génération de trajectoireschemori/temp/leila/cours1_gen_trajectoire... · 2014-09-11 · mgi qf...

Université Montpellier 2

Faculté des sciences

Département EEA

Master 2 : Robotique

2014 / 2015

Cours de Robotique 2 (UE 322)

Cours 1

Génération de trajectoires

Partie 1 : Trajectoires point à point

A. Chemori

LIRMM - UMR 5506

161, Rue Ada 34095, Montpellier Cedex 05, France

[email protected]

FdS, Dpt EEA – Master 2 Robotique – 2014/2015 2

Plan du cours (Partie 1)

1. Introduction et contexte

2. Notions générales

3. Génération de trajectoires et boucles de commande

4. Génération de mouvements point à point

• Méthode de base

• Méthode à profil d’accélération bang-bang

• Méthode à profil de vitesse trapézoïdal

5. Application à l’espace articulaire

6. Application à l’espace cartésien

A. Chemori (Cours de Robotique 2 (UE 322)

A. Chemori (Cours de Robotique 2 (UE 322) FdS, Dpt EEA – Master 2 Robotique – 2014/2015 3

Génération de trajectoires Introduction et contexte

Exemples illustratifs

Machine de découpe Laser Emballage en agro-alimentaire


Génération de trajectoires Introduction et contexte

Exemples illustratifs

Usinage et soudage Assemblage de véhicule

Ces exemples montrent l’intérêt de génération de trajectoires


Notions générales

Définition : La génération de mouvement désigne la fonction de calcul des

consignes articulaires du robot destinées à réaliser une tâche interprétée sous

forme de poses (positions + orientations) successives de l’outil du robot

Trajectoire de référence

Cette fonction est primordiale au sein du contrôleur du robot, dans le sens où

elle fait la transition entre le niveau informatique d’interprétation/exécution de

la tâche et le niveau de commande proprement dit

Interprétation/exécution de la tâche

Génération de mouvement

Commande des actionneurs

Programme

de la tâche

Consignes aux

actionneurs



Il sera donc nécessaire dans une seconde étape de synchroniser l’ensemble des

articulations sur la plus lente (appelée articulation maître).

Notions générales Génération de trajectoires

La fonction de génération de trajectoires peut s’exécuter dans l’espace

articulaire où elle consiste à déterminer une loi horaire pour chaque

articulation, ou bien dans l’espace cartésien (ou opérationnel) où elle vise à

déterminer directement une trajectoire de l’outil.

Le fondement mathématique de la génération de trajectoires est le calcul

polynomial qui construit l’équation du mouvement à partir des contraintes

spatiales et temporelles.

La génération de mouvement dans l’espace articulaire applique à chaque

articulation du robot une loi de mouvement dont les contraintes sont définies

dans l’espace articulaire.

Dans le cas le plus fréquent où la durée du mouvement n’est pas imposée,

chaque articulation a une durée propre de mouvement déduite de la satisfaction

des contraintes cinématiques ou dynamiques.


Notions générales

Une autre approche consiste à générer les trajectoires dans l’espace

opérationnel (ou Cartésien), dans lequel on définit la position et l’orientation

de l’outil du robot.


Les deux approches sont complémentaires. En effet, la génération de mouvement

dans l’espace articulaire profite du fait que les contraintes cinématiques ou

dynamiques sont définies au niveau des actionneurs (espace articulaire), mais la

trajectoire de l’outil est difficilement prévisible (transformation non linéaire entre

les 2 espaces).

La synchronisation s’effectuera entre mouvements d’orientation et de position

cartésienne.

Dans le cas le plus fréquent du choix des données purement cinématiques, les

données de cinématique de vitesse et d’accélérations linéaires sont naturellement

définies dans l’espace opérationnel.

Cette génération de trajectoire se fait à partir de données cinématiques ou

dynamiques.


Notions générales

La génération de mouvement dans l’espace opérationnel permet de réaliser des

trajectoires données dans l’espace cartésien mais les limites de contraintes

cinématiques de vitesse et d’accélération qui lui sont associées sont plus

difficiles à estimer.


Dans la suite on va aborder le principe de base de l’insertion d’un générateur

de trajectoires dans une boucle de commande (en espace articulaire et en

espace Cartésien) pour un contrôleur dans l’espace articulaire.

Deux types de trajectoires peuvent être générées :

Mouvement point à point

Mouvement à trajectoire continue

A B


Génération de trajectoires et boucle de commande Génération de trajectoires

+

-

En espace articulaire

Robot Contrôleur Générateur de

trajectoires

+

-

Robot Contrôleur Générateur de

trajectoires

En espace Cartésien

MGD

MGI

qf

qi

qd(t)

Xf

Xi

qi

qd(t) X(t)


Génération de mouvement point à point

De façon générale, la génération de mouvement construit la trajectoire de

l’outil du robot à partir de la donnée de contraintes spatiales, cinématiques et

dynamiques.


Le mode à trajectoire continue est souvent associé à une génération de

mouvement dans l’espace opérationnel (tâches en environnement encombré

telle que les tâches de soudage à l’arc, de découpe, etc).

Le mode point à point est souvent associé à une génération de mouvement dans

l’espace articulaire (tâches en environnement libre telles que les tâches de

manipulation, de soudage point à point, etc).

La génération de mouvement peut être envisagée selon deux modes :

- Un mode point à point : qui impose l’arrêt du robot à chaque point intermédiaire

- Un mode à trajectoire continue : qui impose une continuité de la vitesse de

mouvement à chaque point intermédiaire.


Génération de mouvement point à point Génération de trajectoires

Trajectoires point à point Trajectoires continues

Soudage point à point Soudage à l’arc



Méthode de base

Cette méthode définit le mouvement d’un point de départ à un point

d’arrivée à l’aide d’une spline unique ou d’une composition de splines

élémentaires qui définit soit un profil de vitesse spécifique, soit un profil

d’accélération spécifique.

Généralement la vitesse est nulle aux points de départ et d’arrivée.

La spline de plus faible degré assurant la continuité de la vitesse est la spline

cubique d’équation :


Où T désigne la durée du mouvement.

Les 4 coefficients a, b, c, d sont déterminés à partir des contraintes de définition de

mouvement :



Méthode de base

Il en résulte de ce calcul que la spline cubique à un maximum de vitesse et un

maximum d’accélération, en valeurs absolues, données par :

Par conséquent pour une même distance à parcourir, plus la durée T

est courte, plus sont élevées, au risque de ne plus être

réalisable.

Durée optimale du mouvement


Les contraintes de vitesses et d’accélération conduisent aux expressions

suivantes des durées minimales (notées respectivement ):

D’un point de vue pratique, il apparaît donc nécessaire de définir la durée du

mouvement à partir des contraintes de vitesse et d’accélération (en valeur

absolue) qu’on notera .



Méthode de base

Exemple : Position & vitesse initiales

Position & vitesse finales

Avec la durée du mouvement.

Trajectoires obtenues

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-5

0

5

Temps [s]

Posit

ion

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

20

40

Temps [s]

Vite

sse

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-200

0

200

Temps [s]

Acc

ele

rati

on




Méthode de base

Le mouvement point à point obtenu par une spline cubique n’assure pas la

continuité de l’accélération, ceci peut être préjudiciable aux actionneurs pour

des tâches où ils sont fortement dynamiquement sollicités.

Ce problème peut être résolu en imposant, en plus des 4 contraintes

précédentes, deux contraintes supplémentaires d’accélérations nulles aux

points limites (de départ et d’arrivée).

Avec 6 contraintes la fonction spline devrait être de l’ordre 5 (spline quintique)

Exercice : Proposer une méthode permettant l’identification des six

coefficients de cette trajectoire qui satisfait les contraintes

de position, de vitesse et d’accélération.



* Génération de mouvement point à point

Méthode de base

Exemple :

Position, vitesse et accélérations initiales


Position, vitesse et accélérations finales


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-5

0

5

Temps [s]

Posit

ion

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

20

40

Temps [s]

Vite

sse

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-200

0

200

Temps [s]

Acc

ele

rati

on




Méthode de base

La génération de mouvement par spline (d’ordre 3 ou 5) fait intervenir une

seule spline (un seul polynôme).


Il existe d’autres méthodes de génération de mouvement à l’aide d’une

composition de splines élémentaires définissant un profil de vitesse et

d’accélération, dont les avantages sont :

Permettent une génération de mouvements à l’aide d’une séquence de

splines de faible degré (généralement au plus 4), ce qui simplifie les

calcules et facilite la maîtrise du mouvement lorsque la méthode est élargie

au cas du mouvement avec points intermédiaires.

Offrent la possibilité, dans le cas de mouvement point à point, de faire

apparaître des phases à vitesses constantes (dites phases de vitesse de

croisière) très utiles dans la pratique, alors que dans ce cas les splines

uniques génèrent des extrema de vitesse.



Méthode à profil d’accélération bang-bang

La composition de splines la plus simple est le profil d’accélération bang-bang.

Cette méthode réalise le mouvement point à point selon une phase

d’accélération constante suivie d’une phase symétrique de freinage.

La loi de mouvement est composée de 2 splines du second degré :

Les coefficients sont déterminés à partir des contraintes

initiales, finales et de continuité en :



0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.81

2

3

Temps [s]

Posit

ion

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80

5

Temps [s]

Vite

sse

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8-20

0

20

Temps [s]

Acc

ele

rati

on

Position et vitesse initiales


Position et vitesse finales



Exemple :






Si l’on souhaite avoir une phase de vitesse constante, on peut considérer le

profil trapézoïdal de vitesse qui modifie le profil d’accélération bang-bang en

lui intégrant une phase d’accélération nulle.

La loi de mouvement sera donc composée de trois splines successivement

d’ordre 2, 1 et 2, dont on détermine les 8 coefficients à partir des 8 contraintes:

de position et de vitesse, initiales et finales (4 contraintes),

de continuité en position et vitesse entre les phases d’accélération initiale

et de vitesse de croisière (2 contraintes),

de continuité en position et vitesse entre les phases de vitesse de croisière

et de freinage (2 contraintes).

Méthode à profil de vitesse trapézoïdal





Le générateur à profil trapézoïdal de vitesse est donné par le système

d’équations suivant :

Où désigne la durée totale du mouvement, et celle des phases d’accélération initiale

et de freinage final.

Lors du mouvement, la vitesse de croisière est la vitesse maximale et donnée

par :

L’accélération maximale est donnée par :



0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40

5

Temps [s]

Posit

ion

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40

5

10

Temps [s]

Vite

sse

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-20

0

20

Temps [s]

Acc

ele

rati

on




Avec la durée du mouvement, et

Exemple :



La position et la vitesse sont continues mais l’accélération est discontinue





Il est possible de construire un profil trapézoïdal de vitesse à accélération

continue en remplaçant les splines quadratique d’accélération initiale et de

freinage par des splines quadriques (de degré 4).

Aux 8 contraintes considérées pour la détermination du profil de vitesse

trapézoïdal, il faut rajouter les contraintes d’accélérations initiale et finale

nulles, ainsi que les contraintes de continuité d’accélération aux instants :

et , on aboutit au système suivant :

Avec les expressions suivantes de vitesse et d’accélération maximales :

Accélération max augmentée de 50%

(par rapport au cas précédent)








Avec la durée du mouvement, et

Exemple :

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40

5

Temps [s]

Posit

ion

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40

5

10

Temps [s]

Vite

sse

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-50

0

50

Temps [s]

Acc

ele

rati

on

On souhaite avoir une accélération continue cette fois-ci.




Application dans l’espace articulaire

Dans l’espace articulaire, on considère un robot à n degré de liberté pour

lequel on désire générer un mouvement du point de départ au point

d’arrivée .

Chaque axe j du robot étant contraint en vitesse par et en accélération

par .


Pour cela on applique la méthode choisie à chaque axe du robot, puis on

recalcule l’ensemble des mouvement articulaires afin de les synchroniser.

On distingue deux cas de figure :

A) Si la méthode est à spline unique, ou à composition de splines caractérisée

par un seul paramètre temporel, qui est la durée du mouvement (cas de la loi

bang-bang). Si l’on désigne par Tj la durée de chaque mouvement articulaire,

on recalcule tout les mouvement articulaires en leur imposant la durée

commune :




B) Si la méthode est à composition de splines et fait appel à plusieurs

paramètres temporels indépendants, la synchronisation doit être adaptée à

chaque méthode.


Dans le cas, par exemple, de la méthode à profil trapézoïdal de vitesse à

accélération discontinue, on peux choisir de garder, lors de la phase de

synchronisation, la même durée .

Les nouvelles valeurs de vitesses et d’accélération maximales seront :




Exemple : cas d’un robot à 2 degrés de liberté.

Articulation maître

Articulation non maître

0 0.5 1 1.5 20

2

4

6

0 0.5 1 1.5 20

2

4

6

0 0.5 1 1.5 20

2

4

6

Synchronisation




Application dans l’espace Cartésien

Dans l’espace cartésien, on considère la position de l’effecteur du robot.

Les points de départ et d’arrivée seront notés et .

Le mouvement correspondant est alors représenté par un polynôme vectoriel à

trois dimensions, dont on détermine les coefficients par les contraintes

vectorielles initiales, finales et de continuité


Par exemple la spline cubique de base s’applique sous la forme d’un polynôme

vectoriel définie à partir des contraintes suivantes :

On aboutit à l’expression suivante du mouvement cartésien :



Application dans l’espace Cartésien

Les contraintes de vitesse et d’accélération dans l’espace cartésien s’expriment

sous forme du respect d’une norme de maximum de vitesse et d’une

norme de maximum d’accélération .

Par conséquent, la recherche des valeurs optimales du mouvement satisfaisant

ces contraintes est plus difficile à mener que dans l’espace articulaire, car elle

porte sur les normes du vecteur de vitesse et du vecteur

accélération .


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