MATHMATIQUES Licence 1 l CAPES TOUT LE COURS EN FICHES

MATHMATIQUES Licence 1 l CAPES TOUT LE COURS EN FICHES

Claire DavidMatre de confrences lUPMC (universit Pierre-et-Marie-Curie), Paris

Sami MustaphaProfesseur lUPMC (universit Pierre-et-Marie-Curie), Paris

Illustration de couverture : delabo - Fotolia.com

Dunod, 2014

5 rue Laromiguire, 75005 Pariswww.dunod.com

ISBN 978-2-10-059992-9

Table des matires

Avant-propos X

Comment utiliser cet ouvrage ? XII

Partie 1Calculus

Nombres rels 1

Fiche 1 Les ensembles de nombres 2Fiche 2 Intervalles, voisinages, bornes 6

Limites 8Fiche 3 Limite dune fonction en un point 8

Fiche 4 Limite dune fonction en + ou 12Fiche 5 Proprits des limites Oprations sur les limites 14

Fiche 6 Notations de Landau 16Fonctions numriques 18

Fiche 7 Domaine de dnition dune fonction, graphe 18Focus La construction de lensemble des rels : les coupures de Dedekind 21Fiche 8 Comment dnir une fonction ? 22Fiche 9 Majorations et minorations 24

Fiche 10 Fonctions monotones 26

Fiche 11 Parit, imparit 28Fiche 12 Symtries 30

Fiche 13 Fonctions priodiques 32Fonctions usuelles 33

Fiche 14 Fonctions puissances entires 33Fiche 15 Fonctions polynmes et fonction valeur absolue 35

Focus John Napier et les tables logarithmiques 38Fiche 16 La fonction logarithme nprien 39

Fiche 17 La fonction exponentielle 41Fiche 18 Fonctions puissances non entires 43

Focus Leibniz et la fonction exponentielle 44Fiche 19 Fonctions circulaires 45

Fiche 20 Fonctions hyperboliques 47

Focus Lorigine de la trigonomtrie 49Continuit 51

Fiche 21 Continuit dune fonction en un point 51Fiche 22 Fonctions continues sur un intervalle 55

Drivabilit 58Fiche 23 Drivabilit en un point 58

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Fiche 24 Drivabilit sur un intervalle 61Fiche 25 Drives successives 65Fiche 26 Thorme des accroissements nis et thorme de Rolle 67Fiche 27 Formule de Taylor-Lagrange 71Fonctions rciproques 72Fiche 28 Fonctions rciproques 72Fiche 29 Les fonctions trigonomtriques inverses 75Fiche 30 Les fonctions hyperboliques inverses 79Dveloppements limits 81Fiche 31 Dveloppements limits 81Fiche 32 Formule de Taylor-Young 84Fiche 33 Dveloppements limits usuels 89Fiche 34 Oprations algbriques et composition des dveloppements

limits 92Dveloppements asymptotiques 95Fiche 35 Dveloppements asymptotiques 95Convexit 96Fiche 36 Convexit 96quations diffrentielles linaires du 1er ordre 100Fiche 37 quations diffrentielles linaires du 1er ordre homognes 100Fiche 38 quations diffrentielles linaires du 1er ordre avec second

membre 103Fonctions de plusieurs variables 111Fiche 39 Topologie 111Fiche 40 Fonctions de plusieurs variables 117Fiche 41 Les systmes de coordonnes usuelles 119Fiche 42 Limites, continuit et drivation 121Exercices 129Corrigs 133

Partie 2Algbre

Le plan complexe Les nombres complexes 161Focus Les nombres complexes 162Fiche 43 Le corps des nombres complexes 164Fiche 44 Reprsentation gomtrique des nombres complexes 167Fiche 45 Inversion des nombres complexes 170Fiche 46 Proprits fondamentales des nombres complexes 172Fiche 47 Complment : les polynmes de Tchebychev 174Fiche 48 Racines nie`mes de lunit, racines nie`mes complexes 177Fiche 49 Factorisation des polynmes dans le corps C 180Fiche 50 Fractions rationnelles et dcomposition en lments simples 185

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Fiche 51 Transformations du plan : translations, homothties 196

Fiche 52 Transformations du plan : rotations 198

Fiche 53 Transformations du plan : similitudes 200

Focus Transformations complexes, fractales, et reprsentationsde la nature 204

Matrices 206

Fiche 54 Matrices de taille 2 2 206Fiche 55 Dterminant de matrices de taille 2 2 208Fiche 56 Matrices de taille 3 3 210Fiche 57 Dterminant de matrices de taille 3 3 213Fiche 58 Matrices de taille m n 216Fiche 59 Oprations sur les matrices 218

Fiche 60 Matrices remarquables 220

Fiche 61 Introduction aux dterminants de matrices de taille n n 224Fiche 62 Inversion des matrices carres 226

Focus Lorigine des matrices 230

Focus Les matrices et leurs applications 232

Fiche 63 Systmes linaires 234

Fiche 64 Vecteurs 238

Fiche 65 Barycentres 242

Fiche 66 Droites, plans 246

Fiche 67 Produit scalaire 249

Focus Produit scalaire, espaces fonctionnels et calcul numrique 253

Fiche 68 Produit vectoriel 254

Fiche 69 Aires et volumes 256

Focus Gomtrie euclidienne ou non ? Encore des matrices ! 258

Transformations linaires du plan 260

Fiche 70 Bases et transformations linaires du plan 260

Fiche 71 Changement de base en dimension 2, et dterminantdune application linaire 264

Fiche 72 Conjugaison Matrices semblables de taille 2 2 266Fiche 73 Oprateurs orthogonaux en dimension 2 268

Fiche 74 Rotations vectorielles du plan 270

Transformations linaires de lespace 273

Fiche 75 Bases de lespace R3 273

Fiche 76 Transformations linaires de lespace R3 274

Fiche 77 Changement de base en dimension 3 278

Fiche 78 Conjugaison Matrices semblables de taille 3 3 280Fiche 79 Oprateurs orthogonaux de lespace R3 282

Fiche 80 Rotations vectorielles de lespace R3 284

Lespace Rn 286

Fiche 81 Vecteurs en dimension n, n 2 286D

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Fiche 82 Espace engendr par une famille de vecteurs Sous-espacesvectoriels de Rn 288

Fiche 83 Transformations linaires de lespace Rn 291Fiche 84 Changement de base 295Fiche 85 Conjugaison Matrices semblables de taille n n 297Fiche 86 Rduction des matrices carres 299Focus Groupe spcial orthogonal et cristallographie 303Focus Diagonalisation La toupie de Lagrange (et de Michle Audin) 305Espaces vectoriels 306Fiche 87 Les espaces vectoriels 306Fiche 88 Sous-espaces vectoriels 310Fiche 89 Somme de sous-espaces vectoriels 312Fiche 90 Projecteurs, symtries 313Exercices 315Corrigs 323

Partie 3Analyse

Suites 367Fiche 91 Quest-ce quune suite ? Lespace des suites et oprations

sur les suites 368Fiche 92 Les diffrents types de suites 371Focus Suites arithmtico-gomtriques et nance 376Fiche 93 tude dune suite 377Fiche 94 Majorants, minorants dune suite relle Croissance

et dcroissance 380Fiche 95 Techniques dtude des suites relles 382Fiche 96 Convergence 384Fiche 97 Convergence des suites monotones 387Fiche 98 Oprations sur les limites de suites 389Fiche 99 Convergence des suites homographiques relles 392Fiche 100 Suites extraites 397Fiche 101 Suites de Cauchy 399Fiche 102 Comparaison des suites relles 401Focus Suites et systmes dynamiques Lattracteur de Hnon 405Intgrales 406Fiche 103 Quest-ce quune intgrale ? 406Fiche 104 Intgrale dune fonction en escaliers 408Fiche 105 Intgrale dune fonction continue par morceaux 413Fiche 106 Calcul intgral 419Fiche 107 Primitives de fractions rationnelles 425Fiche 108 Calcul approch dintgrales 427

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Table

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Focus Intgrale de Riemann vs intgrale de Lebesgue 434Exercices 436Corrigs 442Annexes Formulaire de trigonomtrie 470

Drives usuelles 472Drives des fonctions rciproques usuelles 473Primitives usuelles 474Limites usuelles des fonctions puissances 475Rang dune matrice 476

Bibliographie 477

Index 479

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Avant-propos

Cet ouvrage est destin aux tudiants du cycle L1 des lires universitaires scienti-ques, ou des classes prparatoires. Il se base sur nos cours donns en premire anne deLicence lUPMC (universit Pierre et Marie Curie).

Face aux demandes croissantes de nos tudiants, qui recherchaient un ouvrage de rf-rence complet mais abordable, ainsi que des exercices dapplication corrigs, nous noussommes lancs dans la conception de ce livre qui, nous lesprons, sera un outil utilepour les gnrations dtudiants venir.

Cet ouvrage est donc le fruit dun compromis : dans ce volume condens, nous avonsessay de donner susamment dlments recouvrant lensemble des mathmatiquesde premire anne. Cet ouvrage correspond aussi larrive des nouveaux programmesuniversitaires et des classes prparatoires. Pour mieux assurer la jonction avec les ma-thmatiques enseignes au lyce, nous avons opt, pour la premire partie danalyse,relative ltude des fonctions, une prsentation de type Calculus , inspire delesprit des textbooks anglo-saxons, qui permet daborder plus facilement le restedu programme, plus classique , sur les suites et le calcul intgral. Pour lalgbre, laprsentation reprend celle de louvrage Calcul Vectoriel (Collection Sciences Sup), enallant un peu plus loin : Rn, rduction, espaces vectoriels.

Malgr tout le soin apport la rdaction, nous demandons lindulgence du lecteurpour les ventuelles imperfections qui pourraient subsister ; quil nhsite pas nous lessignaler.

Claire DavidClaire.David@upmc.fr

Sami Mustaphasam@math.jussieu.fr

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posRemerciements

Nous remercions vivement toutes les personnes dont la relecture et les remarques ontcontribu amliorer la version initiale du manuscrit :les membres du comit de lecture, pour leur relecture extrmement minutieuse et leursremarques trs pertinentes ; Sylvie Benzoni, Universit Claude Bernard Lyon 1, Institut Camille Jordan. Laurent Di Menza, Universit de Reims, Laboratoire de Mathmatiques de Reims

(LMR). Jean-Pierre Escoer, Universit de Rennes, Institut Mathmatique de Rennes. Sandrine Gachet, Professeur de Mathmatiques, Lyce Gustave Eiel, Dijon. Chlo Mullaert, Professeur de Mathmatiques, Lyce Paul Valry, Paris. Laure Quivy, ENS Cachan et Universit Paris XIII, Centre de Mathmatiques et leurs

applications (CMLA). Lamia Attouche, tudiante lUPMC, Paris. Alexis Prel, tudiant lUPMC, Paris.mais aussi Albert Cohen, Ramona Anton, Sylvie Delabrire, Patrick Polo, AdnneBenabdesselem, Matthieu Solnon, Eugnie Poulon, Daniel Hoehener, Julien Piera Vest.

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Comment utiliser cet ouvrage?

Un dcoupageen trois grandes parties :

Calculus, Algbre, Analyse

110 ches de cours

Les notions essentielles du cours

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1 Les ensembles de nombres

Un ensemble E est une collection dobjets, qui constituent les lments de len-semble. Le nombre dlments de lensemble peut tre ni, ou inni.

1. Notation

Pour dcrire lensemble, on utilise des accolades, lintrieur desquelles on crit leslments de lensemble.

Suivant les cas, on peut, simplement, placer, lintrieur des accolades, la liste des l-ments de lensemble ; ainsi, dans le cas dun ensemble E avec un nombre ni dlmentse1, . . ., en, o n est un nombre entier positif, on crit :

E = {e1, . . . , en}ou bien, dans le cas dun ensemble dlments vriant une proprit donne P, on crit

E = x P(x) ou encore {x, P(x)}ce qui dsigne ainsi lensemble des lments x tels que la proprit P soit vrie pour x.

Exemples

1. {1, 2, 3, 4} est un ensemble. Ses lments sont les nombres 1, 2, 3 et 4.2. {3, 4, 5, 6, , . . .} est un ensemble. Ses lments sont les nombres entiers suprieurs ou gaux

3.

3. x {1, 2, 3, 4, 5, 6} x est impair = {1, 3, 5}.

Les entiers naturels

Lensemble des entiers naturels, cest--dire des entiers positifs ou nuls, est notN :N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .}

Les nombres pairs

Lensemble des entiers naturels pairs est not 2N :2N = {0, 2, 4, 6, . . .} = {2 n, n N}

kN, k Ntant donn un entier naturel non nul k, kN dsigne lensemble des entiers naturelsmutiples de k :

kN = {k n, n N}Les entiers relatifs

Lensemble des entiers relatifs, cest--dire des entiers qui sont soit positifs ou nuls, soitngatifs ou nuls, est not Z :

Z = {. . . ,5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .}

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Z, Rtant donn un rel non nul , Z dsigne lensemble des rels de la forme k, o k estun entier :

Z = { k, k Z}Exemple

2 Z = {2 k , k Z}.

Les nombres rationnels

Lensemble des nombres rationnels, cest--dire de la forme pq, o p et q sont deux

entiers relatifs, avec q 0, est not Q.

Les nombres rels

Lensemble des nombres rels est not R.

R

Lensemble R{,+} est not R (cest ce que lon appelle la droite relle acheve,ou encore, ladhrence de R)

La notation

Lorsque lon crit lun des ensembles prcdents avec lexposant , cela signie quelon exclut 0 ; ainsi, N dsigne lensemble des entiers naturels non nuls ; Z dsignelensemble des entiers relatifs non nuls ; etc.

La notation +

Lorsque lon crit lun des ensembles prcdents avec lexposant + , cela signie quelon ne considre que les nombres positifs de cet ensemble ; ainsi, Z+ (qui est aussi gal N), dsigne lensemble des entiers positifs ou nuls ; R+ dsigne lensemble des relspositifs ou nuls ; etc.

La notation Lorsque lon crit lun des ensembles prcdents avec lexposant , cela signie quelon ne considre que les nombres ngatifs de cet ensemble ; ainsi, Z (qui est aussi gal N), dsigne lensemble des entiers ngatifs ou nuls ; R dsigne lensemble des relspositifs ou nuls ; etc.

La notation +

Lorsque lon crit lun des ensembles prcdents avec lexposant + , cela signie quelon ne considre que les nombres strictement positifs de cet ensemble ; ainsi, Z+ (quiest aussi gal N ), dsigne lensemble des entiers strictement positifs ; R+ dsignelensemble des rels strictement positifs ; etc.

La notation Lorsque lon crit lun des ensembles prcdents avec lexposant , cela signie quelon ne considre que les nombres strictement positifs de cet ensemble ; ainsi, Z (quiest aussi gal N ), dsigne lensemble des entiers strictement ngatifs ; R dsignelensemble des rels strictement ngatifs ; etc.

On a : N Z Q R Dun

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Un repragefacile

Les chessontregroupespar thme

De trsnombreuxexemples

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Des exercices corrigs pour sentraner

Des focuspour dcouvrirdes applicationsdes mathmatiquesou approfondir un point du cours

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Calculus

Part

ie 1Introduction

Aprs de brefs rappels sur les ensembles de nombres, nous prsen-tons, dans ce qui suit, les notions danalyse indispensables ltudedes fonctions : ltude des limites ; des gnralits sur les fonctions nu-mriques et les fonctions usuelles. Nous passons ensuite, naturellem-ment, ltude de la continuit, puis de la drivabilit. Nous introdui-sons alors les fonctions rciproques. Puis, nous passons ltude desdveloppements limits, et aux quations diffrentielles. Enn, nousintroduisons brivement les fonctions de deux et trois variables.

Dans ce cours, certains rsultats, dont la dmonstration nest pas consi-dre comme indispensable lapprentissage des techniques de base,sont admis.

PlanNombres rels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Fonctions numriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Focus : La construction de lensemble des rels :

les coupures de Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Fonctions usuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33Focus : John Napier et les tables logarithmiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Focus : Leibniz et la fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Focus : Lorigine de la trigonomtrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49Continuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Drivabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58Fonctions rciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Dveloppements limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81Dveloppements asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95Convexit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96quations diffrentielles linaires du 1er ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100Fonctions de plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .129Corrigs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

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1 Les ensembles de nombres

Un ensemble E est une collection dobjets, qui constituent les lments de len-semble. Le nombre dlments de lensemble peut tre ni, ou inni.

1. Notation

Pour dcrire lensemble, on utilise des accolades, lintrieur desquelles on crit leslments de lensemble.

Suivant les cas, on peut, simplement, placer, lintrieur des accolades, la liste des l-ments de lensemble ; ainsi, dans le cas dun ensemble E avec un nombre ni dlmentse1, . . ., en, o n est un nombre entier positif, on crit :

E = {e1, . . . , en}ou bien, dans le cas dun ensemble dlments vriant une proprit donne P, on crit

E ={x

P(x)}

ou encore {x, P(x)} ou encore {x ; P(x)}ce qui dsigne ainsi lensemble des lments x tels que la proprit P soit vrie pour x.

Exemples

1. {1, 2, 3, 4} est un ensemble. Ses lments sont les nombres 1, 2, 3 et 4.2. {3, 4, 5, 6, , . . .} est un ensemble. Ses lments sont les nombres entiers suprieurs ou gaux

3.

3.{x {1, 2, 3, 4, 5, 6}

x est impair}= {1, 3, 5}.

Les entiers naturelsLensemble des entiers naturels, cest--dire des entiers positifs ou nuls, est not N :

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .} Les nombres pairsLensemble des entiers naturels pairs est not 2N :

2N = {0, 2, 4, 6, . . .} = {2 n, n N} kN, k Ntant donn un entier naturel k, kN dsigne lensemble des entiers naturels mutiples dek :

kN = {k n, n N} Les entiers relatifsLensemble des entiers relatifs, cest--dire des entiers qui sont soit positifs ou nuls, oungatifs ou nuls, est not Z :

Z = {. . . ,5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .}

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Z, Rtant donn un rel , Z dsigne lensemble des rels de la forme k, o k est unentier :

Z = { k, k Z}Exemple

2 Z = {2 k , k Z}. Les nombres rationnelsLensemble des nombres rationnels, cest--dire de la forme p

q, o p et q sont deux

entiers relatifs, avec q 0, est not Q. Les nombres relsLensemble des nombres rels est not R.

RLensemble R{,+} est not R (cest ce que lon appelle la droite relle acheve ,ou encore, ladhrence de R) La notation Lorsque lon crit lun des ensembles prcdents avec lexposant , cela signie quelon exclut 0 ; ainsi, N dsigne lensemble des entiers naturels non nuls ; Z dsignelensemble des entiers relatifs non nuls ; etc. La notation + Lorsque lon crit lun des ensembles prcdents avec lexposant + , cela signie quelon ne considre que les nombres positifs de cet ensemble ; ainsi, Z+ (qui est aussi gal N), dsigne lensemble des entiers positifs ou nuls ; R+ dsigne lensemble des relspositifs ou nuls ; etc. La notation Lorsque lon crit lun des ensembles prcdents avec lexposant , cela signie quelon ne considre que les nombres ngatifs de cet ensemble ; ainsi, Z (qui est aussi gal N), dsigne lensemble des entiers ngatifs ou nuls ; R dsigne lensemble des relspositifs ou nuls ; etc. La notation + Lorsque lon crit lun des ensembles prcdents avec lexposant + , cela signie quelon ne considre que les nombres strictement positifs de cet ensemble ; ainsi, Z+ (quiest aussi gal N), dsigne lensemble des entiers strictement positifs ; R+ dsignelensemble des rels strictement positifs ; etc. La notation Lorsque lon crit lun des ensembles prcdents avec lexposant , cela signie quelon ne considre que les nombres strictement positifs de cet ensemble ; ainsi, Z (quiest aussi gal N), dsigne lensemble des entiers strictement ngatifs ; R dsignelensemble des rels strictement ngatifs ; etc.

On a : N Z Q Ro le symbole signie inclus dans .

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2. Les ensembles Ensemble videUn ensemble ne contenant aucun lment est appel ensemble vide, et not .

Exemple{n 3N, n pair} ne contient aucun nombre : cest lensemble vide.

Intersection densemblestant donns deux ensembles E1 et E2, leur intersection, note E1 E2, est lensembledes lments qui appartiennent la fois E1 et E2 :

E1 E2 = {x, x E1 et x E2} Union densemblestant donns deux ensembles E1 et E2, leur union, note E1 E2, est lensemble deslments qui appartiennent E1, ou E2 :

E1 E2 = {x, x E1 ou x E2} Diffrence de deux ensemblestant donns deux ensembles E1 et E2, leur dirence, note E1 \E2, est lensemble E1priv de E2 :

E1 \ E2 = {x, x E1 et x E2}

Exemples

1. R \ {1, 2} est lensemble des rels dirents de 1 et de 2.2. R \ Z est lensemble des rels qui ne sont pas multiples de .

Complmentaire dun ensembletant donns deux ensembles E1 et E2 tels que E2 soit inclus dans E1 (que lon critE2 E1), lensemble E1 \ E2 est le complmentaire de E2 dans E1, not E1 E2 :

E1 E2 = E1 \ E2

ExempleR {0} = R

Produit cartsien de deux ensemblestant donns deux ensembles E1 et E2, leur produit cartsien, not E1 E2, est len-semble des couples dlments de la forme (x1, x2), o le premier lment x1 appartient E1, et le second, x2, E2 :

E1 E2 = {(x1, x2) , x1 E1 et x2 E2}

Exemples

1. R2 = {(x1, x2) , x1 R et x2 R} est lensemble des couples de rels.2. N2 = {(n1, n2) , n1 N et n2 N} est lensemble des couples dentiers naturels.

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Produit cartsien de trois ensemblestant donns trois ensembles E1, E2 et E3, leur produit cartsien, not E1 E2 E3,est lensemble des triplets dlments de la forme (x1, x2, x3), o le premier lment x1appartient E1, le second, x2, E2, et le troisime, x3, E3 :

E1 E2 E3 = {(x1, x2, x3) , x1 E1, x2 E2 et x3 E3} Produit cartsien de n ensembles, n N, n 2tant donns un entier naturel n 2, et n ensembles E1, . . ., En, leur produit cartsien,not E1 . . . En, est lensemble des nuplets dlments de la forme (x1, . . . , xn), ox1 E1, . . ., xn En :

E1 . . . En = {(x1, . . . , xn) , x1 E1, . . . , xn En} Applicationtant donns deux ensembles E et F, une application de E dans F associe, chaquelment de E, un et un seul lment de F. E est lensemble de dpart, F, celui darrive.

Pour tout lment x de E, lunique lment de F ainsi mis en relation avec x parlapplication est not (x), et appel image de x. x est un antcdent de (x). On crit :

: E Fx (x)

Exemples

1. : N N

x xest une application de N dans N, appele application identit de N.

2. : Q Q

x 2 xest une application de Q dans Q.

Fonctiontant donns deux ensembles de nombres E et F, une fonction f de E dans F associe, chaque lment x de E, au plus un lment de F appel alors image de x par f (cequi signie donc que tous les lments de E nont pas ncessairement une image par f ).E est lensemble de dpart, F, celui darrive. Lensemble des lments de E possdantune image par f est appel domaine de dnition de f , et notD f . Elle permet de dnirune application de D f dans F.

Exemple f : R Rx 1

1 xest une fonction de R dans R, dont le domaine de dnition est R \ {1}. Elle permet de dnirune application de R \ {1} dans R.

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2 Intervalles, voisinages, bornes

Lensemble des nombres rels est habituellement reprsent sous la forme dune droitegradue, appele droite des rels, o il faut pouvoir se reprer. cet eet, on introduitles notions dintervalle et de voisinage dun point.

0 1 23

2

12

2

Figure 2.1 La droite des rels.

1. Intervalles Intervalle ferm et born (ou segment)On appelle intervalle ferm et born (ou segment) tout ensemble de la forme

[a, b] = {x R, a x b} , (a, b) R2, a b Intervalle ouvertOn appelle intervalle ouvert tout ensemble de la forme

]a, b[= {x R, a < x < b} , (a, b) R2, a < bou ] , b[= {x R, x < b} , b Rou encore ]a,+[= {x R, a < x} , a Ro R2 = R R est lensemble des couples de rels. Intervalle ouvert et bornOn appelle intervalle ouvert et born tout ensemble de la forme

]a, b[= {x R, a < x < b} , (a, b) R2, a < b Intervalle semi-ouvert et bornOn appelle intervalle semi-ouvert et born tout ensemble de la forme

[a, b[= {x R, a x < b} , (a, b) R2, a < bou ]a, b] = {x R, a < x b} , (a, b) R2, a < b Intervalle fermPar convention, tout ensemble de la forme

[a,+[= {x R, x a} , a Rou ] , b] = {x R, x b} , b Rest considr comme tant un intervalle ferm. Ensemble videLensemble, not , qui ne contient aucun nombre rel, est aussi un intervalle, appelensemble vide. SingletonOn appelle singleton un ensemble ne contenant quun seul lment, et qui est donc de laforme {a}, o a est un nombre rel.6

ch

e2

Nom

bre

sr

els

IntervalleOn appelle intervalle de R lun des ensembles dnis ci-dessus, ou bien R tout entier.

Un singleton est un intervalle ferm (le singleton {a} est donc assimil lintervalle ferm[a, a]).

Adhrence dun intervalleSoit I un intervalle de R. Son adhrence I est lensemble tel que : si I est un segment, alors I = I ; si I est de la forme ]a, b[ ou ]a, b] ou [a, b[, (a, b) R2, alors I = [a, b] ; si I est de la forme ]a,+[ ou [a,+[, a R, alors I = [a,+[ {+} ; si I est de la forme ] , a[ ou ] , a], a R, alors I =] , a] {} ; si I lensemble vide , alors I = .

2. Voisinage Voisinage dun pointOn appelle voisinage dun point a de R un sous-ensemble de R contenant un intervalleouvert de la forme ]a , a + [, o est un rel strictement positif et tel que < a.

On peut tendre la notion de voisinage + ou ; ainsi, un voisinage de + est une partiedeR contenant un intervalle ouvert de la forme ]x0,+[, o x0 est un nombre rel quelconque.De mme, un voisinage de est une partie de R contenant un intervalle ouvert de la forme] , x0[, o x0 est un nombre rel quelconque.

3. Les intervalles de R

Dans ce qui suit, a, b, x0 sont des rels tels que a < b. Le tableau suivant reprend lesdirents types dintervalles de R.

[a, b] Segment

]a, b[ Intervalle ouvert et born

]a, b] Intervalle semi-ouvert et born (ouvert gauche, ferm droite)

[a, b[ Intervalle semi-ouvert et born (ferm gauche, ouvert droite)

Ensemble vide

{a} Singleton

]x0, +[ Voisinage de +

[x0, +[

] , x0[ Voisinage de

] , x0]

] , +[ R tout entier

D

unod

.Toute

repr

oduc

tion

non

auto

rise

estu

nd

lit.

Anal

yse

Cal

culu

sAlg

bre

7

che

3 Limite dune fonction en un point

1. Limite nie dune fonction en un point

Soient f une fonction dnie sur un intervalle I de R, valeurs dans R, a un point de I,et un rel.

On dit que f admet pour limite (nie) en a si, lorsque x devient trs proche de a,f (x) devient lui aussi trs proche de , ce qui se traduit mathmatiquement par le fait quepour tout rel strictement positif, il existe un rel strictement positif tel que :

x I, 0 < |x a| < | f (x) | < On crit : lim

xa f (x) = ou lima f = .Exemple

On considre la fonction qui, tout x de ] 1, 1[, associe 1 x2. Alors :

limx1

1 x2 = 0

Notation 0+

Soient f une fonction dnie sur un intervalle I de R, valeurs dans R, et a un pointde I.

On dit que f tend vers 0+ en a si, lorsque x devient trs proche de a, f (x) tend verszro, mais en restant positif, ce qui se traduit mathmatiquement par le fait que pour toutrel strictement positif, il existe un rel strictement positif tel que :

x I, 0 < |x a| < 0 f (x) < On crit : lim

xa f (x) = 0+ ou lim

af = 0+.

Lorsque + est une borne de I, on dit que f tend vers 0+ en + si, lorsque x devienttrs grand, f (x) tend vers zro, mais en restant positif, ce qui se traduit mathmatique-ment par le fait que pour tout rel strictement positif, il existe un rel A strictementpositif tel que :

x I, x > A 0 f (x) < On crit : lim

x+ f (x) = 0+ ou lim

+ f = 0+.

Lorsque est une borne de I, on dit que f tend vers 0+ en si, lorsque x devienttrs grand en valeur absolue, mais en restant valeurs ngatives, f (x) tend vers zro,mais en restant positif, ce qui se traduit mathmatiquement par le fait que pour tout rel strictement positif, il existe un rel A strictement positif tel que :

x I, x < A 0 f (x) < On crit : lim

x f (x) = 0+ ou lim f = 0

+.

8

ch

e3

Lim

ites

Exemple

limx0 x

2 = 0+

On utilisera aussi la notation 0+ pour indiquer que lon tend vers zro par valeurs suprieures.

Notation 0

Soient f une fonction dnie sur un intervalle I de R, valeurs dans R, et a un pointde I.

On dit que f tend vers 0 en a si, lorsque x devient trs proche de a, f (x) tend verszro, mais en restant ngatif, ce qui se traduit mathmatiquement par le fait que pourtout rel strictement positif, il existe un rel strictement positif tel que :

x I, 0 < |x a| < < f (x) 0On crit : lim

xa f (x) = 0 ou lim

af = 0.

Lorsque + est une borne de I, on dit que f tend vers 0 en + si, lorsque x devienttrs grand, f (x) tend vers zro, mais en restant ngatif, ce qui se traduit mathmatique-ment par le fait que pour tout rel strictement positif, il existe un rel A strictementpositif tel que :

x I, x > A < f (x) 0On crit : lim

x+ f (x) = 0 ou lim

+ f = 0.

Lorsque est une borne de I, on dit que f tend vers 0 en si, lorsque x devienttrs grand en valeur absolue, mais en restant valeurs ngatives, f (x) tend vers zro,mais en restant ngatif, ce qui se traduit mathmatiquement par le fait que pour tout rel strictement positif, il existe un rel A strictement positif tel que :

x I, x < A < f (x) 0On crit : lim

x f (x) = 0 ou lim f = 0

.

Exemple

limx0x4 = 0

On utilisera aussi la notation 0 pour indiquer que lon tend vers zro par valeurs infrieures.

Exemple

limx0

x3 = 0

Notation a+, a Ra tant un rel, la notation a+ signie que lon tend vers a par valeurs suprieures.

Notation a, a Ra tant un rel, la notation a signie que lon tend vers a par valeurs infrieures.D

unod

.Toute

repr

oduc

tion

non

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estu

nd

lit.

Anal

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Cal

culu

sAlg

bre

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2. Limite innie dune fonction en un point

Soient f une fonction dnie sur un intervalle I de R, valeurs dans R, et a un pointde I.

On dit que f admet pour limite plus linni (on note +) en a si, lorsque xdevient trs proche de a, f (x) devient trs grand, ce qui se traduit mathmatiquement parle fait que pour tout rel A strictement positif, il existe un rel strictement positif telque :

x I, 0 < |x a| < f (x) > AOn crit alors : lim

xa f (x) = + ou lima f (x) = +.On dit que f admet pour limite moins linni (on note ) en a si, lorsque

x devient trs proche de a, f (x) devient trs grand en valeur absolue, mais en tant valeurs ngatives, ce qui se traduit mathmatiquement par le fait que pour tout rel Astrictement positif, il existe un rel strictement positif tel que :

x I, 0 < |x a| < f (x) < AOn crit : lim

xa f (x) = ou lima f = .Exemple

limx1+

1x2 1

= +

3. Limite nie droite (ou par valeurs suprieures)

Soient f une fonction dnie sur un intervalle I de R, valeurs dans R, a un point de I,et un rel.

On dit que f admet pour limite (nie) droite en a (ou encore, par valeurs sup-rieures) si, lorsque x devient trs proche de a, en restant plus grand que a, f (x) devientlui aussi trs proche de , ce qui se traduit mathmatiquement par le fait que pour toutrel strictement positif, il existe un rel strictement positif tel que :

x I, 0 < x a < | f (x) | < On crit : lim

xa+ f (x) = ou lima+ f = .Exemple

limx1+

(2 +

x 1)= 2

4. Limite nie gauche (ou par valeurs infrieures)

Soient f une fonction dnie sur un intervalle I de R, valeurs dans R, a un point de I,et un rel.

On dit que f admet pour limite (nie) gauche en a (ou encore, par valeurs inf-rieures) si, lorsque x devient trs proche de a, en restant plus petit que a, f (x) devient luiaussi trs proche de , ce qui se traduit mathmatiquement par le fait que pour tout rel strictement positif, il existe un rel strictement positif tel que :

x I, < x a < 0 | f (x) | < On crit : lim

xa f (x) = ou lima f = .

10

ch

e3

Lim

ites

5. Limite innie droite (ou par valeurs suprieures)

Soient f une fonction dnie sur un intervalle I de R, valeurs dans R, et a un pointde I.

On dit que f admet pour limite + droite en a (ou encore, par valeurs suprieures)si, lorsque x devient trs proche de a, en restant plus grand que a, f (x) devient trs grand,ce qui se traduit mathmatiquement par le fait que pour tout rel A strictement positif, ilexiste un rel strictement positif tel que :

x I, 0 < x a < f (x) > AOn crit : lim

xa+ f (x) = + ou lima+ f = +.On dit que f admet pour limite droite en a (ou encore, par valeurs suprieures)

si, lorsque x devient trs proche de a, en restant plus grand que a, f (x) devient trs granden valeur absolue, mais en tant valeurs ngatives, ce qui se traduit mathmatiquementpar le fait que pour tout rel A strictement positif, il existe un rel strictement positiftel que :

x I, 0 < x a < f (x) < AOn crit : lim

xa+ f (x) = ou lima+ f = .

6. Limite innie gauche (ou par valeurs infrieures)

Soient f une fonction dnie sur un intervalle I de R, valeurs dans R, et a un pointde I.

On dit que f admet pour limite + gauche en a (ou encore, par valeurs infrieures)si, lorsque x devient trs proche de a, en restant plus grand que a, f (x) devient trs grand,ce qui se traduit mathmatiquement par le fait que pour tout rel A strictement positif, ilexiste un rel strictement positif tel que :

x I, < x a < 0 f (x) > AOn crit : lim

xa f (x) = + ou lima f = +.On dit que f admet pour limite gauche en a (ou encore, par valeurs infrieures)

si, lorsque x devient trs proche de a, en restant plus grand que a, f (x) devient trs granden valeur absolue, mais en tant valeurs ngatives, ce qui se traduit mathmatiquementpar le fait que pour tout rel A strictement positif, il existe un rel strictement positiftel que :

x I, < x a < 0 f (x) < AOn crit : lim

xa f (x) = + ou lima f = +.

D

unod

.Toute

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che

4 Limite dune fonction en + ou

1. Limite nie dune fonction en linni

Soient f une fonction dnie sur un intervalle de la forme [a,+[ de R, a R, et unrel.

On dit que f admet pour limite (nie) en plus linni (on note +) si, lorsquex devient trs grand, f (x) devient trs proche de , ce qui se traduit mathmatiquementpar le fait que pour tout rel strictement positif, il existe un rel seuil , A, strictementpositif tel que :

x [a,+[, x > A | f (x) | < On crit alors : lim

x+ f (x) = ou lim+ f = .Si f est dnie sur un intervalle de la forme ], a] de R, a R, et si dsigne encore

un rel, on dit que f admet pour limite (nie) en moins linni (on note ) si, lorsque x devient trs grand en valeur absolue, mais en tant valeurs ngatives, f (x)devient trs proche de , ce qui se traduit mathmatiquement par le fait que pour toutrel strictement positif, il existe un rel A, strictement positif tel que :

x ] , a], x < A | f (x) | < On crit alors : lim

x f (x) = ou lim f = .

Exemple

limx+

(1 1

x2 1

)= 1

2. Limite innie dune fonction en plus linni

Soit f une fonction dnie sur un intervalle de la forme [a,+[ de R, a R.On dit que f admet pour limite + en plus linni si, lorsque x devient trs

grand, f (x) devient lui aussi trs grand, ce qui se traduit mathmatiquement par le faitque pour tout rel B strictement positif, il existe un rel seuil , A, strictement positiftel que :

x [a,+[, x > A f (x) > BOn crit alors : lim

x+ f (x) = + ou lim+ f = +.On dit que f admet pour limite en plus linni si, lorsque x devient trs

grand, f (x) devient trs grand en valeur absolue, mais en tant valeurs ngatives, cequi se traduit mathmatiquement par le fait que pour tout rel B strictement positif, ilexiste un rel seuil , A, strictement positif tel que :

x [a,+[, x > A f (x) < BOn crit alors : lim

x+ f (x) = ou lim+ f = .

12

ch

e4

Lim

ites

3. Limite innie dune fonction en moins linni

Soit f une fonction dnie sur un intervalle de la forme ] , a] de R, a R.On dit que f admet pour limite + en moins linni si, lorsque x devient trs

grand en valeur absolue, mais en tant valeurs ngatives, f (x) devient lui aussi trsgrand, ce qui se traduit mathmatiquement par le fait que pour tout rel B strictementpositif, il existe un rel rel A, strictement positif tel que :

x ] , a], x < A f (x) > BOn crit alors : lim

x f (x) = + ou lim f = +.On dit que f admet pour limite en moins linni si, lorsque x devient trs

grand en valeur absolue, en tant ngatif, f (x) devient aussi trs grand en valeur absolue,en tant ngatif, ce qui se traduit mathmatiquement par le fait que pour tout rel Bstrictement positif, il existe un rel A, strictement positif tel que :

x ] , a], x < A f (x) < BOn crit alors : lim

x f (x) = ou lim f = .

4. Forme indtermine

On appelle forme indtermine une limite que lon ne sait pas dterminer ; cela cor-respond donc des quantits ne lon peut pas quantier de faon exacte, comme, parexemple, le quotient de + avec +.

D

unod

.Toute

repr

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lit.

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sAlg

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13

che

5Proprits des limitesOprations sur les limites

1. Proprits des limites Unicit de la limite

Soient f une fonction dnie sur un intervalle I de R, valeurs dans R, et a dans I. Si fpossde une limite en a, celle-ci est unique. Soient f une fonction dnie sur un intervalle I de R, valeurs dans R, a un point de

I, et dans R.Alors, si f est dnie dans un voisinage gauche de a, et dans un voisinage droitede a :

limxa f (x) = limxa+ f (x) = limxa f (x) =

Soient f une fonction dnie sur un intervalle I de R, valeurs dans R, et a dans I ; met M sont deux rels. Alors : si lim

xa f (x) < M, il existe un voisinage de a tel que, pour tout x de ce voisinage :f (x) < M

si limxa f (x) > m, il existe un voisinage de a tel que, pour tout x de ce voisinage :

f (x) > m Limites et comparaison

Soient f et g deux fonctions dnies sur un intervalle I de R, valeurs dans R, et a dansI ; m et M sont deux rels. Alors, si f et g ont des limites nies en a, et sil existe unvoisinage V de a tel que, pour tout x de ce voisinage,

f (x) g(x)on a : lim

xa f (x) limxa g(x) Limites et minoration

Soient f et g deux fonctions dnies sur un intervalle I de R, valeurs dans R, et adans I. Sil existe un voisinage de a tel que, pour tout x de ce voisinage,

f (x) g(x)et si, de plus, lim

xa g(x) = alors : lim

xa f (x) = Limites et majoration

Soient f et g deux fonctions dnies sur un intervalle I de R, valeurs dans R, et a dansI. Sil existe un voisinage de a tel que, pour tout x de ce voisinage, f (x) g(x), et silimxa g(x) = +, alors :

limxa f (x) = +

14

ch

e5

Lim

ites

Thorme des gendarmes

Soient f et g et h trois fonction dnies sur un intervalle I de R, valeurs dans R, et adans I ; est un rel. Sil existe un voisinage de a tel que, pour tout x de ce voisinage,f (x) h(x) g(x), et si, de plus, lim

xa f (x) = limxa g(x) = , alors : limxa h(x) =

2. Oprations sur les limites Limite dune somme de fonctionsSoient f et g deux fonctions dnies sur un intervalle I de R, valeurs dans R, et adans I ; et sont deux rels nis. Alors :

limxa f (x) limxa g(x) limxa

(f (x) + g(x)

) +

+ +

+ + + + Forme indtermine

Limite dun produit de fonctionsSoient f et g deux fonctions dnies sur un intervalle I de R, valeurs dans R, et adans I ; et sont deux rels. Alors :

limxa f (x) limxa g(x) limxa f (x) g(x)

, avec > 0 + +, avec > 0 , avec < 0 + , avec < 0 +

0 + Forme indtermine0 Forme indtermine

Limite dun quotient de fonctionsSoient f et g deux fonctions dnies sur un intervalle I de R, valeurs dans R, et adans I ; et sont deux rels. Alors :

limxa f (x) limxa g(x) limxa

f (x)g(x)

, avec 0

+ 0 0

, avec > 0 0+ +, avec > 0 0 , avec < 0 0+ , avec < 0 0 +

+ + Forme indtermine+ Forme indtermine + Forme indtermine Forme indtermineD

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oduc

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lit.

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6 Notations de Landau

1. Ngligeabilit

Soient f et g deux fonctions dnies sur un intervalle I de R, valeurs dans R, et adans I.On suppose que g ne sannule pas dans un voisinage de a. On dit que f est ngligeabledevant g au voisinage de a si

limxa

f (x)g(x) = 0

On note alorsf (x) =

xao (g(x)) ou f =

ao (g)

On dit que f est un petit o de g au voisinage de a.

La notation petit o , de mme que la notation grandO , qui sera vue plus loin, est appelenotation de Landau, en hommage au mathmaticien Edmund Landau1. Leur paternit estvisiblement assez controverse, et reviendrait, a priori, Paul Bachmann2.

Exemple

On considre les fonctions f et g dnies, pour tout rel x, parf (x) = x2 , g(x) = x4

Alors, comme limx+

f (x)g(x) = limx+

1x2= 0, on en dduit : f =

+o(g).

Pour traduire le fait quune fonction f possde une limite nulle en a, a R, ou, ventuelle-ment, a = + ou a = , on crit aussi :

f (x) =xa

o(1)

2. Domination

Soient f et g deux fonctions dnies sur un intervalle I de R, valeurs dans R, et adans I. On suppose que g ne sannule pas dans un voisinage de a, sans, pour autant,que g(a) soit non nul.

1. Edmund Georg Hermann Landau (1877-1938), mathmaticien allemand, spcialiste de thorie desnombres.2. Paul Bachmann (1837-1920), mathmaticien allemand lui aussi, et galement spcialiste de thorie desnombres.

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