calculer les coefficients de singularités d'arête...2007/03/30 · asymptotique près de...

References Edge singularities The quasi-dual singular function method Numerical examples

Calculer les coefficients de singularités d’arête

Martin Costabel

IRMAR, Université de Rennes 1

Collaboration: Monique Dauge, Z. Yosibash, N. Omer

Séminaire Paris 6, 30 mars 2007

Martin Costabel (Rennes) Singularités d’arête Paris 6 1 / 29


Devise

“Les perspectives de cette méthode semblentprometteuses théoriquement et numériquement.”

M. Sibony dans Zbl 0784.65079 (1993)————————————–

“For edges we develop a new method for the calculation ofpolynomial approximations to the mode I, mode II and mode III edgeintensity functions.. . . The error in stress intensity factor data ifestimated from handbooks may be of the order, say, 20–50%. . .In this paper a computational procedure with which three-dimensionallinear elastic fracture mechanics problems routinely may be solved ina reliable way is developed.”

Andersson, Falk, Babuška (1990)

“This paper is the first in a series. The other papers will deal withelasticity problems, which are of especially great interest inengineering.”

Babuška, v. Petersdorff, Andersson (1994)



M. Costabel, M. Dauge, Z. Yosibash.A quasi-dual function method for extracting edge stress intensityfunctions.SIAM J. Math. Anal., 35:1177–1202, 2004.

N. Omer, Z. Yosibash, M. Costabel, M. Dauge.Edge flux intensity functions in polyhedral domains and their extractionby a quasidual function method.International J. Fracture, 129:97–130, 2004.

Z. Yosibash, N. Omer, M. Costabel, M. Dauge.Edge stress intensity functions in polyhedral domains and theirextraction by a quasidual function method.International J. Fracture, 136:37–73, 2005.

STRESS CHECK Master Guide - V-7Engineering Software Research and Development, Inc., St. Louis, MO63117, www.esrd.com, 2004.



Objets mécaniques montrant des concentrations de contraintes

23

ESIF and Extraction

The model contain 810 elements, using p=7 and 150,726 DOF.

Smallest layer in the vicinity of the edge:

Smallest layer in the vicinity of the vertex:

0.15

30.15

IK




23

ESIF and Extraction




0.15

30.15

IK

23

ESIF and Extraction




0.15

30.15

IK




25

ESIF and its comparison to the 2-D SIF




AnisotropieLaminésFissures en biais,courbes. . .

36

ESIF extraction for the anisotropic laminate

1( )A

!1( )

A!

Extracting ESIF for the CTS 30.8 0.8x" # #

Compare the ESIF extracted:

31 1x" # #

1( )A

!

40

Compact tension specimen with 10° slanted crack front.

The CTS is under bearing loads at the tearing holes, load=100.

CTS with a 10° slanted crack

40

Compact tension specimen with 10° slanted crack front.

The CTS is under bearing loads at the tearing holes, load=100.

CTS with a 10° slanted crack



Domaines et coordonnées

Domaine polyédral

x1

x3

x2

r

!

"1

"2

#The Edge E

Le domaine modèle: Ω = G× IG = (x ,y) | 0 < r < 1,0 < θ < ω

L’arête: E = 0× I, I =]−1,1[

La surface cylindrique: ΓR = (x ,y ,z) | r = R, 0 < θ < ω, z ∈ I



Le problème d’extraction

EDP elliptique linéaire, 2nd ordre, homogène

L =3

∑j=1

3

∑i=1

Lij ∂i ∂j , Lij N×N, réel, symétrique, constant

Problème de Dirichlet: u ∈ H10 (Ω)N tel que

∀v ∈ H10 (Ω)N : B(u,v) =

∫Ω

f ·v dx

Asymptotique naïve près de l’arête, pour f régulier :

u(x ,y ,z)∼ ∑α∈A,p∈Pα

aα,p(z)rαφα,p(θ)

“Edge stress intensity functions” (ESIF): aα,p(z)

Problème :

Calculer les coefficients d’arête aα,p(z), au moins pour Reα < 1



Le problème d’extraction : Stratégies

Asymptotique près de l’arête, pour f régulier :

u(x ,y ,z)∼ ∑α∈A,p∈Pα


Problème : Calculer les coefficients d’arête aα,p(z)

Trois stratégies possibles: Calculer les coefficients1 avant (ou au lieu de) la solution u2 en même temps que la solution u3 après la solution u



1. Extraction a priori

M. LencznerMéthode de calcul du coefficient de singularité pour la solution du problème de Laplace dans un

domaine diédral. M2AN 27, 395–420 (1993)

J. Rossmann - A. M. SändigFormulas for the coefficients in the asymptotics of solutions of boundary value problems for second

order systems near edges. DFG-Bericht 95–6, Univ. Stuttgart, Proc. ICIAM (1995)

Nazarov - Plamenevskii 1991 ...

Kulikov - Nazarov 2004



1. Extraction en un point; fonction singulière duale

Pour un point (0,0,z0) sur l’arête, la fonctionnelle linéaire d’extraction

cz0 : f = Lu 7→ 〈cz0 , f 〉 := aα,p(z0)

s’annule si la solution u est régulière en z0:

∀u ∈ HReα+1(Ω)∩H10 (Ω) : 〈cz0 ,Lu〉= 0

Ceci définit une distribution cz0 dans Ω: cz0 ∈ H12−Reα−ε (Ω)

solution de l’équation adjointe homogène L′cz0 = 0et des conditions de Dirichlet homogènes dans un sens “ultra-faible”:

cz0 est une “Fonction singulière duale” pour un point.

L’asymptotique de cz0 en (0,0,z0) est connue [Maz’ya-Plamenevskii] :En coordonnées sphériques (ρ0,ϑ0)

cz0 = Ψz0 −Xz0 where Ψz0 = ρ−1−α

0 ψ(ϑ0) 6∈ H12

Ψz0 satisfait le problème de Dirichlet homogène sur le dièdre infini tangent, etXz0 ∈ H1

0 (Ω) satisfait un problème aux limites “régulier”

L′Xz0 = L′Ψz0 dans Ω; Xz0 = Ψz0

∣∣∣∂Ω

sur ∂Ω



1. Extraction de moments par fonctions singulères duales

Plus stable que la valeur aα,p(z0) en un point, on peut calculer des momentsde aα,p (coefficients de Fourier, développement de Chebyshev ou Jacobi ...):∫

Eaα,p(z)b(z)dz =〈cb,Lu〉

On a alors cb = Ψb −Xb ∈ H1−Reα−ε , oùΨb admet une construction en variables cylindriques séparées, par ex.Ψb = K m[α,p ; b] avec une fonction singulière quasi-duale, voir ci-après.Xb ∈ H1

0 (Ω) satisfait un problème aux limites “régulier”

L′Xb = L′Ψb dans Ω; Xb = Ψb

∣∣∣∂Ω

sur ∂Ω

Par fonction test b, on doit résoudre : 1 problème aux limites 3D

3. Variante: Forme mixte avec une fonction de troncature χ:∫E

aα,p(z)b(z)dz =∫Ω

(Lu ·χK m[α,p; b]−u ·L(χK m[α,p; b])

)dx dy dz



2. Extraction concomitante

M. Costabel, E. Stephan:An improved boundary element Galerkin method for three-dimensional crack problems.

Integral Equations Operator Theory 10, 467–504 (1987)

B. Heinrich:The Fourier-finite-element method for Poisson’s equation in axisymmetric domains with edges.

SIAM J. Numer. Anal. 33, 1885–1911 (1996)

J.M.S. Lubuma, S. Nicaise:Finite element method for elliptic problems with edge singularities.

J. Comput. Appl. Math. 106, 145–168 (1999)

P. Ciarlet, Jr., B. Jung, S. Kaddouri, S. Labrunie, J. Zou:The Fourier singular complement method for the Poisson problem. I. Prismatic domains.

Numer. Math. 101, 423–450 (2005)The Fourier singular complement method for the Poisson problem. II. Axisymmetric domains.

Numer. Math. 102, 583–610 (2006)



2. Eléments finis augmentés par des fonctions singulières

En analogie avec le développement asymptotique de la solution

u(x ,y ,z) = ureg + ∑α∈A,p∈Pα


on cherche des solutions éléments finis de la forme

uh(x ,y ,z) = ureg;h(x ,y ,z)+ ∑α∈A,p∈Pα

aα,p;h(z)rαφα,p;h(θ)

avec

ureg;h dans un espace d’éléments finis réguliers

aα,p;h dans un espace d’éléments finis 1D sur l’árête

φα,p;h solutions de problèmes Sturm-Liouville 1D dans la variableangulaire θ calculées indépendamment.

Analyse: Complète pour arête infinie ou périodiqueDomaine polyédral, implémentations : On cherche encore. . .



3. Extraction a posteriori

I. Babuška, A. Miller: The post-processing approach in the finite element method – Part II: thecalculation of the stress intensity factors.

Internat. J. Numer. Methods Engrg. 20, 1111–1129 (1984)

B. Andersson, U. Falk, I. Babuška:Reliable determination of edge and vertex stress intensity factors in three-dimensionalelastomechanics.

17th Congress of the International Council of the Aeronautical Sciences, Stockholm 1990.

ICAS-90-4.9.2, 1730–1746, AIAA Washington (1990)

I. Babuška, T. v. Petersdorff, B. Andersson:Numerical treatment of vertex singularities and intensity factors for mixed boundary value problems

for the Laplace equation in R3. SIAM J. Numer. Anal. 31, 1265–1288 (1994)

B. Andersson, U. Falk, I. Babuška, T. v. Petersdorff:Reliable stress and fracture mechanics analysis of complex components using a h-p version of

FEM. Internat. J. Numer. Methods Engrg. 38, 2135-2163 (1995)

Z. Yosibash, R. Actis, B. Szabó:Extracting Edge Flux Intensity Functions for the Laplacian.

Internat. J. Numer. Methods Engrg. 53, 225-242 (2002)Martin Costabel (Rennes) Singularités d’arête Paris 6 13 / 29


3. Extraction par fonctions singulières quasi-duales: Rappel

Problème de Dirichlet: u ∈ H10 (Ω)N tel que

∀v ∈ H10 (Ω)N : B(u,v) =

∫Ω

f ·v dx

Forme bilinéaire elliptique B(u,v) apparaît dans les formules

Green 1∫

D Lu ·v dx = B(u,v)+∫

∂D Tu ·v dσ

Green 2∫

D(Lu ·v −u ·Lv)dx =∫

∂D(Tu ·v −u ·Tv)dσ

pour tout sous-domaine D ⊂ Ω, u,v ∈ H2(Ω)N .

T : operateur de trace Neumann, dérivée conormale,traction normale,...



3. Extraction par fonctions singulières quasi-duales: Le principe

L’intégrale JR :Intégrale de surface comme dans la formule de Green 2, pour ledomaine cylindrique à l’intérieur de la surface ΓR :

JR(u,v) =∫

ΓR

(Tu ·v −u ·Tv) dσ

b(z) : fonction test sur l’arête E

K m[α,p; b] : fonction singulière quasi-duale que l’on va construire

Théorème: Formule de “Quasi - Extraction”

JR(u,K m[α,p; b]

)=

∫Iaα,p(z) b(z)dz +O(Rα0+m)

A compléter par extrapolation en R → 0.



Rappel: Singularités de coins du Laplacien en 2D

G = (x ,y) ∈ R2 | 0 < r < 1, 0 < θ < ωDirichlet: u ∈ H1

0 (G), ∆u = f , f ∈ C∞(G), f = 0 près du coin c = 0.

Développement asymptotique au coin [Lichtenstein 1912]: u ∼ ∑j≥1

aj rjπω sin jπ

ωθ

C’est une série de Fourier, donc: Extraction par produit scalaire L2

ak =∫

r=R

(∑aj r

jπω sin jπ

ωθ

)2ω

r−kπ

ω sin kπ

ωθ

1R dσ

par orthogonalité:∫

ω

0sin jπ

ωθ sin kπ

ωθ dθ = ω

2 δjk

Cette orthogonalité est une particularité du Laplacien !

On peut réécrire la même formule sous une forme qui se généralise:Fonction singulière: Φj = r

jπω sin jπ

ωθ

Fonction singulière duale: Ψk = −1k r

−kπ

ω sin −kπ

ωθ∫

r=R

(∂r u Ψk −u ∂r Ψk ) dσ = ak +O(RN) , R → 0 , ∀N



Fonctions singulières et fonctions singulières duales en 2D

Operateur: M(∂x ,∂y ) =2

∑i=1

Mij∂i∂j , autoadjoint

Symbole Mellin M(θ ;α,∂θ ) : M(∂x ,∂y ) = r−2M(θ ; r∂r ,∂θ )

M(θ ;α,∂θ ) = N0(θ ,∂θ )+αN1(θ ,∂θ )+α2N2(θ)

Exposant de singularité α ∈ A :

∃0 6= φ ∈ H10 (0,ω) : M(θ ;α,∂θ )φ(θ) = 0

Fonctions singulières: φα,p : base de kerM(θ ;α,∂θ )

Fonctions singulières duales: ψα,p : base de kerM(θ ;−α,∂θ )

On peut choisir la base duale telle que (si multiplicité 1)

∫ω

0

∂M(θ ;α,∂θ )

∂αφα,p(θ)ψα,q(θ)dθ = δpq



Extraction de coefficients de coins en 2D

Green 2:∫D(Mu ·v −u ·Mv)dx =

∫∂D(T0u ·v −u ·T0v)dσ

Lemme

∀ φ ,ψ ∈ H10 (0,ω)N ; α,β ∈ C; Φ = rα φ(θ); Ψ = r−β ψ(θ):∫

ω

0

(T0(R)Φ ·Ψ−Φ ·T0(R)Ψ

)dθ = Rα−β

∫ω

0(N1 +(α +β )N2) φ ·ψ dθ

Définition: S.F. Φα,p = rα φα,p(θ)

D.S.F. Ψα,p = r−α ψα,p(θ)

u ∈ H10 (G), Mu = f , f ∈ C∞(G), f = 0 près du coin c = 0.

Dével. asymptotique : [Kondrat’ev ’67] u = ∑α∈A,p∈Pα

aα,p Φα,p +O(rm) , r → 0

Formule de (quasi-)Extraction:∫r=R

(T0(R)u ·Ψα,p −u ·T0(R)Ψα,p

)dσ = aα,p +O(Rm−1−Reα )



3D: Singularités de base et “shadows”

L(∂x ,∂y ,∂z) =: M0(∂x ,∂y )+M1(∂x ,∂y )∂z +M2 ∂2z

1er essai: Fonction singulière en “produit tensoriel” a(z)Φα,p(r ,θ) :

L(a(z)Φα,p

)= a(z)M0Φα,p +∂za(z)M1Φα,p +∂

2z a(z)M2Φα,p

Ceci est = 0 ssi a(z)≡ const . ⇒L(Sn[α,p ; a]) = ∂

n+1z a (M1Φn +M2Φn−1)+∂

n+2z a M2Φn

= O(rReα+n−1)




L(∂x ,∂y ,∂z) =: M0(∂x ,∂y )+M1(∂x ,∂y )∂z +M2 ∂2z


L(a(z)Φα,p


2z a(z)M2Φα,p

Ceci est = 0 ssi a(z)≡ const .

3D 6= 2D + paramètre

⇒ L(Sn[α,p ; a]) = ∂n+1z a (M1Φn +M2Φn−1)+∂

n+2z a M2Φn

= O(rReα+n−1)




L(∂x ,∂y ,∂z) =: M0(∂x ,∂y )+M1(∂x ,∂y )∂z +M2 ∂2z


L(a(z)Φα,p


2z a(z)M2Φα,p

Ceci est = 0 ssi a(z)≡ const .Fonctions singulières: Définition par récurrence (problèmes 2D) M0Φ0 = 0; Φ0 = Φα,p

M0Φ1 +M1Φ0 = 0M0Φj +M1Φj−1 +M2Φj−2 = 0, j ≥ 2

Sn[α,p ; a] :=n

∑j=0

∂jza(z)Φj(x ,y)

⇒ L(Sn[α,p ; a]) = ∂n+1z a (M1Φn +M2Φn−1)+∂

n+2z a M2Φn

= O(rReα+n−1)



Construction des fonctions singulières et f. s. duales d’arête

A. 1D : Récurrence par problèmes de Sturm-Liouville dans (0,ω)

S.F.: M0(α)φ0 = 0; φ0 = φα,pM0(α +1)φ1 =−M1(α)φ0M0(α + j)φj =−M1(α + j−1)φj−1−M2φj−2, j ≥ 2

D.S.F.: M0(−α)ψ0 = 0; ψ0 = ψα,pM0(−α +1)ψ1 =−M1(−α)ψ0M0(−α + j)ψj =−M1(−α + j−1)ψj−1−M2ψj−2, j ≥ 2




A. 1D : Récurrence par problèmes de Sturm-Liouville dans (0,ω)

S.F.: M0(α)φ0 = 0; φ0 = φα,pM0(α +1)φ1 =−M1(α)φ0M0(α + j)φj =−M1(α + j−1)φj−1−M2φj−2, j ≥ 2

D.S.F.: M0(−α)ψ0 = 0; ψ0 = ψα,pM0(−α +1)ψ1 =−M1(−α)ψ0M0(−α + j)ψj =−M1(−α + j−1)ψj−1−M2ψj−2, j ≥ 2

B. 2D : Homogénéité

Φj = rα+jφj(θ)

Ψj = r−α+jψj(θ)




C. 3D : Insertion d’un coefficient d’arête

Fonction (quasi-)singulière d’ordre n:

Sn[α,p ; a] :=n

∑j=0

∂jza(z)Φj(x ,y)

L(Sn[α,p ; a]) = O(rReα+n−1)

Fonction singulière quasi-duale d’ordre n:

K n[α,p ; b] :=n

∑j=0

∂jzb(z)Ψj(x ,y)

L(K n[α,p ; b]) = O(r−Reα+n−1)



Le théorème d’extraction dans Ω = G× I

Théorème d’extraction

Hypothèses: β ∈ A, Reβ > 0; n ≥ Reβ −ξ−+

1 −1; m ≥ n;b ∈ Cm(I), ∂

jzb = 0 on ∂ I (j ≤ n−1).

Alors:

JR(u,K m[β ,p; b]

)=

∫Iaβ ,p(z) b(z)dz +O(Rminn+ξ

−+1 ,m+η1−Reβ+1)

Hypothèses techniques:– ∀α ∈ A : α est pôle d’ordre 1 de M−1

0– ∀α ∈ A : α +1,α +2, · · ·∩A = /0– ∀ exposant de coin γ : γ est pôle d’ordre 1 du symbole Mellin de coin de L−1

– ∀α ∈ A, Reα ≥ 0 : ξ−+

1 −Reα 6∈ N– second membre régulier



Asymptotique près d’une arête polyédrale

Arête E = 0× I; 2 coins polyédraux c−+; ρ−+: distance aux coins c−+;

r−+ := r/ρ−+; r−+ := (distance aux autres coins)/ρ−+

η1 = minReα | α ∈ Aξ−+

1 = minReγ | γ : exposant de singularité de coin en c−+Vξ (I) = a ∈ C∞(I) | (ρ−+)−ξ+m∂ m

z a ∈ L∞(I)

Vξ ,η = v ∈ C∞(Ω) | ∀m ∈ N3 : (ρ−+)−ξ−++|m| (r−+)−η+|m| (r−+)|m|∂ mv ∈ L∞

Régularité aux coins: u ∈ Vξ1,0(Ω)

Théorème [Dauge ’88, Maz’ya-Rossmann ’95]

∀η > 0 : ∀α ∈ A, 0 < Reα < η : ∃aα,p ∈ Vξ1−Reα (I) :

u = χc ∑α,p

Sn[α,p; aα,p] + ureg,η ; ureg,η ∈ Vξ1,η (Ω)

n = [η −Reα]+1χc : fonction troncature dans un voisinage “conique” de E :

près du coin c−+: χc = χ(r−+), χ ∈ C∞

0 (R), χ = 1 près de 0.



Dualité sur le cylindre ΓR

Note: T (R) = R−1T0(θ ; r∂r ,∂θ )+T1(θ)∂zJR(u,v) = J0

R(u,v)+J1R(u,v)

Lemme

Soit α,β ∈ A; Reα,Reβ ≥ 0; 0≤ k ,n ≤m;b ∈ Cm(I), ∂

jzb = 0 sur ∂ I (0≤ j ≤ n−1).

a ∈ C∞(I), (ρ−+)−ξ+m∂ mz a ∈ L∞(I); ξ +n−k +1 > 0. Alors

∑j+`=k

J0R(∂

jzaΦj [α,q] ,∂ `

zbΨ`[β ,p])

+ ∑j+`=k−1

J1R(∂

jzaΦj [α,q] ,∂ `

zbΨ`[β ,p])= δk0 δαβ δpq

∫Ia(z) b(z)dz.

Proposition

Soit α,β ∈ A; Reα,Reβ ≥ 0; a,b ∈ Cn+2(I); ∂jzb = 0 sur ∂ I (0≤ j ≤ n−1).

Alors

JR

(Sn[α,p; a] ,K n[β ,q; b]

)= δα,β δp,q

∫Ia(z) b(z)dz +O(RReα−Reβ+n+1).



Numerical examples: R-asymptotics of JR

20

31 2 ( )( ) ( )2 2 2

3 3 3 3 3 33 4 5 , 2 3 4 , 5 4 2ex ex exA x A x x A x x

!! !" # # " # # " # #

Using ( )

0 [ ]iK BJ!

Expected convergence rate:2( )R$

Expected convergence rate:

( )R$

Expected convergence rate:3( )R$

Using ( )

1 [ ]iK BJ!

Using ( )

2 [ ]iK BJ!

Legend: 1( )

0a!! 1( )

1a!! 1( )

2a!! 2( )

0a!! 2( )

1a!! 2( )

2a!! 3( )

0a!! 3( )

1a!! 3( )

2a!!

1 1 11 2 32 2 2

, ,! ! !" " "

Cracked Domain with Traction Free BC: computation[ ]J R



Numerical examples: V-Notch

25

ESIF and its comparison to the 2-D SIF



Numerical examples: Bimaterial interface crack

28

Crack at a Bi-Material Interface

X1

X2

X3

!"#$

%&'#( )&#*!

%&'( )&#*!

Eigen-pairs and shadows are

computed numerically on a 2

1-D FE mesh as p increases

1,2 30.5 0.075812 , 0.5i! !" # "

The first three eigen-values are:




29

Eigen-functions & shadows computed numerically

1 1,2( )! "#!

2 1,2( )! "#!

0 1,2( )! "#!

1 1,2( )! "$!

2 1,2( )! "$!

0 1,2( )! "$!

0 3( )! "!

1 3( )! "!

2 3( )! "!

com

pu

ted

usi

ng

4 e

lem

ents

, p

=6

4 e

lem

ents

, p

=6




30

ESIF for a crack at a bi-material interface

1,2( ) 2

3 32 3 4A x x!

"# $ $ 3( ) 2

3 35 4 2A x x!

# $ $1,2( ) 2

3 33 4 5A x x!

%# $ $

ESIF extracted

using

( )

2 4

7, 32,

[ ], 0.05i

P GP

K BJ R!

# #

#

Eigen-functions computed

using 4 elements model, .6P #




31

ESIF extraction for a BI-MATERIAL CTS

1,2( )A

!

"

1,2( )A

!

#

3( )A

!

x1

x2

x3

25

5

0.4

0.8

0.8

Consider the classical CTS, compound of the two isotropic materials, under

bearing loads at the tearing holes, tension load of 100.


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