1 ∓ 2a
rcos θ)
12
=⇒ r± ≃ r(1 ∓ a
rcos θ)
D’où
r− − r+ ≃ 2a cos θ ; r+r− ≃ r2
approximation dipolaire
Donc :
V(M) =2aq cos θ
4πεor2=
−→P . −→er
4πεor2
Le potentiel électrostatique créé par une charge ponctuelle présente une symé-trie sphérique et inversement proportionnel à la distance r par contre pour ledipôle électrostatique et dans le cadre de l’approximation dipolaire, le potentieldépend de r et θ et inversement proportionnel à r2.
Remarque
1.8.2.2 Surfaces équipotentielles
On rappelle que la surface équipotentielle est l’ensemble des points M tel que V(M) =
cte = Vo
Pour le dipôle électrostatique dans le
cadre de l’approximation dipolaire :
V(M) =2aq cos θ
4πεor2= cte = Vo donc
V(M) = Vo =⇒ r2=
P
4Voπεo
cos θ
C’est l’équation des S.E.P
N.B :En coordonnées sphériques θ ∈ [0, π] donc pour Pour θ ∈ [0, π/2[=⇒ Vo > 0
Pour θ ∈]π/2, π =⇒ Vo < 0
Pour θ = π/2 =⇒ Vo = 0
Représentation graphique des S.E.P
20 juin 2018 Page -57- [email protected]
PCSI-LYDEX 1.8. LE DIPÔLE ÉLECTROSTATIQUE
−→P
SEP
Vo > 0Vo < 0
L’approximation dipolaire non valable
1.8.3 Le champ électrostatique crée par un dipôle dans le cadre
de l’approximation dipolaire.Lignes de champ
1.8.3.1 L’expression du champ
On applique la relation locale−→E = −−−−−→grad V(M) en coordonnées sphériques :
−→E (M) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Er = −∂V
∂r=
2p cos θ
4πεor3
Eθ = −1
r
∂V
∂θ=
p sin θ
4πεor3
Eϕ = −1
r sin θ
∂V
∂ϕ= 0
−→E (M) =
p
4πεor3(2 cos θ −→er + sin θ −→eθ)
Pour le dipole électrostatique
• −→E (M) ∝1
r3
• −→E (M) peut s’écrire :
−→E =
p
4πεor3(3(−→P . −→er)
−→er −−→P)
• Le plan médiateur (yoz) est une surface équipotentielle ; (θ = π/2 =⇒ V = 0)
• Si on pose α = (−→E r,−→E ) l’angle d’inclinaison de
−→E par rapport à −→er
Remarques
20 juin 2018 Page -58- [email protected]
PCSI-LYDEX 1.8. LE DIPÔLE ÉLECTROSTATIQUE
−→E r
−→E θ
−→E
−→P
M
θ
α
Question : Quelle est la relation entre θ et α ?
On a : Er =2P cos θ
4πεor3et Eθ =
P sin θ
4πεor3donc
tanα =Eθ
Er
=⇒ tan θ = 2 tanα
1.8.3.2 Les lignes de champ
M ∈ LDC =⇒ −→E (M) ∧ −−−−→dOM =−→0 ce qui donne
Er
dr=
1
r
Eθ
dθ=⇒ dr
r= 2
cos θ
sin θdθ
Par intégration on obtient
r = ro sin2 θ
−→P
SEP
LDC
Vo > 0Vo < 0
L’approximation dipolaire non valable
20 juin 2018 Page -59- [email protected]
PCSI-LYDEX 1.8. LE DIPÔLE ÉLECTROSTATIQUE
1.8.4 Aspect énergétique
1.8.4.1 Actions subies par un dipole électrostatique rigide
Dans une région de l’espace où règne un champ électrostatique extérieur uniforme−→E e créé par une source extérieure, on place un dipôle rigide de moment dipolaire
−→P
−→E e
−→P
-q
q
La résultante des forces :
−→F = q
−→E e + (−q)
−→E e =⇒
−→F =−→0
On retient que si le champ est uniforme, alors la résultante des forces est nulle.
Le moment résultant :−−→M O =
−−−→OG− ∧ (−q
−→E e) +
−−−→OG+ ∧ (q
−→E e) ce qui donne
−−→M O =
−→P ∧ −→E e
Conclusion:
L’action d’un champ extérieur uniforme−→E e sur un dipôle rigide de
moment dipolaire−→P se réduit à un couple de force de moment
−−→M =
−→P ∧ −→E e
1.8.4.2 l’énergie potentielle d’un dipole électrostatique rigide
On rappelle que la force électrostatique−→F = q
−→E est conservative donc pour le dipôle
rigide dans−→E e extérieur uniforme on obtient :
dEp = −−→F .−−−−→dOM =⇒ −dEp = −q
−→E ed−−→OG− + q
−→E ed−−→OG+
=⇒ −dEp = q−→E e(d
−−→OG+ − d
−−→OG−)
=⇒ −dEp = q−→E ed−−−−→G−G+
=⇒ −dEp = d(−−→P .−→E e)
20 juin 2018 Page -60- [email protected]
PCSI-LYDEX 1.9. LE CONDENSATEUR
Ce qui donne
Ep = −−→P .−→E e
Si on pose α = (−→P ,−→E e) ; déterminer les positions d’équilibre et discuter leur stabi-
lité .
Remarque
On a :
Ep = −PEe cosα
Positions d’équilibre :dEp
dα= PEe sinα = 0 =⇒ sinα = 0
Donc les positions d’équilibre sont α = 0 ou α = π Stabilité :
On a :d2Ep
dα2= PEe cosα
• Pour α = 0 on ad2Ep
dα2
]α=0= PEe > 0 donc α = 0 est une position d’équilibre stable.
• Pour α = π on ad2Ep
dα2
]α=π= −PEe < 0 donc α = π est une position d’équilibre instable.
On retient que l’action d’un champ extérieur sur dipôle rigide est de le faire tourner afinque le moment dipolaire s’oriente colinéairement au champ extérieur.
Si le champ extérieur n’est pas uniforme, on admet le cas générale
• Ep = −−→P .−→E e
• −−→M =−→P ∧ −→E e
• −→F = −−−−−→grad Ep =−−−−→grad (
−→P .−→E e) ,
−→0
Remarque
1.9 LE CONDENSATEUR
1.9.1 Définition
On appelle condensateur deux surfaces en regard portant deux charges opposées+Q et −Q, séparée par un isolant
Définition
20 juin 2018 Page -61- [email protected]
PCSI-LYDEX 1.9. LE CONDENSATEUR
On caractérise un condensateur par sa capacité C définie par
C =Q
U=
Q
V(+Q) − V(−Q)
(F)
Avec : V(+Q) le potentiel de la surface qui porte la charge +Q. V(−Q) le potentiel de la surface qui porte la charge −Q.
+
+
+
+
+
+
−−−−−−
ISOLANT
A(Q) B(−Q)
U
1.9.2 Le condensateur plan
On dit qu’un condensateur est plan si les deux surfaces dites armatures sont planes.Soit un condensateur plan constitué de deux armatures de surface S séparées par unisolant d’épaisseur e
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
−−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−−A(Q
)B(−Q)
e
U
z
−→E
On suppose pour la suite que
e ≪√
S
afin de considérer la surface S comme un plan infini (On dit qu’on néglige l’effet debord) et par conséquent, le champ total entre les armatures du condensateur plan vaut
en posant σ =Q
Sla densité surfacique de charge
−→E =
σ
εo
−→ez =⇒−→E =
Q
S εo
−→ez
20 juin 2018 Page -62- [email protected]
PCSI-LYDEX 1.9. LE CONDENSATEUR
On rappelle que :dV = −−→E .−−−−→dOM =⇒ dV = −Edx donc
V− − V+ = −∫ e
0
Edx =⇒ U = V+ − V− = Ee
En remplaçant E par son expression on obtient :
U =Q
S εo
e =⇒ C =Q
U= εo
S
e
On rappelle que l’énergie emmagasinée par le condensateur :
Wc = Ec =1
2CU2
=⇒Wc = Ec =1
2
εoS
eE2e2
ce qui donne
Wc
V =1
2εo
−→E 2
par conséquent la densité volumique d’énergie électrique pour le champs−→E s’écrit
we =dW
dτ=
1
2εo
−→E 2
1.9.3 Application
D’après CCP/TSI/2010
Dans tout le problème ,εo représente la permittivité diélectrique de l’air, égale à celle duvide.
1.9.3.1 Condensateur plan
1- On considère un plan infini uniformément chargé avec une densité surfacique σpositive.
1.1- En considérant les propriétés de symétrie de la distribution de charges, mon-
trer que le champ électrostatique−→E crée par un plan infini uniformément chargé avec
une densité surfacique σ est orthogonale au plan.
1.2- Démontrer que−→E est tel que sa norme E vaut E =
σ
2εo
. Représenter sur un
schéma le vecteur−→E de part et d’autre du plan. On indiquera avec précision la surface
de Gauss choisie.
2- Soit un condensateur plan constitué par deux plans infinis, parallèles, uniformé-ment chargés et séparés par une distance d . Le plan supérieur étant chargé avec unedensité surfacique σ positive et le plan inférieur étant chargé avec une densité −σ.
20 juin 2018 Page -63- [email protected]
PCSI-LYDEX 1.9. LE CONDENSATEUR
e
σ
−σ
2.1- En utilisant le théorème de superposition, déduire de la question précédentele champ électrostatique en tout point de l’espace.
2.2- Déterminer la différence de potentiel U entre les deux plans du condensateur.On exprimera U en fonction de εo,σ et d. Identifier clairement, en le justifiant, le plandont le potentiel est le plus élevé.
2.3- Définir et déterminer la capacité C du condensateur par unité de surface. Onexprimera C en fonction de εo et d.
3- On introduit entre les deux plaques du condensateur plan une plaque métalliqueparallélépipédique d’épaisseur e < d parallèle aux armatures du condensateur. L’épais-seur e est donc une grandeur finie, mais on considère que les autres dimensions de laplaque métallique sont infinies.
d
(Π)
(P′)
(Π′)
(P)
σ
−σ
e
On admet que le champ électrostatique est nul à l’intérieur du métal.Justifier le fait qu’il apparaîtra des charges électriques sur les surfaces supérieure P etinférieure P’ de la plaque métallique. Déterminer le signe de ces charges. On pourras’aider d’un schéma succinct.
4- En utilisant le théorème de Gauss sur une surface que l’on précisera, déterminerles densités surfaciques de charge σP et σP′ qui apparaissent sur les surfaces P et P’ dela plaque métallique. Exprimer σP et σP′ en fonction de σ
5-5.1- Déterminer la valeur du champ électrostatique en un point du condensateur
extérieur à la plaque métallique (entre P et Π d’une part et entre P’ et Π′ d’autre part).En déduire la différence de potentiel U′ entre les deux armatures du condensateur . Onexprimera U′ en fonction de σ, e, d et εo.
5.2- En déduire la capacité surfacique C′ du condensateur ainsi obtenu. On expri-mera C′ en fonction de e, d et εo. Conclure quant à l’influence de la plaque sur la capacitésurfacique du condensateur.
1.9.3.2 Condensateur cylindrique
On considère un condensateur cylindrique composé de deux armatures coaxiales dehauteur H et de rayons respectifs R1 et R2 avec R1 < R2 et placées dans l’air. L’armature
20 juin 2018 Page -64- [email protected]
PCSI-LYDEX 1.9. LE CONDENSATEUR
interne porte la charge électrique Q > 0. L’armature externe porte une charge totale −Q.Les potentiels électriques des armatures sont respectivement V1 et V2. Soit un point Msitué à la distance r = KM de l’axe : R1 < r < R2. K est la projection orthogonale du pointdu point M sur l’axe du condensateur.Soit −→u le vecteur unitaire de la droite (KM) dirigé de K vers M.
On admettra que le champ électrostatique−→E créé au point M est radial et sa norme ne
dépend que de r. On peut donc écrire−→E (M) = E(r) −→u .
On néglige les effets de bord.
1- En appliquant le théorème de Gauss à une surface S que l’on précisera, déterminerl’expression de E(r). On exprimera E(r) en fonction de Q, εo, r et H. on distinguera les casselon que r < R1,R1 < r < R2 ou r > R2.
2- En déduire le potentiel V(r) à une distance r de l’axe lorsque R1 < r < R2. Onexprimera V(r) en fonction de Q,H,V1,R1, εo et r. En déduire la différence de potentielU = V1 − V2 entre les deux armatures du condensateur en fonction de Q, εo,H,R1 et R2.
3- Déterminer la capacité C du condensateur en fonction de εo,H,R1 et R2 .
4- On peut associer au champ électrostatique une densité volumique d’énergie ue
égale à1
2εoE2.
En utilisant l’expression de E(r) déterminée précédemment et en intégrant l’expressionde ue déterminer l’énergie Wc accumulée par le condensateur. On exprimera Wc en fonc-tion de Q, εo,H,R1 et R2. En déduire l’expression de Wc en fonction de Q et C.
5- En effectuant un développement limité de l’expression de la capacité déterminée àla question précédente, montrer que si les rayons des armatures sont très proches, c’està dire R2 − R1 = e ≪ R1, le condensateur cylindrique est équivalent à un condensateurplan dont on précisera les caractéristiques
1- Le flux du champ électrostatique sortant d’une surface fermée est égal au rapportde la charge intérieure à la surface sur εo :
−→E .−→dS =
Qint
εo
20 juin 2018 Page -65- [email protected]
PCSI-LYDEX 1.9. LE CONDENSATEUR
L’équation de maxwell-Gauss : div−→E =
ρ
εo
permet de démontrer le théorème de Gauss.
Deuxième partie : Condensateur plan2- Soit le plan infini chargé xOy.
−→E (M) est un vecteur donc il appartient aux plans de symétrie des charges (M, −→ex,
−→ez) et(M, −→ey, −→ez) :Ainsi invariance par translation donne
−→E (M) = E(x, y, z) −→ez = Ez(z) −→ez
car les directions Ox et Oy sont infinies.Le plan z = 0 est un plan de symétrie des charges donc Ez(z) = −Ez(−z)
On considère un cylindre d’axe zz, de rayon R, se trouvant entre les plans z et −z ( z>0).Par application de Gauss :
−→E .−→dS = EzπR
2 − Ez(−z)πR2=σπR2
εo
ce qui donne−→E (M) = signe(z)
σ
εo
−→ez
3-3.1- On prend le plan(1) (-σ) en z = 0 et le plan(2)(σ) en z = d.
D’après le théorème de superposition on a :
Pour z < 0 :−→E (M) =
−→E 1(M) +
−→E 2(M) =
−→0
Pour 0 < z < d :−→E (M) = −σ
εo
−→ez
Pour d < z :−→E (M) =
−→0
3.2- Le potentiel le plus élevé est celui du plan (2) :
U = V2(z = d) − V1(z = 0) =
∫ 1
2
−→E .−→dℓ =
σd
εo
3.3- On a, pour le plan2 (σ) :
Q = σS = V(V2 − V1) = CU =⇒ C
S=εo
d
4- Le champ électrostatique qui règne dans le condensateur déplace les électrons dela lame jusqu’à ce que le champ total régnant dans cette lame soit nul.Il apparaît des charges négatives sur le plan( P) et des charges positives sur le plan (P’).
(Π′)
(P′)
(P)
(Π)z
Surface de Gauss
20 juin 2018 Page -66- [email protected]
PCSI-LYDEX 1.9. LE CONDENSATEUR
On applique le théorème de Gauss à un cylindre de section S et d’axe z′z ( voir dessin),
le champ entre les armatures est toujours de la forme−→E (M) = Ez(z) −→ez
Le champ électrique est nul sur les surfaces S et aucun flux ne sort par la surface laté-rale, donc
Σ
−→E .−→dS = 0 =
1
εo
(σS + σpS ) =⇒ σp = −σ
De même, on en déduit queσp′ = +σ
5-
5.1- On retrouve les mêmes condensateurs séparés de la distanced − e
2
Entre (P) et (Π),−→E (M) = −σ
εo
−→ez ; Entre (P’) et (Π′) ;−→E (M) = −σ
εo
−→ez.
D’où
U′ =
∫ 1
2
−→E .−→dℓ =
σ(d − e)
εo
5.2- On a, pour le plan (Π) : Q = σS = C′U′
D’oùC′
S=εo
d − e=⇒ C′
S=
(CS
) d
d − e>
C
S
La capacité en présence de la lame est plus grande que sans la lame.Troisième partie : Condensateur cylindrique
1- On considère un cylindre de même axe que ceux de la distribution de rayon r etde hauteur H. Comme le champ est radial :
Σ
−→E .−→dS =
"
S lat
−→E .−→dS = Er2πrH
Le théorème de Gauss donne :
S lat
−→E .−→dS =
Qint
εo
Pour r < R1 : Qint = 0 =⇒ −→E (M) =−→0 .
Pour r > R2 : Qint = Q − Q = 0 =⇒ −→E (M) =−→0 .
Pour R1 < r < R2 : Qint = Q =⇒ −→E (M) =Q
2πεorH−→u .
2- On a : Er = −dV
dr=⇒ V(r) = − Q
2πεoHln r + cte
Comme pour r = R1 on a V = V1 alors V(r) =Q
2πεoHln
R1
r+ V1
Ce qui donne
U = V2 − V1 =Q
2πεoHln
R1
R2
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PCSI-LYDEX 1.9. LE CONDENSATEUR
3-
Q = C(V1 − V2) =⇒ C = 2πεoH1
lnR2
R1
4- On a : W =#
espace
1
2εoE2 dτ =
#
cond
1
2εoE2 rdrdθdz
En intégrant
Wcond =Q2
4πεoHln
R2
R1
=1
2CQ2
5- Comme C = 2πεoH/ ln(1 + e/R1) et ln(1 + x) ≃ x on peut en déduire que
C = 2πεoHR1
e= εo
S lat
e
C’est la capacité d’un condensateur plan dont les armatures sont séparées de e et ontune surface S = 2πR1H .
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CHAPITRE 2
MAGNÉTOSTATIQUE
La magnétostatique est l’étude du champ magnétique crée par un courant continu.
2.1 Champ et potentiel magnétostatique
2.1.1 Distribution de courant électrique
2.1.1.1 Vecteur densité de courant
Soit un volume V délimité par une surface Σ contenant une charge q.
(V,q)Σ
Déterminons la charge élémentaire dq qui quitte une surface élémentaire dS pendant ladurée élémentaire dt, ainsi le courant élémentaire dI qui traverse dS .
Les charges dq qui quittent la surface élé-mentaire dS pendant la durée dt sont si-tuées dans le cylindre élémentaire de gé-nératrice la normale de section dS et dehauteur dℓ tel que d
−→ℓ =−→V dt avec
−→V la vi-
tesse moyenne des porteurs de charges
(V,q)
Σ
−→dS
69
PCSI-LYDEX 2.1. CHAMP ET POTENTIEL MAGNÉTOSTATIQUE
d−→ℓ =−→V dt
−→dS
Donc le volume du cylindre élémentaire est :
dτ =−→dS .−→dℓ =⇒ dτ =
−→dS .−→V dt
=⇒ dq = ρ−→V .−→dS dt
=⇒ dq
dt= ρ−→V .−→dS = dI
Avec dI le courant élémentaire qui traverse la surface dS .On pose
−→j = ρ
−→V (A.m−2)
Vecteur densité de courant
Ce qui donne
dI =−→j .−→dS =⇒ I =
"
Σ
−→j .−→dS
Conclusion:
Le courant électrique représente le flux du vecteur densité decourant à travers la surface Σ
.Remarque
1. Pour un conducteur cylindrique plein de rayon R parcouru par un courant I continuon a
I =
∫ 2π
0
∫ R
0
−→j .−→dS =⇒ I = jπR2
2. Pour un conducteur cylindrique creux de rayon intérieur Ri et de rayon extérieur Re
parcouru par un courant I continu on a
I =
∫ 2π
0
∫ Re
Ri
−→j .−→dS =⇒ I = jπ(R2
e − R2i )
20 juin 2018 Page -70- [email protected]
PCSI-LYDEX 2.1. CHAMP ET POTENTIEL MAGNÉTOSTATIQUE
3. Pour un conducteur rectangulaire, on a :
I =
"
Σ
−→j .−→dS =⇒ I =
∫ ℓ
0
∫ L
0
jdxdz =⇒ I = jℓL
Si ℓ → 0 c’est à dire ℓ ≪ L alorsI =∫ L
0(∫ ℓ
0
−→j dy)dx −→n
On pose
−→j s = lim
ℓ→0
∫ ℓ
0
−→j dy
Vecteur densité de courant surfacique
Et par conséquent
I =
∫ L
0
−→j s. ;−→n dx
−→n = −→ey
(L)
ℓ
x
z
Si−→j s est uniforme alors I = JsL
4. Pour un courant surfacique
−→j s = σ
−→V
Sphère chargée en volume en rotation uniforme autour de l’axe oz
Activité
Considérons une sphère de rayon R chargée uniformément en volume avec une densitévolumique ρ > 0 en rotation uniforme autour de l’axe oz avec une vitesse angulaire ω.
On a−→j = ρ
−→V avec
−→V = rω sin θ −→eϕ ce qui donne
−→j = ρωr sin θ −→eϕ
20 juin 2018 Page -71- [email protected]
PCSI-LYDEX 2.1. CHAMP ET POTENTIEL MAGNÉTOSTATIQUE
Il en résulte que le courant I :
I =! −→
j .−→dS avec
−→dS == rdrdθ −→eϕ ce qui donne
I =
∫ R
0
∫ π
0
jdS =⇒ I =2
3ρωR3
=ρω
2πV
Disque chargé en rotation uniforme autour de l’axe oz
Activité
On a−→V = rω −→eθ =⇒
−→j s = σrω −→eθ ainsi
−→dℓ = dr −→eθ
donc
I =
∫ R
0
−→j s.−→dℓ =⇒ I =
1
2σωR2
=σω
2πS
2.1.1.2 Équation locale de la conservation de la charge
Soit un volume V délimité par la surface Σ contenant la charge q.On note sa densité volumique de charge au point M à l’instant t par ρ = ρ(M, t).Par conséquent :• à l’instant t on a : q(t) =
#
ρ(M, t)dτ
• à l’instant t + dt on a : q(t + dt) =#
ρ(M, t + dt)dτ
Lors de la durée dt le système a échangé la charge δqe tel que
q(t) = q(t + dt) + δqe (E1)
Remarquons que (E1) traduit la conservation de la charge.
Orδqe
dt=
! −→j .−→dS =⇒ δqe =
! −→j .−→dS dt
D’où (E1) devient :#
ρ(M, t)dτ =#
ρ(M, t + dt) +! −→
j .−→dS dt =⇒
#
[ρ(M, t + dt) − ρ(M, t)]dτ = −! −→
j .−→dS dt
D’après le théorème Green-Ostrogradsky :! −→
j .−→dS =
#
div−→j dτ Il en résulte que
div−→j +∂ρ
∂t= 0
C’est l’équation locale de la conservation de la charge
En régime stationnaire ρ(M, t) = ρ(M) (ρ ne dépend pas du temps) on a
div−→j = 0 =⇒
" −→j .−→dS = 0
−→j est à flux conservatif (c’est la loi des nœuds)La charge entrante est égale à la charge sortante c’est à dire pas d’accumulationdes charge dans un nœud.
Remarque
20 juin 2018 Page -72- [email protected]
PCSI-LYDEX 2.1. CHAMP ET POTENTIEL MAGNÉTOSTATIQUE
2.1.1.3 Formulation locale de la loi d’Ohm
Considérons un conducteur AB traversé par un courant continue I du à une différencede potentielle U = VA − VB > 0
−→E
IA B
U
On applique la relation fondamentale de la dynamique sur un porteur de charge de massem et de charge q dans un référentiel lié au conducteur supposé galiléen :
q−→E − λ−→V = m
d−→V
dt
Avec λ−→V la force de frottement du au chocs entre la particule chargée et les autres
porteurs à l’intérieur du conducteur.Ce qui donne
d−→V
dt+λ
m
−→V =
q
m
−→E
La solution de cette équation différentielle est
−→V (t) =
−→A exp (− λ
mt) +
q
λ
−→E
Supposons qu’à t = 0 on a−→V =
−→0 ce qui donne
−→A = −q
λ
−→E .
Il en résulte que
−→V =
q
λ
−→E (1 − exp(− λ
mt))
Représentons la norme de la vitesse
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 t
V(m/s)
Régime transitoire Régime permanent
20 juin 2018 Page -73- [email protected]
PCSI-LYDEX 2.1. CHAMP ET POTENTIEL MAGNÉTOSTATIQUE
En régime permanent on a :−→V =
q
λ
−→E =⇒ −→j = ρ−→V ce qui donne
−→j =ρq
λ
−→E
On pose
=γ =ρq
λ(S .m−1)
conductivité du conducteur
ρres =1
σ(Ω.m)
résistivité du conducteur
On rappelle que pour un conducteur cylindrique de section S et de longueur L on a larésistance R vaut
R = ρres
L
S=
1
σ
L
S
Il en résulte que en régime permanent
−→j = σ
−→E
C’est la loi d’Ohm locale
2.1.2 Champ magnétostatique : loi de Biot et Savart
Soit (C) un circuit , parcouru par un courant continu I.On appelle élément de courant la grandeur
−→j
−→js
I−→dℓ
D. volumique D. surfacique D. linéique
d−→C = I
−→dℓ =
−→j sdS =
−→j dτ
On admet que :
d−→B(M) =
µo
4π
−→dC ∧ −−→PM
PM3
20 juin 2018 Page -74- [email protected]
PCSI-LYDEX 2.1. CHAMP ET POTENTIEL MAGNÉTOSTATIQUE
C’est la loi de Biot et Savart
Unité de B est le Tesla (T ) ou le Gauss (1T = 104G) µo perméabilité du vide :µo = 4π10−7H.m−1
Comme en électrostatique , le principe de superposition en magnétostatique restevalable :
−→BTotal = Σ
−→B i
−→E est un vrai vecteur par contre
−→B est un pseudo-vecteur (ou vecteur axial) puisque
il découle d’un produit vectoriel ( change de sens)On rappelle que :• Le champ électrostatique est un vrai vecteur (ou vecteur libre) appartient au plan
de symétrie et perpendiculaire au plan d’antisymétrie.• le champ magnétique est un pseudo-vecteur (ou vecteur lié) appartient au plan
de d’antisymétrie et perpendiculaire au plan de symétrieOn récapitule que
−→E
−→B
origine charges fixes charges mobiles
caractère vectoriel vrai vecteur pseudo-vecteur
plan de symétrie appartient perpendiculaire
plan d’antisymétrie perpendiculaire appartient
2.1.3 Applications
2.1.3.1 Segment traversé par un courant
Soit AB un segment parcourut par un courant électrique I, et M un point quelconquede l’espace
• M
A
B
O
I
αA
αBα
P
En coordonnées cylindriques (Oz est confondu avec AB) on a invariance par rotationautour de l’axe oz et par conséquent le champ magnétique ne dépend pas de l’angle etdonc −→
B(M) =−→B(r, z)
20 juin 2018 Page -75- [email protected]
PCSI-LYDEX 2.1. CHAMP ET POTENTIEL MAGNÉTOSTATIQUE
Puisque le plan (ABM ≡ ( −→er ,−→ez)) est un plan de symétrie alors
−→B(M) =
−→B(r, z) = B(r, z) −→eθ
On applique la loi de Biot et Savart :
d−→B =
µo
4π
−→dC ∧ −−→PM
PM3
Si on pose −→u =−−→PM
PM= cosα −→er − sinα −→ez avec
−→dC = I
−→dℓ = Idz −→ez et r = PM on obtient
d−→B =µoI
4π
dz −→ez ∧ −→ur2
Sachant que −→ez ∧ −→u = cosα −→eθ ainsi z = r tanα =⇒ dz =r
cos2 αdα ce qui donne :
dBθ =µoI
4πrcosαdα =⇒ −→B(M) =
µoI
4πr(sinαB − sinαA) −→eθ
Pour un fil infini (αB → π/2 et αA → −π/2) alors en coordonnées cylindriques :
−→B(fil infini) =
µoI
2πr−→eθ
2.1.3.2 Champ magnétique sur l’axe d’une spire circulaire
Soit une spire circulaire de rayon R traversée par un courant I et M un point de sonaxe Oz
I
RP
α
M
O
−→u z
•
•
En coordonnées cylindriques ; tout plan diamétral est un plan d’antisymétrie est parconséquent le champ magnétique est porté par oz.
Puisque on invariance par rotation autour de l’axe oz alors−→B(M) = B(r, z) −→ez ainsi on a M
sur l’axe r = 0 ce qui donne que−→B(M) = B(z) −→ez.
La loi de Biot et Savart : d−→B(M) =
µo
4π
−→dC ∧ −→u
PM3
• −→u = cosα −→ez − sinα −→er • −→dC = IRdθ −→eθ • sinα =R
PMce qui donne
dB(M) =µoI
4πRsin3 α dθ =⇒ B(M) =
µoI
2Rsin3 α =
µoI
2
R2
(R2 + z2)3/2
20 juin 2018 Page -76- [email protected]
PCSI-LYDEX 2.1. CHAMP ET POTENTIEL MAGNÉTOSTATIQUE
Représentation graphiqueOn a :• B(z) = B(−z) fonction paire donc symétrique par rapport à l’axe oy• lim
z→+∞= 0
• B(z = 0) =µoI
2R
z
B(z)µoI
2R
Si la spire contient N spires collées alors :
−→BT = N
−→B =µoNI
2Rsin3 α −→ez =
µoNI
2
R2
(R2 + z2)3/2
−→ez
Remarque
2.1.3.3 Champ magnétique à l’intérieur d’un solénoïde
Un solénoïde est constitué d’un enroulement d’un fil conducteur autour d’un cy-lindre. On suppose que ce fil est suffisamment mince pour pouvoir modéliser ce solé-noïde comme une juxtaposition de spires coaxiales, avec n spires par unité de longueur.Chaque spire est alors parcourue par un courant permanent I. Comme pour la spiresimple vue plus haut, les propriétés de symétrie du courant montrent que le champ ma-gnétique du solénoïde, qui est la somme vectorielle du champ créé par chaque spire, estsuivant z uniquement. Autour d’un point P situé en z, sur une épaisseur dOP = dz, il y andz spires
Avec n =N
L: nombre de spire par unité de longueur .
Ces spires créent donc un champ en un point M quelconque de l’axe.
20 juin 2018 Page -77- [email protected]
PCSI-LYDEX 2.1. CHAMP ET POTENTIEL MAGNÉTOSTATIQUE
⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙
⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗
R
zα
α1
α2
dz
M
II
On a : dB =µoIndz
2Rsin3 α Or tanα =
R
z=⇒ dz =
R
sin2 αdα
Attention au signe de dz qui doit être cohérent avec notre convention de signe.Ici dz>0 pour un dα>0 le sens de α est opposé au sens trigonométrique.le champ magnétique total s’écrit donc
dB =µonI
2sinα dα =⇒ −→B(M) =
µonI
2(cosα1 − cosα2) −→ez
1. Si M à l’extérieur (à droite ou à gauche ) du solénoïde alors les angles α1 etα2 sont déterminés à partir de l’axe oz ; en effet :
α1
α2
α1
α2
2. Solénoïde infini : α1 → 0 et α2 → π :
−→B(M) = µonI −→ez
3. Au centre :α1 = π − α2 = αc :
−→B(Mc) = µonI cosαc
−→ez
Remarque
20 juin 2018 Page -78- [email protected]
PCSI-LYDEX 2.1. CHAMP ET POTENTIEL MAGNÉTOSTATIQUE
2.1.4 Propriétés du champ magnétique
2.1.4.1 Conservation du flux du champ magnétique
On admet que :
Σ
−→B .−→dS = 0 =⇒ div
−→B = 0
C’est à dire le flux du champ magnétique à travers une surface fermée est nul (conserva-
tion du flux) ; autrement dit à travers une surface fermée le nombre de vecteur−→B entrant
est égal au nombre de vecteur−→B sortant.
Déterminons le champ magnétique en un point M très proche de l’axe oz :M(r, z)
Activité
I
−→B r
−→B z
M
O
z
•z
z + dz
r
On a le plan ( −→er ,−→ez) est un plan d’antisymétrie et par conséquent
−→B(M) =
−→B r(M) +
−→B z(M)
ainsi on a invariance par rotation autour de l’axe oz ; ce qui donne−→B(M) = Br(r, z) −→er + Bz(r, z) −→ez
Sachant que
Σ
−→B(M).
−→dS = 0 on prend comme surface fermée Σ un cylindre de généra-
trice l’axe oz, de hauteur dz et de rayon r. Par conséquent :
Σ
−→B(M).
−→dS = 0 =⇒
!
S in f
−→B .−→dS +
!
S sup
−→B .−→dS +
!
S lat
−→B .−→dS = 0
Ce qui donne :−Bz(z)πr2
+ Bz(z + dz)πr2+ 2πrdzBr = 0 =⇒
Br(r, z) = − r
2
dBz
dz=⇒ Br(r, z) =
3
4
µoIR2rz
(R2 + z2)5/2
Avec Bz =µoI
2Rsin3 α =
µoI
2
R2
(R2 + z2)3/2
2.1.4.2 Théorème d’Ampere
On admet que ∮
Γ
−→B .−→dℓ = µo
∑Ii(enlacé) = µoIe
20 juin 2018 Page -79- [email protected]
PCSI-LYDEX 2.1. CHAMP ET POTENTIEL MAGNÉTOSTATIQUE
C’est le théorème d’Ampere
N.B : Ii est un courant enlacé s’il traverse la surface délimité par le contour Γ
I1
I2 I3 I4
Γ
Dans ce cas
Ie = −I2 + I3 + I4
2.1.5 Autres Applications
2.1.5.1 Champ magnétique d’un fil infini traversé par un courant I
En coordonnées cylindriques on a : Le plan ( −→er ,
−→ez) est un plan de symétrie
et par conséquent−→B(M) = B(M) −→eθ
Symétrie cylindriques−→B(M) = B(r) −→eθ
Appliquons le théorème Ampere avec lecontour (Γ) un cercle de rayon r .∮Γ
−→B(M).
−→dℓ = µoIe =⇒ B(r)2πr = µoI
ce qui donne
I
•M
−→er
−→B(M)fil infini =
µoI
2πr−→eθ
2.1.5.2 Solénoïde infini traversé par un courant I
Considérons un solénoïde infini, comportant N spires par unite de longueur, chacuneparcourue par un courant I permanent. Étant donne la géométrie cylindrique du solé-noïde, on se place en coordonnées cylindriques, l’axe z étant l’axe du solénoïde.
20 juin 2018 Page -80- [email protected]
PCSI-LYDEX 2.1. CHAMP ET POTENTIEL MAGNÉTOSTATIQUE
⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙
⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗
R
z
Γ1
Γ2
Γ3I
Symétrie et invariance donne :−→B(M) = B(r) −→ez
En utilisant le théorème d’Ampere pour les trois contours Γ1,Γ2 et Γ3 : Pour le contour Γ1 :∫
AB
−→B .−→dℓ
︸ ︷︷ ︸B(r1)L
+
∫
BC
−→B .−→dℓ
︸ ︷︷ ︸0(⊥)
+
∫
CD
−→B .−→dℓ
︸ ︷︷ ︸−B(r2)L
+
∫
DA
−→B .−→dℓ
︸ ︷︷ ︸0(⊥)
= 0 ce qui donne
B(r1) = B(r2) ∀(r1, r2) < R
Il en résulte qu’à l’intérieur du solénoïde le champ magnétique est uniforme. Pour le contour Γ2 :∫
AB
−→B .−→dℓ
︸ ︷︷ ︸B(r1)L
+
∫
BC
−→B .−→dℓ
︸ ︷︷ ︸0(⊥)
+
∫
CD
−→B .−→dℓ
︸ ︷︷ ︸−B(r2)L
+
∫
DA
−→B .−→dℓ
︸ ︷︷ ︸0(⊥)
= 0 ce qui donne B(r1) = B(r2) comme le champ
magnétique est nul pour r → ∞ alors en dehors du solénoïde le champ magnétique estnul. Pour le contour Γ3 :∫
AB
−→B .−→dℓ
︸ ︷︷ ︸BL
+
∫
BC
−→B .−→dℓ
︸ ︷︷ ︸0(⊥)
+
∫
CD
−→B .−→dℓ
︸ ︷︷ ︸0
+
∫
DA
−→B .−→dℓ
︸ ︷︷ ︸0
= µonLI ce qui donne
B(r < R) = µonI
Champ uniforme à l’intérieur du solénoïde
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PCSI-LYDEX 2.1. CHAMP ET POTENTIEL MAGNÉTOSTATIQUE
2.1.5.3 Cylindre infini traversé par un courant I
Soit un cylindre infini d’axe oz de rayon R
traversé par un courant continu I.Déterminons le champ magnétique entout point M de l’espace.Puisque on a :• Invariances par translation et rotationautour de l’axe oz.• ( −→er ,
−→ez) = ΠS
On conclut que−→B(M) = B(r) −→eθ
z
R
I
Puisque B ne dépend que de r alors on choisit comme contour d’Ampere un cercle derayon r et d’axe oz.
M à l’intérieur (r < R)∮Γ
−→B .−→dℓ = µoIe
Comme∮Γ
−→B .−→dℓ = B(r)2πr et Ie = jS =⇒ Ie = πr
2I
πR2c’est à dire
B(r < R) =µoIr
2πR2
M à l’extérieur (r > R)∮Γ
−→B .−→dℓ = µoIe
Comme∮Γ
−→B .−→dℓ = B(r)2πr et Ie = I c’est à dire
B(r > R) =µoI
2πr
On vérifie bien queB(R+) = B(R−)
C’est à dire pour une distribution volumique le champ magnétique est bien continu.Representation graphique
B
z
2.1.5.4 Ruban infini traversé par un courant surfacique
Le champ magnétostatique créé par le ruban de largeur dy, de longueur L ≫ h (as-similé à un fil infini) et parcouru par un courant dI = jsdy, est, d’après le théorèmed’Ampère :
−→dB(M) =
µo js
2πrdy−→u avec r = (z2
+ y2)
1
2
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PCSI-LYDEX 2.1. CHAMP ET POTENTIEL MAGNÉTOSTATIQUE
Le plan (xOz) est un plan de symétrie, donc−→B(M) est perpendiculaire à ce plan :
−→B(M) = B(M)−→e y
d’où :
B(M) =−→B(M).−→e y =
µ0 js
2π
∫+h
−h
−→u .−→e y
(z2 + y2)
1
2
dy
= −µ0 js
2π
∫ h
−h
cosα
(z2 + y2)
1
2
dy = −µ0 js
2π
∫ h
−h
z
z2 + y2dy
= −µ0 js
πarctan
h
z
d’où :
−→B(M) = −µ0 js
πarctan
h
z−→e y
Plan infini implique h −→ ∞, d’où :
−→B(M) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
−µ0 js
2−→e y si z > 0
µ0 js
2~ey si z < 0
La relation de passage du champ magnétique en z = 0 est :
−→B(0+) − −→B(0−) = µ0
−→j s ∧ −→e z
On a d’après la question précédente :
−→B(0+) − −→B(0−) = −µ0 js
−→e y
D’autre part :
µ0
−→j s ∧ −→e z = µ0 js
−→e x ∧ −→e z = −µ0 js−→e y
d’où la relation de passage est vérifiée.
2.1.5.5 Nappe infinie traversé par un courant surfacique
Soit une nappe infinie confondue avec le plan xoy traversée par un courant surfacique−→j s = js
−→ex avec js > 0.Déterminons le champ magnétique en M∈ oz
20 juin 2018 Page -83- [email protected]
PCSI-LYDEX 2.1. CHAMP ET POTENTIEL MAGNÉTOSTATIQUE
y
z
x
−→j s
y
z
P
−→j s
Q
RS
⊙
M(z)
M’(-z)
En coordonnées cartésiennes on a :• Invariances par translation suivant les axes ox et oy ce qui donne
−→B(M) =
−→B(x).
• Le plan xoz est un plan de symétrie , donc−→B(M) = B(z) −→ey
Soit le contour Γ = PQRS P : On a :Ie = jsL avec PQ = L
∮ −→B(M).
−→dℓ = [−B(z) + B(−z)]L
B(−z) = −B(z)
Le théorème d’Ampere donne
−→B(z) = −signe(z)
µo js
2
−→ey
C’est un champ uniformeB
z
µo js
2
−µo js
2
On vérifie bien que :−→B(z) − −→B(−z) = −µo js
−→eyOr −→ey = −→ez ∧ −→ex ce qui donne
−→B(z) − −→B(−z) = µo js(
−→ex ∧ −→ez)
Sachant que :−→j s = js
−→ex et−→ez =
−→n 1→2 alors
−→B(z) − −→B(−z) = µo
−→j s ∧ −→n 1→2
C’est la relation de passage
20 juin 2018 Page -84- [email protected]
PCSI-LYDEX 2.1. CHAMP ET POTENTIEL MAGNÉTOSTATIQUE
2.1.5.6 Bobines de Helmholtz
bI I
xO
2d
Puisque−→B =
−→B1 +
−→B2 (théorème de superposition ) ainsi
−→B1 =
µoNI
2
R2
(R2 + (x + d)2)3/2
−→ex et
−→B2 =
µoNI
2
R2
(R2 + (x − d)2)3/2
−→ex
Ce qui donne que
−→B(M) =
µoNIR2
2
( 1
(R2 + (x + d)2)3/2+
1
(R2 + (x − d)2)3/2
) −→ex
On remarque que B(x) est une fonction paire B(−x) = B(x).Faisons un DL au voisinage de x = 0 de B(x)
B(x) ≃ 2
(R2+ d2
R2)(3/2)
− 3 (R2 − 4 d2)
(R2+ d2
R2)(3/2) (R2 + d2)2
x2+
15 (R4 − 12 R2 d2+ 8 d4)
4 (R2+ d2
R2)(3/2) (R2 + d2)4
x4+ O(x5)
B(x) est uniforme à l’ordre 4 si R = 2d C’est à dire la distance entre les deux
bobines est égale au rayon de la bobine.
20 juin 2018 Page -85- [email protected]
PCSI-L
YDEX
2.1.CHAMPETPOTENTIELMAGNÉTOSTATIQ
UE
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−1−2−3−4−5−6−7−8−9−10x
B(x)
R=6 ;d=1<R
R=6 ;d=3=R/2
R=6 ;d=6>R/2
20juin
2018
Page-86-
elfilalisa
PCSI-LYDEX 2.1. CHAMP ET POTENTIEL MAGNÉTOSTATIQUE
On peut donc considérer, avec une bonne approximation, que le champ magnétostatiqueest uniforme au milieu des deux bobines de Helmoltz lorsqu’elles sont distantes du rayoncommune des bobines R.
Champ magnétique tournant
Considérons deux paires identiques de bobines de Helmholtz d’axes perpendicu-laires ox et oy.
Donc :−→B1 = µoni1
−→ex et−→B2 = µoni2
−→ey avec i1 = Io cosωt et i2 = Io sinωt.Le champ magnétique résultant :
−→B =−→B1 +
−→B2 =⇒
−→B = µonIo
−→er
C’est un champ magnétique tournant
Activité
2.1.6 Relation de passage
2.1.6.1 La composante normale
Soit une distribution surfacique de courant−→j s séparant l’espace en deux régions 1 et
2. Considérons une surface fermée fictive Σ, traversant la nappe de courant.
Milieu 1
Milieu 2
−→j s
S 1
S 2
S
La conservation du flux magnétique a travers cette surface s’écrit :
Σ
−→B(M).
−→dS =
"
S 1
−→B .−→dS +
"
S 2
−→B .−→dS +
"
S L
−→B .−→dS = 0
Où S L est la surface latérale et S 1 et S 2 les surfaces de bases inférieure et supérieure.Lorsqu’on fait tendre la surface latérale vers zéro (S 1 tend vers S 2 ), on obtient :
"
S 1
−→B .−→dS +
"
S 2
−→B .−→dS = 0
20 juin 2018 Page -87- [email protected]
PCSI-LYDEX 2.1. CHAMP ET POTENTIEL MAGNÉTOSTATIQUE
"
S 1=S 2
(−→B2 −
−→B1).−→dS = 0
Puisque :−→dS 1 = −
−→dS 2 = dS −→n 1→2
Dans cette limite. Ce résultat étant valable quelque soit la surface S choisie, il vient doncque :
(−→B2 −
−→B1). −→n 1→2 = 0 =⇒ B2n = B1n
La composante normale du champ magnétostatique est continue
2.1.6.2 La composante tangentielle
Pour la composante tangentielle, nous allons utiliser le théorème d’Ampere.Considérons le contour d’Ampere suivant :
Milieu 1
Milieu 2
−→j s
D
A
MB
C
N
−→τ
−→n 1→2
Remarquons que :
• −→n 1→2,−→τ et
−→b =
−−−→MN
MNest un trièdre direct.
• −→j s ∈ (−→τ ,−→b ).
• Ie =
!
ABCD
−→j .−→dS =⇒ Ie =
∫MN
(−→j s.−→τ )dℓ
Le théorème d’Ampere s’écrit alors :∫
AB
−→B .−→dℓ
∫
BC
−→B .−→dℓ +
∫
CD
−→B .−→dℓ +
∫
DA
−→B .−→dℓ = µoIe
Lorsque DA→ 0 alors on a :∫
MN
(−→B1 −
−→B2).−→dℓ =
∫
MN
(µo
−→j s.−→τ )dℓ
Puisque MN est quelconque alors
(−→B1 −
−→B2).−→dℓ = (µo
−→j s.−→τ )dℓ
Or−→dℓ = dℓ
−→b =⇒ dℓ(−→τ ∧ − −→n 1→2) ce qui donne
(−→B1 −
−→B2).dℓ(−→τ ∧ − −→n 1→2) = µo
−→j s.(−→τ dℓ)
On rappelle que
(−→a ∧ −→b ).−→c = (−→b ∧ −→c ).−→a = (−→c ∧ −→a ).
−→b
20 juin 2018 Page -88- [email protected]
PCSI-LYDEX 2.1. CHAMP ET POTENTIEL MAGNÉTOSTATIQUE
Permutation circulaire
Il en résulte puisque MN est quelconque ( la direction du vecteur −→τ est quelconque)que
[(−→B1 −
−→B2) ∧ −→n 1→2].−→τ dℓ = µo
−→j s.−→τ dℓ
(−→B1 −
−→B2) ∧ −→n 1→2 = µo
−→j s =⇒ (
−→B2 −
−→B1) = µo
−→j s ∧ −→n 1→2
la composante tangentielle du champ magnétique est discontinue.
Puisque
[(−→B1 −
−→B2) ∧ −→n 1→2] ∧ −→n 1→2 = (
−→B2 −
−→B1)
2.1.7 Potentiel vecteur. Forme locale du théorème d’Ampere
2.1.7.1 Définition
On rappelle que le champ magnétique est à flux conservatif c’est à dire
Σ
−→B(M).
−→dS = 0 =⇒ div
−→B(M) = 0
Or pour tout vecteur−→V quelconque
div−−→rot−→V = 0
−→∇ .(∧−→V )︸ ︷︷ ︸⊥
= 0)
il en résulte que
div−→B(M) = 0⇐⇒ −→B(M) =
−−→rot−→A (M)
−→A (M) est appelé potentiel vecteur.
Remarque
1.−→E dérive d’un potentiel scalaire V(M) par contre
−→B(M) dérive d’un potentiel vec-
teur−→A (M).
2. Le potentiel vecteur−→A (M) présente les mêmes symétries que la source du champs(
I ou−→j ).
3. Le potentiel vecteur−→A n’est pas unique, en effet si on pose
−→A ′ =
−→A +−−−−→grad f
avec f une fonction scalaire quelconque alors
−−→rot−→A ′ =
−−→rot−→A +−−→rot−−−−→grad f (M) =⇒ −−→rot −→A ′ = −−→rot −→A = −→B
On retient que :
Le champ magnétique−→B est unique par contre le potentiel vecteur
−→A est
défini à un−−−−→grad près
20 juin 2018 Page -89- [email protected]
PCSI-LYDEX 2.1. CHAMP ET POTENTIEL MAGNÉTOSTATIQUE
4. Relation intégrale entre−→A et
−→B :
On applique le théorème Stokes pour le potentiel vecteur∮
Γ
−→A .−→dℓ =
"
Σ
−−→rot−→A .−→dS
Ce qui donne sachant que−→B =−−→rot−→A
∮
Γ
−→A .−→dℓ =
"
Σ
−→B .−→dS
Considérons un fil rectiligne infini traversé par un courant I constant.
Déterminons le potentiel vecteur−→A avec
−→A(r = R) =
−→0 . par les relations locale et
intégrale
Activité
on rappelle que :−→B(M) =
µoI
2πr−→eθ
Ainsi :−−→rot−→A = (
1
r
∂Az
∂θ− ∂Aθ∂z
) −→er + (∂Ar
∂z− ∂Az
∂r) −→eθ + (
∂Aθ
∂r− 1
r
∂Ar
∂θ) −→ez
Le courant I à le même sens que −→ez et par conséquent−→A(M) = Az(r) −→ez
Première méthode : Relation localeOn a
−→B =−−→rot−→A ce qui donne :
Br =1
r
∂Az
∂θ− ∂Aθ∂z
Bθ =∂Ar
∂z− ∂Az
∂r
Bz =∂Aθ
∂r− 1
r
∂Ar
∂θ
=⇒
0 =1
r
∂Az
∂θ− ∂Aθ∂z
µoI
2πr=∂Ar
∂z− ∂Az
∂r
0 =∂Aθ
∂r− 1
r
∂Ar
∂θ
Il en résulte que :∂Az
∂r=
d Az
d r= −µoI
2πrCe qui donne
−→A (M)fil infini =
µoI
2πln
R
r
Deuxième méthode : Relation intégraleSoit le contour Γ : rectangle de largeur dr et de lon-gueur h.
∮Γ
−→A .−→dℓ =
∫PQ
−→A .−→dℓ +
∫QR
−→A .−→dℓ +
∫RS
−→A .−→dℓ +
∫S P
−→A .−→dℓ
=⇒∮Γ
−→A .−→dℓ = (A(r + dr) − A(r))h.
!
Σ
−→B .−→dS = −Bhdr
Il en résulte que :
(Az(r + dr) − Az(r))h = −Bhdr =⇒ dAz
dr= −µoI
2πrCe qui
donne avec Az(R) = 0 :
−→A(M)fil infini =
µoI
2πln
R
r
I
−→n
dr r + dr
h ⊗−→A−→B
P Q
RS
20 juin 2018 Page -90- [email protected]
PCSI-LYDEX 2.1. CHAMP ET POTENTIEL MAGNÉTOSTATIQUE
Application 1 : Solénoïde infini
⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙
⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗
R
z
I
−→B(M)
−→A (M)
Symétrie et invariance donne−→A(M) = A(r) −→eθ donc Γ est un cercle de rayon r On rappelle
que−→B(M) = µonI −→ez
Pour r<R :∮ −→A (M).
−→dℓ =
! −→B .−→dS =⇒ 2πrA(r) = µonIπr2 ce qui donne
−→A (r < R) =
µonI
2πr −→eθ
Pour r>R :∮ −→A (M).
−→dℓ =
! −→B .−→dS =⇒ 2πrA(r) = µonIπR2 ce qui donne
−→A(r < R) =
µonIR2
2πr−→eθ
Représentation graphique :
A
rR
µonIR
2π
2.1.7.2 Forme locale du théorème d’Ampere
On rappelle que∮Γ
−→B(M).
−→dℓ = µoIe
Or d’après le théorème de Stokes :∮Γ
−→B(M).
−→dℓ =
!
Σ(Γ)
−−→rot−→B(M).
−→dS
Ainsi Ie =
!
Σ
−→j .−→dS ce qui donne
−−→rot−→B(M) = µo
−→j
20 juin 2018 Page -91- [email protected]
PCSI-LYDEX 2.1. CHAMP ET POTENTIEL MAGNÉTOSTATIQUE
C’est l’équation de Maxwell-Ampère simplifiée
Comparaison des lois de conservation pour−→E et
−→B en régime stationnaire
Remarque
Flux Circulation
−→E
⊲ Non conservé
⊲ div−→E =
ρ
εo
(M.G)
⊲
Σ
−→E .−→dS =
Qint
εo
(T.G)
⊲ Conservée
⊲−−→rot−→E =−→0
⊲∮ −→
E .−→dℓ = 0
−→B
⊲ conservé
⊲ div−→B = 0 (M.T)
⊲
Σ
−→B .−→dS = 0
⊲ Non Conservée
⊲−−→rot−→B = µo
−→j (M.A)
⊲∮ −→
B .−→dℓ = µoIe
2.1.8 Équation de Poisson de la magnétostatique
On rappelle que−→B =−−→rot−→A =⇒ −−→rot −→B = −−→rot (
−−→rot−→A)
Or−−→rot (
−−→rot−→A ) =
−−−−→grad (div
−→A ) − ∆−→A
Puisque le potentiel vecteur−→A n’est pas unique, et si on impose au potentiel vecteur
−→A
de vérifier la jauge de Coulomb valable en régime stationnaire
div−→A = 0
Jauge de Coulomb
Alors on obtient
∆−→A + µo
−→j =−→0
C’est l’équation de Poisson de la magnétostatique
L’équation vectorielle de Poisson est équivalente à trois équations scalaires ( pro-jetées sur les axes) ; en coordonnées cartésiennes par exemples elle est équiva-lente à :
∆−→A + µo
−→j =−→0 =⇒
∆Ax + µo jx = 0
∆Ay + µo jy = 0
∆Az + µo jz = 0
Remarque
20 juin 2018 Page -92- [email protected]
PCSI-LYDEX 2.1. CHAMP ET POTENTIEL MAGNÉTOSTATIQUE
Si on compare les équations de Poisson pour le potentiel électrostatique V(M) et le po-
tentiel vecteur−→A (M)
Électrostatique Magnétostatique
∆V(M) +1
ερ = 0 ∆
−→A + µo
−→j =−→0
V(M)−→A(M)
ρ−→j
1
εo
µo
Par analogie on montre que la solution de l’équation de Poisson pour la magnétostatiquelorsque le potentiel vecteur vérifie la jauge de Coulomb pour une distribution finie
−→A (M) =
µo
4π
$
V
−→dC
PM
C’est à dire
−→A (M) =
µo
4π
$
V
−→dC
PM
Distribution−−−−−−−−→volumique
µo
4π
$
V
−→j dτ
r
Distribution−−−−−−−−→sur f acique
µo
4π
"
Σ
−→j sdS
r
Distribution−−−−−−−−→linéique
µo
4π
∫
Γ
I−→dℓ
r
1. Pour une distribution infinie, le calcul du potentiel vecteur−→A (M) se fait à
partir de la relation−→B(M) =
−−→rot−→A(M).
2. Le potentiel vecteur−→A est un vrai vecteur et par conséquent possède les
même propriétés que le champ−→E
−→A ∈ ΠS ;
−→A ⊥ ΠA
En plus possède le même sens que le courant
Remarque
2.1.9 Applications (énoncé voir TD)
1 Potentiel vecteur d’un champ stationnaire uniforme.
En coordonnées cartésiennes On a :−−→OM = x −→ex + y
−→ey + z −→ez et−→B = Bo
−→ez donc
−→A =
1
2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
0
0
Bo
∧
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x
y
z
=⇒ −→A =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Ax = −1
2Boy
Ay =1
2Box
Az = 0
20 juin 2018 Page -93- [email protected]
PCSI-LYDEX 2.1. CHAMP ET POTENTIEL MAGNÉTOSTATIQUE
−→A est un potentiel vecteur vérifiant la jauge de Coulomb si
−→B =−−→rot−→A et div
−→A = 0
−−→rot−→A =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂
∂x∂
∂y∂
∂z
∧
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
−1
2Boy
1
2Box
0
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
0
0
1
2Bo +
1
2Bo = Bo
=⇒ −−→rot −→A = Bo−→ez.
div−→A =
1
2(−∂(Boy)
∂x) +
1
2(∂(Box)
∂y) =⇒ div
−→A = 0
on retient que si−→B est un champ magnétostatique alors il dérive d’un potentiel vecteur
vérifiant la jauge de Coulomb
−→A =
1
2
−→Bo ∧
−−→OM =
1
2
−→Bo ∧ −→r
2 Spire circulaire
I
RM(z) z
−→A (M) =
µo
4π
∮ I−→dℓ
PM=⇒ −→
A (M) =µoI
4π
∮ Rdθ −→eθ√R2 + z2
=⇒ −→A (M) =
µoIR
4π√
R2 + z2
∮dθ −→eθ
=⇒ −→A (M) =
µoIR
4π√
R2 + z2
∫ 2π
0(− sin θ −→ex + cos θ −→ez)dθ
−→A (M ∈ oz)Spire circulaire =
−→0
3 Cylindre infini
20 juin 2018 Page -94- [email protected]
PCSI-LYDEX 2.2. DIPÔLE MAGNÉTIQUE
Symétrie et invariance donne :
−→A (M) = Az(r) −→ez
On rappelle que
r 6 R =⇒ −→B(M) =µoI
2πR2r −→eθ
r > R =⇒ −→B(M) =µoI
2πr−→eθ
−→B =−−→rot−→A =⇒ dAz(r)
dr= Bθ
ce qui donne :
z
R
I
A(r) = −∫
B(r) dr
Pour
r 6 R =⇒ A =µoI
4πR2(R2 − r2)
Pour
r > R =⇒ A =µoI
2πln
R
r
Représentation graphique
A
r
µoI
2π
2.2 Dipôle magnétique
2.2.1 Définition. Moment magnétique
On appelle dipôle magnétique une boucle de courant.
Définition
En effet : Soit (Γ) un circuit linéique fermé parcouru par un courant I
20 juin 2018 Page -95- [email protected]
PCSI-LYDEX 2.2. DIPÔLE MAGNÉTIQUE
I
(S) −→dS = dS−→n
(Γ)
(S) est une surface quelconque s’appuyant sur le boucle (Γ).
On caractérise le dipôle magnétique par son moment dipolaire−−→M définie par
−−→M = I
"
(S )
−→dS (A.m2)
1. En pratique puisque la surface (S) est quelconque on prend la surface de laboucle.Exemples :
• Spire circulaire de rayon R :−−→M = IπR2 −→ez.
• Spire carrée de côté a :−−→M = Ia2 −→ez
2. sachant que−→dS =
1
2
−−→OM ∧ −−−−→dOM alors :
−−→M =
1
2
∮(Γ)
I−−→OM ∧ −−−−→dOM =⇒ −−→M =
1
2
∮ −−→OM ∧ I
−−−−→dOM
Or I−−−−→dOM =
−→dC =
−→j sdS =
−→j dτ ce qui donne
−−→M = IS−→n = I
! −→dS =
1
2
∮ −−→OM ∧ I
−−−−→dOM =
1
2
! −−→OM ∧ −→j sdS =
1
2
# −−→OM ∧ −→j dτ
Remarques
Déterminer le moment magnétique :
1. D’un disque, de rayon R, chargé par une densité surfacique de charge σ enrotation uniforme autour de son axe à la vitesse ω ( constante ).
2. D’une sphère, de rayon R, chargée par une densité volumique ρ en rotationuniforme autour de l’un de ses axes à la vitesse ω constante.
3. D’une sphère, de rayon R, parcourue par un courant surfacique−→j s = Jo sin θ −→eϕ.
Activité
20 juin 2018 Page -96- [email protected]
PCSI-LYDEX 2.2. DIPÔLE MAGNÉTIQUE
1. On a d−−→M =
1
2
−−→OM ∧ −→dC avec
−−→OM = r −→er et
−→dC = −→j sdS =⇒ −→dC = σrω −→eθdS
ce qui donne : d−−→M =
1
2r2ωrdrdθ −→ez et par conséquent
−−→M =
1
4σπωR4 −→ez
Où bien on subdivise le disque en des couronnes élémentaires de largeur dr, sonmoment magnétique élémentaire s’écrit :
d−−→M = πr2i −→ez avec i = σrωdr ce qui donne :
d−−→M = σωr3dr −→ez =⇒
−−→M =
1
4σπωR4 −→ez
2. Soit une sphère chargée uniformément en volume (ρ) de rayon R en rotation uni-forme autour de l’axe oz.Le moment magnétique de la sphère s’écrit :
−−→M = M
−→ez.
Sachant que : d−−→M =
1
2
−−→OM ∧ −→dC.
Avec−−→OM = r −→er et
−→dC = −→j dτ = ρ
−→V dτ =⇒ −→dC = ρrω sin θdτ −→eϕ
Ce qui permet d’écrire que d−−→M = −1
2ρr2ω sin θdτ −→eθ
Par projection sur −→ez on trouve :
d−−→M . −→ez =
1
2ρr4ω sin2 θ dr dθ dϕ cos(
π
2− θ) et par intégration on trouve
−−→M =
4
15πρωR5 −→ez
Ou bien on décompose la sphère en des couronnes élémentaires de section rdrdθ.La couronne élémentaire possède un moment magnétique élémentaire :
d−−→M = π(r sin θ)2di −→ez
avec di le courant élémentaire qui traverse la section de la couronne élémentairequi vaut
di = ρV dr rdθ =⇒ di = ρr2ω sin θdr dθ
Pa conséquent :
d−−→M = πρωr4 sin3 θdrdθ −→ez
On rappelle que :∫ π
0
sin3 x dx =4
3
Il en résulte que
−−→M =
4
15πρωR5 −→ez
20 juin 2018 Page -97- [email protected]
PCSI-LYDEX 2.2. DIPÔLE MAGNÉTIQUE
3. La sphère, de rayon R, parcourue par un courant surfacique−→j s = Jo sin θ −→eϕ.
Remarquons que pour cette sphère on a−−→M = M
−→ez.
Ainsi−−→OM = R −→er et
−→dC = −→j sdS =⇒ −→dC = jo sin dS −→eϕ avec dS = R2 sin θdθdϕ donc :
d−−→M = −c joR3 sin2 θdθdϕ −→eθ
par projection sur oz on trouve
d−−→M . −→ez =
1
2joR3 sin3 θdθdϕ
Par intégration sur θ et ϕ on trouve :
−−→M =
4
3πR3 jo
−→ez = joV −→ez
avec V le volume de la sphère.
2.2.2 L’expression du potentiel vecteur dans l’approximation di-
polaire
Considérons un dipôle magnétique rigide de forme circulaire de rayon R, et M unpoint de l’espace tel que M = M(r, θ, ϕ)
x
y
z
θ
M
r
ϕ
−→eθ
−→eϕ
−→er
−−→M
L’approximation dipolaire nécessite que r ≫ R
le plan ( −→er ,−→eθ) est un plan d’antisymétrie ce qui donne
−→A (M) = Aϕ(M) −→eϕ.
On a invariance par rotation autour de oz ce qui donne que
−→A (M) = A(r, θ) −→eϕ
20 juin 2018 Page -98- [email protected]
PCSI-LYDEX 2.2. DIPÔLE MAGNÉTIQUE
On a :−→A (M) =
µoI
4π
∮C
−→dℓ
PMOn rappelle le théorème de Kelvin
∮
C
f (M)−→dℓ =
"
S (C)
−→dS ∧ −−−−→grad f (M)
Ce qui donne :−→A(M) =
µoI
4π
!
S (C)
−→dS ∧ −−−−→grad P
1
PM
Or :−−→PM = (xM−xP) −→ex+(yM−yP) −→ey+(zM−zP) −→ez donc
1
PM=
((xM−xP)2
+(yM−yP)2+(zM−zP)2
)−1/2
−−−−→grad P
1
PM=∂
∂xP
(1
PM) −→ex +
∂∂yP
( 1PM
) −→ey + ∂∂zP
( 1PM
) −→ez =⇒−−−−→grad P
1PM=−−→PMPM3
Il en résulte que
−→A (M) =
µoI
4π
"
S (C)
−→dS ∧
−−→PM
PM3
Dans l’approximation dipolaire
L’approximation dipolaire =⇒−−→PM
PM3≃−−→OM
OM3
Ce qui permet d’écrire que :−→A (M) =
µo
4π
!
S (C)I−→dS ∧
−−→OM
OM3
On rappelle que :−−→M = I
!
S
−→dS ce qui donne
−→A(M) =
µo
4π
−−→M ∧ −−→OM
OM3=µo
4π
−−→M ∧ −→er
r2=µo
4πr2M sin θ −→eϕ
Potentiel vecteur en coordonnées sphériques dans l’approximation dipolaire
2.2.3 Le champ magnétique dans l’approximation dipolaire
On a :−→B(M) =
−−→rot−→A (M) avec
−→A = Aϕ
−→eϕ =µo
4πr2M sin θ −→eϕ
Ainsi en coordonnées sphériques pour−→A = Ar
−→er + Aθ−→eθ + Aϕ
−→eϕ on a :
−−→rot−→A =
1
r sin θ[∂(sin θAϕ)
∂θ− ∂Aθ∂ϕ
] −→er +1
r[
1
sin θ
∂Ar
∂ϕ−∂(rAϕ)
∂r] −→eθ +
1
r[∂(rAθ)
∂r− ∂Ar
∂θ] −→eϕ
Ce qui donne :
Br =1
r sin θ[∂(sin θAϕ)
∂θ− ∂Aθ∂ϕ
] =2µoM cos θ
4πr3
Bθ =1
r[
1
sin θ
∂Ar
∂ϕ−∂(rAϕ)
∂r] =µoM sin θ
4πr3
Bϕ = 0
20 juin 2018 Page -99- [email protected]
PCSI-LYDEX 2.2. DIPÔLE MAGNÉTIQUE
Qu’on peut écrire
−→B(M) =
µoM4πr3
(2 cos θ −→er + sin θ −→eθ
)
Relation intrinsèque du champ magnétique dipolaire (TD)
Activité
1. On a :−→B(M) =
µoM4πr3
(2 cos θ −→er + sin θ −→eθ
)
=⇒ −→B(M) =µoM4πr3
(2( −→ez .
−→er)−→er + sin θ( −→eϕ ∧ −→er)
)
=⇒ −→B(M) =µoM4πr3
(2( −→ez .
−→er)−→er + ( −→ez ∧ −→er) ∧ −→er)
)
=⇒ −→B(M) =µoM4πr3
(2( −→ez .
−→er)−→er − −→er ∧ ( −→ez ∧ −→er)
)
=⇒ −→B(M) =µoM4πr3
(2( −→ez .
−→er)−→er − −→ez(
−→er .−→er) +
−→er(−→ez .−→er))
=⇒ −→B(M) =µoM4πr3
(3( −→ez .
−→er)−→er − −→ez
)
=⇒ −→B(M) =µo
4πr5
(3(−−→M .−−→OM)
−−→OM − r2
−−→M)
2. L’équation des lignes de champ :
−→B ∧ −−−−→dOM =
−→0 =⇒ Br
dr=
Bθ
r dθ
Par intégration
r = ro sin2 θ
Représentation graphique
−−→M
LDC L’approximation dipolaire non valable
20 juin 2018 Page -100- [email protected]
PCSI-LYDEX 2.2. DIPÔLE MAGNÉTIQUE
2.2.4 Actions d’un champ magnétique sur un dipôle
Considérons un dipôle magnétique supposé rigide, de moment magnétique−−→M , de
dimensions très petites devant les distances ou s’exercent ses effets, et placé dans un
champ extérieur−→B ext . L’hypothèse du dipôle de petites dimensions permet de pouvoir
considerer−→B ext comme quasi uniforme sur la surface S limitée par le circuit constituant
le dipôle.
−−→M
−→B ext
2.2.4.1 Résultante des forces
On a−→F =∮
I−→dℓ ∧ −→Bext =⇒
−→F = I(
∮ −→dℓ) ∧ −→Bext
Comme∮ −→
dℓ = 0 alors
−→F =
∮I−→dℓ ∧ −→B ext =
−→0
On retient que la résultante de la force de Laplace du à un champ−→B ext uniforme sur un
dipôle magnétique rigide est nulle.
Si le champ magnétique−→B ext ( ou le moment magnétique
−−→M du dipôle ) n’est pas
uniforme alors la résultante des forces de Laplace n’est pas forcément nulle.
Remarque
2.2.4.2 Le moment résultant des forces de Laplace
−→Γ =
∮C
−−→OM ∧ (I
−→dℓ(M) ∧ −→B) =⇒ −→Γ = I
∮C
[(−−→OM.−→B)−→dℓ(M) − −→B(
−−→OM.−→dℓ(M))]
=⇒ −→Γ = I∮
C(−−→OM.−→B)−→dℓ(M) − I(
∮C
(−−→OM.−−−−→dOM))
−→B puisque
−→dℓ(M) =
−−−−→dOM
Or :
•∮
C
−−→OM.−−−−→dOM =
∮C
d(1
2
−−→OM2) = 0
• D’après le théorème de Kelvin∮C
(−−→OM.−→B)−→dℓ(M) =
!
S
−→dS ∧ −−−−→grad M(
−−→OM.−→B)
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PCSI-LYDEX 2.2. DIPÔLE MAGNÉTIQUE
On a :−−→OM = x −→ex + y
−→ey + z −→ez et−→B = Bx
−→ex + By−→ey + Bz
−→ez
donc :−−→OM.−→B = xBx + yBy + zBz =⇒
−−−−→grad M(
−−→OM.−→B) = Bx
−→ex + By−→ey + Bz
−→ez =−→B
Il en résulte que :−→Γ = I
"
S
−→dS (M)
︸ ︷︷ ︸−−→M
∧−→B
−→Γ =−−→M ∧ −→B
Conclusion:
L’action d’un champ magnétique−→B ext uniforme sur un dipôle rigide se
réduit à un couple de forces dont le moment est−→Γ =−−→M ∧ −→B ext
2.2.4.3 Énergie potentielle d’interaction d’un dipôle rigide placé dans un champextérieur
On rappelle que d’après le théorème de Maxwell : δW = I dΦ = I dΦc
Si I = cte alors δW = d(IΦ + cte) = −dEp ce qui donne
Ep = −IΦ + cte
C’est l’énergie potentielle magnétique du contour (C) placé dans un champ−→Bext
Soit W le travail fourni pour déplacer le contour à I = cte
δW = IdΦ =⇒W = I∫Φ(t2)
Φ(t1)et après intégration
Wt1→t2 = I(Φ(t2) − Φ(t1)) > 0 =⇒ Φ(t2) > Φ(t1)
Remarque
Conclusion:
Sous l’action d’un champ magnétique extérieur, le contour (C) se déplace
dans le sens où le flux de−→B à travers (C) augmente : C’est la règle du flux maxi-
mum.
Pour un dipôle magnétique, l’énergie potentielle peut s’écrire :
Ep = −IΦ =⇒ Ep = −(I!
S
−→dS ).−→B ext ce qui permet d’écrire que
Ep = −−−→M .−→B ext
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PCSI-LYDEX 2.2. DIPÔLE MAGNÉTIQUE
2.2.4.4 Actions subies par un dipôle magnétique dans un champ extérieur
On admet la généralisation de l’action d’un champ magnétique extérieur−→B ext sur un
dipôle magnétique de moment−−→M
Ep = −−−→M .−→B ext et
−→Γ =−−→M ∧ −→B ext
Et par conséquent si on appelle−→F la résultante des forces de Laplace et
−→Γ son moment
alors :−→F = −−−−−→grad Ep =⇒
−→F =−−−−→grad
−−→M .−→B ext
Ainsi−→Γ =−−→M ∧ −→Bext
2.2.4.5 Comparaison entre les dipoles électrostatique et magnétique
Dipôle électrostatique Dipôle magnétique
Définition QT = 0 avec G− , G+ Boucle de courant
Modélisation G−(−q)←→ G+(+q) spire parcouru par un courant I
L’expression du moment P = q−−−−→G−G+
−−→M = IS−→n
Symétrie (−→P ,−−→OM) =
∏s (
−−→M ,−−→OM) =
∏A
Invariance Par rotation autour de−→P Par rotation autour de
−−→M
Potentiel scalaire V(M) =1
4πεo
P . −→er
r2Vm(M) =
µo
4π
−−→M . −→er
r2
Potentiel vecteur /−→A(M) =
µo
4π
−−→M ∧ −→er
r2
Expression du champ−→E =
P
4πεor3(2 cos θ −→er + sin θ −→eθ)
−→B =µoM4πr3
(2 cos θ −→er + sin θ −→eθ)
Relation intrinsèque−→E =
1
4πεor3(3(P . −→er)
−→er − r2P )−→B =
µo
4πr3(3(−−→M . −→er)
−→er − r2−−→M )
Énergie potentielle Ep = −P .−→E e Ep = −
−−→M .−→B e
Résultante des forces−→F =−−−−→grad (P .
−→E e)
−→F =−−−−→grad (
−−→M .−→B e)
Moment du couple−→Γ =P ∧ −→E e
−→Γ =−−→M ∧ −→B e
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PCSI-LYDEX 2.3. LE CHAMP MAGNÉTIQUE TERRESTRE
2.3 Le champ magnétique terrestre
ÉNONCÉ
1. Propriétés du champ magnétique terrestreÀ notre échelle, tout ce passe comme s’il existait à l’intérieur de la terre un aimantdroit comme l’indique la figure.
(a) Reprendre le schéma et indiquer :- Les pôles de l’aimant- Quelques lignes de champ orientées.Les pôles d’une boussole située au point P.
NGNM
SMSG
P
E
NG : Nord géographique SG : Sud géographique E: équateur géographique NM : Nord magnétique SM: Sud magnétique
(b) L’observatoire de Chambon la Forêt (France) a déterminé pour l’année 2001les caractéristiques suivantes du champ magnétique terrestre :- Déclinaison D = 2o W (ouest)- Inclinaison I = 64o
- Valeur totale B = 47450 nT
Définir à l’aide d’un schéma ,la déclinaison et l’inclinaison magnétiques.
(c) Àpartir des données précédentes , calculer la composante horizontale BH duchamp magnétique terrestre.
2. Mesure de la valeur de la composante horizontale BH du champ magnétique ter-restre. On réalise une bobine plate de N spires de rayon R parcourues par un cou-rant d’intensité I.
(a) Justifier que le champ au centre de la bobine est donné par la relation :
B =µoNI
2R
(b) On dispose au centre de la bobine et perpendicu-lairement à son plan une petite aiguille aimantée.en l’absence de courant dans la bobine , l’aiguilleaimantée est perpendiculaire à l’axe de la bobinecomme l’indique la figure ci-contre. Que se passe-t’il lorsque la bobine plate est parcourue par un cou-rant ? s’aider d’un schéma.
(c) Lorsque l’aiguille aimantée atteint sa position d’équilibre en présence de cou-rant , elle a dévié d’un angle α .Exprimer la valeur de la composante horizon-tale du champ magnétique terrestre BH en fonction de N, I,R et α
(d) A.N : I = 1, 2 A ;R = 10 cm ;N = 10 et α = 75o. Calculer BH. Conclure.
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PCSI-LYDEX 2.3. LE CHAMP MAGNÉTIQUE TERRESTRE
1-
D : déclinaison, c’est l’angle entre le nord géographique et le nord magnétique
I : inclinaison, c’est l’angle que fait−→BT avec l’horizontale
BH = BT cos IA.N
GGGGGGGGGA BH = 20800 nT
BV = BT sin IA.N
GGGGGGGGGA BV = 42647 nT
2-−→B(O) =
µoNI
2R−→ez
3- BH = Bo cotαA.N
GGGGGGGGGA BH = 20 µT
4- Les résultats sont en accord avec une précision de
20, 8 − 20
20, 8≃ 4%
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