calcul-des-structures_portiques---methode-des-deplacements_jexpoz [mode de compatibilité]
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CHAPITRE II
CALCUL DES PORTI UES
HEI 4 BTP
Hautes Etudes dIngnieur13, rue de Toul59046 Lille Cedex
PAR LA MTHODE DES DPLACEMENTS
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Un portique est un assemblage de poutres dont les lignes
moyennes appartiennent un plan (Oxy) et qui sont charges dans
ce plan.
Le point dassemblage de plusieurs poutres sappelle un nud.
Les poutres sont considres comme encastres aux nuds, on dit
ainsi que les nuds sont rigides.
I. Dfinitions
II. Conventions de signes sur les lments poutres
II.1 Dplacements des nuds
En un nud i dune poutre, le dplacement i
3 composantes (ou 3
degrs de libert)
u2
v22
u1
v11
=
i
i
i
v
u
i
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II. Conventions de signes sur les lments poutres
II.2 Elments de rduction
Chaque section droite est sollicite par un effort normal N, un
effort tranchant T et un moment flchissant . Dans les sections
extrmes, les sens positifs sont les suivants:
T22
N1
2
T11
II.3 Forces extrieures
X2
Y2M
2
X1
Y1M
1
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III. Dfinition des vecteurs force et dplacement nodaux
Pour une poutre 1-2, les vecteurs force {F} et dplacement {}scriront:
{ }
=
2
2
1
1
1
Y
X
M
Y
X
F { }
=
2
2
1
1
1
v
u
v
u
2M 2Notre objectif est dtablir la relation de rigidit dun lment
poutre, cest--dire:
[ ]
=
2
2
2
1
1
1
2
2
2
1
1
1
MY
X
MY
X
v
u
v
u
K
{ } { }FK =
dimension 6x6
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IV. Dtermination de la matrice de rigidit lmentaireIV.1 En repre local
b) Matrice de rigidit due aux efforts selon z*
On impose une rotation 1 au nud 1 en bloquant les autres
dplacements
M2
M1 1 2
1
1 2
Y Y
Le moment M1ncessaire pour produire1est (p 21) : 11L
M =
Mt/1=0M1+M2+Y2L=0 122 L6EIY =
De plus, on a Y1+Y2=0 121 L
6EIY =
Les variations de longueur tant ngligeables, on X1=X2=0
Il produit un moment M2au nud 2 : 12L
2EIM =
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IV. Dtermination de la matrice de rigidit lmentaireIV.1 En repre local
b) Matrice de rigidit due aux efforts selon z*
De mme, on impose une rotation 2au nud 2 en bloquant les autres
dplacements
M2
M1 21
2
21
Y Y
Le moment M2ncessaire pour produire2est : 22L4EIM =
Mt/2=0M1+M2-Y1L=0 221 L6EIY =
De plus, on a Y1+Y2=0 222 L
6EIY =
Les variations de longueur tant ngligeables, on X1=X2=0
Il produit un moment M1au nud 1 : 21L
2EIM =
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IV. Dtermination de la matrice de rigidit lmentaireIV.1 En repre local
b) Matrice de rigidit due aux efforts selon z*
En superposant les deux cas, on obtient:
1
221 u
600
600
000000
XL
EI
L
EI
=
2
2
2
1
1
22
2
2
2
1
1
v
u
400
200
600
600
000000
200400
M
Y
X
M
L
EI
L
EI L
EI
L
EI
LEI
LEI
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IV. Dtermination de la matrice de rigidit lmentaireIV.1 En repre local
c) Matrice de rigidit due aux efforts selon y*
On impose un dplacement v1au nud 1 et on bloque tous les autres
dplacements
1
2v1 M2
M11 2
Nous avons des moments (2.4 p 23)12
1221 v
L
6EI
L
vv
L
6EIMM =
==
Mt/2=0M
1+M
2-Y
1L=0
131 vL
12EI
Y =
De plus, on a Y1+Y2=0 132 vL
12EIY =
Les variations de longueur tant ngligeables, on X1=X2=0
Y1 Y2
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IV. Dtermination de la matrice de rigidit lmentaireIV.1 En repre local
c) Matrice de rigidit due aux efforts selon y*
De mme, on impose un dplacement v2au nud 2 et on bloque tous
les autres dplacements
2
1 v2 M2
M121
Nous avons des moments22
1221 v
L
6EI
L
vv
L
6EIMM =
==
Mt/1=0M
1+M
2+Y
2L=0
232 vL
12EI
Y =
De plus, on a Y1+Y2=0 231 vL
12EIY =
Les variations de longueur tant ngligeables, on X1=X2=0
Y1 Y2
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IV. Dtermination de la matrice de rigidit lmentaireIV.1 En repre local
c) Matrice de rigidit due aux efforts selon y*
En superposant les deux cas, on obtient:
000000
=
2
2
2
1
1
1
22
33
22
33
2
2
2
1
1
1
v
u
v
u
06
006
0
01200120
000000
06
006
0
0000
M
Y
X
M
Y
L
EI
L
EILEI
LEI
L
EI
L
EILL
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IV. Dtermination de la matrice de rigidit lmentaireIV.1 En repre local
Conclusion : La matrice de rigidit de llment poutre en reprelocalest obtenue en superposant les cas a), b) et c):
1
23231 u
6120
6120
00LEA00
LEA
XL
EI
L
EI
L
EI
L
EI
=
2
2
2
1
1
22
2323
22
2
2
2
1
1
v
u
460
260
6120
6120
00L
EA00
L
EA
260460
M
Y
X
M
L
EI
L
EI
L
EI
L
EIL
EI
L
EI
L
EI
L
EI
LEI
LEI
LEI
LEI
e
*K
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IV. Dtermination de la matrice de rigidit lmentaireIV.1 En repre local
Cas particuliers : La poutre est rigide-articule ou articule-rigide(p 63-65)
IV.2 En repre global
La matrice de rotation est la suivante:
0
[ ]
=
100
0
Au nud 1 (par exemple), nous avons les relations:
[ ]
=
1
1
1
1
*
1*
1*
M
Y
X
M
Y
X
[ ]
=
1
1
1
1
*
1*
1*
v
u
v
u
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IV. Dtermination de la matrice de rigidit lmentaireIV.1 En repre global
On a la relation de rigidit en repre local :
et : [ ] { } =*
De plus :
{ } { }*** F= eK
[ ] { } {**
F= eK
[ ] { }FF* =
La relation de rigidit en repre global scrit :
{ {F=
eK
Ou encore : [ ] [ ][ ] { } { }F*1 = eK
Comme on a : [ ] [ ]t1
=
[ ] [ ][ ] { } { }F* = et
K
[ ]
globalrepreen
rigiditdematrice
eK
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V. Transformation des chargements en forces nodales
La relation {F}=[Ke].{} quon doit rsoudre nest valable quelorsque les forces {F} sont appliques aux nuds.
Une charge rpartie ou concentre (en trave) doit donc tre
dcompose en forces nodales appeles forces de blocage.On cherche donc dterminer i et j qui correspondent aux
ractions des nuds au chargement considr (p 71 75).
M2M1
Y1 Y2
p
21
l
M2M1
Y1 Y2
p
21
l
=
=
=
=
12
plM
2
plY
0X
2*
1
*
1
*
1
*
1
=
=
=
=
12
plM
2
plY
0X
2*
2
*
2
*
2
*
2
=
=
=
=
8
plM
2
pY
0X
*
1
*
1
*
1
*
1
=
=
=
=
8plM
2
pY
0X
*
2
*
2
*
2
*
2
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VI. Equation dquilibre dun lment poutre
Les quations dquilibre dun lment poutre charg entre les nudsscriront:
jjjjijij
ijijiiii
KK
KK
++=
++=
Forces de blocage
Forces de raideur
=
=
zj
yj
xj
j
zi
yi
xi
i
M
P
P
M
P
P
et
O i et j sont les systmes de forces extrieures qui sollicitent
directement les nuds i et j :
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VII. Effet thermique sur les poutres
Les expressions en repre local des forces de blocage sont lessuivantes :
00
TEA-
00
TEA
**
=
= ji
La relation de rigidit avec effet thermique dans les poutres s'crit alors
:
(e)
j(e)jj
)(
jji
)(
ji(e)j
(e)
i(e)ij
)(
iji
)(
ii(e)i
KKF
KKF
+++=
+++=
ee
ee
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VIII. Tableau de localisation
e i EA/L 12EI/L3 6EI/L2 4EI/L
. . . . . . . . . .
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