Αθ.Κεχαγιαςusers.auth.gr/kehagiat/courses/math1book.pdfΑθ.Κεχαγιας...

Αθ.Κεχαγιας

Σηµειωσεις :Λογισµός Συναρτήσεων Μιας Μεταβλητήςµε παράρτηµα Αναλυτικής Γεωµετρίας

v. 0.86

Θ. Κεχαγιας

Απριλης 2010

Αθ.ΚεχαγιαςΠεριεχόµεναΠρολογος iii

Εισαγωγη v

1 Βασικες Συναρτησεις 11.1 Θεωρια . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Λυµενα Προβληµατα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Αλυτα Προβληµατα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Ορια και Συνεχεια 132.1 Θεωρια . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Λυµενα Προβληµατα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3 Αλυτα Προβληµατα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 Παραγωγοι και ∆ιαφορικα 243.1 Θεωρια . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2 Λυµενα Προβληµατα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3 Αλυτα Προβληµατα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4 Αοριστα Ολοκληρωµατα 334.1 Θεωρια . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.2 Λυµενα Προβληµατα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.3 Αλυτα Προβληµατα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5 Τεχνικες Ολοκληρωσης 395.1 Θεωρια . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.2 Λυµενα Προβληµατα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.3 Αλυτα Προβληµατα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6 Ορισµενα Ολοκληρωµατα και Εµβαδον 526.1 Θεωρια . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526.2 Λυµενα Προβληµατα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546.3 Αλυτα Προβληµατα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

i


ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ii

7 Μηκος Τοξου και Κεντρο Βαρους 677.1 Θεωρια . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677.2 Λυµενα Προβληµατα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687.3 Αλυτα Προβληµατα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

8 Στερεα εκ Περιστροφης 758.1 Θεωρια . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 758.2 Λυµενα Προβληµατα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778.3 Αλυτα Προβληµατα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

9 Παραµετρικες Καµπυλες 839.1 Θεωρια . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 839.2 Λυµενα Προβληµατα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 859.3 Αλυτα Προβληµατα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

10 Πολικες Συντεταγµενες 9110.1Θεωρια . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9110.2Λυµενα Προβληµατα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9310.3Αλυτα Προβληµατα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

11 Αριθµητικες Ακολουθιες και Σειρες 10111.1Θεωρια . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10111.2Λυµενα Προβληµατα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10411.3Αλυτα Προβληµατα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

12 Σειρες Taylor 11112.1Θεωρια . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11112.2Λυµενα Προβληµατα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11312.3Αλυτα Προβληµατα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

Α΄ Η Εκθετικη συναρτηση 123Α΄.1 Ορισµος και Ιδιοτητες της Εκθετικης Συναρτησης . . . . . . . . . . . . . 123

Β΄ Επιπεδα στον Τρισδιαστατο Χωρο 126Β΄.1 Θεωρια . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126Β΄.2 Λυµενα Προβληµατα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128Β΄.3 Αλυτα Προβληµατα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

Γ΄ Ευθειες στον Τρισδιαστατο Χωρο 145Γ΄.1 Θεωρια . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145Γ΄.2 Λυµενα Προβληµατα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147Γ΄.3 Αλυτα Προβληµατα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

∆΄ ∆ευτεροβαθµιες Επιφανειες 160∆΄.1 Θεωρια . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160∆΄.2 Λυµενα Προβληµατα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161∆΄.3 Αλυτα Προβληµατα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

Αθ.ΚεχαγιαςΠρολογοςΤο παρον τευχος περιεχει συντοµες σηµειωσεις ϑεωριας, λυµενες και αλυτες ασκησειςΛογισµου1 Συναρτησεων µιας Μεταβλητης. Το τευχος προοριζεται για χρηση απο τουςϕοιτητες της Πολυτεχνικης Σχολης του Αριστοτελειου Πανεπιστηµιου Θεσσαλονικης, ως

συµπληρωµα των διδακτικων ϐιβλιων που διανεµονται σε αυτους.Σε καθε τους ϕοιτητη που ϑα χρησιµοποιησει αυτο το τευχος (και γενικοτερα σε καθε

ϕοιτητη που µελετα τα µαθηµατικα) εχω να δωσω τρεις συµβουλες.

1. Λυσε οσο περισσοτερες ασκησεις µπορεις.

2. ∆ειξε εµπιστοσυνη.

3. Μην κανεις την Ϲωη σου πιο δυσκολη απ΄ οτι ειναι απολυτως απαραιτητο.

Πιο αναλυτικα, η πρωτη συµβουλη εχει το εξης νοηµα. Κατα τη γνωµη µου, για τουςπερισσοτερους απο εµας, ο µονος τροπος εξοικειωσης µε τα µαθηµατικα ειναι η επιλυσηασκησεων – οσο περισσοτερες ασκησεις τοσο καλυτερα. Συµφωνα µε αυτη την αποψ-η, στο παρον τευχος η ϑεωρια παρουσιαζεται σε µεγαλη συντοµια, αλλα υπαρχει µεγαλοςαριθµος λυµενων και αλυτων ασκησεων. Ο αναγνωστης πρεπει να χρησιµοποιησει τιςλυµενες ασκησεις ως ενα ενδιαµεσο ϐοηθηµα για την επιλυση των αλυτων ασκησεων. Μεαλλα λογια, αν ο αναγνωστης δεν λυσει ο ιδιος µεγαλο αριθµο των αλυτων ασκησεων δενϑα ωφεληθει ιδιαιτερα (δεν αρκει δηλ. να µελετησει τις ηδη λυµενες ασκησεις).

Η δευτερη συµβουλη σηµαινει οτι (παρα την εντυπωση καποιων ϕοιτητων) ο σκοπος τουδιδασκοντα δεν ειναι να κοψει οσο γινεται περισσοτερους ϕοιτητες ... συνηθως µαλισταειναι ακριβως το αντιθετο.

Το νοηµα της τριτης συµβουλης ειναι το εξης : οταν προσπαθεις να λυσεις µια ασκηση,ξεκινησε απο την απλουστερη δυνατη λυση που µπορεις να ϕανταστεις ... και µεταπροσπαθησε να απλοποιησεις αυτη την λυση. Αν η απλη λυση δεν δουλεψει, µπορειςπαντα να δοκιµασεις καποια πιο περιπλοκη. Ειναι δυσκολο, αφου εχεις δηµιουργησειενα περιπλοκο µοντελο στο µυαλο σου να αρχισεις να αφαιρεις απο αυτο ετσι ωστε να γινειαπλουστερο. Ειναι πολυ πιο ευκολο να αρχισεις µε λιγα συστατικα και να προσθετεις εναακοµα καθε ϕορα που το χρειαζεσαι.

Πρεπει να τονισω επισης οτι η εµφαση του τευχους ειναι σε υπολογιστικες και ο-χι σε αποδεικτικες ασκησεις. Οπου εµφανιζονται αποδειξεις ειναι διαισθητικες και οχιαυστηρες και χρησιµοποιουνται για να οξυνουν την διαισθηση και την κατανοηση του

1∆ηλ. παραγωγισης και ολοκληρωσης

iii


iv

αναγνωστη· ολες αυτες οι αποδειξεις µπορουν να γινουν αυστηρες, αλλα ϑεωρω οτι αυτοεκφευγει απο τους στοχους του παροντος τευχους.

Το τευχος δεν εχει παρει ακοµη την τελικη του µορφη. Ειναι πιθανον καποιες λυσειςκαι απαντησεις να περιεχουν λαθη. Καθως η διαδικασια της αποσφαλµατωσης ϑα εξελισ-σεται (και τα υπαρχοντα λαθη ϑα διορθωνονται) ϑα δηµοσιευω ϐελτιωµενες εκδοσεις. Ηπαρουσα εκδοση εχει τον κωδικο v.0.85 – δηλ., για να χρησιµοποιησω εναν ορο αναπ-τυξης λογισµικου, ειναι ακοµα σε µορφη beta. Εποµενες εκδοσεις ϑα χαρακτηριζονταιαπο µικροτερο αριθµο σφαλµατων και µεγαλυτερους κωδικους· η πρωτη ¨τελικη¨ εκδοσηϑα ειναι η v.1.00. Παντως ελπιζω (πιστευω) οτι η παρουσα µορφη ϑα αποδειχτει αρκεταχρησιµη στους ϕοιτητες.

Θανασης Κεχαγιας

Θεσσαλονικη, Σεπτεµβρης 2009

Αθ.ΚεχαγιαςΕισαγωγηΗ λεξη ¨Λογισµος¨ (στα Αγγλικα ¨Calculus¨) µπορει να εχει πολλες εννοιες, αλλα σταΜαθηµατικα η πιο συνηθισµενη χρηση της ειναι στην εκφραση ¨Λογισµος Συναρτησεωνµιας Μεταβλητης¨2 και ϐασικα σηµαινει παραγωγιση και ολοκληρωση µιας συναρτησης.

Και αυτο ειναι το αντικειµενο του παροντος τευχους. Ωστοσο, η ϐασικη ιδεα του Λογισµου(Συναρτησεων µιας Μεταβλητης) ειναι η χρηση του οριου µιας συναρτησης και µαλισταενας πολυ συγκεκριµενος τροπος χρησης : µας δινεται µια συναρτηση f (x) και µελετουµετην µεταβολη της συναρτησης ∆f = f (x+ ∆x)−f (x) οταν το x µεταβαλλεται και γινεται∆x· και επιπλεον µας ενδιαφερει η περιπτωση οπου το ∆x ειναι πολυ µικρο, τοσο µικροπου τεινει στο µηδεν. Η δε παραγωγιση και ολοκληρωση ειναι διαδικασιες που οριζονταιµεσω της εννοιας του οριου.

Αυτη η ϐασικη ιδεα ειναι πολυ χρησιµη σε διαφορα µαθηµατικα προβληµατα και η-ταν ηδη γνωστη (σε µια αρχικη µορφη) στους αρχαιους Ελληνες3. Οµως η συστηµατικηχρηση της καθιερωθηκε απο τους Ευρωπαιους µαθηµατικους του 17ου αιωνα. Επιπλεον,οι µαθηµατικοι αυτοι ανεπτυξαν µεθοδους που επιτρεπουν την χρηση των οριων σε πολλαδιαφορετικα προβληµατα µε εναν ενοποιηµενο και σχεδον µηχανικο τροπο. Με χρηση τωνµεθοδων αυτων µπορουµε πλεον να λυνουµε µε τυποποιηµενο και ευκολο τροπο προβ-ληµατα (π.χ. υπολογισµο εµβαδων, µεγιστοποιηση και ελαχιστοποιηση συναρτησεων) ταοποια (πριν την αναπτυξη του Λογισµου) δυσκολεψαν µερικους απο τους µεγαλυτερουςµαθηµατικους της ανθρωποτητας.

Με αυτη λοιπον την ιστορια ϑα ασχοληθουµε στο παρον τευχος. Με τον ορο ¨συναρτησηµιας µεταβλητης¨ εννοουµε µια συναρτηση f (x) µε πεδιο ορισµου και πεδιο τιµων τοσυνολο των πραγµατικων αριθµων: f : R → R. Ο Λογισµος των Συναρτησεων µιαςΜεταβλητης ειναι η µελετη µεθοδων παραγωγισης και ολοκληρωσης τετοιων συναρτη-σεων καθως και σχετικες εφαρµογες. Επισης σηµαντικη ειναι η µελετη της αναπτυξηςσυναρτησεων σε δυναµοσειρες.

Θα χρησιµοποιησουµε τον τυπικο µαθηµατικο συµβολισµο, ο οποοιος σας ειναι γνω-στος απο το Λυκειο. Σηµειωνουµε ιδιατερα τα εξης.

1. Η τετραγωνικη ϱιζα του −1 συµβολιζεται µε i:√−1 = i, i2 = −1.

2. Το συνολο των πραγµατικων αριθµων συµβολιζεται µε R και αυτο των µιγαδικωναριθµων µε C.

3. Ο συµβολισµος αθροισµατος ειναι :∑N

n=1 an = a1 + a2 + ...+ aN .

2Και η δευτερη πιο συνηθισµενη στην εκφραση ¨Λογισµος Συναρτησεων Πολλων Μεταβλητων¨.3Π.χ. την εχει χρησιµοποιησει ο Αρχιµηδης.

v


ΕΙΣΑΓΩΓΗ vi

4. Η λεξη ¨ανν¨ σηµαινει ¨αν και µονο αν¨.

Αθ.ΚεχαγιαςΚεφάλαιο 1Βασικες Συναρτησεις

Η εκθετικη συναρτηση ex ειναι ισως η πιο ϐασικη συναρτηση των µαθηµατικων. Η λογα-ϱιθµικη συναρτηση lnx ειναι η αντιστροφη της εκθετικης.

Οι τριγωνοµετρικες συναρτησεις ειναι το ηµιτονο (συµβολιζεται sinx), το συνηµιτονο(συµβολιζεται cosx), η εφαπτοµενη (tanx = sinx

cosx), η συνεφαπτοµενη (cotx = cosx

sinx), η

τεµνουσα (secx = 1cosx

) και η συντεµνουσα (cscx = 1sinx

). Οι ορισµοι και οι ιδιοτητεςαυτων των συναρτησεων µας ειναι γνωστες απο το λυκειο. Οµως τωρα ϑα δωσουµε νεους(ισοδυναµους µε τους ηδη γνωστους) ορισµους αυτων των συναρτησεων.

Οι υπερβολικες συναρτησεις οριζονται παροµοια µε τις τριγωνοµετρικες και εχουνπολλες αναλογες ιδιοτητες.

1.1 Θεωρια

1.1.1. Θεωρουµε τις ϐασικες ιδιοτητες της εκθετικης συναρτησης ex γνωστες.

1.1.2. Λαµβανουµε τυχοντα πραγµατικο αριθµο x και σχηµατιζουµε την ακολουθια1

fn (x) =(

1 +x

n

)·(

1 +x

n

)· ... ·

(1 +

x

n

)︸︷︷︸ .

n ϕορες

Για καθε x ∈ R οι f1 (x), f2 (x) , ... ικανοποιουν

0 ≤ f1 (x) ≤ f2 (x) ≤ ... ≤ fn (x) ≤ fn+1 (x) ≤ ... ≤ ex

και, καθως το n τεινει στο απειρο, η fn (x) τεινει στο ex, το οποιο γραφεται ως εξης :(1 +

x

n

)n−→n→∞

ex.

1.1.3. Η λογαριθµικη συναρτηση lnx ειναι η αντιστροφη της εκθετικης :

y = lnx⇔ x = ey.

Θεωρουµε τις ϐασικες ιδιοτητες της λογαριθµικης συναρτησης γνωστες.1Οι ακολουθιες ϑα µελετηθουν στο Κεφαλαιο 11.

1


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 2

1.1.4. Ολες οι ιδιοτητες των τριγωνοµετρικων συναρτησεων µπορουν να αποδειχτουν αποτον παρακατω τυπο

eix = cosx+ i sinx (1.1)

και τις ιδιοτητεςcos (−x) = cos x, sin (−x) = − sinx. (1.2)

Οι (1.1), (1.2) ϑα αποδειχτουν στο Κεφ. 12.

1.1.5. Απο τις (1.1), (1.2) αποδεικνυεται οτι

cosx =eix + e−ix

2, sinx =

eix − e−ix

2i. (1.3)

1.1.6. Ισχυουν οι σχεσεις

sinh (ix) = i sinx,

sin (ix) = i sinhx,

cosh (ix) = cos x,

cos (ix) = cosh x.

1.1.7. Οι αντιστροφες τριγωνοµετρικες συναρτησεις οριζονται ως εξης.

arcsin(x) = y ⇔ x = sin(y)arccos(x) = y ⇔ x = cos(y)arccos(x) = y ⇔ x = tan(y)arccot(x) = y ⇔ x = cot(y)arcsec(x) = y ⇔ x = sec(y)arccsc(x) = y ⇔ x = csc(y).

1.1.8. Οι υπερβολικες συναρτησεις οριζονται κατ΄ αντιστοιχια των τριγωνοµετρικων, οπωςϕαινεται απο τους παρακατω τυπους, και εχουν παροµοιες ιδιοτητες.

υπερβολικο ηµιτονο : sinh(x) =ex − e−x

2

υπερβολικο συνηµιτονο : cosh(x) =ex + e−x

2

υπερβολικη εφαπτοµενη : tanh(x) =ex − e−x

ex + e−x

υπερβολικη συνεφαπτοµενη : coth(x) =ex + e−x

ex − e−x

υπερβολικη τεµνουσα : sech(x) =2

ex + e−x

υπερβολικη συντεµνουσα : csch(x) =2

ex − e−x.



1.1.9. Οι αντιστροφες υπερβολικες συναρτησεις οριζονται ως εξης.

arc sinh (x) = y ⇔ x = sinh(y)arc cosh (x) = y ⇔ x = cosh(y)arc tanh(x) = y ⇔ x = tanh(y)arc coth(x) = y ⇔ x = coth(y)arc sech(x) = y ⇔ x = sech(y)arc csch(x) = y ⇔ x = csch(y).

1.1.10. Ισχυουν και τα εξης

arc sinh (x) = ln(x+√x2 + 1

), −∞ < x 1 η x < −1 (1.7)

arc sech(x) = ln

(1

x+

√1− x2x

), 0 < x ≤ 1 (1.8)

arc csch(x) = ln

(1

x+

√1 + x2

|x|

), x 6= 0. (1.9)

1.2 Λυµενα Προβληµατα

1.2.1. Αποδειξτε την (1.3)Λυση Στον ορισµο (1.1) ϑετουµε στην ϑεση του x το −x και εχουµε

e−ix = cos (−x) + i sin (−x) = cos x− i sinx (1.10)

(οπου χρησιµοποιησαµε τις (1.2) ). Προσθετοντας κατα µελη τις (1.1) και (1.10) παιρνουµετην

cosx =eix + e−ix

2.

Αφαιρωντας κατα µελη παιρνουµε την

sinx =eix − e−ix

2i.

1.2.2. Αποδειξτε οτι cos2 x+ sin2 x = 1.Λυση

cos2 x+ sin2 x =

(eix + e−ix

2

)2+

(eix + e−ix

2i

)2=ei2x + e−i2x + 2

4− e

i2x + e−i2x − 24

=4

4= 1.



1.2.3. Αποδειξτε οτι sin(a+ b) = sin a cos b+ cos a sin bΛυση Εχουµε

sin a cos b+ cos a sin b =eia − e−ia

2i· e

ib + e−ib

2+eia + e−ia

2· e

ib − e−ib

2i

=ei(a+b) − ei(−a+b) + ei(a−b) − e−i(a+b)

4i

+ei(a+b) + ei(−a+b) − ei(a−b) − e−i(a+b)

4i

=2ei(a+b) − 2e−i(a+b)

4i= sin (a+ b) .

1.2.4. Αποδειξτε οτι sin a = tan a√1+tan2 a

Λυση

tan a√1 + tan2 a

=sin a/ cos a√

1 + sin2 a/ cos2 a=

sin a/ cos a√(cos2 a+ sin2 a

)/ cos a

= sin a.

1.2.5. Αποδειξτε οτι sin(2a) = 2 sin a cos aΛυση

2 sin a cos a = 2 · eia − e−ia

2i· e

ia + e−ia

2

=eia+ia − e−iaeia + eia−ia − e−a−ia

2i

=ei2a − e−i2a

2i= sin (2a) .

1.2.6. Αποδειξτε οτι sin a cos b = sin(a−b)+sin(a+b)2

Λυση

sin(a− b) + sin(a+ b)2

=sin a cos b− cos a sin b+ (sin a cos b+ cos a sin b)

2= sin a cos b.

1.2.7. Αποδειξτε οτι sin a+ sin b = 2 sin(a+b

2

)cos(a−b

2

)Λυση Εχουµε απο την 1.2.6 οτι

sinA cosB =sin(A−B) + sin(A+B)

2.

Θετοντας A = a+b2

, B = a−b2

, εχουµε A−B = b, A+B = a, οποτε

sin

(a+ b

2

)cos

(a− b

2

)=

sin(a) + sin(b)

2

απο το οποιο προκυπτει το Ϲητουµενο.



Σχήµα 1.1: Η γραφικη παρασταση της coshx.

1.2.8. Σχεδιαστε την συναρτηση coshx.Λυση Θυµηθειτε οτι coshx = e

x+e−x

2. ∆ειτε τωρα το σχηµα 1.1. Με διακεκοµµενες

γραµµες απεικονιζονται οι ex, e−x. Με συνεχη γραµµη απεικονιζεται η coshx, η οποιαειναι ο µεσος ορος των δυο εκθετικων. Ετσι ϕαινεται καθαρα οτι limx→±∞ coshx = ∞.Επισης ϐλεπουµε στο σχηµα οτι η ελαχιστη τιµη της coshx ειναι το cosh 0 = 1. Αυτοµπορει να αποδεχιτει ϐρισκοντας µε χρηση παραγωγων τις µεγιστες και ελαχιστες τιµεςτης coshx (καντε το !) η, πιο απλα, ως εξησ:

coshx− 1 = ex + e−x

2− 1 = e

x + e−x − 22

=

(ex/2 − e−x/2

)22

≥ 0

και η ελαχιστη τιµη coshx− 1 = 0 (δηλαδη coshx = 1) επιτυγχανεται οταν

ex/2 − e−x/2 = 0⇒ ex/2 = e−x/2 ⇒ ex = 1⇒ x = 0.

1.2.9. Σχεδιαστε την συναρτηση sinhx.Λυση Θυµηθειτε οτι sinhx = e

x−e−x2

. ∆ειτε τωρα το σχηµα 1.2. Με διακεκοµµενεςγραµµες απεικονιζονται οι ex, e−x. Με συνεχη γραµµη απιεκονιζεται η sinhx, η οποιαειναι το µισο της διαφορας των δυο εκθετικων. Ετσι ϕαινεται καθαρα οτι limx→−∞ sinhx =−∞ και limx→∞ sinhx =∞. Επισης ϕαινεται και οτι

0 = sinhx =ex − e−x

2⇒ ex = e−x ⇒ x = 0

δηλ. η µοναδικη ϱιζα της sinhx = 0 ειναι η x = 0.

1.2.10. Σχεδιαστε την συναρτηση tanhx.



Σχήµα 1.2: Η γραφικη παρασταση της sinhx.

Λυση Εχουµε

tanhx =sinhx

coshx=ex − e−x

ex + e−x.

Οποτε

limx→∞

tanhx = limx→∞

tanhx = limx→∞

ex − e−x

ex + e−x= lim

x→∞

1− e−2x

1 + e−2x=

1− 01 + 0

= 1.

Με αντιστοιχο τροπο ϐρισκουµε limx→−∞ tanhx = −1 και ευκολα ϕαινεται επισης οτιη µονη ϱιζα της tanhx = 0 ειναι η x = 0. Αυτες οι παρατηρησεις συνοψιζονται στηνγραφικη παρασταση του σχηµατος 1.3.

1.2.11. Αποδειξτε οτι

sinh (−x) = − sinhx, cosh (−x) = coshx. (1.11)

Λυση Εχουµε

sinh (−x) = e−x − e−(−x)

2= −e

x − e−x

2= − sinhx.

Το cosh (−x) = cosh x αποδεικνυεται παροµοια.

1.2.12. Αποδειξτε οτι cosh2 x− sinh2 x = 1.Λυση

cosh2 x− sinh2 x =(ex + e−x

2

)2−(ex − e−x

2

)2=e2x + e−2x + 2

4− e

2x + e−2x − 24

=4

4= 1.



Σχήµα 1.3: Η γραφικη παρασταση της tanhx.

1.2.13. Αποδειξτε οτι sinh(x+ y) = sinh x cosh y + coshx sinh yΛυση Εχουµε

sinhx cosh y + coshx sinh y =ex − e−x

2· e

y + e−y

2+ex + e−x

2· e

y − e−y

2

=ex+y − e−x+y + ex−y − e−(x+y)

4

+ex+y + e−x+y − ex−y − e−(x+y)

4

=2ex+y − 2e−(x+y)

4= sinh (x+ y) .

1.2.14. Αποδειξτε οτι sinh(2x) = 2 sinhx coshxΛυση Στον τυπο του 1.2.13 ϑετουµε y = x και εχουµε

sinh (2x) = sinh(x+ x) = sinh x coshx+ coshx sinhx = 2 sinh x coshx.

1.2.15. Αποδειξτε οτι sinhx+ sinh y = 2 sinh(x+y

2

)cosh

(x−y

2

)Λυση Εχουµε

2 sinh

(x+ y

2

)cosh

(x− y

2

)= 2 · e

x+y2 − e−x+y2

2· e

x−y2 + e−

x−y2

2

=e

x+y+x−y2 − e−x−y+x−y2 + ex+y−x+y2 − e−x−y−x+y2

2

=ex − e−x

2+e−y − ey

2= sinhx+ sinh y.



1.2.16. Αποδειξτε οτιarc sinh(x) = ln

(x+√x2 + 1

)Λυση Εστω z = arc sinh(x). Τοτε

x = sinh z =ez − e−z

2⇒ ez − 2x− e−z = 0.

Θετουµε a = ez, οποτε εχουµε a − 2x − a−1 = 0 και πολλαπλασιαζουµε µε a, οποτεπαιρνουµε

a2 − 2xa− 1 = 0.

Λυνουµε ως προς a και παιρνουµε

ez = a = x±√x2 + 1.

Αλλα η ϱιζα a = x−√x2 + 1 ειναι αρνητικη και απορριπτεται (αφου a = ez > 0). Οποτε

a = ez = x+√x2 + 1⇒ z = ln

(x+√x2 + 1

).

1.2.17. Εξηγειστε γιατι το πεδιο ορισµου της arc sinh (x) ειναι το R.Λυση Θυµηθειτε οτι arc sinh (x) = ln

(x+√x2 + 1

). Ενας τροπος για να εξηγηθει το

Ϲητουµενο ειναι να παρατηρησουµε οτι√x2 + 1 > |x| , οποτε x +

√x2 + 1 > 0 και αρα

στην ln(x+√x2 + 1

)µπορουµε να ϐαλουµε οποιοδηποτε x ∈ R (ϑυµηθειτε οτι το ορισµα

της λογαριθµικης συναρτησης πρεπει να ειναι ϑετικο). Ενας αλλος τροπος ειναι να δουµεστο σχηµα 1.4 την γραφικη παρασταση της arc sinh (x), η οποια ειναι η συµµετρικη τηςsinhx ως προς την ευθεια x = y (γιατι ;). Στην γραφικη παρασταση ϐλεπουµε οτι για καθεx ∈ R υπαρχει η αντιστοιχη τιµη arc sinhx.



Σχήµα 1.4: Η γραφικη παρασταση της arc sinhx.

1.2.18. Εξηγειστε γιατι το πεδιο ορισµου της arc cosh (x) ειναι το [1,∞).Λυση Εχουµε arc cosh (x) = ln

(x+√x2 − 1

). Αρα λοιπον, αποδεκτες τιµες του x

ειναι αυτες που ικανοποιουν

x2 − 1 ≥ 0 και x+√x2 − 1 > 0.

Για να ικανοποιηθει η πρωτη συνθηκη, πρεπει |x| ≥ 1. Επειδη δε |x| >√x2 − 1, για

να ικανοποηθει η δευτερη συνθηκη πρεπει να εχουµε x > 0. Απο τις x > 0 και |x| ≥ 1προκυπτει x ≥ 1, δηλ. το Ϲητουµενο, το οποιο µπορουµε επισης να καταλαβουµε αποτην γραφικη παρασταση της arc coshx, η οποια δινεται στο σχηµα 1.5.

Σχήµα 1.5: Η γραφικη παρασταση της arc coshx.

1.2.19. Εξηγειστε γιατι arc tanh(x) = 12

ln(

1+x1−x

), −1 < x < 1.

Λυση Αυτο µπορουµε να το δουµε απο την γραφικη παρασταση της arc tanhx, ηοποια δινεται στο σχηµα 1.6 (απο την συµµετρικη της tanhx ως προς την ευθεια x = y).



Σχήµα 1.6: Η γραφικη παρασταση της arc tanhx.

Επισης το Ϲητουµενο µπορει να αποδειχτει και εξταζοντας για ποιες τιµες του x ισχυει1+x1−x > 0 (καντε το !).

1.3 Αλυτα Προβληµατα

1.3.1. Αποδειξτε τους παρακατω τυπους.

1. sin(a± b) = sin a cos b± cos a sin b

2. cos(a± b) = cos a cos b∓ sin a sin b

3. tan(a± b) = tan a±tan b1∓tan a tan b

1.3.2. Αποδειξτε οτι cos a = 1√1+tan2 a

.


1. cos(2a) = cos2 a− sin2 a = 2 cos2 a− 1

2. tan(2a) = 2 tan a1−tan2 a .


1. sin(3a) = 3 sin a− 4 sin3 a

2. cos(3a) = 4 cos3 a− 3 cos a

3. tan(3a) = 3 tan a−tan3 a

1−3 tan2 a .


1. sin a sin b = cos(a−b)−cos(a+b)2



2. cos a cos b = cos(a−b)+cos(a+b)2


1. sin a+ sin b = 2 sin(a+b

2

)cos(a−b

2

)2. cos a+ cos b = 2 cos

(a+b

2

)cos(a−b

2

)3. cos a− cos b = 2 sin

(a+b

2

)sin(b−a

2

)1.3.7. Αποδειξτε οτι 1− tanh2(x) = 1

cosh2(x).


1. sinh(x± y) = sinh x cosh y ± coshx sinh y

2. cosh(x± y) = cosh x cosh y ± sinhx sinh y

3. tanh(x± y) = tanhx±tanh y1±tanhx tanh y


1. cosh(2x) = cosh2 x+ sinh2 x = 2 cosh2 x− 1

2. tanh(2x) = 2 tanhx1+tanh2 x

.


1. sinhx− sinh y = 2 cosh(x+y

2

)sinh

(x−y

2

)2. coshx+ cosh y = 2 cosh

(x+y

2

)cosh

(x−y

2

)3. coshx− cosh y = 2 sinh

(x+y

2

)sinh

(x−y

2

).


1. sinh (ix) = i sinx

2. sin (ix) = i sinhx

3. cosh (ix) = i cosx

4. cos (ix) = i coshx


1. arc sinh(x) = ln(x+√x2 + 1

)(−∞ < x



4. arc coth(x) = 12

ln(x+1x−1

)(x > 1 η x < −1),

5. arc sech(x) = ln(

1x

+√

1−x2x

), 0 < x ≤ 1

6. arc csch(x) = ln(

1x

+√

1+x2

|x|

), x 6= 0.


1. arcsin(x) = −i ln(ix+

√1− x2

),

2. arccos(x) = −i ln(x+√x2 − 1

),

3. arctan(x) = i2

ln(

1−ix1+ix

).

Αθ.ΚεχαγιαςΚεφάλαιο 2Ορια και Συνεχεια

Το παρον κεφαλαιο ειναι µια συντιοµη υπενθυµιση των εννοιων του οριου και της συνεχειας,τις οποιες οι ϕοιτητες εχουν ηδη διδαχτει στο Λυκειο.

2.1 Θεωρια

2.1.1. Λεµε οτι η συναρτηση f (x) εχει οριο τον αριθµο f0 (ή τεινει στο f0) καθως το xτεινει στο x0 ανν ισχυει η εξης συνθηκη:

∀ε > 0 : ∃δ > 0 : 0 < |x− x0| < δ ⇒ |f (x)− f0| < ε. (2.1)

Γραφουµε δεlimx→x0

f (x) = f0.

2.1.2. Η σηµασια της (2.1) ειναι η εξης : αν ϑελουµε να εξασφαλισουµε οτι η διαφορατων f (x) και f0 ειναι οσο µικρη ϑελουµε (µικροτερη του ε), αρκει να εξασφαλισουµε οτιτο x ϑα ειναι πολυ κοντα στο x0 (συγκεκριµενα 0 < |x− x0| < δ). Προσεξτε οτι στην (2.1)δεν εξεταζουµε την περιπτωση x = x0 (0 < |x− x0|).

2.1.3. Λεµε οτι η συναρτηση f (x) εχει οριο το ∞ (ή τεινει στο ∞) καθως το x τεινει στοx0 ανν ισχυει η εξης συνθηκη:

∀M > 0 : ∃δ > 0 : 0 < |x− x0| < δ ⇒ f (x) > M. (2.2)

Αντιστοιχα λεµε οτι η συναρτηση f (x) εχει οριο το −∞ (ή τεινει στο −∞) καθως το xτεινει στο x0 ανν ισχυει η εξης συνθηκη:

∀M < 0 : ∃δ > 0 : 0 < |x− x0| < δ ⇒ f (x) < M. (2.3)

Γραφουµε δεlimx→x0

f (x) =∞, limx→x0

f (x) = −∞.

13


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 14

2.1.4. Λεµε οτι η συναρτηση f (x) εχει οριο το f0 (ή τεινει στο f0) καθως το x τεινει στο∞ ανν ισχυει η εξης συνθηκη:

∀ε > 0 : ∃M > 0 : M < x⇒ |f (x)− f0| < ε. (2.4)

Αντιστοιχα λεµε οτι η συναρτηση f (x) εχει οριο το f0 (ή τεινει στο f0) καθως το x τεινειστο −∞ ανν ισχυει η εξης συνθηκη:

∀ε > 0 : ∃M < 0 : x < M ⇒ |f (x)− f0| < ε. (2.5)

Γραφουµε δεlimx→∞

f (x) = f0, limx→−∞

f (x) = f0.

2.1.5. Παροµοια µπορουµε να ορισουµε τα ορια

limx→∞

f (x) =∞, limx→∞

f (x) = −∞, limx→−∞

f (x) =∞, limx→−∞

f (x) = −∞.

2.1.6. Λεµε οτι η συναρτηση f (x) εχει εξ αριστερων οριο το f0 καθως το x τεινει στο x0ανν ισχυει η εξης συνθηκη:

∀ε > 0 : ∃δ > 0 : 0 < x0 − x < δ ⇒ |f (x)− f0| < ε. (2.6)

Αντιστοιχα λεµε οτι η συναρτηση f (x) εχει εκ δεξιων οριο το f0 καθως το x τεινει στο x0ανν ισχυει η εξης συνθηκη:

∀ε > 0 : ∃δ > 0 : 0 < x− x0 < δ ⇒ |f (x)− f0| < ε. (2.7)

Γραφουµε δεlimx→x−0

f (x) = f0, limx→x+0

f (x) = f0.

Τα εξ αριστερων και εκ δεξιων ορια λεγονται και πλευρικα ορια.

2.1.7. Αντιστοιχα µπορουµε να ορισουµε τα ορια

limx→x−0

f (x) =∞, limx→x+0

f (x) =∞, limx→x−0

f (x) = −∞, limx→x+0

f (x) = −∞.

2.1.8. Αν για µια συναρτηση f (x) υπαρχει το limx→x0 f (x) τοτε

limx→x0

f (x) = limx→x−0

f (x) = limx→x+0

f (x) .

Αντιστροφα, αν υπαρχουν τα πλευρικα ορια και ισχυει limx→x−0 f (x) = limx→x+0 f (x) τοτευπαρχει και το οριο limx→x0 f (x) και ειναι ισο µε τα πλευρικα.

2.1.9. Συνηθως δεν υπολογιζουµε τα ορια ϐασει των παραπανω ορισµων, αλλα χρησι-µοποιωντας τις παρακατω ιδιοτητες

για καθε n ∈ R : limx→x0

xn = xn0 (αν xn0 ειναι καλως ορισµενο)



και

limx→x0 f (x) = f0limx→x0 g (x) = g0

}⇒

limx→x0 (kf (x)) = kf0limx→x0 (f (x)± g (x)) = f0 ± g0limx→x0 (f (x) · g (x)) = f0 · g0limx→x0

(f(x)g(x)

)= f0

g0(αν g0 6= 0)

limx→x0 (f (x))n = fn0 (αν το fn0 ειναι καλως ορισµενο)

2.1.10. Αν limx→x0 f (x) = f0 και limx→f0 g (x) = g0 , τοτε limx→x0 (g (f (x))) = g0.

2.1.11. Αν limx→x0 f (x) = f0, limx→x0 g (x) = g0, limx→x0 h (x) = h0 και f (x) ≤ g (x) ≤h (x), τοτε f0 ≤ g0 ≤ h0.

2.1.12. Αν limx→x0 f (x) =∞ και limx→x0 g (x) =∞ , τοτε limx→x0 (f (x) + g (x)) =∞,limx→x0 (f (x) · g (x)) =∞.

2.1.13. Αν limx→x0 f (x) = −∞ και limx→x0 g (x) = −∞ , τοτε limx→x0 (f (x) + g (x)) =−∞, limx→x0 (f (x) · g (x)) =∞.

2.1.14. Μια συναρτηση f (x) λεγεται συνεχης στο x0 ανν

limx→x0

f (x) = f (x0) . (2.8)

Σε αυτο τον ορισµο προυποτιθεται οτι υπαρχουν τα limx→x0 f (x) και f (x0).

2.1.15. Αν η (2.8) δεν ισχυει, τοτε λεµε οτι η f (x) ειναι ασυνεχης στο x0. Αυτο µπορει νασυµβαινει επειδη δεν υπαρχει το limx→x0 f (x), ή επειδη δεν οριζεται το f (x0), ή επειδηlimx→x0 f (x) 6= f (x0).

2.1.16. Η f (x) λεγεται συνεχης στο συνολοA ⊆ R αν ειναι συνεχης σε καθε x0 ∈ A. Οταναπλα λεµε οτι η f (x) ειναι συνεχης (χωρις να προσδιοριζουµε το συνολο A), εννοουµε οτιη f (x) ειναι συνεχης σε καθε σηµειο του πεδιου ορισµου της.

2.1.17. Αν οι f (x), g (x) ειναι συνεχεις στο x0, το ιδιο ισχυει και για τις kf (x), f (x) ±g (x), f (x) · g (x),

(f(x)g(x)

)(αν f (x0) 6= 0).

2.1.18. Καθε πολυωνυµικη συναρτηση ειναι συνεχης.

2.1.19. Οι συναρτησεις ex, sin (x), cos (x) ειναι συνεχεις. Το ιδιο ισχυει και για καθεπολυωνυµικη συναρτηση.

2.1.20. Εστω κλειστο διαστηµα [a, b] ⊆ R και f (x) συνεχης στο [a, b], για την οποια ισχυειf (a) < f (b). Για καθε f0 ∈ [f (a) , f (b)] υπαρχει x0 ∈ [a, b] τετοιο ωστε f0 = f (x0).




2.2.1. ∆ειξτε οτι limx→2 (2x− 1) = 3.Λυση. Πρεπει να δειξουµε οτι

∀ε > 0 : ∃δε > 0 : 0 < |x− 2| < δε ⇒ |2x− 1− 3| < ε.

Εστω λοιπον τυχον ε > 0. Παιρνουµε δε = ε2 και για καθε x τετοιο ωστε |x− 2| < δε =ε2

εχουµε|2x− 1− 3| = |2x− 4| = 2 |x− 2| < 2δε = 2

ε

2= ε

και ετσι εχουµε αποδειξει το Ϲητουµενο.

2.2.2. ∆ειξτε οτι limx→0 (x2 + 1) = 1.Λυση. Πρεπει να δειξουµε οτι

∀ε > 0 : ∃δε > 0 : 0 < |x− 0| < δε ⇒∣∣x2 + 1− 1∣∣ < ε.

Εστω λοιπον τυχον ε > 0. Παιρνουµε δε =√ε οποτε για καθε x τετοιο ωστε |x− 0| =

|x| < δε =√ε εχουµε ∣∣x2 + 1− 1∣∣ = ∣∣x2∣∣ = |x|2 < δ2ε = (√ε)2 = ε


2.2.3. ∆ειξτε οτι limx→1 x2−3x+2(x−2)2 = 0.

Λυση. Πρεπει να δειξουµε οτι

∀ε > 0 : ∃δε > 0 : 0 < |x− 1| < δε ⇒∣∣∣∣x2 − 3x+ 2(x− 2)2

∣∣∣∣ < ε.Εστω λοιπον τυχον ε > 0. Παιρνουµε δε = ε1+ε και για καθε x τετοιο ωστε |x− 1| < δε =ε

1+εεχουµε ∣∣∣∣x2 − 3x+ 2(x− 2)2

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣(x− 1) (x− 2)(x− 2)2∣∣∣∣ = ∣∣∣∣x− 1x− 2

∣∣∣∣ .Τωρα, εχουµε |x− 1| < δ και

|x− 2| > ||x− 1| − 1| = |1− |x− 1|| > 1− δε

(αφου |x− 1| < δε) οποτε ∣∣∣∣x− 1x− 2∣∣∣∣ < δε1− δε .

Αρκει, για να δειξουµε το Ϲητουµενο οριο, να δειξουµε οτι δε1−δε < ε. Αλλα

δε1− δε

< ε⇔ δε < ε · (1− δε)⇔ δε < ε− εδε

⇔ δε + εδε < ε⇔ δε · (1 + ε) < ε⇔ δε <ε

1 + ε.

Η τελευταια ανισοτητα οµως ισχυει εξ υποθεσεως.



2.2.4. Ποια ειναι η σηµασια των (2.2) και 2.3);Λυση. Υπενθυµιζουµε οτι limx→x0 f (x) =∞ ανν ισχυει η (2.2) δηλ.

∀M > 0 : ∃δM > 0 : 0 < |x− x0| < δM ⇒ f (x) > M.

Με αλλα λογια, limx→x0 f (x) = ∞ ανν για καθε M (οσο µεγαλο ϑελουµε) µπορουµε ναϐρουµε ενα δM τετοιο ωστε, οταν το x ειναι αρκετα κοντα στο x0 (δηλ. οταν |x− x0| < δM )τοτε η f (x) ειναι µεγαλυτερη του M . ∆ηλ., ακοµη πιο συντοµα, µπορουµ ενα κανουµετην f (x) οσο µεγαλη ϑελουµε, αρκει να παρουµε x αρκετα κοντα στο x0. Η σηµασια της(2.3) εξηγειται παροµοια.

2.2.5. ∆ειξτε οτι limx→0 1x2 =∞.Λυση. Πρεπει να δειξουµε οτι

∀M > 0 : ∃δM > 0 : 0 < |x− 0| < δM ⇒1

x2> M.

Εστω λοιπον τυχον M > 0. Παιρνουµε δM = 1√M οποτε εχουµε

|x| = |x− 0| < δM =1√M⇒ x2 < 1

M

⇒∣∣∣∣ 1x2∣∣∣∣ = 1x2 > 11

M

= M


2.2.6. Ποια ειναι η σηµασια των (2.4) και (2.5);Λυση. Υπενθυµιζουµε οτι limx→∞ f (x) = f0 ανν ισχυει η (2.4) δηλ.

∀ε > 0 : ∃Mε > 0 : Mε < x⇒ |f (x)− f0| < ε.

Με αλλα λογια, limx→∞ f (x) = f0 ανν για καθε ε (οσο µικρο ϑελουµε) µπορουµε ναϐρουµε ενα Mε τετοιο ωστε, οταν το x ειναι µεγαλυτερο του Mε τοτε η διαφορα f (x) καιf0 ειναι (κατ΄ απολυτη τιµη) µικροτερη του ε. ∆ηλ., ακοµη πιο συντοµα, µπορουµε ναϕερουµε την f (x) οσο κοντα στο f0 ϑελουµε, αρκει να παρουµε το x αρκετα µεγαλο. Ησηµασια της (2.5) εξηγειται παροµοια.

2.2.7. ∆ειξτε οτι limx→∞ 1x = 0 και οτι limx→−∞1x

= 0.Λυση. Για το πρωτο οριο πρεπει να δειξουµε οτι

∀ε < 0 : ∃Mε > 0 : Mε < x⇒∣∣∣∣1x∣∣∣∣ < ε.

Εστω λοιπον τυχον ε > 0. Παιρνουµε Mε = 1ε και για καθε x τετοιο ωστε x > Mε =1ε> 0

εχουµε ∣∣∣∣1x∣∣∣∣ = 1x < 1Mε = 11ε = ε

και ετσι εχουµε αποδειξει το Ϲητουµενο. Το δευτερο οριο αποδεικνυεται παροµοια.



2.2.8. ∆ειξτε οτι limx→∞ x2 =∞.Λυση. Πρεπει να δειξουµε οτι

∀M > 0 : ∃NM > 0 : NM < x⇒ x2 > M.

Ευκολα ϕαινεται οτι για τυχον M αρκει να παρουµε NM =√M .

2.2.9. ∆ειξτε οτι limx→−∞ x3 = −∞.Λυση. Πρεπει να δειξουµε οτι

∀M < 0 : ∃NM < 0 : x < NM ⇒ x3 < NM .

Ευκολα ϕαινεται οτι για τυχον M < 0 αρκει να παρουµε NM = M1/3.

2.2.10. ∆ειξτε οτι limx→0− 1x = −∞.Λυση. Πρεπει να δειξουµε οτι

∀M < 0 : ∃δM > 0 : 0 < 0− x < δM ⇒ x < M.

Εστω λοιπον τυχον M < 0. Παιρνουµε δM = − 1M και για καθε x τετοιο ωστε 0 < 0− x <δM − 1M , ή ισοδυναµα,

1

M< x < 0

εχουµε1

x< M

(η ανισοτητα αντιστραφηκε επειδη τα x,M ειναι αρνητικα) και ετσι εχουµε αποδειξει τοϹητουµενο.

2.2.11. ∆ειξτε οτι limx→1+ x+1x2−1 =∞.Λυση. Πρεπει να δειξουµε οτι

∀M > 0 : ∃δM > 0 : 0 < x− 1 < δM ⇒x+ 1

x2 − 1> M.

Εστω λοιπον τυχον M > 0. Παιρνουµε δM = 1M και για καθε x τετοιο ωστε 0 < x − 1 <δM =

1M

εχουµεx+ 1

x2 − 1=

x+ 1

(x− 1) (x+ 1)=

1

x− 1>

11M

= M


2.2.12. ∆ειξτε οτι, για οποιαδηποτε πολυωνυµα π (x), ρ (x), εχουµε limx→x0 π (x) =π (x0) και limx→x0 (π (x) + ρ (x)) = π (x0) + ρ (x0).

Λυση. Εστω π (x) = a0 + a1x+ ...+ aNxN . Τοτε

limx→x0

π (x) = limx→x0

(a0 + a1x+ ...+ aNx

N)

= limx→x0

(a0) + limx→x0

(a1x) + ...+ limx→x0

(aNx

N)

= a0 + a1 limx→x0

x+ ...+ aN limx→x0

xN

= a0 + a1x0 + ...+ aNxN0 = π (x0) .



Οπου χρησιµοποιησαµε τα αποτελεσµατα της 2.1.9. Παροµοια δειχνουµε οτι limx→x0 ρ (x) =ρ (x0). Οποτε, συµφωνα µε την τριτη σχεση της 2.1.9 εχουµε

limx→x0

(π (x) · ρ (x)) =(

limx→x0

π (x)

)·(

limx→x0

ρ (x)

)= π (x0) · ρ (x0) .

2.2.13. Υπολογιστε τα παρακατω ορια

1. limx→−1 (5x2 + 3x− 4).

2. limx→1 x−2x2−4x+1

3. limx→4√x4.

4. limx→1√

5x2 + 3x− 4.

Λυση. Για το (1) εχουµε, συµφωνα µε την 2.2.12,

limx→−1

(5x2 + 3x− 4

)= 5 · (−1)2 + 3 · (−1)− 4 = −2.

Για το (2) εχουµε

limx→1

x− 2x2 − 4x+ 1

=limx→1 (x− 2)

limx→1 (x2 − 4x+ 1)=

1− 212 − 4 · 1 + 1

=−1−2

=1

2

οπου χρησιµοποιησαµε την τεταρτη σχεση της 2.1.9, αφου ο παρονοµαστης ειναι δι-αφορος του µηδενος. Για το (3) εχουµε, χρησιµοποιωντας την πεµπτη σχεση της 2.1.9 µεn = 1/4, limx→4

√x4 =

√44 = 16. Για το (4) ϑετουµε g (x) =

√x, f (x) = 5x2 + 3x − 4

και, συµφωνα µε την 2.1.10, εχουµε

limx→1

√5x2 + 3x− 4 =

√limx→1

(5x2 + 3x− 4) =√

4 = 2.

2.2.14. ∆ειξτε οτι, αν limx→x0 f (x) = f0 και limx→x0 g (x) = g0, τοτε

limx→x0

(f (x) + g (x)) = f0 + g0.

Λυση. Απο την υποθεση εχουµε οτι

∀ε1 > 0 : ∃δ1 > 0 : 0 < |x− x0| < δ1 ⇒ |f (x)− f0| < ε1, (2.9)∀ε2 > 0 : ∃δ2 > 0 : 0 < |x− x0| < δ2 ⇒ |g (x)− g0| < ε2. (2.10)

Εστω τωρα τυχον ε. Στις (2.9)-(2.10) παιρνουµε ε1 = ε2 = ε2 και κατοπιν επιλεγουµεδ = min (δ1, δ2). Τοτε λοιπον

0 < |x− x0| < δ < min (δ1, δ2)⇒{|f (x)− f0| < ε1 = ε2|g (x)− g0| < ε2 = ε2

}⇒ |f (x) + g (x)− (f0 + g0)| ≤ |f (x)− f0|+ |g (x)− g0| <

ε

2+ε

2= ε

και εχουµε το Ϲητουµενο.




1. limx→1 x−1x2−3x+2 .

2. limx→1 x2−1x4−1 .

3. limx→1 1−x2

2−√x2+3

.

4. limh→0(x+h)2−x2

h.

Λυση. Για το (1) εχουµε

limx→1

x− 1x2 − 3x+ 2

= limx→1

x− 1(x− 1) (x− 2)

= limx→1

1

x− 2=

1

−1= −1.


limx→1

x2 − 1x4 − 1

= limx→1

(x− 1) (x+ 1)(x− 1) (x+ 1) (x2 + 1)

= limx→1

1

x2 + 1=

1

2.


limx→1

1− x2

2−√x2 + 3

= limx→1

(1− x2

2−√x2 + 3

· 2 +√x2 + 3

2 +√x2 + 3

)

= limx→1

((1− x2) 2 +

√x2 + 3

22 − x2 − 3

)


limh→0

(x+ h)2 − x2

h= lim

h→0

(x2 + 2xh+ h2)− x2

h

= limh→0

2xh+ h2

h= lim

h→0(2x+ h) = 2x.


1. limx→∞ x+3x+4 .

2. limx→∞ 2x+45x−1 .

3. limx→∞ x−4x2−1 .

4. limx→∞ x2−4x

.



Λυση. Για το (1) εχουµε

limx→∞

x+ 3

x+ 4= lim

x→∞

xx

+ 3x

xx

+ 4x

=limx→∞

xx

+ limx→∞3x

limx→∞xx

+ limx→∞4x

=1 + 0

1 + 0= 1

επειδη: limx→∞ xx = limx→∞ 1 = 1· limx→∞3x

= 3 limx→∞1x

= 3 · 0 (εχουµε ηδη δει σεπροηγουµενη ασκηση οτι limx→∞ 1x = 0)· και, παροµοια, limx→∞

4x

= 0.Παροµοια, για το (2) εχουµε

limx→∞

2x+ 4

5x− 1= lim

x→∞

2xx

+ 4x

5xx− 1

x

=2 + 0

5− 0=

2

5.


limx→∞

x− 4x2 − 1

= limx→∞

xx2− 4

x2

x2

x2− 1

x2

=0− 01− 0

= 0.


limx→∞

x2 − 4x

= limx→∞

(x− 4

x

)=∞− 0 =∞.

2.2.17. ∆ειξτε οτι η συναρτηση f (x) = x2 + 2x ειναι συνεχης στο x0 = 3.Λυση. Αφου η f (x) ειναι πωλυωνυµικη, απο την 2.2.12 εχουµε (µε x0 = 3)

limx→3

f (x) = f (x0)

δηλ. ειναι συνεχης στο x0 = 3. Φυσικα το ιδιο ισχυει για καθε x0 ∈ R.

2.2.18. ∆ειξτε οτι η συναρτηση f (x) = x3+2xx2+1

ειναι συνεχης στο R.Λυση. Για καθε x0 ∈ R εχουµε (απο την τεταρτη σχεση της 2.1.19) οτι limx→x0 =

f (x0)· η µονη πιθανη εξαιρεση ειναι σηµεια στα οποια µηδενιζεται ο παρονοµαστης τηςf (x). Αλλα αφου αυτος ειναι x2 +1 τετοια σηµεια δεν υπαρχουν στο R, δηλ. η f (x) ειναισυνεχης παντου στο R.

2.2.19. ∆ειξτε οτι η συναρτηση f (x) = |x| ειναι συνεχης στο R.Λυση. Η συναρτηση µπορει να γραφτει και ως

f (x) = |x| ={−x οταν x < 0x οταν x ≥ 0 .

Αρα για καθε x0 ∈ (0,∞) εχουµε

limx→x0

f (x) = x0 = f (x0)

και για καθε x0 ∈ (−∞, 0) εχουµε

limx→x0

f (x) = −x0 = f (x0)



Αρα η f (x) ειναι σιγουρα συνεχης στο R−{0}. Τι γινεται στο x0 = 0; Ευκολα ϐλεπουµεοτι εχουµε

limx→0−

f (x) = 0, limx→0+

f (x) = 0

και αραlimx→0

f (x) = 0 = f (0) .

Αρα η f (x) = |x| ειναι συνεχση σε ολο το R.

2.2.20. Βρειτε τα σηµεια ασυνεχειας της f (x) = x−2x2−4 .

Λυση. Η f (x) ειναι πηλικο δυο πολυωνυµικων και αρα συνεχων συναρτησεων. Αρακαι η f (x) ειναι συνεχης παντου εκτος των σηµειων στα οποια µηδενιζεται ο παρονο-µαστης, δηλ. των −2, 2. Σε αυτα τα σηµεια η συναρτηση δεν οριζεται, αρα και δεν µπορεινα ειναι συνεχης.


2.3.1. ∆ειξτε οτι limx→2 (2x− 1) = 3.

2.3.2. ∆ειξτε οτι limx→2√x− 1 = 1.

2.3.3. ∆ειξτε οτι limx→1 x2−1x−1 = 2.

2.3.4. Ποια ειναι η σηµασια των (2.2) και ;;);

2.3.5. ∆ειξτε οτι limx→∞ 1x = 0 και οτι limx→−∞1x

= 0.

2.3.6. Ποια ειναι η σηµασια των (2.4) και (2.5);

2.3.7. ∆ειξτε οτι limx→∞ x2 =∞.

2.3.8. ∆ειξτε οτι limx→−∞ x3 = −∞.

2.3.9. ∆ειξτε οτι limx→0− 1x = −∞.

2.3.10. ∆ειξτε οτι limx→1+ x+1x2−1 =∞.


1. limx→−1 (5x2 + 3x− 4).

2. limx→4√x4.

3. limx→1√

5x2 + 3x− 4.

4. limx→3 x2−5x+6

x2−8x+16 .

Απ. −2, 16, 2, 0.

2.3.12. ∆ειξτε οτι, για οποιαδηποτε πολυωνυµα π (x), ρ (x), εχουµε limx→x0 (π (x) · ρ (x)) =π (x0) · ρ (x0).



2.3.13. ∆ειξτε οτι, αν limx→x0 f (x) = f0 και limx→x0 g (x) = g0, τοτε

limx→x0

(f (x) · g (x)) = f (x0) · g (x0) .


1. limx→1 x−2x2−5x+6 .

2. limx→1 x2−1x3−1 .

3. limh→0(x+h)3−x3

h.

4. limx→2 4−x2

3−√x2+5

.

Απ. −1/2, 2/3, 3x2, 2.


1. limx→1− x−2x−1 .

2. limx→1+ x−2x−1 .

3. limx→0+ 17x2 .

4. limx→0− 3x2−4x−

.

Απ. ∞,−∞,∞,−∞,−∞.


1. limx→∞ x−2x+1 .

2. limx→∞ 3x−47x−1 .

3. limx→∞ 3x−47x2−1 .

4. limx→∞ 3x2−4

7x−1 .

5. limx→−∞ 3x2−4

7x−1 .

Απ. 1, 3/7, 0,∞,−∞.

2.3.17. ∆ειξτε οτι limx→0 sinxx = 1.

2.3.18. ∆ειξτε οτι η συναρτηση f (x) = x2 + 2x ειναι συνεχης στο x0 = 3.

2.3.19. ∆ειξτε οτι η συναρτηση f (x) = x3+2xx2+1

ειναι συνεχης στο R.

2.3.20. ∆ειξτε οτι η συναρτηση f (x) = |x| ειναι συνεχης στο R.

2.3.21. Αν f (x), g (x) ειναι συνεχεις στο x0, δειξτε οτι η f (x · g (x)) ειναι επισης συνεχηςτο x0.

2.3.22. Βρειτε τα σηµεια ασυνεχειας της f (x) = x−1x2−1 .

Απ. Ειναι τα −1, 1.

Αθ.ΚεχαγιαςΚεφάλαιο 3Παραγωγοι και ∆ιαφορικα

Η παραγωγος f ′ (x) της συναρτησης f (x) ειναι ο ϱυθµος µεταβολης της f (x). Στο παρονκεφαλαιο παρουσιαζουµε µονο τον ορισµο και τις ϐασικες ιδιοτητες της παραγωγου. Οιδιαφορες εφαρµογες της παραγωγου ϑεωρουνται γνωστες.

3.1 Θεωρια

3.1.1. Η παραγωγος µιας συναρτησης f (x) συµβολιζεται µε f ′ (x) και οριζεται ως εξης

f ′ (x) = lim∆x→0

f (x+ ∆x)− f (x)∆x

.

3.1.2. Τα παρακατω Ϲευγη f (x) /f ′ (x) ειναι ϐασικα και καλο ϑα ειναι να τα αποµνηµονευσετε.

f (x) f ′ (x)1 0x 1x2 2xxn nxn−1

sinx cosxcosx − sinxtanx 1

cos2 x

sinhx coshxcoshx sinhxex ex

lnx 1x

3.1.3. Στον παρακατω πινακα συνοψιζονται µερικες ϐασικες ιδιοτητες της παραγωγου.Η τυπικη συναρτηση F (x) δινεται στην πρωτη στηλη και η παραγωγος αυτης F′ (x) στην

24


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΚΑΙ ∆ΙΑΦΟΡΙΚΑ 25

δευτερη.F (x) F′ (x)f (x) f ′ (x)f (x) + g (x) f ′ (x) + g′ (x)c · f (x) c · f ′ (x) (οπου c µια σταθερα)f (x) · g (x) f (x) · g′ (x) + f ′ (x) · g (x)f(x)g(x)

f(x)·g′(x)+f ′(x)·g(x)g2(x)

(οταν g (x) 6= 0)f (h (x)) f ′ (h (x)) · h′ (x)

3.1.4. Η παραγωγος της f (x) συµβολιζεται και ως

df

dx= lim

∆x→0

∆f

∆x= f ′ (x)

οπου∆f = f (x+ ∆x)− f (x)

ειναι η µεταβολη της f οταν το x µεταβαλλεται κατα ∆x.

3.1.5. Ισχυει προσεγγιστικα οτι f ′ (x) ' ∆f∆x

και

∆f ' f ′ (x) ∆x. (3.1)

Η προσεγγιση ειναι τοσο καλυτερη οσο µικροτερο ειναι το |∆x|.

3.1.6. Ο συµβολισµος dfdx

τονιζει οτι η παραγωγος ειναι ο λογος της µεταβολης ∆f ωςπρος την µεταβολη ∆x οταν τα ∆x και ∆f γινονται πολυ µικρα.

3.1.7. Αν και το συµβολο dfdx

δεν ειναι κλασµα, πολλες ϕορες το µεταχειριζοµαστε ωςκλασµα, π.χ. γραφουµε

df = f ′ (x) dx. (3.2)

Η ποσοτητα df στην (3.2) ονοµαζεται διαφορικο της f (x). Στην ουσια η (3.1) ειναι µιασυντοµογραφια της εκφρασης ¨η ∆f ειναι περιπου ιση µε την f ′ (x) ∆x οταν το |∆x| ειναιαρκετα µικρο¨. Οπως ϑα δουµε στα εποµενα κεφαλαια, ο συµβολισµος df = f ′ (x) dxειναι πολυ χρησιµος (π.χ. στον υπολογισµο ολοκληρωµατων) και γενικα µπορουµε ναχειριζοµαστε το df

dxως κλασµα (αν και αυτο δεν ειναι αυστηρα σωστο).

3.1.8. Μερικες ϕορες µια συναρτηση y (x) οριζεται σε πλεγµενη µορφη, απο µια εκφρασηP (x, y) = 0. Η εκφραση αυτη καθοριζει οτι οι x και y ϐρισκονται σε καποια (συναρτησι-ακη) σχεση, αλλα ισως δεν µπορουµε να λυσουµε P (x, y) = 0 και να ϐρουµε την y (x) ωςσυναρρτηση του x. Παρολα αυτα, πολλες ϕορες ειναι δυνατο να υπολογισουµε την y′ (x)ως συναρτηση των x και y (δειτε και τα παραδειγµατα 3.2.19 – 3.2.22).


3.2.1. Υπολογιστε την παραγωγο της f (x) = x ϐασει του ορισµου.Λυση

f ′ (x) = lim∆x→0

f (x+ ∆x)− f (x)∆x

= lim∆x→0

x+ ∆x− x∆x

= lim∆x→0

∆x

∆x= lim

∆x→01 = 1.



3.2.2. Υπολογιστε την παραγωγο της f (x) = x2 ϐασει του ορισµου.Λυση

f ′ (x) = lim∆x→0

f (x+ ∆x)− f (x)∆x

= lim∆x→0

(x+ ∆x)2 − x2

∆x

= lim∆x→0

x2 + 2x ·∆x+ (∆x)2 − x2

∆x

= lim∆x→0

(2x+ ∆x) ·∆x∆x

= lim∆x→0

(2x+ ∆x) = 2x.

3.2.3. Αποδειξτε οτι (c · f (x))′ = c · f ′ (x) .Λυση

(c · f (x))′ = lim∆x→0

c · f (x+ ∆x)− c · f (x)∆x

= c · lim∆x→0

f (x+ ∆x)− f (x)∆x

= c · f ′ (x) .

3.2.4. Υπολογιστε την παραγωγο της f (x) = x2 − 4x+ 5.Λυση (

x2 − 4x+ 5)′

=(x2)′ − 4 (x)′ + (5)′ = 2x− 4 + 0 = 2x− 4.

3.2.5. Υπολογιστε την παραγωγο της f (x) = x2−4x+5x2+1

.Λυση(

x2 − 4x+ 5x2 + 1

)′=

(x2 − 4x+ 5)′ (x2 + 1)− (x2 − 4x+ 5) (x2 + 1)′

(x2 + 1)2

=(2x− 4) (x2 + 1)− (x2 − 4x+ 5) 2x

(x2 + 1)2=

4x2 − 8x− 4(x2 + 1)2

.

3.2.6. Υπολογιστε την παραγωγο της f (x) = ex · (x2 + 1).Λυση (

ex ·(x2 + 1

))′= ex ·

(x2 + 1

)+ ex · 2x = ex ·

(x2 + 2x+ 1

).

3.2.7. Υπολογιστε την παραγωγο της f (x) = ex2−4x+5.Λυση (

ex2−4x+5

)′= (2x− 4) · ex2−4x+5.

3.2.8. Υπολογιστε την παραγωγο της f (x) = ln (x2 sinx).Λυση [

ln(x2 sinx

)]′=

1

x2 · sinx·(2x sinx+ x2 cosx

).

3.2.9. Υπολογιστε την παραγωγο της y (x) = arcsin x.Λυση Εχουµε

y = arcsinx⇔ x = sin y,Απο το οποιο εχουµε επισης cos y =

√1− x2. Τωρα

dx

dy= cos y ⇒ dy

dx=

1dxdy

=1

cos y=

1√1− x2

.



3.2.10. Υπολογιστε την παραγωγο της y (x) = arctan x.Λυση Εχουµε

y = arctanx⇔ x = tan y,Απο το οποιο εχουµε επισης cos y =

√1 + x2. Τωρα

dx

dy= tan y ⇒ dy

dx=

1dxdy

=11

cos2 y

=1

1 + x2.

3.2.11. Αποδειξτε οτι (sin(x))′ = cos(x).Λυση

(sinx)′ =

(eix − e−ix

2i

)′=ieix − (−i) e−ix

2i=eix + e−ix

2= cosx.

3.2.12. Αποδειξτε οτι (sinh(x))′ = cosh(x).Λυση

(sinhx)′ =

(ex − e−x

2

)′=ex + e−x

2= coshx.

3.2.13. Αποδειξτε οτι (arcsinx)′ = 1√1−x2 .

Λυση Θετουµε z = arcsinx. Τοτε x = sin z και

dx

dz= cos z =

√1− sin2 z =

√1− x2

οποτε(arcsinx)′ =

dz

dx=

1√1− x2

.

3.2.14. Αποδειξτε οτι (arc sinh(x))′ = 1√x2+1

.Λυση Θετουµε z = arc sinhx. Τοτε x = sinh z και

dx

dz= cosh z =

√1 + sinh2 z =

√1 + x2

οποτε(arc sinhx)′ =

dz

dx=

1√1 + x2

.

3.2.15. Υπολογιστε το διαφορικο της f (x) = x2 ϐασει του ορισµου και δωστε µιαγεωµετρικη ερµηνεια.

Λυσηdf = f ′ (x) dx = 2xdx.

Μια γεωµετρικη ερµηνεια ειναι η εξης. Θεωρειστε ενα τετραγωνο µε πλευρα x. Τοτεf (x) = x2 ειναι το εµβαδον του τετραγωνου. Εστω τωρα οτι η πλευρα αυξανεται απο xσε x + ∆x. Το εµβαδον αυξανεται οπως ϕαινεται στο σχηµα 3.1. Αν το ∆x ειναι σχετικαµικρο, η µεγαλυτερη µεταβολη του εµβαδου δινεται απο τα δυο παραλληλογραµα µεπλευρες x και ∆x και ειναι 2x∆x. Υπαρχει µια επιπλεον αυξηση του εµβαδου κατα(∆x)2 απο το τετραγωνο µε πλευρα ∆x, αλλα αν το ∆x ειναι µικρο, τοτε το (∆x)2 ειναι



x

x ∆x

∆x

∆x

∆x

Σχήµα 3.1: Μια γεωµετρικη ερµηνεια του διαφορικου.

πολυ µικρο σε σχεση µε το 2x∆x και µπορουµε να το αγνοησουµε. Π.χ., αν x = 2 και∆x = 0.1, τοτε

(x+ ∆x)2 = 2.12 = 4. 41, x2 = 22 = 4,

(x+ ∆x)2 − x2 = 4.41− 4 = 0.41,2x∆x = 2 · 2 · 0.1 = 0.4,(∆x)2 = (0.1)2 = 0.01,

δηλ. το µεγαλυτερο µερος της µεταβολης ∆f = 0.41 προκυπτει απο τον ορο 2x∆x = 0.4.

3.2.16. Βρειτε προσεγγιστικα την τιµη της√

4.1 χρησιµοποιωντας το διαφορικο.Λυση Θετουµε f (x) =

√x. Τοτε

√x+ ∆x = f (x+ ∆x) ≈ f (x) + f ′ (x) ∆x =

√x+

1

2√x

∆x.

Αν παρουµε τωρα x = 4, x+ ∆x = 4.1 και αρα ∆x = 0.1, η παραπανω σχεση δινει

√4.1 =

√4 + 0.1 ≈

√4 +

1

2√

40.1 = 2 +

0.1

4= 2. 025.

Η πραγµατικη τιµη ειναι√

4.1 = 2. 024 8. Το σχετικο σφαλµα ειναι

|2.0248− 2.025|2.048

= 9. 765 6× 10−5

Αρα η προσεγγιση ειναι αρκετα καλη.



3.2.17. Βρειτε προσεγγιστικα την τιµη της√

4.01 χρησιµοποιωντας το διαφορικο.Λυση Με το ιδιο σκεπτικο οοπως και στην προηγουµενη ασκηση, παιρνουµε τωρα

x = 4, x+ ∆x = 4.01 και αρα ∆x = 0.01, οποτε

√4.01 =

√4 + 0.01 ≈

√4 +

1

2√

40.01 = 2 +

0.01

4= 2. 002 5.

Η πραγµατικη τιµη ειναι√

4.01 = 2.002498439. Το σχετικο σφαλµα ειναι

|2.002498439− 2.0025|2.002498439

= 7. 795 3× 10−7

δηλ. δυο ταξεις µεγεθους µικροτερο απο το σφαλµα στον υπολογισµο της√

4.1. Αυτοδειχνει (µε ενα παραδειγµα) οτι οσο µικροτερο γινεται το ∆x, τοσο καλυτερη ειναι ηπροσεγγιση µε διαφορικο.

3.2.18. Βρειτε προσεγγιστικα την τιµη του sin (10) χρησιµοποιωντας το διαφορικο. Τοιδιο και για την τιµη του cos (610) και του cos (440).

Λυση Καταρχην τονιζουµε οτι στις τριγωνοµετρικες συναρτησεις το ορισµα x µετραταισε ακτινια. Αρα πρεπει να µετατρεψουµε την 10 σε ακτινια. Εχουµε

x

π=

10

1800⇒ x = 1. 745 3× 10−2.

Οποτε

sin(10)

= sin(1. 745 3× 10−2

)≈ sin (0) + sin′ (0) · 1. 745 3× 10−2

= sin (0) + cos (0) · 1. 745 3× 10−2 ≈ 1. 745 3× 10−2.

Αντιστοιχα

cos(610)

= cos(π

3+ 1. 745 3× 10−2

)≈ cos (π/3)− sin (π/3) · 1. 745 3× 10−2

=1

2−√

3

2· 1. 745 3× 10−2 ≈ 0.484 89.

Τελος

cos(440)

= cos(π

4+ 1. 745 3× 10−2

)≈ cos (π/4)− sin (π/4) · 1. 745 3× 10−2

=

√2

2−√

2

2· 1. 745 3× 10−2 ≈ 0.694 77.

3.2.19. Βρειτε την y′ αν y3 + y2 − 5y − x2 + 4 = 0.Λυση Θεωρειστε την συνθετη συναρτηση g (x) = g (y (x)) = (y (x))3 , δηλ. g (y) = y3.

Τοτεdg

dx=dg

dy

dy

dx= 3y2y′. (3.3)

Αντιστοιχα,d

dxy2 = 2yy′. (3.4)



Χρησιµοποιωντας τις (3.3) και (3.4) εχουµε

d

dx

(y3 + y2 − 5y − x2 + 4

)=

d

dx(0)⇒

3y2y′ + 2yy′ − 5y′ − 2x+ 0 = 0⇒y′ ·(3y2 + 2y − 5

)= 2x⇒

y′ =2x

3y2 + 2y − 5.

3.2.20. Βρειτε την y′ αν (x2 + y2)x2 = y2.Λυση Παροµοια µε την προηγουµενη εχουµε

(2x+ 2yy′)x2 +(x2 + y2

)2x = 2yy′ ⇒

y′ ·(2yx2 − 2y

)= −2x3 −

(x2 + y2

)· 2x⇒

y′ =2x3 + 2x · (x2 + y2)

2y · (x2 − 1)=x · (2x2 + y2)y · (x2 − 1)

.

3.2.21. Βρειτε την y′ (3) αν 3 · (x2 + y2)2 = 100xy.Λυση Λυνοντας οπως και στις προηγουµενες παιρνουµε

y′ =25y − 3x · (x2 + y2)−25x+ 3y · (x2 + y2)

. (3.5)

Εδω Ϲητειται η τιµη y′ (3). ∆ηλ. στην (3.5) ϑα ϑεσουµε x = 3. Ποια ειναι οµως η τιµηy (3); Στην αρχικη 3 · (x2 + y2)2 = 100xy ϑετουµε x = 3 και παιρνουµε

3 ·(32 + y2

)2= 100 · 3 · y

και λυνουµε ως προς y. Μια λυση ειναι y = 1. Οποτε στο σηµειο (3, 1) εχουµε

y′ (3) =25 · 1− 3 · 3 · (32 + 12)−25 · 3 + 3 · 1 · (32 + 12)

=13

9. (3.6)

3.2.22. Βρειτε την y′′ αν x2 + y2 = 25.Λυση Οπως και στις προηγουµενες ασκησεις, εδω εχουµε

2x+ 2yy′ = 0⇒ y′ = −xy.

Παραγωγιζουµε και παλι και παιρνουµε

y′′ = − ddx

(x

y

)= −(x)

′ y − xy′

y2= −y − xy

′

y2= −

y − x ·(−xy

)y2

= −x2 + y2

y3.




3.3.1. Αποδειξτε ϐασει του ορισµου οτι η σταθερη συναρτηση f (x) = c εχει f ′ (x) = 0.

3.3.2. Αποδειξτε ϐασει του ορισµου οτι (x3)′ = 3x2.

3.3.3. Υπολογιστε την(x2+12x−7

)′. (Απ. x

2−7x−1(2x−7)2 .)

3.3.4. Υπολογιστε την(ex

2 · x)′. (Απ. ex2 + 2x2ex2.)

3.3.5. Υπολογιστε την (sin (x3 + 7ex))′ . (Απ. (7ex + 3x2) cos (7ex + x3) .)

3.3.6. Υπολογιστε την (cotx)′. (Απ. 1sin2 x

.)


1. (cos(x))′ = − sinx

2. (tan(x))′ = tan2 x+ 1

3. (sec(x))′ = sinxcos2 x


1. (cosh(x))′ = sinh(x),

2. (tanh(x))′ = sech2(x),

3. (coth(x))′ = − csch2(x),

4. (sech(x))′ = − sech(x) · tanh(x),

5. (csch(x))′ = − csch(x) · coth(x)


1. (arccosx)′ = − 1√1−x2 ,

2. (arctanx)′ = 11+x2

.


1. (arc cosh(x))′ = 1√x2−1 ,

2. (arc tanh(x))′ = 11−x2 ,

3. (arc coth(x))′ = 11−x2 ,

4. (arc sech(x))′ = − 1x√

1−x2 ,



5. (arc csch(x))′ = − 1|x|√1+x2 .

3.3.11. Υπολογιστε προσεγγιστικα (µε χρηση του διαφορικου) την tan (460) και τηνtan (440). (Απ. 1. 035 4 και 0.965 67.)

3.3.12. Υπολογιστε προσεγγιστικα (µε χρηση του διαφορικου) την e0.9. (Απ. 2. 435 1 .)

3.3.13. Βρειτε την y′ για τις παρακατω πεπλεγµενες συναρτησεις

1. x2 + y2 = 16. (Απ. −x/y.)

2. x1/2 + y1/2 = 9. (Απ. −√y/x.)

3. x3 − xy + y2 = 4. (Απ. y−3x22y−x .)

4. x3y3 − y = x. (Απ. 1−3x2y33x3y2−1 .)

5. x3 − 2x2y + 3xy2 = 38. (Απ. 4xy−3x2−3y22x·(3y−x) .)

3.3.14. Βρειτε την y′′ για τις παρακατω πεπλεγµενες συναρτησεις

1. x2 + xy = 5 (Απ. 10/x3.)

2. x2 − y2 = 16 (Απ. −16/y3.)

3. y2 = x3 (Απ. 3x/4y.)

Αθ.ΚεχαγιαςΚεφάλαιο 4Αοριστα Ολοκληρωµατα

Η ολοκληρωση ειναι η αντιστροφη διαδικασια της παραγωγισης. Στο παρον κεφαλαιοπαρουσιαζουµε µονο τον ορισµο και τις ϐασικες ιδιοτητες του αοριστου ολοκληρωµατος.

4.1 Θεωρια

4.1.1. Εστω δυο συναρτησεις f(x) και F (x). Λεµε οτι η συναρτηση F (x) ειναι ενα αοριστοολοκληρωµα της συναρτησης f(x) ανν ισχυει

F ′(x) = f(x) (4.1)

και τοτε γραφουµε ισοδυναµα

F (x) =

∫f(x)dx. (4.2)

4.1.2. Ισοδυναµα προς την ¨η F (x) ειναι το αοριστο ολοκληρωµα της f (x)¨ χρησι-µοποιουµε τις εκφρασεις ¨η F (x) ειναι παραγουσα της f(x)¨ και ¨η F (x) ειναι αντιπαραγ-ωγος της f(x)¨.

4.1.3. Το αοριστο ολοκληρωµα εχει τις εξης ιδιοτητες∫c · f(x)dx = c ·

∫f(x)dx∫

(f(x) + g(x)) dx =

∫f(x)dx+

∫g(x)dx∫

f(u(x))u′(x)dx =

∫f(u)du. (4.3)

Η (4.3) ειναι στην ουσια µια εναλλακτικη διατυπωση του κανονα της αλυσσωτης παραγ-ωγισησ:

[f (u (x))]′ = f ′ (u)u′ (x) .

33


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΑΟΡΙΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 34

4.1.4. Τα παρακατω ειναι ¨βασικα¨ αοριστα ολοκληρωµατα.∫1dx = x+ c∫xmdx = x

m+1

m+1+ c (m 6= −1)∫

1xdx = ln |x|+ c∫exdx = ex + c∫sinxdx = − cosx+ c∫cosx)dx = sin x+ c∫tanx)dx = − ln |cosx)|+ c∫sinhx)dx = coshx+ c∫cosh(xdx = sinh x+ c∫tanhx)dx = = ln |cosh(x|+ c

4.1.5. Το c σε ολες τις παραπανω εκφρασεις ειναι µια αυθαιρετη σταθερα. Πραγµατι, ανF (x) =

∫f (x) dx, ισοδυναµα F ′ (x) = f (x). Αλλα τοτε και (F (x) + c)′ = F ′ (x)+(c)′ =

f (x) + 0, δηλ. και η F (x) + c ειναι ενα αοριστο ολοκληρωµα της f (x) (γι΄ αυτο καιχρησιµοποιουµε τον ορο αοριστο ολοκληρωµα).

4.1.6. Αλλα σηµαντικα αοριστα ολοκληρωµατα ειναι τα εξης.∫1

cos(x)dx = ln

∣∣1+sinxcosx

∣∣+ c∫1

sin(x)dx = ln

∣∣1−cosxsinx

∣∣+ c∫1√

a2−x2dx = arcsin(xa) + c∫

1a2+x2

dx = 1a

arctan(xa) + c∫

1x2−a2dx =

12a

ln∣∣x−ax+a

∣∣+ c∫1

a2−x2dx =12a

ln∣∣a+xa−x

∣∣+ c∫1√

x2−a2dx = arccosh(xa) + c = ln

∣∣x+√x2 − a2∣∣+ c∫1√

a2+x2dx = arcsinh(x

a) + c = ln

∣∣x+√x2 + a2∣∣+ c∫ √a2 − x2dx = 1

2x√a2 − x2 + a2

2arcsin

(xa

)+ c∫ √

a2 + x2dx = 12x√a2 + x2 + a

2

2arcsinh

(xa

)+ c∫ √

x2 − a2dx = 12x√x2 − a2 − a2

2arccosh

(xa

)+ c∫ √

a2 + x2dx = 12x√a2 + x2 + a

2

2ln∣∣x+√x2 + a2∣∣+ c∫ √

x2 − a2dx = 12x√x2 − a2 − a2

2ln∣∣x+√x2 − a2∣∣+ c


4.2.1. Αποδειξτε οτι∫xdx = 1

2x2 + c.

Λυση Πραγµατι(

12x2 + c

)′= 1

22x+ 0 = x.

4.2.2. Αποδειξτε οτι∫

cosxdx = sinx+ c.Λυση Πραγµατι (sinx+ c)′ = cosx+ 0 = cosx.

4.2.3. Αποδειξτε οτι∫c · f(x)dx = c ·

∫f(x)dx.

Λυση Εστω οτι , F (x) =∫f(x)dx, δηλ. ισοδυναµα F ′ (x) = f (x). Τοτε (c · F (x))′ =

c · F ′ (x) = c · f (x), δηλ. η c · F (x) ειναι το ολοκληρωµα της c · f (x).



4.2.4. Υπολογιστε το∫x4dx.

Λυση∫x4dx = 1

5x5 + c.

4.2.5. Υπολογιστε το∫

(2− 5 sinx+ ex) dxΛυση

∫(2− 5 sinx+ ex) dx =

∫2dx− 5

∫sinxdx+

∫exdx = 2x+ 5 cosx+ ex + c.


2x+√x+1√x

dxΛυση ∫

2x+√x+ 1√x

dx =

∫2x1/2dx+

∫dx+

∫x−1/2dx

= 2x3/2

3/2+ x+

x1/2

1/2=

4

3x3/2 + x+ 2x1/2 + c.

4.2.7. Υπολογιστε το∫ √

x√x√xdx.

Λυση Εχουµε∫ √x

√x√xdx =

∫ √x√x · x1/2dx =

∫ √x√x3/2dx

=

∫ √x · x3/4dx =

∫x7/8dx =

8

15x15/8 + c.

4.2.8. Υπολογιστε το∫ 2x+ 3

5

√x

33√x2

dx.Λυση Εχουµε∫2x+ 3

5

√x

33√x2

dx =2

3

∫x

x2/3dx+

1

5

∫x1/2

x2/3dx =

2

3· 34x4/3 +

1

5· 65x5/6 =

1

2x4/3 +

6

25x5/6 + c.


(√x− 1)2 3

√xdx.

Λυση Εχουµε∫ (√x− 1

)2 3√xdx = ∫ (x− 2x1/2 + 1) · x1/3dx=

∫ (x4/3 − 2x2/3 + x1/3

)dx =

3

7x7/3 − 6

5x5/3 +

3

4x4/3 + c.


cot2 xdx.Λυση∫cot2 xdx =

∫cos2 x

sin2 xdx =

∫1− sin2 x

sin2 xdx =

∫1

sin2 xdx−

∫dx = − cotx− x+ c.


3√

1− 2xdx.Λυση Θετοντας u = 1− 2x, du = −2dx, εχουµε∫

3√

1− 2xdx = −12

∫u1/3du = −3

8u4/3 = −3

8(1− 2x)4/3 + c.




x(x2+1)

√x2+1

dx.Λυση Θετοντας u = x2 + 1, du = 2xdx, εχουµε∫

x

(x2 + 1)√x2 + 1

dx =1

2

∫du

u3/2=

1

2

∫u−3/2du =

1

2·(−2

1u−1/2

)= − 1√

x2 + 1+ c.

4.2.13. Υπολογιστε το∫e3x+2dx

Λυση Θετοντας u = 3x+ 2, du = 3dx, εχουµε∫e3x+2dx =

1

3

∫eudu =

1

3eu =

1

3e3x+2 + c.


x(2x+5)2

dx.

Λυση Θετοντας u = 2x+ 5, du = 2dx, εχουµε∫x

(2x+ 5)2dx =

1

2

∫(u− 5) /2

u2du =

1

4

∫u− 5u2

du =1

4

∫du

u− 5

4

∫du

u2

=1

4ln |u| − 5

4· u−1

−1=

1

4ln |2x+ 5|+ 5

4· 1

2x+ 5+ c.

4.2.15. Υπολογιστε το∫x√x− 3dx.

Λυση Θετοντας u = x− 3, du = dx, εχουµε∫x√x− 3dx =

∫(u+ 3)u1/2du =

∫ (u3/2 + 3u1/2

)du

=2

5u5/2 + 3 · 2

3· u3/2 = 2

5(x− 3)5/2 + 2 (x− 3)3/2 + c.


cos5 x sinxdx.Λυση Θετουµε u = cosx, du = − sinxdx, οποτε∫

cos5 x sinxdx = −∫u5du = −1

6u6 = −1

6cos6 x.


lnxxdx.

Λυση Θετουµε u = lnx, du = dx/x, οποτε∫lnx

xdx =

∫udu =

1

2u2 =

1

2(lnx)2 + c.

4.2.18. Υπολογιστε το∫ x+1/2

x2+x+3dx.

Λυση Θετουµε u = x2 + x+ 3, οποτε du = (2x+ 1) dx. Ετσι∫x+ 1/2

x2 + x+ 3dx =

1

2

∫du

u=

1

2ln |u| = 1

2ln∣∣x2 + x+ 3∣∣+ c.




dxx2+4x+5

.Λυση Εχουµε, µε συµπληρωση τετραγωνου, οτι

x2 + 4x+ 5 = x2 + 2 · 2 · x+ 22 + 1 = (x+ 2)2 + 1.

Οποτε ∫dx

x2 + 4x+ 5=

∫d (x+ 2)

(x+ 2)2 + 1= arctan (x+ 2) + c.


2x3−5x2−12x+52x+3

dx.Λυση Εδω απαιτειται η χρηση πολυωνυµικης διαιρεσης του 2x3 − 5x2 − 12x + 5 µε

το 2x+ 3. Εχουµε2x3 −5x2 −12x +5 2x+ 32x3 +3x2 x2 − 4x

−8x2 −12x +5−8x2 −12x

+5

που δινει πηλικο x2 − 4x και υπολοιπο 5, δηλ.

2x3 − 5x2 − 12x+ 52x+ 3

= x2 − 4x+ 52x+ 3

.

Οποτε εχουµε∫2x3 − 5x2 − 12x+ 5

2x+ 3dx =

∫ (x2 − 4x+ 5

2x+ 3

)dx =

x3

3− 2x2 + 5

2ln |2x+ 3|+ c.


4.3.1. Αποδειξτε οτι∫x2dx = 1

3x3 + c.


1dx = x+ c.

4.3.3. Αποδειξτε οτι∫ √

xdx = 32x3/2 + c.


sin dx = cosx+ c.


1xdx = lnx+ c.


(f(x) + g (x)) dx =∫f(x)dx+

∫g(x)dx.

4.3.7. Υπολογιστε το∫x3dx. (Απ. 1

4x4 + c.)


(2x+ 4)dx. (Απ. x2 + 4x, µε u = 2x+ 4, du = 2dx).


x3√x4+5

dx. (Απ. 12

√(x4 + 5), µε u = x4 du = 4x3dx).


x2+2(x3+6x+1)

dx. (Απ. 13

ln (x3 + 6x+ 1), µε u = x3 + 6x + 1, du =(3x2 + 6)dx).




dx4x−1 . (Απ.

14

ln (4x− 1), µε u = 4x− 1, du = 4dx).


(ex + 2)2exdx. (Απ. 13

(ex + 2)3, µε u = ex, du = exdx).

4.3.13. Υπολογιστε το∫ sin(2x)+cos(2x)

cos(2x)dx.. (Απ.

∫ sin(2x)cos(2x)

dx+∫ cos(2x)

cos(2x)dx = −1

2ln (cos 2x) +

x, µε u = cos(2x), du = −2 sin(2x)dx στο 2ο ολοκλρωµα).


1√9−x2dx. (Απ. arcsin

13x, µε u = x

3, du = 1

3dx).


1√9−4x2dx. (Απ.

12

arcsin 23x, µε u = 2

3x, du = 2

3dx).


14x2+25

dx. (Απ. 110

arctan 25x, µε u = 2

5x, du = 2

5dx).


1√10+4x−x2dx. (Απ. arcsin

114

√14 (x− 2), µε συµπληρωση του

τετραγωνου).


x+4√5−4x−x2dx. (Απ. −

√(5− 4x− x2) + 2 arcsin

(13x+ 2

3

), µε u =

x+ 3, συµπληρωση του τετραγωνου και διασπαση του ολοκληρωµατος σε δυο µερη).

Αθ.ΚεχαγιαςΚεφάλαιο 5Τεχνικες Ολοκληρωσης

Στο παρον κεφαλαιο παρουσιαζουµε διαφορες τεχνικες για τον υπολογισµο αοριστωνολοκλ

Αθ.Κεχαγιαςusers.auth.gr/kehagiat/courses/math1book.pdfΑθ.Κεχαγιας...

Documents