bosch, mariana_curso 3 220705

7/18/2019 Bosch, Mariana_Curso 3 220705

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Marianna Bosch Casab

FUNDEMI Facultat dEconomia IQS

Universitat Ramon Llull (Barcelona)

Escuela de Invierno en Didctica de la Matemtica 2005

r!ani"aciones Did#cticas $ Recorridos deEstudio e Investi!aci%n&

El caso de los sistemas de numeraci%n


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Guy Brousseau (1998) Thorie des Situations Didactiques

'La ensean"a de los decimales como el de lanumeraci%n *lantea a mi *arecer un *ro+lema did#cticodi,-cil $ *rimordial&

.or un lado su uso est# tan e/tendido es tan c%modo $+anal 0ue los nios los encuentran mu$ *ronto en su,orma aca+ada actual& Sea cual sea el ti*o dea*rendi"a1e es la costum+re $ el uso ,amiliar lo 0ueaca+ar# re!ulando el si!ni,icado del conce*to&

2emos visto las insu,iciencias de esta conce*ci%n

'mec#nica3 $ la necesidad de situar su uso +a1o elcontrol de una com*rensi%n e incluso tan *ronto comosea *osi+le de un sa+er racional& S%lo la resoluci%n deal!unas situaciones4*ro+lema *uede dar esta

conce*ci%n clara esta conce*ci%n $ este sa+er&


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.ero estos *ro+lemas son de una com*le1idad +astante!rande $ no *arece mu$ *osi+le *ro*onerlos a losalumnos en el momento o*ortuno demasiado *reco"&

.or otro lado es im*ensa+le retrasar la ensean"a de losdecimales o a*ro/imarse a ellos mediante una !5nesisdemasiado lar!a o 0ue conducir-a a *r#cticas ins%litas&.or 6ltimo en el momento en el 0ue se *odr-an retomar $

7acer las acomodaciones necesarias en la ensean"asecundaria $a no 0ueda tiem*o *ara esta cuesti%nsu+alterna&

8enemos *ues un *ro+lema de ensean"a sin soluci%n& 2a$

otros 0ue conducen a contradicciones del mismo estilo&3


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En !eneral estos *ro+lemas aun0ue no se resuelven s- setratan mediante una ne!ociaci%n did#ctica de la 0ue*oco sa+emos *or a7ora *ero 0ue si!ue de mu$ le1os eldiscurso cl#sico& En este discurso todos los 5/itos se*erci+en como ,unciones mon%tonas de las varia+les9 enun e/tremo lo 0ue est# +ien en el otro lo 0ue est# mal&:omo si el *ro,esor tuviera todo el *oder&


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Las matemticas como actividad humanason al!o 0ue se *roduce ensea a*rende*ractica $ di,unde en instituciones sociales

Teora de la transposicin didctica (:7evallard ;)Enfoque antropolgico(:7evallard ;


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&rocesos de trasosici!n didctica

OMa ensear(noosera)

OM sa!ias(instituci"n#roductora)

OMenseadas

(c$ase)

OMdis#oni!$es(a$u%nos)

Mode$os e#iste%o$"&icos

y did'cticos #ara $ainesti&aci"n

'nidad m#nimade anlisis


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A "rminos rimitivos ara describir el conocimiento

M(DEL( )E*E+$L DE L$, &+-C"IC$, .'M$*$,

Toda tarea se realia!ediante una t"cnica

Toda prctica de#e serdescrita, e$plicada, %ustificada

BL(/'E &+-C"IC(1saber hacer

8i*os de 8areas

85cnicas

BL(/'E "E3+IC(1saber

8ecnolo!-a(tec7ne C lo!os)

8eor-a

(+)$*I4$CI3* M$"EM-"IC$ (M6

o &+$7E(L()8$


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A "rminos ara describir la roducci!n de conocimiento

M(DEL( DE L$ E9(L'CI3* DE L$, &+-C"IC$, .'M$*$,

Cuesti!n/

&+$7E(L()8$ DID-C"IC$ estudio

+ : (Mresuesta a /

&'&ET' *+*-T+-'Ari!er encuentroAE$ploracinATra#a%o de la t"cnicaAEla#oracin de un entorno

tecnolgico/tericoA+nstitucionaliacinAE0aluacin desarrollo

Cuesti!n/

Cuesti!n/

Cuesti!n/


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*u son $os Siste%as de +u%eraci"n (S+),Sistemas 0ue *ermiten escri+ir los n6meros naturalesmediante un con;unto , de s#mbolos 0ue cum*len lassi!uientes condiciones9

(;) El n de s-m+olos (cardinal de ,) no es demasiado !rande&

(?) :ada n6mero viene re*resentado *or una cadena des-m+olos 0ue no es demasiado lar!a&

() No 7a$ ambi%


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DE,I)*$CI3* = C-LC'L(

Las t5cnicas de comaraci!n > clculoest#n ,uertementecondicionadas *or las t5cnicas de desi!naci%n&

La ,ia+ilidad *otencia $ econom-a de un SN est#n li!adastanto a su ca*acidad de desi%naci!ncomo de clculo&

?/'@ /'E+EM(, E*,EA$+

La M 0ue 0ueremos construir no est# ,ormada6nicamente *or las t5cnicas de desi!naci%n $ de c#lculo 0ue*ro*orcionan los distintos SN& De+e incluir tam+i5n lasG raones de serH de cada SN sus G calidades H $ suslimitaciones&

La naturali"aci%n de nuestro SN *osicional 7ace di,-cil lae/*licitaci%n $ el cuestionamiento de los elementostecnol!%icos$ te!ricosde la M&


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M(DEL( DE L$, (M E* "(+*( $ L(, ,*

Se consideran tres ti*os de SN9 los SN aditivos (Ma) losSN 7-+ridos (M7) $ los SN *osicionales (M*)&

Ma a*arece como el SN m#s elemental&

Las limitaciones de Ma a las condiciones (?) $ () motivanla a*arici%n de una nueva M alrededor de un SN 7-+rido&

Las limitaciones de M7 a la condici%n (;) as- como lainca*acidad de su*erar ciertas limitaciones de las t5cnicas dec#lculo motivan el sur!imiento de M*&

Se o+tiene as- una sucesi%n de tres *ra/eolo!-as9 cada una'motiva3 la si!uiente $ sur!e como desarrollo de la anterior&

(Ma (Mh (M

cadenac'$cu$o

+/ s0%!o$os


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AEl *roceso se llev% a ca+o durante ;; sesiones de ;7

A8uvo lu!ar durante el curso ??4?

AFormaci%n inicial de *ro,esores de +#sica (!rado de aos)

AJsi!natura9 Did#ctica de las matem#ticas

AKru*o de unos > estudiantes

El !is!o proceso se adapt e$peri!ent el cursosiguiente (2324) para una clase de 15 &edio (13/14 a6os)

ondiciones de $a e2#eri%entaci"n (.or%aci"n de Maestros)


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sesi!n la cuesti!n de la escritura de los nFmeros

(b;etivo9 ri!er encuentro con una Qalrededor de los

Se *resenta una colecci%n de o+1etos *or escrito $ se *ideescri+ir el cardinal de la colecci%n de maneras distintas

Se o+tienen distintas escrituras

Corresondencia trmino a trmino

IIIII IIIII IIIII IIIII IIIII IIIII IIIII IIIII III

Escritura aditiva 0 G 0 G 0 G 0 G H JJJ

Escritura aditivoKmultilicativa

N G cuarenta > tres O0 G H etcJ

Escritura de osici!n OH N 002 JJJ

/ ?C!mo se ueden desi%nar los P nFmeros Q


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2 K H K O sesiones Clculo en el ,* aditivo E%icio

(b;etivo9 ri!er encuentro e$ploracin de Ma

.resentaci%n del SN E!i*cio a *artir de un te/to de +#sica

8areas de desi!naci%nde *e0ueas colecciones$ de inter*retation de laescritura aditiva

8areas de c#lculo9 suma resta multi*licaci%n

La suma no lantea %randes roblemasJ

La multilicaci!n se hace or sumas iteradasJ

'n estudiante su%iere que multilicar or 0 consiste en cambiarun s#mbolo or el inmediato sueriorJ

,e uede introducir la tcnica de multilicaci!n de los E%icios

dulicaciones sucesivas6J


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OH BBBB $$$ (en +ase ;)

HR BBB $$$$$$$$

,uma BBBB $$$ BBB $$$$$$$$

BBBBBBBB $La divisi!n es ms roblemticaJ

'n estudiante utilia la tcnica de escribir el dividendo en P alitos Q> hacer a%ruaciones de i%ual tamaSo que el divisorJ

Los estudiantes se ven llevados a re%untarse en qu consiste ladivisi!n > a tener que deTinirlaJ

,e uede introducir la tcnica de divisi!n de los E%iciosJ

&o!ento del tra#a%o de la t"cnica

&o!ento tecnolgico/terico


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5 ,esi!n Evoluci!n hacia el ,* h#brido

(b;etivo9 Darse cuenta de las limitaciones de Ma $ considerar

una nueva M en torno al SN aditivo4multi*licativo (SN c7ino)&E0aluacin de '&a ri!er encuentro con '&7

,e hace una s#ntesis de las oeraciones realiadasJ

,e evalFa la econom#a Tiabilidad > eTicacia de (Ma considerando lascaracter#sticas 6 26 H6 O6J

Cuando la escritura de los nFmero requiere muchos s#mbolos losclculos son esados > aarecen errores TrecuentesJ

La consideraci!n de un sistema h#brido sur%e de Torma esontnea

$$$$$ BBB CC 5$ HB 2C

Q (Ma (Mh (M


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N U sesiones $nlisis del ,* h#brido

(b;etivo9 8ra+a1ar las t5cnicas de c#lculo en M7 $ detectar sus

limitaciones&E$ploracin, tra#a%o de la t"cnica e0aluacin de '&7.

A&ara multilicar los estudiantes utilian la tcnica e%icia dulicar6JEl *ro,esor *ro*one otro m5todo *ero se necesitar-an ta+las de multi*licar&

A&ara la divisi!n tambin utilian la tcnica e%iciaJ 8am+i5n a*arece la*ro*uesta de multi*licar *or ; el dividendo $ 7acer sustracciones sucesivas&

La evaluaci!n de (Mh one de maniTiesto la imosibilidad deescribir todos los nFmeros naturales se necesitar#an inTinitoss#mbolos6 > la Talta de Tiabilidad de las tcnicas de clculocuando los nFmeros son %randesJ

El SN de posicin sure entonces como respuesta a esta limitacin.

Q (Ma (Mh (M


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R U V sJ $nlisis del ,* de osici!n

(b;etivo9 :#lculo en M* $ an#lisis de sus caracter-sticas

Tra#a%o de la t"cnica, tecnolgico/terico, e0aluacin de '&p

AComentario sobre el ,* oral como e;emlo de (Mh > su relaci!n conel ,* osicionalJ

AElicitaci!n de la tecnolo%#a de la multilicaci!n > de la divisi!nJ

0 ,esi!n ,#ntesis del recorrido

(b;ectivo9 S-ntesis e institucionali"aci%n del *roceso de estudio

,esi!n Evaluaci!n individual rueba6

Q (Ma (Mh (M

Q (Ma (Mh (M


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uestiones a$ ina$ de$ #roceso

?Conocer las distintas (M (Ma (Mh (M6 en el sentido dearender a oeraren cada una de ellas obras cristaliadas6J

Conocer las caracter#sticas de las distintas (M > en articularlas de (M como resuesta a / P ?c!mo desi%nar los nFmeros Q

&ara construir (M como resuesta a / ha> que construir las(M intermedias estudiar sus limitaciones e identiTicar las

caracter#sticas de (M como una sueraci!n de estas limitacionesrazn deserde (MJ

El ob;etivo del roceso de estudio es el roio roceso

Q (Ma (Mh (M

Durante la institucionali"aci%n $ la evaluaci%n se *lantea una

cuesti%n9 ?cul es el saber a enseSar W enseSado


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E9$L'$CI3* DE L$ (+)$*I4$CI3* DID-C"IC$

A Los estudiantes 7an reali"ado el recorrido o se 7an G de1adollevar H *or el *ro,esor

A Se 7a G tomado en serio H la cuesti%n Q

A :%mo 7a sido el re*arto de res*onsa+ilidades (contrato)Qui5n *lantea las cuestionesQui5n *lani,ica el *roceso de estudioQui5n a*orta un G medio H *ara la evaluaci%n de las M

(a0u- el c#lculo en los distintos SN)Qui5n decide la valide" de las res*uestas


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+E&$+"( DE +E,&(*,$BILID$DE, contrato6

EL &+(XE,(+se res*onsa+ili"a de aortar las cuestionescrucialescu$o estudio da lu!ar a una reconstrucci%n de la M $ a

diri!ir el estudio mediante la mani*ulaci%n de las !ariablesdidcticas&

A"resentacin funcional# las M se constru$en como res*uestas$ a determinadas cuestiones 0ue tienen sentido *ara los

estudiantes&ALa construcci%n tiene una lica propia$ viene !uiada *or untra+a1o e/*erimental de contraste con un medio sin intencindidctica.

AEl *roceso de estudio *ermite 0ue se desarrollen los distintosmomentos didcticos$ !enera M relati!amente completas&

EL $L'M*(asume la res*onsa+ilidad de resolver las cuestiones0ue se le *lantean mediante un traba;o de interacci!n con el

medio&


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?/u dimensiones del roceso didctico estn ba;o laresonsabilidad de los alumnos

Cuesti!n/

+ : (Mresuesta a /

&'&ET' *+*-T+-'Ari!er encuentroAE$ploracin

ATra#a%o de la t"cnicaAEla#oracin de un entorno tecnolgico/tericoA+nstitucionaliacin

AE0aluacin desarrollo

Cuesti!n/

Cuesti!n/

Cuesti!n/

tras res*uestas R

*resentes en la cultura


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Qu5 as*ectos del *roceso noest#n +a1o la res*onsa+ilidaddel alumno

&lanteamiento >Ydesconstrucci!nZ

de la / inicial

Elecci!n de lascuestiones / / etcJ

cu>a resoluci!n ermiteacercarse a /

lo %histrico& del

proceso

Construcci!n oadataci!n deresuestas + +

ara las cuestionesr!imas a / / etcJ

AEvaluaci!n(validaci%n) de las res*uestas a*ortadas

mediante el contraste con un medioADesarrollode dic7as res*uestas *ara adatarlas a /

AElaboraci!nde una resuesta + roia

AEvaluaci!n> desarrollode la res*uesta a*ortada


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$*-LI,I, C+8"IC( DEL &+(CE,( DE E,"'DI( 9I9ID(

En realidad se si!uen ante*oniendo las 'res*uestas3 a las

'cuestiones39 D$D( '* C(*(CIMIE*"( ?/'@ ,I"'$CI3* L( M(DELI4$

= &E+MI"E )E*E+$+L(

?/'@ )'8$ EL E,"'DI( L$ &+(&I$ C'E,"I3* / ( L$

9(L'*"$D DE C(*,"+'I+ C(*(CIMIE*"( +E,&'E,"$,6$ &$+"I+ DE ELL$

No 7emos su*erado la mentalidad de anti!uo r5!imen9 ?DE D3*DE ,'+)E* L$, C'E,"I(*E, / ?&(+ /'@

DECIDIM(, E,"'DI$+L$,

?/'@ (C'++E C(* L$, Y(B+$,Z DEL E7"E+I(+ ?E*/'@ *(, $='D$* $ +E,(L9E+ L$ C'E,"I3* ?C3M( L$,I*"E)+$M(,

?/'@ .$+EM(, C(* *'E,"+$, +E,&'E,"$,


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?/'@ E,C'EL$ /'E+EM(,

LJ ES:UELJ :REJDRJ DE DIFEREN:IJ (Jnti!uo R5!imen)

A Sacrali"aci%n de las o+ras culturales del sa+erA El sa+er como distinci%n9 acceso restrin!ido a las o+ras

A La *resentaci%n 'monumentalista3 del sa+er

A .resentaci%n ,rontal de o+ras *reesta+lecidas ($ a1enas)9 laverdad se im*one *or autoridad el roTesor YroTesaZ&

LJ ES:UELJ :REJDRJ DE :IUDJDJNOJ DEM:RP8I:J

A El sa+er como instrumento*ara vivir me1or todos 1untos&A La escuela como diTusorade conocimientos 'vivos3&

A Facilitar elacceso a las obras$ al controlde la verdad&

A .romover el cuestionamiento $ desconstrucci!n de las

o+ras o del sa+er *reesta+lecido&


26/40

En la enseSana tradicional las cuestiones Q 0uedan mu$

ale1adas de la escuela9 s%lo se evocan sin tomarlas en serio&

Lo im*ortante es el 'sa+er3 (+lo0ue tecnol%!ico4te%rico) 0ue se*resenta como al!o 6nico eterno e incuestiona+le&

Las matemticas ale'an el mundo y( como respuesta( el

mundo se ale'a de las matemticas.

)hat Should *hildren Learn+(.aul Ka!non ;


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3acia una nuea did'ctica esco$ar

4os 5ecorridos de 6studio e 7nesti&aci"n

8oda raeolo%#a (Msur!e como res*uesta a unacuesti%n Q *ro+lem#tica *ara un !ru*o de *ersonaso una instituci%n&

'Estudiar una (M3 re0uiere tomar en consideraci%n lascuestiones Q 0ue dan su ra!n de sera la M&

,e arte de / > se intenta elaborar +[

resuesta roia a /J,e encuentran otras resuestas R>a eistentes

ara dar resuesta a cuestiones / cercanas a /J


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D(, ,I"'$CI(*E, L#MI"E

,I"'$CI3* L#MI"E 46 Se ela+ora Ral ;T (autonom-a)&

Se re0uiere entonces un medio mu> rico@ $ muc7a ener!-aV

,I"'$CI3* L#MI"E $6 Se retoman resuestas +\ reviamente

elaboradas(*or otros) *ara dar res*uesta a cuestiones cercanas a Q&No se necesita nin!6n medio9 es la instituci%n de Rla 0ue valida&

,I"'$CI(*E, I*"E+MEDI$,

Se +uscan res*uestas R

se anali"an eval6an $desarrolan 7asta lle!ar a una res*uesta *ro*ia R&Durante el *roceso a*arecen nuevas cuestiones'cruciales3 Q Q etc& 0ue vuelven a lan"ar el estudio&Se recurre a distintos medios (sistemas nointencionados) *ara validar&

EL C$,( DE L(, ,I,"EM$, DE *'ME+$CI3*


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Se *arte de Q $ se intenta ela+orar una R *ro*ia&

Se encuentran res*uestas R$a ela+oradas a Q Q&

*u S+ uti$ia o ha uti$iado $a 3u%anidad,

Son equia$entes, "%o se caracterian,

3ay un S+ %e:or ; que $os de%'s,

?&or qu usamosun Fnico ,* >

muchosalTabetos

EL C$,( DE L(, ,I,"EM$, DE *'ME+$CI3*

4a dia$ctica de $os di $os %edios


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2 %randes Y%estosZcomlementarios

Buscar casos *articulares considerar un 'medio3e/*erimental $ construir res*uestas *arciales a*artir de la interacci%n con el medio&

Buscar 'en la literatura3 si esta cuesti%n $a 7asido *lanteada $ c%mo en 0u5 #m+ito sector o#rea se 7a situado con 0u5 7erramientas etc&

EL MEDI( C(M( E*"(+*( *( I*"E*CI(*$D( milieu

L(, MEDI(, DE C(M'*IC$CI3* media

4a dia$ctica de $os mediay $os %edios


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A ,istema de numeraci!n CLE Clculo a Lar%a Escala6

(0;1;6)tambino)0;1;6(:CLEcdigoenEscritura

112020202021267

2baseen10001167

123!6++++++=

=

""!73!

)0;1;2(2!7

)0;2(12101!

)1(2102

2)2(

1

)2(

==

=+=

=+==

===

CLE

CLE

""!73!

###)";!;6;7(3!$671!

)0;1;2;3;!;7(11100110013!$

)0;1;6(10001167

)2(

)2(

==

=+=

==

==

CLE

CLE

?+a!n de ser

>


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56O557DOS D6 6ST-D7O 6 7++

DIXIC'L"$DE,

ADi,-cil acceso a los 'medios3 (!ilieu) institucionales&A.oca cultura de control de los media de comunicaci%n9muc7a 'co*ia3 cultural de res*uestas a1enas 0ue aca+anim*oniendo sus cuestiones tam+i5n a1enas&

X$CILID$DE,ALa noci%n de REI nutre nuestra 'ima%inaci!n didctica3ALas *osi+les maneras de vivir o 7acer vivir los distintos

momento del estudio se desli!an de re;uicios escolaresALa 'clase3 como comunidad de estudioreco+ra identidadASe rom*e necesariamente el Yencierro en los temasZ

$ #reas sectores disci*linas @ALa escuela se convierte en instrumento de observaci!n

> cr#tica social reconstruccin de la sociedad


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Los resultados anteriores constitu$en una actuali"aci%n de las

matem#ticas *ara 0ue 5stas sean *or decirlo as- matem#ticas

responsa#les& Matem#ticas 0ue mani,iesten claramente a los

o1os de las nuevas !eneraciones 0ue la Escuela no lasa+andona sino 0ue al contrario se *reocu*a al m#/imo *or

darles los instrumentos necesarios *ara *ensar la realidad $

*ara entrar en ella armados de sa+er $ de ra"%n&

W& :7evallard (?)

8a posicin de las !ate!ticas 0i0as en la ense6ana

secundaria transposicin didctica de las !ate!ticas nue0a episte!ologa escolar

+ie$es de co deter%inaci"n did'ctica


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+ie$es de co?deter%inaci"n did'ctica

*ivel Discilina

*ivel 2 -rea

,ector*ivel H

*ivel O "ema

*ivel 5 Cuesti!n /

*ivel 0 &eda%o%#a

*ivel K Escuela

*ivel K2 ,ociedad

*ivel KH Civiliaci!n

Mate%'ticas@ 4en&ua@ iencias@ Di!u:o@ A

OM re&iona$es@ uniones de OM $oca$es

OM $oca$es@ uniones de OM #untua$es

OM #untua$es (#ro!$e%as@ tcnicas@ A)

Disci#$inas (sa!eres)

6nseana o!$i&atoria@ %edia@ #roesiona$

Sociedad

ii$iaci"n

=rit%tica@ '$&e!ra@ &eo%etr0a@ an'$isis@ A


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.REKUN8JS

;& :u#les ,ueron los *ro+lemas 0ue llevaron a*roducir la distinci%n entre niveles

.or 0u5 dic7a distinci%n ser# ,5rtil en

nuestras investi!acionesEn 0u5 sentido *ermite 'ver3 *ro+lemas 0ueno se ve-an $a desde la trans*osici%ndid#ctica


36/40

.REKUN8JS

?& :%mo la di,usui%n de los conce*tos de*ra/eolo!-a t5cnica tecnolo!-a etc& *odr-aa+onar a nuestras investi!aciones o

decisiones curriculares


37/40

.REKUN8JS

& En la noos,era no 7a$ tam+i5n actividadmatem#tica cuando 0uienes 7acen elcurr-culum reor!ani"an $ *roducen nuevas

reor!ani"aciones


38/40

.REKUN8JS

& Qu5 a+ona la distinci%n de M ,rente a los'sentidos3 del ,uncionamiento de un conce*to

>& Son inde*endientes las M de los su1etos:%mo se consideran los su1etos $ susestados de conocimientos


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.REKUN8JS

X& En 0u5 medida el marco te%rico *ermite sertomado en cuenta *ara !e%orarla ensean"a

Y& .ara ela+orar un 'recorrido3 de un contenido a lolar!o de varios aos

4 c%mo de+er-an ,uncionar cierto e0uili+rioentre teor-aZtecnolo!-a $ t5cnicasZtareas

=& :%mo a*ortan *ara la *roducci%n de secuenciasde ensean"a la distinci%n MR ML M.

etc&


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.RWE:8 LEM (:7ile)

4Lorena Es*ino"a (Univ& Santia!o de :7ile)

Ministerio de Educaci%n

E/*eriencia de *roducci%n $ e/*erimentaci%nde 'Unidades Did#cticas3 *or curso

4 De ; a +#sico (desde ?)De > a = +#sico (*lan *iloto).arvulario (*lan *iloto)

bosch, mariana_curso 3 220705

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