vincent guinot , carole delenne université montpellier 2 / polytech’montpellier

Modèles à surface libre: les apports du calcul direct de sensibilité au calage et à l’analyse d’incertitude

Vincent Guinot, Carole DelenneUniversité Montpellier 2 / Polytech’Montpellier

HydroSciences Montpellier

GIS HED2 - décembre 2012

1

1. Introduction

2. Sensibilité locale

3. Sensibilité et calage

4. Sensibilité et incertitude

5. Conclusions

V. Guinot & C. Delenne – GIS HED2 - décembre 2012

Les deux grandes pathologies de la modélisation

2

Insensibilité

• Grandes variations de v variations de u négligeables

• Inversion de modèle difficile…

• … et dangereuse (valeurs de v irréalistes, jeux admissibles de paramètres non uniques, etc.)

Paramètre v

Variable u

Sensibilité s

Paramètre v

1. Introduction




5. Conclusions


Les deux grandes pathologies de la modélisation

3

Hypersensibilité

• Petite variation de v grande variation de u

• Caractère prédictif du modèle: douteux

• En général: le signe d’une paramétrisation « cachée » (contrôle par plusieurs paramètres et non un seul)

• Inversion du modèle (calage): difficile

Paramètre v

Variable u

Sensibilité s

Paramètre v

1. Introduction




5. Conclusions


La sensibilité: une dérivée directionnelle

4

Modèle hydrodynamique (ex. Saint-Venant): un jeu d’EDP

],0[),(0),( Tt xuL v

xxuxu )()0,( 0

],0[),()(),( Ttxtt bb uxu

Intérieur du domaine

Conditions initiales

Conditions aux limites

Perturbation du paramètre v sous la forme

0),(),(),( vvv ttt xxx

Sensibilité: dérivée directionnelle (Gateaux) [1]

0000

00

'lim

vv vv

uuus

[1] Cacuci, Uncertainty Analysis, 2003

=> Perturbation de la solution: u → u’

1. Introduction




5. Conclusions



5

Passage à la limite équations en sensibilité

xxsxs )()0,( 0

Intérieur du domaine

Conditions initiales

Conditions aux limites

• La formulation reste valide même dans le cas de solutions discontinues si l’on se place dans le cadre de la théorie des distributions [1]

• Dans le cas des modèles Saint-Venant 1D et 2D: le modèle en sensibilité est hyperbolique (dégénéré) [2, 3] problèmes de précision numérique au voisinage des points critiques et des chocs [4] (seuls les schémas « upwind » semblent suffisamment robustes [5])

[1] Bardos & Pironneau, CRAS, 2002[2] Delenne & al., CRAS, 2008[3] Guinot & al., advances in Water Resources, 2009

],0[),(0 Tt

xLsuL

v

],0[),()(),( Ttxtt bb sxs

[4] Gunzburger, IJNMF, 1999[5] Guinot & Delenne, Computers & Fluids, 2012

Approche continue: résolution des équations en sensibilité

1. Introduction




5. Conclusions



6

[1] Guinot & al, Adv. in Water Resources, 2009

• résoudre numériquement les équations hydrodynamiques puis dériver la solution numérique

• Simple d’emploi, nombreuses techniques disponibles

• Il n’est pas nécessaire de connaître les équations du modèle

• Présente souvent des artefacts numériques [1]

-5 0 5

6

8

10

Sensibilité empirique du champ de vitesse à la cote aval

Approche discrète (empirique)

1. Introduction




5. Conclusions


Modèles Saint Venant 1D en régime permanent

7

Equation hydrodynamique:

[1] Guinot & Cappelaere, J. Hydrol. Engng (ASCE), 2009

20

Fr1d

fx

SSh

Equation en sensibilité: EDO du premier ordre [1]

bax d

fhhx Shda

22 Fr

Fr11

fSb v

2Fr1

x

h

L

hn

hds

0

x

L0

1

Si alors b=0

Propagation de l’influence de la hauteur aval sur une longue distance

1. Introduction




5. Conclusions



8

[1] Guinot & Cappelaere, J. Hydrol. Engng (ASCE), 2009

Si alors b≠0

Décroissance quasi-exponentielle avec x il existe une taille de bief optimale pour le calage par morceaux des paramètres de frottement [1]

x

h

L

hn

hds

0

x

L0 ≠ 0

2ln3Fr10Fr3Fr1

122

02

2/1 hSSL f

Equation hydrodynamique:

20

Fr1d

fx

SSh

Equation en sensibilité: EDO du premier ordre [1]

bax d

fhhx Shda

22 Fr

Fr11

fSb v

2Fr1

1. Introduction




5. Conclusions



9

[1] A. Mosca, étude en cours (Polytech’M 5ème année)

Sensibilité locale calculée autour d’un paramètre nominal

Mais:

le caractère constant par morceaux de la sensibilité semble assez bien vérifié pour des sections de forme arbitraire [1] ces résultats devraient pourvoir être généralisés

Q

z

1. Introduction




5. Conclusions



10

Equation en sensibilité [1]

[1] Guinot & Cappelaere, Advances in Water Resources, 2009

Régime fluvial

• Equation de diffusion anisotrope

• Propagation préférentielle: direction transversale

• La direction de propagation n’est pas la même selon la variable que l’on considère

qss yyxx)Fr1( 2

TyxThvhuh ,,,, s

Sensibilité de h et ux

10

Sensibilité de uy

Ecoulement

Sensibilité à une variation de topographie

1. Introduction




5. Conclusions



11

[1] Guinot & Cappelaere, Advances in Water Resources, 2009

Régime torrentiel

• Equation de propagation (hyperbolique) en (x, y)

• Propagation préférentielle: fonction du nombre de Froude Fr

Ecoulement

Equation en sensibilité [1]

qss yyxx)Fr1( 2

TyxThvhuh ,,,, s

Sensibilité à une variation de topographie

Adapter le calage au régime d’écoulement et aux variables utilisées

1. Introduction




5. Conclusions


Comportement 1D / 2D

12

Modèle 2D [2]• Sensibilité: EDP d’ordre 2 (elliptique en fluvial, hyperbolique en torrentiel)• Distance caractéristique: quelques mètres en fluvial

[1] Guinot & Cappelaere, J. Hydrol. Engng (ASCE), 2009[2] Guinot & Cappelaere, Advances in Water Resources, 2009

Modèle 1D [1]• Sensibilité: EDO quasi-linéaire d’ordre 1 décroissance approximativement exponentielle avec la distance

• Distances caractéristiques en régime fluvial: 103 ; torrentiel: 102 m

• Topographie: effet très important mais très local• Frottement: effet faible, demande des distances

importantes• Conditions aux limites: effet rapidement dissipé

par les carrefours (2D)

fluvial

torrentiel

1. Introduction




5. Conclusions


Sensibilité et Incertitude

13

Densité de probabilité supposée pour le(s) paramètre(s) incertain(s)

m

s2

Descripteurs statistiques de la distribution de sortie(e.g. moyenne et variance)

Modèle

N simulations

Estimateurs de la moyenne et de la variance

𝝁(𝑥 ,𝑡 )= 1𝑁∑𝑖=1

𝑁

𝒖(𝑥 ,𝑡 ;𝝎 ) Vecteur des paramètres

Solution du modèle

𝝈2 (𝑥 , 𝑡 )= 1𝑁∑𝑖=1

𝑁

𝒖2−𝝁2 Cet estimateur permet de ne pas stocker tous les résultats mais peut conduire localement à une valeur négative de

Analyse globale

Le nombre N de simulations doit être grand

1. Introduction




5. Conclusions


Sensibilité et Incertitude

14

• Développement au 1er ordre

• Moment d’ordre 2: • estimation de la variance partielle

pour un paramètre

• Estimation de la variance totale pour p paramètres

Utilisation de la sensibilité localecomme approximation linéaire de la réponse du modèle

• Résolution des équations du modèle et en sensibilité pour une valeur nominale du paramètre

u (𝜔 ,𝒙 ,𝑡 )=u+(𝜔−𝜔 )s

• Estimation de la moyenne:

𝝈𝒊𝟐=|s𝒊|

2𝝈𝜔𝑖2

𝝁=u=u (𝜔 ,𝒙 ,𝑡 )

𝝈❑𝟐=∑

𝑖=1

𝑝

|s𝒊|2𝝈𝜔𝑖

2

1. Introduction




5. Conclusions


Modèles Saint Venant 1D transitoire

15

[1] Delenne & al., Reliability Eng. & System Safety, 2012

qmin

qmax

• Canal rectangulaire

• Propagation d’une onde de crue : incertitude sur le débit max

Analyse globale:• 1000 simulations d’une loi uniforme avec Analyse locale:• 1 simulation avec calcul direct d’incertitude

ou• 2 simulations avec calcul empirique

Δ𝑞=0.5𝑞

𝜀𝑋=1𝑁∑𝑖=1

𝑁 |𝑋𝐺(𝑥 𝑖)− 𝑋𝐿 (𝑥𝑖)|𝑋 𝐺(𝑥 𝑖)

q(t)

nMS0

1. Introduction




5. Conclusions


Modèles Saint Venant 1D transitoire

16

Paramètres Intervalle s4 paramètres incertainsindépendants

𝜔=𝑞𝑚𝑎𝑥

Variances partielles

Moyenne Variance

𝜔=𝑇 𝑓 𝜔=𝑆0 𝜔=𝑛𝑀

1. Introduction




5. Conclusions


Conclusions

17

Utilisation de la sensibilité locale:

[1] Guinot & al., J. of Hydrology, 2011

Pour le calage:• hiérarchisation des paramètres à caler• détermination de la taille de bief optimale

pour le calage du coefficient de rugosité,• utilisation dans le processus de

maximisation de la fonction objectif [1]

Pour l’analyse d’incertitude:• Malgré une forte non linéarité des équations « shallow

water » (canal rectangulaire): estimation correcte de la variance totale et des variances partielles (même pour des paramètres corrélés)

• Validation de la méthode en cours pour des sections arbitraires

Modèles à surface libre: les apports du calcul direct de sensibilité au calage et à l’analyse d’incertitude

Vincent Guinot, Carole DelenneUniversité Montpellier 2 / Polytech’Montpellier

HydroSciences Montpellier

GIS HED2 - décembre 2012

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1. Introduction




5. Conclusions


Modèle Saint Venant 1D transitoire

10 réplicas de la variance partielle avec N=1000 simulations

Variance partielle pour différentes valeurs de N

𝜔=𝑞𝑚𝑎𝑥

Importance du nombre de simulation pour la méthode globale

1. Introduction




5. Conclusions


Modèle Saint Venant 1D transitoire

Paramètres corrélés: loi de tarage h(q)

vincent guinot , carole delenne université montpellier 2 / polytech’montpellier

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