casio manuel exerciceshghghyhy fx cp400

Aborder des problmes avecla calculatrice Fx-CP400

www.casio-education.fr

Par Jean-Philippe Blaise

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Introduction

Quelques mots pour vous prsenter ce manuel ddi la Fx-CP400, nouvelle calculatrice graphique formelle de la gamme CASIO.

Dans un premier temps, prcisons que ce manuel nest pas un mode demploi de cette calculatrice. Son but est de susciter lenvie dexplorer quelques pistes mathmatiques et la calculatrice permettra lillustration de certaines via ses nombreuses possibilits.

Jai pris la libert dans ce manuel de ne pas dtailler ni les manipulations de la calculatrice ni les nombreuses dmonstrations quoffrent mes questionnements. charge au lecteur dy investir quelques instants pour simprgner de lide sous-entendue dans chacun des questionnements proposs.

Les avances techniques de la Fx-CP400 ainsi que son cran tactile permettent douvrir un champ des possibles que nous navons plus lhabitude dexploiter dans des problmes mathmatiques pourtant souvent classiques.

Ainsi, ds le premier chapitre, lescargot de Cyrne nous offre la possibilit de le travail-ler dans diffrents axes TICE autant dans le calcul direct, dans le calcul formel quen pas-sant par le tableur ou la gomtrie dynamique. La calculatrice sera un support unique pour souvrir ses diffrentes exigences techniques.

Il sera agrable de retrouver un point de vue algorithmique en lextraction dune racine carre que nous faisions autrefois la main. Le lien anachronique entre la technique sophistique de demain et le calcul pos dhier sera une belle exprience que le chapitre 2 saura nous offrir.

Le manuel sachvera avec une proprit souvent oublie qui permettra dtre illustre par de la gomtrie dynamique utile pour conforter une conjecture quil ne restera qu dmontrer.

En vous souhaitant une bonne lecture et, quelques pages de brouillons

Mathmaticalement,

Jean-Philippe Blaise

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Sommaire

Escargot de Cyrne page 5

Racine carre dun nombre entier page 29

Somme de deux ds page 41

quations du second degr page 51

Le plant de Mas page 67

Carr de Thbault page 77

4 5

Escargot de Cyrne

Lescargot de Cyrne ou escargot de Pythagore est un classique permettant de justifier de lutilit davoir une valeur exacte dans un calcul impliquant une solution ayant un radical. Il est aussi utile pour montrer que la rptition dune construction apporte son lot dapproximation autant dans la partie calculatoire que dans la partie construction pure.

Une analyse classique Par contre, nous pouvons le dvier de sa fonction primaire en simposant un nouvel axe de rflexion :

Pour quel triangle, lescargot fait-il un tour sur lui-mme ? De quelle mesure dangle dpasse-t-il les 360 ? Questionnement 1

De ces deux questionnements, nous pouvons aborder le problme sous diffrents axes utilisant les supports offerts par la fx-CP400. A savoir :

La gomtrie dynamique pour une construction rapide et rvolutionnaire par rapport dautres gomtries dynamiques disponibles.

Le tableur pour un calcul direct et une analyse de la situation Lalgorithmique car, si on visualise une construction rptitive, il serait dommage de ne pas

lui associer des boucles dans un programme.

Crons la rupture Un autre axe de rflexion permettra de donner une dimension plus exprimentale la situation.

Nexiste-t-il pas un triangle de dpart qui permette dans un nombre raisonnable de triangles daboutir faire un tour complet de prcisment 360 ? Questionnement 2

Un travail sur lalgorithmique permettra de trouver un rapport dans le triangle de dpart o lescargot va faire un tour de 360 et, une analyse au tableur permettra de valider la solution approximative propose.

Escargot de Cyrne

6Escargot de Cyrne

Questionnement 1, version gomtrie dynamique Dans un premier temps, il est intressant de construire la figure afin davoir une analyse fine de la situation. Puis, nous pourrons faire les premires constatations et aboutir quelques conclusions exploitables en classe.

Construction

Capture 1.1 Capture 1.2 Capture 1.3

Capture 1.1 : la gomtrie dynamique visible dans les calculatrices Casio permet des constructions rapides que nous pouvons nommer : construction avec contraintes.

Capture 1.2 : ainsi, pour construire un triangle rectangle dont on connat les longueurs, il suffit de poser sur lcran un triangle. Puis, dy slectionner deux cts.

Capture 1.3 : Il apparat la mesure de langle que lon peut modifier pour quil soit tel un angle droit . Un cadenas affiche la contrainte et la figure reste dynamique.

6 7


Capture 1.4 : nous faisons de mme pour les longueurs des cathtes. Slectionnons un ct. La mesure est inscrite.

Capture 1.5 : il suffit de la changer pour passer lunit.

Capture 1.6 : de mme pour faire apparatre notre premier triangle rectangle isocle. Le triangle se construit rapidement et, nous navons pas eu besoin de grer des intersections de cercles unitaires et de perpendiculaires.


Capture 1.7 : nouveau la construction du second triangle devient presque trop facile. Il suffit de dessiner deux segments.

8Capture 1.8 : puis, de dfinir langle droit ainsi que la longueur extrieure unitaire. Capture 1.9 : notons que laffichage peut tre ramen sur lcran en utilisant Zoom plein cran.

Capture 1.10

Capture 1.10 : on a la possibilit de dessiner plusieurs triangles et de dfinir leurs proprits ultrieurement. Et, ainsi de suite


Capture 1.11 : une fois le tour complet, on visualise 17 triangles.

Capture 1.12 : on peut slectionner avec le stylet les segments [FH] et [FX]. Dans la zone des variables dfinir, il est possible de lire langle entre les deux segments.

Capture 1.13 : par un glisser/dposer sur la figure, on peut afficher directement cette mesure.

8 9

Capture 1.14

Capture 1.14 : au bout de 17 triangles, nous trouvons que lescargot de Cyrne fait un tour sur lui- mme en dpassant les 360 de 4,78.

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Escargot de Cyrne

Questionnement 1, version tableur

Prparons les calculs au tableur


Capture 2.1 : Dans le triangle FGH rectangle en H, on a plusieurs proprits intressantes. De par la proprit de Pythagore, nous avons :

Soit,

Capture 2.2 : De par la trigonomtrie, nous savons :

( )

( ) (

)

Soit,

( ) (

)

( )

10 11

Capture 2.3 : Nommons chaque triangle pour engager ce travail de rptition. Ainsi, le triangle reprsentera le i-ime triangle de la construction. Dans ce cas, pour ce triangle, nous aurons :

Lhypotnuse du triangle :

Langle au centre de lescargot pour le triangle en question :

(

)

La mesure totale des angles construits au ime triangle :

Le tableur proprement dit Il permet de retrouver la valeur de langle form par lescargot en fonction du numro du triangle. Notons que les colonnes vont utiliser une valeur approche bien proche de la ralit. Du coup, nous allons voir apparatre pour les radicaux de carrs parfaits, les valeurs adquates. Un travail ultrieur sera envisageable pour montrer lutilit dans un calcul rptitif de travailler avec les valeurs exactes.


Capture 2.4 : les trois premires colonnes reprsentent dans lordre : le ct oppos du triangle, le cot adjacent et lhypotnuse du triangle de la i-me ligne.

Voici quelques formules inscrites dans ce tableau :

12

(

)

Capture 2.7

Evidemment, on retrouve que pour le triangle de la 17e tape (soit la 18e ligne) que le tour complet

se fait en 364,78.

12 13

Le tableur et la marge derreur

Un travail rptitif permet de se rendre compte de lutilit de garder le radical pour une prcision absolue dans le calcul.


Capture 2.8 : sur le calcul des hypotnuses des deux premiers triangles. Une erreur non ngligeable apparat si lon dcide de ne tenir compte que des arrondis au dixime voire au centime.

Capture 2.9: un travail lve sera envisager pour faire prendre conscience de lutilit du passage la racine carre dans les calculs plutt que de lutilisation dune valeur approche.

Quen est-il de limprcision dune telle valeur approche au bout de 17 calculs les impliquant les uns aux autres ?

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Transformons le tableur prcdent pour ne garder quune valeur arrondie au centime.


Capture 2.11 : la formule utilise pour transformer le tableau prcdent est simplement :

( ( ) )

O fRound(nb,d) retourne larrondi du nombre nb avec d chiffres aprs la virgule.

Capture 2.13 : larrondi au dixime apporte une marge derreur non ngligeable. Le tour complet ne se fait plus en 364,78 mais en 368,73 !

14 15

Capture 2.14

Attention, notez bien que le tableau prsent ci-dessus contient une marge derreur non ngligeable, il

sagit dillustrer lide de valeurs approches et de valeurs exactes dans un calcul.

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Escargot de Cyrne

Questionnement 1, mode CAS et suite


Capture 3.1 : un travail rapide permettant de rinvestir la partie tableur vu prcdemment permet de retrouver en une ligne de calcul la rponse attendue au questionnement 1.

A savoir :

Capture 3.2 : notons que lon peut dfinir la fonction :

Capture 3.3 : fonction qui naura de sens que pour des valeurs entires de ce que nous confirme sa courbe en escalier visible dans la capture dcran prcdente.

16 17


Capture 3.4 : nous pouvons utiliser le mode suite pour la dfinir plus proprement en nexploitant que les nombres entiers du domaine de dfinition.

Capture 3.5 : il est dailleurs possible de faire apparatre le tableau des valeurs.

Capture 3.6 : et, sur celui-ci dy faire figurer les diffrences. Ainsi, nous pouvons retrouver langle au centre de chaque triangle construit.

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Escargot de Cyrne

Questionnement 2, version CAS et rsolution dquation, le cas du 17e triangle

Dans le problme historique, le triangle est rectangle isocle. Le rapport entre les cts de langle droit est 1.

Le tour complet nest pas ralis pour 360 prcisment.

Essayons de trouver un rapport R permettant daboutir dans un nombre raisonnable de triangles une spirale aboutissant exactement un tour complet.

Attention, nous devons garder des constantes de rptitions, savoir :

Chaque triangle rajout sera un triangle rectangle Le ct oppos langle au centre sera unitaire


Capture 4.1 : dans le mode CAS, un travail autour de la proprit de Pythagore permet de retrouver les hypotnuses respectives.

Capture 4.2 : il sera possible daffecter la longueur R du premier triangle (ici, ) et de les faire

exploiter dans le mode de gomtrie dynamique de la calculatrice.

Capture 4.3 : ainsi, pour un rapport R donn, lescargot de Cyrne aura une forme plus ou moins ferme sur lui-mme.

18 19

Capture 4.4

Capture 4.4 : ici, toujours pour R=2, on retrouve un escargot de 17 triangles qui ne se referme pas du tout sur lui-mme.

Du coup, il serait intressant de retrouver le rapport adquat qui approche au mieux les 360.

Notons langle au bout de la 17e construction :

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Mode de rsolution numrique dquations


Capture 4.5 : passons dans le mode Rsolution Numrique de la calculatrice.

Capture 4.6 : nous pouvons linterroger sur la valeur que doit prendre R pour que la somme des 17 mesures dangles sapproche au mieux de 360.

Capture 4.7 : on trouve :


Capture 4.8 : la valeur trouve peut tre utilise dans les diffrents modes de la calculatrice.

20 21

Capture 4.9 : ainsi, rien ne nous empche de linjecter directement dans la figure dynamique dj cre en slectionnant le segment de dpart et en y affectant la valeur R mmorise.

Capture 4.10 : On retrouve graphiquement un angle nul pour la diffrence entre langle plat et la somme des angles de lescargot.

Capture 4.11

Une valeur approche de R permet dobtenir un escargot de 17 triangles se fermant exactement sur lui-mme. Le travail prcdent au tableau permet de conclure que la diffrence nulle nest pas

absolue mais, bien relative la marge derreur des calculs engendrs !

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Capture 4.12

Capture 4.12 : idem dans le mode Tableur. O, la valeur R peut tre directement pose dans la case B2.

22 23

Escargot de Cyrne

Questionnement 2, cas gnral.

Le but est maintenant de gnraliser la situation. Le rapport denviron 1.06 trouv prcdemment concerne une construction de 17 triangles exactement. Il est possible de se poser la mme question pour un autre nombre de triangles.

Un nombre minimum de triangle ?

Pour quel nombre, ce rapport devient-il impossible dessiner correctement sur une feuille de papier ?

Le tableur va nous offrir la rponse.

Considrons un rapport minimal dun dixime (le double de la marge derreur dun crayon 0.5 mn). Et, regardons si les 360 sont atteints et pour quelle ligne de construction :

Capture 5.1

Capture 5.1 : nous pouvons conclure quun minimum de 12 triangles sont ncessaires pour avoir une construction acceptable.

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Un nombre maximum de triangles ?

Arbitrairement, nous allons nous contraindre rechercher des solutions pour une construction ayant au maximum 20 triangles. La marge derreur dcouverte pour le cas 17 permet de conclure quil est incertain daller au-del.

Quel rapport sera notre borne suprieure ?

Encore une fois, le tableur va nous offrir la rponse :

Capture 5.2

Capture 5.2 : notre recherche pourra se situer pour :

24 25

Utilisation du mode de rsolution pour quelques cas :


Capture 5.3 : pour 12 triangles on trouve une rapport denviron :

Capture 5.4 : pour 13, . Cest cet exemple que nous allons injecter dans la construction gomtrique ci-dessous.

Capture 5.5 : pour 20 triangles, . Une valeur proche de notre travail prparatoire au tableur.


26

Capture 5.7 : la gomtrie dynamique nous permet de visualiser les cas (ici, le cas 13) et de vrifier si langle est assez proche de 360 pour quil en devienne ngligeable visuellement.

Utilisation du tableur pour tous les cas recherchs :

Pour ne pas avoir rpter la recherche, nous pouvons proposer un calcul direct via le tableur et la rsolution CAS qui y est possible.


Les trois colonnes utiles sont dfinies de la sorte :

La colonne A reprsente le cas recherch, par exemple ici, 12 triangles construire.

La colonne B permettra de faire rechercher la solution voulue via la formule :

=360,T)

La colonne C va nous permettre de faire apparatre la solution positive grce la touche sachant note sur le clavier tactile par le symbole | :

26 27

Il suffit de recopier la premire ligne pour trouver les valeurs suivantes :

Capture 5.13

Capture 5.13 : ainsi, en copiant-collant la ligne prcdente. Il est possible de faire calculer les diffrentes configurations recherches.

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Pour aller plus loin ?

Que pouvons-nous affirmer des valeurs trouves ? Un travail sur la marge derreur rpte dans le calcul permet de conclure que rien naffirme que la valeur trouve numriquement est bien la valeur exacte recherche ? Il est simplement possible de saccorder sur le fait que pour chaque nombre de triangles voulus : une bonne valeur existe et une belle approximation est propose par la calculatrice.

Capture 5.14

Pour un triangle de dpart rectangle mais non isocle avec un rapport denviron 1,56, une construction gomtrique arrive au bout de 20 triangles un escargot se refermant sur lui-mme.

28 29

Racine carre dun nombre entier

Lescargot de Cyrne vu prcdemment va nous permettre dengager une rflexion sur la notion de racine carre.

Il est possible en rptant cette construction spirale de faire dessiner la valeur de nimporte quel nombre entier sous le radical. Mais, est-ce une bonne mthode ?

Bien videmment que non : la longueur de la rptition a une forte probabilit daboutir des erreurs dapproximation. Ny a-t-il pas dautres voies pour aborder la racine carre dun nombre entier et son approximation

Une analyse dcimale Par contre, nous pouvons le dvier de sa fonction primaire en simposant un nouvel axe de rflexion :

De lextraction de la racine carre en passant par une dichotomie, peut-on programmer quelques algorithmes permettant de retrouver une valeur approche dune racine demande ?

Questionnement 1

Une vision gomtrique

Navons-nous pas une mthode rapide et pratique pour construire nimporte quelle racine carre dun nombre sans avoir utiliser les tapes de lescargot de Cyrne ?

Questionnement 2

Racine carre dun nombre entier

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Racine Carre, questionnement 1

De lextraction lalgorithmique

Dans un premier temps nous allons programmer la version la plus simple permettant de retrouver la valeur dune racine carre demande sans utiliser la touche de la calculatrice.

Algorithme par Dichotomie (1) Dans ce premier programme, nous allons proposer cette ide de dichotomie.

On cherche une valeur comprise entre 0 et le nombre demand. Puis, on coupe cet espace en deux. Il suffit de vrifier o se situe le carr de ce milieu. Sil dpasse la valeur recherche, notre nouvel intervalle est trop grand (on utilise la borne suprieure) sinon notre domaine est trop petit (on utilise la borne infrieure).

Demander RACINE Demander PRECISION MINI = 0 MAXI = RACINE DEGRE = 1 Tant que DEGRE > PRECISION :

MILIEU = (MINI+MAXI)/2 DEGRE = VALEUR ABSOLUE(MILIEU^2 R)

Si MILIEU ^2 - R < 0

alors MINI = MILIEU Sinon MAXI =MILIEU

Fin de condition Afficher MILIEU Afficher PRECISION

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Racine Carre, questionnement 1

De lextraction lalgorithmique

Dans un premier temps nous allons programmer la version la plus simple permettant de retrouver la valeur dune racine carre demande sans utiliser la touche de la calculatrice.

Algorithme par Dichotomie (1) Dans ce premier programme, nous allons proposer cette ide de dichotomie.

On cherche une valeur comprise entre 0 et le nombre demand. Puis, on coupe cet espace en deux. Il suffit de vrifier o se situe le carr de ce milieu. Sil dpasse la valeur recherche, notre nouvel intervalle est trop grand (on utilise la borne suprieure) sinon notre domaine est trop petit (on utilise la borne infrieure).

Demander RACINE Demander PRECISION MINI = 0 MAXI = RACINE DEGRE = 1 Tant que DEGRE > PRECISION :

MILIEU = (MINI+MAXI)/2 DEGRE = VALEUR ABSOLUE(MILIEU^2 R)

Si MILIEU ^2 - R < 0

alors MINI = MILIEU Sinon MAXI =MILIEU

Fin de condition Afficher MILIEU Afficher PRECISION


Capture 1.1 : Voici un programme sur notre calculatrice permettant de reprendre lalgorithme prcdent.

Notons les variables attribues dans ce programme :

R : Racine calculer

d : degr de prcision attendue

z : degr de prcision calcul

m : borne infrieure

n : borne suprieur

t : milieu entre les bornes [m ; n]

Capture 1.2 : en pratique, nous cherchons la valeur de 0.0001 prs

Capture 1.3 : et on trouve via le programme :

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Algorithme par mthode dextraction (2) Extraction de la racine carre la main

Pour calculer une racine carre dun nombre, il suffit de poser une division nomme extraction de racine. Reprenons le calcul de la racine carre de 10 :

Capture 2.0

Capture 2.0 : voici une ide dexplication de cette mthode : Dans un premier temps, il faut rechercher le plus grand nombre dont le carr se rapproche 10 sans le dpasser. Ici, on trouve 3. Puis, on calcule le premier reste :

On abaisse deux zros (sur le mme principe que pour une division pose).

Pour le chiffre suivant : il faut doubler le nombre approchant la racine de 10 soit pour linstant 3. Ce qui donne :

Et, rechercher le chiffre tel que le produit suivant se rapproche au mieux du reste trouv:

Ici, on trouve le chiffre 1. Donc, 3,1 est une extraction possible de la racine carre de 10. Il faut calculer le nouveau reste :

Abaisser deux zros :

Et, doubler le rsultat tronqu au dixime, pour recommencer avec :

On trouve le chiffre 6.

Et ainsi de suite ()

Explications : 1 0 3,162? 3=9

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Algorithme par mthode dextraction (2) Extraction de la racine carre la main

Pour calculer une racine carre dun nombre, il suffit de poser une division nomme extraction de racine. Reprenons le calcul de la racine carre de 10 :

Capture 2.0

Capture 2.0 : voici une ide dexplication de cette mthode : Dans un premier temps, il faut rechercher le plus grand nombre dont le carr se rapproche 10 sans le dpasser. Ici, on trouve 3. Puis, on calcule le premier reste :

On abaisse deux zros (sur le mme principe que pour une division pose).

Pour le chiffre suivant : il faut doubler le nombre approchant la racine de 10 soit pour linstant 3. Ce qui donne :

Et, rechercher le chiffre tel que le produit suivant se rapproche au mieux du reste trouv:

Ici, on trouve le chiffre 1. Donc, 3,1 est une extraction possible de la racine carre de 10. Il faut calculer le nouveau reste :

Abaisser deux zros :

Et, doubler le rsultat tronqu au dixime, pour recommencer avec :

On trouve le chiffre 6.

Et ainsi de suite ()

Explications : 1 0 3,162? 3=9

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Capture 2.3 : il ne reste qu tester le programme pour une valeur dj calcule soit, .


Capture 2.4 : on choisit 4 chiffres aprs la virgule (attention, il sagit dune troncature) .

Capture 2.5 : on retrouve les tapes du calcul pos (en capture 2.0) ainsi quune valeur tronque au millime.

Capture 2.6 : un exemple avec .

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Capture 2.3 : il ne reste qu tester le programme pour une valeur dj calcule soit, .


Capture 2.4 : on choisit 4 chiffres aprs la virgule (attention, il sagit dune troncature) .

Capture 2.5 : on retrouve les tapes du calcul pos (en capture 2.0) ainsi quune valeur tronque au millime.

Capture 2.6 : un exemple avec .

Une vision gomtrique, questionnement 2

De la mthode de Cyrne une vision plus simple

Il est facile de faire dessiner la racine carre dun nombre entier en utilisant les instruments de gomtrie classiques.


Soit [AB] un segment mesurant la racine que lon veut construire (ici, ). Soit H un point de [AB] tel que AH=1. La perpendiculaire (AB) passant par H coupe le cercle de diamtre [AB] en un point que lon nomme E.

La longueur AE mesure .

Capture 3.1 : par exemple, on retrouve dans ce premier exemple.

Capture 3.2 : le fait davoir une figure dynamique permet de redfinir facilement la longueur AB et donc, dobtenir une vrification avec AB=9.

Capture 3.3 : il est possible de faire inscrire sur lcran des expressions. Du coup, mme si les longueurs sont grandes par rapport lunit, la lecture de AE reste efficace.

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Capture 3.4 Capture 3.5

Capture 3.4 : le calcul formel de cette calculatrice permet de travailler avec des lettres. Cela semble logique mais, il est noter que lassociation de lettres est considre comme une variable. Ainsi, nul besoin de redfinir la longueur AE, il suffit de lutiliser.

Capture 3.5 : une piste de rsolution directement sur la calculatrice est agrable, charge au lecteur de la formaliser.

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Capture 3.4 : le calcul formel de cette calculatrice permet de travailler avec des lettres. Cela semble logique mais, il est noter que lassociation de lettres est considre comme une variable. Ainsi, nul besoin de redfinir la longueur AE, il suffit de lutiliser.

Capture 3.5 : une piste de rsolution directement sur la calculatrice est agrable, charge au lecteur de la formaliser.

Pour aller plus loin Triplets de Pythagore ou construction rapide ?

Un questionnement permet le lien entre les deux problmes : celui de la vision algorithmique dune racine carre et celui de sa construction rapide. A savoir :

On peut sinterroger sur la possibilit de construire un triangle rectangle donnant une racine carre

voulue. Peut-on trouver pour les 100 premiers nombres entiers, un tel triangle ?


Capture 4.1 : Voici la liste des 18 premiers nombres entiers. Par exemple, on peut y lire que peut se construire (sur la seconde ligne) via un triangle rectangle isocle.

Capture 4.2 : Ainsi, est simplement lhypotnuse dun triangle rectangle ayant 1 et 3 comme longueurs de cathtes.

Capture 4.3 : Ce que nous confirme la figure.

38


Capture 4.4 : sera construit via un triangle rectangle dont lhypotnuse vaut 8 et lun des cts 7.

Capture 4.5 : une valeur approche est ainsi donne par la construction.

Capture 4.6 : la question qui se pose : comment sont apparues ces listes ? Combien de racines carres ny figurent pas ? (Par exemple, nest pas dfinie par une construction dun seul triangle rectangle).


Capture 4.7 : il serait inappropri de ne pas rpondre cette question. En voici quelques pistes. Le premier programme permet simplement dinitialiser les 100 premiers termes des listes utiliser.

38 39













Capture 4.8 : puis, inutile de chercher un triangle pour des carrs parfaits.

Capture 4.9 : enfin, il nous faut grer deux algorithmes, lun qui cherche des hypotnuses valeurs entires et lautre lun des cathtes. Le tout sans surcot dnergie pour la machine. Si dans la liste, un calcul a dj t trouv, inutile de refaire une recherche. Lassociation des diffrents modes de la calculatrice permettra davoir en mode statistique, le rsultat final recherch.

A vos machines !

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Notes personnelles

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Somme de deux ds

Intressons-nous la somme de deux ds. Il existe des ds ayant une particularit : leur somme la mme probabilit quavec des ds classiques.

Ceux sont les ds de Sicherman dont voici ci-dessous la forme dveloppe :

Oserions-nous les utiliser la place des classiques ?

Un point de vue en probabilit

Comparons les diffrents cas entre les ds classiques et les ds de Sicherman via le tableur pour avoir une reprsentation en tableau crois. Et, recherchons quelle est la somme ayant la plus forte probabilit dtre tire. Questionnement 1

Un point de vue en exprimentation

Attachons-nous faire de ce tirage alatoire une exprimentation avec un nombre fini de lancs.

Questionnement 2

Somme de deux ds

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Probabilit, questionnement 1

Travaillons sur les diffrentes possibilits dans les deux familles de ds

Cas classique :

Pour les ds classiques, le tableur va permettre de nous faire visualiser tous les cas possibles.

Ainsi, la probabilit sera facilement calculable car, lenvironnement probabiliste est discret et dtermin :

( )

Tableau des possiblits :


Capture 1.1 : dans le mode Tableur de la calculatrice, il suffit de crer un tableau double entre.

Capture 1.2 : puis, dy dfinir la somme en noubliant pas de bloquer les lignes et colonnes dentres pour quun copier/coller nous facilite la tche :

Capture 1.3 : enfin, on peut facilement copier la formule en A2 et la coller dans les cases selectionnes.

42 43

Calcul des probabilits :


Capture 1.4 : la lecture directe du tableau des possibilits nous donne la rponse pour le cas des ds classiques. Lutilisation des couleurs sur la tableau permet de reprer linformation principale savoir :

( ) ( | )

Capture 1.5 : attention, toutefois lors du calcul des probabilits de bloquer la case de leffectif total B32:

Capture 1.6 : Il est noter que le mode tableur permet davoir les valeurs sous une forme dcimale ou sous une criture fractionnaire.

On trouve ainsi que la somme ayant la plus grande probabilit dtre tire est le 7.

( )

44

Cas des ds de Sicherman :


Capture 2.1 : il suffit de changer les valeurs du tableau crois pour avoir les diffrentes combinaisons pour ces ds particuliers.

Capture 2.2 : nous retrouvons rigoureusement les mmes tirages avec les ds de Sicherman et du coup, les mmes probabilits quavec des ds classiques.

Il est donc possible de travailler avec un environnement diffrent pour ce type de tirage alatoire.

44 45

Exprimentation, questionnement 2 Tirages alatoires

Nous allons exprimenter ce tirage alatoire directement sur la calculatrice avec cette nouvelle famille de ds.


Capture 3.1 : la fonction rand(1,6) permet davoir un tirage pseudo-alatoire de nombres entiers compris entre 1 et 6.

Capture 3.2 : dans le mode Principale de la calculatrice, nous pouvons dfinir les deux ds.

Capture 3.3 : Il suffit de faire tirer alatoirement lindice de chacune des listes cres pour avoir un tirage alatoire des ds de Sicherman.

46

Exprimentation via le tableur


Capture 3.4 : dans le mode tableur, nous allons crer une srie de tirages. Ici, la colonne A va reprsenter le lanc du premier d. Comme le d 1 est dfini via le mode principal, il est facile de lassocier ici. Par exemple, la case B2 sera dfinie par :

[ ( ]]

Capture 3.5 : au lieu dutiliser le copier/coller pour remplir chaque case dune colonne. On peut directement utiliser la fonction Remplir plage.

Capture 3.6 : et, ainsi proposer 100 tirages des deux ds.

46 47


Capture 3.7 : la colonne C reprsentera la somme recherche.

Capture 3.8 : en la slectionnant, il est possible davoir la rpartition des expriences.

Capture 3.9 : voire, un diagramme en moustache.

Analyse dans le mode Statistique


Capture 4.1 : les diffrents menus de la calculatrice permettent une gestion commune des rsultats calculs.

48

Capture 4.2 : ainsi, il est possible dexporter une colonne de valeur du mode tableur au mode statistique.

Capture 4.3 : dfinissons la liste qui va accueillir les 100 tirages effectus. Ici, la liste 1.


Capture 4.4 : dans le mode statistique, la list1 est visible comme prvue par lexportation.

Capture 4.5 : nous retrouvons le diagramme moustache visualis prcdemment. Les sommes sont bien dans la plage de valeurs allant de 2 12.

Capture 4.6 : une analyse statistique une variable est dsormais possible. La mdiane est de 7 comme lavait affirm le travail thorique prcdant.

48 49


Capture 4.7 : dans le mode principal, on peut directement calculer les rsultats statistiques dune liste. Ainsi, on retrouve que la moyenne pour nos 100 tirages est de 6.74 via le calcul :

( )

Un mode adapt ?

Capture 4.8 : la calculatrice est prvue pour grer ce type de tirage directement. Bien entendu, non pas avec les ds de Sicherman mais avec des ds classiques. Il suffit de choisir le nombre de tirages voulus ainsi que le nombre de faces pour chacun des ds.

Capture 4.9 : un tableau de valeurs apparat aprs calculs. On y retrouve via lexprimentation quil est prfrable de choisir 7 comme somme de deux ds lors dun tel tirage alatoire.

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Pour aller plus loin

Deux familles de ds pour des rsultats identiques ?

Un travail autour de la diffrence au lieu de la somme permettra de comprendre lutilit de dfinir la situation de dpart.

Ainsi, si les ds de Sicherman se rvlent identiques des ds classiques pour le tirage alatoire dune somme, il nen est rien pour la valeur absolue de la diffrence. Comme le confirme le tableau suivant :

50 51

Equations du second degr La rsolution dquation du second degr peut-tre vue dun axe diffrent de laccoutume.

Au lieu de travailler directement sur les quations de type :

Nous allons nous intresser ici la rsolution dquations de type :

( )

avec f une fonction polynomiale du second degr.

Limpact pdagogique est diffrent car, il est possible de demander la rsolution de lquation sans avoir la forme rduite sous-entendue prcdemment.

Une analyse directe via le mode CAS

Utilisons le mode CAS de la calculatrice pour retrouver la forme rduite et faire apparatre les solutions recherches Questionnement 1

Une vision gomtrique

Le fait davoir une fonction permet denvisager directement une lecture graphique et dobtenir la (ou les) solution(s) recherche(s).

Questionnement 2

Une vision via un algorithme

Peut-on envisager un algorithme diffrent pour rsoudre une quation du second degr qui ne demande pas les coefficients du polynme mais directement le polynme en question ?

Questionnement 3

quation du second degr

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Rsolution via le mode CAS, questionnement 1

Ou comment retrouver les coefficients dun polynme non rduit ?

Dans un exemple classique pour rsoudre lquation du second degr suivante :

O a, b et c sont des nombres donns. Il suffit de commencer un algorithme de la sorte :


Capture 1.1 : Dfinissons la fonction adquate directement. Il est possible de se convaincre dun choix stratgique pour le calcul des coefficients a,b,c se ramenant une quation du second degr classique du type :

Capture 1.2 : dans le mode CAS, le pivotement de la fentre est possible pour obtenir une meilleure visibilit des rponses et des calculs en cours.

Si f(x) est de la forme dun polynme du second degr la recherche des coefficients pour sa forme rduite est donne par :

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

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Exemple 1 : cas rduit

Rsoudre (( ) sachant que ( )


Pour rsoudre une quation du second degr en gardant lesprit de la fonction, il suffit de la dfinir puis, dincrmenter les coefficients et de faire calculer les solutions.

Capture 1.3 : dfinissons nouveau f(x). Les calculs permettent de retrouver ses coefficients pour sa forme rduite ainsi que son discriminant.

Capture 1.4 : les deux solutions apparassent.

Capture 1.5 : attention, la fonction solve() de la calculatrice donne directement la rponse. La dmarche recherche ici est dobtenir le calcul du discriminant et, le dtail des solutions.

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Exemple 2 : Cas non rduit dune quation produit

Rsoudre (( ) sachant que :

( ) (

) (

)


Capture 1.6 : nouveau, il est ais de remplacer dans lhistorique du calcul prcdent, la dfinition de la fonction f.

Capture 1.7 : nous retrouvons deux solutions distinctes qui nous rappellent pourquoi une quation produit est lie une quation du second degr.

Capture 1.8 : on retrouve les rponses proposes via le calcul du discriminant et la formule rduite du polynme. La fonction solve() nous confirme ces rsultats.

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Exemple 3 : Cas dune quation nayant quune solution


( ) (

)


la barre de dfilement droite de lcran permet de reprendre le calcul au dbut.

naffiche forcement quune solution du coup.

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Exemple 4 : Cas sans solution relles


( )


, il ny aura pas de solutions car, le discriminant est ngatif. Un message derreur apparait dans le droulement des calculs.

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Rsolution graphique, questionnement 2

Ou comment lire directement les rponses sur une reprsentation graphique ?

Reprenons lun des cas prcdent pour visualiser la reprsentation graphique ainsi que les racines adquates.

Cas de lquation produit :

( ) (

) (

)


Capture 2.1 : le fait davoir dfini la fonction dans le mode Principale de la calculatrice permet de pouvoir directement utiliser f(x) pour dessiner sa reprsentation.

Capture 2.2 : un zoom automatique de la courbe permet de la visualiser dans la partie qui nous intresse. Capture 2.3 : une analyse de diffrents critres de sa reprsentation graphique est offerte. Cette analyse permet entre autre de trouver graphiquement les solutions de lquation f(x) =0 .

Ainsi, on obtient par lecture graphique les solutions voulues.

Il reste noter que le discriminant nest pas trouv ici.

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Cas tudis prcdemment :

Nous avons la possibilit de faire afficher plusieurs courbes sur le mme graphique. Donc, visuellement, il est possible de retrouver les cas intressants.

Si b^2-4ac est positif, on aura deux solutions. Si b^2-4ac =0 , une seule Sinon aucune.


On retrouve que le dernier cas ne coupe pas laxe des abscisses donc, naura pas de solutions. Le lien avec le discriminant nest pas visible directement dans cette mthode de rsolution, un travail

antrieur reste essentiel.

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Rsolution Algorithmique, questionnement 3

Utilisation du mode CAS pour dtourner un algorithme

Dans un exemple classique pour rsoudre lquation du second degr suivante :

o a, b et c sont des nombres donns.

Il suffit de commencer un algorithme de la sorte :

Demander a,b,c delta = b^2 4*a*c Ecrire Delta ()

Mais, que se passerait-il si au lieu de faire demander les coefficients, on travaillait directement avec un polynme rduit ou non du second degr ?

La recherche des coefficients du polynme rduit serait un premier travail et permettrait de rsoudre des quations largies du style :

( )( )

Ainsi, si ( ) est notre fonction polynmiale du second degr, on a :

( )

Avec : ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

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Un algorithme de base pour rsoudre une quation du second degr est donn par :

Demander POLYNOME f(x) # Recherche des coefficients c = f(0) b = (f(1)-f(-1) ) /2 a = (f(1)+f(-1)-2f(0))/2 # Vrifions si la fonction est un polynme du second degr dif=f(x)-(a*x^2+b*x+c) Si dif = 0 delta = b^2 4*a*c Ecrire Discriminant Ecrire Delta Si delta >0 Ecrire Deux solutions Ecrire Sol1 : Ecrire (b-racine(delta)))/(2a) Ecrire Sol2 : Ecrire (b+racine(delta)))/(2a) Sinon Si delta = 0 Ecrire Une solution : Ecrire (b)/(2a) Sinon

Ecrire Pas de solutions relles Fin de condition Sinon Ecrire cette fonction nest pas un polynme du second degr Fin de condition

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Programmation proprement dite :


Capture 3.1 : allons dans le mode Programme de la calculatrice.

Capture 3.2 : il est possible de saisir en entre une fonction via la commande InputFunc.

Capture 3.3 : la commande de sortie, Print affichera les valeurs trouves savoir les coefficients rduits ainsi que le discriminant et les solutions si elles existent.

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Capture 3.4

Capture 3.4 : voici le programme rentr dans la calculatrice. Pour ne pas lalourdir, il na pas t propos avec une mise en forme des rsultats trouvs . Les rponses seront donnes ligne par ligne.

InputFunc f(x) f(0)c (f(1)-f(-1))/2b (f(1)+f(-1)-2*f(0))/2a ClrText Print f(x) Print "Les coefficients rduits sont pour ax^2+bx+c=0" Print "a=" Print a Print "b=" Print b Print "c=" Print c Print "Le discriminant est :" b^2-4*a*cdisc print disc If (disc

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Deux exemples pour valider la programmation

Le cas du dveloppement produit vu au questionnement 1 :

( ) (

) (

)


Capture 3.5 : rentrons la fonction dfinissant une quation produit dans cet exemple.

Capture 3.6 : nous retrouvons les coefficients utiles une rsolution dquation du second degr.

Capture 3.7 : le discriminant est positif, il y a bien deux solutions possibles.

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Un cas sans solution relle:

( )


Capture 3.10 : la fonction swap de la calculatrice permet de voir en entier une partie de lcran pour avoir directement les solutions sorties par le programme de rsolution.

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Une amlioration technique

Le programme prcdent a lavantage dtre linaire. Les nombres en sortie sont facilement visibles et la fonction Print permet dafficher ou un rsultat ou un texte.

Mais, comment faire affficher en sortie sur la mme ligne, un texte et une variable ?


Capture 3.11 : utilisons le cas dune fonction aboutissant une seule solution.

Capture 3.12 : on dcouvre quici, les coefficients a,b et c sont directement crits avec la valeur recherche, le tout sur la mme ligne.

Capture 3.13 : une astuce est ncessaire :

ExpToStr : transforme la variable en une chane de caractres. StrJoin : ajoute deux chanes de caractres dans une troisime

Il ne reste qu faire afficher la chane constitue.

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Notes personnelles

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Le plant de Mas Daprs le sujet de BAC S, 2013 de Pondichry On sintresse lvolution de la hauteur dun plant de mas en fonction du temps. La hauteur est en mtres .Aprs modlisation, on obtient la fonction logistique suivante :

( )

avec a et b des constantes relles et positives et, t la variable reprsentant le temps en jours.

On sait quinitialement, pour t=0, le plant mesure 0,1 m. Et, que sa hauteur tend vers une limite de 2m. Dterminer les constantes a et b afin que la croissance dun plant de mas corresponde au modle tudi. Questionnement 1

On considre maintenant que la croissance du plant de mas est donne par la fonction h dfinie sur [0,250] par :

( )

Question 1 Dterminer h(t) en fonction de t En dduire les variations de la fonction h sur lintervalle [0,250] Question2 Calculer le temps ncessaire pour que le plant de mas mesure au moins 1,5 m. Question 3 1) Vrifier que :

( )

pour t appartenant lintervalle

2) Montrer que la fonction F dfinie sur lintervalle [0,250] par :

( ) ( )

est une primitive de la fonction h. 3) Dterminer la valeur moyenne de h sur lintervalle [50,100] En dduire une valeur approche au centime et interprter ce rsultat. Question 4 On sintresse la vitesse de croissance du plant de mas ; elle est donne par la fonction drive de h. La vitesse de croissance est maximale pour une valeur de t. En utilisant la reprsentation graphique de h, donner une valeur approche de celle-ci puis, estimer la hauteur du plant.

Questionnement 2

Le plant de Mas

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Le plant de Mais, questionnement 1

Rsolution CAS dans le mode Principal Dterminer les constantes a et b afin que la croissance dun plant de ma s corresponde au modle tudi sachant que :

Et,

( )

Capture 1a.1 Capture 1a.2 Capture 1a.3

Capture 1a.1 : dans le mode principal de la calculatrice, dfinissons la fonction h par :

( )

Il suffit de donner la limite en linfini pour que la calculatrice nous retourne la valeur de a.

Lcriture de ( ) sachant que a=2 permet dobtenir une galit :

Que nous pouvons rsoudre directement avec la fonction solve() pour obtenir :

Capture 1a.2: Il est possible de faire calculer les limites directement en fonction de plusieurs paramtres. Ainsi, on retrouve un descriptif de la dmonstration de rdaction attendue dans ce questionnement.

68 69

Le plant de Mais, questionnement 2

Rsolution CAS dans le mode Principal

Question 1 : On a maintenant :

( )

o nous retrouvons logiquement les paramtres a et b rsolus prcdemment.

Dterminer h(t) en fonction de t. En dduire les variations de la fonction h sur lintervalle [0,250].

Capture 1b.1 Capture 1b.2 Capture 1b.3

Capture 1b.1 : il suffit de dfinir les paramtres a et b, et dafficher ( ) pour retrouver la fonction tudier.

Capture 1b.2 : La drive est donne directement. Un simple coup dil permet de confirmer quelle sera positive quelle que soit la valeur de t.

( )

( )

Capture 1b.3 : Cette drive h ne sannule pour aucune valeur. La fonction h est donc croissante sur lintervalle tudi.

70

Capture 1b.4 Capture 1b.5 Capture 1b.6

Capture 1b.4 : la fonction est une fonction croissante et positive. Du coup, nous obtenons une piste pour dmontrer les rponses directement trouves avec le mode CAS de la calculatrice.

Capture 1b.5 : comme h(x) est dfinie et que les paramtres a et b sont donns, il est facile de faire afficher sa reprsentation graphique. Notons que son tableau de valeur permet de confirmer le fait qu lorigine, on retrouve les 10 cm du plant de dpart.

Capture 1b.6 : pour le 250e jour, le plant de mas a une hauteur proche des 2m attendus.

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Question 2 :

Calculer le temps ncessaire pour que le plant de mas fasse au moins 1,5 m.


Capture 2.4 : par lecture graphique : on trouve 102 jours.

Capture 2.5 : par rsolution directe en utilisant la fonction solve(), on trouve une valeur qui dpasse lgrement les 101 jours soit 102 jours pour un travail sur des jours entiers passs.

Capture 2.6 : une piste abordable pour une rsolution dinquation est possible.

Au bout de 102 jours, les plants de mas mesurent au moins 1,5 m

72

Question 3 1) Vrifier que :

( )

pour t appartenant lintervalle .


Captue 3.1: lorsque lon regarde lexpression recherche ainsi que la fonction ( ), il semble utile de travailler sur des fractions gales en multipliant numrateur et dnominateur par :

Captue 3.2: la diffrence entre h(t) et lexpression donne aboutit zro. Il y a bien lgalit recherche.

Captue 3.3: on retrouve la piste envisage dans cette premire capture dcran.

72 73

2) Montrer que la fonction F dfinie sur lintervalle [0,250] par :

( ) ( ) est une primitive de la fonction h.


Captue 3.1: faisons calculer directement lintgrale de h(t) :

( ) ( )

Capture 3.2 : le travail attendu est un calcul de la drive de la fonction F que lon aura bien- entendu vrifie comme tant continue sur le domaine de dfinition. On retrouve bien :

( ) ( )

Capture 3.3 : les drives des fonctions usuelles permettent daboutir la rsolution de la question.

74

3) Dterminer la valeur moyenne de h sur lintervalle [50,100] En dduire une valeur approche au centime et interprter ce rsultat.


Capture 3.7 : le calcul de la valeur moyenne est donne par :

( ) ( )

Capture 3.8 : on peut trouver la valeur exacte de ce calcul de moyenne via le calcul intgral de la calculatrice :

(

)

Capture 3.9 : un travail autour de laire sous la courbe permet daboutir aussi la mme rponse.

La valeur moyenne est de 1.03 m.

74 75

Question 4

On sintresse la vitesse de croissance du plant de mas ; elle est donne par la fonction drive de h.

La vitesse de croissance est maximale pour une valeur de t. En utilisant la reprsentation graphique de h, donner une valeur approche de celle-ci puis, estimer la hauteur du plant.


Capture 4.1: il est possible de faire reprsenter le tableau de variation de la courbe reprsentative de la fonction h(x). On y visualise le fait que la drive seconde sannule pour une abscisse denviron 73,6.

Capture 4.2 : la demande de la recherche des points dinflexion de la courbe le confirme.

Capture 4.3 : un calcul direct permet de conclure.

Environ 0.99 m pour le 73e jour o la croissance semble maximale.

76


Capture 4.4 : la drive seconde permet de trouver ce point via le calcul. On trouve une valeur exacte qui confirme la valeur approche prcdente :

( )

Capture 4.5 : le menu e-activity permet de grer une progression dans la rsolution dun problme et dy associer des lignes spcifiques : ici, par exemple : nous demandons la construction de la tangente la courbe au point dabscisse 73.

Capture 4.6 : on retrouve par agrandissement de la zone de lcran, le fait que la courbe passe de lautre ct de sa tangente.

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Carr de Thbault

Un cas particulier Souvent dans les problmes de mathmatiques nous avons des conditions particulires du type : soit un paralllogramme non aplati . Comme il est difficile de justifier ce type dvidence alors, voici un questionnement permettant dobtenir par la suite la rupture adquate :

Soit quatre carrs positionns de part et dautre dun segment unitaire tel que leurs dimensions sont les mmes deux deux. Leur centre forme un quadrilatre. Montrons que quelle que soit la longueur la longueur x comprise entre [0,1] , le quadrilatre reprsent en jaune est bien un carr. Et, retrouvons laire de celui-ci en fonction de la longueur x. Questionnement 1

x

1

Carr de Thbault

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Thorme de Thbault

Le segment unitaire prcdent nest en fait quun paralllogramme aplati. Nous allons en dduire la configuration suivante :

Soit un paralllogramme quelconque. Si on construit les carrs extrieurs au ct du paralllogramme, on peut affirmer que leurs centres forment aussi un carr. Dmontrons ce thorme.

Questionnement 2

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Un cas particulier, questionnement 1

De la gomtrie dynamique lanalyse

Dans un premier temps, nous allons construire la figure pour avoir la possibilit de visualiser ce quadrilatre.

Mode dynamique et animation dun point mobile


Capture 1.1 : la cration du segment [AB] peut tre dfinie de plusieurs faons. Nous choisissons ici dimposer les coordonnes des points A et B.

Capture 1.2 : comme le point M est mobile sur le segment [AB] , nous dfinissons lanimation de ce point en cliquant sur Remplacer Animation.

Capture 1.3 : dans le menu Affichage, il est possible de faire apparatre une barre de dfilement qui dplacera le point M notre guise sur le segment [AB] via longlet Animation UI

80


Capture 1.4 : une analyse pralable de la figure construire permet de dmontrer lutilit dun centre de symtrie. Nommons-le I. Il sera ainsi, aussi le milieu de [AB].

Capture 1.5 : dessinons le premier carr. Une perpendiculaire passant par A et un cercle de rayon AM sont ncessaires.

Capture 1.6 : de mme pour le second carr. Nous avons donc les carrs AMGF et MBIJ de construits. Avec par lnonc : AM= x.


Capture 1.7 : slectionnons les droites et cercles cacher.

Capture 1.8 : en utilisant les segments nous pouvons finir la construction des carrs.

80 81

Capture 1.9 : le centre I de symtrie de la figure permet de finir la construction rapidement.


Capture 1.10 : Traons le quadrilatre KLNO constitu des centres des quatre carrs. Notons que le centre dun carr est dfini par le milieu de lune de ses diagonales. Dans le menu dition, il est possible de dfinir le style de ce quadrilatre par exemple, pour le colorier en jaune comme ici.

Capture 1.11 : en slectionnant les angles on peut vrifier que ce quadrilatre semble tre un rectangle.

Capture 1.12 : les longueurs nous confirment que KLNO semble tre un carr. A nous de le dmontrer.

Capture 1.13

Capture 1.13 : En lanant lanimation du point M, on constate que KLNO garde ses caractristiques. La gomtrie dynamique napporte pas une preuve mais illustre la dmonstration suivante.

82

Dmonstration, questionnement 1, le cas particulier du segment.

Pour dmontrer que le quadrilatre jaune est bien un carr. Mettons-nous dans un repre orthonorm avec :

(

) (

) (

)

82 83


Capture 2.1 : Dans le mode Principale, posons les coordonnes des points en question.

Capture 2.2 : notons quil est possible de calculer les coordonnes dun milieu, implement via la formule combinant les coordonnes des extrmits.

Capture 2.3 : par lecture de la figure, on retrouve rapidement les coordonnes des centres. La fonction simplify() permet directement davoir la forme simplifie dun calcul

On trouve ainsi :

(

) (

) (

) (

)

84


Capture 2.4 : On trouve directement que les diagonales se coupent en leur milieu. Ce qui confirme le centre de symtrie de la figure de dpart. Notre quadrilatre est un paralllogramme.

Capture 2.5 : les diagonales ont la mme longueur. Ainsi, nous avons la preuve que ce paralllogramme est un losange.

Capture 2.6 : comme les diagonales sont perpendiculaires (le produit scalaire nous le confirme), ce losange est bien un carr.

Ainsi, pour notre questionnement 1, nous avons la preuve que si M est mobile sur [AB], les centres des carrs dfinis forment un carr.

84 85

Calcul de laire du carr KLNO


Capture 2.7 : le calcul des coordonnes du vecteur permet de trouver laire du carr :

Capture 2.8 : un travail rapide sur la drive de laire en fonction de x permet de savoir que la surface minimale sera trouve lorsque le point M se situe la moiti du segment [AB]

Capture 2.9 : un retour dans le mode dynamique permet de vrifier via les longueurs prsentes sur la figure les calculs prcdents. Il est possible de travailler directement avec des expressions mathmatiques sur la figure :

O, @2 reprsente la longueur de AM soit x.

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Thorme de Thbault, questionnement 2

De la gomtrie dynamique la dmonstration

La mthode reste la mme que pour le cas particulier, nous allons dans un premier temps faire la construction de la figure puis vrifier que les centres forment un carr. Enfin, une dmonstration simpose.

Mode dynamique


Capture 3.1 : commenons par dessiner un paralllogramme (directement via le menu). Puis, pour dessiner rapidement un carr, nous pouvons utiliser la rotation.

Capture 3.2 : un travail rapide sur la drive de laire en fonction de x permet de savoir que la surface minimale sera trouve lorsque le point M se situe la moiti du segment [AB].

Capture 3.3 : les centres se dessinent rapidement en dfinissant les milieux dune des diagonales pour chaque carr.

86 87

Capture 3.4

Capture 3.4 : la possibilit de dplacer le paralllogramme ABCD initialement dessin permet rapidement de conjecturer sur la nature de ce quadrilatre EFGH.

Dmonstration :

Capture 3.5

Une dmonstration rapide peut-tre propose suivant le mme schma que prcdemment. La mise en place dun paralllogramme ABCD permet de dfinir un repre non orthogonal dorigine A tel que :

(

) (

) (

) (

)

O m et n reprsentent les dimensions du paralllogramme.

88


Capture 3.6 : le fait dutiliser un repre non orthogonal permet davoir des coordonnes simples. (Notons que la lettre F est affecte dans la calculatrice, du coup, le point F sera nomm F1). Ainsi :

(

) (

) (

) (

)

Capture 3.7 : A nouveau on trouve que le quadrilatre EFGH est un carr car, ses diagonales ont la mme longueur, se coupent en leur milieu et forment un angle droit.

Capture 3.8 : pour aller plus loin !

88 89

Thorme de Thbault, pour aller plus loin

Des axes explorer.

Un repre orthonorm ?

La dmonstration via un repre non orthogonal nest pas des plus utilisables en classe et pourtant, ses avantages dun point de vue de vitesse de calculs ne sont pas dmontrer.

Pour obtenir un travail classique, il suffit de travailler dans un repre orthonorm tel que :

(

) (

) (

) (

)

Avec h : hauteur du paralllogramme ABCD b : longueur de la base AD

: angle entre les deux cts [AB] et [AD]

Laire du carr ?

La dmonstration analytique napporte pas forcment un axe gomtrique ces questionnements .

Quen est-il de laire du carr en fonction de la figure de dpart ? Navons-nous pas perdu de vue lessentiel ?

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Notes personnelles

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Septembre 2013

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