analyse et modélisation - laboratoire d'informatique, de robotique et de...

Rapport de Stage de Master 2 Recherche EEASpécialité : " Automatique et Robotique"

Préparé au Laboratoire d’Informatique de Robotique et de Microelectronics de Montpellier

Thème

Analyse et modélisation : du pendule inversé sur

deux roues au fauteuil roulant automatisé

FreeMove

par

Khaoula BRAHIM

Encadrant : Ahmed CHEMORI

LIRMM UMR CNRS-UM2 5506161 rue Ada

34392 Montpellier

Remerciements

Je tiens à remercier, dans un premier temps, toute l’équipe pédagogique et professionnelle duLaboratoire d’Informatique, de Robotique et de Microéléctronique pour leur acceuil chaleu-reux pendant toute la durée de mon stage.J’adresse mes remerciements particuliers à mon maître de stage pour les conseils qu’il m’aprodigué et son précieux soutien. Sa passion pour partager son savoir m’a été utile et m’abeaucoup apporté.Je remercie aussi les ingénieurs et les doctorants du LIRMM pour leurs conseils. Plus parti-culièrement l’ingénieur David Galdeano et la doctorante Divine Maalouf pour leur présence,leur soutien et les moments de partage que l’on a eu ensemble.Je remercie ma famille pour ses encouragements.Enfin, je remercie tous ceux qui, par leurs pensées et leur présence, ont permis que ce stage sedéroule dans des meilleures conditions.

Table des matières

1 Contexte et problématique 1

1.1 Introduction à la robotique pour le handicap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 L’entreprise EVOM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1 Présentation et objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.2 Les exigences d’un fauteuil roulant adéquat . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.3 Idée de FreeMove . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Problématique et objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Organisation du rapport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Etat de l’art 7

2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Fauteuils roulants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2.1 Historique et origine des fauteuils roulants . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2.2 Classification des fauteuils roulants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

a) Fauteuils roulants manuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

b) Fauteuils roulants électriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

c) Fauteuils roulants automatisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Les pendules inversés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3.2 Le pendule inversé classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3.3 Le double pendule inversé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

a) En cascade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

b) En parallèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3.4 Le pendule inversé de Furuta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3.5 Le pendule inversé stabilisé par volant d’inertie . . . . . . . . . . . . . 16

2.3.6 Le pendule inversé sur deux roues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

ii

Table des matières

3 Le fauteuil roulant FreeMove 19

3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2 Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2.1 Aspect mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

a) Le siège biomécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

b) La base mobile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2.2 Fonctionnalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3 Modélisation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3.1 Principe de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3.2 Calcul du centre de masse (COM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.4 Modélisation dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.4.1 Principe générale de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.4.2 Application au fauteuil FreeMove . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.5 Modèle simplifié du système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.5.1 Du fauteuil FreeMove au pendule inversé sur deux roues . . . . . . . . 26

3.5.2 Dynamique du pendule inversé sur deux roues . . . . . . . . . . . . . . 26

3.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4 Solutions proposées en terme de commande 30

4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.2 Commande du système simplifié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.2.1 La commande optimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.2.2 La commande prédictive non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.3 Commande du fauteuil complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.3.1 Principe de la décomposition de la commande . . . . . . . . . . . . . . 34

Commande 1 : stabilisation du centre de masse . . . . . . . . . . . . . 34

Commande 2 : stabilisation de toute l’architecture . . . . . . . . . . . . 34

4.3.2 Combinaison des deux commandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5 Résultats des simulations 36

5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.2 Commande du système simplifié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.2.1 Le simulateur développé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Description de l’interface graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Les principales fonctionnalités du simulateur . . . . . . . . . . . . . . . 37

Analyse et modélisation: du pendule inversé sur deux roues au fauteuil roulant automatisé FreeMove iii

Table des matières

5.2.2 Résultats de simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Scénario 1 : comportement en boucle ouverte . . . . . . . . . . . . . . . 38Scénario 2 : La commande optimale LQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Scénario 3 : La commande prédictive non linéaire . . . . . . . . . . . . 41

5.3 Commande du fauteuil complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.3.1 Le simulateur développé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.3.2 Résultats de simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Scénario 1 : Gestion de l’équilibre du fauteuil . . . . . . . . . . . . . . 43Scénario 2 : Gestion de l’équilibre du fauteuil avec rotation de l’essieu . 45Scénario 3 : Changement de configuration . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6 Conclusions et perspectives 49

6.1 Conclusion générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.2 Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

7 Annexe 52

iv Khaoula Brahim

Chapitre 1

Contexte et problématique

1.1 Introduction à la robotique pour le handicap

Comme l’indique son nom, la robotique pour le handicap incarne toutes les applications tech-nologiques dans le domaine de la robotique qui cherchent à améliorer le critère d’autonomiepour chaque type d’handicap : le handicap moteur, visuel, mental, auditif...Dans le cadre de ce travail on s’intéresse à l’handicap moteur : Ce sont les personnes qui,à la suite d’un accident se retrouvent brusquement paralysées, soit des membres inférieurs(paraplégie) ou des quatres membres (tétraplégie).Parmi les techniques développées pour ce genre d’handicap, on distingue deux :La première est en relation indirecte avec l’utilisateur et son environnement. Elle est basée surl’implantation des systèmes précis pour la restauration de la marche comme les stimulateurs,les interfaces entre le cerveau et les prothèses articulaires.La deuxième est plus classique, elle est utilisée directement par la personne dans son espacepersonnel comme les orthèses et les fauteuils roulants.Dans la population des handicapés, 10% nécessite un fauteuil roulant, soit près de 65 millionsde personnes à travers le monde [28], ce qui explique l’importance du nombre de sociétés sur-tout américaines et canadiennes qui essaient de maximiser les performances de cet appareildans le but de réduire la dépendance de l’utilisateur à autrui et lui offrir une meilleure qualitéde vie.Parmi les compagnies Françaises qui investissent dans ce domaine, on note la naissance d’unejeune entreprise nommée EVOM qui est en phase d’étude de la possibilité de création d’unnouveau fauteuil roulant automatisé qui peut, grâce à sa nouvelle technologie, assurer à l’han-dicapé un meilleur confort dans sa vie quotidienne.

1

1.2. L’entreprise EVOM

1.2 L’entreprise EVOM

Afin de découvrir la nouvelle technologie au niveau des fauteuils roulants proposée par EVOMpour la population de personnes à mobilité réduite (PMR), il serait judicieux de commencerpar la présentation de l’entreprise et de ses objectifs.

1.2.1 Présentation et objectifs

EVOM est une toute jeune entreprise fondée par Monsieur Christopher Desvaux de Marigny(diplômé de l’UM2 en Master 2 Robotique et Automatique) qui, suite à un accident, s’estretrouvé tétraplégique en fauteuil roulant.La situation d’handicap de Monsieur Desvaux lui a donné l’occasion de voir de plus prêtles difficultés quotidiennes que peut rencontrer les personnes à mobilité réduite. Il a comprisque la relation entre un handicapé et son fauteuil roulant est loin d’être la relation classique"homme-machine" et que ce fauteuil représente en réalité "un prolongement de son corps".La question qui se pose à ce niveau est la suivante : Est ce qu’un fauteuil roulant classiquepeut réduire le degré d’handicap chez ces personnes ?La réponse du fondateur de la compagnie affirme que c’est impossible d’améliorer la qualitéde vie d’un handicapé avec un fauteuil roulant qui assure juste une position assise et un dé-placement classique d’où l’idée de la création de cette entreprise.Pour définir ses objectifs, EVOM s’est basée sur la stratégie suivante : En premier temps, ellea commencé par étudier tous les détails de la vie d’un handicapé pour comprendre tout lesaspects des difficultés qu’il rencontre et noter ses besoins. Ensuite, elle a établi une étude tech-nologique des différentes catégories et modèles de fauteuils roulants commercialisés à l’échellenationale et internationale. Puis, elle a réussit à tirer les inconvénients majeurs de ces fauteuilsen se focalisant sur les problèmes physiologiques qu’ils peuvent causer aux utilisateurs.Toutes ces informations ont aidé à fixer l’objectif principal de la compagnie qui est l’élabo-ration d’un fauteuil roulant automatisé adéquat offrant plus de liberté de mouvement et dedéplacement aux personnes à mobilité réduite.C’est pour cette raison, qu’il est nécessaire de savoir quelles sont les exigences qu’il faut res-pecter pour qu’un fauteuil roulant soit adéquat pour un handicapé [2].

1.2.2 Les exigences d’un fauteuil roulant adéquat

Un fauteuil roulant est considéré approprié quand [28] :

• Il est adapté aux conditions de l’environnement de l’handicapé et de ses besoins

2 Khaoula Brahim

Chapitre 1. Contexte et problématique

personnels pour lui assurer plus d’autonomie.• Il est robuste : par rapport à la sécurité de l’utilisateur.• Il est capable d’assurer un maintien postural adéquat pour l’handicapé : confort.• Il est simple au niveau de l’utilisation.• Il est disponible et peut être entretenu localement à un prix abordable.

En plus de la mobilité, un fauteuil roulant approprié joue en faveur de la santé de son utilisateurvue le role de la rééducation adéquate qu’il peut lui offrir. En effet, un fauteuil approprié peut :

• limiter l’aggravation de plusieurs problèmes de santé comme les contractures, lesdéformations,etc,• sauver les handicapés qui souffrent d’une lésion de la moelle épinière ou des

maladies du même genre d’un décès prématuré,• permettre à l’usager d’atteindre une meilleure digestion et une meilleure capacité

respiratoire,• assurer un contrôle de toute la partie supérieur du corps grâce à un maintien

postural adéquat.

Les exigences auxquelles un fauteuil roulant adéquat doit répondre sont récapitulés sur leschéma de la figure 1.1 :

Figure 1.1 – Exigences d’un fauteuil roulant adéquat

1.2.3 Idée de FreeMove

En France, une cinquantaine de fabricants proposent dans leurs catalogues plusieurs modèlesde fauteuils roulants manuels et électriques qui peuvent assurer à l’utilisateur une positionassise et parfois une position verticale également.Cependant, la plupart du temps ces fauteuils commercialisés reposent sur quatres roues, deux

Analyse et modélisation: du pendule inversé sur deux roues au fauteuil roulant automatisé FreeMove 3

1.2. L’entreprise EVOM

grandes roues motrices et deux petites roues stabilisatrices. Cet aspect mécanique peut engen-drer des inconvénients remarquables tels que :Les vibrations

Lors d’un déplacement sur un sol irrégulier et vue leur petit diamètre, les deux petites rouesprovoquent des vibrations et des à-coups. Ceci provoque un véritable inconfort pour l’handi-capé.Le blocage face à plusieurs types de terrains

Ces fauteuils sont incapables de se déplacer sur différents types de terrains (trottoirs, graviers,escaliers,etc,).La verticalisation inconfortable

A l’exception de quelques modèles (Permobile, Dragon), pendant la phase de la verticalisation,les fauteuils existants ne respectent pas l’alignement hanche-genou-cheville et ne parviennentpas à assurer une position debout parfaite à 90o (mais seulement à 86o).Tous ces inconvénients peuvent être la source de différents problèmes physiologiques pourl’handicapé tels que :Les jambes lourdes

Une position assise trop longue fait gonfler les jambes, ceci est du à la lymphe qui descendpar gravité et qui ne remonte pas à cause du manque de pression aux talons et de l’absencede contractions des mollets et des muscles jambiers.Les problèmes de dos

Dans leurs design, les fauteuils actuels proposent des dossiers et des assises souvent droits, cequi génère des douleurs au niveau du dos.Les rougeurs sur les points d’appui

Lors du passage de la position assise à la position debout, tout le poids du corps va êtresupporté par les genoux et les ligaments. Lors de cette transition, si l’alignement hanche-genou-cheville n’est pas respecté, le poids du corps ne sera équi-réparti sur le pied, ce quiprovoquera des rougeurs sur les points d’appui sollicités.Les problèmes psychologiques

Le manque d’autonomie, que peut sentir une personne à mobilité réduite utilisant ces fauteuils,peut lui créer un sentiment d’infériorité dans sa relation avec les membres de son entourageet l’empêcher de participer à la vie sociale et professionnelle.Devant cette situation, la société EVOM a eu l’idée de concevoir, réaliser et commercialiser unfauteuil roulant automatisé qui portera le nom de FreeMove (cf.figure 1.2), et qui permettrad’éviter les problèmes des fauteuils classiques cités auparavant.

4 Khaoula Brahim

Chapitre 1. Contexte et problématique

(a) (b)

Figure 1.2 – (a) : FreeMove en position assise, (b) : FreeMove en position verticale

Vue sa structure mécanique exceptionnelle, qui utilise la technologie du pendule inversé amé-liorée par un équilibre latéral, FreeMove peut offrir des fonctions qui peuvent rendre la vie del’utilisateur plus facile et confortable tout en respectant les normes de sécurité.Parmi les fonctions qui font de FreeMove un fauteuil différent des fauteuils existants, on peutciter :- La verticalisation à 90o qui assure une position debout bien droite de l’handicapé et qui luioffre plus de confort.- La possibilité d’offrir à l’handicapé l’opportunité de modifier sa position (assis, rehaussé,jambes tendues, debout,etc) que ce soit en statique ou pendant le déplacement.- La liberté de se déplacer en position debout.- La possibilité de passer les obstacles et de se déplacer sur plusieurs types de terrains (gravier,sable, trottoirs, pentes, escaliers de taille standard).

1.3 Problématique et objectifs

Le confort et la diversité de mouvements, que l’entreprise EVOM souhaite assurer aux per-sonnes à mobilité réduite, expliquent bien la structure compliquée que peut avoir le fauteuilroulant FreeMove. La nature de cette structure basée sur la technologie de pendule inversé surdeux roues va rendre plus délicate la modélisation géométrique de tel système : cela est dueau nombre important de liaisons mécaniques et de degrés de liberté.


1.4. Organisation du rapport

La non linéarité forte de système et les contraintes de non holonomie et de stabilité qu’il pos-sède vont rendre les problèmes de sa commande plus compliqués et vont faire de telle sortequ’une seule loi de commande ne sera pas en mesure de stabiliser la totalité du système et degérer son équilibre.Le premier objectif de ce travail consiste à établir la modélisation géométrique du fauteuilroulant FreeMove dans le but d’obtenir un modèle dynamique approprié du système.En se basant sur ce modèle dynamique, notre deuxième objectif est de proposer des solutionsde commande qui sont adaptées à la technologie utilisée par le système (technologie de penduleinversé) et à ses fonctionnaltés.

1.4 Organisation du rapport

Dans ce rapport, on va dresser dans un premier temps l’état de l’art des deux systèmes : lefauteuil roulant et le pendule inversé où on va traiter les types et les caractéristiques de chaquesystème. Puis, dans le deuxième chapitre, on va s’intéresser à l’aspect mécanique, géométriqueet dynamique du fauteuil roulant FreeMove et on va introduire à la phase de stabilisationde son centre de masse par l’étude dynamique de modèle de pendule inversé sur deux roues.Par la suite on va décrire l’idée de la commande appliquée dans un chapitre qui comprend lesexplications des solutions proposées. A la fin, on va représenter les résultats des simulationsdes commandes appliquées pour le fauteuil ainsi que pour le pendule inversé sur deux roues.

6 Khaoula Brahim

Chapitre 2

Etat de l’art

2.1 Introduction

Ce chapitre comporte deux parties essentielles : une première partie qui s’intéresse aux fau-teuils roulants et à ce niveau on va présenter l’origine de cet appareil et les différents typesdes fauteuils roulants actuellement commercialisés et une deuxième partie qui s’intéresse auxpendules inversés où on va définir ce système et décrire ses différents types en rentrant plusdans les détails pour le type de pendule inversé sur deux roues vue qu’il désigne le systèmesur lequel la technologie de FreeMove est basée.

2.2 Fauteuils roulants

2.2.1 Historique et origine des fauteuils roulants

Un fauteuil roulant est une aide technique composé d’une partie fixe (un siège à dossier) etd’une partie mobile (deux roues) qui permet d’assurer le déplacement d’une personne assiseayant perdu sa mobilité.Depuis le début du siècle, le fauteuil roulant a évolué d’une façon remarquable. L’apparitiondes premières chaises en bois a été noté en Amérique du Nord pendant la guerre de Sécession(1861-1865) (cf. figure 2.1).En 1932, les deux inventeurs Herbert A. Everest et Harry C. Jennings ont fabriqué une chaiseroulante en métal [23]. Ce modèle a été le point de départ de l’émergence de plusieurs formes defauteuils roulants de nos jours. La figure (2.2) montre l’évolution, au fil du temps, du fauteuilroulant, depuis son apparition jusqu’à nos jours.

7

2.2. Fauteuils roulants

(a) (b) (c) (d) (e)

Figure 2.1 – (a) : Trace d’un fauteuil roulant sur un vase grec, (b) : Trace d’un fauteuil roulant surune gravure chinoise, (c) : Philip II d’Espagne (1595), (d) : Stephen Farfler (1655), (e) : Un fauteuil

en bois (1932) [7]

Figure 2.2 – Evolution des fauteuils roulants au fil du temps [7]

2.2.2 Classification des fauteuils roulants

Vue la diversité des personnes à mobilité réduite (type d’handicap, taille, poids, situation so-ciale,...), aucun modèle ne peut répondre aux besoins de tous les utilisateurs. D’où la nécessitéd’avoir plusieurs types de fauteuils roulants (cf. figure 2.3) [1].

Figure 2.3 – Classification des fauteuils roulants

8 Khaoula Brahim

Chapitre 2. Etat de l’art

a) Fauteuils roulants manuels

Pour cette gamme, on distingue trois catégories différentes, à savoir les fauteuils pliants clas-siques, les fauteuils pliants haut de gamme et les fauteuils verticalisateurs.Les fauteuils pliants classiques :Ils sont inspirés des anciens modèles de fauteuils roulants en acier, ils représentent les modèlesles plus classiques, les plus connus et les moins chers. Ils sont simples au niveau de l’utilisa-tion mais ils ne sont pas toujours adaptés à une utilisation intensive. A titre d’exemple, deuxprototypes de cette catégorie sont représentés sur les figures 2.4 et 2.5.

Figure 2.4 – PRIMEO [12] Figure 2.5 – PYRO Light Vario [12]

Les fauteuils pliants haut de gamme :Les fauteuils de cette classe se distinguent des fauteuils classiques par le fait qu’ils offrent plusde choix au niveau des dimensions (assise et dossier), ils permettent aussi un meilleur confortgrâce à un multipalier de roues arrières qui peut assurer un bon roulement grâce à la bonneprécision de réglage par rapport au centre de gravité de l’handicapé. A titre d’exemple, deuxprototypes de cette catégorie sont illustrés sur les figures 2.6 et 2.7.

Figure 2.6 – EASY 300 [12] Figure 2.7 – SPIN X [12]

Les fauteuils manuels verticalisateurs :Comme l’indique leur nom, ce sont des fauteuils qui permettent aux utilisateurs de passerd’une position assise à une position debout. La verticalisation se fait soit manuellement parun système de vérin soit électriquement à l’aide d’une télécommande. Ce type des fauteuils est



équipé d’un système de sécurité qui empêche le déclenchement brusque de la verticalisationlors d’un transfert. A titre d’exemple, deux prototypes de cette catégorie sont représentés surles figures 2.8 et 2.9.

Figure 2.8 – ACTION VERTIC [12] Figure 2.9 – LS " Vivre-Debout" [12]

b) Fauteuils roulants électriques

Les fauteuils de cette classe sont actionnés par des moteurs et peuvent être utilisés à l’intérieurou à l’extérieur. Ils sont employés généralement par les personnes qui ont une mobilité limitée.On distingue, dans cette classe, trois catégories différentes :Les fauteuils électriques d’intérieur :Ce sont des fauteuils à usage dominant intérieur. Ils sont conduits avec un joystick. A titred’exemple, deux prototypes de cette catégorie sont représentés sur les figures 2.10 et 2.11.

Figure 2.10 – Le fauteuil GO CHAIR [12] Figure 2.11 – Le fauteuil REAL 6100 [12]

Les fauteuils électriques à châssis fixe :Ces fauteuils, contrairement aux châssis pliant, peuvent être considérés comme de vrais fau-teuils électriques et pas juste des fauteuils manuels avec motorisation électrique. Grâce à leur

10 Khaoula Brahim


rigidité, ils offrent une remarquable autonomie. Leurs accessoires et options peuvent être adap-tés aux besoins du client : inclinaisons électriques par télécommande, du dossier, de l’assise etdes repose-jambes. En dépit de leur robustesse, ces fauteuils restent toujours moins pratiqueset difficilement transportables vue leur poids (autour de 100 kg). A titre d’exemple, deuxprototypes de cette catégorie sont représentés sur les figures 2.12 et 2.13.

Figure 2.12 – STORM 4 [12] Figure 2.13 – ZEPHYR [12]

Les fauteuils électriques à châssis pliant :La conception de ce genre de fauteuils représente un inconvénient au niveau de la robustesse,de l’autonomie et même du confort pour quelques cas d’handicap. Cependant, leur transportest facile en comparaison avec ceux à châssis fixe vue la possibilité d’être plié ou démonté.A titre d’exemple, deux prototypes de cette catégorie sont représentés sur les figures 2.14 et2.15.

Figure 2.14 – MIRAGE [12] Figure 2.15 – RAPIDO [12]

Les fauteuils à verticalisation électrique :Ils permettent aux personnes à mobilité réduite de choisir entre deux positions assise ou debout.Du fait qu’ils soient équipés de nombreuses options et accessoires, ils offrent une meilleure au-tonomie et confort mais avec quelques difficultés au niveau de l’utilisation. A titre d’exemple,deux prototypes de cette catégorie sont représentés sur les figures 2.16 et 2.17.



Figure 2.16 – SQUOD SU [12]Figure 2.17 – DRAGON VERTIC [12]

c) Fauteuils roulants automatisés

Tous ces fauteuils cité auparavant restent toujours incapables d’assurer à la fois confort etautonomie parfaite à l’utilisateur surtout dans certaines situations : déplacement debout, pas-sage d’obstacles, etc.Pour résoudre ces problèmes, plusieurs idées ont émergé mais elles sont restées au stade deprototype vue leur manque d’efficacité. Le seul fauteuil automatisé qui a pu être commercialiségrace à sa nouvelle technologie c’est l’IBOT .IBOT : une nouvelle technologie :L’IBOT (cf. figure 2.18) est un fauteuil roulant électrique automatisé développé par l’inventeuraméricain Dean Kamen et commercialisé par " Johnson & Johnson ". C’est un appareil équipéde quatre roues motrices qui est capable grâce à sa technologie médicale impressionnante, d’ai-der des personnes avec des problèmes graves de mobilité.[5]Il est équipé d’un certain nombre de dispositifs qui le distingue de la plupart des fauteuilsroulants actionnés, à savoir :

• Il permet à l’utilisateur d’être à la même hauteur que son interlocuteur (équilibredu type pendule inversé deux roues).• Il assure un déplacement sur différents types de terrains (trottoirs, escaliers,

gravier, etc).• Il fonctionne à piles.

Cependant il présente quelques difficultés telles que :

• Il n’est pas adapté aux enfants ni aux personnes trop fortes.• Il ne permet pas la verticalisation.• Il est très encombrant : trop grand pour entrer dans une voiture.• Il coûte cher (environ 18000 Euros) et il n’est pas remboursé par les assurances.

12 Khaoula Brahim


(a) (b)

Figure 2.18 – (a) : IBOT en position deux roues [25], (b) : IBOT en position descente escaliers[24].

2.3 Les pendules inversés

2.3.1 Définition

Avant d’aller plus loin sur les pendules inversés, on doit commencer par définir ce type desystèmes. En effet, un pendule inversé n’est qu’une tige posée en position d’équilibre instable(verticale à 180o) sur une base qui peut être fixe ou mobile. La dynamique non linéaire etinstable de ce système physique a fait de lui un système très intéressant et largement étudiédans la communauté des automaticiens, ce qui explique l’existence de plusieurs aspects etformes de pendules inversés.On peut trouver divers types de pendules inversés tels que : le pendule inversé simple, lependule inversé double, le pendule inversé de Furuta, etc. Dans la suite ces différents typesseront présentés.

2.3.2 Le pendule inversé classique

Ce système mécanique consiste en un chariot de masse M qui peut se déplacer horizontalementet librement sur un rail de guidage en supportant une tige de masse m libre en rotation autourd’un pivot (cf. figure 2.19 ).L’application d’une force f(t) va provoquer le déplacement du chariot et la déviation du penduled’un angle θ(t) par rapport à la verticale [3]. Ceci constitue un système mécanique sous-actionné à deux degrés de liberté et un seul actionneur.Dans le cas de stabilisation d’un tel système, le but de la commande serait de ramener lependule à partir d’une position initiale à sa position d’équilibre instable et le maintenir autourde cette position.


2.3. Les pendules inversés

(a) (b)

Figure 2.19 – (a) : Photo d’un pendule inversé classique [14], (b) : son schéma de principe[3]

2.3.3 Le double pendule inversé

Pour ce type, on peut distinguer deux architectures différentes :

a) En cascade

Il a le même principe que le pendule simple, la seule différence réside dans le fait qu’il disposede deux tiges en rotation libre. L’une tourne autour du pivot à la base, d’un angle θ1(t) etl’autre avec l’angle θ2(t) autour de la deuxième articulation entre les deux tiges (cf. figure2.20).Le but de la commande pour ce système consiste à stabiliser les deux tiges autour de laverticale et les maintenir autour de ce point d’équilibre instable [29].

(a) (b)

Figure 2.20 – (a) : Photo d’un double pendule inversé en cascade [16], (b) : son schéma deprincipe [29]

14 Khaoula Brahim


b) En parallèle

Dans ce cas, le chariot supporte deux tiges indépendantes : une tige L de longueur lL et uneautre B de longueur lB, les deux en rotation libre (cf. figure 2.21). Le déplacement x(t) de labase va engendrer une déviation d’un angle θL par rapport à la verticale sur la première tigeet d’un angle θB par rapport à la verticale sur la deuxième tige [18].Le but de la commande consiste à stabiliser les deux tiges autour de la verticale au pointd’équilibre instable et les maintenir même dans le cas de présence de perturbations externes.

(a) (b)

Figure 2.21 – (a) : Photo d’un double pendule inversé parallèle [10], (b) : son schéma deprincipe [18]

2.3.4 Le pendule inversé de Furuta

Ce pendule a été conçu par K. Furuta (cf. figure 2.22). Il est composé d’un bras actionné enrotation dans le plan horizontale, à son extrémité vient s’ajouter un pendule inversé monté enéquilibre instable. La rotation infinie du bras assure la stabilisation et le maintien du penduleautour de la verticale au point d’équilibre instable [27].

(a) (b)

Figure 2.22 – (a) : Photo de pendule de Furuta [17], (b) : son schéma de principe [27]


2.3. Les pendules inversés

2.3.5 Le pendule inversé stabilisé par volant d’inertie

C’est un système composé de deux corps mécaniques : un pendule inversé en rotation libreautour d’un pivot lié au bâti et un volant actionné (roue d’inertie) dont le centre de massecoincide avec l’extrémité du pendule (cf. figure 2.23).Le principe de fonctionnement de ce système est basé sur le mouvement de rotation du volantd’inertie qui provoque, par les effets dynamiques qu’il induit, la rotation de pendule [22].Le but de la commande consiste à stabiliser le pendule autour de la verticale au point d’équi-libre instable et le maintenir dans cet état.

(a) (b)

Figure 2.23 – (a) : Photo de pendule inversé stabilisé par volant d’inertie [4], (b) : son schémade principe [22]

2.3.6 Le pendule inversé sur deux roues

Le pendule inversé sur deux roues est considéré comme un prototype académique largementétudié dans le domaine de l’automatique. Comme son nom l’indique, il est constitué d’unebase mobile (l’essieu et les deux roues) surmontée d’un pendule inversé en rotation libre au-tour d’un pivot (articulation passive) entre l’essieu et la tige du pendule. L’angle d’inclinaisondu pendule par rapport à la verticale est notée (ψ)(cf. figure 2.24).Le principe de fonctionnement du système est très simple en théorie : quand le pendule penchevers l’avant, la partie mobile doit le rattraper en effectuant un mouvement vers l’avant et visversa. La difficulté réside dans le réglage de l’intensité de réaction des roues afin d’agir face àl’angle que fait le pendule avec la verticale [6].

16 Khaoula Brahim


(a) (b)

Figure 2.24 – (a) : Photo de pendule inversé sur deux roues [6], (b) : son schéma de principe[15]

Comme une application réussite du principe de ce pendule, on peut citer le Segway (cf. fi-gure 2.25). C’est un moyen de transport électrique et individuel inventé par Dean Kamen. Ledernier s’est inspiré d’un pendule inversé miniature connu sous le nom de Joe-le-Pendule (cf.figure 2.25) qui a été développé en 1996 au laboratoire d’Electronique Industrielle de l’EPFL[11].Le pilotage du Segway est basé sur l’inclinaison du corps de l’utilisateur dans la direction dedéplacement voulue. En effet, il faut se pencher en avant ou en arrière pour avancer ou reculeret à droite ou à gauche pour tourner [26].

(a)(b)

Figure 2.25 – (a) : Photo du Joe-le-Pendule [11], (b) : Photo du Segway [20]


2.4. Conclusion

2.4 Conclusion

Ce chapitre a fait l’objet d’un état de l’art sur deux systèmes : le premier est le fauteuil roulantoù on a présenté l’origine de cet appareil et ses différents types en commençant par le fauteuilmanuel jusqu’au fauteuil le plus développé en ce moment qui est l’IBOT, le deuxième est lependule inversé où on a définit ce système et on a présenté ses différents types.

18 Khaoula Brahim

Chapitre 3

Le fauteuil roulant FreeMove

3.1 Introduction

Dans ce chapitre, on va étudier les aspects mécanique, géométrique et dynamique du fauteuilroulant automatisé FreeMove puis on va présenter la dynamique de son modèle simplifié,à savoir le pendule inversé sur deux roues. Les deux modèles (fauteuil complet et modèlesimplifié) seront utilisés dans la phase de conception de lois de commande pour l’asservissementdu fauteuil.

3.2 Description

Pour étudier le fauteuil roulant automatisé FreeMove, il serait judicieux de connaître sescaractéristiques mécaniques ainsi que ses fonctionnalités.

3.2.1 Aspect mécanique

La structure mécanique de FreeMove (cf. figure 3.1) se compose de deux parties principales :

Figure 3.1 – Le fauteuil FreeMove

19

3.2. Description

a) Le siège biomécanique

Il est constitué d’articulations pivot-glissières permettant un réel suivi entre les surfaces queconstitue le siège et le corps qui s’y repose. Il peut être décomposé en trois sous-partiesmécaniques, à savoir : le dossier, l’assise et les deux repose jambe (cf.figure 3.2).

(a)(b) (c)

(d)

Figure 3.2 – (a) : le siège biomécanique , (b) : le dossier, (c) : l’assise, (d) : repose jambe

b) La base mobile

C’est la base du fauteuil roulant FreeMove sur laquelle se repose le siège biomécanique. Ellecomporte principalement trois sous-parties mécaniques (cf. figure 3.3) :- L’embase, l’essieux et les deux batteries.- Le pilier : c’est le corps qui va assurer le changement de la position du siège.- Le bras central : c’est un vérin qui permettra de modifier la position du fauteuil (assise,réhaussée, verticale).

(a) (b) (c)(d)

Figure 3.3 – (a) : la base mobile , (b) : embase, essieux et batteries , (c) : le pilier, (d) : lebras central

3.2.2 Fonctionnalités

L’aspect mécanique qu’on a décrit a été choisi dans le but d’assurer plus de liberté de mou-vement pour l’utilisateur. Les possibilités de mouvement qu’offre FreeMove, peuvent décrire

20 Khaoula Brahim

Chapitre 3. Le fauteuil roulant FreeMove

clairement ses différentes fonctions qui sont présentées comme suit :La position assise

C’est une position assise classique sur quatre roues.La position réhaussée

Cette position est très pratique pour les personnes à mobilité réduite vue qu’elle puisse leurpermettre d’être à la même hauteur d’une personne debout.Le relèvement des jambes

Cette position est souhaitée pour l’handicapé vue qu’elle aide à améliorer la rétention du sangdans les jambes lors d’une position assise prolongée. Elle est possible pour une configurationassise classique ou réhaussée (cf. figure 3.4).

Figure 3.4 – Le relèvement des jambes en position réhaussée et assise

La verticalisation

C’est le passage d’une position assise à une position verticale. Le verticalisation sur quatreroues peut assurer à l’utilisateur une position debout fixe alors que la verticalisation sur deuxroues peut lui assurer le déplacement tout en gardant l’état debout. (cf.figure 3.5).

(a) (b)

Figure 3.5 – (a) : Une position verticale (fixe), (b) : Une position verticale (mobile)

Le passage d’obstacles

Pour satisfaire l’adaptation de l’handicapé à son environnement, la version finale du fauteuilFreeMove comportera une option permettant le passage d’obstacles que ce soit en positionassise ou bien en position debout.


3.3. Modélisation géométrique

3.3 Modélisation géométrique

La modélisation géométrique du système est une étape indispensable pour qu’on puisse établirun modèle géométrique permettant d’exprimer les déplacements des articulations et nousaidera éventuellement dans le calcul du centre de masse de la structure.

3.3.1 Principe de base

Le modèle géométrique se base sur la connaissance de tout l’aspect architectural du système.Pour cette raison, on a illustré le fauteuil FreeMove par un modèle MBS (multibody systems)illustré sur la figure 3.6, il permet de représenter le système en considérant toutes les partiesqui le composent comme étant des corps rigides (pas de déformation).D’après la figure 3.6, le système est composé de 8 articulations rotoîdes (au niveau des roueset des corps 2, 3, 4, 7, 8, et 9) et 2 glissières (au niveau du corps 4 et 6).On a commencé la modélisation géométrique par positionner des repères locaux qui définissentla position et l’orientation de chaque corps du fauteuil, puis en se basant sur ces repères, on acalculé les positions des centres du masse de tous les corps. Ces positions vont nous permettrepar la suite de déterminer la position du centre de masse de tout le système.

Figure 3.6 – Le modèle du fauteuil FreeMove

22 Khaoula Brahim


3.3.2 Calcul du centre de masse (COM)

A partir du calcul géométrique effectué précédemment, on a pu extraire les positions du centrede masse de chaque corps du système, récapitulées dans le tableau 3.1 :

corps1 corps2 corps3 corps4 corps5 corps6 corps7 corps8 corps9

m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m8 m9

xcom1 xcom2 xcom3 xcom4 xcom5 xcom6 xcom7 xcom8 xcom9

ycom1 ycom2 ycom3 ycom4 ycom5 ycom6 ycom7 ycom8 ycom9

zcom1 zcom2 zcom3 zcom4 zcom5 zcom6 zcom7 zcom8 zcom9

Table 3.1 – Les positions des centres de masse des corps du fauteuil

Les positions du centre de masse COM de tout le fauteuil sont déterminées par les expressionssuivantes :

XCOM =

∑9i=1mixcomiMg

(3.1)

YCOM =

∑9i=1miycomiMg

(3.2)

ZCOM =

∑9i=1mizcomiMg

(3.3)

Avec : Mg est la masse totale du fauteuil donné par :

Mg =9∑

i=1

mi (3.4)

3.4 Modélisation dynamique

La modélisation dynamique [19] [8] permettra de décrire sous forme mathématique l’évolutionde la dynamique du système tout en prenant en compte les effets de gravité, de Coriolis,d’inertie et les efforts externes appliqués au système.

3.4.1 Principe générale de Lagrange

Formalisme de Lagrange

Afin d’obtenir les équations dynamiques qui permettent de mettre en relation les positions,les vitesses et les accélérations du système, on utilisera le formalisme de Lagrange décrit par


3.4. Modélisation dynamique

la formule suivante :

d

dt(∂L

∂q̇i)− ∂L

∂qi= Qi (3.5)

où qi sont les coordonnées généralisées du système, q̇i sont les dérivées des coordonnées géné-ralisées, L est le Lagrangien du système et Qi(i = 1...N) sont les couples ou forces généraliséscorrespondant aux qi.Le Lagrangien

Pour n’importe quel système mécanique, le Lagrangien est décrit comme étant la différenceentre l’énergie cinétique et l’énergie potentielle :

L = T − V (3.6)

avec T est l’énergie cinétique totale du système, V est l’énergie potentielle totale du système.

3.4.2 Application au fauteuil FreeMove

Le vecteur de ses coordonnées généralisées s’écrit :q =

[xc yc φ q2 q3 q4 q5 q6 q7 q8 q9 θr θl

]TMaintenant que nous avons décrit les paramètres du système, on va appliquer le principe deLagrange qu’on a cité précédemment. Le Lagrangien du système est définit par l’expression(3.6) avec :

T = Tw +9∑

i=1

Ti (3.7)

où Ti et Tw sont respectivement l’énergie cinétique du corps i et l’énergie cinétique des roues

Ti =1

2miV

Ti Vi +

1

2ΩTi IiΩi (3.8)

avec : mi est la masse du corps i, Vi est le vecteur de vitesse linéaire du corps i, Ωi est savitesse angulaire et Ii est son moment d’inertie.

Tw =1

2mwr

2w(θ̇

2r + θ̇

2l ) +

1

2(Iwa + Iraγ

2)(θ̇2r + θ̇2l ) + (Iwd + Ird)φ̇

2 (3.9)

avec Iwa, Iwd : sont les inerties de la roueIra et Ird : sont les inerties du moteurmw et rw : sont respectivement la masse de la roue et son rayon

24 Khaoula Brahim


γ : est le rapport de la réductionL’énergie potentielle du système est décrite par :

V = Vw +9∑

i=1

Vi (3.10)

où Vi et Vw sont respectivement l’énergie potentielle du corps i et l’énergie potentielle desroues qui est nulle. Il est nécessaire de mettre les équations dynamiques qu’on a eu aprèsl’application du formalisme de Lagrange, basé sur la formule (3.5), sous forme matricielle d’oùl’expression du modèle dynamique [19].

M(q)q̈ +N(q, q̇)q̇ +G(q) = Eu (3.11)

où M(q) ∈ R13×13 est la matrice d’inertie, N(q, q̇) ∈ R13×13 est la matrice de Coriolis,G(q) ∈ R13 est le vecteur de Gravité et Eu est le vecteur de commande. Les vecteurs depositions, de vitesses et d’accelerations sont notés respectivements q, q̇ et q̈.La matrice d’inertie est déduite de l’énergie cinétique totale du système que l’on exprime parla formule suivante [19] :

T =1

2

13∑i,j=1

Mij(q)q̇iq̇j =1

2q̇TM(q)q̇ (3.12)

La matrice de Coriolis et des termes centrifuges est déduite à partir de la formule suivante :

Nkj =13∑i=1

nijk(q)q̇i =13∑i=1

1

2{∂Mkj∂qi

+∂Mki∂qj

− ∂Mij∂qk}q̇i (3.13)

où nijk sont appelés sympboles de Christoffel [19].Le vecteur de gravité se déduit en dérivant l’énergie potentielle globale du système commesuit :

G(q) =

∂V∂qi...∂V∂qn

(3.14)Les équations des contraintes

L’équation (3.11) représente l’équation de mouvement dans le cas où toutes les contraintes dusystème sont holonomes. Le système du fauteuil roulant FreeMove est décrit par :

q̈ = f(q, q̇, Eu) (3.15)


3.5. Modèle simplifié du système

Si les contraintes qui empêchent le mouvement de l’équation (3.15) dans toutes les directionsde l’espace de configuration peuvent satisfaire la propriété d’intégrabilité complète, c’est àdire, si elles peuvent être écrites sous la forme suivante g(q, t) = 0 alors, ces contraintes sontappelées contraintes holonomes. Cependant, dans le cas où les contraintes sont exprimées sousla forme : h(q̇, q, t) = 0 , elles sont appelées contraintes non holonomes.Dans le cas de notre système, les contraintes sont décrites par :

ẋc sinφ− ẏc cosφ = 0 (3.16)

ẋc cosφ+ ẏc sinφ =rw2

(θ̇r + θ̇l) (3.17)

φ̇ =rw2b

(θ̇r − θ̇l) (3.18)

Ce qui fait, les deux contraintes (3.16) et (3.17) sont non holonomes alors que la (3.18) estune contrainte holonome.Les équations (3.16), (3.17) et (3.18) peuvent être réécrites sous forme matricielle J(q)q̇ = 0.Par conséquent, et en tenant compte des contraintes de non-holonomie du système, l’équationde mouvement (3.11) deviendra :

M(q)q̈ +N(q, q̇)q̇ +G(q) = Eu+ J(q)Tλ (3.19)

avec λ est le vecteur des multiplicateurs de Lagrange.

3.5 Modèle simplifié du système

Dans le but d’établir une stabilisation du centre de masse du fauteuil autour de la verticaleafin d’assurer son équilibre, on propose un modèle simplifié qui consiste à un pendule inversésur deux roues comme le montre la figure 3.7.

3.5.1 Du fauteuil FreeMove au pendule inversé sur deux roues

On considère que lg est la distance entre le centre du masse du fauteuil COM et le centre del’essieu (xc, yc), ψ est l’angle que fait la position de COM avec la verticale et Mg est la massetotale définie par l’expression (3.4). FreeMove peut être assimilé à un pendule inversé sur deuxroues comme montre la figure 3.7.

3.5.2 Dynamique du pendule inversé sur deux roues

La figure 3.7 représente le schéma de principe de simplification du fauteuil ramené à un pen-dule inversé sur deux roues.

26 Khaoula Brahim


Figure 3.7 – Modèle simplifié de FreeMove : un pendule inversé sur 2 roues

Le système comporte les 6 degrés de liberté suivants :xc, yc : les coordonnées de l’origine de l’essieuφ : l’angle de rotation de l’essieu dans le plan horizontalψ : l’angle d’inclinaison du châssis par rapport à la verticaleθr : l’angle de rotation de la roue droiteθl : l’angle de rotation de la roue gaucheLe vecteur de coordonnées généralisées qui permettant de décrire ce système sera :q =

[xc yc φ ψ θr θl

]TPhysiquement, le déplacement des deux roues du masse mw et de rayon rw sous l’effet descouples moteur τr et τl va agir sur le basculement du châssis dont la masse est Mg et la lon-gueur est lg.Le centre de l’essieu est localisé à une distance b de côté des centres des deux roues.cr et cl sont respectivement les coefficients de frottement visqueux de la roue droite et gauche.Maintenant que nous avons décrit les paramètres du système, on va appliquer le principe deLagrange, présenté précédemment, pour le calcul du modèle dynamique.Le Lagrangien du système est définit par l’expression (3.6) avec :

T = Tg + Tw (3.20)

On note Tg et Tw sont respectivement l’énergie cinétique du châssis et celle des roues, à savoir :

Tg =1

2MgV

Tg Vg +

1

2ΩTg IgΩg (3.21)


3.5. Modèle simplifié du système

où Vg est le vecteur des vitesses linéaires du châssis, Ωg est sa vitesse angulaire et Ig est sonmoment d’inertie.L’énergie cinétique des roues est identique que pour le fauteuil complet. Elle est décrite parl’équation (3.9).L’énergie potentielle du système est donné par :

V = Vg + Vw (3.22)

Vg et Vw sont respectivement l’énergie potentielle du châssis et celle des roues (nulle dans cecas)Pour ce système simplifié, on va prendre en compte les énergies dues aux frottement et qu’onnote D = 1

2cr(θ̇r − ψ̇)2 + 12cl(θ̇l − ψ̇)

2.Un nouveau terme est ajouté au niveau du formalisme de Lagrange qui est décrit par la for-mule suivante :

d

dt(∂L

∂q̇i)− ∂L

∂qi+∂D

∂q̇i= Qi (3.23)

La prise en compte des contraintes du système décrites par les expressions (3.16), (3.17) et(3.18) fait de telle sorte que le modèle dynamique du pendule inversé sur deux roues seraprésenté par :

M(q)q̈ +H(q, q̇) + Λq̇ +G = Eτ + J(q)Tλ (3.24)

avec : Λ est la matrice des coefficients visqueux donnée par Λ =

∂D∂q̇1...

∂D∂q̇i

Eτ est le vecteur de commande où τ =

[τr

τl

]et E =

0 0

0 0

0 0

−1 −11 0

0 1

28 Khaoula Brahim


3.6 Conclusion

Dans ce chapitre, on a présenté différents aspects du fauteuil roulant FreeMove : sa conceptionmécanique, son modèle géométrique et son modèle dynamique.On a proposé aussi un modèle simplifié du fauteuil qui est le système de pendule inversé surdeux roues où on a décrit ce modèle et on a étudié sa dynamique.


Chapitre 4

Solutions proposées en terme de

commande

4.1 Introduction

Ce chapitre sera consacré aux solutions proposées pour résoudre le problème de commande dufauteuil roulant. Dans ce contexte, on a suit une stratégie qui consiste à étudier la commandedu modèle simplifié, puis proposer une solution de commande du fauteuil complet. En effet,dans la première étape, on a établi une étude sur la stabilisation du système de pendule inversésur deux roues en proposant deux lois de commande différentes : la commande optimale LQet la commande prédictive non linéaire NMPC. Dans la deuxième étape, on a exploité lesrésultats obtenus dans la première étude afin de proposer une commande pour le fauteuilcomplet.

4.2 Commande du système simplifié

Pour résoudre le problème de stabilisation du pendule inversé sur deux roues on propose deuxsolutions, à savoir :une commande optimale LQ et une commande prédictive non linéaire quisont présentées par la suite.

4.2.1 La commande optimale

L’idée de la commande optimale a commencé par la recherche des solutions pour des problèmesqu’on rencontre dans la vie de tous les jours tels que : comment arriver à un endroit en untemps minimum? comment arriver à consommer un minimum d’énergie ?, etc.Pour un système dynamique commandable, la commande optimale consiste à déterminer une

30

Chapitre 4. Solutions proposées en terme de commande

loi de commande qui permet de faire évoluer le système d’un état initial donné vers un étatfinal tout en minimisant un critère traduisant certains performances désirées. Ce critère estdit un critère d’optimalité et on le note par J [13]. A titre d’exemple on peut citer les critèressuivants :- la commande en temps minimum : J =

∫ tft0dt = tf − t0

- le critère énergétique : J =∫ tf

t0u2dt

- le critère quadratique : J =∫ tf

t0(εTQε+ uTRu)dt

Tel que ε est l’écart entre les états du système et leur références et u est le vecteur commande.Le critère quadratique représente un compromis entre les performances de poursuite expriméesdans le terme

∫ tft0εTQεdt et l’énergie de commande exprimée dans le terme

∫ tft0uTRudt.

En effet, dans le cas d’un processus dynamique linéaire décrit par les équations d’état :ẋ = Ax+Bu

y = Cx+Du

Le critère d’optimalité s’écrit :

J =1

2

∫ ∞0

(xTQx+ uTRu)dt (4.1)

Avec Q et R sont deux matrices de pondération qui sont en général choisi comme diagonales.Dans ce cas, la loi de commande optimale qui permet de minimiser le critère d’optimalité Jest définie par :

u = −Kx (4.2)

où K est exprimé par la relation K = −R−1BTP et P est une matrice symétrique définiepositive, solution de l’équation algébrique de Riccati : PA+ATP −PBR−1BTP +CTQC = 0Pour le cas de notre système, on a utilisé une régulation optimale quadratique à un horizoninfini [6]. En effet, afin de linéariser le système autour d’un point d’équilibre, on définit le

vecteur d’état x =

[q

q̇

]L’équation dynamique du système (3.24) peut être écrite sous la forme ẋ = f(x, u) et par lasuite on obtient la forme linéaire suivante :ẋ = Ax+Bτ

y = Cx+Dτ

4.2.2 La commande prédictive non linéaire

La commande prédictive non linéaire (NMPC) est une technique de commande avancée. Elleest considérée comme une commande très intéressante vue qu’elle permet de prendre en compte


4.2. Commande du système simplifié

l’aspect non linéaire des systèmes dynamiques tout en gérant leurs différentes contraintes.Aussi, ses résultats sont assez robustes vue que son fonctionnement est indépendant de lacomplexité mathématique du modèle et des perturbations qu’il subit [9].On peut illustrer le principe de cette commande par un exemple des problématiques de la vieréelle : un véhiculé veut atteindre un endroit désiré dans un temps minimum. A l’instant initialk, il choisit le chemin le plus approprié et il le respecte jusqu’à l’instant k + 1 où il évalueà nouveau les données actuelles de son trajet (état des routes, changement de climat...) et ilchoisit un nouveau chemin approprié et il le garde jusqu’à l’instant k + 2. Il répète le mêmeraisonnement jusqu’au point d’arrivée.Le chemin optimale ce n’est que l’ensemble des chemins choisis entre les instants de décisionk, k + 1, k + 2...

Pour élaborer la loi de commande prédictive [21] et en se basant sur la figure 4.1 on peutformuler la technique qu’il faut suivre par les étapes suivantes :

• A l’instant k, on mesure l’état x(k)• Pour un horizon de prédiction défini Hp, on calcule la meilleure séquence de

commandes optimaleu0(x(k)) = (u0(k, x(k)) u0(k+ 1, x(k)) ... u0(k+ i, x(k)) ...) qui permet de mini-miser une certaine fonction coût qu’on choisit suivant l’objectif voulu et suivantles contraintes qui définissent le système.• On applique juste la première valeur de la séquence pour la période [k, k + 1]• A l’instant k + 1, on mesure l’état x(k + 1)• On décale l’horizon de prédiction Hp et on calcule la meilleure séquence decommandes optimaleu0(x(k + 1)) = (u0(k + 1, x(k)) u0(k + 2, x(k)) ... u0(k + i, x(k)) ...)• On applique juste la première valeur de la séquence pour la période [k+ 1, k+ 2]

On répète la même technique pour chaque instant d’échantillonnage.Le problème majeur qu’on a rencontré pendant l’implementation de cette commande c’est letemps de calcul très important.Pour cette raison et dans le but d’alléger ce temps d’exécution, on a utilisé la méthode de laparamétrisation de la commande.

32 Khaoula Brahim


Figure 4.1 – Principe de base de la commande prédictive non linéaire

Avec paramétrisation de la commande

Comme le montre la figure 4.2, on respecte toujours le même principe de la prédictive (NMPC)mais cette fois-ci au lieu d’agir directement sur une séquence de commande, on agit sur deuxparamètres p1 et p2 qui définissent les paramètres de la commande.En effet, on va choisir les valeurs les plus appropriées de p1 et p2 qui peuvent fournir unemeilleure commande optimale définie par u = p1e−t + p2e−2t.Cette commande permet de minimiser le critère d’optimalité J .

Figure 4.2 – Principe de base de la commande prédictive non linéaire paramétrée

4.3 Commande du fauteuil complet

Pour stabiliser le fauteuil complet, la solution qu’on propose consiste à décomposer la com-mande en deux parties : La première sert à stabiliser le COM du fauteuil afin de garantirson équilibre. La deuxième, quant à elle, sert à stabiliser la structure mécanique articulée dufauteuil autour des trajectoires de référence.


4.4. Conclusion

4.3.1 Principe de la décomposition de la commande

Vue que le fauteuil FreeMove complet représente un système très complexe, on a choisi dele stabiliser en appliquant deux commandes : une commande qui va stabiliser son centre dumasse autour de la verticale en se basant sur le modèle simplifié et une autre commande quiva stabiliser la posture du fauteuil autour d’une certaine posture de référence.

Commande 1 : stabilisation du centre de masse

En se basant sur le modèle simplifié du système décrit par la figure 3.7, la stabilisation ducentre de masse du fauteuil n’est qu’une stabilisation d’un pendule inversé sur deux roues.Pour cette raison, on va exploiter les résultats des commandes déjà appliqués sur ce systèmeet qui ont été présentées dans la partie "Commande du système simplifié".La complexité du modèle dynamique de FreeMove rend sa linéarisation une tâche extrêmementdélicate, ce qui nous empêche d’adopter la commande optimale LQ comme solution car elleest basée sur un modèle d’état linéaire.Pour stabiliser le centre du masse, on propose d’utiliser la commande prédictive non linéaireavec paramétrisation ce qui permet de réduire considérablement le temps de calcul.

Commande 2 : stabilisation de toute l’architecture

Pour stabiliser l’architecture globale du fauteuil à une posture bien précise (position assise,position réhaussée, etc), on propose d’appliquer une commande dynamique qui, grâce auxtrajectoires de référence qu’elle utilise, permet aux articulations du système de passer d’uncertain état initial à un état final désiré.

4.3.2 Combinaison des deux commandes

L’idée de la commande appliquée sur le fauteuil en entier s’appui sur la combinaison desdeux commandes 1 et 2 présentées ci-dessus. La première sert à garder le centre du massede tout le système à une position stable (définie par la position autour de la verticale) etla deuxième permettra d’assurer la stabilisation de la configuration du fauteuil autour d’uneposture désirée.

4.4 Conclusion

Ce chapitre a fait l’objet d’une présentation des différentes solutions proposées afin de com-mander le fauteuil complet et son modèle simplifié, qui est le pendule inversé sur deux roues.

34 Khaoula Brahim


Pour la stabilisation du système simplifié, on a proposé deux approches de commande : unecommande optimale LQ et une commande prédictive non linéaire.Pour le fauteuil roulant automatisé, on a proposé une commande qui stabilise d’une part soncentre de masse à l’aide d’une commande prédictive non linéaire paramétrée et d’autre partsa posture autour d’une certaine posture de référence à l’aide d’une commande dynamique.


Chapitre 5

Résultats des simulations

5.1 Introduction

L’idée de la commande appliquée sur le fauteuil complet est basée sur l’exploitation des résul-tats de commande du modèle simplifié, d’où la nécessité de développer deux simulateurs dotésde deux interfaces graphiques de visualisation : l’un pour la commande du système simplifiéet l’autre pour le fauteuil FreeMove.Ce chapitre sera consacré à la présentation des résultats de simulation résultant de l’applicationdes approches de commande proposées.

5.2 Commande du système simplifié

Stabiliser le centre du masse du fauteuil roulant FreeMove n’est que garder un système dependule inversé en position verticale stable.Afin de pouvoir simuler le comportement de ce système simplifié asservi par les lois de com-mande proposées, nous avons développé un simulateur qui sera détaillé dans le section suivante.

5.2.1 Le simulateur développé

Le simulateur développé est basé sur une interface graphique réalisée sous Matlab avec l’outilGraphical User Interface (GUI).Illustrée sur la figure 5.1, cet interface graphique permet à l’utilisateur de communiquer avecles programmes de commande à travers des éléments graphiques : boutons poussoirs, menusdéroutants, éditeurs de texte, etc.

36

Chapitre 5. Résultats des simulations

Description de l’interface graphique

L’interface graphique que j’ai réalisé pour le système de pendule inversé sur deux roues estreprésentée sur la figure 5.1. Elle est composée de différents objets graphiques programmésde telle sorte qu’ils peuvent assurer à l’utilisateur divers types d’actions (animation, images,courbes, textes, videos, etc) à la suite d’un événement (clic ou déplacement de souris, insertiond’un texte, etc).Elle est constituée de 10 rubriques essentielles :- Simulation ou reset - Type de la commande- Nature de l’animation - Conditions initiales- Animation et video - View- Tracer les courbes - Durée de la simulation- Aide ou fermer - AffichageLes tâches effectuées par chaque rubrique définissent les fonctionnalités principales du simu-lateur.

Figure 5.1 – L’interface graphique du simulateur développé pour le système simplifié

Les principales fonctionnalités du simulateur

Simulation ou reset : Permet de lancer la simulation et de réinitialiser le simulateur.Nature de l’animation : Permet de choisir l’angle de vue : Une vue de loin ou une vue deprés centrée.Animation et vidéo : Permet à l’utilisateur de :- Lancer une animation graphique à l’aide du bouton "ANIMATION".



- Interrompre à n’importe quel moment l’animation en cours à l’aide du bouton "STOP ANI-MATION".- Générer une vidéo de l’animation à l’aide du bouton "VIDEO".- Réinitialiser l’animation à l’aide du bouton "RESET".Tracer les courbes : Permet de tracer les courbes résultants de la simulation effectuée (po-sitions, vitesses, accélérations et commandes).Type de la commande : Permet de choisir le type de la commande qu’on souhaite appliquerau système : Commande en boucle ouverte, commande optimale ou commande prédictive nonlinéaire (avec ou sans paramétrisation de la commande)Conditions initiales : Cette rubrique permet de choisir les positions initiales des coordon-nées généralisées suivantes : xc0, yc0, φ0, ψ0, θr0, θl0View : Permet d’ajuster l’angle de vue à travers deux paramètres : l’azimut et l’élévation, etde régler la vitesse d’animation à l’aide d’une barre glissante.Durée de la simulation : Permet à l’utilisateur de saisir la durée de simulation désirée.Aide ou fermer : Permet soit d’ouvrir une fenêtre d’aide qui explique le mode d’emploi dusimulateur soit de quitter toute l’interface.Affichage : une fenêtre graphique qui permet de visualiser l’animation du système de penduleinversé durant la simulation.

5.2.2 Résultats de simulationAfin de simuler le comportement de pendule inversé sur deux roues, on propose trois scénarios :un scénario pour montrer le comportement du système en boucle ouverte et deux scénarios destabilisation qui, grâce aux commandes appliquées, montrent la commande de l’équilibre dusystème.

Scénario 1 : comportement en boucle ouverte

Ce scénario a été effectué pour montrer le comportement du pendule inversé sur deux rouesen boucle ouverte (commande nulle).En effet, on réalise une simulation du système pendant 4 secondes avec une condition initialede l’ange du pendule qui soit ψ0 égale à 30o (0.523 rad) par rapport à la verticale. Les autresconditions initiales sont choisies nulles.

Les résultats de la figure 5.2 illustrent le comportement physique du système en BO sanscommande : Sous l’effet de la gravité, le pendule tombe et touche le sol (cf .figure 5.3). Les deuxroues avancent et reculent comme le montre la figure 5.2 (c), ce qui explique les mouvementsoscillatoires effectués par le pendule autour de l’essieu et qui sont visibles à travers l’évolutionde l’angle ψ durant toute la période de simulation (cf.figure 5.2 (b)).

38 Khaoula Brahim


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−0.2

0

0.2

0.4

0.6

Temps [sec]

x c[m

]

Suivi de la position de xc

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−6

−4

−2

0

2x 10

−16

Temps [sec]

y c[m

]

Suivi de la position de yc

(a)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−2

−1

0

1

2x 10

−15

Temps [sec]

φ[ra

d]

Suivi de la position de φ

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

2

4

6

Temps [sec]

ψ[r

ad]

Suivi de la position de ψ

(b)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−2

0

2

4

6

Temps [sec]

θ r[r

ad]

Suivi de la position de θr

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−2

0

2

4

6

Temps [sec]

θ l[r

ad]

Suivi de la position de θl

(c)

Figure 5.2 – (a) : variation de la position de xc et yc, (b) : variation de la position de φ et ψ(c) : variation de la position de θr et θl

(a) (b) (c) (d)

Figure 5.3 – Le comportement de pendule inversé sur deux roues en boucle ouverte (a) :t=0s, (b) :t=0.88 s, (c) :t=3.108 s, (d) :t=4 s

Cette première simulation montre le caractère instable du pendule inversé sur deux roues. Cecimontre clairement la nécessité de commander un tel système.

Scénario 2 : La commande optimale LQ

L’objectif de la commande optimale LQ est de garder le pendule à une position autour de laverticale.Le scénario de simulation qu’on propose consiste à stabiliser le système à partir d’un étatinitial décrit par les mêmes conditions initiales que le scénario 1.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

Temps [sec]

τ r [N

m]

Suivi de la commande τr

(a)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

Temps [sec]

τ l[N

m]

Suivi de la commande τl

(b)

Figure 5.4 – (a) : variation de la commande τr, (b) : variation de la commande τl

Le comportement du système est illustré par la figure 5.7 : Au début, la partie mobile (l’essieuet les deux roues) accélère afin de rattraper le pendule et cela est justifié par l’évolution desdeux coordonnées θr et θl (cf. figure 5.5 (c)).



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.5

1

1.5

Temps [sec]

x c[m

]


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−2

−1.5

−1

−0.5

0x 10

−16

Temps [sec]

y c[m

]


(a)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−4

−3

−2

−1

0x 10

−16

Temps [sec]

φ[ra

d]


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−0.2

0

0.2

0.4

0.6

Temps [sec]

ψ[r

ad]


(b)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

5

10

15

Temps [sec]

θ r[r

ad]


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

5

10

15

Temps [sec]

θ l[r

ad]


(c)


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.5

1

1.5

2

Temps [sec]

dxc[

m]

Suivi de la vitesse de xc

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−4

−2

0

2x 10

−16

Temps [sec]

dyc[

m]

Suivi de la vitesse de yc

(a)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−2

−1

0

1x 10

−15

Temps [sec]

dφ[r

ad]

Suivi de la vitesse de φ

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−2

−1

0

1

Temps [sec]

dψ[r

ad]

Suivi de la vitesse de ψ

(b)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

5

10

15

20

Temps [sec]

dθr[r

ad]

Suivi de la vitesse de θr

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

5

10

15

20

Temps [sec]

dθl[r

ad]

Suivi de la vitesse de θl

(c)

Figure 5.6 – (a) : variation de la vitesse de xc et yc, (b) : variation de la vitesse de φ et ψ(c) : variation de la vitesse de θr et θl

(a) (b) (c) (d)

Figure 5.7 – Le comportement de pendule inversé sur deux roues avec la commande LQ(a) :t=0 s, (b) :t=0.306 s, (c) :t=1.938 s, (d) :t=3 s

Au bout d’environ 3 secondes, le pendule atteint sa position d’équilibre (cf. figure 5.5 (b)), lesystème arrête d’avancer vue l’évolution de xc (cf. figure 5.5 (a)) et la commande passe à unevaleur nulle (cf.figure 5.4). Le système, en absence de perturbations externes, conserve cetteposition verticale stable jusqu’à la fin de la simulation.L’avantage majeur de la commande optimale est qu’elle ne nécessite pas un temps de calculimportant, de plus elle garantit une stabilisation du pendule au bout de trois secondes. Cepen-dant, elle n’est pas capable de garantir une stabilisation des autres coordonnées généralisées.

40 Khaoula Brahim


Scénario 3 : La commande prédictive non linéaire

Dans ce scénario, on a appliqué la commande prédictive non linéaire avec paramétrisation dela commande vue son efficacité en terme de temps de calcul. L’objectif de la commande estalors :- De stabiliser le pendule à sa position d’équilibre instable (autour de la verticale).- De stabiliser l’angle de rotation de l’essieu φ à une certaine valeur désirée.Pour pouvoir comparer les résultats de cette commande aux résultats de la précédente, ongarde toujours les mêmes conditions de simulation (une durée égale à 4 s, ψ0 = 30 degrés,xc0 = 0, yc0 = 0, φ0 = 0, θr0 = 0 et θl0 = 0). Comme paramètres de la commande prédictive,on a choisi un horizon de commande Hc égale à 2, un horizon de prédiction Hp égale à 3 etune période d’échantillonnage Te égale à 0.1 secondes.Le but de ce scénario est de stabiliser le pendule d’une part et de ramener l’angle de rotationde l’essieu à une valeur désirée (45o= 0.785 rad) d’une autre part.

0 5 10 15 20 25 30 35 40−80

−60

−40

−20

0

20

40

60

80

Temps [sec]

τ r [N

m]


(a)

0 5 10 15 20 25 30 35 40−25

−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

Temps [sec]

τ l[N

m]


(b)

Figure 5.8 – (a) : variation de la commande τr, (b) : variation de la commande τl

0 5 10 15 20 25 30 35 400

1

2

3

Temps [sec]

x c[m

]


0 5 10 15 20 25 30 35 400

1

2

3

Temps [sec]

y c[m

]


(a)

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.5

1

Temps [sec]

φ[ra

d]


0 5 10 15 20 25 30 35 40−0.2

0

0.2

0.4

0.6

Temps [sec]

ψ[r

ad]


(b)

0 5 10 15 20 25 30 35 400

10

20

30

40

Temps [sec]

θ r[r

ad]


0 5 10 15 20 25 30 35 400

10

20

30

Temps [sec]

θ l[r

ad]


(c)


Les mouvements du système sont décrits par la figure 5.11 : Dans un premier temps, les deuxroues accélèrent pour rattraper le pendule (cf.figure 5.9 (c)).Au bout de 0.8 secondes, le pendule atteint une position verticale stable et cela est visible surl’évolution de l’angle ψ (cf.figure 5.9 (b)). La partie mobile continue à avancer afin de ramenerl’angle de rotation de l’essieu à sa valeur désirée (cf.figure 5.9 (a)).


5.3. Commande du fauteuil complet

0 5 10 15 20 25 30 35 40−2

0

2

4

6

Temps [sec]

dxc[

m]

Suivi de la vitesse de xc

0 5 10 15 20 25 30 35 40−2

0

2

4

Temps [sec]

dyc[

m]

Suivi de la vitesse de yc

(a)

0 5 10 15 20 25 30 35 40−10

0

10

20

Temps [sec]

dφ[r

ad]

Suivi de la vitesse de φ

0 5 10 15 20 25 30 35 40−10

−5

0

5

10

Temps [sec]

dψ[r

ad]

Suivi de la vitesse de ψ

(b)

0 5 10 15 20 25 30 35 40−50

0

50

100

Temps [sec]

dθr[r

ad]

Suivi de la vitesse de θr

0 5 10 15 20 25 30 35 40−20

0

20

40

Temps [sec]

dθl[r

ad]

Suivi de la vitesse de θl

(c)

Figure 5.10 – (a) : variation de la vitesse de xc et yc, (b) : variation de la vitesse de φ et ψ(c) : variation de la vitesse de θr et θl

(a) (b) (c) (d)

Figure 5.11 – Le comportement de pendule inversé sur deux roues avec la commande NMPC(a) :t=0 s, (b) :t=0.164 s, (c) :t=0.352 s, (d) :t=0.8 s

Au bout de 1.2 secondes, l’essieu s’incline de 45 degrés (cf.figure 5.9 (b)) tout en conservantl’équilibre du pendule et le système continue à avancer.L’inconvénient majeur de la commande prédictive non linéaire est qu’elle nécessite un tempsde calcul important. Cependant elle est plus efficace vue qu’elle nous a permis de commanderle comportement de deux corps à la fois : le pendule inversé en le stabilisant autour de laverticale et l’essieu en le pivotant à un angle de rotation choisi.

5.3 Commande du fauteuil complet

Pour pouvoir simuler le comportement du fauteuil FreeMove asservi avec la commande pro-posée dans le chapitre 4, nous avons développé un simulateur qui sera détaillé dans la sectionsuivante.

5.3.1 Le simulateur développé

L’interface graphique du simulateur développé pour le fauteuil roulant FreeMove est repré-sentée par la figure 5.12. Elle possède les mêmes fonctionnalités principales que l’interface dupendule inversé sur deux roues et qui ont été décrites précédemment. Ce simulateur prévoit

42 Khaoula Brahim


tout de même une différence au niveau des deux fonctionnalités suivantes :Type de la commande : Permet de choisir la nature du scénario de commande qu’on veutappliquer au système. On note trois scénarios de commande différents.Conditions initiales : Permet de choisir les positions initiales des coordonnées généraliséesillustrées par la figure 3.6 du chapitre 3.

Figure 5.12 – L’interface graphique du simulateur du fauteuil roulant FreeMove

5.3.2 Résultats de simulation

La commande appliquée au fauteuil complet est basée sur la stabilisation du centre de massetout en choisissant une configuration finale bien précise. Pour illustrer cette commande, on aadopté trois scénarios :- Un scénario pour la gestion d’équilibre du fauteuil roulant- Un scénario pour la gestion d’équilibre avec une rotation au niveau de l’essieu- Un scénario pour le changement de la configuration du fauteuil roulant

Scénario 1 : Gestion de l’équilibre du fauteuil

Ce scénario est proposé dans le but de garder le centre de masse du fauteuil dans une positionstable tout en conservant une position assise durant toute la simulation.



En effet, on réalise une simulation du système pendant 2 secondes et on initialise ses coordon-nées généralisées décrites précédemment comme suit :xc0 = 0 q20 = 0 q50 = 0.3 q80 = 0

yc0 = 0 q30 = −0.3 q60 = 0 q90 = 0φ0 = 0 q40 = 0.43 q70 = 0 θr0 = 0 et θl0 = 0Le choix de ces conditions assurent un état initiale du système similaire à l’état final désiré.Le comportement du système durant la simulation est illustré par les images de la figure 5.13.

(a) (b) (c) (d)

Figure 5.13 – Le comportement de FreeMove pour le scénario 1 (a) :t=0 s, (b) :t=0.6 s,(c) :t=1.2 s, (d) :t=2 s

0 0.5 1 1.5 250.5

50.6

50.7

50.8

Temps [sec]

u 2

Visualisation de la commande u2

0 0.5 1 1.5 2−541.2

−541.1

−541

−540.9

Temps [sec]

u 3


(a)

0 0.5 1 1.5 2172

172.2

172.4

172.6

Temps [sec]

u 4


0 0.5 1 1.5 2−84.12

−84.1

−84.08

−84.06

Temps [sec]

u 5


(b)

0 0.5 1 1.5 2−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

Temps [sec]

u 6


0 0.5 1 1.5 20.253

0.254

0.255

0.256

0.257

Temps [sec]

u 7


(c)

0 0.5 1 1.5 2−5.105

−5.1

−5.095

−5.09

−5.085

Temps [sec]

u 8


0 0.5 1 1.5 2−0.055

−0.05

−0.045

−0.04

Temps [sec]

u 9


(d)

Figure 5.14 – (a) : évolution de la commande u2 et u3, (b) : évolution de la commande u4 etu5, (c) : évolution de la commande u6 et u7, (d) : évolution de la commande u8 et u9

(a) (b) (c) (d)

Figure 5.15 – (a) : variation des positions de q2 et q3, (b) : variation des positions de q4 etq5, (c) : variation des positions de q6 et q7, (d) : variation des positions de q8 et q9

Les résultats montrent que la commande NMPC appliquée au niveau des roues (cf. figure 5.17(a)) assure une stabilisation au niveau du centre de masse (cf. figure 5.17 (b)).

44 Khaoula Brahim


0 0.5 1 1.5 2−3

−2

−1

0x 10

−3

Temps [sec]

dq2[

rad]

Suivi de la vitesse de dq2

0 0.5 1 1.5 2−5

0

5x 10

−5

Temps [sec]

dq3[

rad]


(a)

0 0.5 1 1.5 2−1

0

1

2

3x 10

−4

Temps [sec]

dq4[

m]


0 0.5 1 1.5 2−5

0

5x 10

−5

Temps [sec]

dq5[

rad]


(b)

0 0.5 1 1.5 20

1

2

3x 10

−5

Temps [sec]

dq6[

m]


0 0.5 1 1.5 2−4

−2

0

2x 10

−4

Temps [sec]

dq7[

rad]


(c)

0 0.5 1 1.5 2−5

0

5

10x 10

−4

Temps [sec]

dq8[

rad]


0 0.5 1 1.5 2−8

−6

−4

−2

0x 10

−4

Temps [sec]

dq9[

rad]


(d)

Figure 5.16 – (a) : variation des vitesses de q2 et q3, (b) : variation des vitesses de q4 et q5,(c) : variation des vitesses de q6 et q7, (d) : variation des vitesses de q8 et q9

0 5 10 15 20 25 30 35 40−0.44

−0.435

−0.43

−0.425

Temps [sec]

τ r [N

m]


0 5 10 15 20 25 30 35 400.51

0.515

0.52

0.525

0.53

Temps [sec]

τ l[N

m]


(a) (b) (c)

Figure 5.17 – (a) : variation des deux commandes τr et τl, (b) : variation de la position ducentre de masse (c) : variation de l’angle ψ

Si on assimile le système à un pendule inversé sur deux roues comme montre la figure (3.7)du chapitre 3, la position stable du centre de masse est définie par la valeur nulle de l’angled’inclinaison par rapport à la verticale ψ (cf.figure 5.17 (c)).D’après les courbes de simulation obtenus, le contrôleur assure la convergence des coordon-nées généralisées vers les positions désirées (cf.figure 5.15) afin de conserver une position assisestable.

Scénario 2 : Gestion de l’équilibre du fauteuil avec rotation de l’essieu

L’idée de ce scénario consiste à commander le fauteuil FreeMove afin de :- Stabiliser son centre de masse.- Conserver la position assise.- Assurer une rotation bien précise de l’essieu dans le plan horizontal.Pour cela, on propose une simulation de 2 secondes tout en considérant les mêmes conditionsinitiales que le scénario 1. Par ailleurs, le but serait de stabiliser l’angle de l’essieu autourd’une valeur désirée de (40o=0.6981 rad).Les résultats de simulation obtenus pour ce scénario sont donnés par les figures 5.18 et 5.21.Le centre de masse du fauteuil garde une position stable illustrée par les deux courbes (b) et



(c) de la figure 5.20.Grâce aux commandes appliquées aux articulations (q2, q3, q4, q5, q6, q7, q8, q9) (cf. figure 5.19),les positions des coordonnées généralisées convergent vers leurs positions désirées. En effet lescommandes générées assurent que le fauteuil conserve sa position assise. D’autre part, commele montre les images de la figure 5.18, les roues sont commandées afin d’assurer une rotationfinale désirée de l’essieu de 40o et cette rotation est décrite par l’évolution de l’angle φ durantla simulation (cf. figure 5.21).

(a) (b) (c) (d)

Figure 5.18 – Le comportement de FreeMove pendant le scénario 2 (a) :t=0s, (b) :t=0.6s,(c) :t=1.2s, (d) :t=2s

0 0.5 1 1.5 2−50

0

50

100

Temps [sec]

u 2


0 0.5 1 1.5 2−570

−560

−550

−540

−530

Temps [sec]

u 3


(a)

0 0.5 1 1.5 250

100

150

200

Temps [sec]

u 4


0 0.5 1 1.5 2−90

−88

−86

−84

−82

Temps [sec]

u 5


(b)

0 0.5 1 1.5 2−60

−40

−20

0

20

Temps [sec]

u 6


0 0.5 1 1.5 2−1

−0.5

0

0.5

1

Temps [sec]

u 7


(c)

0 0.5 1 1.5 2−8

−7

−6

−5

−4

Temps [sec]

u 8


0 0.5 1 1.5 2−1

0

1

2

Temps [sec]

u 9


(d)

Figure 5.19 – (a) : évolution de la commande u2 et u3, (b) : évolution de la commande u4 etu5, (c) : évolution de la commande u6 et u7, (d) : évolution de la commande u8 et u9

0 5 10 15 20 25 30 35 40−100

0

100

200

Temps [sec]

τ r [N

m]


0 5 10 15 20 25 30 35 40−200

−100

0

100

Temps [sec]

τ l[N

m]


(a) (b) (c)

Figure 5.20 – (a) : évolution des deux commandes τr et τl, (b) : évolution de la position ducentre de masse (c) : évolution de l’angle ψ

46 Khaoula Brahim


0 0.5 1 1.5 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Temps [sec]

φ[ra

d]


Figure 5.21 – variation de l’angle de rotation de l’essieu φ

Scénario 3 : Changement de configuration

Dans ce scénario, toujours en gardant la stabilisation du centre de masse, on a simulé le fau-teuil dans le but de passer d’une position assise classique à une position assise avec relèvementdes jambes.Pour un temps de simulation de 2 secondes et pour les mêmes valeurs de conditions initialesprécédentes, le fauteuil se comporte comme montre la figure 5.22.En effet, l’application des commandes u8 et u9 au niveau des articulations q8 et q9 (cf. figure5.23 (d)) garantit le relèvement des jambes. Ceci est visible sur l’évolution des positions arti-culaires de ces deux coordonnées qui convergent vers leurs pos

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