ampli op -...

Ampli Op I47.

DS : ampli op, page 1

Dans ce problème, les amplificateurs opérationnels seront considérés comme idéaux et parfaits et fonctionneront en régime linéaire : courants nuls aux entrées inverseuse et non inverseuse, tension nulle entre ces entrées, résistance de sortie nulle d’un montage dont la sortie coïncide avec celle de l’AO. Les dipôles D sont identiques. Exprimer en fonction de et du courant pris par D sous la tension E . Quelle est la fonction de ce montage ?

s 1, ,r r R′

−∞

+E

D

r

−∞

+

r ′

D 1R

s

II22. Transformations de signaux (d'après Géologie de Nancy 1997). Dans ce problème, les amplificateurs opérationnels seront considérés comme idéaux et parfaits et fonctionneront en régime linéaire : courants nuls aux entrées inverseuse et non inverseuse, tension nulle entre ces entrées, résistance de sortie nulle d’un montage dont la sortie coïncide avec celle de l’AO.

A. Redressement sans seuil. Avec les conventions de la figure 1.a, une diode D présente la caractéristique intensité-tension représentée sur la figure 1.b.

Id

U00

Id

Ud

si Ud ≤ U0, Id = 0 ; si Ud = U0, Id ≥ 0 1.a. Donner le schéma équivalent de la diode passante.

Ud 1.b. Donner le schéma équivalent de la diode bloquée. 2. On utilise deux diodes D1 et D2 semblables à D dans le dispositif représenté sur la figure 2. Les amplificateurs opérationnels sont idéaux et fonctionnent en régime

linéaire. On impose une tension ue variable.

figure 1.a figure 1.b

2.a. On suppose D1 passante et D2 bloquée. Déterminer : • la tension de sortie us en fonction de ue ; R R R

R

R

– +

– + AO2

AO1

ud2

ud1

id2

D2

D1id1

• le courant id1 dans la diode passante en fonction de ue et R ;

• la tension ud2 aux bornes de la diode bloquée en fonction de ue et U0.

Donner une inégalité sur ue pour que D1 soit passante. Donner une inégalité sur ue pour que D2 soit bloquée. Conclure.

ue us

2.b. On suppose D2 passante et D1 bloquée. Déterminer : • la tension de sortie us en fonction de ue ; • le courant id2 dans la diode passante en fonction de ue et

R ; • la tension ud1 aux bornes de la diode bloquée en fonction

de ue et U0.

figure 2

Donner une inégalité sur ue pour que D2 soit passante. Donner une inégalité sur ue pour que D1 soit bloquée. Conclure. 2.c. Résumer la situation en donnant la caractéristique de transfert us(ue). 3. Désormais où . 1( ) cos( )e eMu t U t= ω 7, 8 voltseMU =

3.a. Représenter les graphiques de ue(t) et us(t). Comparer leurs périodes. On admet (on ne demande pas de le montrer) que us(t) peut être représentée approximativement par sa série de Fourier tronquée après le troisième terme :

où 1 2( ) ( ) ( )s s s su t U u t u t= + + 2 eMs

UU =π

, 1 24( ) cos( )3eM

sUu t t= ωπ

et 2 24( ) cos(2 )15eM

sUu t t= − ωπ

et où

. Quelles sont les fréquences de u2 12600 rad/s=ω s(t) et ue(t) ?

3.b. Qu’indiquerait un voltmètre réglé en continu et branché sur us ?

B. Première utilisation. Une des utilisations possibles de la tension us(t) est l’obtention d’une tension continue. Pour cela, il faut filtrer us(t).

figure 3

b

a ufiltrée 1. Quel genre de filtre faut-il utiliser ?

us 2. On peut réaliser ce filtre avec un circuit R,C (figure 3) avec C = 1 µF. Préciser la nature des dipôles a et b de la figure 3.

3. Donner l’ordre de grandeur de la résistance R pour réaliser un filtrage correct (la réponse sera argumentée).

–+

R3

A

C

C

R2v

R1

C. Seconde utilisation. On considère le filtre de la figure 4 alimenté par , où Rcos( )Mv V t= ω 1 = 34 500 Ω, R2 = 400 Ω et C = 10 nF. On suppose toujours l’AO idéal et fonctionnant en régime linéaire. 1) Si ω → ∞, quelle est la limite de la tension w(t) ? 2) Que peut-on dire qualitativement de son impédance d’entrée ?

w 3) Que peut-on dire qualitativement de son impédance de sortie ? 4) Montrer que sa fonction de transfert est

13 1 2

11 1 1 2

wHv R jC jC

jR C R R

−= = ⎡ ⎛ ⎞⎟⎜+ + + ⎤⎢ ⎥⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

ω ωω

figure 4

5) Déterminer R3 pour que 11 (

A

)jQ xx

=+ −

H où A = –2,3 , Q = 10 ,

0x = ω

ω et ω 0 12600 rad/s=

6) Représenter qualitativement le graphique de ( )H ω . 7) On applique à l’entrée de ce filtre la tension continue U = 5 volts. Quelle est la tension W à la sortie ? 8) On applique à l’entrée de ce filtre la tensionu t . Quelle est la tension w1( ) 3, 3 cos( )2t= ω

2t= − ω1(t) à la sortie ?

9) On applique à l’entrée de ce filtre la tensionu t . Que peut-on dire de la tension w2( ) 0,7 cos(2 ) 2(t) à la sortie comparée à w1(t) ?

10) On applique à l’entrée de ce filtre la tension us(t) produite par la sortie du montage de la partie A. Quelle est la tension w(t) à la sortie ?

11) Qu’a-t-on réalisé ainsi avec l’ensemble du montage de la partie A et de ce filtre ?

III32. Transducteur différentiel.


On applique à l’entrée du montage ci-contre des tensions u1 et u2 et on l’utilise entre la borne S, de potentiel s et qui débite le courant i, et la masse. On admet que l’AO fonctionne en régime linéaire.

1) On considère d’abord l’AO comme idéal : alors 0=−= −+ vvε . Déterminer la relation entre s et , relation dont les coefficients dépendent de u , u et des résistances.

i1 2

2) A quelle condition ce montage est-il vis à vis de l’utilisation

équivalent à une source de courant ? Montrer qu’alors 2

12

Ruu

i . −

=

3) Cette condition n’est pas nécessairement remplie. En réalité, la

tension à la sortie de l’AO obéit à µετ =+ udtdu , où τ est une constante positive et où −+ −= vvε . Soit la

résistance d’utilisation branchée entre la borne S et la masse. Déterminer l’équation différentielle régissant u(t).

uR

S

i s

u u1 +

–

R4

R3

R2

R1

u2

4) Cette équation est de la forme 21 BuAuaudtdu

+=+τ , où , a A et sont des fonctions de B µ et des résistances.

Montrer que le régime linéaire n’est stable que si . Que se passe-t-il dans le cas 0>a 0<a ? 5) Quel est l’ordre de grandeur de µ ? 6) En déduire la condition de stabilité du régime linéaire.

IV29. 1. Dans les trois montages ci-dessous, on utilise un AO idéal et des résistances.

Pour chaque montage, établir les expressions des tensions de sortie si en fonction des tensions d'entrée ei et,

éventuellement, des résistances R, R' et R".

i 2. Dans le montage 4, une diode est associée à un AO ; la diode n'est pas considérée comme idéale, sa

caractéristique est modélisée par : u i , a et étant deux

constantes positives. 00 ( ) exp( ) ; 0 ( ) 0u I au u i u> ⇒ = < ⇒ = 0I u

2.a. Établir la relation liant s et e. Quelle condition doit vérifier e ?

montage 5 :

montage 4 :

2.b. On permute les positions de R et D (montage 5). Établir la relation liant s et e et expliciter la condition que doit vérifier e.

3. On veut construire un opérateur effectuant la multiplication de deux signaux e1 et e2, en utilisant des AO idéaux et des diodes.

Montrer qu'en combinant des montages du type précédent, on peut obtenir, à partir des deux signaux d'entrée e1 et e2 le signal de sortie 1 2

0

e eRI

.

4. Quelles critiques peut-on adresser à ce schéma d’un multiplieur ?

vs

R

C

R’ C’

Ru

ve

B

A + –

V33. Filtre actif. On applique une tension sinusoïdale au montage ci-

contre, qui applique à son tour une tension v à un appareil d’utilisation schématisé par la résistance R

cose emv V= ωts

u. L’amplificateur opérationnel est parfait. 1) Expliquer en quoi le branchement des trois bornes de l’AO incline à

supposer que celui-ci fonctionne en régime linéaire et non en régime saturé si V et ω ne sont pas trop grands ? em

2) Que se passe-t-il si V est trop grand ? em3) Déterminer sans calcul la fonction de transfert si est très petit. ω4) Déterminer sans calcul la fonction de transfert si est très grand, l’amplificateur opérationnel étant supposé en

régime linéaire. ω

5) Montrer que la fonction de transfert est : ( ) 2

11 '

s

e

v' 'v jC R R RCR C

= =+ + −ω ω

H .


6) Exprimer C’ et ω0 en fonction de R, R’ et C pour que 4

0

1

1

sm

em

VV

=⎛ ⎞⎟⎜+ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ωω

.

7) Exprimer la bande passante à –3 dB de ce filtre. 8) On se propose de tracer le graphe de ( )20 log /dB sm emG V= V

ension à

i

en fonction de log(ω /ω0) . Déterminer les équations des asymptotes de ce graphe.

9) Tracer schématiquement ce graphe. 10) Définir par un mot l’utilité de ce filtre. 11) Quelle est l’impédance de sortie de ce filtre ? 12) Quelle est la différence entre les phases de v et de s ev à basse fréquence ? 13) et à haute fréquence ?

VI50. Les AO sont idéaux et fonctionnent en régime linéaire. 1. On considère le montage représenté ci contre dans

lequel l'amplificateur opérationnel considéré comme parfait fonctionne en régime linéaire : les courants aux entrées inverseuse et non inverseuse sont nuls et la tentre ces deux entrées est nulle. Le circuit est alimentél'entrée par un générateur délivrant une tension alternative sinusoïdale de pulsation ω et d'ampl tude complexe eUOn désign ar

. e p sU l'amplitude omplexe de la tension de

sortie. Les quantités c

1 2, ,Y Y Y représe s admittances.

ntent de

Calculer la fonction de transfert ( ) /s eU U=ωT j du circuit.

2. Les admittances Y correspondent à des conducteurs ohmiques purs identiques, de conductance 1/ . L'admittance

R

1Y , correspond à un condensateur de capacité C et 2Y à un condensateur de capacité α où α est une constante positive. On pose ω et x . Exprimer le module de la fonction de transfert.

C

0 1/RC= 0/= ω ω

3. Déterminer la valeur de α pour laquelle on peut écrire : 4

1

11 ( / )

T =+ ω ω

et exprimer . 1ω

4. Quelle est alors la fonction du filtre ? 5. Calculer la valeur de la pulsation correspondant à une atténuation du module de la fonction de transfert de 40

dB. 2ω

VII . 29Les AO sont idéaux et fonctionnent en régime linéaire. 1) Quand on étudie une onde sonore, on constate que la pression P de l’air a une valeur moyenne par rapport au

temps 0P constante et égale à la pression en l’absence de son et qu’elle varie un peu autour de cette valeur moyenne. Pour mesurer ces petites variations de pression, on utilise un capteur qu’on peut modéliser par une résistance r variant linéairement avec la pression : . Dans un premier temps, on insère le capteur dans le montage 1. r = βP

a) Calculer les tensions Pv et Mv entre les points P et M et la masse, puis la tension de sortie v en fonction de la

tension V et des résistances r et r . S

0 0

b) Quelle valeur doit-on donner à r pour que le signal ait l'amplitude la plus petite possible ? A quoi cela sert-il ? 0


c) Calculer alors la sensibilité de la chaîne de mesure, c'est-à-dire le rapport entre la tension de sortie et la pression acoustique . 0P P−

2) On insère maintenant le capteur dans le pont de Wheatstone amplifié (Montage 2). a) Calculer les tensions et à l'entrée de l'amplificateur. Pv Mvb) Calculer la tension de sortie en fonction de , , , et . Sv Pv Mv 1R 2R gRc) Calculer la sensibilité de la chaîne de mesure. Quel est l'intérêt du montage par rapport au précédent ?

VIII33.

vs

–+ ∞

C

C

R

R

v2

v1

1) Dans le montage ci contre, exprimer la tension à la sortie vs en fonction des tensions aux entrées v1 et v2. 2) Qu’appelle-t-on résistance de sortie ? Quelle est la résistance de sortie de ce montage ? 3) Que peut-on dire de simple des impédances d’entrée ? Sont-elles idéales ? 4) Que réalise ce montage ?

IX41. Traitement du signal fourni par un anémomètre à fil chaud, d’après ESEM 1992.

Un anémomètre à fil chaud placé dans un fluide de vitesse v fournit une tension U. Dans ces conditions on admet que la tension U produite, pour une vitesse v constante et au bout d'une durée suffisamment longue, vaut U = k.v1/2, k constante positive liée à l'appareil. Si la vitesse passe brusquement à l’instant t = 0 de v à v + ∆v, la tension U ne varie pas instantanément ; elle varie progressivement et avec retard selon la loi : si t < 0, U = k.v1/2, si t > 0, U = k.v1/2 + ∆U0.(1–exp(–t/τ)). Les montages électroniques 2a et 2c traitent le signal U afin de l'améliorer et de faciliter son emploi. Les amplificateurs opérationnels sont idéaux et fonctionnent en régime linéaire.


1) Montrer que ∆U0 =k.(v + ∆v)1/2 – k.v1/2. 2) Représenter la courbe U = U(t), y faire apparaître τ, U1 et

U2 tensions relatives aux vitesses v et v+∆v , ∆v > 0. 3) Etude du montage de la figure 2a. On admet que les diodes utilisées sont modélisées quand

elles sont conductrices par : ud > 0 et id = i0.exp(ud/u0), (figure 2b) où i0 et u0 sont deux constantes positives. Le montage utilise la tension d'entrée e = U produite par la vitesse constante v.

3.a) Exprimer les tensions s1 avec e, s2 avec s1, puis s avec s2. Quelle opération réalise chaque partie du montage ?

3.b) Calculer s en fonction de e, R et i0. Quelle condition doit être remplie par e, R et i0 pour que les diodes soient conductrices ?

3.c) Montrer que le signal de sortie est proportionnel à la vitesse. Quelle est la constante de proportionnalité ? On dit qu'il y a linéarisation.

4) Étude du montage de la figure 2c.

Le montage utilise la tension d'entrée e = U(t) quand la vitesse varie de v à v + ∆v. 4.a). Exprimer s1 avec de/dt, R et C, s2 avec e, puis s avec s1 et s2. Quelle opération réalise chaque partie du

montage ? 4.b) Exprimer s avec e, de/dt, R et C. 4.c) Montrer que par un choix judicieux de R.C, l'anémomètre suivi de ce montage donne une réponse instantanée. 5) Comment réaliser un anémomètre donnant une réponse à la fois linéaire et instantanée ?

Réponses I. 1

r rs R ir

′−= ′ ; ce montage donne une image en tension de la différence relative entre r et r . ′

II. A. 1.a. La diode passante équivaut au schéma ci-contre ; 1.b. La diode équivaut à un interrupteur ouvert ; 2.a.

; s eu u= 12 e

duiR

= ; u U ; ; 2.b. 2 0d eu= − − 0eu > 2

23e

duiR

= − ; ;

; ; 2.c.

s eu u= −

1 0/ 3d eu u U= − 0eu < s eu u= ;

3.a. 22 2005, 4Hz2

f = =ωπ

; 1 2 /2 1002,7Hzf f= = ;

3.b. 2 5, 0VeMU =π

.

U0

0

0.5

1

1.5

2

G

0.5 1 1.5 2 2.5x

B. 1. filtre passe-bas ; 2. a est R et b est C ; 3. . 10000R = Ω

C. 1. ; 2. au moins ; 3. voisine de zéro ; 5. ; 6. voir ci-contre ; le maximum a

lieu pour , ; 7. ; 8. ; 9. est très petit ; 10. ; 11. doubleur de fréquence.

0w = 1R

3 12 159 000R AR= − = Ω

0=ω ω 2,3G = 0W =1 1 7,6 cosw Av= = − ω2t 2w

1w w

III. 1) 32 1

2 1 4

1( ) (

R)s u s

R R R= − − −i u ; 2)

3

412 R

RRR = ; 3)

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

+−

++

+=+

31

31

1

42

42

2

11111RR

Ru

Ru

RRR

Ru

Ru

udtdu

u

µτ ; 4) si

, u croît en valeur absolue jusqu’à ce que la saturation soit atteinte ; 5) 100<a )(t 5 ; 6) 3

1 4 2

1 1u

RR R R R> − .

IV. 1) montage 1 : s e (montage sommateur) ; montage 2 : s e (opération différence) ;

montage 3 : s (montage inverseur) ; 2.a)

(1 1 )2e= − + 1e= −

1e= −

2 2

3 s (amplificateur

logarithmique) ; 2.b) s (amplificateur exponentiel) ; 3)

mettre sur les deux entrées des amplificateurs logarithmiques, les combiner par un sommateur, appliquer un amplificateur exponentiel, puis un inverseur ; 4) voir corrigé.

i si l'AO est saturé0

10, ln 0,

ee s e

a RI⎛ ⎞⎟⎜> = − <⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

i si l'AO est saturé00 exp 0e s RI ae e> = − <( )

V. 1) La sortie de l’AO est reliée à l’entrée inverseuse, ce qui stabilise

le régime linéaire par contre-réaction ; elle n’est pas reliée à l’entrée non inverseuse ; une telle liaison déstabiliserait le régime linéaire ; 2)

risque d’être écrêté ; 3) sv 1=H ; 4) ; 6) 0=H

( )2

2R R C

CRR

′+′ = ′ ; ( )CRRCCRR ′+=

′′=

210ω ; 7) du continu à

0ω ; 8) 0→ω , G ; 0≈dB ∞→ω , ( )0/log40 ωω−≈dBG ; 9) ci-contre le graphe de en fonction de dBG ( 0/log )ωω ; 10) passe bas ; 11) nulle ; 12) nulle ; 13) π .


VI. 1) ( )2 1

1

1 3T Y Y

Y Y

= −+ +

; 2)( )2 2 2

11 9 2

Tx x

=+ − +α α α 4

; 3) 29

=α et 132RC

=ω ; 4) passe-

bas ; 5) 230 212000 rad/s2RC

= =ω .

VII. 1.a) ( ) 0

0

rVv P

r r=+

; ( ) 0

2sV vv M ; += 0

00

sr rv Vr r−=+

; 1.b) r ;v est une image électrique de la

pression acoustique ; 1.c)

0 0P= β s

0P P− 0

0 02sv V

P P P=

− ; 2.a) ( ) 0

0

rVv P

r r=+

; ( ) 0

2Vv M ;

2.b)

=

( ) ( )( )121sg

Rv ; 2.c) v M v PR

⎛ ⎞⎟⎜= − + −⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜⎝ ⎠1 0

0 0

214

s

g

v RP P R P

⎛ ⎞⎟⎜ + ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜− ⎝ ⎠V ; amplifie la pression acoustique

VIII. 1) 2 1sdvv v ; 2) RCdt

− = ss

s

dvZ

d i= nulle ; 3) idéal : impédances d’entrée infinies, non vérifié ici ; 4)

intégrateur différentiel. IX. 2) voir graphe ci-contre ; 3.a) 0 1exp( / )e i s u0= −

R (amplificateur

logarithmique) ; 12

s sR= − 2

R (amplificateur inverseur) ; 0 2 0exp( / ) si s u

R= −

(amplificateur exponentiel) ; 3.b) 2

0

es ; e ; 3.c) Ri

= − Ri> 0

2

0

ks v est

proportionnel à la vitesse ; 4.a)

Ri= −

1des (montage dérivateur) ; RCdt

= − 2e sR R= −

(montage inverseur) ; 1 2 0s s sR R R+ + = (montage sommateur) ; 4.b) des e ; 4.c) s si RC ;

l’anémomètre donne alors une réponse instantanée ; 5) Pour avoir une réponse linéaire et instantanée, il faut disposer en série l’anémomètre, le montage 2c et le montage 2a.

RCdt

= + U= 2 = τ

τ 0

U1

U2

U

t


Corrigés I.

En régime linéaire, les bornes – des AO sont aux potentiel 0. Les deux dipôles D sont donc soumis à la même tension et donc parcourus par le même courant i . La sortie de l’AO de gauche est au potentiel . r est parcourue

par le courant

E

ri− ′rii ′r

= − ′ . est

parcouru par le courant

1R

(1 ri i i ir

′′ ′= + = − ′ ) . D’où :

−∞

+E

D

r

−∞

+

r ′

1R

s

D

i

i

i

i ′

i ′′

1r rs R ir

′−= ′ .

Ce montage donne une image en tension de la différence relative entre r et r . ′

II. Transformations de signaux (d'après Géologie de Nancy 1997). A.

U0

1.a. La diode passante équivaut au schéma ci-contre : 1.b. La diode équivaut à un interrupteur ouvert. 2.a. Les deux entrées de l'AO de gauche sont au potentiel 0 ; comme la résistance du

bas est parcourue par un courant nul, les deux entrées de l'AO de droite sont aussi au potentiel zéro. Les entrinverseuses des AO ne prélevant pas de courant, les résistances R d haut sont parcourues deux à deux par

les mêmes courants i et j :

ées

u

eu viR R

A= − et =

A sv uR R

−j = =

i =

.


D'où : s eu u=

et ; d'après la loi des nœuds en A, i i ; d'où :

j = − 1 2d

R R R

R

R

-+

-+

ue us

id1

U0

ud2

i

ij

jA

12 e

duiR

= .

Comme la résistance R du bas est parcourue par un courant nul, elle est au potentiel 0 et u U : 2 0d A ev u+ = = −u

0U<

>

B d d dv R i i Ri i i= − + = ⇒ = −R=

2 0d eu U= − − 1D est passante si . 0eu >

Alors, u , donc D est bloquée. 2d 2

Donc ceci est le régime de fonctionnement si u . 0e2.b. Sur la figure, on a représenté les courants non nuls, i , et . Le point C et les entrées inverseuse et non

inverseuse du premier AO sont au potentiel zéro. Les points B et \ D et les deux entrées inverseuse et non inverseuse du deuxième AO sont au même potentiel, v .

2di 2di i+

B

D'après la loi d'Ohm, ce dernier potentiel est : ( )2 2 22 2 / 3

R R R

R

R

-+

-+

ue us

id2

ud1

U0

i

i+id2 i+id2A

B

C

D

. Comme i u , /e

223e

duiR

= −

D'après la loi d'Ohm, ( ) ( )22

3 33

e es d

u uu R i i R

R r= − + = − −

s eu u= −

( ) ( )1 0 2 22

3 3 3s

A B d d di i Ri

v v u U R i i Ri R R− = + = − + − = − − − = =3u

1 0/ 3d eu u U= − 2D est passante si 2 0di >0eu <

Alors, , donc est bloquée. 1 0du < 1D

Autre technique de calcul : le théorème de Millman en C donne : 02

e D Bu v vR R r

= + + ; comme , on en

déduit

Dv v= B

23e

D Buv v= = − ; comme le même courant parcourt les trois résistances R du haut, 2di i+

( )2 2 3A D s

dv v ui iR R

− + = = =R

, d’où et s eu u= −3e

Auv = − ; 2

23

B ed

v uiR R

= = − ;

( )1 0 12

3 3 3e e e

d A B du u u

u U v v u U+ = − = − − − ⇒ = − 0 .

2.c. s eu u=

3.a. L’examen des graphiques de cos tω et de montre que la période de cos tω cos tω est la demi période de

. Donc cos tω 22 2005, 4Hz2

f = =ωπ

, tandis que 1 2 /2 1002,7Hzf f= = .

3.b. Un voltmètre en continu indique en général la composante continue du signal, c'est-à-dire sa valeur moyenne, qui

est 2 2 7, 8 5, 0VeMU ×= =π π

.

B. 1. Il faut un filtre passe-bas. 2. a est R et b est C . 3. Pour le courant continu, C ne laisse passer aucun courant, donc . En courant variable on veut ,

donc

su u= e s eu u

2

1R

Cω, soit 6

1 8010 12600− = Ω

×R . On peut prendre . 10000R = Ω

C. 1. A haute fréquence, les deux condensateurs sont des court-circuits, donc . 0w v v− += = =2. L'impédance d'entrée est au moins . 1R3. L'impédance de sortie est voisine de zéro. 4. Le même courant parcourt et C : 3R

3A

w jC vR= − ω .

Le théorème de Millman en A donne :

1 1

3 1 3 1

1 2 1 2

1 1 121 1 1 12 2

A

v vjC w jC ww vR Rv w jC jCjR C R jR C R RjC jC

R R R R

+ +

2

⎡ ⎛ ⎞⎟⎜= ⇒ − = = − − + + ⎤⎢ ⎥⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦+ + + +

ω ωω ω

ω ωω ω

d'où la formule demandée.

5. Les deux expressions de 1H

sont du type ca bjj

+ +ωω

. Identifions leur terme constant a :

13 1

3

1 22 2 2,3 34500 159000

RR AR

A R= − ⇒ = − = × × = Ω

On peut vérifier aussi que les coefficients b et c sont égaux : 10

QRC

A= −

ω et

1

02

3

1 RQR

R C A

+− = ω ; cette dernière

relation donne la même valeur pour

1

23 8

0

34 5002, 3 11 400

15900010 10 12600

RRR

QC −

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎟⎜ ⎟× +⎟⎜ ⎜+ ⎟⎟ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = = Ω× ×ω

A− ⎜.


6. Le graphique de ( )22, 3

1 100 1/G H

x x= =

+ − est :

0

0.5

1

1.5

2

G

0.5 1 1.5 2 2.5x

Le maximum a lieu pour , . 0=ω ω 2,3G =7. , car pour . 0W = 0H = 0=ω8. w A 1 1 7,6 cos 2v t= = − ω9. w est très petit par rapport à w car 2 1 H est nettement

plus petit que dans le cas précédent, la courbe de H en fonction de présentant son maximum assez aigu pour la question 8.

ω

10. w W . En effet, V v est la série de Fourier de .

1 2 1w w w= + + 2v+ +1su

11. On a réalisé un doubleur de fréquence qui transforme en . cos tω cos2 tω

III.

1) Le même courant traverse et : 1R 3R31

1

Ruv

Rvu −

=− −− .

La loi des nœuds en S s’écrit iR

vuR

vu=

−+

− ++

42

2 .

En outre, . −+ == vvsLa relation entre s et i s’obtient en éliminant u entre ces relations :

)()(1

)()(

141

32

2

22

441

1

3

suRR

Rsu

Ri

vuRR

iRvvuRR

vu

−−−=

−−+=−−= ++−−

2) Pour que le montage se comporte comme une source de courant, il faut que i soit indépendant de s , donc que

3

412 R

RRR = . Alors

2

12

Ruu

i−

= .

3) Le théorème de Millman pour l’entrée inverseuse s’écrit :

31

31

1

11RR

Ru

Ru

v+

+=− .

Le théorème de Millman en S s’écrit :

2

2 4

2 4

1 1 1u

u uR Rv .

R R R

+

+=

+ +

D’où :

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

+−

++

+=+

31

31

1

42

42

2

11111RR

Ru

Ru

RRR

Ru

Ru

udtdu

u

µτ

4) Cette équation est du type 21 BuAuaudtdu

+=+τ , où 3

41 2

1 111 11 1

u

a RRR R R

⎡ ⎤= + −⎢ ⎥⎛ ⎞⎢ ⎥⎟⎜+ + + ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎣ ⎦

µ .

La solution de cette équation est la somme d’une solution particulière qui ressemble à et de la solution générale de l’équation sans second membre,

21 BuAu +)/exp(. τatcste − ; il faut que cette fonction tende vers zéro quand ∞→t ,

donc que pour que le système soit stable, c’est-à-dire que u suive 0>a )(t 21 BuAu + . Si au contraire a , croît en valeur absolue jusqu’à ce que la saturation soit atteinte.

0< )(tu

5) µ est très grand (105). 6) Par conséquent, la condition de stabilité est approximativement

3 34

3 1 2 1 44

1 2

1 1 1 1 10 1 11 11 1 u u

u

R RRR R R R R R RRR R R

⎛ ⎞⎟⎜− > ⇒ + < + + ⇒ > −⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎛ ⎞⎟⎜+ + + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠2

1R


IV.

1) Montage 1. Millman : ( )1 2 1

1 1 21 1 1

e e sR R Rv v s e e

R R R

+ −

+ += = = = − +

+ +0 (montage sommateur).

Montage 2. Montages diviseur de tension : 1 2

2 22

2

2

e svs e eev

−

+

+ ⎫⎪= ⎪⎪⎪ ⇒ = −⎬⎪⎪= ⎪⎪⎭

1 (opération différence).

Montage 3. Montage diviseur de tension : 1 330

2e sv v s+ −+= = = = − 1e

R= s

(montage inverseur).

2.a) Pour la diode, i e , u , soit / = −si

si l'AO est saturé0

10, ln

0,

ee sa RI

e

⎧ ⎛⎪ ⎟⎜⎪ > = − ⎟⎜⎞⎟⎜⎝ ⎠

⎪ <⎪⎪⎩

ie

<⎪⎩

⎪⎪⎨⎪ (amplificateur logarithmique).

2.b) u e , soit ⎪⎨⎪ (amplificateur exponentiel). s R= = −( )si

si l'AO est saturé00 exp

0

e s RI a

e

> = −⎧⎪

3)

Si 11 1

0

10, ln

ee s ; si

a RI> = − 2

2 20

10, ln

ee s ;

a RI> = −

( )1 2

3 1 2 20

1 ln e es s ; si s , soit

,

sa RI

= − − = >3 0

( )21 2 0e e RI> ( ) 1 24 0 3

0exp e es R ; I as

RI= − = − 1 2

5 40

e es s RI

= − =

> > RI>4) Ce montage ne fonctionne que si e et e et e e . 1 0 2 0 ( )21 2 0

u

région utile

i En réalité, la caractéristique de la diode n’est opérationnelle que sur une gamme très étroite de

tension. Il faut donc compliquer ce montage pour avoir un multiplieur efficace.

V. 1) La sortie de l’AO est reliée à l’entrée inverseuse, ce qui stabilise le régime linéaire par contre-

réaction ; elle n’est pas reliée à l’entrée non inverseuse ; une telle liaison déstabiliserait le régime linéaire.

2) Si V est trop grand, v risque d’être écrêté. em s

3) A basse fréquence, les condensateurs ont une grande impédance, si bien qu’on peut supprimer leurs branches sans perturber le montage. Les résistances et sont alors parcourues par le courant R R′ 0=+i , d’où v v et e sv v+ −= = =

1=H . 4) A haute fréquence, les condensateurs ont une impédance petite, si bien qu’on peut les remplacer par des fils. Alors

, d’où v v et . 0v+ = 0s− = =v v+ −= = =

0=H5) v v . A s

R et C sont en série, donc ( )11 1B A

B sv v v v jRC

RjC jC

= ⇒ = ++

ω

ω ω

.

Le théorème de Millman en B donne : ( )1

1 1

es

B

v v jCRRv . jC

RR

′+ +′=′+ +′

ω

ω

En combinant ces deux relations :

( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) 2

1 1 11

1 1 1 11 1

es s

e

s

vv jRC jC v jCR RR R

vR jRC jC jC j R R C RR CC

H v R RR

′ ′+ + + = + +′ ′⎡ ⎤′ ′ ′ ′= = + + + − + = + + −⎢ ⎥′⎣ ⎦

ω ω ω

ω ω ω ω ′ ′ω

6) Il faut identifier ( ) ( ) 222222

11 ωω CRRCCRRH

′++′′−= à 40

41 . Ces deux polynômes ont mêmes

coefficients en :

ωω

+

2ω ( ) ( )RR

CRRCCRRCCRR′

′+=′⇒=′++′′−

202

222 et mêmes coefficients en : 4ω

( )CRRCCRR ′+=

′′=

210ω .


7) H est maximum et vaut 1 quand 0=ω . La bande passante est

l’intervalle où 2

1>H , soit 0ωω < ; elle va du continu à 0ω .

8) ( ) ( )( )40

40 /1log10/1/1log20 ωωωω +−=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +=dBG .

Quand 0→ω , . 0≈dBGQuand ∞→ω , ( )0/log40 ωω−≈dBG 9) Ci-contre le graphe de en fonction de dBG ( )0/log ωω . 10) Ce filtre est passe bas. 11) L’impédance de sortie est nulle, car la sortie du montage est

aussi la sortie de l’AO. 12) A basse fréquence, 1≈H , donc la différence de phase entre et est nulle. sv ev

13) A haute fréquence, 2

1ωCCRR

H′′−

≈ , donc la différence de phase entre et est égale à sv ev π .

VI. 1) Appliquons Millman en A, à l’extrémité de Y1 qui n’est pas à la masse ( )

( )

13e sY U U

v AY Y+=+

et à l’entrée

inverseuse ( ) 2

20 sYv A YUv v

Y Y+ −+= = =+

. D’où ( )[ ]2 22 13e sY U Y Y Y Y U− = + + et

( )2 1

1

1 3T Y Y

Y Y

= −+ +

.

2) ( ) ( )1 1

1 3 1 3T

j RC jRC j x jx= − = −

+ + + +α ω ω α.

( ) ( )2 22 2 2

1 11 9 21 9

T Tx xx x

= = =+ − +− + α α αα α 2 2 4

.

3) Les deux polynômes en x ou ω représentant 21/ doivent avoir mêmes coefficients, d’où : T

2 29 2 0

9− = ⇒ =α α α et

4 402

11 0

32RC

⎛ ⎞⎝ ⎠

⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜= = =⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ω ω ωα ωω ω α

.

4) C’est un filtre passe-bas (qui inverse aussi le signal).

5) 4

2 41 22

1

1 30log 40 10 1 10 10 212000 rad/s2

T TRCT

− ⎛ ⎞⎟⎜= − = = + = = = = =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ω ω ω ωω

20 .

VII.

1.a) Appliquons le théorème de Millman en P : ( )

0

00

0

0

1 1

VrVr v Pr r

r r

= =++

; et en M

( )

0

00 0

0 0

1 1 2

s

s

V vV vr r v M

r r

+ += =+

.

Or le fonctionnement linéaire de l’AO exige ( ) ( ) 00

0sr rv P . v M v Vr r−= ⇒ =+

1.b) Il faut choisir 0r P= β 0 de sorte que v soit nul en l’absence de son. Alors, s00

0sP P

v , soit compte tenu

de

VP P

−=+

0 0P P P− , 00

02sP P

v : v est une image électrique de la pression acoustique P P . VP−

s − 0

1.c) La sensibilité est 0

0 02sv V

P P P=

−.

2.a) Appliquons le théorème de Millman en P : ( )

0

00

0

0

1 1

VrVr v Pr r

r r

= =++

; et en M ( )

0

00

0 0

1 1 2

VVr v M

r r

= =+

.


M' i2 M" ig

i2' P"P' 2.b) , et sont traversés successivement par le même courant 1R gR 1R

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1

1

212g

g g g

v M v P v M v P Ri v M v PR R R R′ ′ ⎛ ⎞− − ⎟⎜′ ′= = ⇒ − = + −⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜+ ⎝ ⎠

v M v P

Les deux résistances du haut sont traversées par le même courant 2R( ) ( ) ( ) ( ) (2

2 22s

sv M v M v M v

i v v M v MR R

′ ′′ ′′− − ′′ ′= = ⇒ = − )

Les deux résistances du bas sont traversées par le même courant 2R( ) ( ) ( ) ( )22 2

22v P v P

i v . P v PR R′ ′′′ ′ ′′= = ⇒ =

L’AO de droite impose ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )121sg

Rv M . v P v P v M v v M v P

R⎛ ⎞⎟⎜′′ ′′ ′ ′= ⇒ − = = − + −⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜⎝ ⎠

2.c) ( ) ( )

1 0 0 1 0 1 00 0

0 0

2 2 21 1 12 2 2s

g g g

R V rV R r r R P P0V

R r r R r r R P P⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ − −⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟⎜= − + − = + = +⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟⎜⎟ ⎟ ⎟⎟⎜⎟ ⎟ ⎟⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜⎝ ⎠+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

v V . Comme

0P P P− 0 , la sensibilité est 1 0

0 0

21

4s

g

v RP P R P

⎛ ⎞⎟⎜ + ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜− ⎝ ⎠V .

Ce montage permet d’amplifier la pression acoustique. On pourrait l’amplifier davantage en modifiant les résistances . 2R

VIII. 1)

22

11

1 1

1 1s

s

vvRvjRCjC

Rv jC v v jRC vRv

jRCjCR

+

−

= =++

+ += =++

ωω

ω ωωω

d’où 2 1 2 1s

sdvv v . jRC v v v RCdt

= + − =ω

Remarque : cette dernière formule est valable, même si v et v ne sont pas des fonctions sinusoïdales de même fréquence.

1 2

2) Si est le courant à la sortie, sis

ss

dvZ quand la charge varie. En fait, l’impédance de sortie est nulle, comme

pour les autres circuits dont la sortie est à la sortie d’un AO. d i

=

3) L’idéal est que les impédances d’entrée d’un montage soit infinies. Ici, ce n’est pas le cas, car les deux entrées prélèvent du courant.

4) Ce circuit est un intégrateur différentiel.


IX. 1) est égal à la limite quand t de , soit . 1/2 1/2( )k v v kv+ ∆ − → ∞ ( )U t∆ 0U∆2) Voir graphe ci-contre.


3.a) Le même courant traverse la résistance R de gauche et D1 :

0 1exp( / )e i s uR= − 0 (amplificateur logarithmique) .

Le même courant traverse la résistance R du centre et la résistance 2R : 1 2

2s sR R= −

(amplificateur inverseur). τ 0

U1

U2

U

t

Le même courant traverse la diode D3 et la résistance R de droite : 0 2 0exp( / ) si s (amplificateur

exponentiel).

uR

= −

3.b) D’où ( )2 2

0 1 0 00 0

exp 2 / e es R . i s u RiRi Ri

⎛ ⎞⎟⎜= − − = − − = −⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠v= >

Ri>La diode D1 est toujours passante, car e k est toujours positif. La diode D1/2

3 est passante si s , soit , soit e .

2 01 0s < 0

3.c) 2

0

ks est proportionnel à la vitesse. vRi

= −

4.a) La charge de l’armature de droite du condensateur est q . Sa dérivée par rapport au temps est égale au

courant dans la résistance R du haut :

Ce=1dq . D’où s

dt R= − 1

des (montage dérivateur). RCdt

= −

Le même courant traverse les deux résistances R situées en bas à gauche, donc : 2e sR R= − (montage inverseur).

Le théorème de Millman appliqué à l’entrée inverseuse de l’AO de droite s’écrit : 1 2 0s s sR R R+ + = (montage

sommateur).

4.b) D’où des e . RCdt

= +

> )U U t= + − − τ4.c) Si t , e U ; alors 0 2 1 2( )exp( /

2 1 2 1 2( )exp( / ) ( )exp( / )RCs U U U t U U t= + − − − − −τ ττ 2U= : s si RC ; l’anémomètre donne alors une

réponse instantanée.

= τ

5) Pour avoir une réponse linéaire et instantanée, il faut disposer en série l’anémomètre, le montage 2c et le montage 2a.

ampli op -...

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