bouquin-plasticité.pdf

Introduction la plasticit

Herv Oudin

cole Centrale de Nantes2009

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Table des matires

Table des matires 3

Introduction 5

Gnralits 7Mcanismes physiques de dformation 7

Phnomnes observs Techniques dessaisModles analogiques 8

Modles linaires Modles non linaires

Plasticit des barres 13Essai de traction 13

Modlisation du comportement en tractioncompression 14Modles avec crouissage Modles parfaits Critre de plasticit Lois dcoulement plastique

Rsolution explicite dun problme dlasto-plasticit 17Solution analytique Solution lments finis

Rsolution numrique dun problme lasto-plastique 25Algorithmes de calcul Projection sur le critre de plasticit Application la structure treillis

Plasticit des poutres 31Rappels et notations 31

Modle lasto-plastique 31Flexion pure Flexion simple

Modle simplifi rotule plastique 36

Plasticit 3D 39Critres de plasticit 39

Critre de Von Mises Critre de Tresca Prise en compte de lcrouissageLoi dcoulement plastique 43

Dfinition Principe de Hill Condition de charge Loi de normalitRsolution numrique 45

Intgration de la loi de comportement Application aux lments finis

Bibliographie 49

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Introduction

Lobjectif de ce document est de prsenter le modle de comportement lasto-plastique classique dans le cadre despetites transformations.

Le premier chapitre est une rapide introduction des phnomnes physiques. Nous prsentons les mcanismes dedformations, les techniques dessais et quelques modles rhologiques.

Le deuxime chapitre concerne lvolution lasto-plastique des structures treillis constitues de barres. Nousintroduisons des notions importantes : critre de plasticit, condition de charge, mthodes itratives de rsolutionet projection sur le critre partir dun exemple simple trait par diffrentes mthodes.

Le troisime chapitre sintresse lvolution lasto-plastique des poutres. Aprs avoir prsent un modle lasto-plastique pour des essais de flexion, nous introduisons la notion de rotule plastique. Ce modle simplifi est utilispour le calcul des charges limites des portiques.

Dans le dernier chapitre, nous formalisons les notions abordes au cours du deuxime chapitre pour les appliqueraux problmes tri-dimensionnels.

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Gnralits

Ce premier chapitre distingue les phnomnes mcaniques impliqus dans la plas-ticit classique o le temps et les vitesses de dformation ne jouent quun rlesecondaire de ceux pour lesquels le temps et/ou les vitesses de dformation jouentun rle important comme les phnomnes de fluage, de fatigue ou de plasticitdynamique.

Mcanismes physiques de dformation

Le comportement macroscopique est en fait le rsultat de dformations locales une chelle microscopique. Cet aspect microscopique est fondamental pour la com-prhension physique des phnomnes et relve du domaine des matriaux.

Les concepts prsents dans ce document permettent de modliser, dans unecertaine mesure et de manire macroscopique, lensemble de ces phnomnes mi-croscopiques qui sont lorigine dun comportement global irrversible.

Dans un premier temps, rappelons le vocabulaire relatif aux phnomnes obser-vs et aux principales techniques dessai. Pour complter ces informations, il estpossible de consulter les ouvrages 1 2. 1 D. Franois, A. Pineau et

A. Zaoui. Comportement mca-nique des matriaux. Herms,Paris, 19912 J. Lemaitre et J.L. Chaboche.Mcanique des matriaux solides.Dunod, Paris, 1985

Phnomnes observs

Les diffrents phnomnes observs peuvent tre classifis comme suit :

Dformations lastiques Elles correspondent des variations des espaces interato-miques et des mouvements rversibles de dislocations 3. Ces dformations sont 3 Dislocation : dfaut dans la

structure du rseau cristallin. Lenombre de dislocations augmentelorsque lon charge le matriau.

essentiellement instantanment rversibles et la configuration initiale est retrou-ve aprs dcharge.

Dformations visqueuses Elles correspondent la poursuite de la dformation alorsque la charge est constante, il ny a plus quilibre. Le temps et les vitesses dedformation jouent un rle important dans les lois de comportement dun ma-triau visqueux. Lors de ce phnomne favoris par lactivation thermique, onparle dcoulement de fluage.

Dformations permanentes Elles correspondent auxmouvements irrversibles des dis-locations. Ces dplacements se font par glissement dans les plans cristallogra-phiques 4. En pratique ces dplacements ne modifient pas la structure cristalline 4 Plan cristallographique : plan de

plus grande densit datomeset le volume reste inchang, on parle dincompressibilit plastique.

crouissage Ce phnomne aussi appel consolidation correspond une augmen-tation du nombre de point de blocage du mouvement des dislocations. Il vientcontrecarrer laugmentation du nombre de dislocations, et modifie le seuil au-del duquel les dformations ne sont plus rversibles.

Restauration Ce phnomne aussi appel recouvrance correspond une recris-tallisation par regroupement de dislocations de signe oppos. Il se produit dansle temps et est favoris par lactivation thermique.

Techniques dessais

Lobjectif des essais est de fournir lingnieur, les caractristiques mcaniques dumatriau ncessaires aux calculs quil compte mener. Lors de ces essais, on observe

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8les dformations que subit une prouvette sous laction dun systme donn decontraintes. Les diffrents essais dcrouissage temprature constante peuvent treclassifis comme suit :

crouissage Essai pour lequel la dformation est impose vitesse constante ;

t

A

B

(a) impos

A

B

(b) mesur

Fig. 1: crouissage

Fluage + recouvrance Essai pour lequel la contrainte est impose grce unefonction chelon suivi dattente contrainte nulle. La courbe de rponse caract-rise la dformation retarde ;

t

A

(a) impos

t

A

(b) mesur

Fig. 2: fluage + recouvrance

Relaxation Essai pour lequel la dformation est impose selon une fonctionchelon. La courbe de rponse caractrise la viscosit.

t

A

B

(a) impos

t

A

B(b) mesur

Fig. 3: relaxation

Pour tre reproductibles, ces essais sont normaliss 5. Ils peuvent tre raliss sur 5 Les diffrents essais normalisssont disponibles sur le site delAFNOR www.afnor.fr

des prouvettes de gomtrie diffrente. Citons les essais les plus classiques : chargement simple : traction essai unidimensionnel ; chargement complexe : traction torsion dun tube mince, traction pression

dun tube mince, traction biaxiale, compression triaxiale.

Modles analogiques

Ces modles permettent davoir une image concrte simplifie des quations tradui-sant les lois de comportement gnrales tensorielles. Les trois lments mcaniquesle plus utiliss sont dcrits sur la figure 4.

Modles linaires

Ces modles sont constitus dassemblages de ressorts et damortisseurs linaires.

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Gnralits 9

E(a) ressort : lasticit li-naire parfaite = E

(b) amortisseur : viscositlinaire newtonienne =

s

(c) patin : modle rigideplastique parfait || 6 s

Fig. 4: lments dassemblage

lastique parfaite

La relation qui lie les dformations aux contraintes est = f () comme indiqu surla figure 5. La rversibilit est instantane, le tableau suivant donne lallure caract-ristique des courbes de rponses aux trois types dessais voqus prcdemment.

(a) = E

(b) crouissage

t

(c) fluage

t

(d) relaxation

Fig. 5: lasticit parfaite

Viscosit parfaite

Dans ce cas, les contraintes dpendent seulement de la variation temporelle desdformations tel que = f (). Les diffrentes relations contraintes-dformationssont illustres sur la figure 6.

Lessai de fluage impose = 0, ce qui entrane :

= 0/t (1)

et = 0 entrane = 1, soit un fluage illimit t.Lessai de relaxation est thoriquement impossible, on ne peut pas imposer ins-

tantanment une dformation au systme, car une vitesse infinie correspond unecontrainte infinie. Ce que nous modliserons par une fonction de dirac.

(a) =

(b) crouissage

t

(c) fluage

t

(d) relaxation

Fig. 6: viscosit parfaite

Viscolasticit

Dans ce cas, les contraintes dpendent la fois des dformations et de leur variationtemporelle tel que = f (, ).

Diffrents modles peuvent tre proposs. Les deux plus simples sont constitusdun montage en srie ou en parallle. Les allures des courbes de rponse sontdonnes sur la figure 7.

Modle de Maxwell Le modle de Maxwell est dcrit sur la figure 7. Pour lessaide fluage = 0 entrane :

= 0 t+0E (2)

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o 0E reprsente une dformation instantane. Une contrainte = 0 entrane =cste = 1 soit un fluage illimit t. Lessai de relaxation = 0 conduit :

= E0e E t (3)

autrement dit, une relaxation complte t.

(a) = 1E +1

(b) crouissage

t

(c) fluage

t

(d) relaxation

Fig. 7: modle de Maxwell

Modle de Kelvin-Voigt Ce modle est dcrit sur la figure 8. Pour lessai de fluage = 0 entrane = 0/Et et = 0 entrane = 1 = cste, soit un fluage limit dansle temps.

Lessai de relaxation est thoriquement impossible car on ne peut pas imposerinstantanment une dformation au systme puisqu une vitesse infinie corres-pond une contrainte infinie.

Dautres modles plus complexes peuvent tre construits sur le mme principe.

(a) = E +

t

(b) crouissage

t

(c) fluage

t

(d) relaxation

Fig. 8: modle de Kelvin-Voigt

Modles non linaires

La non-linarit peut venir du comportement du ressort ou de lamortisseur et lin-troduction dun patin, par exemple. Toute combinaison comportant un lment nonlinaire aura un comportement non linaire. Nous nous intressons ici la non-linarit caractrisant la plasticit (patin). Sur les figures 9, 10, 11 et 12 sont repr-sentes les allures de la courbe de rponse lessai dcrouissage pour les modlesque nous rencontrerons par la suite.

s

(a) analogie mcanique

s

p

(b) essai dcrouissage

Fig. 9: modle rigide plastiqueparfait RPP

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Gnralits 11


s


Fig. 10: modle lasto-plastiqueparfait EPP


s


Fig. 11: modle rigide plastiqueavec crouissage RPE

a

b


s

E

E


Fig. 12: modle lasto-plastiqueavec crouissage EPE

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Plasticit des barres

Ce chapitre introduit les principales notions dlasto-plasticit partir de lanalysede la rponse dune prouvette soumise un essai de tractioncompression. La mo-dlisation de cet essai permet de prsenter diffrentes schmatisations courammentutilises pour traiter des problmes dvolution lasto-plastique. Ces modles sontensuite soumis aux calculs analytique puis numrique des structures treillis.

Essai de traction

Intressons-nous laspect phnomnologique de lessai dans le cadre de llasto-plasticit classique, savoir hypothses de transformations quasi-statiques en pe-tites dformations et temprature constante. FF

S0

0

Fig. 13: prouvette de tractionConsidrons une prouvette de traction sous la forme dun cylindre homogne

droit de section S0 et de longueur 0. Cette prouvette est soumise un effort detraction F comme sur la figure 13. Pour des petites dformations de lprouvette,ltat de contrainte peut tre suppos uniforme et uniaxial (la diminution de sectionest nglige). Nous posons = xx = /0 et = xx = F/S0. Considrons lesgraphes (, ) obtenus pour trois essais de traction avec dcharge. Selon le niveaude sollicitation lors du chargement, nous obtenons les allures de la figure 14.

0

(a) essai 1 : < 0

0

(b) essai 2 : = 0

A

B

0

p e

(c) essai 3 : > 0

Fig. 14: traction avec dcharge

1. < 0 : le systme se situe dans le domaine lastique et le comportement dumatriau est rversible. Il est suppos par la suite que la loi de comportementdans le domaine lastique est linaire, soit = Ee o E est le module dYoungdu matriau ;

2. = 0 : cet essai est impossible raliser physiquement. La limite dlasticit 0,seuil partir duquel il existe des dformations irrversibles, est dfinie de faonconventionnelle et correspond une fraction de dformation permanente ;

3. > 0 : la dcharge partir du point A (chargement maximum) seffectueparalllement la charge lastique, on parle de dcharge lastique. En B (chargenulle) ne subsiste que la dformation plastique ou dformation permanente p.

0

chargementmonotone

Fig. 15: rponse une srie decharges-dcharges conscutives

En tout point de la courbe, la dformation est = e + p. Effectuons maintenantune srie de chargesdcharges conscutives. Lallure de la courbe de rponse estreprsente sur la figure 15. Nous observons une volution de la limite dlasticiten traction due lcrouissage. En premire approximation, nous pouvons consid-rer que :

lors des chargements conscutifs la limite dlasticit suit la courbe du charge-ment monotone ;

lcoulement plastique ne modifie pas le module dlasticit.

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Par consquent, connaissant la dformation plastique, le seuil de plasticit actuelpeut tre dfini partir de la courbe dcrouissage obtenue pour un chargementmonotone.

En fait le problme de lvolution du domaine dlasticit est une des difficultsmajeures de la plasticit. Prenons lexemple dun chargement cyclique pour mon-trer que la connaissance de ltat actuel (, p) ne suffit pas a priori pour dfinir ledomaine dlasticit actuel. Sur la figure 16, aprs dcharge nous obtenons le pointO, la dformation plastique est dfinie par le segment OO. Or dans cet tat, lalimite dlasticit est diffrente au premier et au deuxime passage. Cet exemplemontre que les lois dcrivant lvolution du domaine dlasticit ont un caractreessentiellement incrmental. De plus, il faut distinguer deux cas :

0

A

B

C

O O

Fig. 16: historique dun cycle dechargement OA-AB-BC

Charge plastique Il y a variation des paramtres dcrouissage et de la dforma-tion plastique.

Charge ou dcharge lastique Il ny a pas de variation des paramtres dcrouis-sage ni de la dformation plastique.

En rsum, lvolution plastique ne peut se traduire que par des lois incrmentalesreliant un instant donn les incrments des paramtres dcrouissage et de dfor-mation plastique partir de ltat actuel. Pour ltude des problmes quasistatiquedlasto-plasticit (sans vieillissement ni viscosit), nous utilisons donc un temps ci-nmatique t pour reprer les tats successifs du matriau en fonction de lhistoriquedes sollicitations.

Modlisation du comportement en tractioncompression

Pour modliser la courbe dcrouissage de lessais de tractioncompression obtenuepour un chargement monotone, le plus simple est dutiliser un modle construit partir de segments de droite. La figure 17 reprsente un modle multi-linaire. Dansla suite, nous limiterons la prsentation des modles bi-linaires ayant la mmelimite dlasticit initiale en traction et en compression.

0

E

0

ET1ET2

Fig. 17: modle dcrouissagemulti-linaire

Modles avec crouissage

Le modle rigide plastique peut tre utilis lorsque les dformations plastiques sonttrs importantes par rapport aux dformations lastiques : cest, par exemple, le caspour les problmes de mise en forme.

Lorsquil y a crouissage, il faut se donner un modle pour reprsenter lvolu-tion du domaine dlasticit. Les deux modles les plus simples sont lcrouissageisotrope et lcrouissage cinmatique. Ils sont bass sur lutilisation de la courbedcrouissage du chargement monotone, illustre sur la figure 18.

0

E

ET

(a) lasto-plastique avec crouissage (EPE)

0

ET

(b) rigide-plastique avec crouissage (RPE)

Fig. 18: modles dcrouissagemonotone

crouissage isotrope Ce modle suppose une dilatation homothtique du do-maine dlasticit par rapport au domaine initial suppos connu. Le coefficient dedilatation dans le cas de lcrouissage linaire est dfini par le module tangent ET.

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Plasticit des barres 15

Pour un essai cyclique, lhypothse dcrouissage isotrope donne une courbe si-milaire celle reprsente sur la figure 19. La limite dlasticit en compressionaugmente comme celle de traction. On note que dans ce modle lnergie de dfor-mation lastique pouvant tre absorbe est de plus en plus importante et toujoursidentique en traction et compression.

0

O

Fig. 19: hypothse dcrouissageisotrope

crouissage cinmatique Ce modle suppose une translation sans dformation dudomaine dlasticit initial suppos connu. La translation est dfinie partir de lacourbe dcrouissage monotone.

Le modle cinmatique respecte leffet Bauschinger couramment observ pourles matriaux mtalliques, savoir un durcissement dans un sens (sens de lcou-lement plastique) et un adoucissement dgale amplitude dans le sens contraire(dcharge lastique). La courbe correspondant un essai cyclique avec crouissagecinmatique est indique sur la figure 20. Lamplitude du domaine dlasticit resteconstante mais lnergie lastique absorbe et pouvant tre restitue dans un sensest toujours diffrente de celle dans lautre sens. En pratique, lors dun essai cy-clique, aucune de ces allures ne peut tre observe. Il est possible de combiner cesdeux modles dcrouissage pour essayer de se rapprocher au mieux de la rponseau chargement cyclique donn.

0

O

Fig. 20: hypothse dcrouissagecinmatique

Modles parfaits

Ces modles ngligent lcrouissage du matriau. Le modle lasto-plastique par-fait est surtout utilis du point de vue acadmique pour simplifier la rsolutionanalytique des problmes poss.

0

O

A B

C D

(a) modle lasto-plastique parfait EPP

(b) modle rigide-plastique parfait RPP

Fig. 21: modle de courbedcrouissage monotone

Pour ce modle, donnons une interprtation nergtique de la courbe dcrouis-sage :

OABD : nergie totale, ou travail des efforts intrieurs pour atteindre B ; OABC : nergie de dissipation plastique ; BCD : nergie de dformation lastique, elle est restitue la dcharge.

Le modle rigide plastique parfait est utilis pour les problmes de calcul descharges limites 6. Pour ces deux modles, au-del dune valeur limite du charge- 6 Lorsque lcrouissage nest

pas nglig, lnergie lastiquerestitue aprs plastification esttoujours plus importante dans lesens de la dformation plastique.

ment il y aura coulement libre du matriau et perte dquilibre.

Critre de plasticit

Ce qui prcde nous permet de dfinir pour lessai de tractioncompression, lesconditions de plastification (seuil de plasticit s) et lvolution du seuil en fonctiondes paramtres dcrouissage s(h), h contient lhistorique du chargement suivitpour obtenir ltat actuel.

Dfinition Le critre de plasticit est la fonction f (, h) telle que : si f (, h) < 0, ltat actuel (, h) est intrieur au domaine dlasticit ;

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si f (, h) = 0, ltat actuel se situe sur la frontire du domaine.Un tat extrieur au domaine dlasticit est physiquement impossible obtenir,le domaine dlasticit reprsente donc lensemble des tats de contraintes admis-sibles. Pour lessai de tractioncompression, le domaine dlasticit est dfini par :

{ ; f (, h) := || s(h) 6 0} (4)Il nous reste dfinir lvolution du seuil de plasticit s(h). Reprsentons la courbedcrouissage monotone en traction par un modle bi-linaire. Ce modle est carac-tris par 0, la limite dlasticit initiale, E, le module dlasticit et ET , le moduletangent. Soit un incrment de charge d pris partir dun tat actuel situ sur lafrontire du domaine dlasticit. Nous avons :

d = ETd (5)

or :

d = dp +1Ed d

(1 ET

E

)= ETdp (6)

do :

d = Hdp avec H =ET

1 ETE(7)

Le quantit H est dite module dcrouissage.

EET

dp

d

d

s

s(E)

Fig. 22: incrment purementlastique

Rsum Utilisons le temps cinmatique afin de dfinir les incrments. Le modlebi-linaire implique :

= Ee (8)

o E est le module dlasticit, et :

= ET (9)

avec ET , module tangent, et :

= e + p; = Hp (10)

et H, module dcrouissage dfini dans lquation (7).

Lois dcoulement plastique

f (, E)

Fig. 23: incrment purementlastique

Prcisons maintenant comment seffectuent les dformations pour un incrment decharge d pris partir dun tat actuel quelconque (, h).

incrment purement lastique f ( + d, E) 6 0 : cette condition recouvre lesdeux possibilits reprsentes sur la figure 23 en traction : ltat actuel est lintrieur du domaine dlasticit et la charge ou la d-

charge est lastique ;

f (, E)

(, E)

s(E)

d

d pd

de

Fig. 24: incrment lasto-plastique

ltat actuel est sur la frontire du domaine dlasticit et il y a dchargelastique, soit d = de = 1Ed et s(h) inchang.

incrment lasto-plastique f ( + d, E) > 0 : cette condition est illustre surla figure 24 :

d = dp + de; de =1Ed; dp =

1H( + d s(E)) (11)

Le nouvel tat de contrainte = + d est situ sur la frontire du domainedlasticit. Cest la valeur du critre pour lincrment de charge suivant.

H = 0 : cas des matriaux suppos parfaitement plastique alors la dformationplastique est infinie, il y a coulement libre du matriau.

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Rsolution explicite dun problme dlasto-plasticit

Appliquons ce qui prcde au calcul des structures composes de barres ne tra-vaillant quen tractioncompression. Pour illustrer les mthodes de rsolution expli-cites, traitons le problme dvolution lasto-plastique dune structure treillis simplepar une mthode analytique puis par la mthode des lments finis.

La structure tudie est reprsente sur la figure 25. Ltat initial est supposnaturel, cest--dire quil ny a pas deffort dans les barres. Ces dernires sont rali-ses dans un mme matriau et ont une section S identique. La charge est supposeapplique infiniment lentement afin que le problme soit quasi-statique. Nous ef-fectuerons un cycle complet chargedcharge.

h

E

x

y

Fig. 25: structure treillis et cyclede charge-dcharge

Solution analytique

La solution analytique est base sur les mthodes de rsolution prsentes en r-sistance des matriaux, lintrt pour nous est de pouvoir suivre les calculs pas pas.

Pour simplifier, supposons dans un premier temps que le matriau est parfaite-ment plastique, autrement dit, il ny a pas dcrouissage. La courbe dcrouissagedu matriau est reprsente sur la figure 18(b) o le module dlasticit est E et lalimite en traction, 0.

Phase lastique

Analyse du problme Nous avons trois inconnues N1, N2 et N3, reprsentant lesefforts dans les barres, pour deux quations dquilibre dans le plan. Par cons-quent, le systme est hyperstatique de degr un. Les quations dquilibre ont laforme suivante (voir figure 26) :

N122

+ N3

22

= 0; N1

22

+ N3

22

+ N2 F = 0 (12)

soit, plus simplement :

N3 = N1; N2 = F2N1 (13)

N1

N2

N3

F

Fig. 26: quilibre des forces

Rsolution Prenons N1comme inconnue hyperstatique. Lnergie de dformationscrit dans ce cas dtude :

2W =1ES

(h2N21 + hN

22 + h

2N23

)(14)

et par consquent, en fonction de linconnue N1, grce lquation (13) :

2W =hES

(22N21 + (F

2N1)

2)

(15)

Appliquons le thorme de Mnabra :

WN1

= 0 (22+ 2)N1 = F

2 N1 = F

2+2

(16)

do, finalement :

N3 = N1; N2 =F2

1+2

(17)

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Domaine de validit La solution obtenue est valable si les trois barres restent dansle domaine lastique dfini comme suit :{

Ni 3; f (Ni) = |Ni| 0S 6 0}

(18)

Pour simplifier la reprsentation du domaine dlasticit nous tenons compte de lacondition de symtrie N3 = N1. Le domaine dlasticit peut alors se reprsenterdans le plan (N1,N2) par un carr de cot 20S (figure 27).

N1

N2

solutionlastique

0S

0S

domaine dlasticit

Fig. 27: domaine dlasticit

Pour reprsenter, dans ce plan, la solution lastique, exprimons N2 en fonctionde N1 partir de la solution obtenue, autrement dit par llimination de F. Lasolution lastique est reprsente par la droite N2 = 2N1. La barre 2 plastifie donc

la premire, la charge correspondant est donne par N2 = 0S do F1 =1+2

20S.

Le champ de dplacement en fin de phase lastique peut tre calcul partir de laloi de comportement lastique et des relations dplacementsdformations :

lois de comportement lastique :

i =NiES

(19)

relations dplacementsdformations :

1 =v/2

v2

=v2h

; 2 =vh

(20)

h2 h

v

Fig. 28: compatibilit des dfor-mations

En fin de phase lastique, le dplacement scrit 7 : 7 La mthode de rsolutionnest pas unique. La relation decompatibilit des dformationsqui scrit ici 2 = 21 auraitpermis de trouver la relationN2 = 2N1 en phase lastique.

v = h2 =hES

0S =0hE

(21)

Phase lasto-plastique

Continuons le chargement pour des valeurs du chargement F suprieures au char-gement limite F1.

N1

0S

N3

F

Fig. 29: inconnues lors de laphase lasto-plastique

Analyse et rsolution du problme Pour un accroissement de charge dF positif,nous supposons que la barre 2 reste en plasticit (elle ne subit pas de dcharge). Lematriau tant lasto-plastique parfait, leffort dans cette barre est constant et vaut0S. Nous avons donc deux inconnues N1,N3 pour deux quations dquilibre :

N3 = N1; 0S = F2N1 (22)

ce qui entrane :

N3 = N1 =F 0S

2(23)

Validit de la solution Cette solution est correcte si les fonctions critre |Ni| 0S 6 0 ainsi que la condition de charge dp2 > 0 sont satisfaites. Le critre estquivalent F < F2 avec F2 = (1+

2)0S. La condition de charge ncessite le cal-

cul de dp2, or on ne peut pas calculer directement laccroissement de dformationde la barre 2 partir de la loi de comportement car le matriau est lasto-plastiqueparfait. Il faut utiliser la relation de compatibilit des dformations 2 = 21 et laloi de comportement des barres 1 et 3 qui restent lastiques durant cette phase.

2 = 21 =2N1ES

=

2

ES(F 0S); N2ES =

0E

(24)

cel-0

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ver

sion

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ay 2

010


or 2 = e2 + p2 donc :

p2 =1E

(F2

S (1+

2)0

)(25)

Pour dF > 0, la condition de charge dp2 > 0 est vrifie. La solution obtenueest donc valable tant que F < F2. Pour F = F2, la structure est compltementplastifie. Le matriau tant lasto-plastique parfait, il y a ruine de la structure.Tout accroissement de charge dF > 0 conduit un coulement plastique infini.

Avant daborder le problme de la dcharge, traons les diagrammes dvolutionde la flche et des efforts en fonction de la charge. Le calcul de la flche pour F = F2ne peut se faire qu partir de la loi de comportement des barres 1 et 3 qui sontrestes lastiques, ce qui conduit :

v = 2h1 =2hN1ES

=20hE

(26)1 2

F

0S(1+2)

E0hp

hase

lastique

phase la

sto-

plastique

coulementplastique

Fig. 30: diagramme de la flche

Les diagrammes defforts correspondants sont indiqus sur la figure 31.

F

0S(1+2)

N10h

12

1

1/2 1

N1

(a) barre 1

F

0S(1+2)

N20h

1

1/2 1

N2

(b) barre 2

Fig. 31: diagrammes defforts

Dcharge lastique

Partons de ltat obtenu pour F = F2 (juste avant la ruine) et appliquons un incr-ment de charge dF < 0.

Analyse et rsolution du problme Nous supposons que les barres 1 et 3 restentlastiques et la barre 2 qui tait plastifie subit une dcharge lastique. Le problmeest donc rgi par les mmes quations que celles tablies en phase lastique. Ruti-lisons les rsultats obtenus sous forme incrmentale :

dN1 = dN3 =1

2+2dF; dN2 =

2

1+2dF; dv =

hES

2

1+2dF (27)

Validit de la solution Cette solution est valable tant que les barres restent dansle domaine lastique, il faut donc vrifier :

i, |Ni| 0S 6 0 avec Ni = Ni|F=F2 + dNi (28)

Cest donc la barre 2 qui plastifiera la premire en compression pour un accroisse-ment 20S de leffort normal N2. Soit dN2 = 20S, par consquent :

dF = 1+2

220S = (2+

2)0S (29)

do :

F3 = F2 + dF = 0S (30)

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20

charge de plastification en compression. Nous pouvons, partir de cette solution,calculer ltat de la structure lorsquelle est dcharge, soit un incrment dF = F2.Les contraintes dans les barres ne sont pas nulles :

N1 = N3 = 0S 12+

2(1+

2)0S =

1

2+2

0S

N2 = 0S2

1+2(1+

2)0S = (1

2)0S

(31)

Lorsque la structure est dcharge, les barres 1 et 3 sont en traction et la barre2 est en compression. Il est alors possible de vrifier que le systme mcaniquesatisfait les quations dquilibre puisque N2 =

2N1. Les contraintes rsiduelles

proviennent des dformations plastiques qui ne vrifient pas les conditions de com-patibilit puisquen effet p2 6= 0 et p1 = p3 = 0 entranent p2 6= 2p1.

Dfinition Les auto-contraintes sont les contraintes rsiduelles obtenues aprs d-charge complte dune structure ayant plastifi. Elles ont pour origine les dforma-tions plastiques qui ne satisfont pas les quations de compatibilit. Ces contraintesforment un systme mcanique quilibr.

Avant daborder le problme dun chargement cyclique traons les diagrammesdvolution de la flche et des efforts obtenus aprs dcharge de la structure.

F

0S(1+2)

vE0h

2

1

1

12

22

vrs

Fig. 32: diagramme de la flche etflche rsiduelle

Le calcul de la flche rsiduelle se rsume vrs = v|F=F2 + dv do :

vrs = 20hE

hES

2

1+2(1+

2)0S =

0hE

(22) (32)

Les diagrammes defforts respectifs sont indiqus sur la figure 33.

F

0S(1+2)

N10h

12

1

1

2+2

1/2 1

N1

(a) barre 1

F

0S(1+2)

N20h

12

1

1/2 1

N2

(b) barre 2

Fig. 33: diagrammes defforts

Chargement cyclique Le plus simple pour tudier le chargement cyclique est defaire ltude dans le plan des contraintes (N1,N2). Le domaine dlasticit est re-prsent par un carr de ct 20S. Ce domaine reste le mme car il ny a pasdcrouissage. Les trajets de chargedcharge lastiques sont reprsents par dessegments de droites intrieurs au domaine dlasticit de pente 2 puisque N2 = 2N1.Les trajets lasto-plastiques se situent sur la frontire du domaine car il ny a pasdcrouissage.

Ltat de contraintes rsiduelles est reprsent par la droite N2 = 2N1 8. Ces 8 Cette droite passe par lorigine

car ltat initial t suppos noncontraint

informations permettent de construire la solution graphique reprsente sur la fi-gure 34. Les chiffres reprsentent les phases successives du chargement cyclique :

1 3 5 : charge et dcharge lastique ; 3 4 6 : volution lasto-plastique (barre 2 plastifie).

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Les lettres reprsentent diffrents tats de la structure : O : tat initial A,A : fin de phase lastique en traction B : limite de ruine en traction C,C : dcharge de la structure (F = 0) D : fin de phase lastique en compression E : limite de ruine en compression.

A B

C

DE

O

A

C1

2

3

4

5 6

N1

N20S

0 S

limitelastiqu

e

Fig. 34: diagramme de la flche.La ligne bleue indique ltat decontraintes rsiduelles

Prise en compte de lcrouissage Si le matriau est crouissable, le critre de plasti-cit volue lors des incrments de charge plastique. Les deux figures 35 reprsententlvolution du domaine dans le plan des contraintes (N1,N2), selon la modlisationretenue : crouissage cinmatique et crouissage isotrope.

N2

N1

domaine actuel

domaine initial(a) crouissage cinma-

tique, translation du domaine

i

N2

N1

(b) crouissage isotrope,dilatation du domaine

Fig. 35: volution du domainedlasticit dans le plan descontraintes

Pour simplifier les calculs qui suivent, nous supposerons que la courbe dcrouis-sage de lessai de traction monotone est bi-linaire et caractrise par les paramtresusuels 0, E et ET = 0,1E (figure 18(a)). Regardons comment sont modifis les cal-culs conduits en lasto-plasticit parfaite.

1. phase dlasticit : la solution est identique F1 = F1 =1+2

20S

2. phase dlasto-plasticit : la loi de comportement dans la barre 2 devient 2 =0 + Hp2. En pratique, 2 est calcul partir de la relation de compatibilit2 = 21. Il est donc plus simple pour la solution analytique dexprimer 2 enfonction de 2, soit :

2 = 0 + ET2 (33) ET

E

0

0

Fig. 36: loi de comportement

avec 0 = 0(1 ETE ) = 0,90 do :

N2 = 2S = 0S+

2ETN1E

(34)

Reportons dans lquation dquilibre :

N2 = F2N1; N1

(2ETE

+2)= F 0S N1 =

F 0,90S0,2+

2

(35)

Il y a plastification des barres 1 et 3 lorsque N1 = 0S.

Soit F2 = (1,1+2)0S > F2 alors pour F = F2, N3 = N1 = 0S et N2 = 1,10S.

3. phase de plasticit : lcrouissage permet de poursuivre le chargement pour desvaleurs de F > F2. Lvolution est alors compltement plastique :

N3 = N1 = 0S+ ETS1; N2 =

0S+ ETS2; 2 = 21 (36)

Lquation dquilibre :

0S+ 2ETS1 = F2(0S+ ETS1) (37)

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22

permet de calculer 1 puis 2, N1 et N2, soit, pour F = 2,90S :

1 =2 0,922+

2

0ET

; N1 =3,8

2+2

0S; N2 =5,8 0,922+

2

0S (38)

4. phase de dcharge lastique : les quations de dcharge lastique ne sont pas mo-difies, ce qui change, cest le domaine de validit dfini par le domaine dlas-ticit. Supposons que la dcharge est applique en fin de phase 2, autrement ditF = F2 et N3 = N1 = 0S ou N2 = 1, 10S. Les barres 1 et 3 nayant pas plastifi,la limite lastique nest pas modifie :

i = 1, . . . , 3 |Ni| 0S 6 0 (39)Par contre, la barre 2 a plastifi et la limite lastique en compression dpend dutype dcrouissage. Pour un crouissage cinmatique, |dN2| 6 20S or dN2 =

21+2dF, soit :

dF = (2+2)0S (40)

Pour un crouissage isotrope en compression, N2s = N2|F=F2 = 1, 10S etpar consquent dN2 = 2, 20S, soit :

dF = 2,21+2

20S (41)

Les calculs suivants sont identiques, l encore il est plus simple de faire une tudegraphique dans le plan (N1,N2). Les figures 37(a) et 37(b) reprsentent, pour lesdeux modles dcrouissage, le cycle de chargement limite tel que les barres 1 et 3ne plastifient pas.

0

1

2

3

4

5

6

N1

N2

(a) crouissage cinmatique

0

1

2

3

4

5

6

N1

N2

(b) crouissage isotrope

Fig. 37: modles dcrouissage :en bleu : domaine initial, enrouge : domaine dlasticit D1,en noir : domaine dlasticit D2

crouissage cinmatique crouissage isotrope On note que pour lcrouissagecinmatique, le cycle se stabilise ds la fin du premier cycle. Pour lcrouissageisotrope, il y a augmentation de la limite lastique chaque cycle, ce qui ncessitedes charges de plus en plus importantes pour pouvoir raliser chaque nouveaucycle.

Solution lments finis

Montrons comment rsoudre de faon explicite le mme problme partir dunmodle lments finis. Intressons-nous directement au modle avec crouissage, etne traitons que le chargement monotone croissant. Le cas des chargements cycliquessen dduisant aisment

1

2 3 4

~y

~x

(1) (2) (3)h

F

v1u1

dplacementsinconnus

Fig. 38: discrtisation lmentsfinis

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Phase lastique

Le modle propos comporte trois lments finis (1), (2), (3) pour quatre nuds soithuit variables dplacements. Compte tenu des conditions aux limites aux nuds 1,2 et 3, nous obtenons un systme de deux quations sur les dplacements inconnus :

KredXI = D (42)

avec XI = (u1 v1)T et D = (0 F)T.

Matrice raideur Pour llment 1, la matrice raideur scrit :

K1 = k1

[12 12 12 12

](43)

avec k1 = ESh2sur (u1, v1). Concernant llment 2, la matrice raideur est K2 = k2

avec k2 = ESh sur v1. De mme, la matrice raideur de llment 3 est :

K3 = k3

[12

12

12

12

](44)

avec k3 = ESh2sur (u1, v1), do la matrice raideur assemble rduite :

Kred =ESh

[ 12

0

0 1+ 12

](45)

et ce, toujours sur les variables (u1, v1).

Rsolution La rsolution se rsume simplement :

KredXI = D (46)

avec D = (0 F)T , soit :

XI =

(0

2

1+2FhES

)(47)

Validit de la solution Cette solution est valable tant que les barres restent dansle domaine lastique et par consquent, il faut sassurer que la contraintes appar-tiennent au domaine lastique :

i, |Ni| 0S 6 0 (48)

Calculons les efforts dans les barres en utilisant la loi de comportement :

N1 =ES

h2

(22

22

)( 0v1

) N1 = F

2+2

N2 = ESh v1 N2 =F2

1+2

(49)

Les relations entre N et F tant explicites (rsolution analytique), la barre 2 plastifiela premire pour le chargement :

F1 =1+

2

20S (50)

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24

Phase lasto-plastique

Utilisons la loi de comportement dans la barre 2 sous la forme de la figure 36 :

2 = 0 + ET2 avec

0 = 0(1

ETE) = 0, 90 (51)

La raideur de llment 2 scrit alors k2 =ETSh et le vecteur force gnralis :

D = (

0F 0S

)(52)

Rsolution Le problme lasto-plastique scrit :

[ ESh2

0

0 ESh2+ ETSh

](u1v1

)=

(0

F 0S

)(53)

do la solution :

v1 = F 0SESh2+ ETSh

(54)

Validit de la solution La solution (54) est valable pour F > F1 et tant que N1 0S 6 0. Les efforts dans les barres sont donns par les lois de comportement :

N1 = ES2h v1; N2 = 0S

ETSh

v1 (55)

Du fait de la rsolution analytique, les relations entre N et F sont explicites et nousdduisons que les barres 1 et 3 plastifient pour :

F2 = 0S+ 0S(

2+ 2ETE

)(56)

Phase plastique

Pour F > F2, toutes les barres sont plastifies. Les quations du problme sont doncde la forme :

ETS

h2

[1 00 1+

2

](u1v1

)=

(0

F 0S 2(0S22 )

)(57)

do :

v1 = (F 0S(1+

2)) hETS

2

1+2

(58)

Les efforts dans les barres sont donns par les lois de comportement :

N1 = 0S

ETSh

v12; N2 = 0S

ETSh

v1 (59)

Le modle lments finis explicite nous permet de rsoudre de faon identiqueles problmes dvolution lasto-plastique des structures treillis, car la mthode dersolution est base sur lanalyse des expressions formelles des efforts.

Dun point de vue purement numrique, cette criture analytique est impossible.Il faut procder par incrment de charge et tester numriquement que chaque l-ment de la structure reste dans ou sur la frontire du domaine dlasticit.

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Rsolution numrique dun problme lasto-plastique

Les mthodes de rsolution numrique dun problme lasto-plastique sont desmthodes itratives bases sur la minimisation dun rsidu dquilibre. Pour fixerles ides, nous prsentons dans un premier temps un algorithme utilisant la matriceraideur lastique chaque itration.

Algorithmes de calcul

Soit un incrment de charge F appliqu la structure, la solution lastique corres-pondante est donne par :

U = K1e F (60)

avec Ke, matrice raideur de la structure lastique. cette solution correspond pourchaque lment fini un incrment de dformation :

= Bu (61)

avec B, matrice des relations dformationsdplacements de llment considr. ejiNi Nj

Fig. 39: efforts lmentairesCest lalgorithme de projection sur le critre de plasticit qui nous permet dedterminer ltat de contrainte correspondant. Ayant calcul , nous calculonspour chaque lment le vecteur des forces nodales lmentaires qui quilibrent cetincrment de contrainte :

e =

(NiNj

)(62)

Lassemblage des vecteurs lmentaires permet de dfinir un vecteur force nodalequivalent ltat de contrainte calcul partir des lois de comportement. Le rsiduest donc dfini par :

R = F (63)Si le rsidu est nul ( la prcision prs), cest que la solution obtenue est bonne (celacorrespond un incrment de charge lastique de la structure), si le rsidu est nonnul (suprieur la prcision voulue), il faut itrer en cherchant la nouvelle solutionde :

U = K1e R (64)

Alg. 1: algorithme de projectionavec matrice lastique maillage lments finis et matrice raideur de la structure lastique Ke

dfinition de lhistorique de chargement (incrments de charge)1: pour chaque incrment F faire2: initialisation du rsidu : R F3: tant que R > faire4: calcul de U = K1e R et 5: projection sur le critre et calcul de 6: nouveau rsidu R R 7: fin tant que

8: rsultats9: fin pour

La figure 40(a) schmatise le processus mis en uvre dans lalgorithme 1. Lacourbe F = k(u)u, solution du problme non linaire, est reprsente dans le casmono-dimensionnel.

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26

F = k(u)u

FF

R1

R2

u1 u2u3

u

(a) matrice lastique

F = k(u)u

FF

R1

R2

u1 u2 u3

u

(b) matrice tangente : Newton-Raphson

Fig. 40: types de projectionavec solution lastique, projection sur le critre, chargenodale quivalente et solutioncherche

Une amlioration vidente consiste utiliser la matrice raideur tangente de lastructure dans ltat actuel. Cette matrice tient compte des lments plastifis. Dunepart, le calcul de la matrice tangente et la rsolution chaque itration ont un cotinformatique, dautre part, dans le cas de la dcharge lastique, lutilisation de lamatrice raideur initiale donne de meilleurs rsultats.

En pratique, un algorithme de rsolution peut utiliser une combinaison des deuxprocessus. Nous donnons lalgorithme 2 et la figure 40(b) correspondant la m-thode de Newton-Raphson.

Alg. 2: algorithme de projection etmatrice tangente maillage lments finis

dfinition des lois de comportement (0, E, ET) dfinition de lhistorique de chargement1: pour chaque incrment F faire2: initialisation du rsidu : R F3: incrment de contrainte lastique de = Ed4: tant que R > faire5: calcul de K(u)6: calcul de u = K(u)1R et 7: projection sur le critre et calcul de 8: nouveau rsidu R R 9: fin tant que

10: rsultats11: fin pour

Dans ces deux algorithmes, la seule nouveaut par rapport un calcul dlasticitlinaire est la projection sur le critre de plasticit et le calcul de la force nodalequivalente.

Pour le test de convergence sur le rsidu, diffrentes normes peuvent tre utili-ses, les deux plus courantes sont :

de type valeur maximale : R = max(|Ri|) de type moindre carrs : R =

R2

Pour travailler avec des nombres sans dimension nous testons R /F. Il existedeux faons de dfinir le rsidu :

sur les degrs de liberts de la structure (ne tient pas compte des conditionsaux limites)

sur tous les degrs de libert (tient compte des ractions aux appuis)Si le rsidu prend en compte les efforts de liaison, il tient compte implicitementde lerreur commise sur le champ des dplacements. Comme lindique la figure 41,pour une prcision donne lerreur sur la solution sera plus petite.

F

solution obtenue

erreursurF

erreur sur u

solution cherche

u

Fig. 41: erreur de rsolution

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Projection sur le critre de plasticit

Soit un tat actuel (, h), le problme pos consiste calculer pour chaque lmentle nouvel tat correspondant un accroissement de dformation .

La figure 42 reprsente le principe de projection sur la frontire du domainedlasticit pour un accroissement de dformation d donn avec solution las-tique, projection sur le critre et solution cherche. Nous avons reprsentle cas le plus gnral dun lment en cours de plastification. Laccroissement decontrainte lastique est dfini par de = Ed.

de

E

ET0f (, E)

(, E)

d

Fig. 42: principe de projectionsur la frontire du domainedlasticit

A

de

dpde

d

X

h

(, E)C

B

f (, E)

RETd

(1 R)de

Fig. 43: dtail de la figure 42

En nous aidant de la figure 43, posons :

R =ABAC

= + de h

de= 1+

hde

(65)

Par consquent X = Rd soit BC = (1 R)de et B = RETd do : = + (1 R)Ed + RETd d = (1 R)Ed + RETd (66)

et :

de =1Ed de =

(1 R+ RET

E

)d

dp = d de dp = R(1 ET

E

)d

(67)

Le modle dcrouissage (cinmatique ou isotrope) autorise le calcul de la valeurde h. Les expressions (67) permettent de dterminer les incrments de contrainte,de dformations plastique et lastique. Il reste ajouter la condition de charge pourobtenir lalgorithme de projection sur le critre de plasticit.

Alg. 3: algorithme de projection initialisationpour chaque lment faire

calcul de lincrment de dformation = (uj ui)/incrment de contrainte lastique de = Edsi || > |h| alors

lment plastiquesi ( > 0 et de < 0) ou ( < 0 et de > 0) alors

dcharge lastique R = 0sinon

poursuite de plastification R = 1fin si

sinon

lment lastiquesi + de < h alors

lment reste lastique R = 0sinon

lment en cours de plastification R = 1+ 0defin si

fin si

dp = R(1 ETE )d et de = d dpd = (1 R)Ed + RETd et = + d de = (Sd Sd)TCalcul de 0 en fonction de lcrouissage et dp

fin pour

Application la structure treillis

Appliquons les algorithmes 1, 2 et 3 au calcul numrique de la structure treillis.Nous prsentons les calculs pour un incrment de charge dF = 1,90S.

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Premire itration

Par dfinition, le rsidu et la matrice raideur scrivent :

R =

(0

1,90S

); Ke =

ESh

[ 12

0

0 1+ 12

](68)

La rsolution du systme linaire respectif permet de trouver lincrment en dpla-cement, soit :

v = 1,92

1+2

0ShES

= 1,1130hE

(69)

ainsi que le chargement dans la direction normale :

N1e = ES2h v = 0,560S; N2e = ESh

v = 1,1130S (70)

Test Il savre que le premier lment na pas plastifi puisque N1e = N1e < 0S,ce qui implique N1 = 0,560S. De la mme manire, le deuxime lment a plastifipuisque N2e = N2e > 0S et il faut donc projeter sur la fonction seuil avec

ETE = 0,1,

tel que :

R = 1 11,113

= 0,1015 2p = 0,1015(1 0,1)vh = 0,10170E

(71)

mais aussi :

N2 = 0S+ RETS2 (72)

ce qui entrane :

N2 = 0S(1+ 1,113R

ETE

)= 0S(1+ 0, 0113) et o(p2) = 1, 01130 (73)

Nouveau rsidu Soit FN, la force nodale quivalente N1,N2 :

FN = (

0N2 + 2

N12

)=

(0

N2 +2N1

)=

(0

1,8030S

)(74)

Par consquent, le nouveau rsidu scrit :

R = F FN = (

00,09670S

)(75)

Deuxime itration

Nous repartons du rsidu trouv la fin de litration prcdent et conservons lamatrice Ke, ce qui entrane v = 0,0566 0hE , autrement dit :

N1e = 0,02830S; N2e = 0,05660S (76)

Test De la mme manire que prcdemment, il faut positionner les efforts int-rieurs aux barre par rapport au critre de plastification. Llment 1 na toujours pasplastifi puisque N1e = N1 + N1e < 0S do N1 = 0,5880S. Llment 2, quant lui, poursuit sa plastification N2 = 0(p2)S et N2e > 0 et par consquent R = 1,do :

2p = (1 0,1)vh = 0,050940E

(77)

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Leffort dans la barre 2 a lexpression suivante :

N2 = 0S+ ETS2 (78)

ce qui entrane :

N2 = 0S(1,0113+ 0,057

ETE

)= 1,0170S et o(p2) = 1,0170 (79)

Nouveau rsidu Le rsidu devient :

R = (

01,90S

)(

01,8490S

)=

(0

0,0510S

)(80)

Troisime itration

Les calculs sont identiques, on trouve :

v = 0,030hE

; N1 = 0,6030S; N2 = 1,020S (81)

ainsi que la mise jour du rsidu :

R = (

00,0270S

)(82)

Les rsultats des calculs sont reprsents sur la figure 44. Avec Ke, la converge estsre mais lente. Lutilisation de la matrice tangente nous conduirait directement la solution cherche.

F0S

F = k(u)u

1,238

1,238vE0h

solutioncherche

zoom

1,1131,17

1,2

Ke KT

Fig. 44: processus de convergence

cel-0

0483

603,

ver

sion

1 - 1

4 M

ay 2

010

cel-0

0483

603,

ver

sion

1 - 1

4 M

ay 2

010

Plasticit des poutres

Ce chapitre est consacr ltude de lvolution lasto-plastique des poutres. Laloi de comportement gnralise lasto-plastique est obtenue partir dun modleen flexion pure (moment de flexion constant). Lapplication de cette loi en flexionsimple nous amne introduire la notion de rotule plastique. Nous prsentonsalors le modle simplifi bas sur lutilisation des rotules plastiques. Ce modle estappliqu ltude lasto-plastique des structures portiques.

Rappels et notations

Considrons une poutre longue rectiligne en flexion dans le plan (xoy) dans le cadredes hypothses de Bernoulli et des petits dplacements qui entranent ~ = v,x~z0 et~u(M, t) = (yv,x, v, 0)T.

tat initial

fibre neutre~y

~x

~uG

(a) champs de dplacement

M

G

~x~n

(b) section droite

Fig. 45: modle de Bernoulli :flexion plane

Les petites dformations supposent xx = yv,xx. Le milieu est isotrope homo-gne lastique et ltat de contrainte est uni-axial, soit xx = Exx. Intgrons lescontraintes sur la section pour obtenir la loi de comportement gnralise lastiquedes poutres :

M f = EIv,xx (83)

Cette loi relie les deux grandeurs utilises lors des calculs, le moment de flexion etla flche. En statique, lquation dquilibre des moments donne :

T = M f ,x = EIv,xxx (84)

+~y

xx

~x

(a) section

xx

~y

(b) contraintesFig. 46: essai de flexion

On note la contrainte gnralise = M f , la dformation gnralise = v,xx etla loi de comportement gnralise = EI . La loi de comportement du matriautant dfinie au niveau local, exprimons les relations entre la contrainte physiqueet la contrainte gnralise, relations utiles par la suite pour exprimer les lois decomportement lasto-plastique :

= EI = EI( xx

y

)= EI

yxxE

(85)

ce qui entrane les champs de contraintes et de dformations suivants :

xx = yI ; xx = y (86)

Modle lasto-plastique

Ce sont les champs et qui sont utiliss lors des calculs. Notre objectif est doncdexprimer la loi de comportement gnralise lasto-plastique = f () en fonctionde la loi de comportement du matriau.

cel-0

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32

Pour simplifier la prsentation nous supposons le matriau lasto-plastique par-fait. La courbe dcrouissage du matriau identifie par un essai de traction estreprsente sur la figure 21(a).

Flexion pure

volution lastique Considrons un essai de flexion pure ralis sur une poutre desection symtrique. Le moment de flexion M est uniforme le long de la poutre.

Pour cet essai, reprsent sur la figure 47, leffort tranchant est nul. La solutionobtenue avec les hypothses de Bernoulli est donc exacte pour les matriaux incom-pressibles et quasi-exacte pour les matriaux compressibles.

M M

Fig. 47: essai de flexion pure

Compte tenu de la rpartition des contraintes dans la section et des hypothsesde symtrie, les fibres les plus loignes situes une distance h de la fibremoyenne plastifient les premires. Par consquent, il y a dbut de plastificationlorsque (xx)y=h = 0, soit 0 =

Ih0 o 0 est le moment de dbut de plastifica-

tion. La dformation gnralise correspondante est 0 = 1Eh0.

volution lasto-plastique Pour M > 0, il y a volution lasto-plastique dumat-riau partir des fibres extrieures. Le moment tant uniforme sur la longueur, danstoute section de la poutre, nous obtenons ltat de contrainte de la figure 48(b).

zone plastique

zone lastique

(a) section

hc

00

xx

~y

(b) contraintesFig. 48: flexion pure et zonesplastiques symtriques

Le matriau tant lasto-plastique parfait au del de la cote c, la contrainte dansla zone plastique est uniforme xx = 0.

Conservons lhypothse de Bernoulli pour exprimer c en fonction des variablesgnralises et 0. En c, xx = 0 et xx = Exx = Ec ce qui entrane, c = 0E 9. 9 Cette relation reste vraie pour

un matriau crouissable. Lhy-pothse de Bernoulli suppose desdformations plastiques suffisam-ment sympathiques pour que laplanit des sections droites soitvrifie.

Comme en lasticit, pour crire la loi de comportement gnralise, il faut intgrersur une section le champ des contraintes afin dobtenir une relation entre le momentde flexion et la courbure :

= M f = hhyxxdS = 2

h0yxxdS (87)

et puisque la section est suppose symtrique :

= 2 c0y

(yc

0

)dS+ 2

hcy0dS (88)

Notons respectivement le moment quadratique de la zone lastique I(c), le momentstatique de la zone lastique Z(c) et le moment statique de la section Z(h) :

I(c) = 2 c0y2dS; Z(c) = 2

c0ydS; Z(h) = 2

h0ydS (89)

Nous obtenons la loi de comportement gnralise lasto-plastique = f (), enfonction du module dlasticit E et de limite en traction 0 :

= 0

(I(c)c

+ Z(h) Z(c))

(90)

avec c = 0E . Montrons que est une fonction croissante de . Il suffit de montrerque cest une fonction dcroissante de c.

ddc

= 0

( I(c)

c2+

1cdI(c)dc

dZ(c)dc

)(91)

ds = L(y)dy

Fig. 49: lment de surfaceor :

I(c) = 2 c0y2dS = 2

c0y2L(y)dy et Z(c) = 2

c0ydS = 2

c0yL(y)dy (92)

cel-0

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010

Plasticit des poutres 33

ce qui entrane :

1cdI(c)dc

=dZ(c)dc

= 2cL(c) ddc

= 0 I(c)c2 < 0 (93)

Ce rsultat est conforme lintuition car une augmentation de charge ne peutquaugmenter la zone plastique.

La figure 50 reprsente la loi de comportement gnralise = f (). Pour c = h,on retrouve 0 (moment de dbut de plastification). Pour c 0, il y a plastificationcomplte de la section. Le moment correspondant est le moment limite 1 = 0Z(h).

0

0

1

Fig. 50: loi de comportementgnralise = f ()

Le caractre asymptotique est d lexistence dune mince zone au voisinage dela fibre moyenne qui reste toujours lastique (xx = 0). En flexion pure, la section nepeut pas plastifier compltement. Ce rsultat purement thorique na pas de ralitphysique. Rappelons que la loi de comportement gnralise des poutres longuesest un modle bas sur des hypothses simplificatrices contradictoires du point devue physique.

Une dcharge lastique conduirait au diagramme des contraintes rsiduelles dela figure 51. On comprend aisment quil nest pas possible dutiliser ce modlepour traiter des problmes cycliques, sans parler de lintroduction de lcrouissage.

~y

xx

Fig. 51: superposition des dia-grammes lasto-plastique etlastique correspondant unchargement M

Le rapport 10 est le facteur de forme plastique de la section :

10

=hZ(h)

I(94)

Il caractrise la rserve vis--vis de la plastification totale dune section donne.Plus ce rapport est lev, plus la phase lasto-plastique est grande, autrement dit,un rapport lev confre une plus grande scurit par rapport au chargement las-tique limite. En contrepartie, la charge limite lastique sera plus petite, il faut donctrouver le bon compromis.

Le tableau 1 indique les facteurs de forme plastiques classs par ordre dcroissantpour diffrentes sections.

b

2h R

b

2h R hS

S

00

16bh2

piR3

423bh2 pieR2 h

(S + S

6

)

10

13bh2

4piR3

3bh2 4eR2 h

(S + S

4

)

10

2163pi

1,7 1,5 4pi

= 1,2712+ 3S/S12+ 2S/S

Tab. 1: facteurs de forme plas-tiques pour diffrentes sections

Plus ce rapport tend vers lunit, meilleure est la section du point de vue lastique(toutes les fibres plastifient en mme temps). Dans ce cadre, la section 5 du tableau 1est optimale.

Application : section rectangulaire

Il sagit de la section 3 du tableau 1. avec les caractristiques gomtriques : I =

23bh3

z(h) = bh2

0 =

23bh20

1 = bh20

10

= 1,5 (95)

cel-0

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34

Par consquent, la loi de comportement gnralise lasto-plastique (90) scrit :

= 0b(h2 c

2

3

)avec c =

0E

(96)

soit :

= 1

(1 1

3

(0

)2)(97)

o 0 =0Eh reprsente la courbure de dbut de plastification. Les calculs se pr-

sentent de la mme faon pour dautres sections.Il est donc possible de modliser, pour un chargement monotone, le compor-

tement lasto-plastique dune poutre soumise un moment de flexion uniformesur sa longueur. Ce modle construit sur les hypothses de Bernoulli en lasticit,suppose que les dformations plastiques les respectent aussi.

Flexion simple

En pratique, il est rare dobtenir un tat de contrainte constant par morceaux. Celasignifie que les zones plastiques sont rduites des sections dont la position volueau cours du chargement.

F

x

M f =

/2

F/4

Fig. 52: essai de flexion simple

tudions le cas dune poutre de section rectangulaire sur deux appuis charge enson centre par une force suppose ponctuelle. Le diagramme du moment de flexionest reprsent sur la figure 52. Les zones plastiques apparaissent dans la sectionx = /2 o le moment est maximal. Puis les zones plastiques stendent aux sectionsvoisines avec laugmentation du chargement.

Modlisation Pour tudier lvolution lasto-plastique, nous adoptons la loi decomportement lasto-plastique obtenue en flexion pure. Les effets de leffort tran-chant dans la zone plastique sont ngligs.

Le dbut de la phase lasto-plastique correspond M f = 0 et F0 =40

et la

section x = /2 est compltement plastifie pour M f = 1 et F1 =41. Le figure 53

reprsente lvolution de la zone plastique selon les phases du chargement.

0

x

/2(a) phase lastique

00

x

/2

a

(b) phase lasto-plastique

0

x

/2

a

(c) fin de plastification

Fig. 53: volution des zones deplastification en flexion simple

tude de la zone plastique Labscisse de la premire section plastifie est simple exprimer a = 20F . La forme de cette zone est dfinie par la cote c =

0E , or pour

a 6 x 6 /2 :

=0

3(1 1

) c = 0E03(1

1

) c = h

3(1 Fx

21

)(98)

cel-0

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or F1 =41

do :

c(x) = h

3(1 2F

F1

x

)(99)

La figure 54 reprsente la zone plastique qui est limite par une parabole dquationc(x) dfinie pour F0 < F 6 F1.

a

c

x

/2

Fig. 54: zone plastique en flexionsimple

tude de la dformation Ltude de la dformation est conduite sur deux zones : zone lastique pour x 6 a :

=

EI=

F2EI

x =0EI

xa= 0

xa

(100)

zone lasto-plastique pour a 6 x 6 /2 :

=0

3(1 1

) (101)

La figure 55 reprsente lvolution de la courbure pour les trois phases de charge-ment de la figure 53. Pour F = F1, la courbure a un comportement asymptotique ettend vers linfini. Tout se passe comme si la poutre tait forme de deux trononsarticuls.

/3x

a /2

F = F1

F0 < F < F1

F < F0

Fig. 55: essai de flexion pure

Pour obtenir lexpression de la flche, il faut intgrer les relations qui dfinissentla courbure en fonction de x.

Phase lastique Le chargement est tel que F 6 F0 et la loi de comportementgnralise indique = EI =

F2EI x avec v(0) = 0 et v,x(/2) = 0 pour cause de

symtrie. Par consquent, la flche prend la forme suivante :

v(x) =F3

4EI

(13

(x

)3 x4

)(102)

Phase lasto-plastique Le chargement est alors F0 < F < F1 avec a =20F . Les

fonctions de rpartition sont dfinies dans les quations (100) et (101). Les quatreconstantes sont calcules en crivant la condition dappui en x = 0, la conditionde symtrie en x = /2 et la continuit de la flche et de la rotation en x = a.Tous calculs faits, nous obtenons : pour x 6 a :

v(x) =06a

x3 + 0a

(3

a 3

2

)x (103)

pour a 6 x 6 /2 :

v(x) = 0a2

3

(3 2 x

a

)3/2+ 0a

3

ax 5

30a

2 (104)

Traons lvolution de la flche en milieu de poutre : pour F = F0 :

v(

2

)= F0

3

48EI= 0

2

12Eh(105)

pour F = F1 :

a =20F1

=

201

=

3 v

(

2

)= 5

30a

2 = 502

27Eh(106)

cel-0

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36

F/F0

1,5

1

ruine de la structure

dchargelastique

phase lasto-plastique

phase lastique

0,5 1,11

flche rsiduelle

0l26Eh

Fig. 56: phases dvolution etflche rsiduelle

La flche rsiduelle aprs dcharge lastique est :

vr

(

2

)=

502

27Eh F1

3

48EI=

02

Eh

(527 1

8

)(107)

Lessai de flexion simple que nous venons dtudier a mis en vidence le comporte-ment asymptotique de la courbure. Les deux parties de la poutre de part et dautrede la section /2 peuvent tourner, le moment restant constant (matriau parfaite-ment plastique). Nous modlisons cette proprit par une rotule plastique (rotuleavec frottement sec).

Modle simplifi rotule plastique

Pour le calcul des portiques, le modle de comportement lasto-plastique que nousvenons de prsenter est trop complexe. Le calcul pratique sappuie sur un modlesimplifi bas sur une approximation linaire par morceaux de la loi de comporte-ment gnralise.

1

0

0

modlesimplifi

loi decomportementlasto-plastique

Fig. 57: loi de comportementgnralise approche pour unmatriau lasto-plastique parfait

La figure 57 reprsente la loi de comportement gnralise approche pour unmatriau lasto-plastique parfait. Ce modle revient ngliger lvolution lasto-plastique dans les sections en cours de plastification. Cest le modle utilis pourles calculs de charges limites. Daprs ce diagramme, il y a rotule plastique dans unesection lorsque celle ci est compltement plastifie. La rotule plastique introduit unediscontinuit du taux de rotation de la fibre moyenne. Du point de vue rhologique,une rotule plastique serait modlise par une rotule avec frottement sec.

Si || < 1, la rotule est bloque et la section a un comportement lastique = EI ;

Si || = 1, la rotation est libre et le moment reste constant = 1.En toute rigueur, la notion de rotule plastique ne peut tre introduite que si la flche,avant plastification complte dune section, reste petite. Dans le cas gnral, rien nepermet de prtendre que la flche reste finie. Si lhypothse des petites dformationsnest plus vrifie, le modle prsent na plus de sens.

Le modle rotule plastique ne dit rien sur la rpartition des contraintes xx. Ce mo-dle ne permet que le calcul des charges limites (charge de ruine dune structure).

Fig. 58: rotule plastique

Application

tudions lvolution de la poutre schmatise par la figure 59 lorsque le chargementaugmente. Les caractristiques mcaniques de la poutre sont sa rigidit en flexionEI et son moment limite de plastification 1 = 0Z(h).

AB

C

/2/2

F

Fig. 59: flexion simple

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Phase 1

Le systme est hyperstatique dordre 1 puisquil y a trois inconnues pour les deuxquations dquilibre suivantes :

RA + RB F = 0; MA + F 2 RA = 0 (108)RA RB

A B

FMA

Fig. 60: phase 1 : efforts transmis

Rsolution Prenons RB comme inconnue hyperstatique. Lnergie de dformationscrit :

2W =1EI

0M2fdx (109)

avec :

M f = ( x)RB (/2 x)F x [0, /2]M f = ( x)RB x [/2, ]

(110)

Appliquons le thorme de Mnabra :

WRB

= 0 RB = 5F16 ; RA =11F16

; MA =3F16

(111)

MA

MC

/2 x

Fig. 61: phase 1 : moment deflexionDomaine de validit La solution obtenue est valable si |M f | < 1. Le diagramme

du moment de flexion est reprsent sur la figure 61 avec MC = 532F. Cest lasection A qui plastifie la premire puisque la premire rotule plastique apparat lencastrement pour MA = 1, soit F1 = 163

1.

Phase 2

La phase 2 est effective pour F > F1. Du fait de la premire rotule plastique, lesystme initial de la figure 59 est maintenant isostatique du fait de la prsencedune rotule plastique en A : le diagramme des efforts transmis correspondant estindiqu sur la figure 62.

RA RB

A B

F1

Fig. 62: phase 2 : efforts transmisRsolution Les quations dquilibre nous donnent :

RA =1+

F2; RB = 1

+

F2

(112)

Domaine de validit Le diagramme du moment de flexion est reprsent sur lafigure 63 avec MC =

12 F4 . La section C plastifie pour MC = 1 tant que F < F2

avec F2 = 61

1

MC

/2 x

Fig. 63: phase 2 : moment deflexion

Quand F > F2, il y a ruine de la structure, F2 est la charge limite de cette structure.

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Plasticit 3D

Reprenons les notions introduites dans le deuxime chapitre lorsque nous avonsmodlis lessai de tractioncompression. Nous avions alors considr un tat decontrainte uni axial ce qui nous avait permis de travailler avec des fonctions sca-laires. En ralit lespace des contraintes est de dimension six puisque le tenseurdes contraintes est suppos symtrique, gnralisons les deux notions suivantes :

critre de plasticit et son volution (crouissage) ; lois dcoulement plastique.

Nous prsentons le principe dutilisation de ces notions dans un modle numriquebas sur la mthode des lments finis.

Critres de plasticit

Nous rappelons que lexprience met en vidence lexistence dun domaine dlas-ticit lintrieur duquel les dformations sont rversibles. La dfinition donne auchapitre peut tre gnralise.

Dfinition Le critre de plasticit est la fonction scalaire f (, h) 10 telle que : 10 La fonction f (, h) est aussiappele fonction de charge si f (, h) < 0 ltat actuel (, h) est intrieur au domaine dlasticit.

si f (, h) = 0 ltat actuel se situe sur la frontire du domaine.Un tat extrieur au domaine dlasticit est physiquement impossible obtenir, le domainedlasticit reprsente donc lensemble des tats de contraintes admissibles.

Les paramtres dcrouissage h caractrisent lvolution de ce domaine en fonc-tion de lhistorique du chargement suivit pour obtenir ltat actuel. Nous avonsschmatis lvolution avec et sans crouissage du domaine dlasticit reprsentdans le plan des contraintes 1, 2. Sur les figures 64(a) et 64(b), OA reprsentelvolution lastique et AB, lvolution plastique. Nous notons f0(), le critre dfi-nissant le domaine dlasticit initial.

domaine actuel

domaine initial

1

2

A

B

O

f (E)

f0

(a) matriau lasto-plastique avec crouissage

1

2

A

B

O

(b) matriau lasto-plastique parfait

Fig. 64: modles de plasticit 3D

Proprit f (, h) doit respecter les symtries matrielles. Si le matriau est iso-trope (dans ltat initial et aprs dformations lastiques), la quantit f0() doit treinvariante dans tout changement de base et symtrique des contraintes principales.

En consquence pour un matriau isotrope, f0() sexprime en fonction des seulsinvariants de .

Pour rappel, une fonction scalaire dun tenseur est invariante si sa valeur nechange pas lors dun changement de base. Le polynme caractristique P = det(

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010

40

1) est un invariant de . Tous les coefficients suivants sont des invariants de :

I1 = tr ; I2 =12(tr 2 tr 2) ; I3 = det (113)

En plasticit sont utiliss les invariants dfinis par les traces des premires puis-sances du tenseur des contraintes :

I1 = tr ; I2 = tr

2 ; I3 = tr 3 (114)

La reprsentation de la fonction f0() dans 3 espace des contraintes principalesest une surface pour laquelle, les plans (1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1) sont des plans desymtrie, et laxe (1, 1, 1) est un axe de symtrie ternaire 11. 11 Quand le modle dcrouissage

conserve lisotropie, les propri-ts pour le critre f (, h) sontidentiques.

Les principaux critres sont : pour les matriaux homognes isotropes : Von Mises (1910), Tresca (1870) pour les matriaux orthotropes : Hill (1950) pour les sols : Mohr-Coulomb, Drucker-Prager (1950)

Ces critres sont anciens, ils restent cependant largement utiliss car les mthodesdidentification des paramtres caractrisant le comportement lasto-plastique ontfait leurs preuves pour ces critres. Depuis, de nombreux travaux ont permis dla-borer des critres modlisant mieux le comportement des matriaux. Cependant ilreste toujours la difficult de dfinir des processus exprimentaux simples et fiablespermettant didentifier les paramtres du modle que lon veut utiliser.

Critre de Von Mises

Lexprience montre que pour les mtaux, tout tat de contraintes hydrostatique 12 12 Un tat de contraintes hydrosta-tique est caractris par :

=

P P

P

Il correspond au problme dunesphre soumise une pressionuniforme P.

est admissible, cest--dire quil appartient au domaine dlasticit, autrement ditquelque soit la charge, il ny a pas de dformations plastiques. Par consquent,le domaine dlasticit est reprsent par un ouvert non born daxe (1, 1, 1) danslespace des contraintes principales 3. Il savre donc que lexpression du critref0() doit tre indpendante de la partie sphrique du tenseur des contraintes.Pour exprimer le critre, nous utilisons donc le tenseur dviateur des contraintes :

d = 13 tr()1 partie sphrique (115)

et sa partie sphrique est note s 13. Le critre de Von Mises est la forme la plus 13 Premier invariant du dviateurI1(d) = tr(d) = 0simple utilisant le premier invariant non nul du dviateur des contraintes I2(d) =

tr( 2d) = d : d. Soit la fonction de charge f0() = d : d k2. Plaons-nous dansle cas dun essai de traction :

=

0 00 0 00 0 0

d =

23 0 00 13 00 0 13

(116)

do f0() = 232 k2, k apparat comme

230, avec 0 limite lastique en traction.

En pratique, la dfinition du domaine dlasticit utilisant le critre de Von Misesest la suivante :{

;

32

d : d s 6 0}

(117)

Le seuil s la dimension dune contrainte que lon peut identifier 0 dans le cas

de lessai de traction. La grandeur VM =

32d : d est appele contrainte qui-

valente de Von Mises. Appliquons le critre de Von Mises lessai de cisaillementsimple indiqu sur la figure 65 :

Fig. 65: cisaillement simple

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Plasticit 3D 41

=

0 0 0 00 0 0

d = (118)

La fonction de charge scrit f0() =32 s. La limite dlasticit en cisaille-

ment simple pour le critre de Von Mises est donc dfinie par s/3. Exprimons la

fonction de charge initiale f0() dans 3, espace des contraintes principales :

=

1 0 00 2 00 0 3

d =

2123

3 0 00 22133 00 0 23213

(119)

do :

VM =

12

[(1 2)2 + (2 3)2 + (3 1)2

]et f0() = VM s (120)

La reprsentation graphique de la fonction de charge initiale dans lespace descontraintes principales 3 est une surface cylindrique non borne daxe (1, 1, 1)de rayon

2s comme indiqu sur la figure 66(a).

1

2

3

(1, 1, 1)

f0()


1

3

2

R =2s

(b) vue dans le plan 1 + 2 + 3 = 0

Fig. 66: fonction de charge initialedans lespace des contraintesprincipales pour le critre de VonMises

Critre de Tresca

Pour ce critre, le domaine dlasticit est dfini dans 3, espace des contraintesprincipales, par :

{ ; i, j [1, 3], i j s 6 0} (121)

Il est simple de voir que pour lessai de traction, le seuil s est la limite lastique 0.La contrainte quivalente de Tresca est dfinie par :

T = maxij

i j (122)Laddition dun tenseur sphrique quelconque au tenseur des contraintes ne mo-difie pas la valeur de la contrainte quivalente de Tresca. Tout tat de contrainteshydrostatique est donc admissible. Comme pour Von Mises ce critre est indpen-dant de la partie sphrique du tenseur des contraintes.

Pour lessai de cisaillement simple, une reprsentation de Mohr (figure 67) per-met de voir que lexpression du critre de Tresca est |2| s 6 0. La limite dlas-ticit en cisaillement simple est donc s/2.

Fig. 67: reprsentation de Mohr

cel-0

0483

603,

ver

sion

1 - 1

4 M

ay 2

010

42

1

2

3

(1, 1, 1)

f0()


1

3

2

(b) vue dans le plan 1 + 2 + 3 = 0

Fig. 68: fonction de charge initialedans lespace des contraintesprincipales pour le critre deTresca

La reprsentation graphique de la fonction de charge initiale dans 3, espace descontraintes principales, est une surface cylindrique de base hexagonale non bornedaxe (1, 1, 1) indique sur la figure 68.

Le critre de Tresca est plus svre que celui de Von Mises et lcart maximalentre les deux critres est 13/2, soit un cart de lordre de 13%. Il est dit critrede cisaillement maximal : si les contraintes principales sont ordonnes 1 > 2 > 3,le critre ne fait plus apparatre que le cisaillement maximal max = (1 3)/2.

Prise en compte de lcrouissage

Comme nous lavons mentionn prcdemment, ltat actuel du critre est li ltatdcrouissage (h) du matriau qui volue au cours des dformations plastiques.

crouissage isotrope Le modle isotrope consiste faire dpendre le seuil s(h) deltat dcrouissage. Ce qui conduit une dilatation du domaine dlasticit dfiniepar :

Von Mises : f (, E) = VM s(h) avec VM =

32d : d

Tresca : f (, h) = T s(h) avec T = maxij

i jPour ces deux critres, le seuil s apparat comme la limite lastique 0 de lessaide traction. Pour exprimer s(h), nous pouvons utiliser une relation de la forme decelle tablie au chapitre 2, savoir s(h) = 0 + Hp 14. 14 Ce modle ne respecte pas

leffet de Bauschinger. Il nedoit pas tre utilis pour lesproblmes de plasticit cyclique.crouissage cinmatique Dans le modle cinmatique ltat dcrouissage sera ca-

ractris par un tenseur (h), qui conduit une translation du domaine dlasticitalors dfini par f (, h) = f0( (h)). Ce modle respecte leffet Bauschinger, maisne conserve pas lisotropie du matriau au cours des dformations plastiques. Deplus il faut pouvoir dterminer exprimentalement les paramtre dcrouissage ca-ractrisant le tenseur (h).

Autres critres Les autres critres sont souvent construits partir des deux prc-dents. Ainsi le critre de Hill utilis pour les matriaux anisotropes est une gnra-lisation du critre de Von Mises.

En mcanique des sols, les critres les plus utiliss sont de type courbe intrin-sque. Le critre de Coulomb est construit partir de celui de Tresca et le critre deDrucker-Prager partir de celui de Von Mises. Il existe bien videmment plusieursautres critres 15. 15 B. Halphen et J. Salenon.

lastoplasticit. Presses de lcoleNationale des Ponts et Chausses,Paris, 1987

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Plasticit 3D 43

Loi dcoulement plastique

Les lois dcoulement plastique peuvent tre prsentes partir du Principe de Hillou principe du travail plastique maximal.

Dfinition

Par dfinition, le travail plastique par unit de volume produit par un incrment decontrainte d est :

Dp = d : dp (123)

avec dp, dformation plastique associe d.

Principe de Hill

Il snonce comme suit :

domaine dlasticit, Dp > : dp (124)

Ce principe exprime que pour toute variation de contrainte, le travail plastique dis-sip dans la dformation plastique est tout instant suprieur au travail plastiquede tout tat de contrainte admissible. Ce que nous pouvons crire :

Dp = max f (,E)

{Dp(, p)

}(125)

Ce principe deux consquences immdiates : le domaine dlasticit est convexeet lincrment de dformation plastique est normal la surface de charge. Pour unesurface rgulire la normale est dfinie de faon unique par :

f (, E)

= grad f (, E) (126)

Sil existe des points singuliers la normale nest pas dfinie de faon unique. Elleappartient au cne dfini par les normales des surfaces rgulires qui se rejoignentaux points singuliers. Nous avons reprsent cette proprit sur la figure 69.

dp

dp

f (, E) point singulier

Fig. 69: dfinition du pointsingulier : pas de normale unique.Au point singulier, la direction dedformation plastique appartient un cne

Pour illustrer notre propos traitons deux exemples simples dfinis dans un es-pace deux dimensions.

Cas dun domaine circulaire Ce domaine est dfini par :

{(1, 2) 2; 21 + 22 r2 6 0

}(127)

1

2

dp

Fig. 70: domaine admissiblecirculaire

Par consquent, la fonction de charge scrit f () = 21 + 22 r2 et son gradient :

grad f =

( f/

1 f/

2

)=

(2122

)(128)

et en tout point de la frontire, nous avons la proprit suivante :

(12

)=

(r cos r sin

) dp =

(cos sin

)(129)

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44

Cas dun domaine carr Le domaine est alors dfini par :{(1, 2) 2; |1| b 6 0 et |2| b 6 0

}(130)

En A, la fonction de charge est f1() = 1 b et le gradient scrit :

grad( f ) =

(10

) dp = 1

(10

)(131)

Par contre, en B, le gradient nest pas dfini : il sagit dun point singulier.

A

B

1

2 dp

dp

Fig. 71: domaine admissible carr

Nous utilisons les deux fonctions de charge f1() = 1 b et f2() = 2 b pourdfinir en B une direction de dformation plastique appartenant au cne dfini parles normales aux fonctions de charge en B :

dp = 1

(10

)+ 2

(01

)(132)

Le principe de Hill nous permet donc de formuler les rgles dcoulement plastiqueque sont la condition de charge et la loi de normalit.

Condition de charge

partir dun tat actuel (, h), nous cherchons dans quelles conditions il y auradformation plastique. Cette condition exprime le fait quon aura dformation plas-tique quand ltat de contrainte est situ sur la frontire du domaine dlasticit et atendance en sortir pour un incrment de contrainte donn. Il est simple de faire leparallle avec la loi dcoulement plastique prsente dans le cas monodimension-nel de lessai de traction.

si f (, h) = 0, appartient la frontire du domaine dlasticit ; si f

: d > 0, il y a charge et d est dirig vers lextrieur du domaine.

Ceci a pour consquences d = de + dp avec dp, tenseur des dformationsplastiques permanentes et de = k1d, tenseur des dformations lastiques ;

sinon il y a dcharge, la dformation est purement lastique ce qui entraned = de = k1d avec k, oprateur dlasticit ;

si f (, h) < 0, appartient lintrieur du domaine dlasticit. La dforma-tion est purement lastique : d = de = k1d.

Loi de normalit

Cette loi prcise la direction de lcoulement plastique : pour une frontire f (, h) rgulire :

dp = grad f avec

{ = 0 si f (, h) < 0

> 0 si f (, h) = 0(133)

pour une frontire singulire : i [1, n] , fi(, h) :

dp =n

i=1

igrad fi avec

{i = 0 si fi(, h) < 0

i > 0 si fi(, h) = 0(134)

Von Mises La fonction seuil scrit :

f () = d : d k2 (135)

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Plasticit 3D 45

et par diffrenciation

d (d : d) = 2d : dd avec dd = d 13 tr (d) 1 (136)

Il savre en plus que d : 1 = tr d = 0 do grad( f ) = 2d et par consquent :

dp = d avec

{ = 0 si f (, E) < 0

> 0 si f (, E) = 0(137)

Tresca La fonction seuil scrit :

f (, E) = T s(E) avec T = maxij

i j (138)Il y a six fonctions de charge correspondant chacune delle une face de lhexagone :f1 = 1 2, f2 = 2 1, f3 = 1 3, f4 = 3 1, f5 = 2 3 et f6 = 3 2do la forme de dp =

ni=1

i f i

:

dp1dp2dp3

= 1

11

0

+2

11

0

+3

101

+4

10

1

+5

011

+6

01

1

En pratique, un point sur la surface de charge ne peut se situer qu lintersectionde deux faces de lhexagone ce qui entrane quau plus deux coefficients i sont nonnuls.

Sur ces deux exemples de critre, il est simple de vrifier que les dformationsplastiques dfinies partir de la loi de normalit, sont effectivement incompressiblessoit tr(dp) = 0.

Les rgles dcoulement plastique nonces nous permettent donc de dire quandil y a coulement plastique et dfinissent la direction de cet coulement. Si le mat-riau est parfaitement plastique il y a coulement libre, lamplitude est indtermine.Sil y a crouissage, lamplitude de la dformation plastique sexprimera en fonctionde laccroissement de contrainte subi par le matriau.

Rsolution numrique

Un problme dlastoplasticit est un problme dvolution quasi-statique partirdun tat initial donn. Le trajet de chargement tant dfini, le problme consiste trouver ~u, , solution de :

M D ~div + ~f =~0 quation localeM u ~u = ~udM ~n = ~Td

conditions aux limites

= grads~u relations dplacements - dformations

= fct() loi de comportement

(139)

Prcisons la forme de la loi de comportement. En lasticit, nous avons = ke = kalors quen lasto-plasticit appartient au domaine dlasticit do f (, E) 6 0 :

d = de + dp (140)

avec de = k1d :

dp = grad f avec

{ = 0 si f (, E) < 0

> 0 si f (, E) = 0(141)

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La difficult essentielle en plasticit vient de la forme diffrente que peut prendre laloi de comportement au cours du processus dvolution. Lide est de se ramener un problme lastique en transformant lcriture de la loi de comportement en unerelation globale de la forme :

d = kep(, E)d (142)

Cette criture est souvent appele intgration de la loi de comportement. Ds lors,nous pouvons utiliser les mthodes classiques mises en uvre dans un code l-ments finis pour rsoudre le problme pour un incrment de charge donn.

Intgration de la loi de comportement

Traitons le cas du critre de Von Mises. Pour ce critre la loi dcoulement plastiqueest de la forme :

d = de + dp avec de = k1d et dp = d (143)

Calculons :

d : d = k1d : d + d : d (144)

or d : d = d : dd puisquen effet :

dd = d 13 tr (d) 1 et d : 1 = 0 (145)

Plaons-nous sur la frontire du domaine dlasticit :

32

d : d 2s = 0; d : dd = 0 (146)

Nous en dduisons :

=322s

d : d (147)

Pour le critre de Von Mises la loi dcoulement plastique la frontire du domainedlasticit est de la forme :

d = k1d +(

322s

d : d)

d (148)

Cette quation diffrentielle permet dexprimer la loi de comportement lasto-plastiqueintgre :

d = kep(, h)d (149)

Le calcul doit tre fait dans un tat actuel situ sur la frontire du domaine dlas-ticit.

Application aux lments finis

Les mthodes de rsolution numrique sont des mthodes itratives bases sur laminimisation dun rsidu dquilibre. Les algorithmes de calcul ont t prsents la section Rsolution numrique dun problme lasto-plastique. Or pour calculer le r-s

bouquin-plasticité.pdf

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