vincent guinot , carole delenne université montpellier 2 / polytech’montpellier

Modèles à surface libre: les apports du calcul direct de sensibilité au calage et à l’analyse d’incertitude

Vincent Guinot, Carole DelenneUniversité Montpellier 2 / Polytech’Montpellier

HydroSciences Montpellier

GIS HED2 - décembre 2012

1

1. Introduction

2. Sensibilité locale

3. Sensibilité et calage

4. Sensibilité et incertitude

5. Conclusions

V. Guinot & C. Delenne – GIS HED2 - décembre 2012

Les deux grandes pathologies de la modélisation

2

Insensibilité

• Grandes variations de v variations de u négligeables

• Inversion de modèle difficile…

• … et dangereuse (valeurs de v irréalistes, jeux admissibles de paramètres non uniques, etc.)

Paramètre v

Variable u

Sensibilité s

Paramètre v

1. Introduction

2. Sensibilité locale

3. Sensibilité et calage

4. Sensibilité et incertitude

5. Conclusions

V. Guinot & C. Delenne – GIS HED2 - décembre 2012

Les deux grandes pathologies de la modélisation

3

Hypersensibilité

• Petite variation de v grande variation de u

• Caractère prédictif du modèle: douteux

• En général: le signe d’une paramétrisation « cachée » (contrôle par plusieurs paramètres et non un seul)

• Inversion du modèle (calage): difficile

Paramètre v

Variable u

Sensibilité s

Paramètre v

1. Introduction

2. Sensibilité locale

3. Sensibilité et calage

4. Sensibilité et incertitude

5. Conclusions

V. Guinot & C. Delenne – GIS HED2 - décembre 2012

La sensibilité: une dérivée directionnelle

4

Modèle hydrodynamique (ex. Saint-Venant): un jeu d’EDP

],0[),(0),( Tt xuL v

xxuxu )()0,( 0

],0[),()(),( Ttxtt bb uxu

Intérieur du domaine

Conditions initiales

Conditions aux limites

Perturbation du paramètre v sous la forme

0),(),(),( vvv ttt xxx

Sensibilité: dérivée directionnelle (Gateaux) [1]

0000

00

'lim

vv vv

uuus

[1] Cacuci, Uncertainty Analysis, 2003

=> Perturbation de la solution: u → u’

1. Introduction

2. Sensibilité locale

3. Sensibilité et calage

4. Sensibilité et incertitude

5. Conclusions

V. Guinot & C. Delenne – GIS HED2 - décembre 2012

La sensibilité: une dérivée directionnelle

5

Passage à la limite équations en sensibilité

xxsxs )()0,( 0

Intérieur du domaine

Conditions initiales

Conditions aux limites

• La formulation reste valide même dans le cas de solutions discontinues si l’on se place dans le cadre de la théorie des distributions [1]

• Dans le cas des modèles Saint-Venant 1D et 2D: le modèle en sensibilité est hyperbolique (dégénéré) [2, 3] problèmes de précision numérique au voisinage des points critiques et des chocs [4] (seuls les schémas « upwind » semblent suffisamment robustes [5])

[1] Bardos & Pironneau, CRAS, 2002[2] Delenne & al., CRAS, 2008[3] Guinot & al., advances in Water Resources, 2009

],0[),(0 Tt

xLsuL

v

],0[),()(),( Ttxtt bb sxs

[4] Gunzburger, IJNMF, 1999[5] Guinot & Delenne, Computers & Fluids, 2012

Approche continue: résolution des équations en sensibilité

1. Introduction

2. Sensibilité locale

3. Sensibilité et calage

4. Sensibilité et incertitude

5. Conclusions

V. Guinot & C. Delenne – GIS HED2 - décembre 2012

La sensibilité: une dérivée directionnelle

6

[1] Guinot & al, Adv. in Water Resources, 2009

• résoudre numériquement les équations hydrodynamiques puis dériver la solution numérique

• Simple d’emploi, nombreuses techniques disponibles

• Il n’est pas nécessaire de connaître les équations du modèle

• Présente souvent des artefacts numériques [1]

-5 0 5

6

8

10

Sensibilité empirique du champ de vitesse à la cote aval

Approche discrète (empirique)

1. Introduction

2. Sensibilité locale

3. Sensibilité et calage

4. Sensibilité et incertitude

5. Conclusions

V. Guinot & C. Delenne – GIS HED2 - décembre 2012

Modèles Saint Venant 1D en régime permanent

7

Equation hydrodynamique:

[1] Guinot & Cappelaere, J. Hydrol. Engng (ASCE), 2009

20

Fr1d

fx

SSh

Equation en sensibilité: EDO du premier ordre [1]

bax d

fhhx Shda

22 Fr

Fr11

fSb v

2Fr1

x

h

L

hn

hds

0

x

L0

1

Si alors b=0

Propagation de l’influence de la hauteur aval sur une longue distance

1. Introduction

2. Sensibilité locale

3. Sensibilité et calage

4. Sensibilité et incertitude

5. Conclusions

V. Guinot & C. Delenne – GIS HED2 - décembre 2012

Modèles Saint Venant 1D en régime permanent

8

[1] Guinot & Cappelaere, J. Hydrol. Engng (ASCE), 2009

Si alors b≠0

Décroissance quasi-exponentielle avec x il existe une taille de bief optimale pour le calage par morceaux des paramètres de frottement [1]

x

h

L

hn

hds

0

x

L0 ≠ 0

2ln3Fr10Fr3Fr1

122

02

2/1 hSSL f

Equation hydrodynamique:

20

Fr1d

fx

SSh

Equation en sensibilité: EDO du premier ordre [1]

bax d

fhhx Shda

22 Fr

Fr11

fSb v

2Fr1

1. Introduction

2. Sensibilité locale

3. Sensibilité et calage

4. Sensibilité et incertitude

5. Conclusions

V. Guinot & C. Delenne – GIS HED2 - décembre 2012

Modèles Saint Venant 1D en régime permanent

9

[1] A. Mosca, étude en cours (Polytech’M 5ème année)

Sensibilité locale calculée autour d’un paramètre nominal

Mais:

le caractère constant par morceaux de la sensibilité semble assez bien vérifié pour des sections de forme arbitraire [1] ces résultats devraient pourvoir être généralisés

Q

z

1. Introduction

2. Sensibilité locale

3. Sensibilité et calage

4. Sensibilité et incertitude

5. Conclusions

V. Guinot & C. Delenne – GIS HED2 - décembre 2012

Modèles Saint Venant 2D en régime permanent

10

Equation en sensibilité [1]

[1] Guinot & Cappelaere, Advances in Water Resources, 2009

Régime fluvial

• Equation de diffusion anisotrope

• Propagation préférentielle: direction transversale

• La direction de propagation n’est pas la même selon la variable que l’on considère

qss yyxx)Fr1( 2

TyxThvhuh ,,,, s

Sensibilité de h et ux

10

Sensibilité de uy

Ecoulement

Sensibilité à une variation de topographie

1. Introduction

2. Sensibilité locale

3. Sensibilité et calage

4. Sensibilité et incertitude

5. Conclusions

V. Guinot & C. Delenne – GIS HED2 - décembre 2012

Modèles Saint Venant 2D en régime permanent

11

[1] Guinot & Cappelaere, Advances in Water Resources, 2009

Régime torrentiel

• Equation de propagation (hyperbolique) en (x, y)

• Propagation préférentielle: fonction du nombre de Froude Fr

Ecoulement

Equation en sensibilité [1]

qss yyxx)Fr1( 2

TyxThvhuh ,,,, s

Sensibilité à une variation de topographie

Adapter le calage au régime d’écoulement et aux variables utilisées

1. Introduction

2. Sensibilité locale

3. Sensibilité et calage

4. Sensibilité et incertitude

5. Conclusions

V. Guinot & C. Delenne – GIS HED2 - décembre 2012

Comportement 1D / 2D

12

Modèle 2D [2]• Sensibilité: EDP d’ordre 2 (elliptique en fluvial, hyperbolique en torrentiel)• Distance caractéristique: quelques mètres en fluvial

[1] Guinot & Cappelaere, J. Hydrol. Engng (ASCE), 2009[2] Guinot & Cappelaere, Advances in Water Resources, 2009

Modèle 1D [1]• Sensibilité: EDO quasi-linéaire d’ordre 1 décroissance approximativement exponentielle avec la distance

• Distances caractéristiques en régime fluvial: 103 ; torrentiel: 102 m

• Topographie: effet très important mais très local• Frottement: effet faible, demande des distances

importantes• Conditions aux limites: effet rapidement dissipé

par les carrefours (2D)

fluvial

torrentiel

1. Introduction

2. Sensibilité locale

3. Sensibilité et calage

4. Sensibilité et incertitude

5. Conclusions

V. Guinot & C. Delenne – GIS HED2 - décembre 2012

Sensibilité et Incertitude

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Densité de probabilité supposée pour le(s) paramètre(s) incertain(s)

m

s2

Descripteurs statistiques de la distribution de sortie(e.g. moyenne et variance)

Modèle

N simulations

Estimateurs de la moyenne et de la variance

𝝁(𝑥 ,𝑡 )= 1𝑁∑𝑖=1

𝑁

𝒖(𝑥 ,𝑡 ;𝝎 ) Vecteur des paramètres

Solution du modèle

𝝈2 (𝑥 , 𝑡 )= 1𝑁∑𝑖=1

𝑁

𝒖2−𝝁2 Cet estimateur permet de ne pas stocker tous les résultats mais peut conduire localement à une valeur négative de

Analyse globale

Le nombre N de simulations doit être grand

1. Introduction

2. Sensibilité locale

3. Sensibilité et calage

4. Sensibilité et incertitude

5. Conclusions

V. Guinot & C. Delenne – GIS HED2 - décembre 2012

Sensibilité et Incertitude

14

• Développement au 1er ordre

• Moment d’ordre 2: • estimation de la variance partielle

pour un paramètre

• Estimation de la variance totale pour p paramètres

Utilisation de la sensibilité localecomme approximation linéaire de la réponse du modèle

• Résolution des équations du modèle et en sensibilité pour une valeur nominale du paramètre

u (𝜔 ,𝒙 ,𝑡 )=u+(𝜔−𝜔 )s

• Estimation de la moyenne:

𝝈𝒊𝟐=|s𝒊|

2𝝈𝜔𝑖2

𝝁=u=u (𝜔 ,𝒙 ,𝑡 )

𝝈❑𝟐=∑

𝑖=1

𝑝

|s𝒊|2𝝈𝜔𝑖

2

1. Introduction

2. Sensibilité locale

3. Sensibilité et calage

4. Sensibilité et incertitude

5. Conclusions

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Modèles Saint Venant 1D transitoire

15

[1] Delenne & al., Reliability Eng. & System Safety, 2012

qmin

qmax

• Canal rectangulaire

• Propagation d’une onde de crue : incertitude sur le débit max

Analyse globale:• 1000 simulations d’une loi uniforme avec Analyse locale:• 1 simulation avec calcul direct d’incertitude

ou• 2 simulations avec calcul empirique

Δ𝑞=0.5𝑞

𝜀𝑋=1𝑁∑𝑖=1

𝑁 |𝑋𝐺(𝑥 𝑖)− 𝑋𝐿 (𝑥𝑖)|𝑋 𝐺(𝑥 𝑖)

q(t)

nMS0

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2. Sensibilité locale

3. Sensibilité et calage

4. Sensibilité et incertitude

5. Conclusions

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Modèles Saint Venant 1D transitoire

16

Paramètres Intervalle s4 paramètres incertainsindépendants

𝜔=𝑞𝑚𝑎𝑥

Variances partielles

Moyenne Variance

𝜔=𝑇 𝑓 𝜔=𝑆0 𝜔=𝑛𝑀

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2. Sensibilité locale

3. Sensibilité et calage

4. Sensibilité et incertitude

5. Conclusions

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Conclusions

17

Utilisation de la sensibilité locale:

[1] Guinot & al., J. of Hydrology, 2011

Pour le calage:• hiérarchisation des paramètres à caler• détermination de la taille de bief optimale

pour le calage du coefficient de rugosité,• utilisation dans le processus de

maximisation de la fonction objectif [1]

Pour l’analyse d’incertitude:• Malgré une forte non linéarité des équations « shallow

water » (canal rectangulaire): estimation correcte de la variance totale et des variances partielles (même pour des paramètres corrélés)

• Validation de la méthode en cours pour des sections arbitraires

Modèles à surface libre: les apports du calcul direct de sensibilité au calage et à l’analyse d’incertitude

Vincent Guinot, Carole DelenneUniversité Montpellier 2 / Polytech’Montpellier

HydroSciences Montpellier

GIS HED2 - décembre 2012

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1. Introduction

2. Sensibilité locale

3. Sensibilité et calage

4. Sensibilité et incertitude

5. Conclusions

V. Guinot & C. Delenne – GIS HED2 - décembre 2012

Modèle Saint Venant 1D transitoire

10 réplicas de la variance partielle avec N=1000 simulations

Variance partielle pour différentes valeurs de N

𝜔=𝑞𝑚𝑎𝑥

Importance du nombre de simulation pour la méthode globale

1. Introduction

2. Sensibilité locale

3. Sensibilité et calage

4. Sensibilité et incertitude

5. Conclusions

V. Guinot & C. Delenne – GIS HED2 - décembre 2012

Modèle Saint Venant 1D transitoire

Paramètres corrélés: loi de tarage h(q)