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Gradient, dérivée extérieure et opérateur de cobord Opérateur de Hodge Méthodes de minimisation d’énergie Discrete calculus, introduction Tristan Roussillon 09/09/2013 [GP2010] Leo J. Grady and Jonathan R. Polimeni. Discrete calculus. Applied analysis on graphs for computational science. Springer, 2010. T. Roussillon séminaire équipe M2Disco 09/09/13 1 / 25

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Gradient, dérivée extérieure et opérateur de cobord Opérateur de Hodge Méthodes de minimisation d’énergie

Discrete calculus, introduction

Tristan Roussillon

09/09/2013

[GP2010] Leo J. Grady and Jonathan R. Polimeni.Discrete calculus. Applied analysis on graphs for computational science.Springer, 2010.

T. Roussillon séminaire équipe M2Disco 09/09/13 1 / 25

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Motivations

données traitementsimages 2d, 3d filtrage

graphes pondérés clusteringmaillages manifold learning

nuages de points nd rankingmatching

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Motivations

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Motivations

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Motivations

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Motivations

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Objectif

On a une fonction φ, sur un domaine, dont on veut calculer lesvariations.

domaine : continu/discret, euclidien/variétéopérateurs : grad ∇, curl ∇×, div ∇., laplacien ∇2

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Outline

1 Gradient, dérivée extérieure et opérateur de cobord

2 Opérateur de Hodge

3 Méthodes de minimisation d’énergie

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Dérivée directionnelle et dérivée extérieure

En calcul extérieur, la dérivée extérieure généralise la dérivéedirectionnelle, pour prendre en compte toutes les directions.

En un point x de R2, si le plan tangent en φ(x) est donné par lafonctionnelle linéaire dφ : R2 → R, telle quedφ(x) =< c, x >= c1x1 + c2x2, alors on a c = ∇φ(x).

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Remarques sur d

1. On note d l’opérateur de dérivée extérieur.2. Appliquer d à un champs de scalaires φ donne un champs

de vecteurs dφ (car en chaque point x, dφ(x) peut êtreassocié à ∇φ(x)).

3. En fait, appliquer d à un champs de scalaires associés à deséléments de dimension p donne un champs de scalairesassociés à des éléments de dimension p+ 1.

4. d est indépendant d’un système de coordonnées.

Tout ceci suggère la possibilité d’un calcul adapté aux complexescellulaires.

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Complexe cellulaire et p-cellules (p-vecteurs)

Complexe cellulaire de dimension n :ensemble de cellules orientées de dimension p, 0 ≤ p ≤ n.

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Matrices d’incidence

La structure d’un complexe cellulaire de dimension n estreprésenté par n− 1 matrices d’incidence. La p-matriced’incidence, notée NT

p , de dimension np−1 × np indique, à l’aidede 1, 0 et −1, quelles sont les (p− 1)-cellules incidentes auxp-cellules du complexe.On note aussi NT

1 = AT .

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p-chaine (= p-domaine)

Une p-chaine est un ensemble de p-cellules. C’est l’équivalentd’un champs de p-vecteurs, c’est-à-dire un p-domaine.Vectoriellement, on note :

τp =

np∑i

aiσ̄i.

C’est un vecteur colonne de dimension np × 1.

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Opérateur de bord NTp

La matrice d’incidence est donc l’opérateur de bord :

τp−1 = NTp τp.

Remarque : NTp−1N

Tp = 0, c’est-à-dire que le bord d’un bord est 0.

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p-cochaine (=p-forme)

Une p-cochaine est un ensemble de scalaires associés auxp-cellules d’une p-chaine. C’est l’équivalent d’un champs dep-formes (ou une p-forme).

cp =

np∑i

aiσ̃i.

C’est un vecteur colonne de dimension de dimension np × 1.

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Opérateur de cobord

D’après le Théorème de Stockes généralisé, l’opérateur dérivéeextérieure est adjoint à l’opérateur de bord :

< dw̃,S >=< w̃, ∂S > .

On connait par exemple :∫[a,b]

f ′(x)dx = f(b)− f(a).

Par conséquent, la transposée de l’opérateur de bord, Np, appelél’opérateur de cobord, est l’équivalent de l’opérateur dérivéeextérieure :

< Npcp−1, τp >=< cp−1, NT

p τp > .

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1 Gradient, dérivée extérieure et opérateur de cobord

2 Opérateur de Hodge

3 Méthodes de minimisation d’énergie

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Ingrédient 1 : dualité

Un complexe cellulaire a un complexe cellulaire dual dans lequella structure d’incidence est préservée.La structure du complexe cellulaire dual est représenté par n− 1matrices d’incidence qui vérifient :

M(n−p+1) = NTp .

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Ingrédient 2 : métrique

Bijection entre p-chaines et p-cochaines quand on définit untenseur métrique, comme une matrice carrée diagonale Gp dedimension np × np :

cp = Gpτp, τp = G−1p cp.

Dans un domaine euclidien :

cp = τp, τp = cp.

De plus, le tenseur métrique du complexe dual vérifie :

Hn−p = Gp.

idée qu’une p-chaine peut s’interpréter comme une p-cochaine etinversement

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Opérateur de Hodge discret

L’opérateur discret distingue l’application de l’espace desp-cochaines vers l’espace des n− p-cochaines du complexe dualet l’application inverse :

c′n−p = G−1p cp, cp = Gpc′n−p.

Dans un domaine euclidien :

c′n−p = cp, cp = c′n−p.

idée que les calculs qu’on fait sur une p-cochaine ressemblentaux calculs qu’on fait sur la n− p-cochaine du complexe dual, carles p-cellules sont orthogonales aux n− p-cellules du complexedual.

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Opérateur de cobord dual

L’opérateur de cobord dual, l’équivalent de l’opérateurcodifférentiel, est défini par l’opérateur de cobord et l’opérateurde Hodge discret :

Hn−p+1Mn−p+1G−1p = Gp−1N

Tp G−1p .

Dans un domaine euclidien, on a NTp .

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Interprétation 2d

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Résumé

standard extérieur discret∇ d A

∇× ?d G−12 N2

∇. δ = ?d? Gp−1NTp G−1p

∇2 δd = ?d ? d Gp−1NTp G−1p Np

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1 Gradient, dérivée extérieure et opérateur de cobord

2 Opérateur de Hodge

3 Méthodes de minimisation d’énergie

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Calcul discret et minimisation d’énergie

La démarche consiste à chercher une 0-cochaine x qui minimiseune énergie (intégrale avec des quantités différentielles).Trois modèles majeurs sont présentés :

1. le modèle de minimisation d’énergie basique (minimumtrivial).

2. le modèle de minimisation d’énergie étendu avec noeudsfantomes fixes pour ajouter un terme d’attache aux donnéesqui évite le minimum trivial.

3. le modèle de minimisation d’énergie non ciblé (minimumtrivial).

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Modèle de minimisation d’énergie basique

Soient x une 0-cochaine et A l’opérateur de cobord.

EBEM (x) = 1T (G−11 )q|Ax|p

Il y a le minimum trivial x = k. Trois types d’algorithmes existentpour s’approcher du minimum sans l’atteindre :

filtres (mode p = 0, médian p = 1, moyen p = 2, minimaxp =∞)descente de gradient possible pour p = 2 (voire pour p = 0).décomposition en valeurs propres (fourier sur un grapheshift-invariant) pour p = 2

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Différents paramètres pour p et q

p,q 0 1 2 ∞1 seeds max-flow/min-cut watershed2 l2-norm Voronoï random walker power watershed∞ l1-norm Voronoï shortest paths power watershed

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Modèle de minimisation d’énergie non ciblé

EUBEM (x) = 1T (G−11 )|Ax|p − λ1T (G−10 )|x|q

Quand p = 2, q = 2 et G−10 , x est un vecteur propre de L. Unesolution triviale est x = k. Mais le vecteur associé à la deuxièmeplus petite valeur propre (Fiedler vector) mène à uneminimisation dans l’espace orthogonal à x = k. Seuiller le Fiedlervector (spectral clustering) partitionne l’ensemble des 0-cellulesen deux groupes connectés !

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Courte conclusion

cadre théorique solide, général, partagé dans de nombreuxdomaines (graphes, images, électricité, physique).on peut manipuler un domaine pondéré ou non (illustré ici).on peut traiter aussi bien des 0-cellules que des p-cellules(non illustré ici).vision unifiée de nombreuses méthodes de filtrage etsegmentation d’images.

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