ANALYSE NON LINÉAIRE

Sur la stabilité des ondes solitaires

Raphaël Danchin et Pierre Raphaël

27 août 2013

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Table des matières

1 Analyse fonctionnelle 91.1 Compacité dans les espaces de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.1 Compacité dans un espace métrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.2 Opérateurs compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.1.3 Un résultat de compacité canonique : le théorème d’Ascoli . . . . . . . . 11

1.2 La convergence faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.1 Convergence faible dans les espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.2 Opérateurs compacts dans le cadre hilbertien . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.3 La convergence faible étoile dans les espaces de Banach . . . . . . . . . . 20

1.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 Espaces de Lebesgue 252.1 Structure d’espace de Banach et réflexivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1.1 Structure d’espace de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.1.2 Réflexivité de Lp et compacité faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2 Un résultat d’interpolation complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2.1 Le théorème d’interpolation de Riesz-Thorin . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2.2 Extension aux Lebesgue espace-temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3 Les inégalités de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3.1 Inégalités de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3.2 Décomposition atomique des espaces Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.3.3 Démonstration des inégalités de Young précisées . . . . . . . . . . . . . 36

2.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3 Espaces de Sobolev 413.1 L’espace de Sobolev Hs(Rd) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.1.1 Définition, structure hilbertienne et premières propriétés . . . . . . . . . 413.1.2 Le dual de Hs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.1.3 Injections de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.1.4 Corollaires de l’injection de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.1.5 Compacité locale de l’injection de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.1.6 Le cas d’un domaine borné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.2 L’espace de Sobolev W k,p(Rd) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.2.1 Définition et structure d’espace de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.2.2 Injections de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.2.3 Compacité locale de l’injection de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.2.4 Le cas d’un domaine borné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3

4 Dispersion dans l’équation de Schrödinger linéaire 674.1 Le groupe de l’équation de Schrödinger linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.1.1 Résolution explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.1.2 Le groupe de l’équation de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.1.3 Solutions faibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.2 Estimations espace-temps de Strichartz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5 Résolution locale et globale du problème de Cauchy 815.1 Le problème de Cauchy local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.1.1 Contraction à la Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.1.2 Démonstration du Théorème 5.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.2 Existence globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.2.1 Symétries et lois de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.2.2 Un théorème d’existence globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

6 Existence d’ondes solitaires 936.1 Le cadre variationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

6.1.1 L’espace H1r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

6.1.2 Un problème de minimisation compacte sur H1r . . . . . . . . . . . . . . 95

6.2 Etude des minimiseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 966.2.1 Positivité d’un minimiseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 966.2.2 Equation d’Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.2.3 Régularité et unicité des minimiseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.2.4 Classification des minimiseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

6.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

7 Stabilité orbitale de l’onde solitaire 1057.1 Stabilité orbitale de l’onde solitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

7.1.1 Instabilité induite par les symétries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1057.1.2 Stabilité orbitale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1067.1.3 La caractérisation variationnelle de l’état fondamental . . . . . . . . . . 107

7.2 Minimisation de l’énergie à masse fixée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087.2.1 Calcul de I(M) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087.2.2 Classification des minimiseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

7.3 Description des suites minimisantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1127.3.1 Description de la perte de compacité de l’injection de Sobolev . . . . . . 1127.3.2 Compacité H1 des suites minimisantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1137.3.3 Le lemme de concentration compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

7.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

Bibliographie 118

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Introduction

L’objectif de ce cours est de présenter quelques méthodes mathématiques modernes issuesde l’analyse non linéaire des équations aux dérivées partielles. Ces méthodes seront mises enapplication pour étudier un objet central dans la modélisation de très nombreux phénomènesondulatoires et au cœur d’une dynamique de recherche intense : le soliton ou onde solitaire.

1. L’onde solitaire en mécanique ondulatoire

L’une des toutes premières observations d’ondes solitaires remonte à la fin du 19e siècleavec les travaux pionniers de D.J. Korteweg et G. de Vries [21]. L’objet d’étude est un canalpeu profond d’une cinquantaine de mètres de large et de plusieurs kilomètres de long, et lesondes qui se propagent à sa surface. L’observation spectaculaire et fondamentale de Korteweget de de Vries est l’existence d’ondes de surface quasi unidirectionnelles se propageant sansdéformation sur plusieurs kilomètres. La mécanique ondulatoire sous-jacente est claire : soitu(t, x) ∈ R la hauteur de la surface de l’eau par rapport à un niveau de référence plat, àl’instant t et au point x désignant la direction de propagation dans la longueur du canal (onnéglige les effets transverses). Alors la surface donnée par u(t, x) est soumise à la contrainte degravité pour les particules d’eau et l’égalité de la pression de l’air et de l’eau à la surface. Cettesituation physique est bien décrite par le système dit des “water waves” qui est déjà relativementcomplexe et dont une version très simplifiée dans la limite de petites déformations et grandelongueur d’onde est donnée par le modèle dit de Korteweg–de Vries :

(KdV )

∂tu+ ∂x(∂xxu+ u2) = 0,

u(t, x) ∈ R, (t, x) ∈ R× R.

Trouver des ondes progressives se propageant sans déformation et rendant compte de l’ob-servation initiale de Korteweg–de Vries revient à chercher des solutions de la forme

u(t, x) = Qc(x− ct)

où c > 0 est la vitesse de propagation (ou célérité). En injectant cette expression dans (KdV ),on constate que le profil Qc de la vague doit vérifier

(Qc)xx − cQc +Q2c = 0.

Un calcul explicite donne :

Qc(x) = cQ(√c x) où Q(x) =

3

2 cosh2(x2

) · (1)

L’onde progressive uc(t, x) = Qc(x − ct) ainsi obtenue se propage donc sans déformation ouamortissement : c’est le soliton de (KdV ).

5

Si le calcul de Korteweg–de Vries et sa pertinence eu égard au phénomène observé sontspectaculaires, l’importance tant d’un point de vue physique que mathématique de la notiond’ondes solitaires s’est imposée dès les années 60 via la théorie de la complète intégrabilitédue en particulier à Peter Lax [23] qui permet essentiellement de calculer complètement toutesles solutions de (KdV ) . On peut en particulier montrer que toute solution se décomposeen une somme finie d’ondes solitaires et d’une onde résiduelle qui sera asymptotiquementdispersée 1 à la surface de l’eau. Le lecteur familier avec les systèmes dynamiques de dimensionfinie (ou Equations Différentielles Ordinaires) sait qu’il est souvent extrêmement difficile dedécrire toutes ses dynamiques, c’est donc un résultat spectaculaire que de pouvoir le fairesur un système dynamique de dimension infinie (ou Equation aux Dérivées Partielles) comme(KdV ). Cette propriété assez miraculeuse est liée au fait que l’analyse est ici limitée à unealgèbre spécifique et non universelle du problème.

Au moins cet exemple nous apprend-il que l’onde solitaire joue un rôle fondamental dans ladescription en temps long de la dynamique du système. En fait, l’onde solitaire s’est imposéedans de très nombreux domaines de la physique bien au-delà de la mécanique des fluides,comme un objet central en mécanique ondulatoire. Prenons par exemple la propagation d’unfaisceau laser dans un milieu non linéaire, typiquement une fibre optique supposée transporterun signal électromagnétique sur de longues distances. Deux phénomènes dominants entrent enjeu : la dispersion, c’est-à-dire de façon naïve la propension du faisceau à s’étaler en espacecomme il le ferait dans le vide, et la concentration, conséquence de l’interaction du milieu etde l’onde qui tend à focaliser les rayons. La dispersion permet la propagation du faisceau, lafocalisation permet de confiner cette propagation au centre de la fibre optique. La modélisationde l’interaction entre l’onde et le milieu de propagation permet à l’aide des équations deMaxwell de dériver le système d’équations gouvernant la dynamique de l’onde. A nouveau,un modèle simplifié peut être extrait en approchant la dynamique d’ondes très oscillantes sepropageant dans la direction de la fibre, par la dynamique dont l’enveloppe est donnée parl’équation de Schrödinger non linéaire :

(NLS)

i∂tψ + ∆ψ + ψ|ψ|2 = 0,ψ(0, x) = ψ0(x),

(t, x) ∈ R× Rd, ψ(t, x) ∈ C.

En pratique, d = 1, 2, 3 suivant le type de modélisation physique utilisé. La variable de“temps” t correspond en réalité dans la modélisation physique à la direction de propagationde l’onde. L’onde solitaire se propageant sans amortissement correspond ici à une solutionpériodique en temps

ψ(t, x) = ei√c tQc(x) (2)

de fréquence√c > 0 et où le profil Qc doit satisfaire l’EDP elliptique non linéaire :

∆Qc −Qc +Qc|Qc|2 = 0. (3)

Une solution explicite est fournie en dimension d = 1 via une formule totalement similaire àcelle du soliton de (KdV ) donné par (1) :

Qc(x) =√cQ(√c x) avec Q(x) =

(2

cosh2(x)

) 12

.

1. et donc non plus propagée

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2. La stabilité de l’onde solitaire : point de vue mathématique

Nous nous concentrerons dans tout ce cours sur le modèle de Schrödinger non linéaire(NLS) (Non Linear Schrödinger) qui pour notre propos est en fait un des modèles les plussimples. Une première question fondamentale pour le dynamicien est la suivante : on peutcertes montrer qu’il existe des ondes solitaires de (NLS) de la forme (2), mais ces solutionssont elles “réellement propagée” par le système, ou au contraire ne sont-elles pas des solutionscomplètement isolées et très instables par perturbation de l’onde (ce qui rendrait leur pertinencephysique des plus douteuses) ?

Le but de ce cours est de mettre en place les outils mathématiques modernes permettantde répondre rigoureusement à la question :

L’onde solitaire est-elle une solution stable de (NLS) ?Une approche systématique pour répondre à cette question a été proposée par T. Cazenave

et P.-L. Lions dans leur article de référence [5] de 1983. Il est remarquable et symptomatiquede l’analyse moderne et plus particulièrement de l’étude des Equations aux Dérivées Partiellesque la réponse à cette question requiert l’apport de branches très diverses de l’analyse mathé-matique. Trois grandes étapes guideront notre démonstration :

– Etape 1 : Analyse fonctionnelle. Nous introduirons des outils de base de l’analysefonctionnelle dont une application est la dérivation de propriétés de compacité dansles espaces fonctionnels de la physique mathématique : les espaces de Sobolev. Certainsoutils reprendront l’analyse hilbertienne introduite dans le cours de tronc commun [17]et certains concepts issus de la théorie des distributions [16]. Le concept fondamental estici la notion de convergence faible et la description des suites bornées dans les espacesde Sobolev.

– Etape 2 : Analyse harmonique. Nous donnerons une démonstration simple et auto-contenue des estimations de Strichartz dans l’esprit des travaux pionniers de Ginibre etVelo [15]. Ces estimations donnent via des techniques importées de l’analyse harmonique 2

une mesure simple de la dispersion associée à l’équation de Schrödinger linéaire

i∂tψ + ∆ψ = 0,

soit la propension du paquet d’ondes à s’étaler au cours du temps. Ces estimations per-mettent en outre de résoudre via une méthode de type point fixe élémentaire le systèmedynamique de dimension infinie (NLS) dans l’espace naturel d’énergie associé qui estl’espace de Sobolev H1(Rd) .

– Etape 3 : Méthodes variationnelles. Nous montrerons enfin que la propriété fonda-mentale au cœur de la stabilité de l’onde solitaire est sa caractérisation variationnelleen tant que minimiseur de l’énergie naturelle 3 associée à (NLS), ce qui découlera desrésultats d’analyse fonctionnelle de l’Etape 1 et de la mise en œuvre de techniques varia-tionnelles élémentaires. Nous conclurons la démonstration par l’introduction du lemmeplus raffiné de “concentration-compacité” introduit par P.-L. Lions au début des années1980 dans [25], et qui est l’ultime clé de la preuve de la stabilité de l’onde solitaire.

2. soit l’étude des intégrales oscillantes intervenant dans la formule d’inversion de Fourier par exemple3. ou Hamiltonien

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Chapitre 1

Analyse fonctionnelle

Nous présentons dans ce chapitre les éléments de base d’analyse fonctionnelle dans lesespaces de Hilbert et les espaces de Banach réflexifs. La principale application sera l’étude desespaces de Lebesgue Lp et des espaces de Sobolev Hs qui sont les espaces fondamentaux de laphysique mathématique. La notion centrale est ici celle de compacité en dimension infinie. Noussupposons connus les rudiments de l’analyse hilbertienne (projection sur un convexe fermé etexistence d’une base hilbertienne). Nous renvoyons à [3], [7], [16] et [17] pour les définitions etnotions de base. Le lecteur désireux d’approfondir ses connaissances en analyse fonctionnellepourra par exemple consulter [4], [28], [30].

1.1 Compacité dans les espaces de Banach

Nous rappelons dans cette section la notion de compacité dans un espace métrique. Nousproposons ensuite une brève étude des opérateurs compacts entre espaces de Banach, et donnonsune illustration fondamentale : le théorème d’Ascoli, et un exemple canonique d’opérationcompacte en dimension infinie : la convolution.

1.1.1 Compacité dans un espace métrique

La notion de compacité est centrale en mathématiques et fondamentale pour les applicationsque nous présenterons en physique mathématique. Rappelons tout d’abord la définition de lacompacité dans le cadre des espaces topologiques abstraits.

Définition 1.1.1. On dit qu’un espace topologique séparé (X,O) est compact si de tout re-couvrement de X par des ouverts, on peut extraire un sous-recouvrement fini.

Dans le cas des espaces métriques (et donc a fortiori des espaces vectoriels normés), ondispose du théorème de Bolzano-Weierstrass permettant de caractériser la compacité par lessous-suites convergentes.

Théorème (de Bolzano-Weierstrass). Un espace métrique (X, d) est compact si et seule-ment si toute suite d’éléments de X admet une sous-suite convergente.

Il est bien connu que dans les espaces vectoriels normés de dimension finie, les ensemblescompacts sont les ensembles fermés bornés. Ce résultat est faux en dimension infinie, commeen atteste le théorème de Riesz suivant :

Théorème (de Riesz). Soit E un espace vectoriel normé ; la dimension de E est finie si etseulement si la boule unité fermée de E est compacte.

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La notion de compacité est plus subtile en dimension infinie où les compacts sont beaucoupplus “rares” que les fermés bornés, et “plein de trous” : en vertu du théorème de Riesz, ils sontd’intérieur vide. Dans les paragraphes qui suivent, nous allons développer plusieurs outils pouridentifier les parties compactes d’un espace de Banach.

1.1.2 Opérateurs compacts

On appellera opérateur borné toute application linéaire continue entre deux espaces vec-toriels normés. En dimension infinie, la notion d’opérateur compact que nous définissons ci-dessous est fondamentale.

Définition (Opérateur compact). Soient E et F deux espaces de Banach. Un élément ude l’ensemble L(E;F ) des applications linéaires continues (ou opérateurs bornés) de E dansF est dit compact si l’image par u de la boule unité de E est d’adhérence compacte dans F.

Il est bien sûr équivalent de demander à u(A) d’être d’adhérence compacte pour toutepartie bornée A de E.

Donnons tout de suite une caractérisation séquentielle des opérateurs compacts très utiledans la pratique.

Proposition 1.1.1. Soient E et F deux espaces de Banach. Un élément u de L(E,F )est compact si et seulement si pour toute suite bornée (xn)n∈N d’éléments de E , la suite(u(xn))n∈N possède une valeur d’adhérence.

Démonstration : Supposons que u soit compact et considérons une quelconque suite bornée(xn)n∈N . Si M

déf= supn ‖xn‖E , la suite (u(xn))n∈N est incluse dans u(BE(0,M)) dont

l’adhérence est compacte. On peut donc extraire de la suite (u(xn))n∈N une sous-suiteconvergente.Réciproquement, soient A une partie bornée de E et (yn)n∈N une suite d’éléments del’adhérence de u(A) . Il existe une suite (zn)n∈N d’éléments de u(A) telle que

‖yn − zn‖F ≤1

n·

Par hypothèse, la suite (zn)n∈N admet une valeur d’adhérence, donc la suite (yn)n∈Naussi.

Exemple. Les opérateurs bornés de rang fini, c’est-à-dire les applications linéaires continuesdont l’image est un sous-espace vectoriel de dimension finie, sont compacts.

Nous verrons qu’il existe bien d’autres opérateurs compacts et que leur connaissance permetd’identifier les parties compactes de E . Montrons maintenant un résultat fondamental pouridentifier et construire des opérateurs compacts.

Proposition 1.1.2. Soient E,F deux espaces de Banach. Alors le sous-ensemble des élémentsde L(E;F ) qui sont compacts est un sous-espace vectoriel fermé de L(E;F ) . En d’autrestermes, une limite d’opérateurs compacts au sens de la norme de L(E;F ), est compacte.

Démonstration : Nous laissons au lecteur le soin de vérifier que L(E;F ) est stable parcombinaisons linéaires. Montrons maintenant que L(E;F ) est fermé. Soit donc u unelimite uniforme d’opérateurs compacts un , donc :

∀ε > 0, ∃N(ε) tel que ∀n ≥ N(ε), ∀x ∈ F, ‖un(x)− u(x)‖G ≤ ε‖x‖F . (1.1)

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Soit (xp)p≥1 une suite bornée de E . On peut sans perte de généralité supposer ‖xp‖F ≤1 . Par compacité de u1 , on peut extraire de (u1(xp))p≥1 une sous-suite (u1(xφ1(p)))p≥1

convergente. Par récurrence sur n ≥ 1 , on construit des extractions successives φ1, φ2, · · ·telles que pour tout n ≥ 1, (un(xφ1···φn(p)))p≥1 converge. On considère alors l’extractiondiagonale

φ(n) = φ1 · · · φn(n)

qui vérifie par construction :

∀n ≥ 1,(un(xφ(p))

)p≥1

converge. (1.2)

Montrons maintenant que la suite(u(xφ(p))

)p≥1

est de Cauchy dans F complet, ce quipar la Proposition 1.1.1 assurera la compacité de u et conclura la démonstration. Eneffet, soit ε > 0 et N = N(ε) tel que (1.1) soit vérifiée, alors :

‖u(xφ(p′))− u(xφ(p))‖F≤ ‖u(xφ(p′))− uN (xφ(p′))‖F +‖uN (xφ(p′))− uN (xφ(p))‖F +‖uN (xφ(p))− u(xφ(p))‖F≤ 2ε+ ‖uN (xφ(p′))− uN (xφ(p))‖F ≤ 3ε

pour p, p′ ≥ P (ε) suffisamment grands par (1.2) appliqué à N(ε).

1.1.3 Un résultat de compacité canonique : le théorème d’Ascoli

Nous présentons maintenant un résultat de compacité canonique tant par sa démonstrationqui revêt un caractère universel, que par son importance puisqu’il est au cœur des résultats decompacité des injections de Sobolev du chapitre suivant.

Théorème (d’Ascoli). Soit d, p ≥ 1 et BR = x ∈ Rd, ‖x‖ ≤ R . Soit (fn)n∈N une suitebornée d’applications continues de BR dans Rp i.e.

supn≥1‖fn‖L∞(BR) <∞.

On suppose en outre que la suite (fn)n∈N est équicontinue :

∀ε > 0, ∃η > 0 tel que ∀n ≥ 1, ∀(x, y) ∈ B2R, (‖x− y‖ < η =⇒ ‖fn(x)− fn(y)‖ < ε). (1.3)

Alors il existe f ∈ C(BR,Rp) et une suite extraite (fφ(n))n∈N telles que

fφ(n) → f uniformément sur BR.

En d’autres termes, le sous-ensemble de la boule unité de l’espace de Banach C(BR,Rp)constitué par les applications équicontinues vérifiant (1.3) (avec le même ε pour η donné) estrelativement compact dans C(BR,Rp) . Il est facile de voir que la condition d’équicontinuité(1.3) est en fait nécessaire et suffisante pour décrire les sous-ensembles relativement compactsde C(BR,Rp) . Ce résultat est un cas particulier du théorème général que le lecteur pourradémontrer avec l’Exercice 1.5. Notons que la condition d’équicontinuité (1.3) doit être penséecomme une version faible du contrôle des dérivées de fn et est par exemple assurée par uncontrôle uniforme

supn→+∞

‖∇fn‖L∞(BR) <∞.

L’ennemi typique pour l’extraction d’une sous-suite uniformément convergente est la suite defonctions fn(x) = sin(nx) , voir l’exercice 1.7.

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Démonstration : Le résultat est une conséquence classique du processus d’extraction dia-gonale. Soit m ≥ 1 et εm = 1

m · La boule fermde BR étant compacte, on peut extraire durecouvrement BR ⊂ ∪x∈BB(x, εm) un sous-recouvrement fini. Soit donc (x

(m)i )1≤i≤N(m)

tel queBR ⊂ ∪N(m)

i=1 B(x(m)i , εm).

Soit m = 1 , alors les N(1) suites(fn(x

(1)i ))n≥1

, 1 ≤ i ≤ N(1) sont bornées dans Rp ,et donc on peut trouver une extraction φ1(n) telle que

∀1 ≤ i ≤ N(1), fφ1(n)(x(1)i )→ f

(1)i,∞ quand n→ +∞.

En raisonnant par récurrence sur m , on construit des extractions φ1, · · · , φm telles que :

∀1 ≤ m, ∀1 ≤ i ≤ N(m), fφ1···φm(n)(x(m)i )→ f

(m)i,∞ quand n→ +∞.

On considère maintenant l’extraction diagonale

φ(n)déf= φ1 . . . φn(n)

qui vérifie par construction :

∀1 ≤ m, ∀1 ≤ i ≤ N(m), fφ(n)(x(m)i )→ f

(m)i,∞ quand n→∞. (1.4)

Montrons maintenant que la suite (fφ(n))n∈N est de Cauchy dans l’espace de Banach(C(BR,Rp), ‖ · ‖L∞) , ce qui achèvera la démonstration. En effet, soit ε > 0 , et η = η(ε)donné par la propriété d’équicontinuité (1.3). Soit m = m(ε) tel que εm < η . Soitx ∈ BR , alors ∃i ∈ [1, N(m)] tel que

‖x− x(m)i ‖ < η

et donc par (1.3) : ∀n ≥ 1 ,

‖fφ(n)(x)− fφ(p)(x)‖

≤ ‖fφ(n)(x)− fφ(n)(x(m)i )‖+ ‖fφ(n)(x

(m)i )− fφ(p)(x

(m)i )‖+ ‖fφ(p)(x

(m)i )− fφ(p)(x)‖

≤ 2ε+ ‖fφ(n)(x(m)i )− fφ(p)(x

(m)i )‖.

Mais la suite fφ(n)(x(m)i ) est convergente dans Rp donc de Cauchy, et donc pour n, p ≥

P (ε) assez grand :

∀1 ≤ i ≤ N(m), ‖fφ(n)(x(m)i )− fφ(p)(x

(m)i )‖ ≤ ε.

On en déduit :

∀n, p ≥ P (ε), ∀x ∈ BR, ‖fφ(n)(x)− fφ(p)(x)‖ ≤ 3ε,

et donc fφ(n) est de Cauchy dans (C(BR,Rp), ‖ · ‖L∞) .

Concluons cette section par un exemple explicite d’opération compacte qui intervient dansde très nombreuses modélisations physiques allant du traitement du signal à l’étude des ondesnon linéaires : la convolution. Rappelons au préalable la définition de l’espace de Schwartz :

12

Définition 1.1.2. On dit que φ ∈ C∞(Rd,R) est dans l’espace de Schwartz S = S(Rd) sipour tous multi-indices (α, β) ∈ Nd × Nd ,

‖xβ∂αφ‖L∞(Rd) <∞

avec la notation

xβ∂αφdéf= xβ1

1 . . . xβdd ∂α1x1. . . ∂αdxd φ.

Etant donnée ψ ∈ S , on considère l’opérateur de convolution

T : f 7→ ψ ? f où ψ ? f(x)déf=

∫Rdψ(x− y)f(y) dy.

Les propriétés de régularisation de T sont bien connues, et T transforme par exemple lesfonctions Lp en fonctions C∞ . Une conséquence élémentaire mais fondamentale du théorèmed’Ascoli est que T est une opération compacte au sens suivant.

Proposition 1.1.3. Soit d ≥ 1 , 1 ≤ p < ∞, BR = x ∈ Rd, ‖x‖ ≤ R et ψ ∈ S. Alorsl’opérateur

T : (Lp(Rd), ‖ · ‖Lp(Rd))→ (C(BR,R), ‖ · ‖L∞(Rd))

est compact.De manière equivalente, de toute suite (fn)n∈N bornée dans Lp(Rd) , on peut extraire une

sous-suite (fφ(n))n∈N telle que (ψ ? fφ(n))n∈N converge uniformément sur BR .

Démonstration : Soit (fn)n∈N une suite bornée de Lp(Rd) . Montrons que (ψ ? fn)n∈Nvérifie les hypothèses du Théorème d’Ascoli. Les inégalités de convolution de Young - cfLemme page 32 - assurent que

‖f ? ψ‖Lr ≤ ‖f‖Lp‖ψ‖Lq , 1 ≤ p, q, r ≤ +∞, 1 +1

r=

1

p+

1

q·

Rappelons que pour p fini, l’ensemble D(Rd) des fonctions C∞(Rd) à support compactest dense dans Lp(Rd) (voir e.g. [16, 29]). On peut donc trouver une famille de fonctionsfη ∈ D(Rd) telle que fη → f dans Lp(Rd). Alors ψ ? fη ∈ S(Rd) et

‖ψ ? f − ψ ? fη‖L∞(Rd) ≤ ‖f − fη‖Lp(Rd)‖ψ‖Lp′ (Rd) → 0 quand η → 0,

et donc ψ ? f est limite uniforme de fonctions continues et donc continue. Le mêmeraisonnement en utilisant

∂i(ψ ? fη) = ∂iψ ? f

assure que ψ ? f est C1 . On obtient alors pour fn ∈ C1(Rd,R) le contrôle uniforme :

‖∇(ψ ? fn)‖L∞(Rd) = ‖∇ψ ? fn‖L∞(Rd) ≤ ‖∇ψ‖Lp′ (Rd)‖fn‖Lp(Rd) ≤ C

indépendent de n , et donc la suite (ψ ? fn)n∈N est équicontinue sur BR .

13

1.2 La convergence faible

Dans les applications, il est rare que l’on puisse montrer qu’une suite converge en exhibantsa limite. Si l’on parvient à démontrer que la suite appartient à un compact, alors l’existenced’une valeur d’adhérence est assurée, ce qui est souvent une étape fondamentale pour résoudredes problèmes d’analyse. En dimension infinie, la topologie de la norme est “trop forte” en cesens qu’elle ne fournit que peu d’ensembles compacts. Nous allons dès lors affaiblir la notion deconvergence, ou de manière équivalente munir l’espace d’une topologie plus grossière, pour aug-menter le nombre d’ensembles compacts. Ce but sera atteint grâce à la notion de convergencefaible que nous allons introduire dans cette section. Nous présentons d’abord cette notion endétails dans le cadre des espaces de Hilbert séparables, puis, plus brièvement, dans les espacesde Banach séparables. Le lecteur est renvoyé à [4, 7, 30] pour une présentation plus détailléedans le cadre des espaces de Banach.

1.2.1 Convergence faible dans les espaces de Hilbert

Soit (H, (·|·)) un espace de Hilbert séparable (i.e. qui admet une sous-suite dénombrabledense). Nous renvoyons à [16], ou à [17], pour les définitions et propriétés de base des espacesde Hilbert. En particulier, rappelons que H admet une base hilbertienne (ei)i≥1 et que

x =+∞∑i=1

xiei ∈ H ssi+∞∑i=1

|xi|2 < +∞,

auquel cas on dispose de l’égalité de Parseval :

‖x‖2 =+∞∑i=1

|xi|2.

La topologie faible est définie de façon séquentielle comme suit :

Définition (Convergence faible). Soient (xn)n∈N une suite d’éléments d’un espace de Hil-bert H et x un élément de H . On dit que la suite (xn)n∈N converge faiblement vers x et l’onnote xn x si

∀h ∈ H , limn→∞

(xn|h) = (x|h). (1.5)

Remarques. 1. Si xn x alors on a convergence “coordonnée par coordonnée” dans la basehilbertienne :

∀i ≥ 1, xn,i = (xn|ei)→ (x|ei) = xi.

2. Si la suite est bornée, il suffit de vérifier (1.5) pour une partie dense de H.Les premières propriétés de la convergence faible sont les suivantes :

Proposition 1.2.1. Soit (xn)n∈N et (yn)n∈N deux suites d’éléments d’un espace de Hilbert Het x, y deux éléments de H . On a alors :(i) Convergence forte implique convergence faible :

xn → x =⇒ xn x.

(ii) Bornitude :

xn x =⇒ (xn)n∈N est bornée et ‖x‖ ≤ lim inf ‖xn‖ ; (1.6)

14

(iii) Convergence fort-faible :

xn → x et yn y =⇒ limn→∞

(xn|yn) = (x|y). (1.7)

Démonstration : Le point (i) résulte de l’inégalité de Cauchy-Schwarz :

∀h ∈ H, |(xn|h)− (x|h)| ≤ ‖h‖ ‖xn − x‖ → 0 quand n→∞.

Le point (ii) est non trivial et découle d’un résultat célèbre d’analyse fonctionnelle : lethéorème de Banach-Steinhaus dont la démonstration est proposée dans l’exercice 1.9.Le point (iii) en découle puisque :

|(xn|yn)− (x|y)| ≤ |(xn − x|yn)|+ |(x|yn − y)|≤ ‖xn − x‖ ‖yn‖+ |(x|yn − y)|,

et la propriété (1.6) assure que la suite (yn)n∈N est bornée, donc :

|(xn|yn)− (x|y)| ≤ C‖xn − x‖+ |(x|yn − y)| → 0 quand n→∞.

En dimension infinie, il existe beaucoup de suites qui convergent faiblement sans convergerfortement (penser par exemple à une base hilbertienne qui converge faiblement (mais pasfortement) vers 0). La proposition suivante montre que le défaut de convergence forte d’unesuite faiblement convergente est essentiellement explicite.

Proposition (Défaut de convergence forte). Soit (xn)n∈N ∈ H une suite faiblement conver-gente, et x sa limite faible. Soit (ei)i≥1 une base hilbertienne et xni = (xn|ei). Les conditionssuivantes sont équivalentes :

(i) La suite est équicontinue pour la norme :

∀ε > 0, ∃I(ε) tel que ∀n ≥ 1,∑i≥I(ε)

|xni |2 < ε. (1.8)

(ii) La norme converge :‖xn‖H → ‖x‖H quand n→∞.

(iii) Il y a convergence forte :xn → x quand n→∞.

Démonstration : Supposons (i). Soit ε > 0 . Alors pour I(ε) assez grand :

∀n ≥ 1,

∑i≥I(ε)

|xni |2+

∑i≥I(ε)

|xi|2 < ε.

Or par définition de la convergence faible :

I(ε)∑i=1

|xni |2 →I(ε)∑i=1

|xi|2 quand n→ +∞

15

et donc pour n ≥ N(ε) assez grand :

∣∣‖xn‖2H − ‖x‖2H∣∣ ≤∣∣∣∣∣∣I(ε)∑i=1

|xni |2 −I(ε)∑i=1

|xi|2∣∣∣∣∣∣+

∑i≥I(ε)

(|xni |2 + |xi|2) ≤ 2ε,

et (ii) s’ensuit. Supposons (ii), alors

‖xn − x‖2H = ‖xn‖2H − ‖x‖2H − 2Re (xn − x|x)→ 0 quand n→ +∞.

L’implication (iii) =⇒ (i) découle du fait que pour n ≥ N(ε) avec N(ε) assez grandalors ‖xn − x‖ ≤

√ε/2, ce qui entraîne que

|(xn − x|ei)|2 ≤ ε/2.

Mais il existe I(ε) tel que ∑i≥I(ε)

|xi|2 < ε/2,

et donc, pour n ≥ N(ε), on a (1.8). Comme les indices n < N(ε) sont en nombre fini, onpeut conclure, quitte à prendre I(ε) plus grand, que (1.8) est vérifiée pour tout n ≥ 1.

Exemple. La propriété d’équicontinuité (1.8) permet d’exhiber des compacts de H élémen-

taires. Par exemple, étant donnée une suite (ai)i≥1 avec+∞∑i=1

|ai|2 < +∞ , le cube de Hilbert

x =

+∞∑i=1

xiei, |xi| ≤ |ai|

est un compact de H . On montrerait de manière similaire que

x =

+∞∑i=1

xiei,+∞∑i=1

(1 + i2)|xi|2 ≤ 1

est un compact de H et fournir ainsi un premier exemple de compacité des injections deSobolev pour les fonctions périodiques sur R (voir [9]).

La motivation fondamentale pour l’introduction de la topologie faible est le résultat decompacité suivant :

Théorème (Compacité faible de la boule unité). Le boule unité de H est faiblementcompacte. De manière équivalente, de toute suite bornée d’un espace de Hilbert, on peut extraireune sous-suite faiblement convergente.

Démonstration : Pour simplifier, on ne traite que le cas séparable. Le résultat est, commele théorème d’Ascoli, basé sur le procédé d’extraction diagonale. Soit (ei)i∈N une basehilbertienne de H. Soit (xn)n∈N une suite bornée de H . Soit i ≥ 1 ,

|xni |2 = |(xn|ei)|2 ≤+∞∑i=1

|xni |2 < C

16

et donc toutes les suites coordonnées (xni )n≥1 sont bornées. Pour i = 1 , on peut doncextraire de la suite bornée xn1 = (xn|e1)n∈N une sous-suite (x

φ1(n)1 )n∈N et trouver un

scalaire x∞1 tels que

limn→∞

xφ1(n)1 = x∞1 quand n→ +∞.

On construit de même par récurrence sur m des extractions φ1, · · · , φm telles que

∀m ≥ 1, xφ1···φm(n)m = (xφ1···φm(n)|em)→ x∞m quand n→ +∞.

L’extraction diagonaleφ(n) = φ1 · · · φn(n)

vérifie par construction :

∀m ≥ 1, xφ(n)m → x∞m quand n→ +∞. (1.9)

Soit maintenant I ≥ 1 , alors par (1.9) :

I∑i=1

|x∞i |2 = limn→+∞

I∑i=1

|xφ(n)i |2 ≤ ‖xφ(n)‖2H < C

et donc+∞∑i=1

|x∞i |2 < +∞ et x =+∞∑i=1

x∞i ei ∈ H.

Montrons que (xφ(n))n∈N converge faiblement vers x. Soit donc h ∈ H et ε > 0. Pouri ≥ I(ε) assez grand, on a, en notant hi = (h|ei),

∀n ≥ 1,

∣∣∣∣∣∣∑i≥I(ε)

xφ(n)i hi

∣∣∣∣∣∣ ≤(

+∞∑i=1

|xφ(n)i |2

) 12

∑i≥I(ε)

|hi|2 1

2

≤ ‖xφ(n)‖H

∑i≥I(ε)

|hi|2 1

2

≤ C

∑i≥I(ε)

|hi|2 1

2

< ε.

Or par (1.9)I(ε)∑i=1

xφ(n)i hi →

I(ε)∑i=1

xihi,

et donc

(xφ(n)|h) =+∞∑i=1

xφ(n)i hi →

+∞∑i=1

xihi = (x|h) quand n→∞.

17

1.2.2 Opérateurs compacts dans le cadre hilbertien

Nous introduisons les opérateurs compacts en nous limitant pour simplifier au cadre hil-bertien, mais les résultats énoncés ici sont valables dans un cadre bien plus général (voir parexemple [4, 30]).Rappelons tout d’abord la notion d’adjoint d’un opérateur borné (dont l’existence découle duthéorème de Riesz).

Définition (et théorème). Soit T un opérateur borné de H1 dans H2. Il existe un uniqueopérateur borné T ∗ de H2 dans H1 vérifiant

∀(x, y) ∈ H1 ×H2, (T (x)|y)H2 = (x|T ∗(y))H1 .

L’opérateur T ∗ est appelé opérateur adjoint de T , et vérifie

‖T ∗‖L(H2;H1) = ‖T‖L(H1;H2).

Remarque. L’adjoint peut être défini dans un cadre plus général, par exemple celui du chapitre4 qui est le suivant. Soit H un espace de Hilbert et B un espace de Banach de dual topologiqueB′. Pour T : H → B opérateur borné, on remarque que pour tout x′ ∈ B′, l’application

x′ 7−→ 〈x′, Tx〉B′×B

est une forme linéaire continue sur H. Donc d’après le théorème de Riesz-Fréchet, il existeT ∗x′ ∈ H tel que

(T ∗x′ | x)H = 〈x′, Tx〉B′×B pour tout x ∈ H.

Une des conséquences de l’existence de l’adjoint est l’équivalence des notions de continuitéforte ou faible pour les applications linéaires. En effet, on définit :

Définition 1.2.1. On dit qu’une application linéaire T : H1 → H2 est faiblement continue sipour toute suite (xn)n∈N ∈ HN

1 , on a xn x implique T (xn) T (x).

On a alors l’équivalence :

Proposition 1.2.2. Une application linéaire est continue si et seulement si elle est faiblementcontinue.

Démonstration : Soit T : H1 → H2 continue et (xn)n∈N ∈ HN1 telle que xn x. On a

donc pour tout y ∈ H2,

(T (xn) | y)H2 = (xn | T ∗(y))H1 −→n→+∞ (x | T ∗(y))H1 = (T (x) | y)H2 .

Donc T est faiblement continue.Réciproquement, supposons T faiblement continue. Soit (xn)n∈N une suite d’élémentsde H1 telle que (xn, T (xn))n∈N converge fortement vers (x, y) dans H1×H2. Alors on aaussi xn x et donc T (xn) T (x). Mais par hypothèse T (xn)→ y, et donc a fortioriT (xn) y. Par unicité de la limite faible, on en déduit que y = T (x). En conséquence,le graphe de T est fermé. Comme H1 et H2 sont complets, le théorème du graphe fermé(voir exercice 1.15) permet de conclure que l’opérateur T est continu.

Examinons maintenant l’effet d’un opérateur compact sur la convergence faible. Nous allonsétablir que les opérateurs compacts sont précisément ceux qui transforment les suites faiblementconvergentes en suites fortement convergentes.

18

Proposition 1.2.3. Soit T un opérateur continu de l’espace de Hilbert H1 dans l’espace deHilbert H2. Les deux énoncés suivants sont équivalents :

(i) L’opérateur T est compact.

(ii) Pour toute suite (xn)n∈N ∈ HN1 , on a

(xn x

)=⇒

(T (xn)→ T (x)

).

Démonstration : Supposons d’abord que T soit compact. Soit (xn) ∈ HN1 une suite fai-

blement convergente vers x ∈ H1. Un opérateur compact étant continu, donc faiblementcontinu, on a T (xn) T (x) . Mais toute suite faiblement convergente est bornée, donc(T (xn))n∈N admet une sous-suite fortement convergente. La limite de cette sous-suitene peut être que T (x). Remarquons par ailleurs que (xn)n∈N est bornée car faiblementconvergente, donc, en vertu de la compacité de T , la suite (T (xn))n∈N est à valeurs dansun compact. Comme elle admet T (x) pour unique valeur d’adhérence, on en déduit quela suite toute entière converge fortement vers T (x).Réciproquement supposons que la propriété (ii) soit vérifiée. Soit (xn)n∈N une quel-conque suite bornée de H1. Alors il existe x ∈ H1 et une sous-suite (xϕ(n))n∈N tellesque xϕ(n) x. D’après l’hypothèse, on a donc T (xϕ(n)) → T (x). En conséquence,l’opérateur T est compact.

Proposition 1.2.4. Soit T un opérateur borné de H1 dans H2. Alors T est compact si etseulement si T ∗ est compact.

Démonstration : Supposons que T : H1 → H2 soit compact. Soit (yn)n∈N une suitefaiblement convergente d’éléments de H2. Notons y sa limite faible. Comme T ∗ estfaiblement continu car linéaire continu, on a T ∗(yn) T ∗(y). Donc, par compacité deT, on a aussi T (T ∗(yn))→ T (T ∗(y)) Par ailleurs,

‖T ∗(yn)‖2H1= (T ∗(yn) | T ∗(yn))H1 ,

= (yn | T (T ∗(yn)))H2 → (y | T (T ∗(y)))H2 = ‖T ∗(y)‖2H1

car yn y et T (T ∗(yn))→ T (T ∗(y)).

On a donc à la fois ‖T ∗(yn)‖H1 → ‖T ∗(y)‖H1 et T ∗(yn) T ∗(y), ce qui entraîneT ∗(yn)→ T ∗(y). Donc T ∗ est compact d’après la proposition précédente.

La réciproque se démontre en appliquant le raisonnement précédent à T ∗ et en utilisantle fait que (T ∗)∗ = T.

Un premier exemple d’opérateur compact 1 est fourni par la Proposition 1.1.3 qui impliqueimmédiatement :

Proposition (Compacité de la convolution). Soit d ≥ 1 et BR = x ∈ Rd, ‖x‖ ≤ R . Soitψ ∈ S et Tf = f ? ψ , alors

T : L2(Rd)→ L2(BR)

est compacte.

La proposition suivante donne une caractérisation universelle des opérateurs compactscomme limite d’opérateurs de rang fini, et complète donc la Proposition 1.1.2.

Proposition (Approximation uniforme des opérateurs compacts). Un opérateur T :H1 → H2 est compact si et seulement si il est limite uniforme d’opérateurs de rang fini.

1. qui est un exemple d’opérateur dit de Hilbert-Schmidt

19

Démonstration : Un opérateur de rang fini est compact, et la limite uniforme d’opérateurscompacts est compacte par la Proposition 1.1.2.Montrons la réciproque. Soit donc T : H1 → H2 un opérateur compact. Alors K =T (B(0, 1)) est un compact de H2. Soit m ≥ 1 et εm = 1

m , alors on peut extrairedu recouvrement K ⊂ ∪y∈KB(y, εm) un sous-recouvrement fini. Notons (ymi )1≤i≤N(m)

les centres des boules de rayon εm correspondantes. Soit alors le sous-espace vectorielde dimension finie -donc fermé- Fm = Vect(ym1 , . . . , ymN(m)) , et soit Pm l’opérateur deprojection sur Fm , alors :

∀y ∈ K, dist(y, Fm) = ‖y − Pm(y)‖H2 ≤ εm

donc∀x ∈ B(0, 1), ‖T (x)− Pm T (x)‖H2 ≤ εm

et donc T est limite uniforme des opérateurs de rang fini Pm T.

1.2.3 La convergence faible étoile dans les espaces de Banach

Nous concluons ce chapitre par une courte présentation de la notion de convergence faible *dans les espaces de Banach. Il se trouve en effet que les espaces de Lebesgue Lp , 1 ≤ p ≤ +∞ ,sont fondamentaux pour l’analyse non linéaire (et en particulier pour le problème que noussouhaitons aborder dans ce cours), mais que seul l’espace L2 peut être muni d’une structurehilbertienne.

Le cadre général d’étude de la convergence faible ou faible * dans les espaces de Banachest aujourd’hui bien compris après une percée spectaculaire dans les années 1960. Le lecteurest renvoyé à [4] pour une exposition exhaustive de la théorie. Nous nous contentons pour cesnotes d’un cadre élémentaire mais représentatif : la convergence faible * dans les espaces deBanach séparables (i.e. comportant une partie dénombrable dense).

Définition 1.2.2. Soit E un espace de Banach sur K = R ou C et E′ son dual topologiquec’est-à-dire l’ensemble des formes linéaires continues de E dans K. On dit qu’une suite (fn)n∈Nd’éléments de E′ converge faiblement * vers f ∈ E′ si

∀x ∈ E, 〈fn, x〉E′×E → 〈f, x〉E′×E .

On note alors fn f faible *.

La convergence faible * a des propriétés très similaires à la convergence faible dans lesespaces de Hilbert :

Théorème 1.2.1. Soit (xn)n∈N une suite de l’espace de Banach E et (fn)n∈N un suite deE′. Soit x ∈ E et f ∈ E′. On a alors :

fn f =⇒ (fn)n∈N est bornée et ‖f‖E′ ≤ lim inf ‖fn‖E′ ; (1.10)

limn→∞

‖fn − f‖E′ = 0 =⇒ fn f faible * ; (1.11)

xn → x et fn f faible * =⇒ limn→∞

〈fn, xn〉E′×E = 〈f, x〉E′×E . (1.12)

20

Démonstration : Comme dans le cas hilbertien, le premier point est une conséquence duthéorème de Banach-Steinhaus. Pour démontrer (1.11), il suffit d’écrire que, par définitionde la norme de E′, on a pour tout x ∈ E,

|〈fn − f, x〉E′×E | ≤ ‖fn − f‖E′‖x‖E .

Pour démontrer la dernière propriété, on écrit que

|〈fn, xn〉E′×E − 〈f, x〉E′×E | ≤ |〈fn − f, x〉E′×E |+ |〈fn, xn − x〉E′×E |≤ |〈fn − f, x〉E′×E |+ ‖fn‖E′‖xn − x‖E .

Le premier terme tend vers 0 par hypothèse et, en vertu de (1.10), (‖fn‖E′)n∈N estborné, donc le second terme tend aussi vers 0. Cela achève la démonstration de (1.12).

La compacité faible * de la boule unité de E′ est le résultat fondamental de cette section.Il doit être vu comme une généralisation aux espaces de Banach du théorème de la page 16.

Théorème (Compacité faible étoile de la boule unité). Soit E un espace de Banachséparable.

Alors toute suite bornée de E′ admet une sous-suite faiblement * convergente.

Démonstration : Comme E est un Banach séparable, il existe une suite (ej)j∈N qui estdense dans E. On peut toujours supposer que l’ensemble des éléments de cette suite estun Q-espace vectoriel (ou un Q + iQ espace vectoriel si E est un espace de Banachcomplexe). Considérons une suite (fn)n∈N bornée de E′ et notons M une borne pourcette suite. Comme dans le cas hilbertien, par extraction diagonale, on peut extraire unesous-suite (fψ(n))n∈N telle que pour tout j ∈ N, la suite (fψ(n)(ej))n∈N soit convergente.Notons

f(ej)déf= lim

n→+∞fψ(n)(ej).

Par hypothèse, la partie Adéf= ej , j ∈ N est dense dans E. Il est par ailleurs clair

que pour tout n ∈ N, la fonction fψ(n) est M -lipschitzienne sur A ; il en est donc demême pour f. Enfin f est à valeurs dans K qui est complet. En conséquence, le théo-rème de prolongement (voir exercice 1.3) assure l’existence d’une fonction uniformémentcontinue f sur E qui prolonge f. On peut montrer par la même occasion que f est M -lipschitzienne. Le fait que, pour tout x ∈ E, (fψ(n)(x))n∈N converge vers f(x) résultedu fait qu’il y a convergence sur A, et que A est dense dans E (les détails sont laissésau lecteur).Pour conclure, il ne reste plus qu’à vérfier que f est bien linéaire. Pour ce faire, fixons(x, y) ∈ E2. Soit (xj)j∈N et (yj)j∈N des suites de points de A tendant vers x et y,respectivement. Pour tout j ∈ N, on a, par linéarité de fψ(n),

f(xj + yj)− f(xj)− f(yj) = limn→∞

(fψ(n)(xj + yj)− fψ(n)(xj)− fψ(n)(yj)

)= 0.

Si l’on fait tendre j vers l’infini, cela donne bien, par continuité de f ,

f(x+ y)− f(x)− f(y) = 0.

Enfin, notons que le procédé de construction assure que

f(λej) = λf(ej)

pour tout j ∈ N et λ ∈ Q (ou λ ∈ Q + iQ dans le cas complexe). De ce fait, il est clairque f(λx) = λf(x) pour tout λ ∈ C et x ∈ E.

21

1.3 Exercices

Exercice 1.1. Montrer que tout espace métrique compact est séparable.

Exercice 1.2. Soit (X, d) un espace métrique complet. Montrer qu’une partie A de X estd’adhérence compacte si et seulement si

∀ε > 0, ∃N ∈ N∗, ∃(xj)1≤j≤N ∈ AN / A ⊂N⋃j=1

B(xj , ε).

Exercice 1.3 (Théorème de prolongement).

(i) Soient (X, d) et (Y, δ) deux espaces métriques, A une partie dense de X , et f uneapplication uniformément continue de (A, d) dans (Y, δ) . Montrer que si Y est complet,alors il existe une unique application uniformément continue f de (X, d) dans (Y, δ)telle que f|A = f .

(ii) Soient E et F deux espaces normés, V un sous-espace vectoriel dense de E et L uneapplication linéaire continue de V dans F . On suppose que F est complet. Montrer qu’ilexiste une unique application linéaire continue L de E dans F telle que L|V = L, etque de plus L et L ont même norme.

Exercice 1.4 (Opérateurs compacts).

(i) Montrer que la limite d’une suite d’opérateurs de rang fini, est compacte.

(ii) Dans le cas hilbertien, montrer que tout opérateur compact est limite d’une suite d’opé-rateurs de rang fini.

(iii) Soit H1 et H2 deux espaces de Hilbert séparables de base hilbertienne (en)n∈N et(fn)n∈N, respectivement. Soit (εn)n∈N une suite de nombres réels ou complexes tendantvers 0.

(a) Montrer qu’il existe un unique opérateur borné T de H1 dans H2 vérifiant

∀n ∈ N, T (en) = εnfn.

(b) Montrer que T est compact.

Exercice 1.5. Montrez la version générale du théorème d’Ascoli :

Théorème (d’Ascoli). Soit (X, d) un espace métrique compact et (Y, δ) un espace métriquecomplet. Soit A une partie de C(X;Y ) ayant les deux propriétés suivantes :

(i) la partie A est équicontinue i.e.

∀x ∈ X , ∀ε > 0 , ∃α > 0 / d(x, x′) < α⇒ ∀f ∈ A , δ(f(x), f(x′)) < ε ;

(ii) pour tout x ∈ X , l’ensemble f(x) , f ∈ A est d’adhérence compacte.

Alors A est d’adhérence compacte.

Exercice 1.6. Démontrez la réciproque du théorème d’Ascoli ci-dessus, à savoir que si unepartie A de C(X,Y ) est relativement compacte, alors elle vérifie les conditions i) et ii) del’énoncé du théorème d’Ascoli.

22

Exercice 1.7. Soit une suite de fonctions (fn)n∈N de C0([0, 1],R) qui converge uniformémentvers f sur [0, 1] . Soit x ∈ [0, 1] et une suite xn → x . Montrez que

fn(xn)→ f(x).

En déduire que la suite de fonctions fn(x) = sin(nx) n’admet pas de sous-suite uniformémentconvergente.

Exercice 1.8. Soit (X, d) un espace métrique compact. On considère sur l’espace Cα(X,K)(avec K = R ou C) des fonctions hölderiennes d’indice α ∈]0, 1] de X dans K , la norme

‖f‖α = supx∈X|f(x)|+ sup

(x,y)∈X2

x 6=y

|f(x)− f(y)|d(x, y)α

·

(i) Démontrez que cette norme munit Cα(X;K) d’une structure d’espace de Banach.

(ii) Démontrez que, pour tout α , l’inclusion de Cα(X;K) dans l’espace de Banach des fonc-tions continues de X dans K est compacte.

(iii) Montrer plus précisément que si (fn)n∈N est une suite bornée de Cα(X;K) alors il existef dans Cα(X;K) et une extraction ψ telles que fψ(n) tende vers f au sens de la normede Cα′(X;K), pour tout α′ ∈]0, α[.

Exercice 1.9 (Théorèmes de Baire et de Banach-Steinhaus).

(i) Démontrez le théorème de Baire : soit (X, d) un espace métrique complet. Alors pourtoute suite (Ωn)n∈N d’ouverts denses de X, l’ensemble

⋂n∈N Ωn est dense dans X.

(ii) En déduire que pour toute suite (Fn)n∈N de fermés de X d’intérieur vide, l’ensemble⋃n∈N Fn est aussi d’intérieur vide.

(iii) Démontrez le théorème de Banach-Steinhaus : soit E un espace de Banach, F unespace vectoriel normé et (Ti)i∈I une famille d’opérateurs de E dans F. On suppose deplus que pour tout x ∈ E, l’ensemble Ti(x) / i ∈ I est borné.En considérant les ensembles An = x ∈ E / supi∈I ‖Ti(x)‖F ≤ n, montrez que

supi∈I‖Ti‖L(E;F ) <∞.

(iv) En déduire que, dans un espace de Hilbert H , si une suite (xn)n∈N tend faiblementvers x , alors elle est bornée et

‖x‖H ≤ lim infn→∞

‖xn‖H.

(v) Dans le cas du dual d’un espace de Banach E, montrer que si la suite (xn)n∈N d’élémentsde E′ converge faiblement * alors (xn)n∈N est bornée dans E′ et vérifie

‖x‖E′ ≤ lim infn→∞

‖xn‖E′ .

Exercice 1.10. Soit H un espace de Hilbert séparable de dimension infinie. Trouvez deuxsuites (xn)n∈N et (yn)n∈N d’éléments de H telles que

xn x , yn y et limn→∞

(xn|yn) 6= (x|y).

23

Exercice 1.11. Démontrez que pour un espace de Hilbert de dimension finie convergence forteet convergence faible coïncident. Même question avec la convergence faible * pour un espacede Banach de dimension finie.

Exercice 1.12. Soit H un espace de Hilbert quelconque. Montrer que toute suite bornée deH admet une sous-suite faiblement convergente.

Exercice 1.13. Soit H un espace de Hilbert séparable et A une partie convexe fermée nonvide de H. Soit φ : A → R une fonction convexe continue tendant vers l’infini à l’infini.Montrer que φ est minorée et atteint son minimum absolu.

Exercice 1.14 (Théorème de l’application ouverte). Dans tout cet exercice, on supposeque E et F sont deux espaces de Banach.

(i) On considère une application linéaire T continue et surjective de E dans F.

(a) À l’aide du théorème de Baire, montrer que T (BE(0, 1)) n’est pas d’intérieur vide,puis qu’il existe c > 0 tel que BF (0, 4c) ⊂ T (BE(0, 1)).

(b) Soit y ∈ BF (0, c). Construire une suite (xn)n∈N telle que

∀n ∈ N∗, ‖xn‖E < 2−(n+1) et ‖y − T (x1 + · · ·+ xn)‖F < 2−nc

puis conclure que BF (0, c) ⊂ T (BE(0, 1)).

(c) Montrer que T est une application ouverte (i.e l’image de tout ouvert de E par Test un ouvert de F ).

(d) En déduire que si T est bijective alors T−1 est continue.

(ii) Application : soit T un opérateur compact bijectif de E dans F. Montrer que E et Fsont de dimension finie.

Exercice 1.15 (Théorème du graphe fermé). Soient E et F deux espaces de Banach.Montrer que l’application linéaire T : E −→ F est continue si et seulement si son graphe

G(T )déf=

(x, T (x)), x ∈ E

est fermé dans E × F.On pourra utiliser l’application linéaire P :

G(T ) −→ E(x, y) 7−→ x.

24

Chapitre 2

Espaces de Lebesgue

Nous collectons dans ce chapitre quelques propriétés fondamentales des espaces de Le-besgue Lp. Après le rappel de quelques inégalités classiques, nous introduisons comme illus-tration et corollaire du chapitre précédent la notion de convergence faible et la théorèmefondamental de compacité faible. Nous concluons ce chapitre par deux points nouveaux etparticulièrement utiles pour l’analyse : l’interpolation complexe qui est un outil simple maisparticulièrement puissant, et une démonstration des inégalités de convolution de type Younget Hardy-Littlewood-Sobolev qui sont une première introduction aux techniques modernes del’analyse harmonique.

2.1 Structure d’espace de Banach et réflexivité

Nous renvoyons à [16], [17], [29] pour la construction et les propriétés de base des espaces Lp .Dans cette section, après un bref rappel des propriétés fonctionnelles classiques, nous mettonsen œuvre l’analyse fonctionnelle abstraite du chapitre précédent pour établir la compacitéfaible de la boule unité.

2.1.1 Structure d’espace de Banach

Rappelons la définition abstraite générale d’un espace de Lebesgue :

Définition 2.1.1. Soit (X,O, µ) un espace topologique mesuré et p ∈ [1,∞] . Si p <∞ , l’es-pace Lp = Lp(X,µ) désigne l’ensemble des classes d’équivalence (modulo la relation d’égalitéµ presque partout) des fonctions boréliennes f sur X à valeurs dans R ou C telles que |f |psoit sommable. On pose

‖f‖Lpdéf=

(∫X|f(x)|pdµ(x)

) 1p

.

Si p = ∞ , on définit l’espace L∞(X,µ) comme étant l’ensemble des classes d’équivalence(modulo la relation d’égalité µ presque partout) des fonctions boréliennes f sur X telles quel’ensemble des réels positifs λ tels que µ

(x ∈ X / |f(x)| > λ

)> 0 soit majoré. On pose

‖f‖L∞déf= sup

λ > 0 / µ

(x ∈ X / |f(x)| > λ

)> 0·

Le théorème suivant est fondamental et repose sur la construction de la mesure :

Théorème 2.1.1. La fonction ‖ · ‖Lp est une norme sur Lp(X,µ), et l’ensemble Lp(X,µ)muni de ‖ · ‖Lp est un espace de Banach.

25

Lorsque p est fini, le fait que Lp soit un espace vectoriel résulte simplement de

|f(x) + g(x)|p ≤ 2p−1(|f(x)|p + |g(x)|p).

Le reste de la démonstration (qui n’est pas immédiate, voir e.g. [4, 29]) repose essentiellementsur l’inégalité dite de Hölder suivante :

Lemme (Inégalité de Hölder). Soit p ∈ [1,+∞] . On note p′déf=

p

p− 1l’exposant conjugué

de p (avec la règle que 1/0 =∞). Soient f dans Lp et g dans Lp′ , alors fg ∈ L1 et

‖fg‖L1 ≤ ‖f‖Lp‖g‖Lp′ .

Démonstration : L’inégalité est évidente si p vaut 1 ou ∞ . Dans les autres cas, la dé-monstration repose sur la concavité de la fonction logarithme qui dit que si (a, b) estun couple de réels strictement positifs et θ un réel de l’intervalle [0, 1] , alors

θ log a+ (1− θ) log b ≤ log(θa+ (1− θ)b).

En appliquant l’exponentielle à cette inégalité, on obtient

aθb1−θ ≤ θa+ (1− θ)b. (2.1)

Quitte à multiplier f et g par une constante, on peut supposer que ‖f‖Lp = ‖g‖Lp′ = 1 .De l’inégalité ci-dessus avec θ = 1/p, a = |f(x)|p et b = |g(x)|p′ , on déduit que

|f(x)| |g(x)| = (|f(x)|p)1p (|g(x)|p′)

1p′

≤ 1

p|f(x)|p +

(1− 1

p

)|g(x)|p′ .

L’intégration de cette inégalité par rapport à la mesure µ conclut la démonstration.

Remarque. Le fait que ‖ · ‖Lp soit une norme est une conséquence de l’inégalité de Hölder. Eneffet,

|f(x) + g(x)|p = |f(x) + g(x)| |f(x) + g(x)|p−1

≤ |f(x)| |f(x) + g(x)|p−1 + |g(x)| |f(x) + g(x)|p−1.

Comme f +g appartient à Lp , |f +g|p−1 appartient à Lp′ . D’après l’inégalité de Hölder, on a∫Ω|f(x) + g(x)|pdµ(x) ≤ (‖f‖Lp + ‖g‖Lp)

(∫Ω|f(x) + g(x)|pdµ(x)

)1− 1p.

Il en résulte que ‖ · ‖Lp est une norme. La démonstration du fait que (Lp, ‖ · ‖Lp) est completest très analogue à celle que l’on trouve dans [17] dans le cas p = 1.

Les variantes suivantes de l’inégalité de Hölder sont tès utiles, la démonstration élémentaireest laissée au lecteur :

Corollaire (Variantes de l’inégalité de Hölder). – Si 1 ≤ p, q ≤ ∞ et 0 ≤ θ ≤ 1alors

‖f‖Lr ≤ ‖f‖θLp‖f‖1−θLq avec1

r=θ

p+

1− θq·

26

– Soit 1 ≤ p, q, r ≤ ∞, alors

‖fg‖Lr ≤ ‖f‖Lp‖g‖Lq avec1

r=

1

p+

1

q·

– Plus généralement, si 1 ≤ p1, · · · , pN , r ≤ ∞ alors

‖N∏i=1

fi‖Lr ≤N∏i=1

‖f‖Lpi avec1

r=

N∑i=1

1

pi·

La séparabilité de Lp pour p < ∞ repose sur les théorèmes de densité standard, nousrenvoyons à [29] pour une démonstration.

Proposition 2.1.1. Si p est fini alors pour tout borélien A de Rd et mesure borélienne µl’espace Lp(A,µ) est séparable. De plus, l’ensemble des fonctions simples 1 est dense dansLp(A,µ) ainsi que l’ensemble des fonctions C∞ à support compact dans l’adhérence de A.

Soulignons que ce résultat est faux pour p = ∞. De manière générale, les cas limitesp ∈ 1,∞ sont à traiter avec précaution.

2.1.2 Réflexivité de Lp et compacité faible

Etudions maintenant la structure du dual topologique de Lp . Commençons par la carac-térisation duale 2 des fonctions de Lp .

Lemme 2.1.1. Soit (X,O, µ) un espace topologique mesuré, f une fonction mesurable et pun élément de [1,∞]. Alors f appartient à Lp si et seulement si

sup‖g‖

Lp′≤1

∫X|f(x)g(x)|dµ(x) <∞. (2.2)

Si de plus la fonction f appartient à Lp , alors

‖f‖Lp = sup‖g‖

Lp′≤1

∣∣∣∣∫Xf(x)g(x)dµ(x)

∣∣∣∣ .Démonstration : Supposons sans perte de généralité f non identiquement nulle. Pour λ ≥

0, on note Eλdéf=(|f | ≥ λ

). Commençons par considérer le cas où p =∞ . Fixons un

λ > 0 tel que µ(Eλ)> 0. Soit g0 une fonction de L1 , positive, supportée dans Eλ , et

d’intégrale 1 . On pose

g(x) =f(x)

|f(x)|g0 si f(x) 6= 0, et g(x) = 0 sinon.

On a alors ∫Xf(x)g(x) dµ(x) =

∫X|f(x)|g0(x) dµ(x) ≥ λ

∫Xg0 dµ(x) ≥ λ

1. C’est-à-dire des combinaisons linéaires (finies) de fonctions indicatrices de sous-ensembles mesurablesdisjoints et de mesure finie de A.

2. qui dans le cadre d’un Banach général est une conséquence classique du théorème de Hahn-Banach, cf[4].

27

ce qui montre que la quantité définie en (2.2) est infinie si f n’est pas dans L∞, et que

‖f‖L∞ ≤ sup‖g‖L1≤1

∣∣∣∣∫Xf(x)g(x)dµ(x)

∣∣∣∣si f est dans L∞. L’inégalité opposée étant évidente, on a démontré le lemme dans lecas p =∞.Supposons maintenant que 1 ≤ p < ∞ , et considérons alors une suite croissante d’en-sembles de mesure finie (Xn)n∈N dont la réunion est X. Posons

fn = 1Xn∩|f |≤nf, gn(x) =fn(x)|fn(x)|p−1

|fn(x)| ‖fn‖pp′Lp

si fn(x) 6= 0 et gn(x) = 0 sinon.

Il est clair que la fonction fn appartient à L1 ∩L∞ donc à Lp pour tout p et que l’on a

‖gn‖p′

Lp′=

1

‖fn‖pLp

∫X|fn(x)|(p−1) p

p−1dµ(x) = 1.

La définition des fonctions fn et gn assure que∫Xf(x)1Xn∩(|f |≤n)gn(x)dµ(x) =

∫Xfn(x)gn(x)dµ(x) =

(∫X|fn(x)|pdµ(x)

)‖fn‖

− pp′

Lp

= ‖fn‖Lp

et donc ∫X|fn(x)|pdµ(x) ≤

(sup

‖g‖Lp′≤1

∫X|f(x)g(x)|dµ(x)

)p.

Si le terme de droite est fini, le théorème de convergence monotone appliqué à la suitecroissante (|fn|p)n∈N implique immédiatement que

f ∈ Lp et ‖f‖Lp ≤ sup‖g‖

Lp′≤1

∫X|f(x)g(x)| dµ(x).

Mais, si f appartient à l’espace Lp , alors en posant g(x) =f(x)|f(x)|p−1

|f(x)| ‖f‖pp′Lp

, on a

‖g‖p′

Lp′=

1

‖f‖pLp

∫X|f(x)|(p−1) p

p−1dµ(x) = 1 et ‖f‖Lp =

∫Xf(x)g(x) dµ(x),

ce qui achève la démonstration du lemme.

Donnons un corollaire fondamental du lemme précédent qui correspond au théorème deRiesz dans le cas Hilbertien p = 2 , et étend ce dernier pour p <∞ .

Théorème (de représentation de Riesz). Soit 1 ≤ p < +∞ et p′ l’exposant conjugué dep. Soit ϕ une forme linéaire continue sur Lp . Alors il existe un unique u ∈ Lp′ tel que

∀f ∈ Lp, 〈ϕ, f〉 déf= ϕ(f) =

∫Xuf dµ(x).

De plus ‖ϕ‖(Lp)′ = ‖u‖Lp′ . Autrement dit, l’application T : u 7→ Tu définie pour tout u ∈ Lp′

et f ∈ Lp par Tu(f) =∫X fu dµ(x) est une isométrie bijective de Lp′ sur

(Lp)′.

28

Démonstration : Dans le lemme 2.1.1, nous avons déjà établi que T : u 7→ Tu Őtait uneisométrie de Lp′ dans (Lp)′. La surjectivité est non triviale et repose sur des propriétésgéométriques de la norme Lp , les inégalités de Clarkson, nous renvoyons à [4].

Remarque. Le lecteur familier de la théorie des distributions sait bien que le théorème précédentest faux pour p =∞ : la masse de Dirac δ0 définie par

〈δ0, f〉 = f(0)

est l’exemple canonique de forme linéaire continue sur C(Rn, ‖ · ‖L∞) telle qu’il n’existe pas deu ∈ L1

loc avec 〈δ0, f〉 =∫uf dx pour tout f ∈ C(Rn, ‖ · ‖L∞) . Le dual topologique de L∞ est

ainsi strictement plus gros que L1 :L1 ( (L∞)′.

Une conséquence importante du Théorème de représentation de Riesz est le fait que pour1 < p <∞ l’espace Lp est un dual : Lp ' (Lp)′ , et est isomorphe à son bidual :

(Lp)′′ ' Lp.

On dit que Lp est réflexif. Dans un espace de Banach réflexif séparable, un corollaire immédiatdu théorème de compacité faible étoile est la compacité faible de la boule unité au sens suivant :

Corollaire (Compacité faible de la boule unité). Soit A un borélien de Rd et µ unemesure boréliene. soit 1 < p <∞ et (fn)n∈N une suite bornée de Lp(A,µ). Alors il existe unesous-suite (fϕ(n))n∈N et une fonction f de Lp(A,µ) telles que

limn→+∞

∫Afϕ(n)(x)g(x) dµ(x) =

∫Af(x)g(x) dµ(x)

pour toute fonction g de Lp′(A,µ).

2.2 Un résultat d’interpolation complexe

Nous présentons maintenant un outil technique élémentaire mais très puissant : l’inter-polation complexe. Nous donnerons une illustration de la puissance de cette méthode quandnous démontrerons les inégalités de Strichartz pour le groupe de Schrödinger libre. Le lecteurtrouvera des applications plus modestes -mais non triviales- avec les Exercices 2.4 et 2.5, etpourra s’initier aux techniques de l’interpolation réelle dans [28] ou dans l’exercice 2.8.

2.2.1 Le théorème d’interpolation de Riesz-Thorin

Le résultat principal de l’interpolation complexe est le :

Théorème (de Riesz-Thorin). Soit 1 ≤ p0, p1, q0, q1 ≤ ∞. Soit (X,µ) et (Y, ν) deuxespaces mesurés. Soit T un opérateur linéaire de Lp0(X,µ) + Lp1(X,µ) dans Lq0(Y, ν) +Lq1(Y, ν), qui est borné de Lp0(X,µ) dans Lq0(Y, ν) et de Lp1(X,µ) dans Lq1(Y, ν). Alorsl’opérateur T est également borné de Lp(X,µ) dans Lq(Y, ν) pourvu qu’il existe θ ∈]0, 1[ telque

1

p=

θ

p0+

1− θp1

et1

q=

θ

q0+

1− θq1·

De plus, on a‖T‖L(Lp;Lq) ≤ ‖T‖θL(Lp0 ;Lq0 )‖T‖

1−θL(Lp1 ;Lq1 ).

29

La démonstration de ce théorème repose sur la version suivante du principe du maximumpour les fonctions holomorphes.

Lemme (de Phragmen-Lindelöf). Soit F une fonction de la variable complexe continue etbornée dans la bande

Sdéf=x+ iy / x ∈ [0, 1], y ∈ R

et holomorphe à l’intérieur de S. Soit

M0 = supy∈R|F (iy)| et M1 = sup

y∈R|F (1 + iy)|.

Alors pour tout x ∈ [0, 1] et y ∈ R on a

|F (x+ iy)| ≤M1−x0 Mx

1 .

Démonstration : Quitte à perturber F par une constante pouvant être choisie arbitrai-rement petite, on peut supposer que M0 et M1 sont strictement positifs et donc poserG(z) = M z−1

0 M−z1 F (z). La fonction G a les mêmes propriétés que F et est de plus bor-née par 1 sur le bord de S. Pour conclure au résultat voulu, il suffit donc de démontrerque G est bornée par 1 sur S entier.Introduisons la suite de fonctions (Gn)n≥1 définie sur S par

Gn(z) = G(z) exp

(z2 − 1

n

)·

Comme G est bornée sur S, il est clair que (Gn)n∈N converge uniformément vers G surS. Il suffit donc de montrer que Gn est bornée par 1 pour n assez grand.Pour tout n ∈ N, la fonction Gn est continue bornée sur tout rectangle x+ iy / 0 ≤ x ≤1, |y| ≤ N et holomorphe à l’intérieur du rectangle. Le principe du maximum assuredonc que Gn atteint son maximum sur le bord du rectangle. Comme G est bornée sur Set |Gn(z)| ≤ |G(z)| exp(−y2/n), on voit que si N a été choisi suffisamment grand alors|Gn| n’excède pas 1 sur les bords du rectangle, donc est bornée par 1 dans le rectangletout entier. En faisant tendre N vers l’infini, on peut donc conclure que Gn est bornéepar 1 sur toute la bande S.

Passons à la démonstration du théorème de Riesz-Thorin. Fixons un opérateur T vérifiantles hypothèses de l’énoncé, et θ ∈ [0, 1]. Par dualité (cf lemme 2.1.1), la propriété à démontrerest équivalente au fait que

∀f ∈ Lp(X,µ), ∀g ∈ Lq′(Y, ν),

∣∣∣∣∫YT (f) g dν

∣∣∣∣ ≤M θ0M

1−θ1 ‖f‖Lp‖g‖Lq′ . (2.3)

Sachant que le résultat concernant la densité des fonctions simples énoncé dans la propo-sition 2.1.1 reste vrai en toute généralité, il suffit de démontrer (2.3) lorsque f et g sont desfonctions simples (du moins lorsque p et q′ sont finis). On peut donc supposer que f et g sontde la forme

f =

p∑j=1

aj1Aj et g =

q∑k=1

bk1Bk

où les coefficients aj et bk sont tous non nuls et où les ensembles Aj et Bk sont µ-mesurables.Quitte à renormaliser, on peut, sans nuire à la généralité, supposer de plus que ‖f‖Lp =

30

‖g‖Lq′ = 1. Pour tout nombre complexe z appartenant à la bande S du lemme de Phragmen-Lindelöf, posons

fz =

p∑j=1

aj|aj ||aj |

p( 1−zp0

+ zp1

)1Aj et gz =

q∑k=1

bk|bk||bk|

q′( 1−zq′0

+ zq′1

)1Bk .

Il est clair que fθ = f, gθ = g et qu’à x fixé, les fonctions z 7→ fz(x) et z 7→ T (gz)(x)sont holomorphes à l’intérieur de S et continues bornées dans S. En utilisant le théorème dedépendance holomorphe sous le signe intégral, on en déduit que la fonction F définie sur Spar

F (z) =

∫YT (fz) gz dν

satisfait les hypothèses du lemme de Phragmen-Lindelöf.Plus précisément, on remarque que pour tout t ∈ R,

‖fit‖Lp0 = ‖f‖p/p0

Lp = 1, ‖f1+it‖Lp1 = ‖f‖p/p1

Lp = 1

et que‖git‖Lq′0 = ‖g‖q

′/q′0Lq′

= 1, ‖g1+it‖Lq′1 = ‖g‖q′/q′1Lq′

= 1.

En conséquence, d’après l’inégalité de Hölder, les égalités précédentes et les hypothèses sur T,

|F (it)| ≤ ‖T (fit)‖Lq0‖git‖Lq′0 ≤M0‖fit‖Lp0 = M0,

|F (1 + it)| ≤ ‖T (f1+it)‖Lq1‖g1+it‖Lq′1 ≤M1‖f1+it‖Lp1 = M1.

Le lemme de Phragmen-Lindelöf donne donc

∀x+iy ∈ S, |F (x+ iy)| ≤Mx0M

1−x1 .

En remarquant que F (θ) n’est autre que le membre de gauche de (2.3), on conclut au résultatannoncé.

2.2.2 Extension aux Lebesgue espace-temps

Nous présentons maintenant sans démonstration une extension élémentaire des énoncésprécédents au cas des espaces de Lebesgue dépendant d’une autre variable (temporelle). Cesespaces fonctionnels sont d’une importance capitale pour l’étude des équations aux dérivéespartielles d’évolution et apparaîtront naturellement pour quantifier les propriétés dispersivesde l’équation de Schrödinger linéaire (cf chapitre 4).

SoitE un espace de Banach muni d’une mesure borélienne ν , (X,O, µ), un espace topo-logique mesuré, et p ∈ [1,∞] , on définit l’ensemble Lp(X;E) comme étant l’ensemble desclasses d’équivalence de fonctions f mesurables de X muni de la mesure µ, dans E muni deν, et telles que (avec la modification habituelle si p =∞)

‖f‖Lp(X;E)déf=

(∫X‖f(x)‖pE dµ(x)

) 1p

<∞.

On dispose encore de résultats de densité similaires à la proposition 2.1.1 (voir par exemplel’appendice de [11]) et du résultat suivant :

31

Théorème 2.2.1. La fonction ‖·‖Lp(X;E) est une norme sur Lp(X;E) et l’ensemble Lp(X;E)muni de cette norme est un espace de Banach. De plus, si p < ∞, alors il existe un isomor-phisme isométrique du dual topologique de Lp(X;E) vers Lp′(X;E′).

Nous serons en fait amenés à utiliser ces espaces uniquement dans le cas où X est unintervalle I de R et où E est lui-même un espace de Lebesgue sur Rd. On notera alors l’espacecorrespondant Lp(I;Lq(Rd)). Dans ce contexte, le théorème de Riesz-Thorin s’énonce commesuit :

Théorème 2.2.2. Soit 1 ≤ m0,m1, p0, p1, q0, q1, r0, r1 ≤ ∞. Soit T un opérateur linéaire deLm0(I;Lp0) + Lm1(I;Lp1) dans Lq0(I;Lr0) + Lq1(I;Lr1), qui est borné de Lm0(I;Lp0) dansLq0(I;Lr0) et de Lm1(I;Lp1) dans Lq1(I;Lr1). Alors pour tout θ ∈ [0, 1], l’opérateur T estégalement borné de Lmθ(I;Lpθ) dans Lqθ(I;Lrθ) avec

1

mθ=

θ

m0+

1− θm1

,1

pθ=

θ

p0+

1− θp1

,1

qθ=

θ

q0+

1− θq1

,1

rθ=

θ

r0+

1− θr1·

En outre :

‖T‖L(Lmθ (I;Lpθ );Lqθ (I;Lrθ )) ≤ ‖T‖θL(Lm0 (I;Lp0 );Lq0 (I;Lr0 ))‖T‖1−θL(Lm1 (I;Lp1 );Lq1 (I;Lr1 )).

2.3 Les inégalités de convolution

Cette section est dédiée à la démonstration d’inégalités classiques de convolution qui inter-viennent dans de très nombreuses modélisations physiques. Le lecteur familier avec la théoriedes distributions et l’analyse de Fourier connaît déjà l’importance de la notion de convolu-tion. Les estimations classiques de Young que nous rappelons ci-dessous, et leur généralisationfondamentale que sont les inégalités de Hardy-Littlewood-Sobolev, sont des outils fondamen-taux pour quantifier l’effet régularisant de l’opération de convolution. La démonstration de cesdernières mettra en œuvre la décomposition atomique des espaces Lp qui est une premièreincursion dans les techniques de l’analyse harmonique.

2.3.1 Inégalités de convolution

Rappelons que la convolution de deux fonctions f et g de Rd dans R ou C est définie(formellement) par

f ? g(x)déf=

∫Rdf(x− y)g(y) dy =

∫Rdf(y)g(x− y) dy.

La notion de convolution intervient fréquemment en analyse et en physique. En analyse, onl’utilise par exemple pour démontrer des inégalités fonctionnelles ou régulariser des fonctions.En physique, elle intervient pour décrire l’interaction coulombienne, dans la loi de Biot-Savarten mécanique des fluides ou électromagnétisme et, plus généralement, dans tous les modèlesrespectant le principe de superposition et l’invariance par translation spatiale et temporelle.

Rappelons tout d’abord les inégalités de convolution “classiques” pour les fonctions définiessur Rd et mesurables au sens de Lebesgue.

Lemme (Inégalité de Young). Soit (p, q, r) ∈ [1,∞]3 tel que

1

p+

1

q= 1 +

1

r· (2.4)

32

Alors pour tout couple (f, g) ∈ Lp × Lq ,

f ? g ∈ Lr et ‖f ? g‖Lr ≤ ‖f‖Lp‖g‖Lq .

Démonstration : La démonstration proposée ici repose sur l’inégalité Hölder. Observonstout d’abord que l’on peut se limiter à des fonctions positives et que si r =∞ , l’inégalitéà démontrer est exactement l’inégalité de Hölder. Dans la suite de la démonstration, onnormalise f et g de telle sorte que ‖f‖Lp = ‖g‖Lq = 1 .Si r <∞ , écrivons que, pour f et g positives, on a, pour tout θ dans ]0, 1[ ,

(f ? g)(x) =

∫Rdfθ(x− y)g1−θ(y)f1−θ(x− y)gθ(y) dy.

L’inégalité de Hölder implique que, pour tout réel s ≥ 1 , et tout θ ∈]0, 1[ , on a

(f ? g)r(x) ≤(∫

Rdfθs(x− y)g(1−θ)s(y) dy

) rs(∫

Rdf (1−θ)s′(x− y)gθs

′(y) dy

) rs′

.

On choisit θ et s tels que θs = p et θs′ = q . En utilisant (2.4), on trouve que

θ =r

r + 1, s =

p(r + 1)

ret s′ =

q(r + 1)

r· (2.5)

On en déduit que

(f ? g)r(x) ≤(∫

Rdfp(x− y)g

pr (y) dy

) rs(∫

Rdfqr (x− y)gq(y) dy

) rs′

.

Posonsα =

qr

pet β =

pr

q·

Remarquons que, comme r ≥ maxp, q , les réels α et β sont supérieurs ou égauxà 1 . En appliquant l’inégalité de Hölder, avec α (resp. β ) et la mesure fp(x − y) dy(resp. gq(y) dy ), on trouve que

(f ? g)r(x) ≤(∫

Rdfp(x− y)gq(y) dy

)r( 1sα

+ 1s′β

).

Par définition de θ , s , α et β , nous avons

r

(1

sα+

1

s′β

)= r

(rp

p(r + 1)qr+

rq

q(r + 1)pr

)=

r

r + 1

(1

q+

1

p

)= 1,

d’où(f ? g)r(x) ≤ (fp ? gq)(x).

Le théorème vient par intégration.

33

Remarque. La définition de convolution s’étend aux suites numériques : à partir de deux suites(an)n∈Z et (bn)n∈Z, on peut (au moins formellement) en construire une troisième notée a ? bpar la relation

(a ? b)ndéf=∑m∈Z

ambn−m =∑m∈Z

an−mbm.

Pour p ∈ [1,∞[, notons `p l’ensemble des suites (an)n∈Z telles que

‖(an)n∈N‖`pdéf=

(∑n∈Z|an|p

) 1p

et `∞ l’ensemble des suites bornées. En suivant pas à pas la démonstration du lemme 2.3.1,on montre sans difficulté que pour tout (p, q, r) ∈ [1,∞]3 vérifiant (2.4) et (a, b) ∈ `p× `q on a

a ? b ∈ `r et ‖a ? b‖`r ≤ ‖a‖`p‖b‖`q .

La faiblesse des inégalités de Young est de demander que le noyau de convolution soitdans un espace Lp . Cette propriété est manifestement fausse pour certains noyaux issus dela physique. Par exemple, le potentiel coulombien créé par une distribution de masse ρ(x),x ∈ R3 est 3

V = − 1

4π|x|? ρ.

Cela découle du fait que ce potentiel est solution de l’équation de Poisson ∆V = ρ. Clairement,le noyau 1

|x| n’appartient à aucun espace Lp(R3). Cependant, il est “presque” dans L3(R3) , ladivergence étant seulement logarithmique.

Le même type de noyau singulier apparaîtra dans notre étude de la dispersion pour l’équa-tion de Schrödinger linéaire et la démonstration des inégalités de Strichartz. Les inégalités deYoung se généralisent pour ce type de noyau singulier hors des exposants critiques :

Théorème (Inégalités de Hardy-Littlewood-Sobolev). Soit α ∈]0, d[ et (p, r) ∈]1,∞[2

tels que1

p+α

d= 1 +

1

r· (2.6)

Alors pour toute fonction f de Lp(Rd), la fonction | · |−α ? f appartient à Lr(Rd) et il existeune constante C indépendante de f telle que

‖ | · |−α ? f‖Lr(Rd) ≤ C‖f‖Lp(Rd).

Ce théorème est en fait un cas particulier d’inégalités de convolution plus générales que nousdémontrerons ci-dessous, et qui précisent les inégalités de Young. Afin d’énoncer ces inégalités,nous devons définir ce qu’est l’espace Lq faible.

Définition 2.3.1. L’espace Lq faible (aussi noté Lqf ) est l’ensemble des fonctions g sur Rdmesurables au sens de Lebesgue et telles que ‖g‖Lqf soit fini avec

‖g‖qLqf

déf= sup

λ>0λq | |g| > λ |<∞.

3. après normalisation des constantes physiques.

34

Remarque. Toute fonction de Lq est aussi dans Lqf . En effet, on a

λq | |g| > λ |≤∫|g|>λ

|g(x)|q dx ≤ ‖g‖qLq . (2.7)

A contrario, la fonction1

|x|α∈ L

dαf (2.8)

mais n’appartient à aucun Lp .

Nous pouvons maintenant énoncer les inégalités de Young précisées, qui redonnent lesinégalités de Young classiques à une constante multiplicative près, sauf dans les cas limites, etimplique l’inégalité de Hardy-Littlewood-Sobolev en vertu de (2.8).

Théorème 2.3.1. Soit (p, q, r) ∈]1,∞[3 vérifiant (2.4). Il existe une constante C telle quepour toute fonction f de Lp(Rd) et toute fonction g de Lqf (Rd), on ait f ? g ∈ Lr(Rd) et

‖f ? g‖Lr ≤ C‖f‖Lp‖g‖Lqf .

Remarque. Certaines plages d’exposants de Hardy-Littlewood-Sobolev peuvent aussi s’obtenirdirectement comme conséquence des injections de Sobolev, voir Exercice 2.3.1.

La fin de ce chapitre est consacrée à la démonstration du Théorème 2.3.1 qui requiertl’introduction de la décomposition atomique des espaces Lp .

2.3.2 Décomposition atomique des espaces Lp

Soit 1 ≤ p < +∞ . On appelle décomposition atomique d’une fonction de Lp la caractéri-sation donnée par la proposition suivante.

Proposition 2.3.1. Soit (X,µ) un espace mesuré et p ∈ [1,∞[ . Pour toute fonction f posi-tive de Lp , il existe une suite de nombres positifs (ck)k∈Z et une suite de fonctions positivesbornées (fk)k∈Z (appelées atomes) à supports deux à deux disjoints telles que

f =∑k∈Z

ckfk

et en outre :

µ(Supp fk) ≤ 2k+1, (2.9)

‖fk‖L∞ ≤ 2− kp , (2.10)

1

2‖f‖pLp ≤

∑k∈Z

cpk ≤ 2‖f‖pLp . (2.11)

Démonstration : Il suffit de traiter le cas p = 1. En effet, on a f ∈ Lp si et seulement si|f |p ∈ L1, et

‖f‖pLp = ‖|f |p‖L1 .

Soit donc f ∈ L1 positive. Pour k ∈ Z, posons

λkdéf= inf

λ /µ(f > λ) < 2k

, ck

déf= 2kλk et fk

déf= c−1

k 1λk+1<f≤λkf.

35

Il est clair que ‖fk‖L∞ ≤ 2−k . De plus (λk)k∈Z est une suite décroissante qui, du faitque f est positive et dans L1, converge vers 0 lorsque k tend vers l’infini. Par définitionde λk , on a µ(f > λk) ≤ 2k, d’où µ(Supp fk) ≤ 2k+1 . Cela implique que∑

k∈Zck =

∑k∈Z

2kλk =∑k∈Z

∫ ∞0

2k1]0,λk[(λ) dλ.

Du théorème de Fubini, on tire alors que∑k∈Z

ck =

∫ ∞0

( ∑k / λk>λ

2k)dλ.

Par définition de (λk)k∈Z , avoir λ < λk implique que µ(f > λ) ≥ 2k . En conséquence,∑k∈Z

ck ≤∫ ∞

0λ

( ∑k / 2k≤µ(f>λ)

2k)dλ ≤ 2

∫ ∞0

µ(f > λ) dλ.

Mais, en vertu du théorème de Fubini, on a∫ ∞0

µ(f > λ) dλ =

∫ ∞0

∫X1f>λ dµ(x) dλ =

∫X

(∫ f(x)

0dλ

)dµ(x) = ‖f‖L1

Pour achever la démonstration de (2.11), il suffit de remarquer que, étant donné que lessupports des fonctions (fk)k∈Z sont deux à deux disjoints, on peut écrire :

‖f‖L1 =∑k∈Z

ck‖fk‖L1 .

De (2.9) et de (2.10), il découle que

‖fk‖L1 ≤ 2 pour tout k ∈ Z.

Cela donne l’inégalité de gauche de (2.11).

2.3.3 Démonstration des inégalités de Young précisées

Nous pouvons maintenant démontrer le théorème 2.3.1 à l’aide de la décomposition ato-mique introduite dans le paragraphe précédent, et de la caractérisation duale de la norme dulemme 2.1.1.

Démonstration : Soit donc f et g deux fonctions positives et mesurables sur Rd . Soit hune fonction positive de Lr′ . Définissons

I(f, g, h)déf=

∫Rd×Rd

f(y)g(x− y)h(x) dx dy.

Par homogénéité, on peut se ramener au cas où ‖f‖Lp = ‖g‖Lqf = ‖h‖Lr′ = 1 . Si l’on

pose Cjdéf= z ∈ Rd , 2j ≤ g(z) < 2j+1 , on peut écrire

I(f, g, h) ≤ 2∑j∈Z

2jIj(f, h) avec (2.12)

Ij(f, h)déf=

∫Rd×Rd

f(y)h(x)1Cj (x− y) dx dy. (2.13)

36

Comme ‖g‖Lqf = 1, on a ‖1Cj‖Ls ≤ 2−jqs pour tout s ∈ [1,∞]. Si l’on applique

maintenant l’inégalité de Young démontrée précédemment avec p , q et r , on constateque Ij(f, h) ≤ 2−j . Cette inégalité n’est pas assez précise car elle n’entraîne pas laconvergence de la série

∑2jIj(f, h).

Pour pallier cette difficulté, on introduit les décompositions atomiques

f =∑k

ckfk et h =∑k

dkhk

données par la proposition 2.3.1. On peut donc écrire

Ij(f, h) =∑k,`

ckd`Ij(fk, h`).

Les inégalités de Young et de Hölder assurent que pour tout (a, b) ∈ [1,∞]2 tel que b ≤ a′et pour tout (f , h) ∈ La × Lb ,

Ij(f , h) ≤ ‖f‖La‖h‖Lb‖1Cj‖Lc′ avec1

a+

1

b= 1 +

1

c·

DoncIj(f , h) ≤ 2−jq(2− 1

a− 1b )‖f‖La‖h‖Lb .

En appliquant cette inégalité aux fonctions fk et h` en utilisant la proposition 2.3.1, ontrouve que

2jIj(fk, h`) ≤ 2jq(

1q−2+ 1

a+ 1b

)2k(

1a− 1p

)2`(

1b− 1r′ ).

La condition (2.4) sur (p, q, r) donne donc

2jIj(fk, h`) ≤ 2(jq+k)

(1a− 1p

)2(jq+`)( 1

b− 1r′ ). (2.14)

Choisissons a et b tels que

1

a

déf=

1

p− 2ε sg(jq + k) et

1

b

déf=

1

r′− 2ε sg(jq + `) avec ε

déf=

1

4

(1

p− 1

r

)avec sg n = 1 si n ≥ 0 , et sg n = −1 si n < 0 .Comme q > 1 , la condition (2.4) implique que p < r . Donc, par définition de ε , a et b ,on a b ≤ a′ . Avec ce choix de a et de b , l’inégalité (2.14) devient (grâce à l’inégalitétriangulaire)

2jIj(fk, h`) ≤ 2−2ε|jq+k|−2ε|jq+`|

≤ 2−ε|jq+k|−ε|jq+`|−ε|k−`|.

En utilisant maintenant la remarque 2.3.1, on en déduit que

I(f, g, h) ≤ C∑j,k,`

ckd`2−ε|jq+k|−ε|jq+`|−ε|k−`|

≤ C

ε

∑k,`

ckd`2−ε|k−`|

≤ C

ε2‖(ck)‖`p‖‖(d`)‖`p′ .

37

La condition (2.4) entraîne que r′ ≤ p′ et donc

I(f, g, h) ≤ C

ε2‖(ck)‖`p‖‖(d`)‖`r′ .

Vu les propriétés de (ck) et (d`), on conclut à l’existence d’une constante C telle que

I(f, g, h) ≤ C

pour toutes fonctions positives f ∈ Lp, g ∈ Lq et h ∈ Lr′ de norme 1. Cela achève ladémonstration du théorème.

2.4 Exercices

Exercice 2.1 (Principe de Cavalieri). Soit p ∈ [1,∞[ et µ une mesure borélienne.(i) Démontrez que pour toute fonction borélienne f , on a

‖f‖pLp = p

∫ ∞0

λp−1µ(|f | > λ) dλ.

(ii) Démontrez plus généralement que si Φ : R+ −→ R+ est une fonction C1 croissante etnulle en 0 alors ∫

ΩΦ(|f(x)|) dµ(x) =

∫ +∞

0Φ′(λ)µ(|f | > λ) dλ.

Exercice 2.2 (Lemme de Schur). Soit K un réel positif et k : Rd × Rd → R une fonctionlocalement intégrable telle que pour presque tout x ∈ Rd et y ∈ Rd, on ait∫

Rd|k(x, y′)| dy′ ≤ K et

∫Rd|k(x′, y)| dx′ ≤ K.

Pour toute fonction f intégrable sur Rd, on pose Tf(x) =∫Rd k(x, y)f(y) dy.

(i) Montrer que l’application T est linéaire continue de L1(Rd) dans L1(Rd).(ii) Soit p ∈ [1,∞]. Montrer que T se prolonge de façon unique en une application linéaire

continue de Lp(Rd) dans Lp(Rd) (encore notée T ) et que l’on a

∀f ∈ Lp(Rd), ‖Tf‖Lp ≤ K‖f‖Lp .

On pourra s’inspirer de la preuve des inégalités de Young ou utiliser le théorème deRiesz-Thorin.

Exercice 2.3. Étudier les cas limites des inégalités de Hardy-Littlewood-Sobolev.

Exercice 2.4. À l’aide du théorème de Riesz-Thorin, proposer une démonstration “élémen-taire” des inégalités de Young.

Exercice 2.5. Soit 1 ≤ p ≤ 2 . Montrez que la transformée de Fourier envoie continûment Lp

sur Lp′ .

Exercice 2.6. Dans cet exercice on considère une application linéaire T définie sur l’ensembleCc(Rd) des fonctions continues sur Rd à support compact, et à valeurs dans l’ensemble desfonctions mesurables. On suppose que T commute avec les translations c’est-à-dire que pourtout h ∈ Rd et f ∈ Cc(Rd),

T (f τh) = (T (f)) τh.

38

(i) Montrer que pour tout f ∈ Cc(Rd) et p ∈ [1,∞], on a

limh→∞

‖f + f τh‖Lp = 21p ‖f‖Lp .

(ii) En déduire que si T est prolongeable par densité en un opérateur borné de Lp dans Lq

alors nécessairement q ≥ p.

Exercice 2.7 (Fonction maximale). Pour toute fonction borélienne f sur R, on pose‖f‖L1,∞ := supλ>0 λµ(|f | > λ) où µ désigne la mesure de Lebesgue. On associe à f safonction maximale Mf définie sur R par

Mf(x) := supr>0

1

2r

∫ x+r

x−r|f(y)| dy.

(i) Vérifier que Mf est une fonction mesurable à valeurs dans R+ ∪ +∞.(ii) Soit (Ij)j∈1,··· ,p une collection d’intervalles ouverts de R. Montrer que l’on peut trouver

une sous-collection (Ijk)k∈1,··· ,q de (Ij)j∈1,··· ,p constituée d’intervalles deux à deuxdisjoints tels que

q∑k=1

µ(Ijk) ≥ 1

3µ

( p⋃j=1

Ij

).

Indication : construire la sous-collection par récurrence après avoir rangé les intervallesIj par ordre décroissant, puis montrer que chaque Ij est inclus dans un intervalle Ijk demême centre que Ijk mais de longueur triple.

(iii) Dans cette question, on fixe λ > 0 et un compact K de Mf > λ.(a) Montrer que l’ensemble K peut être recouvert par un nombre fini d’intervalles

ouverts Ij tels que ∫Ij

|f(x)| dx > λµ(Ij).

(b) En déduire queλµ(K) ≤ 3‖f‖L1 .

(iv) Montrer que∀f ∈ L1(R), ‖Mf‖L1,∞ ≤ 3‖f‖L1 .

(v) Généraliser à la dimension supérieure.

Exercice 2.8 (Interpolation réelle). Dans tout cet exercice, (X,µ) et (Y, ν) désignent deuxespaces mesurés et T une application définie sur Lp0(X,µ) + Lp1(X,µ) (1 ≤ p0 < p1 ≤ ∞)et à valeurs dans l’ensemble des fonctions mesurables sur (Y, ν). On suppose que T est sous-linéaire, c’est-à-dire que pour tout λ ∈ R et (f, g) ∈ X2,∣∣T (λf)

∣∣ = |λ|∣∣T (f)

∣∣ et∣∣T (f + g)

∣∣ ≤ ∣∣T (f)∣∣+∣∣T (g)

∣∣.Pour toute fonction g mesurable sur (Y, ν) et λ ≥ 0, on note dg(λ)

déf= ν

(|f | > λ

). Pour

q ∈ [1,∞[, on note Lq,∞(Y, ν) l’espace (appelé Lq faible) des fonctions g mesurables sur Ytelles que

‖g‖Lq,∞déf= sup

λ>0λ(dλ(g))

1q <∞.

39

Par convention, Lq,∞(Y, ν) = L∞(Y, ν) si q = +∞.On suppose que T envoie Lp0(X,µ) dans Lp0,∞(Y, ν) (resp. Lp1(X,µ) dans Lp1,∞(Y, ν))

et qu’il existe A0 ≥ 0 et A1 ≥ 0 tels que

∀f ∈ Lp0(X,µ), ‖T (f)‖Lp0,∞ ≤ A0‖f‖Lp0 et ∀f ∈ Lp1(X,µ), ‖T (f)‖Lp1,∞ ≤ A1‖f‖Lp1 .

On veut montrer que T envoie Lp(X,µ) dans Lp(Y, ν) pour tout p ∈]p0, p1[.

(i) Vérifier que Lp(Y, ν) ⊂ Lp,∞(Y, ν) avec injection continue.

(ii) Dans toute cette question, on suppose que p1 est fini et que p0 < p < p1.

Soit f une fonction de Lp(X,µ) et δ > 0. Pour tout α > 0, on note fα la fonctiondéfinie par fα(x) = f(x) si |f(x)| ≤ δα et fα(x) = 0 sinon. Soit fα déf

= f − fα.(a) Vérifier que fα ∈ Lp0(X,µ), fα ∈ Lp1(X,µ) et que

‖fα‖p0

Lp0 ≤ (δα)p0−p‖f‖pLp et ‖fα‖p1

Lp1 ≤ (δα)p1−p‖f‖pLp .

(b) Montrer quedT (f)(α) ≤ dT (fα)(α/2) + dT (fα)(α/2).

(c) En déduire que T envoie Lp(X,µ) dans Lp(Y, ν) et que

‖T (f)‖pLp ≤ p(

(2A0)p

p− p0δp0−p +

(2A1)p1

p1 − pδp1−p

)‖f‖pLp .

(d) Conclure que ‖T (f)‖Lp ≤ 2(

pp−p0

+ pp1−p

) 1pA

p−1−p−11

p−10 −p−1

10 A

p−10 −p−1

p−10 −p−1

11 ‖f‖Lp .

(iii) On suppose maintenant que p1 = ∞. Montrer que T envoie Lp(X,µ) dans Lp(Y, ν)pour tout p ∈]p0,∞[ et que l’inégalité de la question précédente reste valable.

(iv) Première application : retrouver (presque) sans calcul toutes les inégalités de convolutionà une constante multiplicative près.

(v) Deuxième application : à toute fonction borélienne f sur Rd muni de la mesure deLebesgue on associe sa fonction maximale M définie sur Rd par

Mf(x)déf= sup

r>0

1∣∣B(x, r)∣∣ ∫

B(x,r)|f(y)| dy.

(a) À l’aide de l’exercice 2.7, montrer que pour tout p ∈]1,∞], la fonction M envoieLp(Rd) dans lui-même et qu’il existe une constante Cp telle que

∀f ∈ Lp(Rd), ‖Mf‖Lp ≤ Cp‖f‖Lp .

(b) Que peut-on dire pour p = 1 ?

40

Chapitre 3

Espaces de Sobolev

Les espaces de Sobolev sont le cadre naturel pour formaliser un grand nombre de problèmesde la physique mathématique. Nous verrons en particulier deux applications au cœur desdéveloppements récents de l’analyse non linéaire : l’étude des problèmes de minimisation endimension infinie, et la résolution locale et globale du problème de Cauchy pour une équationdispersive non linéaire.

Nous présentons tout d’abord la théorie hilbertienne sur Rd qui permet l’utilisation dela transformation de Fourier, et l’introduction de techniques de localisation fréquentielle quisont le point de départ de révolutions fondamentales en analyse des EDP ces trente dernièresannées. Nous présentons ensuite le cas plus général des espaces de Banach, puis des espaces deSobolev sur un domaine.

3.1 L’espace de Sobolev Hs(Rd)

Nous présentons dans cette section la théorie hilbertienne des espaces de Sobolev.

3.1.1 Définition, structure hilbertienne et premières propriétés

La transformée de Fourier u (ou Fu) d’une fonction u ∈ L1(Rd) est définie par 1

u(ξ) =

∫e−i(x|ξ)u(x) dx,

où (· | ·) désigne le produit scalaire dans Rd.Cette transformation s’étend “par dualité” à toute distribution tempérée (cf [3, 16]), et les

propriétés suivantes sont vérifiées :

Proposition (Transformée de Fourier). (i) La transformée de Fourier échange dériva-tion et multilplication :

∂ju(ξ) = iξj u(ξ). (3.1)

(ii) L’espace S de Schwartz de la Définition 1.1.2 est stable par transformée de Fourier.(iii) La transformée de Fourier est, à une constante multiplicative près, une isométrie bijective

sur L2(Rd) dont l’inverse est donné par :

u(x) =1

(2π)d

∫ei(x|ξ)u(ξ) dξ. (3.2)

1. Attention, certains auteurs utilisent une normalisation un peu différente, ce qui modifie les constantesdans la proposition qui suit.

41

Plus précisément, l’égalité de Parseval suivante est vérifiée :

1

(2π)d

∫u(ξ) v(ξ) dξ =

∫u(x) v(x) dx. (3.3)

Nous pouvons maintenant très simplement introduire les espaces Hs(Rd) .

Définition (Espace de Sobolev Hs(Rd)). Soit s un réel, on dit qu’une distribution tempéréeu appartient à l’espace de Sobolev d’indice s , noté Hs(Rd) (ou simplement Hs en l’absenced’ambiguïté) si

u(ξ) ∈ L2(Rd; (1 + |ξ|2)s dξ).

On pose alors

‖u‖Hs =

(∫Rd

(1 + |ξ|2)s|u(ξ)|2 dξ) 1

2

. (3.4)

On adoptera par la suite la notation du crochet japonais :

〈ξ〉 déf=√

1 + |ξ|2.

Proposition 3.1.1. Pour tout réel s , l’ensemble Hs muni de la norme ‖ · ‖Hs est un espacede Hilbert.

Démonstration : Le fait que l’ensemble Hs soit un espace vectoriel résulte de l’inégalité

|a+ b|2 ≤ 2|a|2 + 2|b|2.

Il est alors facile de vérifier que ‖ ·‖Hs est bien une norme et provient du produit scalaire

(u|v)Hsdéf=

∫Rd〈ξ〉2su(ξ)v(ξ) dξ·

Démontrons que Hs est complet. Soit (un)n∈N une suite de Cauchy de Hs . Par définitionde la norme, la suite (un)n∈N est de Cauchy dans l’espace vectoriel normé completL2(Rd; 〈ξ〉2s dξ) . Donc il existe une fonction u appartenant à l’espace L2(Rd; 〈ξ〉2s dξ)telle que

limn→∞

‖un − u‖L2(Rd;〈ξ〉2s dξ) = 0. (3.5)

En particulier, la suite (un)n∈N tend vers u dans l’espace S ′ des distributions tempérées.Soit u = F−1u . Comme la transformée de Fourier est un isomorphisme de S ′ dans lui-même, la suite (un)n∈N tend vers u dans l’espace S ′ , mais aussi dans Hs d’après (3.5).

Remarque. Dit sèchement, ce qui précède n’est rien d’autre que le fait que la transformée deFourier est un isomorphisme isométrique de Hs dans L2(Rd; 〈ξ〉2s dξ) .

L’échelle de Sobolev mesure la décroissance de la transformée de Fourier de u , et donc dela régularité de u en vertu de (3.1). La proposition suivante établit ce lien de manière plusexplicite pour s entier.

Proposition 3.1.2. Si m un entier positif, alors Hm(Rd) coïncide avec l’espace vectoriel desfonctions u de L2 dont toutes les dérivées d’ordre inférieur ou égal à m sont des distributionsappartenant à L2 . De plus,

‖u‖Hmdéf=

√ ∑|α|≤m

‖∂αu‖2L2

est une norme hilbertienne sur Hm, équivalente à la norme ‖ · ‖Hm .

42

Démonstration : Le fait que

‖u‖2Hm = (u|u)Hm avec (u|v)Hmdéf=

∑|α|≤m

∫Rd∂αu(x)∂αv(x) dx

assure que la norme ‖ · ‖Hm provient d’un produit scalaire. De plus, il existe uneconstante C telle que

∀ξ ∈ Rd , C−1∑|α|≤m

|ξ|2|α| ≤ 〈ξ〉2m ≤ C∑|α|≤m

|ξ|2|α|. (3.6)

Notons que (3.1) implique que pour tout multi-indice α de Nd on a

∂αu ∈ L2 ⇐⇒ ξαu ∈ L2.

Donc, on en déduit que

u ∈ Hm ⇐⇒ ∀|α| ≤ m, ∂αu ∈ L2.

Enfin, l’inégalité (3.6) assure l’équivalence des normes puisque la transformation de Fou-rier est une isométrie L2 -à une constante près.

Nous collectons dans la proposition suivante certaines propriétés standard des espaces deSobolev :

Proposition 3.1.3. Soit s un réel quelconque.

(i) L’espace D(Rd) des fonctions test est dense dans Hs(Rd).(ii) Pour s < t, Ht ⊂ Hs et on a l’inégalité d’interpolation :

∀θ ∈ [0, 1], ‖u‖Hθs+(1−θ)t ≤ ‖u‖θHs‖u‖1−θHt . (3.7)

(iii) La multiplication par une fonction de S est une fonction continue de Hs dans lui-même.

Remarque. Par (i), on aurait ainsi pu définir Hs(Rd) comme le complété hilbertien de D(Rd)pour la norme (3.4).

Démonstration : Pour (i), considérons une distribution u de Hs telle que, pour toutefonction test ϕ , on ait (ϕ|u)Hs = 0 . On a donc,

∀ϕ ∈ D(Rd),∫Rdϕ(ξ)〈ξ〉2su(ξ) dξ = 0.

Vu que S est continûment inclus dans Hs (cf exercice 3.1), que D est dense dans S , etque la transformée de Fourier est un isomorphisme de S dans lui-même, on a pour toutefonction f de S , ∫

Rdf(ξ)〈ξ〉2su(ξ) dξ = 0.

Comme pour tout σ ∈ R, l’opérateur de multiplication par 〈ξ〉σ envoie continûment Sdans S (voir exercice 3.2), ceci entraîne que

∀ϕ ∈ S , 〈u, ϕ〉 = 0

43

donc u = 0, puis u = 0 .Pour (ii), on utilise l’inégalité de Hölder une fois remarqué que

‖u‖2Hθs+(1−θ)t =

∫ (〈ξ〉2s|u(ξ)|2

)θ(〈ξ〉2t|u(ξ)|2)1−θ

dξ.

La démonstration de (iii) est plus délicate et présentée ici à titre culturel. D’après lethéorème V. 4.1 page 103 de [16] et la formule d’inversion de Fourier, on sait que

ϕu = (2π)−dϕ ? u.

Il s’agit donc de majorer la norme L2 de la fonction définie par

U(ξ) = (1 + |ξ2|)s2

∫Rd|ϕ(ξ − η)| × |u(η)| dη.

Soit I1(ξ) = η / 2|ξ − η| ≤ |η| et I2(ξ) = η / 2|ξ − η| > |η| . Il est clair que l’on a

U(ξ) = U1(ξ) + U2(ξ) avec

Uj(ξ) = 〈ξ〉s∫Ij(ξ)|ϕ(ξ − η)| × |u(η)| dη.

Tout d’abord, observons que si η ∈ I1(ξ) alors on a

1

2|η| ≤ |ξ| ≤ 3

2|η|.

On en déduit que, pour tout réel s , il existe une constante C telle que, pour tout couple(ξ, η) tel que η appartienne à I1(ξ) , on ait

〈ξ〉2s ≤ C〈η〉2s.

D’où il vient que

U1(ξ) ≤ C∫Rd|ϕ(ξ − η)|〈η〉s|u(η)| dη.

Comme ϕ appartient à S , en particulier ϕ appartient à L1. Donc, d’après les inégalitésde Young,

‖U1‖L2 ≤ C‖ϕ‖L1‖u‖Hs .

Reste à traiter U2. Pour η ∈ I2(ξ), on a |η| ≤ 2|ξ − η|. Donc on peut écrire

U2(ξ) ≤ 〈ξ〉|s|∫I2(ξ)|ϕ(ξ − η)|〈η〉|s|〈η〉s|u(η)| dη

≤ C

∫Rd|ϕ(ξ − η)|〈ξ − η〉2|s|〈η〉s|u(η)| dη.

On sait que ϕ appartient à S . Il existe donc une constante C telle que

|ϕ(ζ)| ≤ C〈ζ〉−d−1−2|s|.

D’où l’on obtient que

U2(ξ) ≤ C∫Rd〈ξ − η〉−d−1〈η〉s|u(η)| dη.

D’où ‖U2‖L2 ≤ C‖u‖Hs , et (iii) est démontrée.

44

3.1.2 Le dual de Hs

L’espace de Sobolev Hs étant un espace de Hilbert, il est isomorphe à son dual topologique(Hs)′ via le produit scalaire sur Hs par le théorème de représentation de Riesz-Fréchet. Utiliserplutôt le produit scalaire L2 pour caractériser les éléments de (Hs)′ et les théorèmes deprolongement des applications linéaires continues conduit au résultat suivant :

Proposition 3.1.4. Soit s ∈ R et f ∈ S ′ telle que f ∈ L2loc(Rd). Alors f ∈ H−s si et

seulement siMf

déf= sup

ϕ∈S‖ϕ‖Hs≤1

∣∣〈f, ϕ〉S′×S∣∣ <∞.De plus, pour f ∈ H−s, la forme linéaire Lf définie sur S par Lf (ϕ) = 〈f, ϕ〉S′×S se prolongesur Hs en une forme linéaire continue 〈f, · 〉H−s×Hs et l’on a

‖f‖H−s = (2π)d supϕ∈S

‖ϕ‖Hs≤1

∣∣〈f, ϕ〉S′×S∣∣ = (2π)d supϕ∈Hs

‖ϕ‖Hs≤1

∣∣〈f, ϕ〉H−s×Hs

∣∣.Enfin, l’application f 7→ (2π)d〈f, · 〉H−s×Hs est un isomorphisme isométrique de H−s dans(Hs)′.

Démonstration : Supposons d’abord que f soit dans H−s. En utilisant la définition de latransformée de Fourier sur S ′ et l’expression de son inverse, on constate que pour toutefonction ϕ de S,

〈f, ϕ〉S′×S = (2π)−d〈f , ϕ〉S′×S .

Donc, comme d’après l’exercice 3.2, les espaces S et S ′ sont stables par multiplicationpar 〈·〉±s,

〈f, ϕ〉S′×S = (2π)−d〈〈·〉−sf , 〈·〉sϕ〉S′×S .

Comme 〈·〉−sf est dans L2, on a, en vertu de l’égalité de Parseval puis de l’inégalité deCauchy-Schwarz,

∣∣〈f, ϕ〉S′×S∣∣ = (2π)−d∣∣∣∣∫ 〈ξ〉−sf(ξ) 〈ξ〉sϕ(ξ) dξ

∣∣∣∣,≤ (2π)−d‖f‖H−s‖ϕ‖Hs .

Donc(2π)d sup

ϕ∈S‖ϕ‖Hs≤1

∣∣〈f, ϕ〉S′×S∣∣ ≤ ‖f‖H−s .En conséquence, en vertu de l’exercice 1.3 la forme linéaire Lf définie dans l’énoncé peutse prolonger en une forme linéaire continue sur Hs de même norme que sa restrictionsur S. On a donc

supϕ∈Hs

‖ϕ‖Hs≤1

∣∣〈f, ϕ〉H−s×Hs

∣∣ = supϕ∈S

‖ϕ‖Hs≤1

∣∣〈f, ϕ〉S′×S∣∣ ≤ (2π)−d‖f‖H−s .

Enfin, si l’on définit ϕ par sa transformée de Fourier

ϕ(ξ)déf=〈ξ〉−2sf(ξ)

‖f‖Hs,

45

on constate que ϕ est dans Hs et de norme 1, et que

〈f, ϕ〉H−s×Hs = (2π)−d‖f‖H−s .

Donc la forme linéaire (2π)d〈f, · 〉H−s×Hs est de norme exactement ‖f‖H−s .Afin d’achever la démonstration de la proposition, il ne reste plus qu’à vérifier que l’isomé-trie définie précédemment est bien surjective. Pour cela, on considère une forme linéaireL continue sur Hs et l’on se ramène au cas s = 0 en posant

M(ϕ)déf= L(〈D〉−sϕ) pour ϕ ∈ L2,

où 〈D〉−s désigne l’opérateur de dérivation fractionnaire défini par

F(〈D〉−sϕ

)= 〈·〉−sFϕ. (3.8)

Il est clair que M est une forme linéaire continue sur L2 de norme ‖L‖(Hs)′ . Doncd’après le théorème de représentation de Riesz, il existe g dans L2 telle que pour toutϕ ∈ L2 on ait

M(ϕ) =

∫g ϕ dx.

En conséquence,∀ϕ ∈ S, L(〈D〉−sϕ) =

⟨〈D〉sg, 〈D〉−sϕ

⟩S′×S .

Comme la multiplication par 〈D〉−s est un isomorphisme sur S (voir exercice 3.2), onen déduit que

L(ψ) =⟨〈D〉sg, ψ

⟩S′×S pour tout ψ ∈ S.

Comme g est dans L2, la fonction 〈D〉sg est dans H−s. Par densité, on peut alorsconclure que L = 〈〈D〉sg, ·〉H−s×Hs .

Supposons finalement que f ∈ S ′ vérifie f ∈ L2loc et que Mf est fini. Alors il est clair

que pour tout K > 0, la fonction fK de transformée de Fourier 1B(0,K)f est dans H−s.En remarquant que pour toute fonction ϕ de Hs on a F−1(1B(0,K)ϕ) ∈ Hs, il est alorsaisé de vérifier que

‖fK‖H−s ≤Mf .

À l’aide de la définition de la norme H−s et du lemme de Fatou, on conclut donc que fest dans H−s et de norme au plus Mf .

3.1.3 Injections de Sobolev

Nous démontrons dans cette section un résultat fondamental pour l’analyse non linéaire : lesinjections de Sobolev. Il s’agit de comparer la régularité Sobolev avec un autre type de régularitémesurée par l’échelle des espaces de Lebesgue Lp qui interviennent naturellement en physiquemathématique. Cette comparaison est non triviale 2 et source d’inégalités fonctionnelles aucœur de l’analyse moderne.

Théorème 3.1.1 (Injection de Sobolev). Soit s un nombre réel positif.

(i) Si s > d2 alors Hs(Rd) est une algèbre qui s’injecte continûment dans l’espace C0(Rd)

des fonctions continues qui tendent vers 0 à l’infini.

2. Le lecteur motivé pourra rechercher dans [31] la preuve originale de Sobolev qui est longue et délicate.

46

(ii) Si 0 ≤ s < d2 , soit l’exposant critique pc défini par

−s+d

2=

d

pci.e. pc =

2d

d− 2s∈ [2,∞[. (3.9)

Alors pour tout p ∈ [2, pc], Hs(Rd) s’injecte continûment dans Lp(Rd) :

∃Cp,s > 0 tel que ∀f ∈ Hs(Rd), ‖f‖Lp(Rd) ≤ Cp,s‖f‖Hs(Rd). (3.10)

(iii) Pour s = d2 , H

s(Rd) s’injecte continûment dans Lp(Rd) pour tout 2 ≤ p <∞.

Remarque. Pour s = 1 , on obtient ainsi que les fonctions de H1(R) sont continues (et mêmehöldériennes d’exposant 1/2, cf exercice 3.9), les fonctions de H1(R2) sont dans tous les Lp(R2)avec 2 ≤ p <∞, et les fonctions de H1(R3) admettent l’intégrabilité supplémentaire L6(R3)ce qui est une information non triviale a piori.

En fait, nous aurons besoin d’une version précisée de l’injection (3.10) :

Lemme (Injection de Sobolev homogène). Soit 0 < s < d2 et pc donné par (3.9). Alors :

∀f ∈ S(Rd), ‖f‖Lpc (Rd) ≤ Cs‖f‖Hs(Rd) (3.11)

où la norme de Sobolev homogène est donnée par :

‖f‖Hs

déf=

(∫Rd|ξ|2s|f(ξ)|2 dξ

) 12

.

Remarque. On obtient par exemple en dimension d = 3 en remarquant par Parseval que

‖f‖H1 h ‖∇f‖L2

l’estimation non triviale :

∀f ∈ S(R3), ‖f‖L6(R3) ≤ C‖∇f‖L2(R3).

Remarque. L’estimation (3.11), au contraire de (3.10), est invariante d’échelle et explique doncl’expression de l’exposant critique (3.9). En effet, soit f ∈ S(Rd) , λ > 0 et la dilatée

fλ(x) = f(λx),

alors :∀p ∈ [1,+∞], ‖fλ‖Lp = λ

− dp ‖f‖Lp ,

et (∫Rd|ξ|2s|fλ(ξ)|2 dξ

) 12

=

(λ−2d

∫Rd|ξ|2s|f(λ−1ξ)|2 dξ

) 12

= λ−d2

+s‖f‖Hs ,

Les deux quantités ‖ · ‖Lp et ‖ · ‖Hs ont la même homogénéité (et sont donc comparables) siet seulement si −s+ d

2 = dp i.e. p = pc .

47

Les points ii) et iii) du théorème ci-dessus sont des conséquences immédiates de (3.11).En effet, si 0 < s < d

2 alors (3.11) assure la continuité de l’injection de Hs dans Lpc . OrHs ⊂ L2 par définition, et donc par Hölder, Hs ⊂ Lp pour tout p ∈ [2, pc] .

Pour s = d2 , soit 2 ≤ p < +∞ , alors

σ =d

2− d

pvérifie 0 ≤ σ < d

2= s et pc(σ) = p

et doncHs(Rd) ⊂ Hσ(Rd) ⊂ Lp(Rd).

Pour le point i), on raisonne comme suit. Comme s > d2 , la fonction 〈·〉−s appartient à

L2 . Or, d’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz, on a

‖u‖L1 ≤(∫〈ξ〉−2s dξ

) 12(∫〈ξ〉2s|u(ξ)|2 dξ

) 12

≤ C‖u‖Hs .

On conclut maintenant grâce à la formule d’inversion de Fourier et en utilisant le fait que latransformée de Fourier d’une fonction L1 est bornée et continue (par convergence dominée)et tend vers 0 à l’infini (en vertu du lemme de Riemann-Lebesgue). Pour la démonstration dufait que Hs est une algèbre, on renvoie à l’exercice 3.14.

La démonstration de (3.11) repose sur la méthode dite d’interpolation réelle dont la portéedépasse largement le cadre de ce cours (voir un autre exemple dans l’exercice 2.8), et qui est unepremière illustration de la puissance de l’analyse de Fourier et des découpages hautes/bassesfréquences.

Découpons donc f en basses et hautes fréquences en posant

f = f1,A + f2,A avec f1,A = F−1(1B(0,A)f) et f2,A = F−1(1 cB(0,A)f), (3.12)

où la fréquence de coupure A est pour l’instant un paramètre libre.

Comme le support de la transformée de Fourier de f1,A est compact, la fonction f1,A estbornée et, plus précisément,

‖f1,A‖L∞ ≤ (2π)−d‖f1,A‖L1 ≤ (2π)−d∫B(0,A)

|ξ|−s|ξ|s|f(ξ)| dξ

≤ (2π)−d(∫

B(0,A)|ξ|−2s dξ

) 12

≤ CsAd2−s‖f‖Hs . (3.13)

Or, d’après l’inégalité triangulaire, on a, pour tout réel strictement positif A ,

|f | > λ ⊂ |f1,A| > λ/2 ∪ |f2,A| > λ/2.

L’inégalité (3.13) ci-dessus implique que

A ≤ Aλdéf=

(λ

4Cs

) pd

=⇒∣∣∣∣|f1,A| >

λ

2

∣∣∣∣ = 0.

On en déduit donc que (utiliser le résultat de l’exercice 2.1) :

‖f‖pLp ≤ p∫ ∞

0λp−1

∣∣∣∣|f2,Aλ | >λ

2

∣∣∣∣ dλ.48

Afin de majorer l’intégrand, nous allons faire intervenir une norme L2. Pour cela, on écrit(c’est l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev) que∣∣∣∣|f2,Aλ | >

λ

2

∣∣∣∣ =

∫|f2,Aλ

|>λ2dx ≤

∫|f2,Aλ

|>λ2

4|f2,Aλ(x)|2

λ2dx ≤ 4

‖f2,Aλ‖2L2

λ2·

Il en résulte donc que l’on a

‖f‖pLp ≤ 4p

∫ ∞0

λp−3‖f2,Aλ‖2L2 dλ. (3.14)

Mais, on sait que la transformée de Fourier est (à une constante près) une isométrie de L2 ,donc :

‖f2,Aλ‖2L2 = (2π)−d

∫|ξ|≥Aλ

|f(ξ)|2 dξ.

D’après l’inégalité (3.14), il vient

‖f‖pLp ≤ 4p(2π)−d∫R+×Rd

λp−31(λ,ξ) / |ξ|≥Aλ(λ, ξ)|f(ξ)|2 dξ dλ.

Or, par définition de Aλ , on a

|ξ| ≥ Aλ ⇐⇒ λ ≤ Cξdéf= 4Cs|ξ|

dp .

D’après le théorème de Fubini, on a pour p > 2,

‖f‖pLp ≤ 4p(2π)−d∫Rd

(∫ Cξ

0λp−3 dλ

)|f(ξ)|2 dξ

≤ 4p(2π)d

p− 2(4Cs)

p−2∫Rd|ξ|

d(p−2)p |f(ξ)|2 dξ.

Comme 2s =d(p− 2)

p, (3.11) est démontré.

3.1.4 Corollaires de l’injection de Sobolev

Donnons deux corollaires simples mais fondamentaux de l’injection de Sobolev.Tout d’abord l’injection duale de Sobolev :

Théorème (Injection duale de Sobolev). Si p ∈]1, 2] alors l’espace Lp(Rd) s’injecte conti-nûment dans H−s(Rd) avec s = d/p− d/2.

Démonstration : Par densité, il suffit de démontrer l’existence d’une constante C telle quepour tout u ∈ S, on ait

‖u‖H−s ≤ C‖u‖Lp . (3.15)

D’après la proposition 3.1.4,

‖u‖H−s = (2π)d supϕ∈S

‖ϕ‖Hs≤1

∫uϕdx.

49

Donc d’après l’inégalité de Hölder,

‖u‖H−s ≤ (2π)d supϕ∈S

‖ϕ‖Hs≤1

‖u‖Lp‖ϕ‖Lp′ .

Mais comme d/p′ = d/2−s, les injections de Sobolev ci-dessus assurent l’existence d’uneconstante C telle que pour toute fonction ϕ de S on ait

‖ϕ‖Lp′ ≤ C‖ϕ‖Hs .

Comme S est dense dans Hs, cela achève la démonstration.

Remarque. Vu que (3.11) ne met en jeu que des normes de Sobolev homogènes, on peut rem-placer ‖u‖H−s par ‖u‖H−s dans (3.15). Ceci permet par exemple de retrouver de manièreélémentaire une partie des estimations de Hardy-Littlewood-Sobolev, cf Exercice 3.18.

Le deuxième corollaire concerne les inégalités d’interpolation dites de Gagliardo-Nirenbergqui joueront un rôle fondamental dans notre étude des problèmes de minimisation en dimensioninfinie.

Corollaire (Inégalité d’interpolation de Gagliardo-Nirenberg). Soit 3

2∗ =

+∞ pour d = 1, 2,2dd−2 pour d ≥ 3,

.

Soit 2 ≤ p < 2∗ , alors

∀u ∈ H1(Rd), ‖u‖Lp ≤ C‖u‖1−σL2 ‖∇u‖σL2 avec σ =d(p− 2)

2p· (3.16)

Démonstration : D’après (3.11), on a

‖u‖Lp ≤ C‖u‖Hσ .

En remarquant que la contrainte 2 ≤ p < 2∗ assure σ ∈ [0, 1[ et en procédant commepour la preuve de (3.7) mais avec |ξ| au lieu de 〈ξ〉, on constate que

‖u‖Hσ ≤ ‖u‖1−σL2 ‖u‖σH1 ,

d’où le résultat.

3.1.5 Compacité locale de l’injection de Sobolev

Nous montrons maintenant une deuxième propriété fondamentale de l’injection de Sobolev,à savoir sa compacité locale pour une plage d’exposants bien choisie, qui sera une des clefspour aborder notre étude ultérieure des problèmes de minimisation en dimension infinie. Cettepropriété de compacité découlera essentiellement des résultats généraux démontrés dans lechapitre 1.

Commençons par une définition :

Définition (Convergence Lploc ). Soit 1 ≤ p <∞ et Ω un ouvert de RN .

3. 2∗ est la notation consacrée pour l’exposant critique intervenant dans l’injection de Sobolev homogèneH1(Rd) ⊂ L2∗

(Rd) en dimension d ≥ 3 , voir aussi le théorème 3.2.1.

50

(i) On dit qu’une distribution f ∈ D′(Ω) est dans Lploc(Ω) si

∀K compact de Ω, f ∈ Lp(K).

(ii) On dit qu’une suite de fonctions fn converge dans Lploc(Ω) s’il existe f ∈ Lploc(Ω) telleque :

∀K compact de Ω, fn → f dans Lp(K). (3.17)

Nous pouvons maintenant énoncer le résultat de compacité locale :

Théorème 3.1.2 (Compacité locale de l’imjection Hs ). Soit d ≥ 1 , s > 0 et

pc =

2dd−2s pour s < d

2 ,

+∞ sinon.

Alors l’injectionHs(Rd) → Lploc(R

d) est compacte pour 1 ≤ p < pc.

De manière équivalente, pour toute suite (fn)n∈N bornée dans Hs(Rd) , on peut trouver f ∈Hs(Rd) et une sous-suite (fφ(n))n∈N telles que :

fϕ(n) f dans Hs(Rd),fϕ(n) → f dans Lploc(R

d), ∀1 ≤ p < pc.

Pour s > d2 , la convergence est uniforme sur tout compact de Rd.

Démonstration : Etape 1. Compacité par convolution.Considérons ζ ∈ D(Rd) , ζ ≥ 0 avec

ζ(x) =

1 pour |x| ≤ 1,0 pour |x| ≥ 2

et∫Rdζ(x)dx = 1, (3.18)

et la famille, dite approximation de l’identité

ζε(x) =1

εdζ(xε

)· (3.19)

Soit l’opérateur de convolutionTε(f) = ζε ? f.

Il est classique 4 -cf [16]- que

∀f ∈ L2(Rd), Tε(f)→ f dans L2(Rd) quand ε→ 0.

Nous allons montrer qu’une borne Hs rend cette convergence uniforme. Plus précisé-ment :

sup‖f‖Hs≤1

‖Tεf − f‖L2(Rd) → 0 quand ε→ 0 si 0 < s ≤ d

2, (3.20)

sup‖f‖Hs≤1

‖Tεf − f‖L∞(Rd) → 0 quand ε→ 0 si s >d

2· (3.21)

4. et immédiat par Parseval et convergence dominée, cf (3.25)

51

Supposons 0 < s ≤ d2 , 2 ≤ p < pc et admettons (3.20). Soit R > 0 et BR = x ∈

Rd, |x| ≤ R . Alors par (3.20) l’application identité

Id : (Hs(Rd), ‖ · ‖Hs(Rd))→ L2(BR, ‖ · ‖L2(BR))

est limite uniforme des applications Tε . Or par la Proposition 1.1.3, pour tout ε > 0fixé, Tε est compacte de (L2(Rd), ‖ · ‖L2(Rd)) dans C(BR, ‖ · ‖L∞(BR)) et donc a fortioride (Hs(Rd), ‖ · ‖Hs(Rd)) dans L2(BR, ‖ · ‖L2(BR)) . Donc

Id : (Hs(Rd), ‖ · ‖Hs(Rd))→ L2(BR, ‖ · ‖L2(BR)) est compacte (3.22)

comme limite d’applications compactes, en vertu de la Proposition 1.1.2.Soit alors (fn)n∈N une suite bornée dans Hs , alors par compacité faible de la boule unitéde Hs , il existe f ∈ Hs(Rd) et une extraction ψ(n) telles que

fψ(n) f dans Hs(Rd). (3.23)

En prenant R = m , on construit par récurrence sur m ≥ 1 par (3.22) des extractions(φm)m∈N telles que

∀m ≥ 1, fψφ1···φm(n) → f dans L2(Bm) quand m→ +∞.

Notons que le fait que la limite forte locale soit nécessairement donnée par f est uneconséquence immédiate de la convergence faible (3.23). La suite extraite fφ(n) où φ estla suite diagonale

φ(n) = ψ φ1 · · · φn(n)

vérifie maintenant par construction :

fφ(n) f dans Hs(Rd), fφ(n) → f dans L2loc(Rd), (3.24)

et donc par inégalité de Hölder appliquée sur tout compact de Rd :

fφ(n) → f dans Lploc(Rd) pour 1 ≤ p ≤ 2.

Soit alors 2 ≤ p < pc et 0 < α ≤ 1 tels que

1

p=α

2+

1− αpc

,

et soit K compact de Rd. Alors par inégalités de Hölder et de Sobolev (3.10) :

‖fφ(n) − f‖Lp(K) ≤ ‖fφ(n) − f‖αL2(K)‖fφ(n) − f‖1−αLpc (K)

≤ Cp‖fφ(n) − f‖αL2(K)(‖fφ(n)‖1−αHs(Rd)+ ‖f‖1−α

Hs(Rd))

≤ C‖fφ(n) − f‖αL2(K).

Par (3.24), le terme de droite tend vers 0 quand n tend vers +∞.

52

Le raisonnement est identique pour s > d2 , en partant de (3.21). Les détails sont laissés

au lecteur.Etape 2. Approximation uniforme.Il s’agit maintenant de montrer (3.20) et (3.21). Soit f ∈ Hs(Rd) avec ‖f‖Hs(Rd) ≤ 1 .Observons d’abord par un calcul direct que

ζε(ξ) = ζ(εξ) et (Tεf − f)(ξ) = (1− ζ(εξ))f(ξ).

Si s ≤ d2 , on en déduit par Parseval que

(2π)d∫Rd|Tε(f)− f |2dx =

∫Rd|Tεf − f |2 dξ (3.25)

=

∫Rd|1− ζ(εξ)|2|f(ξ)|2 dξ

≤ supξ∈Rd

[|1− ζ(εξ)|2

|1 + |ξ|2|s

]‖f‖2Hs(Rd) ≤ sup

ξ∈Rd

[|1− ζ(εξ)|2

|1 + |ξ|2|s

].

Or ζ ∈ S donc ζ ∈ S , et

ζ(0) =

∫Rdζ(x) dx = 1 (3.26)

implique 5

supξ∈Rd

[|1− ζ(εξ)|2

|1 + |ξ|2|s

]→ 0 quand ε→ 0,

et (3.20) est démontré.Pour s > d

2 , on procède de manière similaire :

(2π)d‖Tεf − f‖L∞(Rd) ≤∫Rd|Tεf − f |(ξ) dξ ≤

∫Rd|1− ζ(εξ)||f(ξ)| dξ

≤

(∫Rd

|1− ζ(εξ)|2

|1 + |ξ|2|sdξ

) 12

‖f‖Hs

≤

(∫Rd

|1− ζ(εξ)|2

|1 + |ξ|2|sdξ

) 12

→ 0 quand ε→ 0

par convergence dominée en utilisant (3.26), et (3.21) est donc démontrée.

Le Théorème de compacité 3.1.2 est essentiellement optimal. En effet, l’inclusion de Hs(Rd)dans Lp(Rd) n’est pas compacte, le contre-exemple canonique étant la suite translatée

fn(x) = f(x− xn), |xn| → +∞

pour un profil fixe f donné non nul. Notons que cette perte de compacité peut être évitée sousdes hypothèses supplémentaires de symétrie, voir la Proposition 6.1.1. La description fine dudéfaut de compacité de l’injection H1(Rd) ⊂ Lp(Rd) est une des clefs du chapitre 7.

5. on peut par exemple couper en |ξ| ≤ 1√εet |ξ| ≥ 1√

ε·

53

Enfin, l’injection locale critique Hs(Rd) ⊂ Lpcloc(Rd) n’est jamais compacte en raison du

phénomène de concentration : soit un profil fixe f ∈ C∞c (Rd) à support dans B1 = x ∈Rd, |x| < 1 et une suite (λn)n∈N tendant vers 0. Alors la suite

fn(x) =1

λ−s+ d

2n

f

(x

λn

)est à support dans B1 et bornée dans Hs(Rd) , mais

|fn|pc =1

λdnf

∣∣∣∣( x

λn

)∣∣∣∣pc ‖f‖pcLpc (Rd)δ0 au sens de D′(B1),

et donc n’admet pas de valeur d’adhérence pour la convergence forte dans Lpc(B1) .

3.1.6 Le cas d’un domaine borné

Bien que l’analyse de Fourier ne soit pas adaptée en général à l’étude des fonctions définiessur un sous-ensemble de Rd, certains résultats simples mais fondamentaux se déduisent denotre analyse sur Rd . Dans ce paragraphe, nous présentons certains de ces résultats.

Rappelons tout d’abord la définition des espaces H10 (Ω) et H−1(Ω).

Définition 3.1.1. Soit Ω un ouvert (quelconque) de Rd. L’espace H10 (Ω) est l’adhérence

de D(Ω) au sens de la norme H1(Rd) . L’espace H−1(Ω) est son dual tologique ou, de manièreéquivalente, l’ensemble des distributions u sur Ω telles que

‖u‖H−1(Ω)déf= sup

ϕ∈D(Ω)‖ϕ‖

H10(Ω)≤1

|〈u, ϕ〉| <∞.

Rappelons par la Proposition 3.1.3 que H1(Rd) est la fermeture de D(Rd) pour la norme deH1(Rd) , et donc par définition, H1

0 (Ω) s’identifie à un sous-espace vectoriel fermé de l’espacede Hilbert H1(Rd). On dispose donc de la décomposition

H1(Rd) = H10 (Ω)⊕ (H1

0 (Ω))⊥.

Sachant qu’un sous-espace vectoriel fermé d’un Hilbert est aussi un Hilbert, on en déduit quel’espace H1

0 (Ω) muni du produit scalaire

(u, v) 7−→∫

Ωu v dx+

∑1≤j≤d

∫Ω∂ju ∂jv dx

est un espace de Hilbert.

Remarque. L’espace H−1(Ω) étant le dual de H10 (Ω), il peut être muni d’une structure d’espace

de Hilbert. Nous renvoyons à [9] pour plus de détails.

Dans le cas où Ω est borné, l’injection de H10 (Ω) dans H1(Rd) est clairement continue.

On déduit donc du théorème 3.1.2 :

Théorème (de Kato-Rellich). Soit Ω un ouvert borné de Rd .(i) Pour d = 1, l’injection H1

0 (Ω) → C(Ω) est compacte.

(ii) Pour d = 2 et 2 ≤ p <∞, l’injection H10 (Ω) → Lp(Ω) est compacte.

54

(iii) Pour d ≥ 3 , soit l’exposant critique

2∗ =2d

d− 2∈ ]2,∞[.

Alors pour tout p ∈ [1, 2∗] , H10 (Ω) s’injecte continûment dans Lp(Ω) avec injection

compacte si p < 2∗ .

Remarque. Plus généralement, l’injection de H10 (Ω) dans L2(Ω) est compacte dès que Ω est

de mesure finie (voir exercice 3.12).

Remarque. Par dualité, on en déduit que l’injection de Lp(Ω) dans H−1(Ω) est compacte siet seulement si p > 2d

2+d ·

Le théorème suivant est fondamental tant pour l’analyse mathématique que pour les ap-plications, et montre que les normes Sobolev (non homogène) et Sobolev homogène sont équi-valentes sur un domaine borné.

Théorème ( Inégalité de Poincaré). Soit Ω un ouvert borné de RN . Alors il existe λ1(Ω) > 0tel que :

∀u ∈ H10 (Ω) , ‖∇u‖2L2(Ω) ≥ λ1(Ω)‖u‖2L2(Ω) (3.27)

où

‖∇u‖2L2(Ω) =d∑j=1

‖∂ju‖2L2(Ω).

Remarque. Le réel strictement positif λ1(Ω) est la première valeur propre du Laplacien sur Ωavec condition de Dirichlet nulle sur le bord de Ω, et correspond par exemple à la fréquencede résonnance fondamentale d’un tambour de surface Ω . L’estimation (3.27) est un premierexemple de trou spectral. La dépendance de λ1(Ω) en le domaine est un problème géométriquesubtil et non complètement élucidé.

Donnons deux démonstrations de l’inégalité de Poincaré. La première, quantitative, donneune première estimation -grossière- de λ1(Ω) . La deuxième, qualitative, ne donne aucune esti-mation, mais fournit un cadre de démonstration extrêmement robuste et puissant au cœur destechniques variationnelles et de l’analyse spectrale.

Démonstration quantitative : L’ouvert Ω étant borné, il est inclus dans ]0, R[×Rd−1

pour R assez grand. Maintenant, pour toute fonction u régulière à support compactdans ]0, R[×Rd−1, on a

u(x1, · · · , xd) =

∫ x1

0

∂u

∂y1(y1, x2, · · · , xd) dy1.

L’inégalité de Cauchy-Schwarz implique que

|u(x1, · · · , xd)|2 ≤ R∫ R

0

∣∣∣∣ ∂u∂y1(y1, x2, · · · , xd)

∣∣∣∣2 dy1.

Comme Supp u ⊂]0, R[×Rd−1, on trouve après intégration en x1 ,∫R|u(x1, · · · , xd)|2dx1 ≤ R2

∫ R

0

∣∣∣∣ ∂u∂y1(y1, x2, · · · , xd)

∣∣∣∣2 dy1.

55

Puis, en intégrant par rapport aux d− 1 variables restantes,∫Rd|u(x1, · · · , xd)|2dx ≤ R2

∫Ω

∣∣∣∣ ∂u∂y1(y1, x2, · · · , xd)

∣∣∣∣2 dy1 dx2 · · · dxd

≤ R2‖∂1u‖2L2(Ω).

Comme D(Ω) est dense dans H10 (Ω) , l’inégalité (3.27) est démontrée.

Démonstration qualitative : Soit

λ1(Ω) = infu∈H1

0 (Ω)\0

‖∇u‖2L2(Ω)

‖u‖2L2(Ω)

·

Supposons par l’absurde que λ1(Ω) = 0 . Soit (un)n∈N une suite minimisante :

‖un‖L2(Ω) = 1, ‖∇un‖L2(Ω) ≤1

n·

Alors (un)n∈N est bornée dans H10 (Ω). Donc on peut extraire une sous-suite (uφ(n))n∈N

et trouver u ∈ H10 (Ω) tels que

uφ(n) u dans H10 (Ω) et uφ(n) → ϕ dans L2(Ω).

Par semi-continuité inférieure de la norme L2 (du gradient), on a∫Ω|∇u|2 dx ≤ lim inf

n→+∞

∫Ω|∇un|2 dx = 0

et donc u est une fonction constante de H10 (Ω) ce qui implique u ≡ 0 . En outre, par

convergence forte dans L2(Ω), on a∫Ω|u|2 dx = lim

n→+∞

∫Ω|uφ(n)|2 dx = 1,

ce qui est impossible.

L’inégalité de Poincaré implique de manière évidente le corollaire suivant.

Corollaire 3.1.1. Soit Ω un ouvert borné de Rd , alors l’application

(u, v) 7−→∑

1≤j≤d

∫Ω∂ju ∂jv dx

est un produit scalaire sur H10 (Ω) équivalent à celui de la définition 3.1.1.

3.2 L’espace de Sobolev W k,p(Rd)

Les espaces de Sobolev Hs(Rd) sont construits sur L2(Rd). De nombreuses situations nonlinéaires nécessitent de travailler avec un plus grand éventail d’espaces de Lebesgue. Nousprésentons ici la théorie des espaces W k,p(Rd) pour 1 ≤ p < ∞ avec un nombre entierde dérivées k ∈ N∗ , ce qui permet de se cantonner à des démonstrations élémentaires côtéespace sans analyse fréquentielle. Nous proposerons en particulier une autre démonstration del’injection de Sobolev basée uniquement sur une intégration par parties et l’inégalité de Hölder,comme dans [4] ou [14].

Le cadre général de cette étude et d’une approche unifiée incluant les dérivées fractionnairesest celui de l’analyse de Littlewood-Paley et des espaces de Besov qui dépasse le cadre de cecours, cf par exemple [2, 27].

56

3.2.1 Définition et structure d’espace de Banach

La définiton généralise celle de Hs(Rd) pour s entier (cf Proposition 3.1.2) :

Définition (Sobolev W k,p(Rd)). Soit 1 ≤ p <∞ et k ∈ N∗ . On note W k,p(Rd) l’ensembledes fonctions de f ∈ Lp(Rd) telles que :

∀α ∈ Nd avec |α| ≤ k, ∂αf ∈ Lp(Rd).

On a alors le théorème de structure suivant :

Théorème. Soit 1 ≤ p < ∞ et k ∈ N∗ . Alors (W k,p(Rd), ‖ · ‖Wk,p(Rd)) est un espace deBanach pour la norme :

‖f‖Wk,p(Rd) =

∑|α|≤k

‖∂αf‖pLp(Rd)

1p

.

En outre, D(Rd) est dense dans W k,p(Rd).

Démonstration. Le fait que ‖·‖Wk,p soit une norme est une conséquence immédiate de l’inéga-lité de Minkowski. Soit maintenant une suite de Cauchy (fn)n≥1 dans W k,p(Rd) , alors pourtout |α| ≤ k , (∂αfn)n∈N est une suite de Cauchy dans l’espace complet Lp(Rd). Elle est doncconvergente. Soit

g = limn→+∞

fn dans Lp(Rd)

alors, par compacité faible * dans Lp, pour tout α ∈ Nd avec |α| ≤ k, il existe gα ∈ Lp telque ∂αfn gα. Mais on a aussi

∂αfn ∂αf

au sens des distributions, et donc gα = ∂αf, par unicité de la limite. Donc g ∈W k,p(Rd).

Montrons ensuite la densité de S dans W k,p. Soit donc f ∈ W k,p(Rd) . Soit (ζε)ε>0 uneapproximation de l’identité (3.19), alors classiquement 6, cf [16] :

∀g ∈ Lp(Rd), ζε ? g → g dans Lp(Rd)

et donc

∀|α| ≤ k, ∂α(ζε ? f) = ζε ? ∂αf → ∂αf dans Lp(Rd).

Donc

ζε ? f ∈ S(Rd) et ζε ? f → f dans W k,p(Rd).

La démonstration de la densité de D dans W k,p nécessite d’introduire des fonctions de tron-cature. Les détails sont laissés au lecteur.

6. Pour f ∈ S(Rd) , la convergence ζε ? f → f est vraie au sens de S(Rd) , et le résultat s’ensuit trèssimplement par densité de S(Rd) dans Lp(Rd) et l’inégalité de Young.

57

3.2.2 Injections de Sobolev

Nous pouvons maintenant énoncer un théorème d’injection de Sobolev similaire au théorème3.1.1. On se limite à des exposants de régularité entiers pour simplifier la présentation.

Théorème (Injections de Sobolev). Soit d ≥ 1 , k ∈ N∗ et 1 ≤ p <∞ .(i) Si p > d

k ou d = 1 alors l’espace W k,p(Rd) s’injecte continûment dans (C(Rd), ‖ ·‖L∞(Rd)) .

(ii) Si 1 ≤ p < dk , soit pc l’exposant critique défini par

−k +d

p=

d

pci.e. pc =

p

d− kp∈]p,∞[.

Alors pour tout p ≤ q ≤ pc , W k,p(Rd) s’injecte continûment dans Lq(Rd) .(iii) Si p = d

k , alors pour tout p ≤ q <∞, W k,p(Rd) s’injecte continûment dans Lq(Rd) .

Comme pour le Théorème 3.1.1, le cœur de la démonstration est l’injection de Sobolevhomogène et invariante d’échelle :

Lemme 3.2.1 (Injection homogène W 1,p ). Soit d ≥ 1 .(i) Soit 1 ≤ p < d et p∗ défini par

−1 +d

p=

d

p∗i.e. p∗ =

pd

d− p∈]p,∞[.

Alors∀f ∈W 1,p(Rd), ‖f‖Lp∗ (Rd) ≤ Cp‖∇f‖Lp(Rd). (3.28)

(ii) Pour p > d, on a l’estimation höldérienne uniforme suivante : ∀f ∈W 1,p(Rd) ,

∀(x, y) ∈ R2d, |f(x)− f(y)| ≤ Cp,d|x− y|α‖∇f‖Lp(Rd) avec α = 1− d

p· (3.29)

Démonstration : Nous suivons [4] 7.Etape 1. Une estimation L1 dans le cas d ≥ 2.Pour x ∈ Rd , notons

xi = (x1, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xd), 1 ≤ i ≤ d.

Soit (g1, . . . , gd) ∈ D(Rd−1) et g(x) =

d∏i=1

gi(xi). Montrons que

‖g‖L1(Rd) ≤d∏i=1

‖gi‖Ld−1(Rd−1). (3.30)

C’est immédiat pour d = 2 . Montrons le résultat par récurrence de d à d + 1 . On fixexd+1 , donc par l’inégalité de Hölder, en notant x = (x′, xd+1),∫

|g(x′, xd+1)| dx′ ≤ ‖gd+1‖Ld(Rd)

(∫|(g1 . . . gd)(x

′, xd+1)|dd−1dx′

) d−1d

.

7. Ce qui donne donc une démonstration différente de celle proposée dans le théorème 3.1.1, si p = 2 .

58

On applique alors l’hypothèse de récurrence à |g1(·, xd+1)|dd−1 , · · · , |gd(x′, xd+1)|

dd−1 et

donc : ∫|(g1 . . . gd)(x

′, xd+1)|dd−1 dx′ ≤

d∏i=1

‖|gi(·, xd+1)|dd−1 ‖Ld−1(Rd−1)

=d∏i=1

‖gi(·, xd+1)‖dd−1

Ld(Rd−1).

On a donc obtenu :∫|g(·, xd+1)| dx′ ≤ ‖gd+1‖Ld(Rd)

d∏i=1

‖gi(·, xd+1)‖Ld(Rd−1).

On intègre maintenant en xd+1 . Chacune des fonctions xd+1 7→ ‖gi(·, xd+1)‖Ld(Rd−1)

pour 1 ≤ i ≤ d est dans Ld(R) avec∥∥∥‖gi(·, xd+1)‖Ld(Rd−1)

∥∥∥Ld(R)

= ‖gi‖Ld(Rd),

et donc par l’inégalité de Hölder avecd∑i=1

1

d= 1 :

∫|g(x′, xd+1)| dx′ dxd+1 ≤ ‖gd+1‖Ld(Rd)

∫ d∏i=1

‖gi(·, xd+1)‖Ld(Rd−1) dxd+1

≤ ‖gd+1‖Ld(Rd)

d∏i=1

‖gi‖Ld(Rd).

Etape 2. Le cas p < d et d ≥ 2.Si p = 1 alors l’estimation (3.28) découle d’une simple intégration. En effet, soit f ∈D(Rd) , alors pour tout 1 ≤ i ≤ d :

|f(x)| =

∣∣∣∣∫ xi

−∞∂if(x1, . . . , xi−1, t, xi+1, . . . , xd) dt

∣∣∣∣≤ fi(xi)

déf=

∫R|∂if(x1, . . . , xi−1, t, xi+1, . . . , xd) dt| ,

et donc

|f(x)|d ≤d∏i=1

fi(xi).

On déduit alors de (3.30) :∫|f(x)|

dd−1dx ≤

d∏i=1

‖fi‖1d−1

L1(Rd−1)=

d∏i=1

‖∂if‖1d−1

L1(Rd)

et donc

‖f‖L

dd−1 (Rd)

≤d∏i=1

‖∂if‖1d

L1(Rd)(3.31)

ce qui démontre (3.28) pour p = 1 et d ≥ 2.

59

Si 1 ≤ p < d , on fixe t ≥ 1 et f ∈ D puis on applique (3.31) à f |f |t−1 et l’inégalité deHölder. Il vient

‖f‖tL

tdd−1 (Rd)

≤ Cp,t

d∏i=1

∥∥|f |t−1∂if∥∥ 1d

L1(Rd)≤ Cp

d∏i=1

[‖f‖t−1

Lp′(t−1)(Rd)

‖∂if‖Lp(Rd)

] 1d

≤ Cp,t‖f‖t−1

Lp′(t−1)(Rd)

d∏i=1

‖∂if‖1d

Lp(Rd). (3.32)

Le choixt =

d− 1

dp∗ i.e.

td

d− 1= p′(t− 1) = p∗

pour lequel t ≥ 1 (puisque p < d) assure :

‖f‖Lp∗ (Rd) ≤ Cpd∏i=1

‖∂if‖1d

Lp(Rd)≤ Cp‖∇f‖Lp(Rd).

L’estimation (3.28) est donc démontrée pour f ∈ D(Rd) , et le cas général f ∈W 1,p(Rd)s’ensuit par densité.Etape 3. Le cas p > d ou d = 1.L’estimation est triviale en dimension d = 1. En effet, par l’inégalité de Hölder :

∀ϕ ∈ D(R), |ϕ(x)− ϕ(y)| =∣∣∣∣∫ y

xϕ′(t)dt

∣∣∣∣ ≤ |x− y|1/p′‖ϕ‖Lp(Rd)

et (3.29) s’ensuit par densité.

La démonstration est à nouveau plus subtile en dimension d ≥ 2 . Soit ϕ ∈ D(Rd) . Soitr > 0 et Q = [−r, r]d , alors

∀x ∈ Q, |ϕ(x)− ϕ(0)| =∣∣∣∣∫ t

0x · ∇ϕ(tx) dt

∣∣∣∣ ≤ r ∫ 1

0|∇ϕ(tx)| dt. (3.33)

Soit ϕQ la valeur moyenne de ϕ sur Q donnée par

ϕQ =1

|Q|

∫Qϕ(x) dx.

Alors l’intégration de (3.33) pour x ∈ Q implique via Fubini, un changement de variableet l’inégalité de Hölder :

|ϕQ − ϕ(0)| ≤ r

|Q|

∫ 1

0

∫Q|∇ϕ(tx)| dxdt =

r

|Q|

∫ 1

0

1

td

∫tQ|∇ϕ(x)| dxdt

≤ r

(2r)d

∫ t

0‖∇ϕ‖Lp(Rd)

|tQ|1p′

tddt ≤ r

1−d+ dp′

2d/p‖∇ϕ‖Lp(Rd)

∫ 1

0tdp′−d dt

≤ Cp,dr1− d

p ‖∇ϕ‖Lp(Rd)

où l’on a utilisé l’hypothèsed

p′− d = −d

p> −1.

60

Par invariance translationnelle, on en déduit que pour tout cube Q de côté 2r parallèleaux axes de coordonnées :

∀x ∈ Q, |ϕQ − ϕ(x)| ≤ Cp,dr1− dp ‖∇ϕ‖Lp(Rd),

et donc

∀(x, y) ∈ Q2, |ϕ(x)− ϕ(y)| ≤ |ϕ(x)− ϕQ|+ |ϕQ − ϕ(y)| ≤ Cp,dr1− dp ‖∇ϕ‖Lp(Rd).

Maintenant deux points (x, y) ∈ R2d peuvent toujours être mis dans un tel cube avecr = 2|x− y| , et (3.29) est démontré pour ϕ ∈ D(Rd) , le résultat s’ensuit par densité.

Nous pouvons maintenant démontrer le Théorème 3.2.2.

Démonstration : Observons tout d’abord qu’il suffit de démontrer le résultat pour k = 1 ,le résultat pour tout k ≥ 1 en découlant par itérations successives 8.(i) Cas p > d : Soit f ∈W 1,p(Rd) , alors f est continue par (3.29). En outre, soit x ∈ Rdet Q = Πd

1=1[xi − 1, xi + 1] , alors il existe y ∈ Q tel que 9 :

|f(y)| ≤ 1

|Q|

∫Q|f(z)|dz ≤ Cp‖f‖Lp(Rd)

et donc par (3.29) :

|f(x)| ≤ |f(y)|+ Cp,d‖∇f‖Lp(Rd) ≤ Cp,d‖f‖W 1,p(Rd).

(ii) Cas d ≥ 2 et 1 ≤ p < d : c’est une conséquence directe de (3.28) et de l’inégalité deHölder en remarquant que p ≤ p∗ .(iii) Cas p = d ≥ 1 : Supposons d’abord que d = 1. Alors

∀ϕ ∈ D(R), |ϕ(x)| ≤∣∣∣∣∫ x

−∞ϕ′(t)dt

∣∣∣∣ ≤ ‖ϕ‖W 1,1(R)

et donc W 1,1(R) s’injecte continûment dans L∞(R) et donc dans tout espace Lq(R)avec q ∈ [1,+∞].

Suppposons maintenant que p = d ≥ 2. Soit f ∈ D(Rd) , alors par (3.32) : ∀t ≥ 1 ,

‖f‖L

tdd−1 (Rd)

≤ Cp,t‖f‖t−1t

Lp′(t−1)(Rd)

‖∇f‖1t

Lp(Rd)

≤ Cp,t[‖f‖Lp′(t−1)(Rd) + ‖∇f‖Lp(Rd)

](3.34)

où l’on a utilisé l’inégalité de Young ab ≤ 1pa

p + 1p′ b

p′ · Le choix

p′(t− 1) = p i.e. t = p = d

assure‖f‖

Ld2d−1 (Rd)

≤ Cd‖f‖W 1,p(Rd).

On itère alors en appliquant (3.34) sur la suite (tj = d+ j)j≥1 qui tend vers +∞ quandj → +∞.

Remarque. L’injection de Sobolev permet de comparer les échelles Hs et W 1,p , cf Exercice3.17.

8. c’est l’avantage de travailler avec un nombre entier de dérivées...9. raisonner par l’absurde

61

3.2.3 Compacité locale de l’injection de Sobolev

A nouveau l’injection de Sobolev admet une propriété de compacité locale :

Théorème 3.2.1. Soit d ≥ 1 , p ≥ 1 et

p∗ =

pdd−p pour p < d

+∞ sinon.

Alors pour tout 1 ≤ q < p∗ l’injection W 1,p(Rd) → Lqloc(Rd)est compacte.

De manière équivalente, pour toute suite (fn)n∈N bornée dans W 1,p(Rd) , on peut trouverf ∈W 1,p(Rd) et une sous-suite (fφ(n))n∈N telles que :

fϕ(n) → f dans Lqloc(Rd), ∀1 ≤ q < p∗. (3.35)

Pour p > d, la convergence est uniforme sur tout compact de Rd.

Démonstration : Soit (fn)n≥1 une suite bornée de W 1,p(Rd) et R > 0. Montrons qu’onpeut extraire une sous-suite telle que

fϕ(n) → f dans Lq(BR), ∀1 ≤ q < p∗, (3.36)

avec de plus convergence uniforme si p > d .

• Si p > d , l’estimation de Hölder uniforme (3.29) implique que la famille (fn)n≥1 estéquicontinue sur BR , et (3.36) est donc une conséquence directe du Théorème d’Ascoli.• Si p ≤ d , soit q < p∗ . Considérons une approximation de l’identité ζε donnée par(3.19). Admettons provisoirement que

sup‖f‖

W1,p(Rd)≤1‖ζε ? f − f‖Lp(Rd) → 0 quand ε→ 0. (3.37)

Alors Id : W 1,p(Rd) → Lp(BR) est limite uniforme des applications f 7→ ζε ? f qui,par la Proposition 1.1.3 sont compactes de Lp(Rd) → C0(BR) et donc a fortiori deW 1,p(Rd) → Lp(BR). Donc Id : W 1,p(Rd) → Lp(BR) est compacte par la Proposition1.1.2. La convergence (3.35) dans Lploc(R

d) s’obtient maintenant par extraction diagonalesur la suite Rm = m comme pour la preuve du Théorème 3.1.2, puis dans Lq(Rd) pour1 ≤ q < p∗ par Hölder 10 pour 1 ≤ q ≤ p et les injections de Sobolev pour p ≤ q < p∗ .Le raisonnement est similaire pour p > d , et les détails sont laissés au lecteur.Il nous reste donc à démontrer (3.37) pour 1 ≤ p < d . Par changement de variable et(3.18) :

|ζε ? f(x)− f(x)|p =

∣∣∣∣∫Rdζ(y)(f(x− εy)− f(y)) dy

∣∣∣∣p≤

∣∣∣∣∣∫|y|≤2

|f(x− εy)− f(y)| dy

∣∣∣∣∣p

(3.38)

≤ Cp

∫|y|≤2

|f(x− εy)− f(y)|p dy. (3.39)

10. sur un compact fixe

62

Soit alors h ∈ Rd. Pour ϕ ∈ D(Rd) , on calcule :

|ϕ(x+ h)− ϕ(x)|p =

∣∣∣∣∫ 1

0h · ∇ϕ(x+ th) dt

∣∣∣∣p ≤ |h|p ∫ 1

0|∇ϕ(x+ th)|p dt

et donc :∫Rd|ϕ(x+ h)− ϕ(x)|pdx ≤ Cp

∫ 1

0|h|p

∫Rd|∇ϕ(x+ th)|p dx dt ≤ Cp|h|p‖∇φ‖pLp(Rd)

par changement de variable x 7→ x+ th . On en déduit par densité que

∀f ∈W 1,p(Rd), ∀h ∈ Rd,∫Rd|f(x+ h)− f(x)|p dx ≤ Cp|h|p‖f‖pW 1,p(Rd)

.

Nous injectons cette estimation dans (3.38) et obtenons :∫x∈Rd

|ζε ? f(x)− f(x)|p dx ≤ Cp∫x∈Rd

∫|y|≤2

|f(x− εy)− f(y)|p dy

≤ Cp sup|h|≤2ε

∫x∈Rd

|f(x+ h)− f(x)|p dx

≤ Cp|ε|p‖f‖pW 1,p(Rd)

et (3.37) est démontré.

3.2.4 Le cas d’un domaine borné

La théorie s’étend de nouveau de manière élémentaire à un domaine de Rd.

Définition. Soit Ω un ouvert de Rd et 1 ≤ p < ∞ . L’espace W 1,p0 (Ω) est l’adhérence de

D(Ω) pour la norme ‖ · ‖W 1,p(Rd).

Par construction (W 1,p0 (Ω), ‖·‖W 1,p(Rd)) est un sous-espace fermé de (W 1,p(Rd), ‖·‖W 1,p(Rd))

et donc un espace de Banach. Les injections de Sobolev impliquent alors immédiatement :

Théorème 3.2.2 (Kato-Rellich pour W 1,p(Ω)). Soit Ω un ouvert borné de Rd .(i) Pour p > d, l’injection W 1,p

0 (Ω) → C0(Ω) est compacte.

(ii) Pour p = d , pour tout 1 ≤ q <∞, l’injection W 1,p0 (Ω) → Lq(Ω) est compacte.

(iii) Pour 1 ≤ p < d, soit l’exposant critique

p∗ =pd

d− p,

alors pour tout q ∈ [1, p∗] , W 1,p0 (Ω) s’injecte continûment dans Lq(Ω) avec injection

compacte si 1 ≤ q < p∗ .

Enfin on peut comme dans le cas p = 2 retrouver une inégalité de Poincaré :

Théorème (Inégalité de Poincaré). Soit Ω ouvert borné de Rd et 1 ≤ p < ∞. Alors ilexiste C(p,Ω) telle que

∀f ∈W 1,p0 (Ω), ‖f‖Lp(Ω) ≤ C(p,Ω)‖∇f‖Lp(Ω).

La démonstration est très semblable à celle du Théorème 3.1.6 et laissée au lecteur.

63

3.3 Exercices

Exercice 3.1. Démontrer que l’espace S est continûment inclus dans l’espace Hs , et ce pourtout réel s .

Exercice 3.2. Montrer que pour tout réel s, la multiplication par 〈·〉s envoie continûmentl’espace S dans lui-même. Même question pour l’opérateur de dérivation fractionnaire définien (3.8).

Généraliser à l’espace S ′.

Exercice 3.3. Démontrer que, pour toute distribution à support compact u , il existe un réel stel que u appartienne à l’espace de Sobolev Hs .

Exercice 3.4. Démontrer que la constante 1 n’appartient à aucun espace Hs.

Exercice 3.5. Démontrer que la masse de Dirac δ0 appartient à l’espace H−d2−ε pour tout réel

strictement positif ε , mais que δ0 n’appartient pas à l’espace H−d2 . Généraliser aux dérivées

de la masse de Dirac.

Exercice 3.6. Pour s ≤ d/2, montrer que l’ensemble des fonctions test à support dans Rd \0 est dense dans Hs. On pourra étudier l’orthogonal de D(Rd \ 0) et utiliser l’exerciceprécédent.

Exercice 3.7 (Inégalité de Hardy). Dans tout cet exercice, on note R =∑d

i=1 xi∂xi .

(i) Calculer R| · |−2.

(ii) Montrer que pour toute fonction test f supportée dans Rd \ 0 on a∫Rd

|f(x)|2

|x|2dx =

∫Rd

f(x)Rf(x)

|x|2dx+

d

2

∫|f(x)|2

|x|2dx.

(iii) Si d ≥ 3, démontrer l’inégalité de Hardy suivante pour toute fonction f de H1(Rd) :(∫Rd

|f(x)|2

|x|2dx

) 12

≤ 2

d− 2‖∇f‖L2 .

(iv) Que dire si d = 2 ?

Exercice 3.8. Cas critiques des injections de Sobolev.

(i) Montrer que Hd2 (Rd) ne s’injecte pas continûment dans L∞(Rd).

(ii) Dans quels espaces de Sobolev l’espace L1(Rd) s’injecte-t-il continûment ?(iii) Si d ≥ 3, montrer que H1(Rd) n’est pas inclus dans Lp(Rd) pour p > 2d/d− 2.

(iv) En dimension deux, donner un exemple de fonction qui est H1 mais qui n’est pas bornée,et montrer que H1 n’est pas une algèbre.

Exercice 3.9. Soit r ∈]0, 1[. Démontrer que l’espace Hd2

+r(Rd) est continûment inclus dansl’espace de Hölder Cr(Rd) défini dans l’exercice 1.8.

Exercice 3.10. Soit s > 0 et Ω domaine borné de Rd . Montrer qu’il existe une constanteλs(Ω) telle que

∀ϕ ∈ D(Ω), ‖ϕ‖2Hs(Rd)

≥ λs(Ω)‖ϕ‖2L2(Ω).

64

Exercice 3.11. Soit V : Rd → R continue avec lim|x|→+∞ V (x) = 0.

(i) Montrer que pour tout s > 0 , T : u→ V u est compacte de Hs(Rd) dans L2(Rd) .(ii) Soit l’énergie de l’état fondamental de l’opérateur de Schrödinger −∆− V :

Emin = infE(u), u ∈ H1(Rd), ‖u‖L2(Rd) = 1 où E(u) =

∫Rd|∇u|2 −

∫RdV |u|2.

On suppose queEmin < 0.

Montrer que Emin est atteint i.e. :

∃u ∈ H1(Rd) tel que ‖u‖L2(Rd) = 1 et E(u) = Emin,

et que toute suite minimisante converge fortement dans H1(Rd).

Exercice 3.12. Soit Ω un ouvert de Rd de mesure finie.(i) Montrer que l’injection de H1

0 (Ω) dans L2(Ω) est compacte. On pourra, à l’aide de latransformée de Fourier, remarquer que si (gn)n∈N est bornée dans H1

0 (Ω) alors (gn)n∈Nest bornée dans l’ensemble des fonctions continues tendant vers 0 à l’infini.

(ii) En déduire que l’inégalité de Poincaré est encore vraie pour ce type de domaine.(iii) Montrer enfin pour toute fonction u de H1(Ω) l’inégalité de Poincaré-Wirtinger :

‖u− u‖L2 ≤ C‖∇u‖L2

où u désigne la moyenne de u sur Ω.

Exercice 3.13. Soit s un réel de l’intervalle ]0, 1[ . À l’aide de l’égalité de Parseval, démontrerque Hs est l’espace des fonctions u de L2 telles que∫

Rd×Rd

|u(x+ y)− u(x)|2

|y|d+2sdx dy <∞

et qu’il existe une constante C telle que, pour toute fonction u de Hs , on ait

C−1‖u‖2Hs ≤ ‖u‖2L2 +

∫Rd×Rd

|u(x+ y)− u(x)|2

|y|d+2sdx dy ≤ C‖u‖2Hs .

Exercice 3.14. Soit FL1 = u ∈ S ′ / u ∈ L1 .(i) Démontrer que, pour tout réel positif s , le produit est une application bilinéaire continue

de(FL1 ∩Hs

)2 dans(FL1 ∩Hs

).

(ii) En déduire que Hs est une algèbre lorsque s est strictement supérieur à d/2.

Exercice 3.15. Dans tout l’exercice u et v désignent deux éléments de S(Rd).(i) Montrer que ‖uv‖2

Hs+t− d2= J1 + J2 avec

J1 =

∫〈ξ〉2s+2t−d

∣∣∣∣∫2|ξ−η|≤|η|

u(ξ − η)v(η) dη

∣∣∣∣2 dξet J2 =

∫〈ξ〉2s+2t−d

∣∣∣∣∫ |η|2≤|ξ−η|≤|η|

u(ξ − η)v(η) dη

∣∣∣∣2 dξ.65

(ii) On suppose que s < d2 ·

(a) Montrer qu’il existe une constante C ne dépendant que de s et d telle que

∀ξ ∈ Rd,∫

2|ξ−η|≤|η|

∣∣u(ξ − η)∣∣ dη ≤ C‖u‖Hs〈ξ〉

d2−s,

∀η ∈ Rd,∫

2|ξ−η|≤|η|

∣∣u(ξ − η)∣∣ dξ ≤ C‖u‖Hs〈η〉

d2−s.

(b) En déduire l’existence d’une constante C ′ ne dépendant que de s et de d telle que

J1 ≤ C ′‖u‖2Hs‖v‖2Ht .

(iii) Dans cette question, on suppose que (s, t) ∈ R2 vérifie s + t > 0. Montrer qu’il existeune constante C ′′ (ne dépendant que de d et de s+ t) telle que

J2 ≤ C ′′‖u‖2Hs‖v‖2Ht .

(iv) On suppose que s < d2 , t <

d2 et s+ t > 0.

Montrer que l’opérateur de multiplication (u, v) 7→ uv se prolonge en un opérateurbilinéaire continu de Hs ×Ht dans Hs+t− d

2 .

Exercice 3.16. Soit s un réel strictement supérieur à 1/2 . Démontrer que l’application res-triction γ définie par

γ :

D(Rd) −→ D(Rd−1)ϕ 7−→ γ(ϕ) : (x2, · · · , xd) 7→ ϕ(0, x2, · · · , xd)

se prolonge en une application continue de Hs(Rd) dans Hs− 12 (Rd−1) .

Indication : Écrire que

FRd−1ϕ(0, ξ2, · · · , ξd) = (2π)−1

∫Rϕ(ξ1, ξ2, · · · , ξd) dξ1.

Exercice 3.17. Soit d ≥ 1 , 1 ≤ p < d . Soit −sc + d2 = −1 + d

p .

(i) Pour p ≥ 2 , montrer que ∀s ≥ sc , Hs(Rd) ⊂W 1,p(Rd) avec injection continue.(ii) Pour 1 ≤ p ≤ 2 , montrer que ∀s ≤ sc , W 1,p(Rd) ⊂ Hs(Rd) avec injection continue.

Exercice 3.18. On se place en dimension d = 3 .(i) Soit ψ(x) = 1

|x| · Montrer que ψ est une fonction homogène de degré −2 à symétriesphérique. En déduire que

ψ(ξ) =c

|ξ|2

pour une constante universelle c ∈ R∗ .On pourra utiliser le fait que toute distribution supportée en 0 est somme (finie) dedérivées de la masse de Dirac δ0 en 0, et montrer qu’une dérivée d’ordre k de δ0 esthomogène de degré −3− k.

(ii) En déduire en utilisant le Théorème 3.1.4 une preuve élémentaire de l’inégalité de Hardy-Littlewood-Sobolev suivante :

‖ 1

|x|? f‖L6(R3) ≤ C‖f‖L 6

5 (R3).

66

Chapitre 4

Dispersion dans l’équation deSchrödinger linéaire

Dans ce chapitre, on présente un phénomène central en mécanique ondulatoire linéaire : ladispersion, c’est-à-dire la propension d’un paquet d’ondes à s’étaler en espace tout en gardantune énergie totale constante. Cet étalement du paquet d’ondes est dû au caractère dispersif dela propagation : la vitesse de propagation en espace d’un paquet d’onde localisé en Fourier àla fréquence ξ ∈ Rd dépend de ξ. Comme on peut aisément le constater en écrivant la relationde dispersion 1 associée à l’équation de Schrödinger linéaire :

i∂tu+ ∆u = 0, (t, x) ∈ R× Rd, u(t, x) ∈ C, (4.1)

les ondes les plus oscillantes (i.e. de plus grandes fréquences) sont les plus rapides. L’ondelinéaire se décompose donc asymptotiquement en temps en une somme de paquets d’ondesdécorrélés en espace et en fréquence : elle se disperse.

Si le phénomène physique est parfaitement clair, sa traduction en termes mathématiquesest moins évidente. Il a fallu attendre la fin des années 70 avec les travaux de R. Strichartz [32]pour que l’on parvienne à transcrire le phénomène dispersif en inégalités “robustes”. Les travauxoriginaux de R. Strichartz (qui étaient motivés par des problématiques abstraites d’analyseharmonique : les théorèmes de restriction), ont été repris de façon particulièrement efficacedans [15] et ont fourni des méthodes qui ont complètement révolutionné l’analyse non linéairedes EDP dispersives car elles permettent de convertir la dispersion en gain d’intégrabilitéspatiale par moyenne temporelle.

Le but de ce chapitre est de présenter et de démontrer ces inégalités (ou estimations) deStrichartz dans le cadre de l’équation de Schrödinger linéaire.

4.1 Le groupe de l’équation de Schrödinger linéaire

Cette section est dédiée à la résolution de l’équation de Schrödinger linéaire (4.1) pour desdonnés initiales u0 ∈ Hs(Rd) .

4.1.1 Résolution explicite

Commençons par résoudre (4.1) explicitement en Fourier pour des données initiales u0

dans S(Rd) :

1. Ce qui revient à chercher sous quelle condition l’onde monochromatique (t, x) 7→ ei(k·x−ωt) vérifie (4.1) ;on trouve bien sûr ω = |k|2 .

67

Lemme (Résolution explicite en Fourier). Soit u0 ∈ S(Rd) , alors l’unique solution u ∈C∞(R,S(Rd)) de (4.1) est donnée par 2

u(t, x) = S(t)u0 = St ? u0 = F−1(e−it|ξ|2u0(ξ)) (4.2)

avec∀t ∈ R∗, St

déf=

1

(4πit)d2

ei|x|24t et S0

déf= δx=0.

Démonstration : Soit u ∈ C1(R;S(Rd)) solution de (4.1), alors en prenant la transforméede Fourier en x de (4.1), on obtient :

∀(t, ξ) ∈ R× Rd, id

dtu(t, ξ)− |ξ|2u(t, ξ) = 0, u(0, ξ) = u0(ξ),

qui s’intègre explicitement en :

∀(t, ξ) ∈ R× Rd, u(t, ξ) = e−it|ξ|2u0(ξ),

et la formule côté Fourier (4.2) est démontrée. La formule de convolution côté espace estune conséquence immédiate du calcul de la transformée de Fourier des Gaussiennes quenous rappelons ci-après.

Lemme 4.1.1. Pour tout nombre complexe z non nul à partie réelle positive, on a

F(e−z|·|

2)

(ξ) =(πz

) d2e−|ξ|24z

avec z−d2

déf= |z|−

d2 e−i

d2θ si z = |z|eiθ avec θ ∈ [−π/2, π/2] .

Démonstration : Pour tout ξ de Rd , les fonctions

z 7−→∫Rde−i(x|ξ)e−z|x|

2dx et z 7−→

(πz

) d2e−|ξ|24z

sont holomorphes sur l’ensemble D des nombres complexes à partie réelle strictementpositive. La formule classique pour la transformée de Fourier d’une gaussienne nous ditque ces deux fonctions coïncident sur la demi-droite réelle positive privée de l’origine.Donc elles coïncident aussi sur le domaine D .Fixons it avec t 6= 0 et considérons une suite (zn)n∈N de D convergeant vers it. Envertu du théorème de convergence dominée, pour toute fonction φ de S, on a

limn→∞

∫Rde−zn|x|

2φ(x) dx =

∫Rde−it|x|

2φ(x) dx et

limn→∞

(π

zn

) d2∫Rde−|ξ|24zn φ(ξ) dξ =

(π

it

) d2∫Rde−|ξ|24it φ(ξ) dξ.

Vu que

F(e−zn|·|

2)

=( πzn

) d2e−|ξ|24zn ,

2. Dans toute cette section, on convient que u ou Fu désigne la transformée de Fourier en espace, la variabletemporelle t étant vue comme un paramètre.

68

on peut donc écrire, en revenant à la définition de la transformée de Fourier d’une dis-tribution,

〈e−it|·|2 , φ〉 = 〈e−it|·|2 , φ〉

= limn→∞

∫e−zn|x|

2φ(x) dx

= limn→∞

∫e−zn|·|2φdx

= limn→∞

(π

zn

) d2∫e−|ξ|24zn φ(ξ) dξ =

(π

it

) d2∫e−|ξ|24it φ(ξ) dξ,

d’où l’égalité annoncée pour z = it.

Les solutions du problème homogène (4.1) fournissent la solution du problème inhomogènegénéral :

Lemme (Formule de Duhamel). Soit u0 ∈ S(Rd) et f ∈ C0(R;S(Rd)), alors la solutionu ∈ C1(R;S(Rd)) du problème inhomogène

i∂tu+ ∆u = fu|t=0 = u0

(4.3)

est donnée par la formule de représentation de Duhamel :

u(t) = S(t)u0 − i∫ t

0S(t− t′)f(t′) dt′. (4.4)

Démonstration : En Fourier, u est solution si et seulement si

∀t ∈ R, id

dtu(t, ξ)− |ξ|2u(t, ξ) = f(t, ξ), u(0, ξ) = u0(ξ) (4.5)

qui s’intègre explicitement en

u(t, ξ) = e−it|ξ|2u0(ξ)− i

∫ t

0e−i(t−t

′)|ξ|2 f(t′, ξ) dt′,

ce qui en inversant Fourier en espace donne (4.4).

4.1.2 Le groupe de l’équation de Schrödinger

Observons que la représentation explicite (4.2) fait parfaitement sens pour u0 ∈ Hs(Rd)– et même plus généralement pour u0 ∈ S ′(Rd) . La Définition–Proposition suivante est doncune conséquence immédiate de la formule de représentation en Fourier (4.2) et de l’égalité dePlancherel :

Proposition (Semi-groupe sur Hs(Rd)). Soit s ∈ R , on définit pour u0 ∈ Hs(Rd) legroupe de l’équation de Schrödinger sur Hs par

∀t ∈ R, S(t)u0 = St ? u0 = F−1(e−it|ξ|2u0). (4.6)

Alors (S(t))t∈R est un groupe continu d’opérateurs unitaires sur Hs, c’est-à-dire que l’on ales propriétés suivantes :

– Régularité : t→ S(t)u0 ∈ C(R;Hs) .

69

– Isométrie Hs : ‖S(t)u0‖Hs = ‖u0‖Hs .– Propriété de groupe : ∀(t, t′) ∈ R2, S(t)S(t′)u0 = S(t+ t′)u0 et S(0) = Id.– Calcul de l’adjoint : S(t)∗ = S(−t) où l’adjoint est pris au sens de la structure hilber-tienne de Hs .

La propríété fondamentale suivante du groupe de Schrödinger dite de dispersion ponctuelleest une conséquence de la représentation explicite (4.2).

Proposition (Dispersion ponctuelle). Soit t ∈ R∗ et p ∈ [2,+∞] , alors S(t) est unopérateur continu de Lp′ dans Lp et

∀t ∈ R∗, ‖S(t)u0‖Lp ≤1

|4πt|d2

( 1p′−

1p

)‖u0‖Lp′ . (4.7)

Démonstration : Soit t 6= 0 , il suffit par densité d’établir (4.7) pour u0 ∈ S(Rd) , maisalors l’inégalité de Young sur la formule de représentation explicite (4.2) assure :

‖S(t)u0‖L∞ ≤ ‖u0‖L1‖St‖L∞ ≤1

|4πt|d2

‖u0‖L1 . (4.8)

D’un autre côté, par isométrie L2 :

‖S(t)u0‖L2 = ‖u0‖L2 .

Le théorème d’interpolation complexe de Riesz-Thorin donne donc le résultat.

Donnons une conséquence naïve mais néanmoins importante de la propriété de dispersionponctuelle (4.7). Prenons u0 ∈ S(Rd) , alors par isométrie L2 , la masse de la solution estconservée :

‖S(t)u0‖L2 = ‖u0‖L2 .

Pour autant la masse est dispersée localement en espace au sens suivant 3 : soit R > 0 , alors∫|x|≤R

|S(t)u0|2 dx . Rd‖S(t)u0‖2L∞ .Rd

|t|d−→ 0 quand |t| → +∞.

On dit que la masse est dispersée à l’infini. Notons, et c’est une spécificité importante desproblèmes dispersifs, que la vitesse à laquelle la masse est dispersée est intimement liée à larégularité et la décroissance de la donnée initiale. Nous verrons un deuxième exemple illustrantcette propriété au paragraphe suivant.

4.1.3 Solutions faibles

Si la formule du groupe de Schrödinger (4.6) s’étend naturellement à des faibles régula-rités Hs , s ∈ R , les distributions correspondantes demeurent des solutions de l’Őquation deSchrödinger linéaire (4.1) mais seulement au sens des distributions, ou au sens faible – commeintroduit dans [16] :

3. Dans ce qui suit, on notera parfois . au lieu de ≤ C × (. . . ) avec C “constante” ne dépendant que dela dimension d et, éventuellement d’exposants de Lebesgue, suivant le contexte.

70

Définition 4.1.1. On dira qu’une distribution u ∈ C(R;S ′(Rd)) est solution faible du problèmeinhomogène (4.3) si pour tout ϕ ∈ C∞(R;S(Rd)) , on a∫ t

0

⟨u(t′),∆ϕ(t′)− i∂tϕ(t′)

⟩dt′ = −i

⟨u0, iϕ(0)

⟩+ i⟨u(t), ϕ(t)

⟩+

∫ t

0〈f(t′), ϕ(t′)〉 dt′

où 〈·, ·〉 désigne le crochet de dualité entre S ′ et S.

On peut alors très facilement étendre le groupe de Schrödinger comme suit :

Proposition 4.1.1. Si u0 ∈ S ′ alors la distribution définie par

S(t)u0 = F−1(e−it|ξ|

2u0

)= St ? u0 avec St(x) =

1

(4πit)d2

ei|x|24t (4.9)

appartient à C∞(R;S ′) et est solution faible de l’équation de Schrödinger (4.1).

La formule (4.9) montre d’une part l’étalement de la donnée initiale au cours de l’évolutionet d’autre part la propagation à vitesse infinie. En effet, si l’on prend pour u0 la masse deDirac en 0, la formule ci-dessus montre que

u(t) = St pour tout t 6= 0,

donc en particulier u(t) n’est nulle en aucun point de l’espace bien que le support de la donnéeinitiale soit réduit à un point. Inversement, si u0(x) = e−ia|x|

2 alors on a

u(t, ξ) = e−it|ξ|2

(π

ia

) d2

ei|ξ|24a ,

et donc

u( 1

4a

)=( πia

) d2δ0.

Donc le support de la solution au temps 1/(4a) est réduit à un seul point bien qu’il soit égalà Rd entier au temps 0. Cet exemple montre également que la régularité de la solution estétroitement liée à la localisation de la donnée initiale.

Démonstration de la proposition 4.1.1. Soit u(t) = F−1(−eit|ξ|2 u0(ξ)

). Pour ϕ ∈ C∞(R;S),

on note

Iϕ(t)déf=

∫ t

0

⟨u(t′),∆ϕ(t′)− i∂tϕ(t′)

⟩dt′.

Par définition de u , on a

Iϕ(t) =

∫ t

0

⟨F−1

(e−it

′|ξ|2 u0(ξ)),∆ϕ(t′)− i∂tϕ(t′)

⟩dt′,

=

∫ t

0

⟨e−it

′|ξ|2 u0(ξ),F−1(∆ϕ(t′)− i∂tϕ(t′)

)⟩dt′,

= −∫ t

0(2π)−d

⟨u0(ξ), e−it

′|ξ|2 (|ξ|2ϕ(t′,−ξ) + i∂tϕ(t′,−ξ))⟩

dt′.

La théorie classique des distributions nous autorise à permuter l’intégration et l’action de ladistribution u0. On obtient ainsi

Iϕ(t) = −(2π)−d⟨u0,

∫ t

0e−it

′|ξ|2(|ξ|2ϕ(t′,−ξ) + i∂tϕ(t′,−ξ)

)dt′⟩.

71

Sachant que

∂t′(e−it

′|ξ|2iϕ(t′,−ξ))

= e−it′|ξ|2(|ξ|2ϕ(t′,−ξ) + i∂t′ϕ(t′,−ξ)

),

on trouve que∫ t

0e−it

′|ξ|2(|ξ|2ϕ(t′,−ξ) + i∂t′ϕ(t′,−ξ)

)dt′ = ie−it|ξ|

2ϕ(t,−ξ)− iϕ(0,−ξ).

Donc

Iϕ(t) = i(2π)−d〈u0, e−it|ξ|2ϕ(t,−ξ)〉 − i(2π)−d〈u0, ϕ(0,−ξ)〉,

= i〈u(t),F−1ϕ(t)〉 − i〈u0,F−1ϕ(0)〉,

= i〈u(t), ϕ(t)〉 − i〈u0, ϕ(0)〉.

Cela montre que u est bien une solution faible de l’équation de Schrödinger linéaire (S).

On peut de même étendre la validité de la formule de Duhamel (4.4) au cas de solutionspeu régulières ce qui sera pertinent pour résoudre le problème non linéaire, et montrer l’unicitédes solutions faibles du problème linéaire.

Proposition 4.1.2. Si u0 ∈ L2 et f ∈L1loc(R;L2) alors l’équation de Schrödinger (4.3) admet

une unique solution faible u ∈ C(R;L2) qui est donnée par la formule de Duhamel (4.4). Enoutre, la loi d’évolution de la masse est donnée par :

∀t ∈ R, ‖u(t)‖2L2 = ‖u0‖2L2 + 2=m∫ t

0

∫Rdf(τ, x)u(τ, x) dx dτ. (4.10)

Démonstration : Comme l’équation considérée est linéaire, l’unicité est bien sûr une consé-quence de l’égalité à démontrer 4. Supposons dans un premier temps que u0 ∈ S(Rd) etque f ∈ C∞(R;S(Rd)). Alors u ∈ C∞(R;S(Rd)) et on peut prendre u comme fonctiontest dans la définition de solution faible. On obtient ainsi après division par i,

‖u(t)‖2L2 = ‖u0‖2L2 + i

∫ t

0

∫Rdfu dx dτ − i

∫ t

0

∫Rdu(∆u− i∂tu) dx dτ.

On observe que −i∂tu+ ∆u = f , d’où le résultat dans le cas régulier 5.Pour traiter le cas L2, on considère une suite (un0 )n∈N d’éléments de S(Rd) tendantvers u0 dans L2, et une suite (fn)n∈N d’éléments de C∞(R;S(Rd)) tendant vers f dansL1loc(R;L2). Soit un ∈ C(R;L2) la solution associée aux données (un0 , f

n), par la formulede Duhamel. On a pour tout (n,m) ∈ N2,

i∂t(un − um) + ∆(un − um) = fn − fm et (un − um)|t=0 = un0 − um0 .

Donc

‖(un − um)(t)‖L2 ≤ ‖un0 − um0 ‖L2 +

∣∣∣∣∫ t

0‖fn − fm‖L2 dτ

∣∣∣∣.En conséquence (un)n∈N converge fortement dans C(I;L2) pour tout intervalle I bornéde R. Cela permet de passer à la limite dans la définition de solution faible, et de vérifierque l’égalité à démontrer est encore valable pour la limite u de cette suite.

4. En toute rigueur, il faudrait auparavant vérifier que toute solution C(R;L2) satisfait bien cette égalité.5. Cette égalité peut aussi se démontrer côté Fourier en multipliant (4.5) par ¯u puis en prenant la partie

réelle et en intégrant sur [0, t]× Rd.

72

4.2 Estimations espace-temps de Strichartz

Dans cette section, nous présentons les inégalités de Strichartz. La philosophie est de passerd’une estimation de décroissance ponctuelle en temps (à savoir (4.7)) à un gain d’intégrabilitéspatiale après moyenne en temps adéquate. Il s’avère que cette idée simple fournit un cadreredoutablement efficace pour résoudre (NLS) ainsi qu’une information qualitative non trivialesur la régularisation de la solution et l’étalement du paquet d’ondes associé au flot dispersif.

Plus précisément, les estimations de Strichartz reviennent à transformer l’inégalité ponc-tuelle en temps (4.7) en un contrôle en moyenne temporelle de la forme

‖S(t)u0‖LqtLrx ≤ C‖u0‖L2 (4.11)

où la norme de l’espace de Lebesgue espace–temps introduit au premier chapitre est maintenantnotée

‖u‖LqtLrx =

(∫R‖u(t, ·)‖qLrx dt

) 1q

si q est fini, et ‖u‖L∞t Lrx = supt∈R‖u(t)‖Lrx .

Il est clair qu’une estimation telle que (4.11) ne peut être vraie pour tout u0 ∈ L2 et avec lamême constante C que pour certains couples (q, r). Cela peut se voir en faisant agir le groupedes dilatations : pour λ ∈ R∗ , soit u0,λ(x) = u0(λx) alors

S(t)u0,λ = (S(λ2t)u0)λ.

En écrivant que (4.11) doit être vérifiée par u0,λ pour tout λ > 0, un calcul élémentaire laisséau lecteur montre que q et r doivent être liés par la relation

2

q+d

r=d

2· (4.12)

Par ailleurs, cette inégalité met en valeur un “gain d’intégrabilité” par rapport aux injectionsde Sobolev. En effet, le caractère unitaire du groupe de Schrödinger sur Hs nous garantit queu(t) reste dans Hs pour tout temps si u0 est dans Hs. Pour en déduire que u(t) ∈ Lr parinjection de Sobolev, il faudrait donc supposer que s = d/2 − d/r. L’inégalité (4.11) montreque S(t)u0 est dans Lr pour presque tout t même si u0 n’est que dans L2 !

Définition (Paire admissible). On dit qu’un couple (q, r) de [2,∞]2 est admissible si (4.12)est vérifiée et (q, r, d) 6= (2,∞, 2).

On dit qu’il est strictement admissible si de plus d ≥ 3 et (q, r) 6= (2, 2dd−2)·

Nous pouvons maintenant énoncer les inégalités de Strichartz pour l’équation de Schrö-dinger (4.1) :

Théorème (Inégalités de Strichartz).(i) Equation homogène : soit u0 dans L2(Rd) et S(t)u0 ∈ C(R;L2(Rd)) la solution du problèmehomogène :

i∂tu+ ∆u = 0,

u|t=0 = u0.(4.13)

Alors pour tout couple admissible (q, r), il existe une constante C telle que

‖S(t)u0‖Lqt (Lrx) ≤ C‖u0‖L2 . (4.14)

73

(ii) Soit un couple admissible (q2, r2) et f ∈ Lq′2(R;Lr′2(Rd)), alors l’équation de Schrödinger

inhomogène i∂tu+ ∆u = f,

u|t=0 = 0(4.15)

admet une unique solution v dans C(R;L2(Rd)) donnée par la formule de Duhamel, et pourtout couple admissible (q1, r1) , il existe une constante C telle que

‖u‖Lq1t (Lr1x ) ≤ C‖f‖Lq

′2t (L

r′2x ). (4.16)

Démonstration : Nous nous limitons aux couples strictement admissibles et suivons l’ap-proche de [15]. On renvoie à l’article fondateur de M. Keel et T. Tao [19], ou à [2] pourle cas limite

(q, r) =

(2,

2d

d− 2

)et d ≥ 3.

Comme de coutûme, en raisonnant par densité, on peut supposer que toutes les fonctionsconsidérées sont régulières et tendent vers 0 à l’infini. On peut donc finalement se limiterà la démonstration des inégalités (4.14) et (4.16).

Etape 1. Le lemme TT ? .Commençons par un lemme abstrait élémentaire :

Lemme (TT ? ). Soit T un opérateur continu d’un espace de Hilbert H dans un espacede Banach B et T ? : B′ → H l’opérateur adjoint défini par

(T ?x|y)H = 〈x, Ty〉B′,B.

Alors :‖TT ?‖L(B′;B) = ‖T‖2L(H;B) = ‖T ?‖2L(B′;H). (4.17)

Autrement dit, il est équivalent de montrer que T ∈ L(H;B) , que T ? ∈ L(B′;H) ouque TT ? ∈ L(B′;B) .

Démonstration : Par caractérisation de la norme d’un vecteur dans un Hilbert, on a

‖T ?x‖H = sup‖y‖H=1

|(T ?x|y)H|.

Donc‖T ?x‖H = sup‖y‖H=1 |〈x, Ty〉B′,B|,

≤ ‖x‖B′ sup‖y‖H=1 ‖Ty‖B,≤ ‖T‖L(H;B)‖x‖B′ ;

et donc ‖T ?‖L(B′;H) ≤ ‖T‖L(H;B).

De même ‖T‖L(H;B) ≤ ‖T ?‖L(B′;H) puis ‖TT ?‖L(B′;B) ≤ ‖T‖L(H;B)‖T ?‖L(B′;H) parcomposition. Enfin en utilisant à nouveau la structure hilbertienne :

‖T ?x‖2H = (T ?x|T ?x)H = 〈x, TT ?x〉B′,B ≤ ‖x‖2B′‖TT ?‖L(B′;B)

et donc ‖T ?‖2L(B′;H) ≤ ‖TT?‖L(B′;B) et (4.17) est démontrée.

74

Etape 2. Identification de T , T ? et TT ? .Soit (q, r) un couple strictement admissible. D’un point de vue formel, nous allons ap-pliquer le lemme TT ? avec 6

H = L2(Rd), B = Lq(R;Lr(Rd)), B′ = Lq′(R;Lr

′(Rd))

etT : u0 7−→

[t 7→ S(t)u0

].

Notons que l’on a en vertu de S?(t) = S(−t)

〈g, Tu0〉B′,B =

∫R×Rd

g(t, x)S(t)u0(x) dx dt =

∫R

(g(t, ·)|S(t)u0)H dt

=

∫R

(S(−t)g(t, ·)|u0)H dt =

(∫RS(−t)g(t, ·) dt

∣∣∣∣u0

)H

d’où le calcul de l’adjoint :

T ? : ϕ 7−→∫RS(−t′)ϕ(t′) dt′ et TT ? : ϕ 7−→

[t 7→

∫RS(t− t′)ϕ(t′) dt′

].

En particulier, on voit qu’aux bornes d’intégration en temps près, TT ∗f est le terme deDuhamel (4.4) associé à l’équation inhomogène (4.15).

Etape 3. Estimation homogène.L’idée clef est d’estimer la norme de TT ? au lieu de celle de T. Pour cela, on va utiliserl’estimation de dispersion ponctuelle (4.7) comme suit :

‖TT ?g(t)‖Lrx =

∥∥∥∥∫RS(t− t′)g(t′, x) ds

∥∥∥∥Lrx

≤∫R‖S(t− t′)g(t′, x)‖Lrx dt

′

.∫R

1

|t− t′|d2

( 1r′−

1r

)‖g(t′, ·)‖Lr′x dt

′

=

∫R

1

|t− t′|2q

‖g(t′, ·)‖Lr′x dt′

où l’on a utilisé la relation de paire admissible :

d

2

(1

r′− 1

r

)=d

2

(1− 2

r

)=

2

q·

On applique ensuite l’inégalité de Hardy-Littlewood-Sobolev en temps (donc en dimen-sion 1). Cela donne, si 0 < 2/q < 1,∥∥∥ 1

|t|2q

? h∥∥∥Lqt

. ‖h‖Lγt avec 1 +1

q=

1

γ+

2

qet h(t) = ‖g(t, ·)‖Lr′x ·

On en déduit que γ = q′, et donc

‖TT ?g‖LqtLrx . ‖g‖Lr′t L

q′x,

6. Comme d’habitude, on raisonne sur des fonctions régulières à décroissance rapide. La définition de Tet de T ? ne pose alors pas de problème. Par conséquent, seule la norme dans les espaces H, B et B′ nousintéresse.

75

puis, grâce au lemme TT ? :

‖T‖2L(H;B) = ‖T ?‖2L(B′;H) = ‖TT ?‖L(B′;B) <∞ (4.18)

ce qui conclut la démonstration de l’estimation homogène (4.14) dans le cas 2 < q <∞.Mais on notera que si q = ∞ alors r = 2, et donc l’inégalité à démontrer est juste uneconséquence de la conservation de la norme L2 par le groupe de Schrödinger.

Etape 4. Estimation inhomogène.La démonstration de l’estimation inhomogène (4.16) dans le cas d’une même paire(q1, r1) = (q2, r2) = (q, r) est similaire car la formule (4.4) dans le cas u0 = 0 cor-respond à TT ∗ avec intégration restreinte à l’intervalle [0, t]. En effet, la solution v duproblème inhomogène (4.15) vérifie

v(t) = −i∫Rχ(t, t′)S(t− t′)f(t′) dt′

avec

χ(t, t′)déf=

1 si 0 ≤ t′ ≤ t ou t ≤ t′ ≤ 0,

0 sinon.

Comme la fonction χ est bornée par 1, on peut donc écrire

‖v(t, ·)‖Lrx ≤∫R‖S(t− t′)f(t′)‖Lrx ds

et donc comme précédemment les inégalités de dispersion ponctuelle et de Hardy-Little-wood-Sobolev assurent que

‖v‖LqtLrx .

∥∥∥∥∫R

1

|t− t′|2q

‖f(t, ·)‖Lr′x dt′∥∥∥∥Lqt

.

∥∥∥∥ 1

|t|2q

? ‖f(t, ·)‖Lr′x

∥∥∥∥Lqt

. ‖f‖Lq′t L

r′x.

Montrons finalement que‖v‖L∞t L2

x. ‖f‖

Lq′2t L

r′2x

. (4.19)

Pour cela, on utilise la structure de groupe de S(t) : on a

v(t) = −i∫Rχ(t, t′)S(t− t′)f(t′) dt′ = −iS(t)

∫Rχ(t, t′)S(−t′)f(t′) dt′

= −iS(t)T ? (χ(t, ·)f)

et donc en utilisant la conservation L2 pour S(t) et l’estimation homogène (4.18) pourT ?, on obtient pour tout t ∈ R, si (q2, r2) est admissible,

‖v(t)‖L2x

= ‖T ∗ (χ(t, ·)f) ‖L2x

. ‖χ(t, ·)f‖Lq′2t L

r′2x

. ‖f‖Lq′2t L

r′2x

,

d’où (4.19).

L’application linéaire f 7→ v est donc bornée de Lq′2x L

r′2t dans L∞t L2

x∩Lq2t L

r2x . En vertu du

théorème d’interpolation de Riesz-Thorin généralisé (cf Théorème 2.2.2), cet opérateurest donc aussi borné de Lq

′2t L

r′2x dans Lq1t Lr1x pour toutes paires strictement admissibles

(q1, r1) et (q2, r2) telles que q2 ≤ q1 ≤ +∞ .Le cas q2 ≥ q1 s’en déduit par dualité (exercice 4.3). Ceci conclut la preuve du Théorème4.2 pour les couples strictement admissibles. Les cas limites sont beaucoup plus délicats(voir [19]).

76

4.3 Exercices

Exercice 4.1 (Dispersion pour l’équation de transport linéaire). On considère l’équation ditede transport décrivant l’évolution de la densité microscopique f(t, x, v) ∈ R+ de particuleslibres se trouvant en x ∈ Rd à vitesse v ∈ Rd au temps t ∈ R :

(T )

∂tf + v · ∇xf = 0,

f|t=0 = f0.

(i) Dans le cas où f0 = f0(x, v) est une fonction différentiable, calculer l’unique solutiondifférentiable de (T ).

(ii) Si f0 est de plus intégrable, montrer que la masse totale∫Rd×Rd

f(t, x, v) dx dv,

est conservée durant l’évolution.(iii) On définit la densité macroscopique :

ρ(t, x)déf=

∫Rdf(t, x, v) dv.

Montrer que

‖ρ(t, ·)‖L∞ ≤1

|t|d‖ sup

v′f0(·, v′)‖L1 pour tout t 6= 0.

Exercice 4.2 (Equation des ondes). On s’intéresse à l’équation des ondes suivante :

(W )

2u = 0

(u, ∂tu)|t=0 = (u0, u1)

avec 2déf= ∂2

t − ∆ et où la fonction inconnue u = u(t, x) est à valeurs réelles et dépendde (t, x) ∈ R× Rd.(i) Si d = 1 et si les données u0 et u1 sont respectivement C2 et C1, vérifier que toute

solution C2 est donnée par la formule de d’Alembert :

u(t, x) =1

2

(u0(x+ t) + u0(x− t) +

∫ x+t

x−tu1(y) dy

).

Que peut-on dire du phénomène de dispersion dans ce cas-là ?(ii) Si d = 3, on rappelle (voir [16]) que la solution est donnée par

u(t, x) =1

4π

(1

t

∫S(x,t)

u1(σ) dσ +d

dt

(1

t

∫S(x,t)

u0(σ) dσ

))où S(x, t) désigne la sphère de centre x et de rayon t.

En déduire que dans le cas u0 ≡ 0 (pour simplifier), on a

‖u(t)‖L∞ .‖∇u1‖L1

|t|+‖u1‖L1

t2,

et comparer avec l’estimation de dispersion ponctuelle pour Schrödinger.

77

Exercice 4.3. Terminer la démonstration de l’estimation de Strichartz non homogène. Onpourra dans un premier temps démontrer que l’opérateur f 7→ v est continu de L1

t (L2x) dans

Lq1t (Lr1x ) pour tout (q1, r1) strictement admissible en admettant que

‖v‖Lq1t (Lr1x ) = sup

‖φ‖Lq′1t (L

r′1 )

≤1

∫R

∫Rdv(t, x)φ(t, x) dx dt.

Exercice 4.4 (Intégrales oscillantes). Soit a une fonction C∞ à support compact dans R etΦ une fonction de classe C2 telle que pour un nombre c0 > 0 on ait

∀x ∈ Supp a, Φ′′(x) ≥ c0.

Pour tout t ∈ R, on définit l’intégrale oscillante I(t) par

I(t)déf=

∫ReitΦ(x)a(x) dx.

Pour t 6= 0, on définit l’opérateur différentiel Lt agissant sur toute fonction dérivable b par laformule

Ltb(x)déf=

1

1 + t(Φ′(x))2

(b(x)− iΦ′(x)b′(x)).

(i) À l’aide de Lt, montrer que I(t) = I1(t) + I2(t) avec

I1(t)déf=

∫eitΦ(x) iΦ′(x)

1 + t(Φ′(x))2a′(x) dx et

I2(t)déf=

∫eitΦ(x)

1 + t(Φ′(x))2

(1 + iΦ′′(x)− 2i

t(Φ′(x))2Φ′′(x)

1 + t(Φ′(x))2

)a(x) dx.

(ii) En remarquant que pour x ∈ Supp a, on a

1

1 + t(Φ′(x))2≤ 1

c0

Φ′′(x)

1 + t(Φ′(x))2,

montrer que

|I2(t)| ≤ π

2

(1

c0+ 3

)1

|t|12

‖a′‖L1(R).

(iii) En déduire l’existence d’une constante C0 ne dépendant que de c0 et telle que

|I(t)| ≤ C0

|t|12

‖a′‖L1 ·

(iv) Application : On considère l’équation d’Airy (linéarisé de KdV)

∂tu+ ∂3xxxu = 0

avec une donnée initiale u0 intégrable et à transformée de Fourier supportée dans

[−2,−1/2] ∪ [1/2, 2].

78

(a) Vérifier que la norme L2 de la solution est conservée puis, en écrivant que u(t) =kt ? u0 pour une fonction kt adéquate, montrer que

‖u(t)‖L∞ ≤ C|t|−12 ‖u0‖L1 .

Indication : pour faire le lien avec la question précédente, utiliser le fait que si ϕ estune fonction régulière à support dans 1

3 ≤ |ξ| ≤ 3 et valant 1 sur 12 ≤ |ξ| ≤ 2

alors on a u0 = ϕu0.

(b) Quelle estimation de type Lp–Lp′ obtient-on si u0 est supportée dans l’ensemble[−2λ,−λ/2] ∪ [λ/2, 2λ] ?

Exercice 4.5 (Invariance conforme et asymptotique en temps grand).

(i) Soit u(t, x) une solution de (4.1). On cherche une symétrie préservant l’équation, sous laforme

u(t, x) =1

(λ(t))d2

v (s, y)

pour une fonction λ(t) à choisir, et où les variables rescalées temps-espace (s, y) sontdéfinies à une constante près par :

ds

dt=

1

λ2(t), y =

x

λ(t)·

Montrez que u(t, s) satisfait (4.1) si et seulement si v(s, y) satisfait

i∂sv + ∆v + ib

(d

2v + y · ∇v

)= 0 avec b = − 1

λ

dλ

ds·

(ii) On pose v(s, y) = w(s, y)e−ib(s)|y|2

4 , montrez que w(s, y) vérifie :

i∂sw + ∆w +1

4(db

ds+ b2)|y|2w = 0.

(iii) Intégrer le système dynamique

db

ds+ b2 = 0, − 1

λ

dλ

ds= b,

ds

dt=

1

λ2·

On pourra calculer la dérivée de bλ ·

(iv) En déduire que si u(t, x) est solution de (4.1) avec donnée initiale u0(x) , alors la solution

de (4.1) avec donnée initiale u0(x)e−i|x|2

4 se calcule à l’aide de la transformation ditepseudo-conforme suivante :

u(t, x) =1

(1 + t)d2

v

(t

1 + t,

x

1 + t

)ei|x|2

4(1+t) .

(v) En déduire l’asymptotique de u(t, x) quand t → +∞ pour u0 ∈ S(Rd) , et retrouverl’inégalité de dispersion ponctuelle (4.8).

79

80

Chapitre 5

Résolution locale et globale duproblème de Cauchy

Le but de ce chapitre est de résoudre localement ou globalement en temps le problème deCauchy associé à l’équation de Schrödinger non linéaire suivante :

(NLS)

i∂tu+ ∆u+ u|u|p−1 = 0, (t, x) ∈ [0, T )× Rd,u(0, x) = u0(x),

(5.1)

où p est un entier strictement positif donné.

La problématique est la même que pour les EDO : la connaissance de u0 permet-elle dedéterminer u de façon unique sur un petit intervalle de temps ou, éventuellement pour touttemps ?

Une première difficulté, propre aux EDP, est que le choix des normes et des espaces fonc-tionnels (de dimension infinie) où vivent la donnée initiale et la solution conditionnent laréponse à la question.

Dans ce chapitre, nous verrons que les estimations de Strichartz fournissent un cadre fonc-tionnel adapté pour résoudre (NLS). Nous montrerons d’abord comment ces estimations per-mettent d’obtenir des solutions locales, puis nous verrons que les lois de conservation associéesà l’équation permettent l’obtention de résultats d’existence globale ou d’explosion en tempsfini.

Pour simplifier la présentation, nous nous concentrerons sur l’évolution pour les temps posi-tifs. Les résultats obtenus s’étendent sans aucune difficulté supplémentaire aux temps négatifs.

5.1 Le problème de Cauchy local

Le résultat principal de cette section est un théorème de type Cauchy-Lipschitz pour l’équa-tion (NLS) vue comme une EDO autonome sur l’espace H1.

Théorème 5.1.1 (Résolution locale du problème de Cauchy). Soit d ≥ 1 et u0 ∈ H1(Rd).Supposons que l’entier p vérifie

1 < p <

+∞ si d = 1, 2d+2d−2 si d ≥ 3.

(5.2)

Alors il existe un temps T > 0 tel que le problème de Cauchy (NLS) admette une uniquesolution maximale u dans l’espace C([0, T [;H1).

81

En outre, il existe deux constantes strictement positives C et α ne dépendant que de p etde d et telles que

T ≥ C‖u0‖−αH1 .

Enfin, on aT < +∞ implique lim

t→T‖u(t)‖H1 = +∞. (5.3)

En d’autres termes, pour des non linéarités pas trop fortes (c’est ce que traduit l’hypothèse(5.2)), le problème de Cauchy est localement bien posé au sens classique des EDO dans l’espacevectoriel normé de dimension infinie H1 , avec un critère d’explosion (5.3) qui rappelle aussi lecritère classique de sortie de tout compact.

La démonstration du Théorème 5.1.1 dans le cas des exposants généraux est donnée dans[6]. Elle nécessite l’utilisation de toute la gamme des paires de Strichartz admissibles. De cefait, la démonstration est assez technique et n’est pas très agréable en première lecture.

Pour simplifier la présentation, nous nous limitons ici au cas école 1 d = 2 et p = 3. Ladémonstration du cas général repose sur des arguments complètement similaires 2.

5.1.1 Contraction à la Picard

Le principe de la démonstration, dû à Ginibre et Velo [15], est remarquablement élémentaireet robuste, et repose comme le théorème de Cauchy-Lipschitz classique sur le théorème du pointfixe de Picard dans un espace de Banach bien choisi. En effet, grâce à la formule de Duhamel,pour résoudre (5.1), il suffit de trouver un point fixe pour l’application Φ définie (formellementpour l’instant) par

Φ(u)(t, x) = S(t)u0(x) + i

∫ t

0S(t− s)

(u(s, x)|u(s, x)|2

)ds. (5.4)

Toute la difficulté est d’exhiber un espace complet sur lequel Φ soit strictement contractante.Le choix de cet espace sera guidé par les estimations de Strichartz.

Pour alléger la présentation, nous noterons dans la suite pour T > 0,

‖u‖LpTLqxdéf=

(∫ T

0‖u(t, ·)‖pLq dt

) 1p

.

Plus généralement, pour E espace de Banach, nous ferons appel à la notation

‖u‖LpTEdéf=

(∫ T

0‖u(t)‖pE dt

) 1p

.

Rappelons l’inégalité de Hölder généralisée :∥∥∥∥ r∏j=1

uj

∥∥∥∥LpTL

qx

≤r∏j=1

‖uj‖LpjT Lqjx

(5.5)

avec1

p=

r∑j=1

1

p j,

1

q=

r∑j=1

1

q j, 1 ≤ p, q, pj , qj ≤ ∞.

1. et physiquement pertinent2. Voir aussi l’Exercice 5.1 pour une démonstration simplifiée dans le cas d = 1

82

En dimension d = 2 , les paires(∞, 2) et (3, 6)

sont admissibles. De ce fait, la norme de Lebesgue espace-temps suivante :

‖u‖ST = max‖u‖L∞T L2x, ‖u‖L3

TL6x, (5.6)

va jouer un rôle important. Plus précisément, on introduit l’espace de Banach espace-tempssuivant :

XT = u : ‖u‖XT = ‖u‖ST + ‖∇u‖ST <∞.

La clé du théorème 5.1.1 réside dans la proposition suivante :

Proposition 5.1.1 (Contractivité de Φ en temps petit). Il existe des constantes universellesC1, C2 > 1 telles que pour tout u0 ∈ H1 , si

0 < T <C1

‖u0‖3H1

et BT = u ∈ XT : ‖u‖XT ≤ C2‖u0‖H1 (5.7)

alors Φ : BT → BT est strictement contractante sur BT .

Démonstration : Montrons d’abord que Φ est strictement contractante sur BT pour Tsuffisamment petit, c’est-à-dire :

∃k < 1 t.q. ∀(u, v) ∈ BT ×BT , ‖Φ(u)− Φ(v)‖XT ≤ k‖u− v‖XT .

En effet,

Φ(u)(t)− Φ(v)(t) = i

∫ t

0S(t− s)

(u(s, · )|u(s, · )|2 − v(s, · )|v(s, · )|2

)ds,

et donc les estimations de Strichartz inhomogènes et l’inégalité de Hölder généralisée(5.5) avec (p, p1, p2) = (1, 3, 3/2) et (q, q1, q2) = (2, 3, 6) assurent :

‖Φ(u)− Φ(v)‖ST . ‖u|u|2 − v|v|2‖L1TL

2x

. ‖(u− v)(|u|2 + |v|2)‖L1TL

2x

. ‖u− v‖L3TL

6x

(‖|u|2‖

L32T L

3x

+ ‖|v|2‖L

32T L

3x

). ‖u− v‖L3

TL6x

(‖u‖2L3

TL6x

+ ‖v‖2L3TL

6x

). (5.8)

Prenons maintenant une dérivée spatiale de Φ(u) . Notons que S(t) et ∇ commutentdonc

(∇Φ(u)) (t, · ) = S(t)(∇u0) + i

∫ t

0S(t− s)

[∇(u(s, · )|u(s, · )|2)

]ds,

et donc à nouveau les inégalités de Strichartz inhomogènes et de Hölder (5.5) avec(p, p1, p2, p3) = (1, 3, 3, 3) et (q, q1, q2, q3) = (2, 6, 6, 6) assurent :

‖∇Φ(u)−∇Φ(v)‖ST . ‖∇(u|u|2)−∇(v|v|2)‖L1TL

2x

.‖|∇(u− v)|(|u|2+|v|2)‖L1TL

2x+‖|u− v|(|∇u|+|∇v|)(|u|+|v|)‖L1

TL2x

.‖∇(u− v)‖L3TL

6x

(‖u‖2L3

TL6x

+ ‖v‖2L3TL

6x

)+‖u− v‖L3

TL6x

(‖∇u‖L3

TL6x

+ ‖∇v‖L3TL

6x

)(‖u‖L3

TL6x+‖v‖L3

TL6x

).

83

On en déduit donc avec (5.8) l’estimation :

‖Φ(u)− Φ(v)‖XT . ‖u− v‖L3T (L6

x)‖(u, v)‖L3T (L6

x)‖(u,∇u, v,∇v)‖L3T (L6

x)

+‖∇(u− v)‖L3T (L6

x)

(‖u‖2L3

TL6x

+ ‖v‖2L3TL

6x

). (5.9)

L’observation fondamentale est maintenant le caractère “sous-critique” de cette estima-tion 3. Cela va nous permettre de montrer que Φ est une contraction dans BT pour untemps T = T (‖u0‖H1) assez petit. En effet, par injection de Sobolev en dimension d = 2,on a

∀w ∈ H1(R2), ∀p ∈ [2,∞[, ‖w‖Lp . ‖w‖H1 .

Donc‖w‖L3

TL6x. ‖w‖L3

TH1x. T

13 ‖w‖L∞T H1

x. T

13 ‖w‖XT . (5.10)

On en déduit avec (5.9) qu’il existe une constante universelle c1 > 0 telle que :

∀(u, v) ∈ XT ×XT , ‖Φ(u)− Φ(v)‖XT ≤ c1T23(‖u‖2XT + ‖v‖2XT

)‖u− v‖XT . (5.11)

Reste à démontrer que Φ envoie BT dans BT si T est assez petit. Pour cela, on appliquel’inégalité (5.11) avec u, et v ≡ 0. Comme, grâce à l’inégalité de Strichartz homogène,on peut écrire

‖Φ(0)‖XT = ‖eit∆u0‖XT . ‖u0‖H1 ,

on conclut qu’il existe c2 > 0 universelle telle que

∀u ∈ XT , ‖Φ(u)‖XT ≤ c2‖u0‖H1 + c2T23 ‖u‖3XT .

Choisissons alorsC2 = 2c2

dans (5.7), et soit u0 ∈ BT , alors

‖Φ(u)‖XT ≤ c2

(‖u0‖H1 + 8c3

2T23 ‖u0‖3H1

)≤ 2c2‖u0‖H1

dès que

8c32T

23 ‖u0‖2H1 ≤ 1 i.e. T ≤

(1

8c32‖u0‖2H1

) 32

. (5.12)

Pour un tel T la boule fermée BT est donc stable par Φ , et maintenant grâce à (5.11),Φ est lipschitzienne sur BT de rapport

k ≤ 2c1T23C2

2‖u0‖2H1 < 1 pour T <

(1

2c21C

22‖u0‖2H1

) 32

.

Ceci conclut la preuve de la Proposition 5.1.1.

3. qui dans le cas général serait lié à l’hypothèse (5.2)

84

5.1.2 Démonstration du Théorème 5.1.1

Passons maintenant à la démonstration du Théorème 5.1.1.

Démonstration : Etape 1. Existence et régularité d’une solution.Soit u0 ∈ H1 , soit C1, C2 données par la proposition 5.1.1 et

T =C1

2‖u0‖3H1

,

alors le théorème de Picard 4 dans l’espace métrique complet (BT , ‖ · ‖XT ) assure que Φadmet un unique point fixe u dans BT . Montrons que, de plus,

u ∈ C([0, T ];H1). (5.13)

En effet, soit v ∈ C([0, T ];H1) alors, en utilisant la représentation explicite côté Fourier,on montre facilement que

S(t)v ∈ C([0, T ];H1).

Or la formule de Duhamel se réécrit via la propriété de groupe de S(t) :

u = Φ(u) = S(t) [u0 − Φ1(u)(t)] avec Φ1(u)(t) =

∫ t

0S(−s)(u(s)|u(s)|2) ds.

Donc il nous suffit de vérifier que

u ∈ XT implique Φ1(u) ∈ C([0, T ];H1). (5.14)

Or le groupe S(t) étant isométrique sur L2 , on estime grâce à l’injection continue de H1

dans L6 et l’inégalité de Hölder :

‖Φ1(u)(t′)− Φ1(u)(t)‖L2x

=∥∥∥∫ t′

tS(−s)(u(s)|u(s)|2) ds

∥∥∥L2x

≤∫ t′

t‖u|u|2(s)‖L2

xds

. |t− t′|‖u‖3L∞T H1x. |t− t′|‖u‖3XT ,

‖∇Φ1(u)(t′)−∇Φ1(u)(t))‖L2x

.∫ t′

t‖∇(u|u|2)(s)‖L2

xds

.∫ t′

t‖∇u(s)‖L6

x‖u(s)‖2L6

xds

. |t− t′|23 ‖u‖2L∞T H1

x‖∇u‖L3

TL6x

. |t− t′|23 ‖u‖3XT ,

ce qui conclut la preuve de (5.13) et (5.14) 5.

4. voir [17].5. On voit ici que la régularité temporelle de la “fluctuation” non linéaire Φ1(u) est bien meilleure que celle

de S(t)u0 . Ce fait remarquable est une conséquence du caractère sous-critique du problème étudié.

85

Etape 2. Unicité et critère d’explosion.Soit u donnée par l’étape 1 qui est donc une solution u ∈ C([0, T ];H1) du problème deCauchy (5.1). Soit v ∈ C([0, T ];H1) une autre solution. Alors v|v|2 ∈ L1

TL2x par injection

de Sobolev et donc la Proposition 4.1.2 assure que

v = Φ(v).

Or v ∈ L∞T H1x ⊂ L3

TL6x toujours par injection de Sobolev. Donc par (5.8) et (5.10), on a

pour tout T0 ∈]0, T ],

‖u− v‖L3T0L6x

= ‖Φ(u)− Φ(v)‖L3T0L6x

. ‖u− v‖L3T0L6x

(‖u‖2L3

T0L6x

+ ‖v‖2L3T0L6x

). T

23

0 ‖u− v‖L3T0L6x

(‖u‖2L∞T0

H1x

+ ‖v‖2L∞T0H1x

).

Cette dernière inégalité montre que si T0 ∈]0, T ] est suffisamment petit alors

‖u− v‖L3T0L6x≤ 1

2‖u− v‖L3

T0L6x.

En conséquence u = v sur [0, T0]. Un raisonnement standard de connexité (exo : le faire)assure l’unicité sur [0, T ].

Supposons finalement que u ∈ C([0, T [;H1) soit une solution maximale telle que T <+∞. Montrons le critère d’explosion (5.3). Supposons par l’absurde qu’il existe M ≥ 0fini tel que

∀t ∈ [0, T [, ‖u(t)‖H1 ≤M. (5.15)

Alors, par (5.7), pour tout t0 ∈ [0, T [, on peut construire une solution de (NLS) avecdonnée u(t0) en t = t0 sur un intervalle de temps de longueur égale à CM−3 avecC constante universelle (voir (5.12)). Si l’on prend t0 tel que T − t0 < CM−3 alors onobtient ainsi une nouvelle solution définie au-delà du temps T et qui, en vertu du résultatd’unicité, coïncide avec u sur [0, T [. Cela contredit la maximalité de u. Donc (5.15) estfausse.

5.2 Existence globale

Nous posons maintenant la question de l’existence globale des solutions locales en tempsdonnées par le théorème 5.1.1. Remarquons tout d’abord que l’existence des solutions localesest très peu liée à la structure fine de la non linéarité. On peut en fait la remplacer sanstrop de difficulté par n’importe quelle fonction f(u) dès lors que f est suffisamment régulièreet vérifie des hypothèses raisonnables de croissance à l’infini. La situation est sensiblementdifférente quand il s’agit du problème de l’existence globale.

L’objet de cette section est de montrer que la structure algébrique particulière de la nonlinéarité u|u|p−1 permet d’obtenir un résultat optimal et remarquable d’existence globale.

5.2.1 Symétries et lois de conservation

Nous décrivons dans cette section deux faits de structure fondamentaux : l’existence desymétries et de lois de conservation, les deux étant d’ailleurs intimement liés. Commençonspar les symétries. La proposition suivante résulte d’un calcul explicite :

86

Proposition 5.2.1 (Symétrie de (NLS)). Soit u0 ∈ H1 et u ∈ C([0, T [;H1) la solution duproblème de Cauchy (5.1.1). Alors les transformations suivantes de la donnée initiale induisentles transformations de la solution donndes ci-dessous :

– Echelle : ∀λ > 0 , λ2p−1u0(λx) 7→ λ

2p−1u(λ2t, λx) ;

– Translation : ∀x0 ∈ Rd , u0(x+ x0) 7→ u(t, x+ x0) ;– Phase : ∀γ ∈ R , u0(x)eiγ 7→ u(t, x)eiγ ;– Galilée : ∀β ∈ R , u0(x)eiβ·x 7→ u(t, x− 2βt)eiβ·(x−βt) ;

L’invariance d’échelle joue un rôle fondamental dans la description du comportement entemps grand des solutions ou leur possible explosion. Il permet notamment de calculer le scalingde l’équation sur lequel repose le critère d’existence globale.

Définition (Paramètre de scaling). Le scaling associé à (5.1) est l’exposant sc tel que lechangement d’échelle u(t, x)→ uλ(t, x) = λ

2p−1u(λ2t, λx) laisse invariante la norme de Sobolev

homogène Hsc , soit :‖uλ(t)‖Hsc = ‖u(λ2t)‖Hsc .

Explicitement 6,

sc =d

2− 2

p− 1· (5.16)

On dit alors que (5.1) est Hsc critique.

Exemple. Prenons p = 3 . Alors pour d = 2 , sc = 0 , on dit que l’équation est L2–critique.En revanche sc = −1

2 pour d = 1 , l’équation est L2–sous-critique car l’espace critique H−12

est “sous” L2 dans l’échelle Sobolev, et sc = 12 pour d = 3 où l’équation est H

12 critique

donc L2–surcritique. Nous verrons que cette terminologie correspond à un changement decomportement drastique des solutions (voir théorème 5.2.1) 7.

Parallèlement, l’équation (NLS) admet trois lois de conservation liées à sa structure ha-miltonienne.

Proposition 5.2.2 (Lois de conservation). Soit u0 ∈ H1 et u ∈ C([0, T ), H1) la solution duproblème de Cauchy (5.1.1). Alors les trois quantités suivantes sont conservées par le flot :(i) Conservation de la masse :∫

Rd|u(t, x)|2 dx =

∫Rd|u0(x)|2 dx. (5.17)

(ii) Conservation de l’énergie :

E(u(t))déf=

1

2

∫Rd|∇u(t, x)|2 dx− 1

p+ 1

∫Rd|u(t, x)|p+1 dx = E(u0). (5.18)

(iii) Conservation du moment cinétique 8 :

M(u(t))déf= Im

(∫Rd∇u(t, x)u(t, x) dx

)= M(u0). (5.19)

6. Le calcul est élémentaire en passant en Fourier, et laissé au lecteur.7. Schématiquement, et c’est un fait général pour les EDP d’évolution possédant un scaling, il n’est pas

possible de résoudre le problème de Cauchy par point fixe de Picard dans le cas sur-critique, et il est “facile”de le faire dans le cas sous-critique, la compréhension du cas critique étant souvent fortement liée à celle duproblème de l’existence globale.

8. Notez que M(u) est un vecteur de coordonnées Im(∫

∂ju(t, x)u(t, x) dx), 1 ≤ j ≤ d .

87

Ces trois lois de conservation ont une interprétation physique claire : conservation de laprobabilité de présence pour la masse totale et du moment cinétique total pour le moment,et l’énergie E(u) est la somme de l’énergie cinétique totale et de l’énergie potentielle. Notonsle signe − dans l’énergie potentielle qui est la marque du caractère focalisant de l’interactionentre l’onde et son milieu qui s’oppose à la tendance naturelle du faisceau à s’étaler.

Démonstration : Les lois de conservation reposent sur le calcul formel suivant où toutesles intégrales sont posées sur Rd , et pour lequel on rappelle la formule d’intégration parparties pour (u, v) ∈ H1 : ∫

∇u · ∇v dx = −∫

∆u v dx.

Faisons le calcul en supposant que u est régulière et décroissante à l’infini ainsi quetoutes ses dérivées. Pour la masse :

1

2

d

dt

∫|u(t, x)|2 dx

= Re

(∫∂tu(t, x)u(t, x) dx

)= Im

(∫i∂tu(t, x)u(t, x) dx

)= − Im

(∫(∆u+ u|u|p−1)u(t, x)dx

)= Im

(∫|∇u(t, x)|2 dx

)= 0.

Pour l’énergie, on a

d

dtE(u) = Re

(∫∇∂tu · ∇u dx−

∫∂tuu|u|p−1 dx

)= −Re

(∫∂tu

[∆u+ u|u|p−1

]dx

)= − Im

(∫i∂tu

[∆u+ u|u|p−1

]dx

)= Im

(∫|∆u+ u|u|p−1|2 dx

)= 0.

Pour le moment, soit 1 ≤ j ≤ d ,

d

dtM(u) = Im

(∫∂2tjuu dx+

∫∂ju∂tu dx

)= −2 Im

(∫∂tu∂ju dx

)= 2 Re

(∫i∂tu∂ju dx

)= −2 Re

(∫(∆u+ u|u|p−1)∂ju dx

)= 0

où l’on a utilisé la formule d’intégration par parties pour les fonctions nulles à l’infini :

Re

(∫∆u∂ju dx

)= −Re

∑k 6=j

∫∂ku∂

2jku dx

= 0.

Ces trois calculs peuvent se justifier sous la seule hypothèse de régularité u ∈ C([0, T [;H1)modulo un argument de régularisation simple mais fastidieux et qui dépasse le cadre dece cours, le lecteur motivé pouvant consulter [6].

88

Remarque. Nous pouvons maintenant réinterpréter la contrainte (5.2) sur la valeur de p. Soitsc le paramètre de scaling associé à (5.1) :

sc =d

2− 2

p− 1·

Alors (5.2) est équivalente àsc < 1,

c’est-à-dire au fait que (5.1) soit H1–sous-critique. De manière équivalente, (5.2) se lit

p+ 1 <2d

d− 2= 2∗ où H1 → L2∗ pour d ≥ 3

et donc les inégalités de Sobolev assurent que l’énergie E(u) donnée par (5.18) est bien finiepour u ∈ H1 . Il en est de même pour les deux autres lois de conservation, et H1 est doncl’espace de régularité Sobolev minimale pour lequel les trois lois de conservation de (NLS)ont un sens, d’où l’intérêt d’avoir une théorie de Cauchy complète pour cet espace 9. On ditsouvent que H1 est l’espace d’énergie.

5.2.2 Un théorème d’existence globale

Nous pouvons maintenant énoncer le théorème d’existence globale.

Théorème 5.2.1 (Existence globale ou explosion en temps fini). Soit d ≥ 1 et p > 1 satis-faisant (5.2). Soit sc l’exposant de scaling associé donné par (5.16).

(i) Si sc < 0 (i.e. p < 1 + 4d ) alors pour tout u0 ∈ H1 , la solution du problème de Cauchy

(5.1) donnée par le théorème 5.1.1 est globale et bornée dans H1 ; plus précisément,

T = +∞ et supt∈R+

‖u(t)‖H1 ≤ C(u0).

(ii) Si sc ≥ 0 (i.e. p ≥ 1 + 4d ) alors il existe des solutions qui explosent en temps fini.

En d’autres termes, pour des non linéarités suffisamment fortes p ≥ 1 + 4d , le phénomène

de concentration de l’onde induit par le milieu peut aboutir à l’explosion de la solution. Cephénomène correspond à la focalisation ponctuelle du faisceau. Le cas école est l’équation deSchrödinger cubique en dimension d = 2

i∂tu+ ∆u+ u|u|2 = 0

qui a été introduite dans les années 50 pour modéliser la focalisation d’un faisceau laser, et quiest précisément un modèle L2 -critique (sc = 0).

Démonstration : Nous démontrons uniquement la première partie du théorème, relative àl’existence globale. Supposons sc < 0 (i.e. p < 1 + 4

d ). Soit u0 ∈ H1 et u ∈ C([0, T [;H1)la solution maximale de (5.1) donnée par le Théorème 5.1.1. L’existence globale est uneconséquence de la conservation de la masse et de l’énergie qui, couplées avec les inégalitésde Sobolev, induisent une borne uniforme sur ‖u(t)‖H1 , d’où la conclusion avec (5.3).

9. Comme souligné dans l’introduction, lorsque l’on résout une EDP, l’espace dans lequel résoudre n’estpas donné a priori. Le choix d’un espace adéquat pour la résolution du problème de Cauchy est souvent unequestion délicate. En ce qui concerne (NLS) avec p = 3 et d = 2 , on peut donner sens au problème de Cauchypour u0 ∈ L2 seulement, voir Exercice 5.2.

89

En effet, l’inégalité de Gagliardo-Nirenberg (voir chapitre 2) assure que

‖u‖Lp+1 ≤ C‖u‖1−σL2 ‖∇u‖σL2 avec − σ +

d

2=

d

p+ 1·

On injecte cette inégalité dans la conservation de l’énergie pour majorer l’énergie poten-tielle :

E(u0) = E(u) ≥ 1

2‖∇u‖2L2 − C‖u‖(p+1)(1−σ)

L2 ‖∇u‖(p+1)σL2

≥ 1

2‖∇u‖2L2 − C(u0)‖∇u‖(p+1)σ

L2 (5.20)

où l’on a utilisé la conservation de la norme L2 dans la dernière étape. On a maintenant

p < 1 +4

déquivalent à (p+ 1)σ =

d(p− 1)

2< 2.

Donc la fonction x → 12x

2 − C(u0)x(p+1)σ diverge vers +∞ quand x → +∞ , et (5.20)implique une borne uniforme :

∀t ∈ [0, T [, ‖∇u(t)‖L2 ≤ C(u0)

et donc par la conservation de la norme L2 :

∀t ∈ [0, T [, ‖u(t)‖H1 ≤ C(u0).

Le critère d’explosion (5.3) assure maintenant T = +∞.

L’argument d’existence globale que nous avons utilisé ci-dessus s’effondre si p ≥ 1 + 4d · Cela

ne signifie cependant pas nécessairement qu’il existe des solutions explosives dans ce cas, maisseulement que notre méthode est insuffisante.

En fait, de façon générale, la question de l’existence de solutions qui explosent en tempsfini pour les EDP d’évolution non linéaires est encore très mal comprise. Dans un contexte unpeu différent – celui des équations de Navier-Stokes incompressibles en mécanique des fluides,la réponse à cette question vaut 1 million de dollars... 10

Pour (NLS), il existe néanmoins un argument algébrique spectaculaire et complètementélémentaire découvert dans les années 60 dans le cadre de l’optique non linéaire, voir [34], etqui assure l’existence de telles solutions explosives pour p ≥ 1 + 4

d . Nous invitons le lecteurmotivé à s’initier au calcul du viriel via l’exercice 5.4 et à démontrer ainsi la deuxième partiedu théorème ci-dessus.

5.3 Exercices

Exercice 5.1 (Le problème de Cauchy en dimension un).Soit le problème de Cauchy (5.1) en dimension d = 1 avec p ∈ N \ 0, 1. Etant donné

u0 ∈ H1 , montrez que l’application correspondante (5.4) est une contraction sur une boulebien choisie de XT = C([0, T ];H1) muni de la norme ‖ · ‖L∞([0,T ];H1) .

Indication : ne pas utiliser Strichartz mais seulement la propriété d’isométrie L2 de eit∆ etl’injection de Sobolev H1 → L∞ .

10. C’est l’un des 7 problèmes du millenium proposés par la fondation Clay en 2000.

90

Exercice 5.2 (Le problème de Cauchy critique). Soit le problème de Cauchy (5.1) avecd = 2 , p = 3 .

(i) Etant donné u0 ∈ L2 seulement, montrez que l’application correspondante (5.4) est unecontraction sur une boule bien choisie de XT = L∞([0, T ], L2) ∩ L3([0, T ], L6) muni dela norme ‖ · ‖XT = ‖ · ‖ST donnée par (5.6).

(ii) En admettant que la solution de (5.1) ainsi construite vérifie la conservation de la masse(5.17), que devient le critère d’explosion (5.3) ?

(iii) Montrer quasi ‖u0‖L2 est assez petit alors la solution est globale.

Exercice 5.3 (Existence globale défocalisante).Soit d ≥ 1 et p vérifiant (5.2). Montrez que pour tout u0 ∈ H1 , il existe une unique

solution u ∈ C(R+;H1) du problème de Cauchy :

(NLS) défocalisanti∂tu+ ∆u− u|u|p−1 = 0, (t, x) ∈ [0, T )× Rd,u(0, x) = u0(x).

Exercice 5.4 (Viriel et explosion en temps fini).

(i) Soit u dans S(Rd). Soit λ > 0 et uλ(x) = λd2u(λx). Calculez ‖∇uλ‖2L2 en fonction de

λ . En dérivant la relation obtenue en λ = 1 , montrez l’identité de Pohozaev :

−Re

(∫∆u

[d

2u+ x · ∇u

]dx

)=

∫|∇u|2 dx.

(ii) Soit Σ = H1∩xu ∈ L2 , on admet 11 que si u0 ∈ Σ , alors la solution maximale de (5.1)donnée par le Théorème 5.1.1 vérifie u ∈ C([0, T [; Σ) . Montrez –sans chercher à justifierles intégrations par parties– les deux formules suivantes :

d

dt

∫|x|2|u(t, x)|2 dx

= 4 Im

(∫x · ∇uu dx

),

1

2

d

dt

Im

(∫x · ∇u u dx

)= Re

(∫i∂tu

[d

2u+ x · ∇u

]dx

),

=

∫|∇u|2 dx− d(p− 1)

2(p+ 1)

∫|u|p+1 dx.

(iii) Si sc ≥ 0 (i.e. p ≥ 1 + 4d ), en déduire l’inégalité dite du viriel sur la variance de u :

d2

dt2

∫|x|2|u(t, x)|2 dx ≤ 4d(p− 1)E(u0).

(iv) Toujours si sc ≥ 0 , montrez qu’il existe des fonctions u0 ∈ Σ avec E(u0) < 0 . Enconsidérant le comportement de la variance d’une telle solution, montrez que la solutionmaximale correspondante de (5.1) donnée par le Théorème 5.1.1 doit exploser en tempsfini.

Exercice 5.5 (Borne inférieure du scaling).

11. On peut aussi le démontrer via un argument simple de localisation en espace

91

Soit u0 ∈ H1 et u ∈ C([0, T [;H1) la solution de (5.1) donnée par le Théorème 5.1.1. Soitsc le scaling associé donné par (5.16) avec 0 ≤ sc < 1. On suppose que T < +∞ . Montrezqu’il existe une constante C(u0) telle que pour t proche de T ,

‖∇u(t)‖L2 ≥C(u0)

(T − t)1−sc

2

·

Indication : Etant donné t fixé, on raisonnera sur la solution v(τ, x) de (5.1) de donnée initialev(0, x) = (λ(t))

2p−1u(t, λ(t)x) pour un λ(t) bien choisi.

92

Chapitre 6

Existence d’ondes solitaires

Considérons l’équation de Schrödinger non linéaire (5.1) en dimension d ≥ 1 . Etantdonné u0 ∈ H1(Rd) , le théorème 5.1.1 assure l’existence d’une unique solution maximaleu ∈ C([0, T [;H1) avec T = +∞ si p < 1 + 4

d . La question naturelle est maintenant la sui-vante : à quoi ressemble la solution quand t→ +∞ ?

Nous connaissons la réponse dans le cas linéaire : toutes les solutions se dispersent verszéro à une vitesse qui dépend de la régularité de la donnée initiale. La situation s’avère trèsdifférente pour le problème non linéaire (NLS) qui a des solutions du type ondes solitairespériodiques (ou solitons) non triviales qui, manifestement, ne tendent pas vers 0 quand t tendvers +∞ mais sont au contraire propagées sans déformation par le flot. On conjecture en faitqu’une solution générale de (NLS) se décompose en temps grand en un train de solitons et unepartie dispersive qui étale son paquet d’ondes. A l’heure actuelle, ce résultat est cependantencore hors de portée. Décrire les propriétés qualitatives fines d’un système hamiltonien dedimension infinie comme (NLS), qui est pourtant un des plus simples que l’on puisse écrire,est un problème difficile !

Jusqu’à la fin du cours, nous allons donc restreindre notre analyse à des solutions prochesdes solutions particulières de type ondes solitaires, et chercher à montrer que dans ce cas ladynamique non dispersive est stable en un sens que nous allons préciser.

Dans ce chapitre, nous allons montrer que (NLS) admet des ondes solitaires périodiquesdu type

u(t, x) = Q(x)eit

avec Q vérifiant

∆Q−Q+Q|Q|p−1 = 0, Q ∈ H1(Rd). (6.1)

Pour résoudre l’équation elliptique ci-dessus, nous allons mettre en œuvre dans un cadre simpledes techniques variationnelles classiques. Les solutions Q seront obtenues en résolvant unproblème de minimisation sous contrainte adéquat.

6.1 Le cadre variationnel

Dans cette section, nous introduisons le cadre fonctionnel qui va nous permettre d’étudier(6.1), puis nous résolvons un problème de minimisation lié à cette équation.

93

6.1.1 L’espace H1r

Plaçons-nous en dimension d ≥ 2 et considérons l’espace H1r des fonctions de H1(Rd;C)

qui sont radiales (ou à symétrie sphérique), c’est-à-dire telles que

u(x) = u(Rx), ∀R ∈Md(R) avec RtR = Id,

ou de manière équivalente

u(x) ≡ u(r) avec r = |x| =( d∑i=1

x2i

) 12

et u : R+ → C.

L’ensemble H1r peut être aussi vu comme le complété des fonctions radiales de C∞c (Rd) pour

la norme

‖u‖2H1 =

∫Rd

(|∇u(x)|2 + |u(x)|2

)dx = cd

∫ +∞

0

(|∂ru(r)|2 + |u(r)|2

)rd−1 dr

où cd est l’aire de la sphère unité de Rd . Dans la suite, nous identifierons systématiquementu : Rd → C et son représentant u : R+ → C .

Lemme (Regularité et décroissance dans H1r ). Soit d ≥ 2 et u ∈ H1

r , alors u est dans l’espacede Hölder C

12 (]0 +∞[;C) défini dans l’exercice (1.8) et

‖rd−1

2 u‖L∞ . ‖u‖H1 . (6.2)

Démonstration : Soit φ ∈ C∞c (Rd) à symétrie sphérique. Alors

φ2(r) = −2

∫ +∞

rφ(τ)φ′(τ) dτ.

Donc, par l’inégalité de Cauchy-Schwarz,

φ2(r) ≤ 2rd−1

∫ +∞

r|φ(τ)φ′(τ)|τd−1 dτ,

. 1rd−1 ‖∇φ‖L2(Rd)‖φ‖L2(Rd),

d’où (6.2).

De même, pour 0 < r1 ≤ r2 < +∞ ,

|φ(r1)− φ(r2)| = 2

∣∣∣∣∫ r2

r1

φ′(τ)dτ

∣∣∣∣ . 1

rd−1

21

‖φ‖2H1(r2 − r1)12

où l’on a utilisé l’inégalité de Cauchy-Schwarz dans la dernière étape. Le lemme s’ensuitpar densité.

Un corollaire important est la compacité des injections de Sobolev radiales 1 :

Proposition 6.1.1 (Compacité de H1r dans Lp , 2 < p < pc ). Soit d ≥ 2 et

pcdéf=

+∞ pour d = 2,2dd−2 pour d ≥ 3.

Alors pour tout 2 < p < pc , l’injection H1r → Lp est compacte.

1. Rappelons que ce résultat de compacité est faux pour des fonctions non radiales, du fait de l’invariancepar translation des espaces de Sobolev.

94

Démonstration : Soit u ∈ H1r et 2 < p < pc , alors (6.2) implique∫

|x|≥R|u|p dx ≤

‖rd−1

2 u‖p−2L∞

R(p−2)(d−1)

2

∫Rd|u|2 dx .

1

R(p−2)(d−1)

2

‖u‖pH1 . (6.3)

Considérons maintenant une suite bornée (un)n∈N de H1r (Rd). Le calcul précédent mon-

tre que (un)n∈N est Lp–étroite c’est-à-dire que

∀ε > 0, ∃R > 0, ∀n ≥ 1, ‖un‖Lp(|x|≥R) < ε. (6.4)

Par ailleurs, en vertu du théorème 3.1.2, il existe u ∈ H1(Rd) telle que, quitte à extraire,on ait

un → u dans Lp(|x| ≤ R), ∀R > 0.

En combinant avec (6.4), il est alors facile de conclure que (toujours à extraction près),

un → u in Lp(Rd).

Enfin u ∈ H1r par préservation de la symétrie radiale par passage à la limite.

Remarque. L’injection H1r → L2 n’est jamais compacte, le contre-exemple canonique étant la

suite évanescenteun(r) = λ

d2nU(λnr), λn → 0

pour un profil fixe radial U ∈ C∞c non nul. On vérifiera facilement que un 0 dans H1 maisque ‖un‖L2 = ‖U‖L2 6= 0, et donc il ne peut y avoir convergence forte L2 pour une sous-suite.

6.1.2 Un problème de minimisation compacte sur H1r

Grâce à la compacité des injections de Sobolev, nous allons maintenant pouvoir montrerl’existence d’un minimiseur pour des fonctionnelles non linéaires naturelles en physique ma-thématique. Nous laissons de côté le cas de la dimension d = 1 pour lequel l’existence d’ondessolitaires résulte d’un calcul explicite -cf Exercice 6.1. En dimension d ≥ 2, l’existence vadécouler d’une caractérisation variationnelle, nettement plus délicate.

Proposition 6.1.2 (Minimisation compacte). Soit d ≥ 2 et p > 1 vérifiant (5.2). Pour toutM > 0 , notons

AM =

u ∈ H1

r avec∫Rd|u|p+1 dx = M

·

Alors le problème de minimisation

IM = infu∈AM

‖u‖2H1

(6.5)

admet une solution uM dans AM .

Démonstration : La quantité à minimiser étant positive, on peut considérer une suiteminimisante (un)n∈N de AM telle que

‖un‖2H1 → IM ≥ 0.

La suite (un)n∈N est radiale et bornée dans H1 , donc par la proposition 6.1.1, (un)n∈Nconverge dans Lp+1 à extraction près. Donc il existe u ∈ H1

r telle que :

un → u dans Lp+1 et un u dans H1.

95

Par semi-continuité inférieure de la norme par passage à la limite faible

‖u‖2H1 ≤ lim infn→+∞

‖un‖2H1 = IM

et par limite forte Lp+1 :

‖u‖p+1Lp+1 = lim

n→+∞‖un‖p+1

Lp+1 = M.

Donc u ∈ AM et ‖u‖2H1 ≤ IM , donc l’infimum est atteint en u.

6.2 Etude des minimiseurs

Nous allons maintenant classifier les minimiseurs donnés par la proposition 6.1.2 et montrerque ce sont des ondes solitaires.

6.2.1 Positivité d’un minimiseur

Lemme 6.2.1 (Positivité). Si u ∈ AM est un minimiseur de (6.5), alors |u| aussi.

Ce lemme est un conséquence directe de la propriété de convexité suivante de la fonction-nelle de Dirichlet :

Lemme 6.2.2 (Inégalité de convexité pour le gradient). Soit u ∈ H1(Rd;C) , alors |u| ∈H1(Rd;R+) et ∫

|∇u|2 dx ≥∫|∇|u||2 dx. (6.6)

En outre, si u−1(C \ 0) est un ouvert connexe alors on a égalité si et seulement si il existeγ ∈ R tel que u = |u|eiγ .

Démonstration : Décomposons u en partie réelle et imaginaire u = f + ig. Alors 2

∇|u| = ∇√f2 + g2 =

f∇f + g∇g√f2 + g2

·

Et donc ∫|∇|u||2 dx =

∫|f∇f + g∇g|2

f2 + g2dx

=

∫1

f2 + g2

[f2|∇f |2 + g2|∇g|2 + 2fg∇f · ∇g

]dx

=

∫|∇f |2 dx+

∫|∇g|2 dx−

∫|g∇f − f∇g|2

f2 + g2dx,

d’où (6.6).

Supposons maintenant |u| ∈ H1(RN ;R∗+) avec égalité dans (6.6). Alors

pp x ∈ Rd, f∇g = g∇f. (6.7)

2. Afin de justifier cette formule, il faudrait faire appel à un argument de régularisation, voir [24], page 152.

96

Si les fonctions f et g sont continues, alors les hypothèses de l’énoncé assurent queg−1(R \ 0) ∪ f−1(R \ 0) est un ouvert connexe. En conséquence, on peut supposerque g ne s’annule pas dans le raisonnement qui suit. Soit alors φ ∈ C∞c (Rd) , alors

h =φ

g∈ H1(Rd) et ∇h =

∇φg− ∇g

g2φ.

On peut donc écrire ∫f

g∇φdx =

∫f∇(φ

g

)dx+

∫fφ∇gg2

dx,

=

∫f∇h dx+

∫hf∇gg

dx,

=

∫f∇h dx+

∫h∇f dx = 0

en vertu de (6.7). Ceci étant vrai ∀φ ∈ C∞c (Rd) , on en déduit que

∇(f

g

)= 0

au sens des distributions, et donc f/g est constante.

6.2.2 Equation d’Euler-Lagrange

Nous sommes donc ramenés via le Lemme 6.2.1 à classifier les minimiseurs u ∈ H1r (Rd;R+) .

Montrons maintenant la propriété fondamentale des minimiseurs qui est l’analogue en dimen-sion infinie du théorème des extrema liés.

Proposition 6.2.1. Soit u ≥ 0 minimiseur de (6.5), alors ∃λ ∈ R tel que

∆u− u = −λup. (6.8)

En outre,

λ =IMM

> 0. (6.9)

Démonstration : On peut appliquer le théorème de minimisation sous contrainte (dansles Banach de dimension infinie) après avoir vérifié que les fonctionnelles en jeu dans leproblème (6.5) sont bien C1, ou faire un calcul “à la main”. C’est ce que nous proposonsci-dessous :Etape 1. Différentiabilité.Soit t ∈ R et h ∈ C∞c (Rd;R) radiale, posons

ut = u+ th.

Alors en appliquant l’estimation d’homogénéité∣∣|1 + z|p+1 − 1− (p+ 1)z∣∣ . |z|2 + |z|p+1, ∀z ∈ R,

(qui se démontre en observant que les deux membres ont le même comportement près de0 et à l’infini), à z = th/u, après multiplication des deux membres par up+1, on obtient∣∣∣∣∫ |u+ th|p+1 dx−

∫up+1 dx− (p+ 1)

∫thup dx

∣∣∣∣ . t2∫h2up−1 dx+tp+1

∫|h|p+1 dx.

97

On en déduit par Hölder puisque h est à support compact :∫|ut|p+1 dx =

∫|u|p+1 dx+ (p+ 1)t

∫hup dx+ o(t) quand t→ 0. (6.10)

Supposons maintenant h choisi de sorte que∫hup dx = 0,

et posons

vt =M

1p+1

‖ut‖Lp+1

ut, (6.11)

alors (6.10) et ‖u‖Lp+1 = M1p+1 impliquent

vt = ut(1 + o(t)) quand t→ 0

et donc en développant la norme :

‖vt‖2H1 = (1 + o(t))

[‖u‖2H1 + 2t

∫(∇u · ∇h+ uh) dx+ t2‖h‖2H1

]= ‖u‖2H1 − 2t

∫(∆u− u)h dx+ o(t) quand t→ 0 (6.12)

après une intégration par parties. Or vt ∈ Am par (6.11), donc u étant un minimiseur :

∀t, ‖vt‖2H1 ≥ ‖u‖2H1

ce qui avec (6.12) implique : ∫(∆u− u)h dx = 0. (6.13)

Etape 2. Multiplicateur de Lagrange.On déduit de l’étape 1 que pour tout h ∈ C∞c (Rd) radial,∫

hup dx = 0 implique∫

(∆u− u)h dx = 0.

Soient alors les formes linéaires sur l’espace de Hilbert H1r définies par

L1(h) =

∫hup dx, L2(h) =

∫(∆u− u)h dx, (6.14)

alors L1, L2 sont continues 3 et par densité de C∞c (Rd) radial dans H1r , on en déduit :

KerL1 ⊂ KerL2.

Soit a ∈ H1r tel que L1(a) 6= 0 et x ∈ H1

r . On écrit

x =L1(x)

L1(a)a+ z avec z =

(x− L1(x)

L1(a)a

).

Clairement, z ∈ KerL1 ⊂ KerL2. Donc

L2(x) =L2(a)

L1(a)L1(x).

Donc L1 et L2 sont proportionnelles ce qui, vu leur définition (6.14) implique (6.8).

3. Montrez-le.

98

Etape 3. Calcul du multiplicateur de LagrangeNous allons maintenant calculer explicitement le multiplicateur de Lagrange λ dans (6.8)et montrer qu’il ne dépend pas du minimiseur u choisi. Dans bien des problèmes deminimisation, cette étape est redoutable et très mal comprise. Dans notre cas, elle est trèssimple grâce au choix d’une contrainte portant sur

∫f(u) dx avec f fonction homogène.

En effet, à l’aide de la dualité 〈·, ·〉H−1×H1 sur (6.8), on calcule

−∫|∇u|2 dx−

∫|u|2 dx = 〈∆u− u, u〉H−1,H1 = −λ

∫|u|p+1 dx = −λM,

ce qui démontre (6.9) puisque u est un minimiseur.

6.2.3 Régularité et unicité des minimiseurs

Nous allons maintenant obtenir la classification complète de la famille des minimiseurs.Remarquons tout d’abord que si u vérifie (6.8) avec λ = λ(M) > 0 d’après (6.9), alors

v =

(1

λ

) 1p−1

u

vérifie∆v − v + vp = 0, v ≥ 0. (6.15)

On est donc ramené à classifier les solutions positives dans H1r de (6.15).

Notons que l’équation (6.15) est à comprendre au sens des distributions ou dans H−1

puisque v ∈ H1r . Commençons par montrer que v est en fait régulière et donc une solution

classique :

Lemme 6.2.3 (Régularité). La solution v de (6.15) appartient à C2(Rd) et il existe a > 0 telque v soit l’unique solution sur R+ du problème de Cauchy :

d2v

dr2+d− 1

r

dv

dr= v − vp,

v(0) = a,dv

dr(0) = 0.

(6.16)

Démonstration : La preuve repose sur un argument de bootstrap via l’effet régularisant dulaplacien.

Etape 1. Régularité hors de l’origine.Soit χ ∈ C∞(Rd) une fonction de troncature radiale à support compact ne rencontrantpas l’origine. Soit w = χv. Alors w vérifie :

∆w − w = f avec f = −χvp + 2∇χ · ∇v + v∆χ.

Or v ∈ L∞(Suppχ) par (6.2) et donc

f ∈ L2(Rd).

En passant en Fourier, on en déduit

w(ξ) = − f(ξ)

1 + |ξ|2

99

et donc w ∈ H2(Rd) . Ceci implique w ∈ C1(Rd\0) en appliquant (6.2) à ∂rw . On peutmaintenant réitérer le processus et considérer l’équation vérifiée par ∂rw et conclure àw ∈ H3(Rd) et donc par radialité : w ∈ C2(Rd\0) . Donc v ∈ C2(Rd\0) et donc vvérifie (6.15) au sens fort sur ]0,+∞[ :

∀r > 0,d2v

dr2+d− 1

r

dv

dr= v − vp. (6.17)

Etape 2. Régularité à l’origine et conclusion.Un argument similaire que nous omettons car reposant sur une classe élargie d’injectionsde Sobolev assure que u est C2 à l’origine. On déduit donc de (6.17) et de la bornitudeC2 que

v′(r)→ 0 quand r → 0

et donc v vérifie (6.16) avec a > 0 (le cas a = 0 entraînant v ≡ 0, ce qui est exclupuisque M > 0).Le fait que le problème de Cauchy (6.16) soit localement bien posé se voit aisément enremarquant que

d2v

dr2+d− 1

r

dv

dr=

1

rd−1

d

dr

(rd−1dv

dr

)et en résolvant par point fixe dans C1([0, R]) , R = R(a) > 0 assez petit, l’équationintégrale corresponsante :

v(r) = a+

∫ r

0

(ds

sd−1

∫ s

0τd−1f(v(τ))dτ

)avec f(v) = v − vp.

Décrire les solutions positives dans H1r de l’équation aux dérivées partielles (6.15) revient

donc à décrire les solutions du système dynamique (6.16) qui est de dimension 1 mais dépenddu paramètre de shooting a . On peut essentiellement tracer le portrait de phase correspondantet obtenir le résultat de rigidité suivant démontré en 1987 par Kwong [22] puis simplifié parla suite par MacLeod [26], le lecteur motivé pouvant consulter l’appendice de [33] pour unedémonstration particulièrement élégante :

Théorème 6.2.1 (Unicité au sens des systèmes dynamiques). Il existe une unique valeura > 0 telle que la solution correspondante v(r) de (6.16) vérifie

∀r > 0, v(r) ≥ 0

et la condition aux limitesv(r)→ 0 quand r → +∞. (6.18)

En outre,∀r ≥ 0, v(r) > 0. (6.19)

On notera Q(r) cette solution : c’est l’état fondamental de (6.16).

Notons que la positivité stricte (6.19) est une conséquence directe du théorème de Cauchy-Lipschitz : si Q(r0) = 0 , alors Q′(r0) = 0 car Q est positive, et donc Q ≡ 0. Cette propositionest en fait triviale en dimension d = 1 où l’équation (6.16) se résout explicitement, cf Exercice6.1.

100

6.2.4 Classification des minimiseurs

Récapitulons. Soit u ∈ H1r un minimiseur de (6.5), alors |u| est un minimiseur positif par

le lemme 6.2.1. Puis par la proposition 6.2.1,

vdéf=

(1

λ

) 1p−1

|u|, λ =IMM

est solution de∆v − v + vp = 0, v ≥ 0, v ∈ H1

r .

Donc par le lemme 6.2.3, v est une solution forte positive de (6.16). En outre, v ∈ H1r implique

v(r)→ 0 quand r → +∞

par (6.2), et donc le théorème 6.2.1 implique

v(r) = Q(r).

Donc |u| est continu et ne s’annule pas, et u et |u| étant tous deux minimiseurs, on est dansle cas d’égalité du Lemme 6.2.2, et donc

u = |u|eiγ , γ ∈ R.

Nous avons donc démontré :

Proposition 6.2.2 (Existence et unicité des minimiseurs). Soit M > 0, d ≥ 2 et

AM =

u ∈ H1

r avec∫Rd|u|p+1 dx = M

·

Le problème de minimisationIM = inf

u∈AM

‖u‖2H1

a pour ensemble de solutions la famille à un paramètre de fonctions

eiγ(M

IM

) 1p−1

Q(r), γ ∈ R

où Q est l’état fondamental donné par le théorème 6.2.1.

6.3 Exercices

Exercice 6.1 (Calcul de l’état fondamental en dimension 1). Soit 1 < p <∞ .

(i) Montrer que pour tout a ∈ R+ , il existe une unique solution locale u ∈ C1([0, R[;R) del’ODE non linéaire :

Q′′ −Q+Qp = 0,

Q(0) = a, Q′(0) = 0.

(ii) Exhiber une intégrale première de ce système dynamique (on multipliera par Q′ ).

101

(iii) Montrer qu’il existe au plus une solution globale non triviale Q tendant vers 0 en +∞,puis que cette solution vérifie

∀x > 0, Q(x) > 0 et Q′(x) < 0.

3) En déduire via le changement de variable y = 1

Qp−1

2

la formule :

Q(x) =

p+ 1

2 cosh2(p−1

2 x) 1

p−1

.

Exercice 6.2 (Constante optimale dans Gagliardo-Nirenberg). On se place en dimension d = 2avec p = 3 . Soit la fonctionnelle

J(u) =‖∇u‖2L2‖u‖2L2

‖u‖4L4

·

(i) Montrez queJ = inf

u∈H1r \0

J(u) > 0.

(ii) Soituλ(x) = λu(λx),

montrez queJ(uλ) = J(µu) = J(u), ∀(λ, µ) ∈ R∗+ × R.

(iii) Soit (un)n∈N une suite minimisante. Montrez qu’on peut choisir (λn, µn) tels que

vn = µn(un)λn

soit une autre suite minimisante avec

‖vn‖L4 = ‖vn‖L2 = 1.

(iv) Montrez que l’on peut extraire de (vn)n∈N une sous-suite qui converge fortement dansH1 vers une limite v qui atteint l’infimum.

(v) Dans cette question uniquement, on travaille en dimension d quelconque. Soit λ > 0 etuλ(x) = λ

d2u(λx) , calculez ‖∇uλ‖2L2 en fonction de λ . En dérivant la relation obtenue

en λ = 1 , en déduire l’identité de Pohozaev :

−Re

(∫∆u

[d

2u+ x · ∇u

]dx

)=

∫|∇u|2 dx.

(vi) Soit Q l’état fondamental du théorème 6.2.1. En multipliant l’équation (6.15) par Q +x · ∇Q et en utilisant l’identité de Pohozaev, montrez que

1

2‖∇Q‖2L2 =

1

4‖Q‖4L4 .

(vii) Soit v un minimiseur de J . Montrez que |v| est un minimiseur. Montrez qu’on peuttoujours trouver (λ, µ) ∈ R∗+ × R∗+ tels que u = µ|v|λ soit un minimiseur et vérifie :

u ≥ 0, ‖u‖L2 = ‖Q‖L2 , ‖u‖L4 = ‖Q‖L4 (6.20)

où Q est l’état fondamental du théorème 6.2.1.

102

(viii) Soit u un minimiseur vérifiant (6.20). Soit h ∈ C∞c (R2;R). Calculer

d

dtJ(u+ th) en t = 0.

En déduire que u vérifie l’équation

∆u

‖∇u‖2L2

− u

‖u‖2L2

+ 2u3

‖u‖4L4

= 0

puis queu ≡ Q.

(ix) Montrez que

J =1

2‖Q‖2L2

et décrire la famille des minimiseurs de J . En déduire l’inégalité fonctionnelle :

∀u ∈ H1r , E(u) =

1

2

∫|∇u|2 dx− 1

4

∫|u|4 dx ≥ 1

2

(1−‖u‖2L2

‖Q‖2L2

)∫|∇u|2 dx.

(x) Soit u0 ∈ H1r avec ‖u0‖L2 < ‖Q‖L2 , montrez que la solution u de (NLS) avec donnée

initiale u0 et d = 2 , p = 3 , est définie globalement (i.e. u ∈ C(R+;H1)). On admettraque la solution donnée par la théorie de Cauchy locale reste radiale et on prendra gardeau fait que l’on est dans le cas critique p = 1 + 4

d du Théorème 5.2.1.

Exercice 6.3 (Galaxies). Une galaxie est un amas de 1015 étoiles. On en fait une descriptionstatistique en considérant la fonction de distribution f(x, v) ≥ 0 qui correspond à la densitéd’étoiles qui en x ∈ R3 ont la vitesse v ∈ R3 . La densité d’étoiles totale en x est donc

ρf (x) =

∫v∈R3

f(x, v) dv.

Le nombre total d’étoiles est

‖f‖L1(R6) =

∫R6

f(x, v) dx dv =

∫R3

ρf (x) dx.

L’énergie cinétique totale de la galaxie est

Ecin(f) =1

2

∫R6

|v|2f(x, v) dx dv.

Enfin les étoiles sont soumises à leur seule interaction gravitationnelle, et donc l’énergie po-tentielle de la galaxie est donnée par

Epot(f) =

∫R3

|∇φf (x)|2 dx où φf (x) = − 1

4π

∫R3

ρf (y)

|x− y|dy.

Etant donnés M1,M2 > 0 , nous considérons le problème de minimisation suivant

I(M1,M2) = inff∈A(M1.M2)

E(f)

qui définit une galaxie stable, où

A(M1.M2) =f(x, v) ≥ 0, ‖f‖L1(R6) = M1, ‖f‖L2(R6) = M2

et

E(f) =1

2

∫R6

|v|2f dx dv −∫R3

|∇φf (x)|2 dx.

103

(i) Soit x ∈ R3 . En découpant en |v| ≤ R et |v| ≥ R , montrez que

|ρf (x)| . R32

(∫R3

f2(x, v)dv

) 12

+1

R2

∫R3

|v|2f(x, v)dv.

(ii) En déduire en optimisant sur R que

∀x ∈ R3, |ρf (x)| .(∫

R3

|v|2f(x, v) dv

) 37(∫

R3

f2(x, v) dv

) 27

.

(iii) En déduire en utilisant l’inégalité de Hölder que

‖ρf‖L

75 (R3)

. ‖|v|2f‖37

L1(R6)‖f‖

47

L2(R6).

(iv) En déduire toujours en utilisant l’inégalité de Hölder que

‖ρf‖2L

65 (R3)

. ‖|v|2f‖12

L1(R6)‖f‖

56

L1(R6)‖f‖

23

L2(R6).

(v) Montrez que

|∇φf (x)| . 1

|x|2? ρf .

En déduire l’inégalité d’interpolation :∫|∇φf (x)|2 dx . ‖|v|2f‖

12

L1(R6)‖f‖

56

L1(R6)‖f‖

23

L2(R6).

(vi) Montrez queI(M1,M2) > −∞.

(vii) En utilisant le changement d’échelle

fλ(x, v) = f(xλ, λv), λ > 0

montrez queI(M1,M2) < 0.

(viii) En utilisant un changement d’échelle de la forme

fλ,µ(x, v) =µ

λ2f(xλ, µv), λ, µ > 0,

montrez queI(M1,M2) = M

56

1 M13

2 I(1, 1).

104

Chapitre 7

Stabilité orbitale de l’onde solitaire

Nous avons démontré dans le chapitre précédent l’existence d’ondes solitaires solutions de

∆Q−Q+Q|Q|p−1 = 0 (7.1)

en dimension d ≥ 1 et pour tout entier p > 1 vérifiant (5.2). Toute solution de (7.1) induitune solution périodique

u(t, x) = Q(x)eit

de (NLS). La question fondamentale tant pour le dynamicien que pour le physicien est alors :ces solutions particulières sont-elle stables ? Posée à ce niveau de généralité, la réponse est nongénériquement et en fait une solution quelconque de (7.1) aura tendance à être instable : uneperturbation infime de la donnée initiale engendrera une solution complètement différente entemps grand. En revanche, les solutions de (7.1) construites dans le chapitre précédent ont lapropriété supplémentaire fondamentale d’être des solutions positives à déphasage près, ce quiest intimement lié à leur caractérisation variationnelle.

Le but de ce chapitre est de démontrer que l’état fondamental Q de la Proposition 6.2.2engendre une onde solitaire stable de (NLS) dans le cas L2 sous-critique soit p < 1 + 4

d . Ladémonstration originale de T. Cazenave et P.-L. Lions [5] repose sur une nouvelle caractéri-sation variationnelle de Q faisant intervenir les invariants du flot (NLS) que sont l’énergietotale (5.18) et la masse (5.17) de la solution. Le cœur de la démonstration est le lemmede concentration-compacité introduit par P.-L. Lions dans [25] et qui décrit le manque decompacité de l’injection de Sobolev H1 → Lp , si 2 ≤ p ≤ 2∗ .

7.1 Stabilité orbitale de l’onde solitaire

Soit donc d ≥ 1 et 1 < p < 1 + 4d , et soit Q l’état fondamental donné dans le théorème

6.2.1, c’est-à-dire l’unique solution 1 dans H1r de

∆Q−Q+Qp = 0, Q > 0.

7.1.1 Instabilité induite par les symétries

Nous posons maintenant la question de la stabilité de l’onde solitaire Q(x)eit en tant quesolution de (NLS). Soit u0 ∈ H1 et u ∈ C([0,+∞), H1) la solution globale de (NLS) donnée

1. On rappelle que l’unicité est triviale pour d = 1 , cf Exercice 6.1.

105

par le Théorème 5.2.1. La notion forte naturelle de stabilité dans H1 du point de vue systèmedynamique serait la suivante : pour tout ε > 0 , il existe δ(ε) > 0 tel que pour tout u0 ∈ H1 ,

‖u0 −Q‖H1 < δ(ε) implique supt≥0‖u(t, x)−Q(x)eit‖H1 < ε. (7.2)

Cette propriété de stabilité forte est visiblement fausse pour (NLS) en raison de l’invariance partranslation de Rd et du groupe de symétries agissant sur (NLS). En effet, l’invariance d’échelleet l’invariance de Galilée de la Proposition 5.2.1 donnent deux types explicites d’instabilitéforte :

– Instabilité par déphasage : ∀λ > 0 , la solution de (NLS) de donnée initiale

(u0)λ(x) = λ2p−1Q(λx) est uλ(t, x) = λ

2p−1Q(λx)eiλ

2t.

Elle vérifie :‖(u0)λ −Q‖H1 . |λ− 1| → 0 quand λ→ 1,

maisuλ(

π

λ2, x) = −λ

2p−1Q(λx)

et donc, pour tout λ proche de 1,

supt≥0‖uλ(t, x)−Q(x)eit‖ ≥ 1

2‖Q‖H1 .

– Instabilité par translation : ∀β ∈ Rd , la solution de (NLS) de donnée initiale

(u0)β(x) = Q(x)eiβ·x est uβ(t, x) = Q(x− 2βt)eiβ·(x−βt).

Elle vérifie‖(u0)β −Q‖H1 . |β| → 0 quand β → 0

mais∀β ∈ Rd, sup

t≥0‖uβ(t, x)−Q(x)eit‖H1 ≥ ‖Q‖H1

en raison du découplage en espace des deux bulles Q(x) et Q(x−βt) quand t tend vers+∞.

7.1.2 Stabilité orbitale

Les instabilités mises en valeur ci-dessus sont purement induites par le groupe de symétriesde l’équation, ce qui laisse augurer qu’il faut mesurer la distance de u(t, x) non pas au seulsoliton initial Q(x)eit , mais à la famille complète d’ondes solitaires induites par les symétries :

Qβ,γ(t, x) = Q(x− 2βt)eiγeiβ·(x−βt). (7.3)

Cette observation est au cœur du résultat de stabilité orbitale obtenu par Cazenave et Lions[5] en 1983 :

Théorème 7.1.1 (Stabilité orbitale de l’onde solitaire, [5]). Soit d ≥ 1 et 1 < p < 1 + 4d ·

Pour tout ε > 0, il existe δ(ε) > 0 tel que pour toute donnée initiale u0 ∈ H1 avec

‖u0 −Q‖H1 < δ(ε),

il existe (γ(t), x(t)) ∈ R×Rd tels que la solution correspondante u ∈ C([0,+∞), H1) de (NLS)vérifie :

supt≥0‖u(t, x)−Q(x− x(t))eiγ(t)‖H1 < ε. (7.4)

106

En d’autres termes, si l’on part près de l’état fondamental dans H1 , on reste pour touttemps près dans H1 de ce même état fondamental à deux paramètres de phase et de translationprès. Notons que ce théorème donne un résultat plus faible que de dire que l’on reste près dela famille des Qβ,γ(t, x) donnés par (7.3) puisqu’il ne donne pas d’information a priori sur lesparamètres x(t), γ(t) . Le Théorème 7.1.1 est en fait le point de départ d’une telle analyse quifait encore aujourd’hui l’objet d’une recherche active, la description fine en temps grand de lasolution u(t, x) et de ses paramètres de modulation (x(t), γ(t)) étant un problème toujoursouvert.

7.1.3 La caractérisation variationnelle de l’état fondamental

Notre but jusqu’à la fin de ce chapitre est de démontrer le théorème 7.1.1. L’observationfondamentale de Cazenave et Lions est que la stabilité orbitale ne repose pas sur des propriétésfines du flot, mais seulement sur une caractérisation variationnelle du soliton basée sur lesinvariants de masse et d’énergie. Le Théorème 7.1.1 est en effet une conséquence directe de :

Théorème 7.1.2 (Caractérisation variationnelle du soliton sous-critique). Soit d ≥ 1 . Soit1 < p < 1 + 4

d et

sc =d

2− 2

p− 1< 0.

Soit Q l’état fondamental du théorème 6.2.1. Soit M > 0 , alors :(i) Le problème de minimisation

I(M) = infE(u) : u ∈ H1 avec ‖u‖2L2 = M

où E(u) est la fonctionnelle d’énergie (5.18), est atteint sur la famille

Qλ(M)(x− x0)eiγ0 , x0 ∈ Rd, γ0 ∈ R

où

Qλ(M)(x) = (λ(M))2p−1Q(λ(M)x) avec λ(M) =

(M

‖Q‖2L2

)− 12sc

. (7.5)

(ii) Toute suite minimisante est relativement compacte dans H1 à translation et déphasageprès. De manière équivalente, soit (un)n∈N une suite de H1 telle que

‖un‖2L2 →M, E(un)→ I(M), (7.6)

alors il existe xn ∈ Rd , γn ∈ R et une suite strictement croissante φ : N→ N tels que :

uφ(n)(·+ xφ(n))eiγφ(n) → Qλ(M) dans H1. (7.7)

L’hypothèse p < 1 + 4d est fondamentale pour cette nouvelle caractérisation de Q qui est

fausse pour p ≥ 1+ 4d . Dans ce dernier cadre (L2 sur-critique), le soliton est en fait instable par

blow-up et scattering : n’importe quel voisinage de Q contient d’une part des données initialesu0 qui engendrent des solutions globales (et se comportent comme des solutions linéaires entemps grand et donc tendent localement vers zéro dans L2 ) et d’autre part des données initialesu0 qui génèrent des solutions explosant en temps fini.

Insistons sur le fait que la clé est d’obtenir une caractérisation variationnelle ne faisantintervenir que des invariants du flot.

107

Montrons comment le Théorème 7.1.2 implique la stabilité orbitale du soliton du Théorème7.1.1. On procède par l’absurde : soit ε > 0 et une suite un(t, x) de solutions de (NLS) telleque

‖un(0, x)−Q‖H1 → 0 quand n→ +∞, (7.8)

et il existe tn ≥ 0 telle que

∀x0 ∈ Rd, ∀γ ∈ R, ‖un(tn, x)−Q(x− x0)eiγ‖H1 > ε. (7.9)

Par (7.8) et continuité de la fonctionnelle d’énergie sur H1 ,

E(un(0, x))→ E(Qλ(M)) = I(M), ‖un(0, x)‖2L2 →M.

Soit wn(x) = un(tn, x) , on en déduit par conservation de l’énergie et de la masse :

E(wn)→ I(M), ‖wn‖2L2 →M,

et donc par (7.7), on peut trouver xφn , γφn tels que

wφ(n)(·+ xφ(n))eiγφ(n) → Qλ(M) dans H1,

ce qui contredit (7.9).

7.2 Minimisation de l’énergie à masse fixée

Le reste de ce chapitre est consacré à la démonstration du Théorème 7.1.2.

7.2.1 Calcul de I(M)

Commençons par montrer la finitude de I(M) sous l’hypothèse p < 1+ 4d · En fait, on peut

même calculer explicitement I(M) grâce aux propriétés d’homogénéité du problème.

Lemme 7.2.1. On a∀M > 0, I(M) = M

1−sc|sc| I(1) (7.10)

avec−∞ < I(1) < 0. (7.11)

Démonstration : Montrons queI(M) > −∞. (7.12)

En effet, par l’inégalité de Gagliardo-Nirenberg :

‖u‖Lp+1 . ‖∇u‖σL2‖u‖1−σL2 avec − σ +d

2=

d

p+ 1

et donc pour ‖u‖2L2 = M ,

E(u) ≥ 1

2‖∇u‖2L2 − C‖∇u‖

d(p−1)2

L2 M(p+1)(1−σ)

2 . (7.13)

Orp < 1 +

4

dest équivalent à

d(p− 1)

2< 2

108

et donc la fonction x → x2 − Cxp−1

2 est bornée inférieurement sur R+ ce qui implique(7.12).Montrons maintenant :

I(M) < 0. (7.14)

En effet, pour λ > 0 et u tel que ‖u‖2L2 = M , considérons

uλ(x) = λd2u(λx),

alors‖uλ‖2L2 = ‖u‖2L2 = M

et

E(uλ) = λ2

1

2

∫|∇u|2 dx− 1

λ(p−1)|sc|

∫|u|p+1 dx

et donc E(uλ) < 0 pour λ > 0 assez petit.

Montrons finalement (7.10). Soit le changement d’échelle

uλ(x) = λ2p−1u(λx),

alors‖uλ‖2L2 = λ

2p−1−d‖u‖2L2 = λ−2sc‖u‖2L2

etE(uλ) = λ2(1−sc)E(u).

Donc :∀M > 0, ∀λ > 0, I(λ−2scM) = λ2(1−sc)I(M)

ce qui implique (7.10).

7.2.2 Classification des minimiseurs

Supposons que l’infimum est atteint (ce que nous démontrerons plus tard) et classifionsl’ensemble des minimiseurs. La stratégie générale est très similaire à celle du chapitre précédent.

Lemme 7.2.2 (Euler-Lagrange pour les minimiseurs). Soit u un minimiseur pour I . Alors :

(i) |u| est un minimiseur et ∫|∇|u||2 dx =

∫|∇u|2 dx. (7.15)

(ii) Si u ≥ 0 alors il existe µ ∈ R tel que :

∆u+ up = µu. (7.16)

(iii) Le multiplicateur de Lagrange µ est indépendant du minimiseur et

µ = µ(M) > 0.

109

Démonstration : Si u est un minimiseur, alors |u| aussi par (6.6), et E(u) = E(|u|) = I(M)implique

∫|∇u|2 dx =

∫|∇|u||2 dx et le point (i) est démontré.

Soit maintenant u ≥ 0 un minimiseur. Soit h ∈ C∞c (Rd) , alors un calcul élémentaireassure (cf le chapitre précédent)

d

dtE(u+ th)|t=0 = −

∫(∆u+ up)h dx.

En outre,d

dt

(‖u+ th‖2L2

)|t=0

= 2

∫uh dx

et donc un raisonnement totalement similaire à celui mis en œuvre pour la preuve de laProposition 6.2.1 assure l’existence de µ tel que u vérifie (7.16).Il reste à calculer µ . On multiplie (7.16) par u et on intègre :

−∫|∇u|2 dx+

∫up+1 dx = µ

∫u2 dx = µM. (7.17)

Considérons maintenant le changement d’échelle

uλ(x) = λd2u(λx)

alors ∫|uλ|2 dx =

∫|u|2 dx et

∫|∇uλ|2 dx = λ2

∫|∇u|2 dx.

En dérivant cette relation en λ et en écrivant le résultat pour λ = 1 , on obtient∫u(d

2u+ x · ∇u) dx = 0, (7.18)

∫∇u · ∇(

d

2u+ x · ∇u) dx =

∫|∇u|2 dx

ce qui via une intégration par parties donne l’identité de Pohozaev :

∀u ∈ H1,

∫∆u

(d

2u+ x · ∇u

)dx = −

∫|∇u|2 dx. (7.19)

On multiplie alors (7.16) par d2u+ x · ∇u et on déduit de (7.18), (7.19) :

0 = −∫|∇u|2 dx+

∫up(d

2u+ x · ∇u

)dx = −

∫|∇u|2 dx+

(d

2− d

p+ 1

)∫up+1 dx

d’où la seconde relation : ∫|∇u|2 dx =

d(p− 1)

2(p+ 1)

∫up+1 dx. (7.20)

Ceci implique avec (7.17) :

µM =

∫up+1

(1− d(p− 1)

2(p+ 1)

)dx.

110

Or par (7.20),

I(M) = E(u) =1

2

∫|∇u|2 dx− 1

p+ 1

∫up+1 dx

=1

p+ 1

∫up+1

(d(p− 1)

4− 1

)dx

=d(p−1)

4 − 1

1− d(p−1)2(p+1)

µM.

Or I(M) < 0 et

p < 1 +4

d<d+ 2

d− 2implique

d(p−1)4 − 1

1− d(p−1)2(p+1)

< 0,

et donc µ > 0 ne dépend que de M .

Classifier les minimiseurs revient donc à classifier les solutions positives de

∆u+ up = µu, µ > 0.

C’est un problème hautement non trivial. Un résultat spectaculaire du début des années 80dû à Gidas, Ni, Nirenberg [13] et qui est un des nombreux sucès de l’analyse non linéaire deséquations aux dérivées partielles elliptiques de cette époque est le :

Théorème 7.2.1 (Unicité de l’état fondamental, [13]). Soit u ∈ H1 une solution de

∆u− u+ up = 0, u ≥ 0.

Alors il existe x0 ∈ Rd tel que u(x− x0) soit à symétrie radiale.

La démonstration de ce résultat repose sur une utilisation très astucieuse du principe dumaximum pour le Laplacien qui dépasse le cadre de ce cours, nous l’admettrons donc. Nouspouvons maintenant énoncer le résultat de classification :

Proposition 7.2.1 (Classification des minimiseurs). Soit u un minimiseur de

I(M) = infE(u) : u ∈ H1 avec ‖u‖L2 = M,

alors il existe (γ0, x0) ∈ R× Rd tel que

u(x) = Qλ(M)(x− x0)eiγ0

où Qλ(M) est donné par (7.5).

Démonstration : Soit u un minimiseur, alors v = |u| ≥ 0 est un minimiseur. Par le Lemme7.2.2, v est une solution positive non triviale (car I(M) < 0) de

∆v + vp = µv, v ∈ H1, v ≥ 0

avec µ = µ(M) > 0 . Alors

w =1

λ2p−1

v(xλ

)avec λ =

õ

111

vérifie∆w − w + wp = 0, w ∈ H1, w ≥ 0.

Donc, pour un certain x0,

w = Q(x− x0)

par la combinaison des Théorèmes 6.2.1 et 7.2.1. Or Q ne s’annule pas donc par (7.15)et le Lemme 6.2.2 :

u = |u|eiγ = Qλ(M)(x− x1)eiγ pour (γ, x1) ∈ R× Rd,

ce qui achève la démonstration du lemme.

7.3 Description des suites minimisantes

Nous rentrons maintenant dans le cœur de la description des suites minimisantes. Celapermettra de conclure la démonstration du Théorème 7.1.2.

7.3.1 Description de la perte de compacité de l’injection de Sobolev

Soit (un)n∈N une suite minimisante pour I(M) :

‖un‖2L2 = M, E(un)→ I(M).

Alors (un)n∈N est une suite bornée dans H1 car d’après (7.13) :

E(u)→ +∞ quand ‖∇u‖L2 → +∞.

Maintenant, il faut utiliser la compacité de (un)n∈N dans Lp+1 ∩ L2 pour assurer que toutelimite faible H1 de (un)n∈N est un minimiseur. Notons que ceci est complètement faux pour unesuite bornée générale car l’injection H1 → Lp+1 n’est pas compacte. La clé est donc de d’aborddécrire la perte de compacité de l’injection de Sobolev dans le cas général, et de démontrer queles deux seuls scénario de perte de compacité sont liés à l’invariance translationnelle un(· +xn) , |xn| → +∞ , et l’invariance d’échelle λ

d2nun(λnx) , λn → 0 . C’est l’objet du lemme de

concentration-compacité suivant établi par P.-L. Lions en 1983 dans [25] :

Lemme 7.3.1 (Concentration compacité). Soit (un)n≥1 une suite bornée dans H1 avec

∀n ≥ 1,

∫|un|2 dx = M.

Alors il existe une suite extraite (unk)k∈N qui vérifie l’une des propriétés suivantes :

(i) Compacité : il existe (yk)k∈N suite de Rd telle que

∀2 ≤ q < 2∗, unk(· − yk)→ u dans Lq quand k → +∞. (7.21)

(ii) Evanescence :∀2 < q < 2∗, unk → 0 dans Lq. (7.22)

112

(iii) Dichotomie : il existe (vk)k∈N et (wk)k∈N deux suites bornées dans H1 à support compact,et α ∈]0, 1[ tels que :

Supp vk ∩ Supp wk = ∅, d(Supp vk,Supp wk)→ +∞ quand k → +∞, (7.23)∫|vk|2 dx→ αM,

∫|wk|2 dx→ (1− α)M quand k → +∞, (7.24)

∀2 ≤ q < 2∗,

∫|unk |

q dx−∫|vk|q dx−

∫|wk|q dx→ 0 quand k → +∞, (7.25)

lim infk→+∞

(∫|∇unk |

2 dx−∫|∇vk|2 dx−

∫|∇wk|2 dx

)≥ 0. (7.26)

En d’autres termes, s’il n’y pas compacité à translation près, alors à extraction près, seulsdeux scenarios sont possibles : la suite s’étale et “disparaît” dans L2

loc selon (7.22), ce que fait

par exemple la suite λd2nu(λnx) , λn → 0 ; ou alors la suite se scinde en au moins deux bulles

disjointes dont les supports s’éloignent (7.23), qui emportent chacune une fraction non nullede la masse totale (7.24), et dont la scission se fait sans perte de masse ni d’énergie potentielle(7.25) et avec au pire une décroissance de l’énergie cinétique (7.26). Notons que dans ce derniercas, on peut réappliquer le Lemme à chaque bulle, et en ce sens le lemme de concentration com-pacité est la première étape d’un raisonnement par récurrence qui aboutirait à la décompositionen profils de la suite (un)n∈N , cf P. Gerard [12], [18] pour une démonstration particulièrementsimple et élégante. Ces idées ont permis de résoudre des problèmes variationnels importantsaussi bien en géométrie qu’en analyse non linéaire à la fin des années 1970, et ont récemmentretrouvé un second souffle inattendu pour l’étude de la dynamique des solutions d’équationsdispersives non linéaires via les travaux pionniers de Kenig et Merle [20].

7.3.2 Compacité H1 des suites minimisantes

Montrons comment le lemme de concentration-compacité permet de montrer la compacitédes suites minimisantes. Admettons donc le Lemme 7.3.1 et démontrons le Théorème 7.1.2.Soit (un)n∈N une suite minimisante, nous allons montrer que les scenarios d’évanescence et dedichotomie ne peuvent se produire car la suite est minimisante.Etape 1. Evanescence est contradictoire.

Supposons donc que (7.22) se produise sur une suite extraite, alors

I(M) = limk→+∞

E(unk) = limk→+∞

(1

2

∫|∇unk |

2 dx− 1

p+ 1

∫|unk |

p+1 dx

)≥ 0

ce qui contredit I(M) < 0 par (7.10), (7.11).Etape 2. Dichotomie est contradictoire.

C’est le cœur de la démonstration. Nous allons montrer que la dichotomie fait strictementdécroître l’énergie totale ce qui est donc contradictoire pour une suite minimisante. En effet,par (7.24) : ∫

|vk|2 dx→ αM et∫|wk|2 dx→ (1− α)M

et par (7.25), (7.26) :

I(M) = limk→+∞

E(unk) ≥ lim infk→+∞

[E(vk) + E(wk)] ≥ I(αM) + I(M(1− α)).

113

Donc par (7.10) avec I(1) < 0 :

f(α)déf= (1− α)β + αβ ≥ 1 avec β

déf=

(1− sc)|sc|

> 1. (7.27)

Vu que f ′(α) = β(αβ−1 − (1 − α)β−1), on en déduit que f est décroissante sur [0, 1/2] etcroissante sur [1/2, 1], et donc

∀0 < α < 1, f(α) < f(0) = f(1) = 1

ce qui contredit (7.27).

Etape 3. Conclusion.On en déduit que seule la propriété de compacité (7.21) à translation près peut se produire.

On peut donc quitte à renommer la suite supposer :

∃yn ∈ Rd telle que vn(x) = un(x− yn)→ u dans Lp+1. (7.28)

Mais par convergence forte Lp+1 et semi-continuité inférieure de la norme pour le gradient, etinvariance translationnelle des fonctionnelles de masse et d’énergie :

M = limn→+∞

‖un‖2L2 = limn→+∞

‖vn‖2L2 = ‖u‖2L2 ,

IM = limn→+∞

E(un) = limn→+∞

E(vn) ≥ E(u)

et donc l’infimum est atteint en u. On déduit de la Proposition 7.2.1 que

u = Qλ(M)(x− x0)eiγ0 , (x0, γ0) ∈ Rd × Rd

ce qui avec (7.28) conclut la preuve de (7.7).

7.3.3 Le lemme de concentration compacité

Nous donnons maintenant la démonstration du Lemme de concentration-compacité tellequ’elle est faite dans le livre de T. Cazenave [6]. Soit (un)n∈N une suite de H1 satisfaisant leshypothèses du lemme 7.3.1.

Etape 1. Fonction de concentration.Soit la suite de fonctions de concentration

ρn(R) = supy∈Rd

∫B(y,R)

|un(x)|2dx.

Alors on a les propriétés suivantes :– Monotonie : ∀n ≥ 0 , ρn(R) est une fonction croissante de R qui tend vers M en +∞.– Point de concentration : pour R fixé, y 7→

∫B(y,R) |u|

2 est une fonction continue qui tendvers 0 quand |y| → +∞ , donc le point de concentration est atteint :

∀R > 0, ∀n ≥ 0, ∃yn(R) ∈ Rd tel que ρn(R) =

∫B(yn(R),R)

|un(x)|2 dx. (7.29)

114

– Continuité Hölder uniforme : ∃C,α > 0 independants de n tels que :

∀R1, R2 > 0, ∀n ≥ 0, |ρn(R2)− ρn(R1)| ≤ C|Rd2 −Rd1|α. (7.30)

En effet, supposons sans perte de généralité R1 ≤ R2 , alors :

|ρn(R2)−ρn(R1)| =

∫B(yn(R2),R2)

|u|2 dx−∫B(yn(R1),R1)

|u|2 dx

=

∫B(yn(R2),R2)

|u|2 dx−∫B(yn(R2),R1)

|u|2 dx

+

∫B(yn(R2),R1)

|u|2 dx−∫B(yn(R1),R1)

|u|2 dx

≤∫R1≤|x−yn(R2)|≤R2

|un|2 dx

et (7.29) s’ensuit par inégalités de Hölder et de Sobolev 2.Etape 2. Limite de fonctions de concentration.

L’estimation Hölder uniforme (7.30) nous permet d’appliquer le Théorème d’Ascoli et d’ex-traire une sous-suite (nk)k∈N et une fonction limite croissante ρ telles que :

∀R > 0, limk→+∞

ρnk(R) = ρ(R). (7.31)

Soit maintenant :µ = lim

R→+∞ρ(R). (7.32)

Une conséquence très simple et générale de la monotonie de ρn est qu’il existe une suiteRk → +∞ telle que :

µ = limk→+∞

ρnk(Rk) = limk→+∞

ρnk(Rk2

) = limR→+∞

ρ(R). (7.33)

En effet, par définition,µ = lim

R→+∞lim

k→+∞ρnk(R)

et donc 3 il existe une suite Rk → +∞ telle que

limk→+∞

ρnk(Rk) = µ. (7.34)

Soit alors R > 0 , on peut trouver Rk ≥ 2R et donc par monotonie :

ρnk(R) ≤ ρnk(Rk2

) ≤ ρnk(Rk)

et donc en faisant tendre k vers +∞ et en utilisant (7.31), (7.34) : ∀R > 0 ,

ρ(R) = limk→+∞

ρnk(R) ≤ limk→+∞

ρnk(Rk2

) ≤ limk→+∞

ρnk(Rk) = µ.

On passe maintenant à la limite R→ +∞ ce qui avec (7.32) conclut la preuve de (7.33).

2. Exercice !3. raisonner par l’absurde

115

Etape 3. µ = 0 : évanescence.Supposons µ = 0 i.e. limR→+∞ ρ(R) = 0 . La fonction ρ étant croissante positive, ceci

implique ρ(1) = 0 soit :

limk→+∞

ρnk(1) = limk→+∞

supy∈RN

∫B(y,1)

|unk |2 dx = 0. (7.35)

Montrons que cette propriété de convergence forte L2 locale uniforme implique la convergenceforte (7.22) :

unk → 0 dans Lq, ∀2 < q < 2∗. (7.36)

Il nous faut une inégalité de Gagliardo-Nirenberg dite précisée. En effet,

∀u ∈ H1,

∫|u|2+ 4

d dx ≤ C‖u‖2H1‖u‖4d

L2 (7.37)

ne suffit pas et nous allons montrer que

∀u ∈ H1,

∫|u|2+ 4

d dx ≤ C

[supy∈RN

∫B(y,1)

|u|2 dx

] 2d

‖u‖2H1 (7.38)

qui avec (7.35) et la borne H1 uniforme sur (un)n∈N implique maitenant (7.36).Pour montrer (7.38), considérons une partition de Rd par des rectangles Qj disjoints de

côté 12 . Supposons d ≥ 3 et écrivons Hölder en remarquant que

1

2 + 4d

=α

2+

1− α2dd−2

avec α =2

d+ 2

et donc‖u‖

L2+ 4d (Qi)

≤ ‖u‖αL2(Qj)‖u‖1−α

L2∗ (Qj)

et donc par Sobolev dans Qj :

‖u‖2+ 4d

L2+ 4d≤ C‖u‖

4d

L2(Qj)‖u‖2H1(Qj)

où la constante de Sobolev ne dépend pas de j par invariance translationnelle de la mesurede Lebesgue. Le fait que la norme H1 sorte avec l’exposant 2 justifie le choix de la puissance2 + 4

d et permet de sommer sur les cubes Qj disjoints :∫Rd|u|2+ 4

d dx =∑j≥1

∫Qj

|u|2+ 4d dx

≤ C[supj≥1 ‖u‖2L2(Qj)

] 2d∑j≥1

‖u‖2H1(Qj)=

[supj≥1‖u‖2L2(Qj)

] 2d

‖u‖2H1

ce qui démontre (7.38). Le cas d = 1, 2 s’ensuit de manière similaire et est laissé au lecteur.Etape 4. µ = M : compacité.

Etant donné R > 0 , soit yk(R) tel que

ρnk(R) =

∫B(yk(R),R)

|unk(x)|2dx. (7.39)

116

Soit ε > 0 . Alors d’après (7.33), il existe R0, R(ε) tel que

ρ(R0) >M

2, ρ(R(ε)) > M − ε.

Donc il existe k0(ε) tel que : ∀k ≥ k0(ε) ,

ρnk(R0) =

∫B(yk(R0),R0)

|unk |2 dx >

M

2, ρnk(R(ε)) =

∫B(yk(R(ε)),R(ε))

|unk |2 dx > M − ε.

Mais la suite (unk)k∈N est de masse totale M , donc les boules

B(yk(R0), R0) et B(yk(R(ε)), R(ε))

ne peuvent être disjointes, et donc il existe R1(ε) et k0(ε) tels que :

∀k ≥ k0(ε),

∫B(yk(R0),R1(ε))

|unk |2 ≥M − ε.

Quitte à augmenter la valeur de R1(ε) pour les valeurs k ∈ [1, k0(ε)] , on déduit de lapropriété de masse constante que la suite vk = unk(· − yk(R0)) est L2 -étroite :

∀ε > 0, ∃R2(ε) > 0 telle que ∀k ≥ 1,

∫|y|≥R2(ε)

|vk(y)|2dy < ε.

La compacité locale de l’injection de Sobolev H1 → L2(B(0, R(ε))) implique maintenant quevk est L2(Rd) compacte, et donc Lq(Rd) compacte par interpolation pour 2 ≤ q < 2∗ grâce àla borne H1 uniforme.

Etape 5. 0 < µ < M : dichotomie.Décomposons unk en

unk = vk + wk + zk

avec

vk = unk1|y−yk(Rk2

)|≤Rk2

, wk = unk1|y−yk(Rk2

)|≥Rk, zk = unk1Rk

2<|y−yk(

Rk2

)|<Rk.

La clé est de remarquer que (7.33) et (7.39) impliquent :∫|zk|2 dx =

∫B(yk(

Rk2

),Rk)|unk |

2 dx−∫B(yk(

Rk2

),Rk2

)|unk |

2 dx

≤ ρnk(Rk)−∫B(yk(

Rk2

),Rk2

)|unk |

2 dx = ρnk(Rk)− ρnk(Rk2

)

→ 0 quand k → +∞. (7.40)

La dichotomie s’ensuit maintenant en remplaçant les fonctions charactéristiques par des fonc-tions régulières qui passent de 1 à 0 sur des plages tendant vers 0. Les normes Lq , 2 ≤ q < 2∗

sur les plages de transition tendront ainsi vers 0 par interpolation entre (7.40) et la borneuniforme H1 , et le lecteur motivé démontrera sans peine en écrivant les formules explicitesque l’énergie cinétique ne peut que décroître. Ceci conclut la preuve du Lemme 7.3.1.

117

7.4 Exercices

Exercice 7.1 (Concentration pour Schrödinger non linéaire). Cet exercice est la suite del’exercice 6.2. On considère (NLS) cubique en dimension N = 2 . On prend une donnée initialeu0 ∈ H1

r et on suppose que la solution u radiale correspondante explose en temps fini 0 <T < +∞ . Nous allons montrer la propriété de concentration de la norme L2 :

∀R > 0, lim inft→T

∫|x|≤R

|u(t, x)|2dx ≥ ‖Q‖2L2 .

On raisonne par l’absurde et on considère ε,R > 0 et une suite croissante (tn)n∈N tendantvers T telle que

lim supn→∞

∫|x|≤R

|u(tn, x)|2dx < ‖Q‖2L2 − ε.

(i) Posons

λ(t) =1

‖∇u(t)‖L2

·

Rappeler pourquoiλ(t)→ 0 quand t→ T.

(ii) Soit vn(x) = λnu(tn, λnx) avec λn = λ(tn). Montrer que (vn)n∈N est une suite bornéedans H1 .

(iii) Calculer E(vn) .

(iv) Soit v une limite faible extraite de (vn)n∈N . Montrer que v est non nulle.

(v) Montrer que

E(v) ≤ 0 et 0 <

∫|v|2 dx ≤

∫Q2 dx − ε.

En déduire une contradiction avec l’exercice 6.2.

118

Index

Approximation de l’identité, 51Atome, 35

Bolzano-Weierstrass, 9

Célérité, 5Compact, 9Continuité

faible, 18Convergence

faible, 14faible *, 20

Convolution, 13, 32(suites), 34

Couple admissible, 73(strictement), 73

Critique, 87Crochet japonais, 42Cube de Hilbert, 16

Décomposition atomique, 35Dérivation fractionnaire, 46Dispersion, 70Dual topologique, 20Dualité, 28

Echelle, 87Égalité de Parseval, 14, 42Energie, 87Equation

d’Airy, 78d’Euler-Lagrange, 97de Korteweg–de Vries, 5de Schrödingerlinéaire, 67

de Shrödingernon linéaire, 6, 7

de transport, 77des ondes, 77

Equicontinue, 22Equicontinuité, 11Espace

H10 , 54

H1r , 94

Hs , 42H−1 , 54Lp(I;Lq(Rd)) , 32Lp(X;E) , 32Lploc(Ω) , 51Lq faible, 34Lqf , 34W 1,p

0 , 63W k,p , 57D(Rd) , 43S , 43Hs , 47`p , 34d’énergie, 89de Lebesgue, 25de Schwartz, 13de Sobolev, 42de Sobolev homogène, 47L(E;F ) , 10Lp , 25

Etat fondamental, 100Lp–étroite, 95Exposant conjugué, 26Exposant critique, 47, 58Extraction diagonale, 12

Fonctionsimple, 27

Fonction test, 43Fonctionnelle de Dirichlet, 96Formule

de d’Alembert, 77de Duhamel, 69

Galilée, 87Groupe de Schrödinger, 69

Identité de Pohozaev, 110Inégalité

119

de Bienaymé-Tchebychev, 49de Gagliardo-Nirenberg, 50, 102de Hölder, 26de Hardy, 64de Poincaré, 55, 63de Poincaré-Wirtinger, 65de Strichartz, 73de Young, 32précisée, 35

Injectionde Sobolev, 46, 58duale de Sobolev, 49

Intégrale oscillante, 78Interpolation

complexe, 29réelle, 39, 48

KdV, 5

LemmeTT ? , 74de concentration-compacité, 112de Phragmen-Lindelöf, 30de Schur, 38

Masse, 87Masse de Dirac, 29Moment, 87Multiplicateur de Lagrange, 99

(NLS) , 6Notation

2 , 77‖ · ‖Hs , 47C0(Rd) , 46〈ξ〉 , 42. , 70

Onde progressive, 5Opérateur

adjoint, 18borné, 10compact, 10de rang fini, 10

Paramètre de shooting, 100Phase, 87Principe de Cavalieri, 38Profil, 5

Radial, 94

Réflexif, 29Relation de dispersion, 67

Scaling, 87Soliton, 5Solution

faible, 71Sous-critique, 87Stabilité orbitale, 106Strichartz, 73Surcritique, 87Symétrie sphérique, 94

Théorèmed’Ascoli, 11, 22de Baire, 23de Banach-Steinhaus, 15, 23de Bolzano-Weierstrass, 9de compacité faible, 16de compacité faible étoile, 21de l’application ouverte, 24de représentation Riesz, 28de Riesz, 9de Riesz-Thorin, 29, 32du graphe fermé, 24

Transformée de Fourier, 41Transformation pseudo-conforme, 79Translation, 87Trou spectral, 55

Viriel, 91Vitesse

de propagation, 5

Water waves, 5

120

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