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Introduction à la logique floue

Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite.© Techniques de l’Ingénieur, traité Informatique industrielle A 120 ; R 7 032 − 1

par Arnold KAUFMANNAncien professeur à l’Institut Polytechnique de Grenoble,à l’École Supérieure des Mines de Paris et à l’Université de LouvainProfesseur Honoraire de l’Institut d’Administrationdes Entreprises de Barcelone

es concepts introduits par les mathématiques floues intéressent tous lesingénieurs, partout où ils n’ont pas la possibilité d’effectuer des mesures

formelles ou probabilistes.De tels cas se rencontrent dans beaucoup de techniques :— soit parce qu’il n’existe pas d’antécédents ;— soit parce qu’il s’agit des interactions homme-machine ;— surtout quand on doit mettre en œuvre des nouveautés scientifiques dont

seulement quelques experts sont capables de proposer des données ; cesdonnées ne sont alors pas toujours numériques et sont souvent obtenues autravers de connaissances exprimées par une sémantique, dont on cherche àqualifier le niveau de vérité.

1. Rappel sur l’algèbre de Boole ..................................................... A 120 - R 7 032 - 2

2. Logique floue................................................................................... — 2

3. Rappel sur la théorie des probabilités ..................................... — 3

4. Axiomatique des sous-ensembles flous .................................. — 3

5. Relations floues .............................................................................. — 4

6. Inférences floues............................................................................ — 5

7. Nombres flous................................................................................. — 7

8. Sous-ensembles aléatoires flous et expertons ...................... — 7

9. Domaines d’application ............................................................... — 8

10. Exemple ............................................................................................ — 8

Pour en savoir plus ................................................................................. Doc. A 120 - R 7 032

L

INTRODUCTION À LA LOGIQUE FLOUE ______________________________________________________________________________________________________

1. Rappel sur l’algèbrede Boole

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

A ∩ ∅ = ∅ (∅ sous-ensemble vide) (9)

A ∪ ∅ = A (10)

A ∩ E = A (11)

A ∪ E = E (12)

Historique

La pensée humaine est une symbiose de la logique et del’imagination, agissant de concert ou séparément. La logiquehumaine est un enchaînement d’idées, de concepts, concrets ouabstraits, aboutissant à des conclusions qui entraînent desdécisions ou restant à l’état de résultats utilisables ou non. Lesformes de la pensée humaine, sous l’aspect de la logique, sontinfiniment variées, comme d’ailleurs l’imagination. Beaucoupsupposent que cela est une conséquence de l’asymétrie dudemi-cerveau gauche et du demi-cerveau droit, chacun ayant unrôle différent mais communiquant sans cesse.

Depuis la plus haute Antiquité, depuis que l’humain estdevenu, se lon la terminologie des anthropologues,

A B∩( ) C A B C∩( )∩=∩

A B∪( ) C∪ A B C∪( )∪=

associativité

A A A=∩

A A∪ A=

idempotence

A B C∪( )∩ A B∩( ) A C∩( )∪=

A B C∩( )∪ A B∪( ) A C∪( )∩=

distributivité

Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite.A 120 ; R 7 032 − 2 © Techniques de l’Ingénieur, traité Informatique industrielle

Tous les ingénieurs connaissent les propriétés des ensembles ordi-naires et de la logique booléenne qui en est une présentationnumérique [1]. Mais il est bon de rappeler la configuration en treillisdistributif et complémenté ou treillis de Boole de ces ensembles.Un peu plus loin nous nous servirons de ce rappel.

Soit E un ensemble appelé référentiel et A, B, C dessous-ensembles de ce référentiel. On a alors :

∀ A, B, C ⊂ E

et les symboles ∩ (intersection) et ∪ (union) :

(1)

(2)

involution ( est le complément de A ) (13)

(14)

(15)

tiers-exclu (16)

non-contradiction (17)

On peut ajouter, dans un but pratique :

(18)

(19)

On va appeler valuation la valeur de vérité attachée à chaquepropriété ensembliste :

P est vraie ⇒ v (P ) = 1 (20)

P est fausse ⇒ v (P ) = 0 (21)

C’est une habitude dont les origines remontent à l’époque deBoole.

On écrira aussi, pour un élément x appartenant à E :

x ∈ E ⇒ v (x ) = 1 (22)

x ∉ E ⇒ v (x ) = 0 (23)

Nous cessons ce rappel de l’algèbre de Boole, pour sortir de cesconnaissances classiques et pénétrer dans le nouveau domaine del’algèbre multivalente ou algèbre floue.

2. Logique floueOn va commencer par se servir d’une représentation commode

pour débuter. Ce qui a été présenté en (22) et (23) s’appelle, dansla théorie classique des ensembles, fonction caractéristique.Maintenant, supposons que v (x ) au lieu de prendre la valeur 0 oula valeur 1 puisse prendre toute valeur dans l’intervalle [0,1]. Ainsi,un élément x pourra appartenir au référentiel avec une valeurcomprise entre 0 et 1 aussi. Un tel sous-ensemble dont les élémentsont cette propriété sera appelé sous-ensemble flou.

l’homo-sapiens-sapiens, mais surtout depuis la civilisationgrecque antique, les penseurs ont cherché à reconstituer lesmécanismes de la logique. D’Aristote à Chrysippe et biend’autres, et bien plus tard George Boole, ce génial clergymananglais, et depuis lors, ici et là, très nombreux, les humains lesplus perspicaces ont cherché à définir les mécanismes de lalogique, ce qui était le moteur de leurs déductions et actions.

La logique aristotélicienne présentée vingt siècles plus tardpar Boole sous une forme algébrique, celle de la théorie desensembles, comprend, entre autres et nombreuses propriétés :

— la non-contradiction, ce qui signifie qu’une proposition(ou prédicat) est vraie ou fausse, sans nuance ;

— le tiers-exclu, c’est-à-dire qu’une proposition ne contientjamais une valeur de vérité entre celle du faux et celle du vrai.

Ces deux propriétés en réalité n’en forment qu’une : absencede positions intermédiaires entre le faux et le vrai. Et dans cecas le faux est la négation du vrai et réciproquement. Si une pro-priété est désignée par P et la propriété contraire ou négationest désignée par ¬ P, on a alors :

P ∆ ¬ P = F (faux) , P ∇ ¬ P = V (vrai)

c’est-à-dire, une propriété P avec sa négation ¬ P forment uneproposition composée toujours fausse où le symbole ∆représente le connecteur sémantique ET. De même P et ¬ Pforment une proposition composée toujours vraie le symbole ∇représente le connecteur ET/OU (que l’on écrit souvent abusive-ment avec OU qui est en réalité exclusif, l’un ou l’autre mais pasles deux).

A B B A∩=∩

A B B A∪=∪

commutativité

A( ) A= A

A B∩ A B∪=

A B∪ A B∩=

théorèmes de De Morgan

A A∩ ∅=

A A∪ E=

A A B∪( )∩ A=

A A B∩( )∪ A=

contraction

_____________________________________________________________________________________________________ INTRODUCTION À LA LOGIQUE FLOUE

Ainsi :x ∈ E ⇒ v (x ) = a , a ∈ [0,1] (24)

Un sous-ensemble flou sera alors noté .

La figure 1a donne la représentation d’un sous-ensembleordinaire (de la logique classique) de (le continuum de – ∞ à + ∞ )et la figure 1b représente un sous-ensemble flou de .

Comme on le voit, au lieu d’un passage brutal de 0 à 1 de 1 à 0,l’appartenance d’un sous-ensemble au référentiel s’effectue, si celacorrespond au réel, avec la continuité convenable.

Prenons le cas d’un référentiel fini :

E = {a, b, c, d, e, f, g }

(25)

est un sous-ensemble ordinaire de E.

(26)

est un sous-ensemble flou de E.

Toutes les propriétés décrites par les relations (1) à (19) pour lessous-ensembles ordinaires sont valables pour les sous-ensemblesflous sauf le tiers-exclu (16) et la non-contradiction (17). Lessous-ensembles ordinaires forment un treillis de Boole tandis queles sous-ensembles flous forment un treillis distributif. Un treillisde Boole est aussi distributif mais possède en plus les propriétés (16)et (17) attachées à la négation que divers auteurs appellent aussicomplémentation.

La théorie algébrique des fonctions caractéristiques dessous-ensembles ordinaires, on l’a précisé (§ 1), est due à GeorgeBoole (vers 1850). La théorie algébrique des fonctions d’apparte-nance des sous-ensembles flous est due au Professeur Leofi A. Zadehde l’université de Californie à Berkeley (proposée dès 1965).

Nota : il convient de signaler dès maintenant qu’il ne faut pas confondre la théorie desprobabilités et celle des sous-ensembles flous. La théorie des probabilités est basée sur lathéorie de la mesure et concerne donc les phénomènes mesurables en probabilité tandisque celle des sous-ensembles flous concerne les phénomènes incertains où la mesuren’est pas possible ni même concevable. D’autre part, la théorie des probabilités est conçuepour les phénomènes de caractère objectif tandis que celle des sous-ensembles flous l’estpour les phénomènes de caractère subjectif.

3. Rappel sur la théoriedes probabilités

A,

RR


On a l’habitude d’appeler fonction d’appartenance pour unensemble flou, ce qui est appelé fonction caractéristique pour unsous-ensemble ordinaire.

On définit comme suit l ’ intersection, la réunion et lacomplémentation pour les sous-ensembles flous. Le symboleµ représente la fonction d’appartenance.

Soient où E est un référentiel donné et quelconque et

. Il s’agit de tous les nombres compris

entre 0 et 1, où 0 est la borne inférieure incluse dans ce segmentet 1 est la borne supérieure incluse dans ce segment. Les fonctions

et ont des valeurs dans ce segment.

intersection (27)

réunion (28)

complémentation (29)

avec les symboles ∧ minimum, ∨ maximum.

Lorsqu’il s’agit de sous-ensemble flous, il est préférable de dire« complémentation » au lieu de « négation » (à réserver auxalgèbres de Boole).

On rappelle l’axiomatique de la théorie des probabilités ou axio-matique de Borel-Kolmogorov.

Soit E un référentiel, l’ensemble de ses parties, contenant obligatoirement E. On doit avoir :

(30)

∀ A ∈ ∆ et ∀ B ∈ ∆ : A ∪ B ∈ ∆ (31)

(32)

(33)

La configuration des sous-ensembles ainsi probabilisés est untreillis de Boole.

4. Axiomatiquedes sous-ensembles flous

Voyons l’axiomatique correspondant à la valuation d’unsous-ensemble flou (il est préférable de ne pas employer les motsmesure floue ).

v (∅ ) = 0 , v (E ) = 1 (34)

(35)

La propriété (35) est appelée monotonie par inclusion.

Une probabilité est une valuation mais une valuation n’est pasune probabilité à moins de satisfaire (30) (31) (32) et (33) pour tousles sous-ensembles considérés.

La notion de sous-ensemble flou est liée à celle d’intervalle ousegment du référentiel par le concept de coupure de niveau α ouα – coupure.

Sur la figure 2, [m, n ] ∪ [p, q ] représente la coupure de niveauα du sous-ensemble flou. Évidement α ∈ [0, 1]. Un sous-ensembleflou est entièrement défini par l’ensemble de toutes ses coupuresde α = 0 à α = 1.

Figure 1 – Sous-ensemble ordinaire (a ) et sous-ensemble flou (b )

A , B E⊂,,

x E,µA x( ),µB x( ) 0,1[ ]∈∈, ,

µA x( ),

µB x( ),

µA B∩ x( ) µA x( ) µB x( )∧=, ,,,

µA B∪ x( ) µA x( ) µB x( )∨=, , , ,

µA

x( ) 1 µA x( )Ð=, ,

3 E( ) ∆ 3 E( )⊂

A ∆ : A ∆∈∈∀

A ∆ : pr A( ) > 0∈∀

A ∆ et B ∆ : ∈∀∈∀ A B

∅

=

∩( )

pr

A B

∪( )

pr

A

( )

pr

B

( )

+=

⇒

pr

E

( )

1

=

A, B E : A B⊂( ) v A( ) < v B( )( )⇒⊂∀ , , , , , ,


5. Relations floues

Les propriétés des relations floues généralisent celles des relationsnon floues. On remarque que (39) et (40) peuvent s’appliquer auxrelations booléennes. Comme pour un référentiel unique, le cas d’unréférentiel E1 × E2 fait intervenir des α – coupures qui donnent desrelations booléennes. De très nombreuses et nouvelles propriétéssont attachées aux relations floues.

Lorsque E1 = E2 = E, on définit diverses propriétés particulièrescomme on le fait habituellement pour les relations booléennes :

■ symétrie :

(41)

■ réflexivité :

(42)

■ transitivité :

Figure 2 – Coupure au niveau a

x,y( )∀ E E : µ5 x,y( ) µ=( ) µ5 y,x( ) µ=( )⇒×∈, ,

x,x( )∀ E E:µ5 x,x( ) 1=×∈,

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Voyons maintenant la notion de

relation floue

.

On considère deux référentiels

E

1

et

E

2

(finis ou non). Soient

x

∈

E

1

et

y

∈

E2, on désigne par la fonction

d’appartenance d’une relation . Une telle relation floue

est aussi appelée graphe flou.

Voyons un exemple. Soient :

E1 = {a, b, c, d, e, f } (36)

E2 = {m, n, p, q, r } (37)

(38)

est une relation floue sous-ensemble de E1 × E2 . On opére avec lesrelations floues comme avec des matrices booléennes mais laconvolution de deux relations floues ne passe plus par l’opérationsomme-produit mais par max-min (maximum-minimum). Ainsisoient deux relations floues , il vient :

(39)

ce qui signifie :

(40)

où x ∈ E1 , y ∈ E2 , z ∈ E3

Les opérations max-min (ou sup-min) se font : ligne par colonnecomme on le fait avec les matrices.

(43)

La fermeture transitive d’une relation floue est donnéepar :

(44)

où (45)

■ antisymétrie :

ou (46)

■ similitude :

Une relation floue transitive, réflexive et symétrique est diterelation de similitude.

■ ressemblance :∀ (x, y ) ∈ E × E :

(47)

(48)

Si dans les relations booléennes la ressemblance joue un faiblerôle, dans le cas du flou cette relation est très intéressante.Évidemment la fermeture transitive d’une relation de ressemblancedonne une relation de similitude. D’autre part, les α – coupures d’unerelation de ressemblance floue donnent des relations booléennesdans lesquelles on cherche les sous-relations maximales desimilitude ; ces sous-relations jouent un rôle important dansl’analyse pour assembler des éléments ayant des propriétés encommun.

Dans les relations floues on retrouve aussi les notions depré-ordre, d’ordre total ou linéaire, d’ordre partiel, de fonctionordinale, etc.

µ5 x,y( ) 0,1[ ]∈,

5 E1 E2×⊂,

51 E1 E2,52 E2 E3×⊂×⊂, ,

µ51s 52x,z( ) V µ51

x,y( ) µ52y,z( )∧( )=

, , , ,y

µ51 s 52x,z( ) sup min µ51

x,y( ), µ52y,z( )( )[ ]=

, , ,,

x,y( ), y,z( ), x,z( ) E E :×∈∀µ5 x,z( ) > V µ5 x,y( ) µ5 y,z( )∧[ ]

,, ,y

5 E E×⊂,

5 5 52

53 …∪ ∪ ∪=, ,, ,

^

52 signifie 5s5,5n

5s5s…s5=

n fois

, , , , , ,

µ5 x,y( ) µ5 y,x( )≠

µ5 y,x( ) µ5 x,y( ) 0= =, ,

,,

x,y( ) E E× :∈∀

µ5 x,x( ) 1=,

µ5 x,y( ) µ5 y,x( )=, ,


6. Inférences floues

Passons maintenant à une notion très importante dans lesapplications nouvelles : systèmes experts, intelligence artificielle,neuromimétique floue, etc.

■ On appelle d’abord la notion d’inférence dans le cas booléen.

Une proposition P est vraie ou fausse ou encore [(20) et (21)] :

P est vraie : v (P ) = 1 (49)

P est fausse : v (P ) = 0 (50)

On appelle inférence une opération logique booléenne ou flouedéfinie de la façon suivante pour le cas booléen :

si a = v (P ) et b = v (Q ) (51)

et la relation entre a et b notée doit satisfaire aux conditionssuivantes :

∀ a, b ∈ [0, 1]

1) (58)

2) (59)

3) ∀ a, b, a’, b’, ∈ [0, 1] :

(60)

■ Voici quelques inférences classiques utilisées dans lesmathématiques floues :

inférence de Lee (61)

a p b c=

apb 0,1[ ]∈

0p0 1,= 0p1 1,= 1p0 0,= 1p1 1=

a a ′<( ) apb( ) > a ′ pb( )[ ]⇒b b ′<( ) apb( ) < a p b ′( )[ ]⇒

a p b a b∨=

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5

on associe à

P

et

Q

:

(52)

cela se lit : prendre le maximum du complément de

a

avec

b

(53)

L’inférence ainsi définie est aussi appelée

implication

. À partirde (52) on a le tableau :

(54)

Avec ce tableau, on retrouve les deux formes classiques del’inférence où apparaissent les relations de cause à effet ou encorele classique syllogisme :

—

le modus ponens :

(55)

—

le modus tollens :

(56)

Il existe seulement ces deux modes.

■

Ce raisonnement booléen a été étendu aux

inférencesmultivalentes ou floues

. Dans ce cas, il n’existe plus une seuleinférence telle (53) mais on peut en construire une infinité. Cela veutdire que les prémisses peuvent être vraies, fausses et prendre aussiune valuation entre vraie et fausse. Ainsi peut-on avoir :

v

(

P

) = a, v (P → Q ) = c , v (Q) = b (57)

inférence de Lukaciewicz (62)

inférence de Godel-Mizumoto (63)

inférence de Goguen ou inférence des probabilités conditionnelles (64)

inférence relativiste (65)

etc.

On en connaît et utilise un grand nombre et on peut en définirune infinité satisfaisant aux conditions (58), (59) et (60).

En logique multivalente, on peut utiliser le découpage de l’inter-valle [0, 1] en deux parties 0 et 1 (booléen), en trois parties 0, 0,5, 1en quatre, etc. L’auteur recommande le découpage en endécadaire(du grec endéca qui signifie 11) qui est ni trop nuancé, ni pasassez :

0, 0,1, 0,2, 0,3, ... ,0,7, 0,8, 0,9, 1 (66)

Avec la correspondance sémantique :

(67)

Bien entendu, cette correspondance est arbitraire et bien desauteurs en choisissent d’autres.

L’endécadaire présente aussi l’avantage de donner des valuationsà un seul chiffre décimal pour diverses inférences, comme avec 3qui ne donne pas assez de nuances.

Ainsi, l’exemple le plus classique :Modus ponens : Pierre est un homme ; être un homme, c’est être

mortel ; conclusion ; Pierre est mortel.Modus tollens : Gabriel n’est pas mortel ; être un homme, c’est

être mortel ; conclusion : Gabriel n’est pas un homme.

P & Q l ′opérateur a p b a b∨=

soit v P( ) p v Q( ) v P¬( ) v Q( )∨=

v P( ) 1= , v P&Q( ) 1= , v Q( ) 1=

prémisses conclusion

v Q( ) 0= , v P&Q( ) 1= , v P( ) 0=

prémisses conclusion

a p b 1 a b+( )∧=

a p b 1,a < b= b,a b>=

a p b 1 ba-----∧=

a p b a b+1 ab+-------------------=

v P( ) 0 faux,= 0,1 quasiment faux,= 0,2 presque faux,= 0,3 assez faux,= 0,4 plus faux que vrai,=

0,6 plus vrai que faux,= 0,7 assez vrai,= 0,8 presque vrai,= 0,9 quasiment vrai,=

0,5 ni vrai, ni faux,=

1 vrai.=


À titre d’exemple, nous présentons deux inférences floues parleurs représentations endécadaires :

– inférence de Luckaciewicz (62) :

(68)

Pour utiliser les inférences floues, il faut savoir les inverser àgauche et à droite, ce qui s’impose dans les systèmes experts.Voici, à titre d’exemple, l’inversion à droite et à gauche de l’infé-rence de Lukaciewicz.

(70)


– inférence de Goguen (64) :

(69)

(70) représente l’inversion à droite de (68).

La formule correspondant à (70) est, en posant :

(71)

(72)

(72) représente l’inversion à gauche de (68)

La formule correspondant à (72) est :

(73)

c 1 a b+( )∧=

b a,1[ ] ,=

c a 1,Ð+=

∅ ,=

c 1,=

a < c 1<c a<

a 0,b[ ] ,= 1 c b,Ð= ∅ ,=

c 1,=b < c 1<c b<


Les inférences s’enchaînent par la gauche et/ou par la droitepour donner ce qu’on nomme des moteurs d’inférence ou suitesde relations de causes à effets où les données subjectives peuventêtre des prémisses et des conclusions valuées dans [0, 1] les plusdiverses. C’est la base des systèmes experts utilisant le flou.

7. Nombres flous

D’autres concepts très importants sont à décrire. Voyons lanotion de nombre flou.

La figure 3a représente un nombre ordinaire dont la fonc-tion d’appartenance est µ (x = m) = 1 et la figure 3b représente unnombre flou où la fonction caractéristique est .

Un nombre flou est un sous-ensemble flou qui doit être convexeet normal. La normalité est la propriété :

(74)

ayant le même sens que pour la relation (39).

La convexité est la propriété suivante : toute α – coupure est unsegment [a (α), b (α)], ∀ α.

Les nombres flous trapézoïdaux peuvent être l’objet de calculssimplifiés très commodes sous la forme de (a 1 , [a 2 , a 3], a 4) et lesnombres flous triangulaires sous la forme (b 1 , b 2 , b 3) ; ces formessont appelées triplets de confiance.

Les sous-ensembles flous peuvent être associés de diversesmanières aux probabilités dans le cas où des phénomènes possèdentdes données déterministes, d’autres mesurées en probabilité,d’autres se situant dans l’incertain (données floues). De nombreusesextensions sont possibles.

8. Sous-ensembles aléatoiresflous et expertons

Une autre extension importante des sous-ensembles flous est celledes sous-ensembles aléatoires flous et leur généralisation dans lathéorie des expertons. Voyons un exemple pour présenter les sous-ensembles aléatoires flous. Supposons que l’on demande à 7 expertsde donner leur valuation dans [0, 1] sur une propriété ou un prédicat.Par exemple, les experts doivent se prononcer sur la valuation ouvaleur de vérité d’une proposition comme : ce véhicule est en bonétat, la pression est trop élevée pour agir, la bonne direction est

m R∈

n,µn x( ),

V µn x( ) 1=,x

Vx


Les nombres flous ont des propriétés qui généralisent les nombresordinaires d’une part et les intervalles de confiance (segments)d’autre part.

Une classe particulière de nombres flous sont les nombres tra-pézoïdaux (N F Tr ) (figure 4a ) dont un cas particulier le plus impor-tant est constitué par les nombres triangulaires (N F T ) (figure 4b ).

indiquée sur la carte, le produit utilisé est approprié, etc. Soit lafigure 5.

Sur la figure 5, la colonne (4) représente un sous-ensemble aléa-toire flou (SEAF), ici un singleton. L’algèbre des SEAF est celle desvaluations, des intervalles, des sous-ensembles flous : mêmesconfigurations et structures.

Une généralisation encore plus large et extrêmement efficace pourles expertises est celle des expertons. Supposons que les 7 expertsprécédents soient autorisés à donner non pas exclusivement unnombre de [0, 1], mais un segment de [0, 1], on formera alors unexperton qui généralise encore tous les concepts précédents. Onreprend donc la figure 5 avec des segments de [0, 1].

La colonne (4) de la figure 6 donne l’experton qui représente ladistribution des bornes donnée par les experts. Les expertonsgénéralisent tous les concepts flous donnés précédemment. On lesa aussi étendus par transformation linéaire à (non négatifs).

Figure 3 – Nombre ordinaire et nombre flou

Figure 4 – Nombres flous trapézoïdaux (a ) et triangulaires (b )Figure 5 – Sous-ensemble aléatoire flou

R+


Beaucoup d’autres concepts sont disponibles pour traiterl’incertain et le subjectif. En sortant de {0, 1} mais en restant dans

Cet échantillon des applications est donné dans un volontairedésordre.

Figure 6 – Experton


[0, 1], on a ouvert une porte assez gigantesque pour les problèmesà données incertaines non mesurables.

Voyons les applications de la théorie des sous-ensembles flouset de ses généralisations. Disons d’abord que tous les modèles desystèmes où l’on rencontre des données imprécises, incertaines,subjectives, objet d’expertises, etc. plus ou moins insérées avec desdonnées déterministes ou probabilisables peuvent être traités avecles théories proposées dans cet article. L’idée fondamentale est defaire tomber l’entropie (désordre) le plus tard possible. Avec l’emploides moyennes, et mêmes d’autres moments, on peut obtenir desrésultats faux ou douteux. Dans les applications de la théorie du flou,on travaille tant qu’on le peut avec les distributions et c’est seulementle plus tard possible qu’on accepte moyennes et autres indicateurspour toute décision ou contrôle.

9. Domaines d’applicationLes applications pratiques déjà connues sont innombrables,

nous en citons quelques-unes :— la recherche opérationnelle ;— la gestion financière ;— le contrôle de production ;— le contrôle des machines ;— la robotique ;— la sismologie ;— la météorologie ;— la didactique ;— la sélection du personnel ;— l’informatique ;— la médecine ;— l’intelligence artificielle ;— la neuromimétique ;— la linguistique ;— le traitement des données ;— la communication homme-machine ;— la reconnaissance des formes ;— la fiabilité ;— la chimie industrielle ;— les transports ;— la sociologie ;

etc.

À titre indicatif, de 1965 à 1991, 12 000 articles dans les revuesscientifiques, 150 ouvrages, 200 thèses de doctorat, ont été publiésà travers le monde. Presque toutes les universités ont des coursréguliers ou à option sur les mathématiques floues.

10. ExempleExemple concernant les problèmes de fiabilité : tous les ingé-

nieurs sont concernés par la fiabilité des produits ou des systèmes.Pour les ingénieurs, deux problèmes importants sont à résoudre :

— connaître les courbes de survie des composants des systèmes ;— définir la configuration du système soit à l’aide de son réseau

de fiabilité, soit en construisant son arbre de défaillance ;

ces deux procédés étant équivalents et seulement plus pratiques àtraiter dans certains cas par l’une des méthodes ou par l’autre.

Les mathématiques floues interviennent dans la détermina-tion des courbes de survie tandis qu’elles n’ont pas à être utilisées,sauf dans quelques cas, pour l’étude des réseaux de fiabilité et desarbres de défaillance. On va montrer l’utilisation des intervalles ousegments de confiance et des sous-ensembles flous pour les courbesde survie.

Deux cas peuvent se présenter pour la détermination de la vied’un équipement :

— dans le premier cas, on peut faire des expériences destructivesou non et obtenir de là des statistiques qui donneront des lois deprobabi l i tés , d ’où la connaissance de lo is cumuléescomplémentaires qui donneront des lois de survie ;

— dans le deuxième cas, surtout lorsqu’il s’agit de composantsnouveaux sur lesquels on ne peut pas disposer de statistiques, il fauttravailler avec des avis d’experts et ceux-ci acceptent de donner leplus souvent des courbes de survie sous la forme de deux courbesassociées, l’une la plus pessimiste ou borne supérieure, l’autre laplus optimiste ou borne inférieure.

Dans le premier cas, c’est une courbe de survie probabiliste,dans le deuxième cas une courbe (plus précisément deux courbes)de possibilité de survie, celle obtenue par des avis d’experts.

Sur la figure 7a, on a représenté une courbe de survie probabilisteobtenue à partir de statistiques et à un temps t = τ correspond uneprobabilité de survie v (τ ). Sur la figure 7b, on a représenté unecourbe de survie floue obtenue à partir d’avis d’experts ; à un temps


t = τ correspond un segment de confiance [ (τ ), (τ )] et danscertains cas où un raffinement plus poussé est exigé, chaquesegment est doté d’une fonction d’appartenance comme on l’aindiqué au paragraphe 2.

Si l’on considère un système plus ou moins complexe, dans leréseau de fiabilité (ou dans l’arbre de défaillance), on va rencontrerdeux catégories de composants, les uns bien connus et définis àl’aide de courbes de survie probabilistes, les autres sans historiqueet estimés par avis d’experts, comme sur la figure 7b.

Quand deux composants sont en série comme sur la figure 8a,la défaillance d’un composant suffit à la défaillance du système etl’on a :

(75)

S’ils sont en parallèle (figure 8b ), il faut la défaillance des deuxcomposants pour que le système soit défaillant et l’on a :

(76)

Tout cela dans le cas de courbes de survie floues.

Si les courbes de survie floues sont données par des experts, ondémontre que les formules (75) et (76) restent valables et deviennentrespectivement :

(77)

(78)

On sait qu’un intervalle de probabilités n’est pas une probabilitémais peut toujours être considéré comme une valuation (une pro-babilité est une valuation mais une valuation n’est pas une proba-bilité). Or il se trouve que les opérateurs (·) et ( ) utilisés dans lesprobabilités sont de même utilisés dans les valuations du même réfé-rentiel [0, 1] (ce sont des t – normes connues autant en statistiquesque dans les mathématiques floues). Et ainsi, dans un même systèmeoù l’on s’intéresse à la fiabilité, on peut associer sans s’en soucier,les courbes de survie probabilistes et les courbes de survie floues

v*

v*

v t( ) v1 t( ) v2 t( )⋅=le les

système composants

v t( ) v1 t( ) v2 t( )+ v1 t( ) v2 t( )+ v1 t( ) v2 t( )⋅Ð= =^

lescomposants

lesystème

v* t( ), v * t( )[ ] v1*t( ), v*1 t( )[ ] v2* t( ), v*2 t( )[ ]⋅=

v1*t( ) v2*

t( )⋅ , v*1 t( ) v*2 t( )⋅[ ]=système

lescomposants

le

v* t( ), v* t( )[ ] v1*t( ), v*1 t( )[ ] v2* t( ), v*2 t( )[ ]+= ^

v1* t( ) v2* t( ), v*1 t( ) v*2 t( )+ +[ ]= ^ ^

lescomposants

lesystème

+·


mais le résultat donnera, on s’en doute, une courbe de survie globalefloue. On note que si :

(79)

Il en reste de même si les segments de confiance sont dotés d’unefonction d’appartenance comme sur la figure 9, simplement lescalculs se compliquent. Toutefois, avec les ordinateurs d’aujourd’hui,on peut faire des calculs de plus en plus fins et robustes.

Notre exemple sommaire avait pour but de montrer aux ingénieursun exemple où mesures et valuations peuvent s’associer ou opérerséparément. Tout ce qui est vivant s’use ou peut s’user, des êtresissus de la nature comme des créations des hommes. Les systèmes,de la vie à la mort, ont des lois parfois mesurables et souventestimées subjectivement en tant que valuations.

La théorie récente des sous-ensembles flous, dont nous devonsles bases principales au Professeur L.A. Zadeh de l’université deCalifornie à Berkeley, permet, en toute rigueur mathématique,d’associer l’objectivité quand elle est possible à la subjectivitécontrôlée pour comprendre et agir face à divers aspects de l’incer-titude.

Figure 7 – Courbes de survie

Figure 8 – Composants en série (a ) et en parallèle (b )

Figure 9 – Segment de confiance avec fonction d’appartenance

vi*t( ) v*i t( ) alors vi* t( ) , v*i t( )[ ] vi*

t( ) v *i t( ) vi t( )= = = =

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